Freudenthal Instituut

*‘Uitspraken’-blogs*

____________________________________________

Vernieuwers aan het woord (3)

Het Freudenthal Instituut

____________________________________________

Het Freudenthal Instituut heeft al vanaf 1980 een grote invloed op het reken/wiskundeonderwijs. Ze zijn de bedenkers van het realistisch rekenen. Dankzij het Freudenthal Instituut werd op de basisscholen het kolomsgewijs rekenen ingevoerd. Contextsommen spelen voortaan een grote rol, ook al i.v.m. het zelf ontdekken van de rekenregels. Standaardprocedures en kale sommen kwamen in een kwaad daglicht te staan en de aanval werd ingezet op de staartdeling, de regel ‘delen door een breuk is…’; het zijn volgens het FI maar trucjes. Het gebruik van de rekenmachine en ICT werd gestimuleerd. Leerlingen moeten hun eigen kennis construeren.

 

“De missie van het Freudenthal Instituut is het onderzoeken en verbeteren van het reken- en wiskundeonderwijs.”
Freudenthal Instituut

“Het Freudenthal Instituut gaat uit van een dynamische theorie waarin Rekenen en Wiskunde begrepen en onderwezen kan worden. De medewerkers hebben met succes gestimuleerd dat de principes van het realistisch reken- en wiskundeonderwijs in nagenoeg alle basisscholen in Nederland zijn ingevoerd.”
De Onderwijsinspectie (2002)

 

Prof. Hans Freudenthal  (Hij was hoogleraar wiskunde. Hij was vanaf de zeventiger jaren een belangrijk vernieuwer van het reken- en wiskundeonderwijs)

• Het onderwijs, dat wij ontwikkelen is door een ander mensbeeld bepaald en tevens door een andere kijk op de wiskunde — niet als leerstof, maar als menselijke aktiviteit.
• Er is geen wiskundeonderwijs meer in 2000, het is verdwenen. Er is geen vak wiskunde meer, geen wiskundeles op het rooster, geen wiskundeonderwijs om te onderwijzen. Het is er om beleefd en uitgeleefd te worden in een geïntegreerd onderwijs.
• Cijferen leren volgens geïntegreerd progressief schematiseren kost de helft van de tijd die bij het geïsoleerd progressief compliceren wordt uitgetrokken. Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.
• Vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk.
• Het leren van wiskunde – in ieder geval in de basisschool – betekent het onder begeleiding heruitvinden van wat anderen lang geleden bedachten.

 

Ton Groeneveld (Docent wiskunde op RSG Slingerbos Levant in Harderwijk. Lid Redactie WiskundE-brief)

Uit ‘Ode aan Hans Freudenthal’ (WiskundE-brief 12 mei 2013)

• Wist u dat Neder­land de geluk­kigste jeugd van de wereld heeft? Ook dat is zeker mede een verdien­ste van ons onder­wijs. Streeft u, net als ik, naar gelukki­ge leerlin­gen binnen een opti­maal voortge­zet onder­wijs, dan moet u dus eigen­lijk niet al te veel aan ons Neder­landse onder­wijssys­teem willen verande­ren.
• Zeker binnen de wiskun­de bevin­den wij ons op het goede spoor. Daar waar de excel­lente Chinees tot pulp wordt ge­traind, passen onze leerlin­gen hun wiskun­de in voor­stelba­re prak­tijksi­tuaties toe. Daar waar de virtuo­ze Koreaan oefent op een waanzin­nige hoofdre­kensom, leren onze leerlin­gen op de juiste momen­ten naar hun rekenma­chine te grijpen.
• De zegen van het realis­tische reken- en wiskun­deonder­wijs van de Duits-Neder­landse wiskun­dige en peda­goog Hans Freudenthal ver­taalt zich al jaren in een opti­maal oplei­dingsni­veau van de gemid­delde Neder­lander. Het is dan ook treurig om te zien dat het calvi­nis­tisch cha­grijn in het Neder­lands onder­wijs met middel­eeuwse stand­punten, dodelij­ke reken­toetsen, ver­scherp­te slaag/zakrege­lingen en beper­kingen van het gebruik van de (grafi­sche) rekenma­chine steeds meer voet aan de grond dreigt te krijgen.

 

Jan van Maanen (Directeur van het Freudenthal instituut. Projectleider ELWIeR)

• Internationaal onderzoek wijst uit dat vroege invoering van het cijferen en een te grote nadruk daarop een blokkade vormen voor de groei naar het flexibel en deskundig omgaan met getalsmatige gegevens, naar gecijferdheid.
• Kale rijtjes leren, zoals sommige recente boeken propageren, lijkt mooi, maar het legt een geweldig beslag op het geheugen als je die kennis nergens aan kunt vastmaken. Het leidt tot verwarring. Natuurlijk moet je met een zekere hoeveelheid basiskennis beginnen, en de tafels van 2 en 3 uit je hoofd kennen, en misschien nog een paar. Maar oefenen met nieuwe problemen in samenhang met eerdere kennis, of met een onderzoeksvraag, daar schiet de leerling veel meer mee op.
• Vroeger beschikten leerlingen slechts over een beperkt standaardrepertoire. Dat had echt iets geestdodends. De nieuwe aanpak biedt ruimte aan de creativiteit van de jongeren. Nu raadplegen ze me zelfs over wiskundige vragen die tien of twintig jaar geleden absoluut niet naar boven kwamen.
• Kinderen begrijpend leren rekenen kost inderdaad iets meer tijd, maar het levert wel jonge mensen op die zelfstandig iets presteren. Verkijk je niet op de zeer negatieve ervaringen van de huidige veertigers en vijftigers, die onder het juk door zijn gegaan van ‘je hoeft niet te begrijpen wat je doet, het gaat om het goede antwoord’ en die keer op keer het goede antwoord niet vonden.
• En ouders en grootouders moeten vooral niet denken “het was vroeger beter”, maar ze zouden zich moeten verdiepen in wat kind of kleinkind nu doet en dan vaststellen dat de uitkomst hetzelfde is als met de ‘oude’ methode.
• Onderzoek leert dat stampwerk alleen werkt bij leerlingen die het toch wel redden.
• In de komende jaren ga ik aan de slag voor inhoudrijk, stimulerend en dus humaan wiskundeonderwijs en ik zal niet rusten voordat ‘het’ overgekomen is, en er een glimlach op het gezicht van de leerling is verschenen.

N.a.v de kritiek op het vernieuwd onderwijs:

• Het doet denken aan een godsdienstoorlog. Het lijkt alsof een kleine sekte – sekte van de traditionele rekenaars – duidelijk wil maken dat het grote, algemeen gedeelde, geloof niet meer goed is.
• De rekencritici willen dat er nog rekenles gegeven wordt zoals in 1980. Maar het onderwijs wil nu leerlingen vormen die met dat rekenen ook iets kunnen.
• De plotselinge verontwaardiging in 2006 over het rekenniveau van de studenten die aan de pabo beginnen, zegt niet zozeer iets over de pabo als wel over havo en mbo; en natuurlijk zegt het iets over de klagers.
• De rekenproblemen op basisscholen worden eerder veroorzaakt door onervarenheid van leerkrachten dan door het realistisch rekenen.
• In praktische opdrachten en profielwerkstukken hebben de HAVO- en VWO-leerlingen veel kennis en vaardigheden opgedaan die de parate-kennisgeneratie niet had. Leerlingen kunnen meer en beter leren dan de afgelopen jaren het geval was.
• Is het wiskundeonderwijs op de universiteiten bijvoorbeeld wel zo in beweging? Of zijn daar de dictaten uit de jaren ’70 en ’80 mede de oorzaak van de aansluitingsproblemen tussen voortgezet en hoger onderwijs?
• Kijkt men bijvoorbeeld naar de mogelijkheden van de eerstejaars, naar wat die nu wel kennen en kunnen, in vergelijking met de parate-kennis-generatie? Maakt men gebruik van datgene wat voor de parate kennis in de plaats gekomen is ? Nee, zo gaat het niet. De eerstejaars dient zich aan het aanbod van het hoger onderwijs aan te passen. De ontbrekende kennis wordt bijgespijkerd en daarna kunnen de colleges zo blijven als ze waren. Maar de didactiek aanpassen aan de wezenlijk andere populatie, dat is een andere en veel grotere stap. Didactiek aanpassen gebeurt te weinig; ik vind dit een gemiste kans. Het hoger onderwijs zou namelijk goed gebruik kunnen maken van het gegeven dat studenten geleerd hebben om zelf dingen uit te zoeken en kennis te verwerven.
• De commissie-Dijsselbloem zou een interessante nieuwe zaak hebben als ze zich zou verdiepen in de procesgang rond de voorgestelde examenprogramma’s wiskunde vanaf 2011. Prioriteit hebben ‘traditionele algebraïsche vaardigheden’. Traditioneel, dat gaat echt niet over de wiskundige inhoud. Die keuze is ingefluisterd door een ‘resonansgroep’ die naast de reguliere programmacommissie met vertegenwoordigers uit hoger en voortgezet onderwijs is geplaatst. Met als voorzitter Van de Craats. Zijn privé-inzichten over hoe je wiskunde moet onderwijzen, komen, als het voorstel van de bewindslieden wordt aangenomen, in de examenprogramma’s terecht. Daar mag een nieuwe commissie-Dijsselbloem zich over tien jaar over buigen.

Reactie op het visiedocument cTWO (Toekomst Wiskundeonderwijs):

• Onderzoek toont aan dat kennisconstructie altijd gesitueerd plaatsvindt. De commissie ‘Toekomst WiskundeOnderwijs’ lijkt zich hiervan geen rekenschap te (willen) geven. Onderwijs dat aan dit aspect van leren voorbijgaat, roept het risico over zich af betekenisloze kennis te genereren, wat toch in strijd is met de fraaie titel van het visiedocument.
• Het ontbreken van algebraïsche vaardigheden is zeker een kwestie die aandacht verdient, maar al te eenvoudige oplossingen in de stijl van ‘veel oefenen van basisvaardigheden’ zijn gedoemd te mislukken. Recente inzichten over het leren van algebra tonen aan dat de beheersing van basisvaardigheden niet automatisch leidt tot toepasbare en flexibele algebrakennis.
• In hun artikel over ‘Integratie van de grafische rekenmachine’ tonen Van Streun, Harskamp en Suhre aan dat juist de zwakkere leerlingen veel profijt hadden van het gebruik van de GR.

‘Lieve Maria’ was een actie van universitaire studenten in 2006 om duidelijk te maken dat het wiskundeonderwijs op middelbare scholen ver onder de maat is en ze daardoor nu in de problemen zitten.

• Diverse vraagstellers probeerden te achterhalen bij welke studieonderdelen de studenten nu vwo-kennis te kort gekomen waren, maar daar hadden deze woordvoerders van ‘Lieve Maria’ geen antwoord op. Niet over analyse of algebra spraken ze, ook al werden ze er nog zo dringend aan herinnerd, maar over media.

 

Adri Treffers (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar rekendidactiek Utrecht. Hij is één van de geestelijk vaders van het realistisch rekenen )

[De rekenmethode van opa werkt altijd] [De opkomst van het neo-klassikaal onderwijs] [Kolomsgewijs rekenen en cijferen]

• Traditioneel cijferen kan kort gekarakteriseerd worden als rekenen-zonder-hoofd. Dat kan van het wiskundige cijferen zeker niet gezegd worden. Maar ook het wiskundig cijferen heeft z’n beperkingen. De gerichtheid op inzicht is namelijk te zeer tot het besloten terrein van het cijferen bepaald. Aldus kan dit cijferen het beste gekenschetst worden als rekenen-zonder-vleugels: het biedt de leerlingen weinig gelegenheid om boven het cijferen uit te stijgen en een vlucht naar toepassingsgebieden mogelijk te maken.
• Een moeilijkheid bij het inoefenen van de traditionele cijferprocedures is, dat daar zoveel valkuilen in zitten, bijvoorbeeld met nullen en bij inwisselen en lenen, dat je daar toch een behoorlijke inzichtelijke basis voor nodig hebt.
• Hieruit blijkt hoezeer een eenzijdige gerichtheid op cijferen het inzicht in getallen, getalrelaties en schattend rekenen blokkeert.
• Mechanisch rekenen, dat kan niet meer. Je mag kinderen niet drillen als een aap. De tafels zijn een goed voorbeeld. Die moeten gekend worden. Maar niet met die rituele gezangen. Daar krijg je geen inzicht door.
• Zelf geconstrueerde strategieën zijn voor een leerling betekenisvoller dan aangeleerde.
• Men mag de leerlingen niet opleggen hoe ze bijvoorbeeld aftrekkingen op het rekenrek of de getallenlijn moeten maken. Voor gestandaardiseerde berekeningswijzen is niet langer ruimte meer.
• Op een school in Brabant stond ik voor 150 ouders, daar nam ik een heel extreem standpunt in: weg met cijferend optellen en aftrekken. Ik liet zien hoe je 53 min 27 ook uit kan rekenen. Eerst 20 eraf, dat is 30, dan kom je 4 tekort voor 3 min 7, dus het antwoord is 30 min 4, 26. Ouders enthousiast. Nooit geweten dat het ook anders kan.
• Het is toch te gek om met een methode te beginnen die heel abstract is en waarbij je helemaal geen gevoel hebt of wat je krijgt, wel klopt? Je gaat 72 min 59 toch niet onder elkaar zetten als het met ‘aanvullend optellen’, of 1 + 12, heel makkelijk gaat?
• In Amerika en Japan wordt een ‘math war’ gevoerd tussen voor- en tegenstanders van cijferend rekenen en de formele wiskunde. Bij ons gebeurt dat niet. Het beste bewijs dat onze aanpak werkt. [2000]
• De hele commotie rond het verdwijnen van de traditionele staartdeling is een storm in een glas water.
• Zoals de oude staartdeling het symbool van het mechanistische cijferen is, zo fungeert de kolomsgewijze deling als model van het realistische cijferonderwijs — een inzichtelijke procedure die uiteindelijk in de oude staartdeling kan uitmonden.
• ‘Delen door een breuk’ behoort al 35, 40 jaar niet meer tot het standaardprogramma. Als men vindt dat het weer tot de kerndoelen moet gaan behoren, dan moet het maar. Maar dat betwijfel ik.
• Het is een bekend feit dat het plezier binnen het realistisch rekenonderwijs enorm is toegenomen, zowel bij leraren als bij leerlingen. Een paar jaar geleden vond men rekenen nog het stomste vak van de wereld.
• Engelse kinderen hebben ontzettend veel plezier in rekenen/wiskunde, met al dat geknip en geplak.
• Waarom zo moeilijk doen over verschillen tussen kinderen? Een niveauverschil van twee leerjaren in een groep is geen enkel probleem.
• Vergroot de eigen inbreng van kinderen door middel van vrije producties en open opdrachten.
• Leerlingen leren van elkaars oplossingsstrategieën. Het gaat er niet om wie de opgave goed heeft, maar om de manier waarop een leerling tot een oplossing is gekomen, en waarom. In een klas wordt dus veel gesproken en gediscussieerd.
• Met een beetje geavanceerd probleem kun je twee lesuren vullen, met opdrachten, besprekingen en discussies. Dat kost tijd, maar die kun je direct terugwinnen door minder productieve dingen achterwege te laten, zoals het schriftelijk oefenen van sommen die leerlingen al kunnen. Daar leer je echt niks van.
• De vraag is nu of ouders er verstandig aan doen hun kinderen met rekenen te helpen. Ik zou zeggen: indien ze dat wenselijk achten zouden ze dat in ieder geval pas na overleg met de school moeten doen. Dan is het echter nog maar de vraag of hulp van een ‘rekenouder’ wel zo effectief is. Want kinderen leren rekenen is een vak.

N.a.v de kritiek op het realistische rekenonderwijs:

• Het probleem is dat de critici van het rekenonderwijs niet meer weten dat de helft van hun klasgenoten destijds ook nauwelijks kon rekenen.
• Het is een beetje flauw van de critici dat ze zo hameren op die sommetjes waarvan we met z’n allen hadden afgesproken dat ze in het onderwijs minder nadruk zouden krijgen. Over het algemeen maken de kinderen van nu de sommen beter, zeker als het om schattend rekenen gaat.
• Ik vind niet dat optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen de basis zijn van wat je moet kunnen. Dat is een standpunt: je zegt dan dat cijferen het hart is van het rekenonderwijs. Ik denk niet dat er veel mensen zijn die zeggen dat dat het geval is.
• De zere plek ligt op de pabo’s; daar besteden ze te weinig aandacht aan rekenen en wiskunde.
• Bij het belang van oefenen gaat het niet om een herbezinning van de realistische didactiek als zodanig.
• Als men cijferen in de beroepsopleiding zo belangrijk vindt, dan kan men dat daar toch uitbouwen?
• De Nederlandse jeugd rekent beter dan ooit tevoren. Je moet de PPON-statistieken anders lezen dan de critici doen. Er blijkt juist uit dat de nieuwe methode op alle rekenonderdelen een positieve invloed heeft gehad. Dat geldt óók voor het cijferen: als we de oude methodes nog steeds hadden gebruikt, waren de resultaten slechter geweest. Bovendien wijst ander PPON-onderzoek uit dat het in het onderwijs, tot en met groep zes, nooit zo goed is gegaan. Op alle fronten. Nederland zit in de mondiale top vijf. Dat is geen mening, dat zijn feiten.
• De inspectie bestempelt het rekenonderwijs als matig? Ik heb al eerder gezegd: als ons rekenonderwijs matig is, dan krijgt de rest van de wereld een onvoldoende. Dit internationale onderzoek bevestigt dat. Ze bedoelen eigenlijk ‘matig geïmplementeerd’. Het gaat niet over de resultaten, maar over de uitvoering van het curriculum. En dat dat nog niet helemaal uit de verf komt, is helemaal niet vreemd, want veel scholen zijn de afgelopen jaren zonder noemenswaardige bijscholing overgestapt naar een realistische rekenmethode. Het is een wonder dat de prestaties zo goed zijn. De Nederlandse leraren hebben de afgelopen jaren echt een geweldige job geleverd.
• Waarom veel kinderen bij het rekenen geen papier gebruiken maar alleen het antwoord geven? Het komt door al dat getoets. Ze kunnen het wel, maar op de formulieren van het Cito is geen ruimte voor bewerkingen, dus daarom schrijven ze niets op. Als je de leerlingen vraagt de bewerkingen op papier te schrijven, gaat het heel goed.
• Het was niet het Freudenthal Instituut dat de vernieuwingen in het rekenonderwijs heeft doorgevoerd. Een methode-terreur? Alsof wij directe invloed op de methodes zouden hebben. De programma’s in de leerboeken zijn geënt op de kerndoelen die door de overheid zijn opgesteld.
• Uit het voorgaande is duidelijk geworden dat de kritiek van Van de Craats op het rekenonderwijs met terugwerkende kracht ook de traditionele rekenmethodes van vroeger treft.
• De ideeën van Van de Craats hebben geen enkel draagvlak.

 

Prof. Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar reken-wiskundedidactiek aan de Universiteit van Utrecht. Ze studeerde onderwijskunde)

Ze was projectleider van het door OC&W gefinancierde TAL-project: het TALige realistisch rekenonderwijs voor PABO-studenten.

In het het TAL-boekje lezen we: “In de geschetste realistische didactiek wordt niet direct en uitsluitend op het reproduceren van de tafels aangestuurd via herhaald optellen, zoals vroeger in de mechanistische methodiek gebeurde via klassikaal uitgevoerde klaagzangen.” Handig rekenen is speerpunt in het TAL-project, waarbij elke som opnieuw creatief moet worden opgelost en er kolomsgewijs gerekend wordt.

[Hoe rekent Nederland?]

• We hebben de plicht aan te sluiten bij de denkrichting van de kinderen zelf.
• We kunnen niet terug naar ‘mechanisch’ sommen leren maken, zonder er bij na te denken. Kinderen zijn anders dan vroeger, ouders zijn anders. In Azië kunnen kinderen dat heel goed, daar scoren ze hoog in rekenen. Maar daar klagen ze over gebrek aan creativiteit.
• Ofschoon Singapore in veel vergelijkende studies steeds weer aan kop gaat, maakt men zich in Singapore zelf ernstig zorgen of dit door de toets bepaalde onderwijs niet dodelijk is voor de creativiteit die nodig is om tot doorbraken en innovaties te komen.
• Juist bij het oude rekenen haakten kinderen massaal af, omdat ze niet wisten wat ze deden.
• Het begrijpen en inzicht hebben in cijfers en rekenstrategieën is belangrijker dan bijvoorbeeld tafels uit het hoofd stampen. Het domweg uit het hoofd leren kost veel tijd, terwijl ze dan nog niet weten wat ze doen.
• Anderen nemen over het cijferen een veel radicaler standpunt in. Als we volgens Dehaene kijken naar de rekenvaardigheid van mensen, dan is het duidelijk dat onze hersenen niet gemaakt zijn om te cijferen. Daarom kunnen we het maar beter uit het onderwijsprogramma halen. Een gelukkige bijkomstigheid is, dat dit nu ook kan. We hebben immers de rekenmachine, aldus Dehaene.
• Kinderen kunnen nu veel beter schatten. Als er nu in een winkel 10 procent korting wordt gegeven, weten ze hoeveel dat is. Met de oude methoden hadden kinderen geen enkel besef of er 270 of 2700 uit moest komen.
• We hebben dertig jaar geleden al onderzocht wat er beter werkte, de staartdeling of delen via kolomrekenen. Dat was onderzoek in een kleine groep, maar de resultaten waren zeer overtuigend. We hebben juist nieuwe manieren bedacht omdat heel veel kinderen die staartdeling niet konden maken.
• Leg aan ouders uit dat de kinderen nog steeds de benodigde vaardigheden opdoen, maar dat de weg om naar het meest abstracte algoritme te komen nu wat meer doorzichtig voor de kinderen is.
• In het Nederlandse basisonderwijs doen we veel te weinig om kinderen wiskundig te leren redeneren. Het onderzoeken van getalpatronen, het op een elementaire manier kennismaken met variabelen, functies en combinatoriek ontbreken bijna volledig in ons basisschoolprogramma.
• Het is opvallend hoe vaak leerlingen die een opgave niet kunnen oplossen daarover spreken in de verleden tijd en zeggen dat ze “niet meer weten hoe het moest.” Dit zegt in mijn ogen veel over het achterliggende leerproces. Het zal waarschijnlijk niet met veel eigen inbreng van de leerling gepaard zijn gegaan.
• De nu al bereikte resultaten op het gebied van rekenen kunnen daarbij een belangrijke stimulans vormen. Het zal voor Nederlandse leraren een enorme opsteker zijn te weten hoe de Nederlandse leerlingen bij rekenen presteren. En gelukkig hoeven we daarbij niet af te gaan op wat her en der wordt geroepen, maar beschikken we over serieuze en objectieve onderzoeksrapporten. En wat in die rapporten staat, liegt er niet om. Menig land kijkt met afgunst naar de Nederlandse resultaten.
• Een minpunt is dat vergeleken met 2003 het helaas wel slechter gaat bij de andere wiskundeonderdelen, te weten algebra, meetkunde en statistiek, maar dat is niet waar deze rekendiscussie over gaat.
• Daarnaast zijn ook bepaalde onderdelen duidelijk minder geworden. Dit betreft het cijferend rekenen en het uitvoeren van samengestelde bewerkingen. Maar hier staat weer tegenover dat de leerlingen beter zijn geworden in hoofdrekenen, schattend rekenen, getallen en getalsrelaties, en rekenen met de rekenmachine; allemaal rekenvaardigheden die een goede basis vormen voor de 21ste-eeuwse vaardigheden, hetgeen je van het cijferen niet direct kunt zeggen.
• [N.a.v. het Groot Nationaal Rekenonderzoek] Wij testen niet zozeer de kennis van de rekenfeiten maar meer het inzicht. Wij geven wel sommetjes maar de deelnemer hoeft die sommetjes niet uit te rekenen maar moet kunnen redeneren. Dit is ook belangrijk bij schattend rekenen, dat je de basis weet hoe bepaalde getallen gerelateerd zijn aan elkaar.

N.a.v de kritiek op het realistische rekenonderwijs:

• Er is een hetze tegen realistisch rekenen aan de gang.
• Aangevoerd door degenen die terug willen naar het rekenonderwijs van veertig jaar geleden, toen de staartdeling nog een prominente plaats innam in het Nederlandse rekenprogramma, vullen krantenkolommen zich met de voor waar aangenomen ‘achteruitgang’ van de Nederlandse rekenvaardigheid.
• Verder zijn de in de media gegeven voorbeelden van de kolomsgewijze aanpak vaak ronduit stuitend: één grote chaos en gegoochel met getallen waarmee men geen kind zou willen lastig vallen.
• De discussie rond realistisch versus mechanistisch is geen issue in de academische wereld van onderzoekers van reken-wiskundeonderwijs. Voor het werk van het Freudenhtal Instituut bestaat wereldwijd veel belangstelling, terwijl hier in Nederland sommigen spreken over didactische blunders van de realistische methode. Ik had nooit voor mogelijk gehouden dat er zoveel tegenstand zou zijn tegen de ideeën van realistisch onderwijs.
• Als onderwijzers oefenen niet meer belangrijk vinden, dan is dat niet de schuld van het Freudenthal Instituut, want dat hebben wij NOOIT-NOOIT-NOOIT gezegd.
• Het door Van de Craats voorgestane rekenonderwijs is een extreme variant van mechanistisch rekenonderwijs, doordat men het cijferen al bij het rekenen tot 100 laat beginnen. Dit betekent dat de informele strategieën van leerlingen worden onderdrukt en het hoofdrekenen een ondergeschikte rol krijgt toebedeeld. Bovendien is het vraag of deze ‘one issue’ didactiek wel als een volwaardige reken-wiskundedidactiek kan worden beschouwd.
• Van de Craats wil terug naar het onderwijs van veertig jaar geleden en probeert dit te onderbouwen met de tegenvallende resultaten van het huidige (basisschool)onderwijs. Deze kritiek schiet in verschillende opzichten tekort. Zoals Treffers heeft laten zien, zijn de resultaten niet echt achteruitgegaan en ook internationale vergelijkingen geven geen aanleiding om dit te denken. Bovendien heeft Van de Craats geenszins aangetoond dat het trainen op algoritmen de leerlingen beter voorbereidt voor hun verdere wiskundige ontwikkeling en hun maatschappelijke redzaamheid.
• Ik vind de de discussie soms erg onbetamelijk en van laag niveau. De kranten publiceren alles wat Jan van de Craats zegt, wij hebben daarentegen de grootste moeite om onze reactie gepubliceerd te krijgen.
• [e-mail aan Joost Hulshof] Ik heb bij nader inzien, doordat ik kennis heb genomen van je website, Marc van Zanten geadviseerd de uitnodiging voor de Panamaconferentie in te trekken. De Panamaconferentie is geen podium voor mensen die de regels van goed fatsoen met voeten treden.
• [In een petitie voor steun aan Jo Boaler] In the Netherlands we also have a group mathematicians who repeatedly unfoundedly malign the research done at the Freudenthal Institute.

Uit [Reform under attack]:

• The mathematics education debate is ruled by emotions.
• While the style of criticisms against RME [Realistic Mathematics Education] in official reports stays within the social conventions that can be expected from professionals, the newspapers, including the so-called ‘quality papers‘ as well as magazines and websites often contain crass and unfounded accusations, in which well-regarded scientists are pilloried. This is all ‘normal’ within the current political climate in the Netherlands. In recent years, for a variety of reasons — including the emergence of high-profile populist politicians — the tone of the public debate has been lowered; especially when the establishment is the target of the debate. The track record that the Freudenthal Institute has built since 1970 means that we are now part of that establishment, with all the consequences of that position.
• It is stated shamelessly by RME-attackers that children do not need to think.
• The opponents of RME have as their leader, a professor in mathematics [Jan van de Craats], who used to teach at a military academy.

 

 

Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerkers Freudenthal Instituut)

[Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg]

• De claim over de didactische superioriteit van de aloude cijfermethodes wordt op geen enkele wijze door de beschikbare onderzoeksresultaten gerechtvaardigd — integendeel. De resultaten op alle niet cijferonderdelen zijn in die traditionele methodes ver onder de maat, terwijl ze bij het cijferen evenmin excelleren.
• Indien er geen methodevernieuwing had plaatsgevonden, zouden de uitkomsten van het rekenwiskundeonderwijs thans lager zijn geweest. De afname van de cijfervaardigheid bij met name vermenigvuldigen en delen kan derhalve niet aan de toename van de nieuwe rekenmethodes worden toegeschreven.
• Maar, nogmaals, dat is iets anders dan in al gemene zin het kolomsgewijze rekenen aan de kaak stellen, of sterker, zelfs op te roepen om het te verbieden. Dit betekent zoveel als een verbod op een klassieke rekenaanpak.
• De voorstelling die Van de Craats van dit kolomsgewijze rekenen geeft, is zonder meer misleidend. Hij laat namelijk zien hoe ingewikkeld ‘729 × 345’ kolomsgewijs berekend wordt: je krijgt dan 9 deelproducten in plaats van 3 zoals bij de standaardprocedure.

 

Koeno Gravemeijer (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar Science & Techniekeducatie)

Gravemeijer heeft met professor Paul Cobb onderzoek verricht naar nieuwe vormen van rekenonderwijs. Uitgangspunt vormt het sociaal constructivisme, het idee dat iedereen een wereldbeeld schept vanuit zijn eigen kennis.

Gravemeijer was lid van de projectgroep die op verzoek van de Ververs Foundation een eerste verkenning uitvoerde naar de wenselijke inhouden van reken- en wiskundeonderwijs voor leerlingen van 4 tot 15 jaar (zie rapport ‘De Toekomst Telt’). Hij was eindredacteur van de projectgroep ‘Wiskunde voor Morgen’ die de Commissie Schnabel adviseerde over het reken- en wiskundeonderwijs in 2032.

[Reken-wiskundeonderwijs] [Wat is het probleem?] [Rekenen-wiskundeonderwijs dat leerlingen voorbereidt op hun toekomst] [Reken- en wiskundeonderwijs voor de 21e eeuw] [Globaal rekenen, redeneren en de zakrekenmachine gebruiken] [Het belang van social norms en socio-math norms voor realistisch rekenonderwijs] [Wiskunde leren is complexer dan je denkt] [Zet vooral in op kennis die een aanvulling is op wat de computer al kan] [Breuken in leerlijnen]

• De grondslag van de FI-aanpak wordt gevormd door het socio-constructivistische uitgangspunt dat de leerlingen hun eigen kennis construeren en dat de beïnvloeding hiervan door het onderwijs slechts indirect kan plaatsvinden. Via eigen activiteit ontwikkelt de leerling zelf wiskunde.
• Wiskunde kan en moet geleerd worden op grond van eigen autoriteit en van eigen mentale activiteit. Kinderen maken hun eigen wiskundekennis. De eigen constructies staan centraal binnen het leerproces.
• Kennis is uniek voor elke persoon. Je zou kunnen zeggen dat iedereen zijn of haar eigen werkelijkheid maakt. In het realistisch wiskundeonderwijs wordt ernaar gestreefd de leerlingen te begeleiden in het heruitvinden van wiskunde.
• In kringen van onderwijswetenschappers wordt in ruime kring onderkend dat je kennis niet via het uitleggen van regels en definities kunt overdragen, maar dat je de leerlingen moet helpen kennis te construeren.
• Het op gezag van anderen overnemen van wiskundige kennis acht Freudenthal bovendien geen wiskunde. Als alternatief stelt hij ‘guided reinvention’ voor: geleid heruitvinden.
• Het gaat erom dat de leerlingen het reinvention proces zo ervaren, dat ze de uitkomsten van dit proces beschouwen als eigen kennis, als kennis die ze zelf voor hun verantwoording nemen.
• In het traditionele reken-wiskundeonderwijs was het de taak van de leerlingen uit te vinden wat de leraar in zijn of haar hoofd had. In het nieuwe onderwijs moet de leraar proberen om erachter te komen wat de leerlingen denken. Het is nu niet meer de leraar die onderwijst maar de leerling die uitvindt.
• Het basisidee van het realistisch reken-wiskundeonderwijs is dat men de leerlingen in de gelegenheid stelt reken-wiskundige kennis en inzichten uit te vinden. Daarmee hoop je te bereiken dat de leerlingen wiskunde construeren waarvan ze zelf de juistheid kunnen overzien. Zodat ze daarvoor niet hoeven te leunen op de autoriteit van de leraar of het leerboek.
• De taak van de leraar is de leerlingen te begeleiden bij het heruitvinden van wiskunde. De eigen kennis en de eigen inbreng van de leerlingen vormen daarbij het vertrekpunt. Deze benadering past goed bij constructivistische opvattingen over kennisconstructie. Volgens het constructivisme is kennis niet zonder meer overdraagbaar, omdat eenieder zijn of haar eigen kennis construeert. In het reken-wiskundeonderwijs ontstaan volgens deze theorie al snel communicatieproblemen doorat leraar en leerlingen dezelfde termen en activiteiten binnen verschillende referentiekaders interpreteren.
• Probleemgeorënteerd onderwijs vraagt een heel andere rolverdeling; dan gaat het om wat de leerling denkt waarbij de klas meer gaat functioneren als een onderzoeksgemeenschap. Van de leraren wordt verwacht dat ze proberen uit te vinden wat de leerling denkt, zelf niet uitleggen, maar in staat zijn de klassendiscussie zo in te richten dat de onderliggende wiskunde onderwerp van gesprek wordt.
• De historische ontwikkelingsgang van de wiskunde wordt gekenmerkt door een proces van voortgaande organisatie – met praktische problemen als beginpunt, en het formele wiskundige bouwwerk als eindpunt. Dit wordt in traditioneel reken-wiskundeonderwijs op zijn kop gezet door met het formele systeem te beginnen en met de toepassingen te eindigen. De problemen die deze anti-didactische inverse oplevert zijn genoegzaam bekend.
• Desforges en Cockburn deden in Groot Britannië onderzoek bij basisschoolleerkrachten die bekend stonden als goed en vernieuwingsgezind. Tot hun verbazing bleek er weinig terecht te komen van het beoogde probleem-georiënteerde onderwijs. In de praktijk bleek dat de leerlingen niet meewerkten. Door steeds om hulp en aanwijzingen te vragen probeerden de leerlingen de openheid van de opgaven zo veel mogelijk in te perken. Klaarblijkelijk voelden de leerlingen zich prettiger in een onderwijsleersituatie waar precies vaststond wat ze moesten doen dan in een situatie waar er veel aan henzelf werd overgelaten. Bovendien bleek het moeilijker om orde te houden in klassen die met open problemen werkten dan in klassen die rijtjes standaardopgaven moesten afwerken. Ook het bespreken van oplossingsstrategieën is niet probleemloos. Leerlingen gaan er namelijk niet spontaan toe over hun antwoorden uit te leggen en te rechtvaardigen.
• Uit klassenobservaties bij leraren die aangaven probleemgeoriënteerd te willen werken, bleek dat deze geconfronteerd werden met leerlingen die verandering in een meer probleemgeoriënteerde richting tegenwerkten. Ze bleven vragen wat ze moesten doen, wilden steeds aanwijzingen, meer voordoen. Vanuit een wetenschappelijk perspectief valt te verdedigen dat er vermoedelijk een onderliggende oorzaak is die te maken heeft met de rolpatronen die in de loop der tijd zijn ontstaan. De leerlingen zijn gewend dat de docent uitlegt en voordoet. En dat hun werk wordt beoordeeld op de mate van overeenstemming met wat de docent heeft uitgelegd en voorgedaan. Daardoor hebben ze zich een beeld gevormd van wat hun rol is en die van de docent. In de literatuur spreekt men in dit verband wel van een ‘didactisch contract’.
• Om de gewenste interactie in de klas te kunnen realiseren is het noodzakelijk dat het didactisch contract van dien aard is dat de social norms in de klas passen bij de interactie die realistisch reken-wiskundeonderwijs veronderstelt. In het algemeen vraagt dit om een herziening van de geldende normen. Aan de invoering van nieuwe normen dient de leerkracht expliciet aandacht te besteden in concrete situaties. Bovendien moet de leerkracht ervoor zorgen, dat de leerlingen in de praktijk ervaren dat de nieuwe normen werkelijk gelden. Naast de sociale normen die de interactie betreffen, zijn ook de zogeheten ‘socio-math norms’ in dit type onderwijs van belang. Gemeenschappelijke opvattingen over wat wiskundig gezien, elegantere of efficiëntere oplossingen zijn, vormen namelijk een krachtig instrument om de voortgang in een dergelijk open leerproces te ondersteunen op een manier die strookt met het adagium van het leren van wiskunde op eigen gezag. Met ‘proactief’ ingrijpen kan de leerkracht het progressief mathematiseren verder ondersteunen. Terwijl bovendien via pro-actief en retro-actief op zodanige wijze richting kan worden gegeven aan het onderwijsleerproces, dat de aansluiting met de gangbare wiskunde is verzekerd.
• Het moderne realistisch reken-wiskundeonderwijs leidt tot meer zekerheid, meer flexibiliteit en een betere toepasbaarheid dan het eraan voorafgaande, mechanistische, rekenonderwijs. Het huidige reken-wiskundeonderwijs past daarmee veel beter bij de maatschappij van nu.
• ‘Realistisch rekenen’ moet worden opgevat als rekenen waarbij je je realiseert wat je doet.
• Cijferen bereidt niet voor op wiskunde in het Voortgezet Onderwijs; cijferen leidt niet tot het ontwikkelen van netwerken van getalrelaties; cijferen leidt niet tot inzicht in rekeneigenschappen. Handig rekenen daarentegen is geen verzameling van regeltjes. Hier worden wel getalrelaties en rekeneigenschappen gebruikt.
• Wanneer computers onze wiskunde doen, wat moeten we dan met ons wiskundeonderwijs?
• Er is nog steeds reken-wiskundige kennis nodig, maar niet meer dezelfde. Het gaat in de toekomst om de reken-wiskundige kennis die je nodig hebt als aanvulling op wat computers kunnen.
• Om echt te leren begrijpen hoe het vermenigvuldigen en delen met breuken en kommagetallen in elkaar zit, moeten de leerlingen stevig wiskundig redeneren. Wat mij betreft mag zo’n investering best ten koste gaan van het routinematig, precies rekenen, dat immers nog maar een betrekkelijke waarde heeft in deze tijd van informatietechnologie.
• Ik stel voor al vast die kant op te gaan en de accenten in het reken-wiskundeonderwijs te verleggen, van precies rekenen volgens vaste procedures, naar globaal rekenen, wiskundig redeneren en het leren gebruiken van de zakrekenmachine.
• Globaal rekenen leidt bovendien tot rijker reken-wiskundeonderwijs.
• Actuele problemen in het onderwijs zijn het gevolg van te lang én teveel traditioneel denken, waarbij de nadruk ligt op het ‘voordoen-nadoen’ en het oeverloos oefenen.
• De ervaring leert dat leerlingen geneigd zijn om regels en procedures door elkaar te halen. Daarom wordt er door didactici en onderwijsgevenden in het algemeen voor gekozen om deze regels en procedures niet blind aan te leren. Bovendien gaat het in het reken- en wiskundeonderwijs om meer dan alleen maar regels en procedures: het richt zich ook op begrip, inzicht, flexibiliteit, creativiteit, toepassingsvaardigheid.
• De klassieke wiskunde heeft als gevolg van de informatisering en globalisering compleet afgedaan.
• Het type rekenonderwijs dat de critici propageren heeft enkel nut in een tijd waarin je nog veel met pen en papier moest uitrekenen. Inmiddels heeft de rekenmachine dit rekenwerk overgenomen. Mechanische rekenvaardigheid heeft zijn maatschappelijke functionaliteit verloren.
• Er werd dertig jaar geleden veel geïnvesteerd in het oefenen van weetjes en procedures, maar de leerlingen konden hun kennis niet toepassen en nog minder in contextopgaven.
• In het klassieke rekenonderwijs was er altijd een spanning tussen begrijpen en beheersen. In reken-wiskundeonderwijs dat zich richt op beheersing, ontstaat een focus op procedures die zijn toegesneden op specifieke opgaven/opgavetypen. Dit leidt tot losse stukjes opzichzelfstaande kennis en onbegrepen regeltjes die gemakkelijk door elkaar worden gehaald. Het gevolg is niet alleen dat voor de toekomst belangrijke inzichten, niet worden bereikt. Maar de verkregen vaardigheid is bovendien uiterst kwetsbaar. Er zal dus een verschuiving nodig zijn van op beheersing gericht rekenwiskundeonderwijs naar op inzicht gericht reken-wiskundeonderwijs.
• Wat moeten onze kinderen leren om van China te kunnen winnen? Over die vraag zouden we het eens moeten hebben.
• [Uit zijn oratie in 2001]: Verpleegkundigen gebruiken bij een probleemopgave niet zomaar een bestaand berekenmodel, maar ze ontwerpen een eigen mathematisch model om tot een oplossing te komen. Dit vergt andere kennis dan het model kunnen doorrekenen. Een verpleegkundige hoeft niet te kunnen doorrekenen wat een computer kan.
• Het verplicht stellen van een toets rekenvaardigheid lijkt een logische reactie op de geconstateerde problemen rond de rekenvaardigheid van aankomende Pabostudenten. Maar de getoetste vaardigheid moet wel passen bij het doel van de opleiding. Dat stelt hoge eisen aan de toets. Er bestaat immers het gevaar van het trainen voor de toets. Dat zou ertoe kunnen leiden dat de studenten zich trucs en een trucmatige attitude eigen maken, die een inzichtelijke benadering in de weg staan. Laat ik dit illustreren met een opgave die in de media circuleert: “Hoeveel is 16 2/3 % van €1860,-?” Verwacht wordt dat de student weet dat 16 2/3 % overeenkomt met 1/6 deel, waarbij 1860 gedeeld door zes uiteraard mooi uitkomt. Dit is typisch het toetsen van schoolse kennis, de kans dat je in de realiteit buiten de school ooit precies 16 2/3 % van iets moet uitrekenen is nihil. Voor schattend rekenen hoef je slechts een paar mooie percentages te weten, zoals 50%, 25% en 33 1/3 %. Van daaruit kun je gemakkelijk verder komen. Het leggen van dergelijke relaties vraagt een ander soort rekenvaardigheid dan de schoolse rekentrucjes.
• Het is de vraag of meer leerlingen voor een exacte studie zullen kiezen wanneer het onderwijs voor een groter deel zal bestaan uit het leren van definities en het oefenen van procedures. Nog los van het feit dat ze dan om een verkeerde reden exact zouden kiezen, spreekt dit leerlingen niet aan. Adolescenten hechten veel waarde aan activiteiten die passen bij hun zelfbeeld. Het nadoen van wat anderen bedacht hebben hoort daar niet bij.
• Ik hoorde onlangs dat exact-georiënteerde vwo-leerlingen een merkwaardig product van het type a² – b² niet herkenden in een opgave. Het ongedifferentieerd benadrukken van het belang van alle mogelijke vaardigheden kan echter het leren van echt belangrijke vaardigheden in de weg staan.
• Bijna 20 jaar geleden werd in het zogeheten MORE-project vastgesteld dat het realistische reken-wiskundeonderwijs op de basisschool slechts in beperkte mate werd uitgevoerd als bedoeld. Het is wrang dat er nu wel in nascholing wordt geïnvesteerd om de klok weer terug te draaien. Dit is des te navranter omdat onderzoek laat zien, dat indien dit type ‘reform mathematics’ wordt uitgevoerd zoals bedoeld, het betere resultaten boekt dat de traditionele benadering.
• In het moderne realistisch reken-wiskundeonderwijs worden de tafels niet meer als losse feitjes geleerd. In plaats daarvan ligt het accent nu op het redeneren en het leggen van verbanden. De verandering betreft niet alleen een verandering van werkwijze, maar ook een verandering van doel: er wordt onder meer gemikt op een ander type getalkennis, waarbij getallen wiskundige objecten zijn geworden. Van Hiele beschrijft dit objectkarakter van getallen door te spreken van getallen als knooppunten in een relatienet. Een voorbeeld van zo’n knooppunt is het getal twaalf, dat een wiskundig object is geworden wanneer de leerlingen dit spontaan associëren met 12 = 10+2, 12 = 2×6, 12 = 3×4, 12 = de helft van 24 of 12 = 20−8. Het voordeel van dit soort kennis is dat je deze flexibel kunt inzetten als puzzelstukjes, die je naar believen kunt combineren. De leerling die dit type getalkennis ontwikkelt, creëert een stukje nieuwe werkelijkheid.
• Wanneer we de voortgang in het leerproces willen monitoren, is het van belang dat we ons richten op het denken van de leerling. Operationele doelen volstaan dan niet. Bovendien werkt het sturen op operationele doelen en toetsen in de hand dat het onderwijs zich kenmerkt door opgavespecifieke strategieën. Een mogelijke oplossing is kinderen al op de basisschool te leren denken in netwerken van getalrelaties. Geleidelijk kunnen die een steeds meer opzichzelfstaande wereld gaan vormen, zodat de leerling niet steeds terug hoeft naar het niveau van concrete hoeveelheden. De kracht van dit soort netwerken is bovendien, dat er ‘vele wegen naar Rome’ zijn. Dit gegeven vergroot niet alleen de flexibiliteit maar ook het gevoel van zekerheid van de leerling: hoe meer verbindingen, hoe meer zekerheid. Willen we de theorie over het construeren van rekenen en wiskundige kennis als uitgangspunt nemen, dan vraagt dat om een fundamentele herziening van de inrichting van het reken- en wiskundeonderwijs. Een herziening die uitstekend zou passen in het streven naar het ontwikkelen van 21st century skills, zoals het probleem-oplossen, communiceren en samenwerken.

Kritiek op de kritiek

• Enige tijd geleden stond in de krant ”Tientallen doden door rekenfouten van artsen en verpleegkundigen”. Als je uitzoekt waar deze krantenkop op is gebaseerd dan blijkt dat er helemaal geen doden zijn geteld. Er is een redenering opgezet, waarbij vanuit de resultaten op een rekentoets is geëxtrapoleerd naar het aantal doden dat zou kunnen zijn gevallen. Ik kan u verzekeren dat die redenering beslist niet houdbaar is.
• Je hoort klachten dat aankomende bètastudenten de staartdeling niet kunnen maken. Ik denk dat er iets ernstig mis is met de bètaopleidingen in Nederland wanneer de leerlingen daar nog staartdelingen moeten maken.
• Nu zijn de klachten over de teruglopende rekenvaardigheden zo algemeen, dat we mogen aannemen dat er echt wat aan de hand is, maar of dat nu de conclusie rechtvaardigt dat we terug moeten naar het rekenen van vroeger?
• We moeten ons niet blind staren op de doorstroomrelevantie binnen het onderwijssysteem, maar ook oog hebben voor de uitstroomrelevantie, ofwel voor wat de maatschappij vraagt.

 

Jan de Lange (Hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut (1981-2006))

[Kinderen kunnen veel meer dan we denken] [Ieder rekent met zijn eigen hoofd]

• De hoge prestaties van ons land internationaal gezien en de voorsprong op didactisch gebied, werken remmend. Waarom zouden we investeren in veranderingen als het al zo goed gaat? Toch constateer ik in Nederland een zeer vruchtbare voedingsbodem voor innovaties in het reken- en wiskundeonderwijs en de rol van ict daarbij. We hebben de beste leraren van de wereld, qua attitude en interesse in leerlingen. Er is een open cultuur voor het bespreken van veranderingen, die niet hiërarchisch gekleurd is, maar gebaseerd is op kwalitatieve inbreng. Tenslotte hebben we een ministerie van OC&W dat geïnteresseerd is in positieve onderwijsontwikkelingen en echt meedenkt. (2002)
• Vroeger ging het alleen maar om de juiste uitkomst en het papegaaien van de leraar. Nu doen we een beroep op het eigen, kritisch denkvermogen van kinderen.
• De natuurlijke rekengaven van het kind moeten tot bloei worden gebracht. Het hardop oefenen van de tafels is schadelijk voor die ontwikkeling. Want als je de tafels hardop oefent wordt alleen het taalcentrum in de hersenen geactiveerd, en niet het rekencentrum.
• Niet stampen, maar strategie; volgens hersenonderzoek wordt op die manier effectiever gebruik gemaakt van het brein dan volgens de ouderwetse methode.
• Ongecijferdheid, slecht kunnen omgaan met getallen en cijfermatige gegevens en uitspraken en situaties die uitnodigen tot uit het hoofd oplossen en schattingen doen, vormen een veel groter probleem dan men denkt. Volgens Treffers wordt dit niveau van ongecijferdheid niet zozeer bereikt door de inhoud van wat wordt onderwezen (of juist niet wordt onderwezen), maar is het juist het resultaat, althans gedeeltelijk, door de structurele opbouw van de praktijk van het onderwijs.
• Wat moeten we met algebra in de 21ste eeuw? Is algebra een taal, een manier van redeneren, of een manier om haakjes weg te werken
• Nadenken, logisch redeneren en probleem oplossen zijn volgens de OESO de competenties van de 21ste eeuw. Maar in Nederland zwaait de slinger de andere kant op. Wij gaan weer terug naar de 18e eeuw. Er moet meer aandacht komen voor staartdelingen en we stellen rekentoetsen verplicht.
• Peuters en kleuters gebruiken hun talenten om de wereld om hen heen te begrijpen. Ze stellen slimme vragen, proberen dingen uit en bedenken eigen verklaringen voor wat ze zien en beleven. Maar in het onderwijs raken kinderen die sprankelende houding snel kwijt. In groep drie begint het leren, denken we. Maar in groep drie eindigt het. Dat ligt aan rigide leerboekjes en leerlingvolgsystemen die geen ruimte laten voor onderzoekend leren en probleem oplossen.
• Kinderen kunnen veel meer met getallen dan wetenschappers vroeger dachten. Denk bijvoorbeeld aan getallen onder nul. Kleuters hebben daar geen enkele moeite mee. -1 kennen ze van de lift, of van de temperatuur.
• Het reken- en wiskunde-onderwijs moet rekening houden met die individuele voorkeuren. Het zijn verschillende vaardigheden die allemaal bruikbaar zijn. Je moet kinderen daarom niet te snel op basis van één vaardigheid voorsorteren. Zo is de klassieke manier van een staartdeling maken allang niet meer de enige.
• Je staat er versteld van hoe kinderen van 13 met computers kunnen omgaan. Ze hebben een deskundigheid opgebouwd die je bij volwassenen nauwelijks ziet. Het is ongelooflijk hoeveel verschillende soorten informatie ze tegelijk kunnen verwerken. En in plaats van serieus rekening te houden met die vaardigheden, doen we alsof die niet bestaan. Kijk alleen al naar hoe hopeloos het is gesteld met de integratie van de computer in het onderwijs.

 

Hans ter Heege (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoofdredacteur Panama-Post)

[Mad Math en Math War (Onderwijskrant)]  [Wat is realistisch reken-wiskundeonderwijs?]

• Het memoriseren van tafels is volstrekt overbodig. Neem 8×6. In de realistische aanpak kan dit berekend worden als 10 x 6 – 2 x 6, of als 5 x 6 + 3 x 6 of als 6 x 8 of ….
• Door de tafels aan te bieden wil men tegelijkertijd begrip voor het vermenigvuldigen bijbrengen. Men slaat met andere woorden de brede en rijke begripsinbedding van het vermenigvuldigen over.
• Het onomstotelijke bewijs dat de moderne aanpak beter is dan de traditionele ontbreekt, omdat vergelijkend onderzoek niet heeft plaatsgevonden. Wat we wel weten is dat met de ouderwetse didactiek volgens veel leerkrachten teleurstellende resultaten werden geboekt. De nieuwe aanpak is in jarenlang onderzoek ontwikkeld en gebaseerd op ruime ervaringen in de onderwijspraktijk. De effectiviteit van de traditionele tafeldidactiek is daarentegen nooit wetenschappelijk onderzocht. De moderne aanpak voor het leren van tafels ‘terug in te wisselen’ voor de traditionele aanpak is daarom een slechte zaak.
• De rekenvaardigheid van de leerlingen en de volwassenen voor de komst van het Freudenthal Instituut was erbarmelijk.
• De problemen met het niveau van het rekenonderwijs zijn gewoon het gevolg van het feit dat opleiding en nascholing van leraren maar in beperkte mate gelijke tred gehouden hebben met de ontwikkelingen in het vak.
• Het ligt vooral aan de leerkrachten die veel moeite hadden met de overgang naar een nieuwe methode en naar de nieuwe realistische didactiek.
• Zijn basisvaardigheden in het rekenen een noodzakelijke voorwaarde voor het leren van wiskunde? In de discussie die momenteel speelt, beweren sommigen dit met grote stelligheid. Maar wat zijn dan die basisvaardigheden? Behoort daar ook het cijferen toe? Gravemeijer meent dat vermenigvuldigingen met grote getallen, eventueel met komma’s, geen voorwaarde zijn voor het leren van algebra of integraal en differentiaal rekenen en evenmin voor het leren van meetkunde. Zo bezien is het cijferen niet per se nodig om later wiskunde te begrijpen.

 

Wil Oonk (Medewerker Freudenthal Instituut)

• In het primair onderwijs van voor 1970 kreeg het inoefenen van de tafels dan ook de meeste aandacht. Veel kinderen kenden al tafelproducten voordat ze eigenlijk de betekenis van de bewerking vermenigvuldigen door hadden.
• Slimme leerlingen hadden al gauw in de gaten dat je 6 x 7 kon uitrekenen door 2 × 7 bij 4 × 7 = 28 op te tellen. Maar zonder dit slimme rekenwerk werd de rij tafels een rij betekenisloze objecten.
• Inzicht geven vond men vroeger onnodig en zonde van de tijd. De leerlingen moesten zo snel en zo goed mogelijk leren rekenen voor het leven van alledag. Vanaf 1971 werkte het Freudenthal Instituut aan een totale ommekeer.
• Hans Ter Heege heeft b.v. vastgesteld dat kinderen op eigen kracht een adequaat netwerk moeten kunnen opbouwen voor basisproducten. De oplossingen die ‘het kind zelf uitvindt’ blijken beter en diepgaander begrepen te worden dan oplossingen die worden overgenomen van leraren.

 

Joost Klep (Medewerker Freudenthal Instituut; Medewerker SLO (Stichting Leerplanontwikkeling))

[Het kwartje valt]

• Moeten we cijferen überhaupt oefenen? Moeten we nog sommen met maten en metriek stelsel laten oefenen of geven we de kinderen een tabellenboek. En welke vaardigheden beheersen kinderen 3 jaar ná het verlaten van de basisschool nog? Zijn de dingen die ze vergeten zijn dan het oefenen wel waard geweest ?
• Idealiter moeten leerlingen in een situatie geplaatst worden waarin zij zichzelf vragen stellen, tot activiteit komen en tot gezamenlijke reflectie komen op de resultaten.
• Realistische uitgangspunten zijn verwant aan het constructivisme en aan connectivistische opvattingen dat ieder mens zijn eigen inzichten opbouwt in interactie met zijn omgeving.
• Wiskundige activiteit is gebaat bij vrijheid en aandacht. Aandacht betekent kinderen begripvol en wiskundig kritisch aanspreken in hun wiskundig handelen. Het is belangrijk kinderen uit te nodigen en ze te kennen in hun werk. Wiskundig kritisch betekent ze serieus nemen en uitdagen.
• Ik ben er een sterk voorstander van dat de leerkracht het onderwijs op maat plant. Dat kan als de leerkracht goed inzicht heeft in de ontwikkeling van de leerlingen.
• Als je steeds wilt aansluiten bij wat kinderen kunnen, staat niet meer de vaklogische opbouw van de leerstof centraal, maar de feitelijke ontwikkeling van de leerlingen.

 

Maarten Dolk (Medewerker Freudenthal Instituut. Lector ‘Geïnspireerd Leren’ Hogeschool Zuyd)

• Grote delen van het wiskundecurriculum zijn nog steeds gerelateerd aan wiskunde van vóór 1850.
• De school zelf lijkt nog op de school ten tijde van het industriële tijdperk en is eerder een voorbereiding op het werken in de fabriek dan het werken in nieuwe kennisorganisaties.
• De staartdeling is niet meer dan een truc. Deel 184 door 8: dan moest je eerst 16 onder de 18 zetten. Dat zijn regels die de leerlingen wel toepassen, maar niet begrijpen. De uitkomsten kunnen ze dan niet plaatsen.
• Zien we kinderen als uitvoerders van regels of als kleine wiskundigen die zelf strategieën uitvinden en met elkaar praten over hun begrip van de wiskunde?
• Heel veel leraren vinden voordoen-nadoen niet meer de gewenste aanpak. De kinderen gaan dan niet zelf nadenken maar volgen steeds wat de leraar zegt.
• Ik vermoed dat een leraar die de kinderen een groot rekenprobleem aanbiedt waarin kinderen op de grens van hun eigen kunnen werken, gemakkelijker het denkwerk bij de kinderen kan leggen.
• De leerlingen leren van elkaar en leren zelf doordat zij het elkaar uit moeten leggen.
• Door het praten over de eigen kennis is er sprake van bewuste kennis en daardoor is reflectie op de kennis zelf mogelijk.
• De leerkracht zou een andere taak op zich moeten nemen: het ontwikkelen en voortdurend bijstellen van een leeromgeving die elke leerling in staat stelt en inspireert tot het ontwikkelen van kennis.
• Ik wil dat de leerkracht de leeromgeving zo inricht dat de leerlingen zelf kennis ontwikkelen. Het vakinhoudelijk denken moet bij de lerende liggen en het pedagogisch en didactisch denken bij de leerkracht.
• Leerkrachten moeten over een zogenaamd ‘dubbele focus perspectief’ beschikken. Dit wil zeggen: ze moeten het rekenen door het brein van de lerende bekijken en tegelijkertijd het brein van de lerende door het rekenen bekijken.
• Wat is wiskunde ? Volgens mij gaat het niet om het oplossen van wiskundige problemen, maar veel meer om het ontwikkelen van wiskundige theorieën. Kinderen zijn daarin niet anders dan professionele wiskundigen, want voor hen gaat het ook om wiskundige theorievorming. Evenals bij professionele wiskundigen kost het ontwikkelen van wiskundige theorieën tijd. Die tijd moeten onderwijsgevenden kinderen gunnen.

 

Jo Nelissen (Freudenthal Instituut)

[Gaat oefenen vooraf aan begrip?] [e-mail discussie met de Rekencentrale] [Misverstand over contexten oefenen en begrip] [Kinderen die niet leren rekenen]

• We leerden vroeger dat delen door een breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde is. Ik heb echter zelden of nooit een leerling meegemaakt die deze formule begreep. Je kunt je ook afvragen hoe nuttig het is om een som als 7/12 : 2/3 te moeten maken.
• Zeker, standaardalgoritmen zijn technisch en historisch gezien mooie uitvindingen. Dat is ook de formule voor breukrekenen: “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Ik heb echter zelden een kind (en zelfs volwassene) ontmoet die begreep waarop deze formule is gebaseerd. Namelijk op de relatie tussen maat, grootheid en getal. Een beker van een halve liter (maat) past 2 maal (getal) in een beker van één liter (grootheid). Dus: 1 : 1/2 = 2.
• Onlangs kwamen enkele bij het onderwijs betrokkenen aan het woord die het standpunt verdedigden dat je in het reken-wiskunde onderwijs niet moet streven naar begrip. Het is volgens hen effectiever om vaak de vereiste vaardigheden te oefenen, het begrip volgt dat vanzelf. Wat ik niet snap is hoe men erbij komt dat het veelvuldig oefenen van vaardigheden de basis kan zijn van begrip. Ik ken geen enkel leerpsychologisch onderzoek waarin voor deze stelling steun kan worden gevonden.
• We leren de leerlingen tafels op school en als het goed gaat onthouden ze deze sommen. Dan kunnen ze bij de som ‘3 × 4’ snel het antwoord 12 geven. Voor veel kinderen is dit echter niet meer dan een uit het hoofd geleerd versje. Voor hen krijgt een dergelijke opgave pas betekenis als hij geplaatst wordt in een begrijpelijke context als: ‘Er zitten 4 tennisballen in een blik. Ik heb 3 blikken. Hoeveel tennisballen heb ik?’
• We moeten om het geleerde ordelijk te kunnen opslaan ook begrijpen wat we opslaan. Wie niet begrijpt wat hij moet opslaan, zal last krijgen van tijdrovende speurtochten naar kennis die willekeurig en gefragmenteerd is opgeslagen.
• Een eenzijdige, sterk mechanistische didactiek kan de oorzaak zijn van dyscalculie. Er is hier sprake van ernstige ‘didactische verwaarlozing’.
• Zo vertelde een Pabo-studente eens dat ze letterlijk vlekken voor haar ogen kreeg als ze al vermoedde dat er gerekend moest worden. Zij kon en wilde absoluut niet meer rekenen, de motivatie was door angst en gebrek aan zelfvertrouwen ernstig aangetast.

 

Henk van der Kooij (Developer wiskunde-curriculum voor het voortgezet onderwijs bij het Freudenthal Instituut. Bestuurslid NVvW)

[Veel docenten zijn rekenschuw]

• ‘Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Dit is een stompzinnige regel zonder betekenis.
• Eind 2005 waren de slechte rekenaars opeens een issue in de politiek. Wij waren daar al veel langer mee bezig maar eigenlijk was niemand geïnteresseerd. Het is een terugkerende ergernis. De politiek neemt besluiten zonder te luisteren naar adviezen van deskundigen.
• Ik heb Jan van de Craats ook vergeleken met Geert Wilders en Rita Verdonk: beiden gericht op de onderbuikgevoelens van eenvoudige burgers. Door met simpele kreten het gevoel te geven dat alle problemen erg zijn, maar met simpele oplossingen zijn te verhelpen.
• Ik ken Jo Boaler en Jeremy Kilpatrick persoonlijk. Beiden zijn in de internationale wiskundeonderwijswereld hoog gewaardeerd. Jo Boaler wordt in haar werk tegengewerkt door een paar ‘math war’ personen binnen haar eigen universiteit. Ik vindt de activiteiten van de ‘math war’ people in Amerika in veel opzcithen vergelijkbaar met de manier waar Joost Hulshof, Jan van de Craats, Ben Wilbrink, Henk Pfalzgraff en wellicht nog vier andere personen menen een land/de wereld te kunnen inrichten volgens het model van een zeer aggressief werkende, selecte, absolute minderheid van achterhoedevechters. Wanneer gaan jullie eens beseffen dat je daarmee de overgrote meerderheid van volwaardige burgers van Nederland en de rest van de wereld niet dient? Of ligt de waarheid bij de kleine elite van andersdenkenden die het lef hebben om de grote massa voor te schrijven hoe de ideale wereld eruit moet zien? Probeer dan a.u.b. maar eerst het systeem van democratie om te buigen naar een dictatoriaal systeem zoals dat van Hitler en andere ‘grootheden’ in de geschiedenis. En schiet iedereen af die niet in jullie ‘narrow-minded’ wereldje past. ‘The Wall’ van Pink Floyd beschrijft op een indringende manier waar dat toe kan leiden. Een waar schrikbeeld.

 

Paul Drijvers (Freudenthal Instituut. Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde. Toetsdeskundige bij CITO. Secretaris van de vernieuwingscommissie cTWO)

Drijvers heeft meegewerkt aan de invoering van de grafische rekenmachine in het onderwijs.

Drijvers is betrokken bij de invoering van de Wiskundige DenkActiviteiten, zie [WDA]

[Algebraïsche vaardigheden, symbol sense en ICT] [Context abstractie en vaardigheid in schoolalgebra] [Denken over wiskunde, onderwijs en ICT]

• De integratie van ICT in het wiskundeonderwijs (denk ook aan de grafische rekenmachine) vraagt om een herbezinning op de rol van algebraïsche vaardigheden.
• Al met al is de verwachting dat de leerling door de beschikbaarheid van ICT minder afhankelijk zal worden van de beheersing van elementaire algebraïsche vaardigheden, die dus wat aan belang zullen verliezen.
• ‘Symbol Sense’ wil zeggen:
  • strategisch werken i.p.v. procedureel werken
  • globaal kijken i.p.v. lokaal kijken
  • algebraïsch redeneren i.p.v. algebraïsch rekenen
• Symbol sense is voor algebra wat number sense is voor rekenen: een veelzijdig ‘gevoel’ voor symbolen, formules en expressies. Misschien zou ‘Algebraic literacy’ nog wel duidelijker zijn.
• Zijn algebraisch redeneren en symbol sense niet wat we nastreven in ons wiskundeonderwijs?
• Het geïsoleerd oefenen van basisvaardigheden brengt het gevaar met zich mee dat symbol sense vaardigheden onderbelicht blijven. Het gevolg is dan dat leerlingen de algebra niet kunnen toepassen, de oplossingsmethode niet overzien of niet met een stapeling van basisstappen kunnen omgaan.
• Kennelijk is men het erover eens dat het gebruik van ICT een beroep doet op hogere algebraïsche vaardigheden, zeg maar symbol sense. Terwijl elementair werk kan worden uitbesteed aan ICT, lijkt symbol sense belangrijker te worden.
• Samengevat lijkt het met het oog op het toenemend ICT-gebruik goed om aandacht te besteden aan de ontwikkeling van symbol sense, desnoods ten koste van elementaire algebraïsche vaardigheden.
• Blind toepassen van algoritmen is niet zonder risico. Je zult toch ook moeten weten wat je moet doen als de situatie iets van de standaardsetting afwijkt of als je een onverwacht resultaat vindt. Bovendien, hoe zijn die standaardalgoritmen ooit ontdekt? Toch door mensen die bereid waren de ongebaande paden van het denken te betreden? En is het nut van wiskundeonderwijs voor velen, die in hun verdere leven wiskundige toepassingen niet nodig zullen hebben, niet vooral gelegen in het ‘leren denken’? Wiskunde voor denkers dan maar?
• Algebra doet zich voor in situaties. Daarmee vormen contexten de bron, de aanleiding en de legitimatie van de algebra. Het is onterecht en gekunsteld om die aanleiding te negeren. Het uitstellen van toepassen ‘tot later’ is niet motiverend en evenmin productief. Contexten, in bovenstaande zin opgevat, bieden de leerling grond onder de voeten en zijn het vertrekpunt voor algebra.
• Omdat abstraheren zo complex is, kun je er niet mee beginnen. Het moet uit een context ontstaan.
• Contexten buiten beschouwing laten en meteen insteken op het abstracte niveau is een heilloze weg: voor veel leerlingen is dit niet haalbaar en bovendien leidt het tot manipuleren in een algebrawereld die voor hen geen betekenis heeft.
• WDA (Wiskundige Denkactiviteiten) zit aan de symbol sense kant van algebraïsche vaardigheid.
• WDA’s moeten geen geïsoleerde opgaven zijn die je tussendoor een keer doet. Dit soort opgaven moet worden geïntegreerd in het hele lesgebeuren.
• Het is van belang dat in de les ook opgaven aan de orde komen die uitnodigen tot wiskundig denken. Dus niet alleen reproductie, of het probleem in deelstapjes opdelen zodat er niet gedacht hoeft te worden.

N.a.v. de kritiek op het wiskunde-onderwijs:

• Ik wil allereerst een ergernis kwijt. Twee jaar geleden heeft hoogleraar Ruud Schotting een oratie gehouden, waar hij een exemplaar van de TI-83 kapot heeft gemaakt, vergezeld van de uitspraak dat de rekenmachine een ramp is voor het onderwijs. Ik heb de hoogleraar gevraagd of hij dit kan aantonen.
• De afgelopen tijd is er vanuit het hoger onderwijs vooral geklaagd dat aankomende studenten wiskundige vaardigheden niet onder de knie hadden. Die klacht is serieus genomen. Maar het gevaar bestaat dat we nu doorslaan. En dan wordt er over een tijdje weer geklaagd dat ze niet meer weten wat ‘echte wiskunde’ is, dat ze de theoretische concepten niet kennen en niet meer kunnen redeneren.
• NRC besteedt veel aandacht aan het PISA-onderzoek. Jammer dat de NRC zo veel ruimte geeft aan zelf-benoemde deskundigen. Voor wiskunde zou de schuld zijn van het realistisch onderwijs, zou de staartdeling terug moeten komen, en zou de oplossing liggen in directe instructie. Dat is allemaal te kort door de bocht of zelfs onjuist. De bewezen effectiviteit van directe instructie staat op dit moment sterk ter discussie in de internationale wetenschappelijke gremia. (2023)

 

Dolly van Eerde (Medewerker Freudenthal Instituut)

van Eerde deed onderzoek naar taal in de reken-wiskundeles.

[N.a.v. de kritiek dat de wiskunde o.i.v. het Freudenthal Instituut te talig is geworden] Het leren van wiskunde betekent op een bepaalde manier met elkaar communiceren in een bepaalde taal. De taal beïnvloedt de wiskunde, en omgekeerd. De Maori’s hebben een andere wiskunde dan wij omdat ze een andere taal spreken. Ze spreken Maori-taal en hebben Maori-wiskunde.

_______________________________________________________________________

Het Freudenthal Instituut en de PABO

 

Marc van Zanten (Docent rekenen/wiskunde op de PABO Hogeschool Edith Stein. Medewerker Freudenthal Instituut)

[Over de muurtjes heen kijken (Landelijk expertisecentrum voor de lerarenopleiding rekenen en wiskunde)]

• Ik onderzocht onlangs hoe lang er al wordt geklaagd over de rekenvaardigheden van de pabostudent. Ik kwam terecht in 1967. Toen werden er al kanttekeningen geplaatst bij kwekelingen, afkomstig van de hbs.
• Studenten die moeite hebben met rekenen, openen ook de blik van studenten die daar wél goed in zijn. De rekenwonders realiseren zich daardoor beter dat er als ze voor de klas staan, kinderen zijn die zwak zijn in rekenen. Tegelijk kunnen de rekenzwakke pabostudenten zich als onderwijzer waarschijnlijk goed inleven in de leerlingen die moeite hebben met rekenen.
• Maaike is een eerstejaars PABO-student. Zij loopt stage bij meester Joost in groep 7. De eerste stagedag al vertelt ze hem dat rekenen ‘een ramp’ zal worden, daar kan ze zelf niets van, dus de rekenlessen moet hij maar zelf doen. Joost neemt daar geen genoegen mee. Bij de eerste rekenles van Maaike is Joost blij verrast. Maaike laat de kinderen hun oplossingen aan elkaar vertellen. Ze zet oplossingsstrategieën op het bord. Ze bereikt zo, zeker voor een eerstejaars, een hoog niveau in haar les. Maaike heeft zelf helemaal niet in de gaten dat ze goed bezig is.
• Praktijksituaties waar instructie bij rekenen voornamelijk het karakter heeft van betekenisloos en trucmatig voor‐ en nadoen komen nog frequent voor. Zoals alle startende studenten heeft Ada vanuit haar eerdere rol als leerling een bepaald beeld van rekenonderwijs. Maar al te vaak is dit een versimpeld en mechanistisch beeld: de leraar is degene die de leerstof overdraagt en de leerlingen leren door daarnaar te luisteren. Dit verklaart mede waarom Ada haar les geslaagd vindt; zij heeft immers haar verhaal gehouden en de leerlingen hebben daar naar geluisterd. Dat er vanuit het vakdidactisch perspectief veel op een dergelijke instructie valt af te dingen, ontgaat haar nog.

Uit ‘Rekenen-wiskunde op de basisschool‘:

• Het sociaal-constructivisme vat leren rekenen op als een leerproces van in overleg en samenspraak met anderen, zelf opbouwen (construeren) van kennis. Het idee is dat kinderen belangrijke ontwikkelingen en ideeën van de wiskunde als het ware zelf ontdekken. Dit proces wordt ook wel geleide herontdekking genoemd en kan plaatsvinden als kinderen nadrukkelijk worden gestimuleerd tot (zelf) wiskundig denken.
• De invloed van het sociaal-constructivisme is in het reken-wiskundeonderwijs terug te zien doordat contexten niet alleen worden gebruikt om geleerde rekenvaardigheid toe te passen, maar ook als bron voor de ontwikkeling van reken-wiskundige kennis.
• Dit vraagt van de leerkracht inzicht in het denken en redeneren van kinderen, inzicht in het lange termijn perspectief van verschillende oplossingsstrategieën en bovendien overzicht op (langlopende) leerlijnen.

[Verslag van de Panama Conferentie Rekenen-wiskunde 2019]

• Wiskunde speelt een rol bij tal van sporten, zoals het poolen, darten en voetballen. Daar doen spelers wiskunde, terwijl ze tegelijkertijd met het spel bezig zijn.
• Ik verzet me tegen stappenplannen om wiskundige problemen op te lossen, omdat daarbij geen sprake is van nadenken over wiskundige problemen. Er wordt dan geen wiskunde ‘gedaan’.
• Ik stel kritische vragen bij het idee dat wanneer kinderen betekenisloos wiskunde leren, die betekenis daarna vanzelf zou komen.

 

Wil Oonk, Marc van Zanten, Ronald Keijzer (Medewerkers Freudenthal Instituut)

[Gecijferdheid, 4 eeuwen ontwikkeling (2007)]

• De uitdrukking ‘Volgens Bartjens’ typeert het rekenonderwijs uit die tijd en de eeuwen daarna. Inzicht geven vond men zonde van de tijd. Opvallend is dat het rekenen ‘Volgens Bartjens’ – we zeggen nu ‘mechanistisch rekenen’ – eeuwenlang stand wist te houden, in feite tot in de jaren zeventig van de vorige eeuw.
• Vanaf de jaren zeventig van de vorige eeuw veranderde, ook internationaal, het idee over hoe mensen rekenenwiskunde leren of, meer algemeen, hoe mensen leren.
• Het leren van wiskunde – in ieder geval in de basisschool – betekent het (begeleid) heruitvinden van wat anderen lang geleden bedachten. In de basisschool moeten leerlingen daarom in situaties gebracht worden die ze optimaal in staat stellen om beoogde uitvindingen te doen. Deze situaties zetten de lerenden op het spoor van exploreren van de wiskunde.
• Maatschappelijke situaties zijn essentieel anders dan enkele jaren geleden. Ze vragen om andere wiskunde en het ligt daarom voor de hand dat de gewijzigde maatschappelijke realiteit in de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs zichtbaar wordt.

 

Marjolein Kool (Ze studeerde Nederlandse Taal- en Letterkunde. Pabo-docente reken- en wiskundedidactiek. Projectleider zOEFi bij het Freudenthal Instituut. Hoofdredactrice ‘Volgens Bartjens’. Ze is lid van de onderzoeksgroep van ELWIeR, het expertisecentrum voor lerarenopleiders wiskunde en rekenen)

*Realistisch reken-wiskundeonderwijs op de basisschool*

• Regeltjes aanleren of een vaste oplossingsmanier inslijpen door middel van lange rijen kale sommen, dat gebeurt niet meer op de basisschool.
• Kinderen gaan met elkaar in gesprek, luisteren naar elkaars ideeën en komen zo vanzelf weer op nieuwe ideeën.
• Opgave: 6 × 249. Er zijn verschillende mogelijke uitwerkingen, 6 × 250 – 6 × 1 is de handigste. Misschien kunnen de kinderen zelf nog een paar vergelijkbare sommetjes verzinnen om deze handige aanpak nog eens extra te oefenen, dan worden ze zich meteen goed bewust voor welke sommen deze strategie geschikt is. Er worden dus op de basisschool wel degelijk strategieën ingeoefend, maar daanaast krijgen kinderen de ruimte om zelf een eigen aanpak te kiezen. Op deze wijze worden ze flexibele rekenaars, die thuis zijn in de getallenwereld, allerlei rekenstrategieën kennen en zich bij elke som opnieuw afvragen: ‘Wat is in dit geval de handigste aanpak?’
• Wat kun je nou doen, als wiskundeleraar, als het sommetje 7½ : ¾ nog steeds grote problemen oplevert in de brugklas? Dan jeuken je handen toch om even snel het regeltje te leren: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’? Even trainen met een paar voorbeeldsommen en dan gauw verder. Tja, ik kan me voorstellen dat de verleiding groot is, maar misschien kunt u het toch eens op een andere manier proberen. Zet het vraagstuk in een context: Iemand heeft zelf 7½ liter wijn gemaakt en nu wil hij flessen gaan vullen. In elke fles gaat ¾ liter. Hoeveel flessen kan hij vullen? Daar zal geen leerling voor terugschrikken. U moet dan echter zelf niet terugschrikken voor de verschillende oplossingsmanieren op verschillende niveaus, die de kinderen zullen aandragen.
• De Landelijke Kennistoets vereist naast basiskennis ook denkvaardigheden van een hogere orde. Je wilt aan kunnen sluiten bij de gedachtenkronkels van leerlingen, hun ideeën en oplossingsmanieren begrijpen. Daarvoor moet je ervaren hoe het is om een ‘nieuw’ probleem op te lossen en hoe je dat aan zou kunnen pakken.

N.a.v. de kritiek op het rekenonderwijs:

• Het realistisch rekenen was aanvankelijk zo succesvol dat aan het eind van de twintigste eeuw alle rekenmethodes realistisch waren. Enkele jaren geleden ontstond een tegenbeweging die beweerde dat de rekenprestaties van kinderen sterk waren verslechterd en dat de oorzaak het realistisch rekenen zou zijn. De discussie leverde zo veel bagger op, men reageerde zo negatief – vanuit de onderbuik – dat we dit hebben opgegeven.
• Hoe moet ons rekenonderwijs er over enkele jaren uitzien? Cijferende kinderen of flexibel rekenende kinderen? Moet het handig rekenen afgeschaft worden?
• Ons rekenonderwijs haalt de laatste tijd regelmatig de voorpagina van de krant. Wat is het toch jammer dat de pers altijd staat te trappelen om negatief nieuws voor het voetlicht te brengen terwijl positieve zaken nauwelijks in de schijnwerpers komen.
• ‘Leer kinderen cijferen, dat is genoeg’, aldus de kritiek.

*Talen naar rekenen en rekenen op taal*

• Als het gaat om het oplossen van non-routine rekenopgaven, opgaven waarbij kinderen zelf een oplossingsmanier construeren, is het van belang dat leerlingen daarover met elkaar in gesprek gaan. Dat vereist een adequate rekentaal waarmee ze hun rekenideeën kunnen verwoorden en die van anderen kunnen begrijpen.
• Het valt niet mee om leerlingen te leren denken, maar gelukkig kunnen ze veel leren van en met elkaar.
• Stel open vragen die hogere cognitieve taalfuncties uitlokken en het denken stimuleren. Leer kinderen dat bij rekentaal ook tekeningen, schema’s, modellen, structuren, getallenlijnen en pijlen horen.

Kool was lid van de onderzoekscommissie van de KNAW die onderzocht wat beter was: realistisch of traditioneel rekenen. De commissie concludeerde dat het niks uitmaakt.

• Als je 6 keer 8 moet uitrekenen en je weet niet dat het bv. gaat om 6 keer 8 koeken dan heb je aan de uitkomst nog niks.

 

Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut. Werkzaam op PABO Hogeschool InHolland)

[Kolomrekenen en cijferen: hoe nu verder?][Hoe Juliette en Jonas leren rekenen] [Geen catechismus leren, maar nadenken]

• Als je goed rondkijkt in de scholen, zie je dat er onevenredig veel tijd wordt besteed aan het oefenen en inslijpen van kolomprocedures. Sommige scholen gaan in groep 7/8 de kolomprocedures zelfs nog vervangen door ons traditionele van rechts naar links cijferen. Dat kan toch niet de bedoeling zijn! Deze vaardigheden heb je later helemaal niet nodig! Het procedurele rekenen (kolomsgewijs en cijferend rekenen) loopt in zekere zin op z’n laatste benen. Wij zijn van mening dat verdere terugdringing van de onderwijstijd voor dit nog altijd dominante leerstofgebied dringend gewenst is.
• Er wordt in mijn ogen nog veel te veel aandacht aan het cijferen geschonken. We zouden met veel minder toe kunnen. Met boerenverstand, met ‘rijgen’ en als je verstandig gebruik maakt van een rekenmachientje, hoef je helemaal geen andere of betere algoritmen te leren. Toch kun je dat kolomsgewijs rekenen wel veel nageven. Van links naar rechts, grote happen eerst. Niet tegen de leesrichting in en veel mogelijkheden tot meerdere of mindere verkortingen. In mijn ogen zeker niet als opstap naar de traditionele algoritmen. Daar maak je het alleen nog maar moeilijker mee.
• We danken de ‘van rechts naar links’-werkwijze in onze traditionele cijferalgoritmen aan de Arabieren. En dat is voor ons en onze kinderen niet logisch.
• Onze traditionele cijferalgoritmen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen hebben, als ultieme verkortingen hun uiteindelijke vorm gekregen in de zeventiende eeuw vooral ten behoeve van de handel.
• Er zijn geen argumenten voor de traditionele staartdeling.
• De oude cijferalgoritmen hebben niet veel betekenis voor het wiskundeonderwijs in het voortgezet onderwijs of voor later.
• Het cijferen, dat we vroeger leerden, heeft z’n betekenis verloren. Er is geen beroep meer waar je dat nog voor zou moeten kunnen.
• Het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!
• Bij kinderen merk je dat voor- en nadoen een manier is waarmee je in het leven veel kunt leren. Gaat het bij rekenen ook zo? Nee: het is geen vak waarvoor je allerlei recepten moet leren en toepassen.
• 345 x 729. Dat doe je toch met een rekenmachientje. We gaan in deze tijd toch geen twee getallen van drie cijfers algoritmisch vermenigvuldigen. 83218 : 37. Weer een voorbeeld met te grote getallen. Deze deling gaat natuurlijk veel eenvoudiger met een rekenmachientje. [2008]
• Van de Craats zegt in zijn lezing: ‘Voor elk van de vier hoofdbewerkingen is er één universeel werkend recept.’ ‘Was het leven maar zo eenvoudig’, is mijn reactie.
• Als Van de Craats en co hun zin krijgen ontstaan hier Amerikaanse toestanden waar kinderen zelfs 7 + 8 onder elkaar uitrekenen.
• Het lijkt erop dat Van de Craats, getuige zijn lezing op de Panama-conferentie, de ontwikkelingen in de tijdsspanne 1970-2007 niet heeft gevolgd. Nu zijn kleinkinderen op de basisschool zitten, verbaast hij zich echter over alle veranderingen die er in die 35 jaar hebben plaats gevonden.
• This article comments on Van de Craats’ arguments: he bases his statements on superficial, incomplete, and one-sided perceptions and clearly shows he lacks knowledge of research and developmental work on mathematics education over the last thirty years.

N.a.v. kritiek op de gebrekkige cijfervaardigheid van leerlingen (Het gaat nog steeds om dezelfde Willem Uittenbogaard):

• Wie de moeite neemt om de huidige realistische methodes erop na te slaan, ziet direct dat bijna op elke pagina rijtjes sommen staan, dat van de leerlingen verwacht wordt dat ze de tafels paraat hebben en dat er gewoon met de staartdeling cijferend gedeeld wordt. [2011]

 

Jan van Stralen (Docent PABO Amsterdam/Alkmaar. Medewerker Freudenthal Instituut)

• Ik kocht bij een groot warenhuis een bureau van f 650,-. Achteraf bleek het bureau echter voor f 585,- in de aanbieding. Ik werd verwezen naar de klantenservice, waar een mevrouw me vertelde dat ik het teveel betaalde geld terug kreeg. Ze keek naar de bedragen, rommelde wat onder de balie, verontschuldigde zich, verliet de ruimte en kwam na enige tijd terug. Ze had de oplossing voor haar probleem meegenomen: een rekenmachine. Ze typte beide bedragen in en verklaarde dat ik 65 gulden terug kreeg. Vanaf die tijd heb ik mijn zwakke leerlingen niet meer lastig gevallen met het aanleren van cijferend aftrekken onder elkaar.
• Een goede vierdejaarsstudent bedrijfskunde worstelt met de opgave 5 * 0,4 als zijn rekenmachine hem ontfutseld is. Deze student functioneert met rekenmachine prima en verdient een hoog cijfer voor zijn werkstuk.
• Mijn oudste zoon, inmiddels geslaagd voor het vwo met een ruime voldoende voor wiskunde, pakt bij een opgave als 1 : 0,2 meteen zijn rekenmachine. De rekenmachine heeft de maatschappelijke functie van het cijferen overgenomen. Dat moge duidelijk zijn. Waarom dan nog leren cijferen?
• Ik snap niet waar Van de Craats het over heeft als hij zegt dat herinvoering van het cijferen goed zou zijn voor zwakke leerlingen. Ik werk nu alweer meer dan 15 jaar op een pabo en kom eigenlijk nog steeds hetzelfde tegen bij zwakke rekenaars: moet je die breuken nu gelijknamig maken of moet ik deze omkeren? Hoe moet ik ook alweer aanhalen bij die deling? Als nu mijn studenten net als vroeger mijn leerlingen, ruimte krijgen om zelf na te denken en hun eigen oplossingen te vinden, gaat er een wereld voor hen open: ze begrijpen waar ze mee bezig zijn! Ze ervaren dat rekenen-wiskunde niet bestaat uit trucjes en rekenregels, maar dat het een kwestie is van gezond verstand.

 

Belinda Terlouw (Projectleider ‘Speciaal Rekenen’ aan het Freudenthal Instituut en Pabo-docente in Zwolle)

[Realistisch rekenen is niet zo dogmatisch] [A more beautiful question]

• De Stichting Goed Rekenonderwijs verspreidt ongerustheid over het Nederlandse rekenniveau en dat vind ik op twee manieren verkeerd. Allereerst is gebleken dat we het in internationaal opzicht helemaal niet zo slecht doen. Ten tweede wordt ons, het Freudenthal Instituut, deze vermeende achterstand in de schoenen geschoven.
• Mariska Milikowski vertelde in het artikel dat ze kinderen heel snel leerde vermenigvuldigen door tafels te stampen. Ik weet een andere snelle methode: ik ben een keer met de kinderen naar de supermarkt gegaan en heb ze in één morgen leren vermenigvuldigen! Ze kregen daar de essentie van het vermenigvuldigen door. Als een kind dat niet begrijpt, kan het misschien wel de tafels opzeggen, maar als je dan vraagt ”Wat is 6 x 12?”, zeggen ze: “Dat hebben we nog niet gehad”.
• Als een kind niet in staat is om 5 x 7 = 35 uit te rekenen en je houdt het maar steeds voor -via de tafels- dat het 35 is, dan behaal je een schijnresultaat. Dan zegt het netjes op commando 35, maar kan het dan ook zeggen hoeveel 5 x 27 is, heeft het daar dan de vaardigheden voor? Daar heb je een cognitief netwerk voor nodig dat eerst in je hoofd moet worden gevormd.
• Een trucje gebruik je bij vierentwintig drie-dertiende gedeeld door zevenvijftiende, als dat überhaupt een opgave is die je ooit tegenkomt. Maar als bij ‘normale’ rekenopgaven op basisschoolniveau een trucje het zicht beneemt op wat je eigenlijk aan het doen bent, kan het ook tot grote misverstanden leiden, zelfs bij sterke rekenaars.
• Uit onderzoek is gebleken dat door het verwoorden van en reflecteren op denkprocessen, kinderen zich bewust worden van wat ze hebben gedaan. Op cruciale leermomenten is het heel belangrijk dat kinderen de ontdekkingen die ze hebben gedaan, delen met andere kinderen. Mij gaat het erom dat het kind zelf mag leren denken.
• Doen onze vragen recht aan het creatieve denkvermogen van kinderen en nodigen zij hen voldoende uit om een kritische en onderzoekende houding aan te nemen? Wat doet het met het zelfvertrouwen van kinderen als ze voortdurend hun best moeten doen om het juiste antwoord te geven op onze vragen.
• Een goede leerkracht is nieuwsgierig naar hoe kinderen denken en vertrouwt op de ontwikkelkracht van kinderen. Hij daagt ze uit zelf te denken en hun vragen te stellen.
• Uit interviews met leerlingen blijkt dat ze tijdens de les vaak moeten wachten, dat ze weinig nieuwe ontdekkingen doen en veel moeten nadoen.

Uit *Openingslezing van Belinda Terlouw op de 5e Nationale Rekencoördinator Dag op 9 maart 2018*

Het rekenonderwijs nu:

• Saai, alleen maar sommen maken, steeds hetzelfde
• Nadoen wat wordt voorgedaan
• Niet zelf mogen denken
• Veel luisteren, veel wachten
• Veel stilzitten

Wat moet er veranderen:

• Meer SAMENWERKEN!!!!
• Betekenisvoller
• Eerder aan het werk, minder instructie, minder voordoen
• Aan het denken worden gezet – Uitdaging
• Actief leren
• Meer bewegen
• Meer spel
• Elkaar helpen
• Meer ruimte en meer vrijheid; zelf keuzes mogen maken
• Onderzoekend bezig zijn, creatief leren

Toekomstwensen:

• Geen klassikaal systeem
• Geen gesloten ruimtes
• Handig gebruik van technologie, Virtual Reality, Hologrammen, Teleportatie
• Ideeën mogen bedenken
• Werkplaatsen om ideeën uit te voeren

_____________________________________________________________

Het Freudenthal Instituut en Pseudoscience

Zie hiervoor [Pseudoscience] Embodied Cognition:

Marja van den Heuvel-Panhuizen, Mara Otten, Michiel Veldhuis, Mara Otten, Carolien Duijzer, Arthur Bakker.

________________________________________________________________

Zie ook: *Kritiek op het Freudenthal Instituut*,    *Vernieuwers aan het woord (1): Citaten*,  *Vernieuwers aan het woord (2): Kees Hoogland*,   *Vernieuwers aan het woord (3)*