Uitspraken (Rekenen)

*Uitspraken-blogs*

---

Vernieuwers aan het woord (3)

 

Mieke van Groenestijn (Lector ‘Gecijferdheid’ aan de Hogeschool Utrecht. Ze studeerde onderwijskunde en orthopedagogiek. Ze was bestuurslid bij NVORWO)

Mieke is hoofdauteur van ‘Wizwijs’, een nieuwe reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs. Ze was projectleider  ‘Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie’, in *dit blog* besproken.

Mieke verstaat de kunst om eenvoudige zaken heel complex te maken.

[Kinderen leren rekenen] [Inaugurale rede] [Scholen zeer actief aan de slag met rekenen] [Zwakste leerling heeft recht op beste rekenleraar]

• We maken geen sommen in het dagelijks leven.
• In de winkel wordt er voor je gerekend. Je hoeft dat niet zelf te doen.
• Als het inzicht er maar is. En de berekening zelf kun je dan uiteindelijk best door een rekenmachine laten maken.
• Door alle technologische ontwikkelingen is de functie van het rekenen in de maatschappij minder zichtbaar. Neem de supermarkt. De waren zijn voorverpakt, we letten niet op het gewicht maar op de prijs; betalen doen we met de pas, niet met echt geld.
• Cijferen is hoofdrekenen op papier. Als leerlingen niet kunnen hoofdrekenen, dan kunnen we ze beter niet laten cijferen maar meteen een rekenmachine geven.
• Leerlingen dit niet tot het korste algoritme komen, die blijven hangen op tussenstappen, kunnen we maar beter meteen een rekenmachine geven, want dan hebben we alle problemen in één keer opgelost.
• Een staartdeling bestaat eigenlijk niet uit delen. Dat denken we allemaal want het heet een staartdeling maar een staartdeling bestaat alleen maar uit vermenigvuldigen en aftrekken en dat is wel de grootste verassing die we kennen, want we blijven het hardnekkig een staartdeling noemen.
• Een staartdeling wordt moeilijk als hij niet uitkomt, want dan moet je nullen aanhalen die er niet zijn. Dan wordt het al helemaal een onduidelijk verhaal.
• Als u echt een eigen mening van me wilt horen: de staartdeling is overbodig geworden. Die is uitgevonden in een tijd waarin de rekenmachine nog niet bestond. Toen was de staartdeling de enige methode om een getal te delen door een ander getal. Nu hoeft dat niet meer. Maar kunnen we nu eindelijk eens stoppen met die discussies over realistisch rekenen? Ik vind dat echt een non-discussie. Onderwijs moet gericht zijn op de toekomst van onze kinderen. We kunnen ons afvragen of onze kinderen in de toekomst nog een staartdeling nodig hebben.
• Niet elke leerkracht kan de rekenproblemen van een leerling zelf oplossen en dat hoeft ook niet. Het gaat om teamdeskundigheid. En daar gaat het nu ook vaak mis. De zwakste leerling heeft recht op de beste leerkracht.
• De term ‘realistisch rekenwiskunde-onderwijs’ heeft een nare bijsmaak gekregen door de publieke discussies. Vanaf nu hebben we het alleen nog maar over ‘effectief en functioneel rekenwiskunde-onderwijs’.
• De huidige leerlijn rekenen in het basisonderwijs is topzwaar. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, cijferen, het metriek stelsel met decimale getallen, en dan nog eens breuken en procenten. Om deze lastige dingen goed onder de knie te krijgen, is het noodzakelijk dat deze vaardigheden in het voortgezet onderwijs verder worden ontwikkeld en geoefend. Dat is wat wordt bedoeld met doorlopende leerlijnen van de commissie-Meijerink.
• Omdat de Arabieren van rechts naar links lezen en schrijven, hebben wij van rechts naar links leren cijferen. Tegenwoordig leren de kinderen van links naar rechts cijferen en dat sluit beter aan bij het hoofdrekenen.
• Het probleem met het rekenen op school is dat rekenen uit een boek nauwelijks iets te maken heeft met het rekenen in het dagelijkse leven.
• Alleen vanuit het boek leren levert te weinig bagage op om rekenen te kunnen gebruiken in situaties buiten de school.
• Ons huidige onderwijs is gebaseerd op cultuuroverdracht van het verleden.
• Ernstige rekenwiskunde-problemen ontstaan als er onvoldoende afstemming wordt gerealiseerd van het onderwijs op de onderwijsbehoeften van de leerling.
• Veel rekenproblemen ontstaan doordat het onderwijs niet of onvoldoende is afgestemd op de leerbehoefte van een individuele leerling. Ik vraag me dan ook af wiens probleem rekenstoornissen zijn: die van het kind of van het onderwijs?
• Er is niets mis met het realistisch rekenonderwijs, als je het maar goed doet. De uitgangspunten van het realistisch rekenonderwijs zijn legitiem. De didactiek is goed. Het commentaar dat nu gegeven wordt, heeft betrekking op slechts enkele onderdelen.
• Realistisch reken-wiskundeonderwijs biedt ook een goede basis voor verdere ontwikkeling, dus voor studies op hoger niveau.
• Een timmerman heeft andere rekenvaardigheid nodig dan een verpleegster, een architect of een elektromonteur.
• Rekenactiviteiten zijn altijd leuker dan het maken van sommen. Rekenen moet je doen.
• Geef ouders vanaf het begin goede informatie over het rekenen. Laat hen op ouderavonden zelf kolomsgewijs optellen en staartdelingen maken. Laat hen zelf allerlei rekenactiviteiten doen, zoals bananen wegen. Doe dit minimaal 2 keer per jaar. En geef regelmatig een leuke opdracht of een spelletje mee naar huis, dus geen blad met sommen. Ouders moeten, net als hun kinderen, positieve ervaringen hebben met het onderwijs dat hun kinderen krijgen.
• Gecijferdheid draagt wezenlijk bij aan de ontwikkeling van ieder mens tot een uniek persoon.
• Functionele gecijferdheid is nodig in vrijwel alle beroepen. Ondanks de voortschrijdende ontwikkelingen op het gebied van computers, rekenmachines en slimme machines voor specifieke beroepen zullen volwassenen altijd zelf moeten kunnen bepalen welke berekeningen in specifieke situaties uitgevoerd moeten worden en hoe zij daarvoor machines moeten instellen of programmeren.
• Voor het rekenen met volwassenen heeft men veel van het realistisch reken-wiskundeonderwijs in het reguliere onderwijs geleerd, maar andersom kan het reguliere onderwijs ook veel leren van volwasseneneducatie.
• Het doel van rekenwiskunde-onderwijs is niet het kunnen rekenen op zich, maar het ontwikkelen van bruikbare rekenwiskundige kennis en vaardigheden, ofwel ‘functionele gecijferdheid’.
• Ik komt tot de volgende definitie van functionele gecijferdheid: ‘Kennis en vaardigheden die nodig zijn om adequaat te kunnen handelen in persoonlijke, maatschappelijke en aan werk gerelateerde reken-wiskundige situaties, in combinatie met het vermogen om die kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij die gedomineerd wordt door kwantitatieve informatie en technologie.
• Werkelijke gecijferdheid is een heel complex proces. Iemand is gecijferd als
  • hij beschikt over een set van elementaire rekenwiskundige kennis en vaardigheden als basis om verder te kunnen leren met daarnaast specifieke rekenwiskundige vaardigheden afhankelijk van de individuele persoon, beroep en maatschappelijke positie
  • hij beschikt over competenties in het managen van rekenwiskundige situaties: hij heeft een algemene rekenwiskundige attitude ontwikkeld
  • hij kan betekenis geven aan getallen in hun context, kan beredeneren of getallen kloppen
  • hij kan situaties identificeren waarin een rekenwiskundige probleem of activiteit ingebed is
  • hij kan situaties analyseren en kan bepalen welke rekenwiskundige informatie aanwezig is en welke activiteiten nodig zijn om het probleem op te kunnen lossen of op andere wijze adeqaat kan handelen
  • hij moet kunnen communiceren over rekenwiskundige informatie en vraagstukken
  • hij kan effectieve beslissingen nemen op basis van berekeningen
  • hij heeft een onderzoekende houding ontwikkeld voor de betekenis van getallen in nieuwe situaties
  • hij heeft een reflectieve houding ontwikkeld om het eigen handelen te kunnen beoordelen op juistheid en effectiviteit
  • hij kan constructief samenwerken met anderen
  • hij heeft competenties in het verwerven van nieuwe rekenwiskundige vaardigheden
  • hij heeft inzicht in eigen rekenvaardigheden
  • hij kan verworven kennis en vaardigheden flexibel aanpassen aan nieuwe ontwikkelingen in zijn beroep
• Rekenen is naast taal een kernvaardigheid en daarom kan het niet alleen maar worden toebedeeld aan de docenten wiskunde. Alle docenten hebben ermee te maken en daarom hebben we gekozen voor een drieslag. Het basisniveau is voor alle docenten, zodat zij het belang inzien van rekenen en er in hun eigen vak iets mee kunnen. Het is van belang dat ze kunnen signaleren of leerlingen iets wel of niet snappen of kunnen, niet om het dan zelf uit te leggen, maar om het door te spelen aan een rekencoördinator of mentor. Het gevaar is namelijk groot dat docenten zo hun eigen manieren hebben om rekenonderdelen, bijvoorbeeld procenten, uit te leggen. Dat kan voor sommige leerlingen erg verwarrend zijn. Het derde niveau is dat van de rekencoach of rekenexpert die overzicht heeft over alles wat er in de school op het gebied van rekenen gebeurt. Het is de bedoeling dat de rekencoaches zelf een aantal taken oppakken, zoals het ontwikkelen van rekenbeleid. Daarnaast hebben ze een taak als adviseur en coach voor hun collega’s. Het zijn in de school dus echt de experts op het gebied van rekenen. Ze begeven zich op een voor de scholen nieuw en onbekend terrein.
• Interpersoonlijke en pedagogische competenties zijn voorwaarden voor het vakmanschap van elke docent. Binnen het thema REKENEN betekent dit dat elke docent:
  • er oog voor heeft dat leerlingen volop in hun rekenverwervingsproces zitten en rekenontwikkeling ziet als een dynamisch proces waarop zowel individu als omgeving grote invloed uitoefenen
  • het belang erkent van gecijferdheid voor de identiteit van elke leerling en groepen adolescenten
  • bekend is met aspecten van (interculturele) communicatie en een onderzoekende houding heeft t.a.v. zijn eigen communicatiepatronen
  • in klassen een prettig leerklimaat weet te scheppen waarin leerlingen zich veilig en gerespecteerd voelen,  fouten durven maken en uitgedaagd worden om optimaal hun capaciteiten te benutten.

 

Marian Kollenveld (Voorzitter van de Nederlands Vereniging van Wiskundeleraren)

• Ik noem het realistisch rekenen, ook namens de wiskundedocenten, een grote stap vooruit.
• Voorheen hebben we juist te veel leerlingen met de abstracte wiskunde belast. We staan er nu veel beter bij stil welke leerling welke wiskunde nodig heeft.
• De standpunten [over goed reken/wiskundeonderwijs] zijn minder ver uiteen dan in de hitte van de strijd lijkt. Iedereen wil namelijk hetzelfde: goed, zinvol en interessant onderwijs voor onze leerlingen.
• Voor zover het wiskundeonderwijs over de hele linie niet zo goed is als het zou kunnen zijn, komt dat niet door de onderwijsvernieuwing, het realistisch rekenen en de grafische rekenmachine, zoals Schotting stelt.
• De grafische rekenmachine is er, en hem verbieden omdat hij gebruikt wordt voor simpele rekenopgaven is net zoiets als een pleidooi voor een verbod op de auto omdat daar ook ritjes mee gemaakt worden die je kunt fietsen of lopen. Bij wiskunde B biedt de grafische rekenmachine mijn leerlingen iets wat ze daarvoor nooit hadden: zijn rekenkracht, bijvoorbeeld bij het berekenen van Riemannsommen.
• Vroeger, voor de alomtegenwoordigheid van heel goedkope rekenmachines, was het rekenonderwijs vooral mechanistisch. Het is voor een leerling op dit moment niet meer zo belangrijk om erg geoefend te zijn in dit soort opgaven. Belangrijk is nu om inzicht te  hebben in ‘orde van grootte’ en de structuur en volgorde van berekeningen te kunnen doorzien bij het oplossen van een rekenprobleem. Dit zijn hogere doelen dan de doelen voor mechanistisch rekenen.
• De leerkracht moet op een hoger niveau kennis en inzicht in de structuur van de getallen hebben dan vroeger. Dan is het kennen van het kunstje, hoe het moet, niet meer voldoende.
• Het Nederlandse wiskunde onderwijs is zelfs een exportartikel geworden.

In een brief aan het Ministerie van OC&W over de slechte resultaten van de rekentoets voor het voortgezet onderwijs:

• Wij zijn als wiskundedocenten niet vanzelfsprekend deskundig in het toetsen van rekenvaardigheid en de rekendidactiek.
• De kennis over de rekendi­dactiek komt van het onder­wijs dat de docent zelf heeft ontvan­gen op de basis­school of van hun eigen kinde­ren die op de basis­school zitten.
• Onze duurzame oplossing bestaat er uit, het rekenen in het vo te verankeren binnen de vakken met een kwantitatieve component – zoals aardrijkskunde, geschiedenis, economie, natuurkunde,scheikunde, biologie en wiskunde. Door in elk van deze vakken rekendoelen in het examenprogramma op te nemen krijgt het rekenen een vanzelfsprekende plaats binnen de context van die vakken en kan het ook daarin worden getoetst. Dat vraagt enige afstemming, opdat bijvoorbeeld de procenten bij economie in het hoofd van de leerling niet andere zijn dan die bij wiskunde. Het is een lange termijn oplossing, maar als de huidige praktijk ons iets leert is het wel dat je iets wat in enige decennia is ontstaan niet even snel met de korte klap kunt oplossen.
• Een andere “echte” oplossing zou zijn het examenvak rekenen in te voeren in het vo, met alles wat daarbij hoort, studielast, bevoegdheid etcetera. Los van al het gedoe dat dit met zich meebrengt wordt rekenen dan een apart, geïsoleerd vak, en dat is juist niet de bedoeling. Je moet niet leren rekenen om het rekenen, maar om er in je verdere leven in de maatschappij mee uit de voeten te kunnen.
• Er is nog onvoldoende systematisch nagedacht over hoe je pubers, en zeker die met een rekenachterstand, min of meer vrolijk en effectief aan het rekenen krijgt.

 

Anne van Streun (Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde en natuurwetenschappen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Voorzitter van de werkgroep rekenen in de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen)

[Het denken bevorderen (Inaugurele rede)] [De professie bedreigd of verrijkt door ict en studiehuis] [Hoe staat ons Nederlands wiskundeonderwijs ervoor]

• Aan het onderwijsmodel, gebaseerd op de rol van de docent als informatiedrager die kennis overdraagt, is in het voortgezet onderwijs een einde gekomen.
• In de zestiger jaren werd een andere onderwijsvisie ontwikkeld, die stelde dat het niet ging om het reproduceren van kant-en-klare wiskunde, maar om de wiskundige activiteiten zelf. Het ging in die wiskunde als menselijke activiteit om het zelf opsporen van verbanden en stellingen, het zelf kiezen en aanpakken van een wiskundige onderzoeksvraag, het zelf leren axiomatiseren van een deelgebied, het zelf mathematiseren van een realistische probleemsituatie, het zelf exploreren, vermoedelijke eigenschappen formuleren en die vervolgens proberen te bewijzen. Deze opvatting heeft nu in een bredere onderwijskundige kring ondersteuning gevonden in de constructivistische leertheorieën.
• De nadruk moet liggen op het zelf inductief ontdekken, exploreren, redeneren, modelleren, abstraheren en deduceren.  Deze opvatting heeft nu in een bredere onderwijskundige kring voor allerlei vakgebieden ondersteuning gevonden in de constructivistische leertheorieën. Kort gezegd komen die erop neer dat kennisoverdracht niet mogelijk is, maar dat kennis steeds opnieuw moet worden geconstrueerd door de lerende. Gebeurt dat laatste niet, dan is er geen sprake van zinvolle, geïntegreerde en functionele kennis, die wendbaar kan worden ingezet voor het oplossen van problemen. ‘Knowledge how’ is daarom veel belangrijker dan ‘Knowledge what’ (Polya).
• Bij het onderwijs in de wiskunde en natuurwetenschappen moet het niet voornamelijk gaan om ‘Weten dat’, maar veel meer om ‘Weten hoe’, ‘Weten waarom’ en ‘Weten over weten’.
• De roep “BacktoBasics” en de eis om terug te gaan naar eenvoudige onderwijsvormen, gericht op overdracht en oefenen, berust op een denkfout. De denkfout is dat onderwijs volgens het bedoelde model, het overdragen van kennis, het zogenaamde vullen van holle vaten, aan leerresultaten precies datgene oplevert wat je er in stopt. Het resultaat is fragmentarische kennis in kleine brokjes opgeslagen in het geheugen zonder enige onderlinge samenhang, met moeite op de eerstvolgende toets oproepbaar maar niet bruikbaar voor toepassingen, niet leidend tot transfer, om van creativiteit en het vermogen tot zelfstandig denken en toepassen maar te zwijgen. Dat type onderwijs leidt bovendien tot aversie tegen leren (Waar is dit goed voor?).
• Dankzij de wetenschappelijke kennis over informatieverwerking en de rol van de kennisschema’s van ons langetermijngeheugen begrijpen we beter waarom iets niet werkt. We begrijpen dat een didactiek van Voordoen-Nadoen-Oefenen niet leidt tot een blijvende leeropbrengst, omdat die [sic] routines los worden opgeslagen en na een tijdje niet meer adequaat kunnen worden opgeroepen.
• Het flexibel leren gebruiken van wiskundige kennis en methoden in verschillende contexten vereist een sterke samenhang in het cognitieve schema en (omvang)rijke chunks. Training op geïsoleerde rijtjes analoge opgaven versterkt de verbrokkeling in het lange termijn geheugen.
• Omdat de wiskunde haar oorsprong vindt in de realiteit en in het intuïtieve denken moet ook het wiskundeonderwijs daarvan uitgaan. Het gaat hierbij niet om de overdracht van kant en klare wiskunde maar om het werken aan ‘wiskunde in de maak’. Centraal in het wiskundeonderwijs moet de menselijke activiteit van het herontdekken van wiskunde staan.
• Rekenvaardigheden en natuurwetenschappelijke concepten functioneren heel vaak niet in contexten buiten de school. Omgekeerd worden het rekenen van de straat en gezond verstand niet verbonden met een meer formele of abstracte benadering in de school. Eveneens bekend is het onderzoek naar de systeemscheiding tussen de schoolvakken, waardoor de kennis opgedaan bij het ene vak niet wordt geactiveerd in het andere vak.
• Vaardigheden zonder begrip, zonder inzicht, daar heb je weinig aan.
• Het algebraïsch rekenen, dat tot voor kort zo’n grote plaats in het wiskundeonderwijs innam, kan steeds meer worden overgelaten aan software. Zoals de cijfervaardigheid als leerdoel op de basisschool is verdrongen door het handig rekenen met een rekenmachine, kan nu ook het wiskundig rekenen worden uitbesteed aan apparatuur.
• De invoering van de grafische rekenmachine in havo-vwo heeft veel algebraïsch rekenwerk overbodig gemaakt en een verschuiving tot stand gebracht in de oplossingsmethoden die leerlingen gebruiken.
• Van de Craats en de zijnen schuwen meestal de dialoog en brengen hun verhalen liever ongenuanceerd en rechtstreeks in de media.

 

 

Jaap Vedder (Voorzitter van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO). Voorzitter van de vaststellingscommissie rekenen 3F havo/vwo bij het College voor Examens)

Vedder werkte mee aan de protocollen ‘Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie’ (ERWD).

[Nog wereld te winnen in rekenonderwijs]

• De leraar heeft zelf veelal ‘formeel’ rekenen geleerd. Hij maakt breuken gelijknamig. Maar de leerling van nu is informeel ingesteld, die maakt breuken visueel met pizzapunten. Zo is het net of leerling en leraar allebei een vreemde taal spreken.
• Leraren in het vo en mbo weten vaak te weinig van de huidige didactiek van rekenen. Die is in de afgelopen decennia veranderd en daar moeten de lessen wel bij aansluiten.
• Een belangrijk onderwerp voor de NVORWO is de leven lange professionalisering van de basisschoolleraren op het gebied van rekenwiskundeonderwijs. Een opleiding tot leraar verschaft slechts een startbekwaamheid.
• Als scholen het protocol ERWD serieus nemen kunnen de rekenscores omhoog. Ook bij leerlingen waarvan nu gezegd wordt dat ze dyscalculie hebben.
• Rekenen/wiskunde op realistische wijze gegeven is essentieel om de belangstelling voor bèta en techniek te laten groeien.

 

Marja Meeder (Medewerkster onderwijsadviesbureau APS. Zij schreef samen met Kees Hoogland het boekje ‘Gecijferdheid in beeld’)

[Gecijferdheid en Wiskundige Geletterdheid]

• Je kunt perfect ongecijferd zijn met een hoog wiskundig diploma en omgekeerd.
• We zullen in ieder geval eens moeten inventariseren wat iemand als ‘gecijferdheid’ nodig heeft om te functioneren. De vraag stelt zich natuurlijk wie dat ‘iemand’ moet zijn: gaat het om een wiskundige of om ons allemaal. Momenteel zijn er instanties die die dingen vastleggen en die bepalen wat we allemaal op het eind van onze schoolloopbaan moeten kennen. We kunnen ons afvragen of dit wel zinvol/mogelijk/wenselijk is.
• Inventariseren van wat we nodig hebben, niet wat wiskundigen denken dat we nodig hebben, is heel belangrijk. Zo zullen we bijvoorbeeld moeten kunnen kloklezen, met de computer/GSM werken, omgaan met geld.
• Eigenlijk hebben we niet zozeer nood aan een verticale stapeling van wat we allemaal moeten kennen en kunnen. We moeten een paar competenties uitstippelen en dan komen naar horizontale transfer. We moeten een basiscurriculum maken dat heel beperkt is qua wiskundige context, maar dat zeer rijk is aan maatschappelijke inhoud en aan transferkansen.

 

Prof. dr. Bert Zwaneveld (Hoogleraar ‘Professionalisering van de leraar’ aan het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit)

• De vraag naar wat rekenen is, is de vraag naar de functie van rekenen in allerlei situaties. Nadat die functies zijn vastgesteld komen de bij die functies passende vormen. Vorm volgt immers functie.
• Omdat de verschillen tussen leerlingen bij rekenen groot zijn, moet er meer aandacht besteed worden aan de individuele leerling. De nadruk moet gelegd worden op het bijbrengen van begrip in plaats van op het kennen van rekenregels en het toetsen ervan.
• Voor mij is de kern van het wiskundeonderwijs dat de leerlingen leren dat problemen opgelost kunnen worden met behulp van wiskunde. Dat gebeurt door de achterliggende probleemsituatie te modelleren. Het model opstellen is het belangrijkste, want het rekenen binnen het model kan aan de computer overgelaten worden. Die kan dat namelijk in veruit de meeste gevallen veel beter dan een mens.
• Het leren van algoritmes impliceert meestal geen kennis van betekenis en gebruik van de voorkomende begrippen, draagt niet bij aan het leren oplossen van problemen en is zeker niet uitdagend.
• het ‘domme (reken)werk’ laten we aan de computer over; wat de mensen moeten blijven doen, het ‘denkwerk’, leren we de leerlingen.

 

Geeke Bruin-Muurling (Docent vakdidactiek Wiskunde bij de Hogeschool Arnhem/Nijmegen. Eigenaar van Educatieve Dienstverlening Bruin-Muurling)

Geeke is adviseur en inhoudelijk expert bij Curriculum.nu. Ze is gepromoveerd bij Koeno Gravemeijer.

[Meer dan rekenvaardig]

• In de hedendaagse samenleving is veel eerder behoefte aan het doorzien van patronen en het zoeken naar verbanden.
• De samenleving heeft behoefte aan mensen die een attitude hebben van vragen stellen, kritisch redeneren en patronen doorzien. Dat vraagt om conceptuele doelen.
• Vormgegeven vanuit conceptuele doelen wordt een wiskundemethode meer dan losse doelen die afgehandeld moeten worden.
• Ik verwacht dat de wiskunde anders wordt door een veranderende samenleving en de inzet van ICT.
• Er is een verschuiving: een hoofdfocus op het zelf uitvoeren van procedures naar het hele wiskundige proces van probleem oplossen, waarbij de rekenmachine het eerste van ons overneemt (Conrad Wolfram).
• Wiskunde moet in mijn ogen de oplossing zijn voor een probleem in plaats van dat de wiskunde zelf het probleem wordt.
• Wanneer je wiskunde gebruikt, dan ontlenen de uitkomsten van je berekeningen hun betekenis aan de context.
• Zolang we in onze lessen en in het stellen van doelen voor het wiskundeonderwijs antwoord en taakgericht blijven, zal ‘denken’ niet meer zijn dan reproductie van andermans begrip.
• Door een deel van de actoren in het veld wordt wiskunde gezien als een vak waarin het draait om het aanleren van rekenregels en procedures om tot het goede antwoord te komen. Dat goede antwoord is uniek en het vinden daarvan vormt het enige doel van het onderwijs.
• Verschillende onderzoeken hebben laten zien dat leerlingen een zekere basis beheersen, maar dat hun beheersing fragmentarisch is en dat hogere niveaus van begrip lijken te ontbreken.
• Een methode van lesgeven gericht op het inoefenen van vaardigheden kan een positief effect hebben op de beheersing van die vaardigheid, maar een negatief effect op het creatief probleem oplossend vermogen van leerlingen.
• In mijn onderzoek ontdekte ik dat onderwijs dat teveel gericht is op de beheersing van geïsoleerde vaardigheden een negatief effect heeft op inzicht en flexibiliteit, maar ook op de ontwikkeling van de vaardigheid zelf. Dit verschijnsel zagen we ook in andere studies en het staat ook wel bekend onder de term task-propensity. Hieronder verstaan we een benadering van het reken-wiskundeonderwijs als een aantal procedures die de leerlingen moeten leren beheersen. Voor leerlingen betekent dit dat ze zodanig gefocust zijn op de kenmerken van een specifieke opgave dat ze niet zien hoe ze die algemener kunnen maken en breder kunnen toepassen.
• We zien dit bijvoorbeeld ook bij leerlingen die methodetoetsen heel goed kunnen maken maar bij een methode-onafhankelijke toets volledig in het duister tasten.
• Op jongere leeftijd kunnen kinderen al kennismaken met een aantal basisideeën en kan er gewerkt worden aan bewustwording in het gebruik van data. In het project ‘Factchecking in het basisonderwijs’, waar ik samen met Marike Verschoor en Marc van Zanten aan werk, proberen we te laten zien op welke manieren dit kan.

Kritiek op de kritiek

• Met de laatste onderwijsblog heeft NRC wat mij betreft een journalistiek dieptepunt bereikt. Het gaat om deze blog: “Leren rekenen of ontdekkend kangoeroes leren tellen” van Marcel Schmeier. Het gaat mij hier niet sec om de inhoud van het stuk, hoewel ik het van weinig smaak vind getuigen er naar mijn mening een karikatuur van onderwijs wordt neergezet. Maar hier gaat het me toch om iets anders. Onder het bericht staat de volgende beschrijving van de auteur: “Marcel Schmeier is onderwijsadviseur, auteur van het boek ‘Effectief rekenonderwijs op de basisschool’ en bevoegd leerkracht basisonderwijs.” Wat hier niet vermeld wordt en wat wel zeer relevant is voor de lezer is dat Schmeier commercieel verbonden is aan Getal en Ruimte Junior. De methode die in deze blog de hemel in wordt geprezen. Het stuk heeft daarmee veel weg van een reclametekst waarbij de concurrent zo zwart mogelijk wordt gemaakt.

 

Ronald Keijzer, Geeke Bruin-Muurling (Keijzer is Lector rekenen-wiskunde op Hogeschool iPABO en medewerker Freudenthal Instituut. Bruin-Muurling is onderwijsadviseur)

[ScienceGuide: Expliciete directe instructie is minder effectief dan het lijkt]

• Het theoretisch fundament van EDI is zwak en eenzijdig: het gaat voornamelijk om kwantitatieve studies en die kunnen slechts een deel meten van de onderwijsopbrengst. Daardoor heeft het tal van te verwachten onwenselijke bijwerkingen, veroorzaakt door een beperkte kijk op doelen en het verkiezen van de onderwijsvorm boven de inhoud.
• EDI veronachtzaamt bovendien de ontwikkeling van conceptuele kennis. Onderwijs dat zich niet richt op conceptuele kennis loopt daarmee uiteindelijk spaak: leerlingen missen essentiële elementen in hun reken-wiskundige fundering waar ze de andere kennis op moeten bouwen voor vakken als wiskunde, economie, natuurkunde, biologie en scheikunde.
• Het gaat bij EDI in het reken-wiskundeonderwijs om het drillen van procedures.
• EDI richt zich uitsluitend op instrumentele vaardigheden, trainbare feitenkennis en procedurele kennis van te volgen stappenplannen (Schmeier).
• EDI is geschikt gemaakt voor kleuters en ook daar is het credo: kinderen de reken-wiskundestof aanbieden in plaats van ze de kans te bieden om zelf de wereld wiskundig te verkennen.
• Bij EDI voor kleuters wordt ervan uitgegaan dat geïsoleerd aangeboden kennis en vaardigheden door kinderen later worden toegepast in spontaan spel, maar er zijn voldoende redenen om aan te nemen dat dit aanbod het spontane spel vooral hindert en verder ook weinig oplevert. Verschillende onderzoeken laten zien dat kinderen hier namelijk vooral ongelukkig van worden en dat de gerealiseerde leerwinst hoogstens zeer tijdelijk van aard is.

2 commentaren op dit ScienceGuide artikel:

“Een tijdje terug verscheen een lijvig artikel op ScienceGuide waarin een lector aan hogeschool iPabo en een onderwijsadviseur korte metten maakten met expliciete directe instructie in het rekenonderwijs aan kleuters. Belangrijkste conclusie: ‘Kinderen worden hier vooral ongelukkig van’. Deze EDI-bijsluiter was niet zomaar een mening van twee onderwijsmensen, ze kwamen met de nodige wetenschappelijke onderbouwing. Zo leek het. Tot op onderwijstwitter een ontmanteling volgde, in recordtijd, door verschillende vooraanstaande wetenschappers en onderzoekers: er rammelde nogal wat aan de opgevoerde bronnen.”
Jan van de Ven, leraar basisonderwijs

“Andere onderzoekers hebben op Twitter nog andere gaten in het artikel geschoten. Ik heb omwille van dergelijke elementen het echt moeilijk met deze tekst. Het is voor een lezer zonder veel achtergrondkennis moeilijk om dit alles te weten of te herkennen. Zo wordt foute informatie de wereld ingestuurd en kan er zelfs een schuldgevoel geïnduceerd worden bij leerkrachten.”
Pedro De Bruyckere, Educational specialist, Researcher at Leiden University: *Een artikel waar een paar dingen aan rammelen*

 

Dr. Evelyn Kroesbergen (Hoofddocent Educatie en Pedagogiek aan de Universiteit Utrecht. Hoogleraar Orthopedagogiek aan de Radboud Universiteit. Ze studeerde orthopedagogiek)

Uit haar artikel  *‘Creatief rekenen-wiskunde in de basisschool*   verschenen in het boek ‘Rekenen-wiskunde in de 21e eeuw’ onder redactie van Marc van Zanten:

• Een van de belangrijkste doelen van het rekenen-wiskunde onderwijs is dat kinderen probleemoplossingsvaardigheden leren.
• We leren kinderen vaak opgaven op te lossen waarvan het antwoord al bekend is. In hoeverre gaat het dan werkelijk om probleemoplossen? Vragen we niet vaak naar de bekende weg? Kinderen maken dan gebruik van strategieën of procedures die ze bij vergelijkbare opgaven hebben geleerd. Maar daarmee bereiden we kinderen onvoldoende voor op de problemen die ze in de toekomst gaan tegenkomen en waarvoor nog geen oplossingen voor handen zijn.
• Een kind dat creatief denkt, zal bijvoorbeeld met originele oplossingen voor wiskundige vraagstukken komen, maar waarschijnlijk ook met originele producten bij de creatieve vakken; de verschillende vormen van creativiteit kunnen niet los van elkaar gezien worden.
• Creativiteit is nodig voor excellente prestaties in rekenen-wiskunde.
• Wetenschappelijk onderzoek heeft aangetoond dat creativiteit samenhangt met rekenvaardigheid, en dat met name de excellente rekenaars zich onderscheiden van de gemiddelde rekenaars in hun creatieve denkvaardigheid.
• Om creativiteit te stimuleren, moet allereerst een omgeving gecreëerd worden waarin het gestimuleerd wordt om risico’s te nemen, regels/procedures ter discussie te stellen en je de ruimte krijgt om je gedachten de vrije loop te laten. Het gebruik van complexe, open opgaven, zeker als kinderen mogen samenwerken, is heel stimulerend.
• Om creatief denken in de rekenles te bevorderen, is het belangrijk dat kinderen leren om heel verschillende oplossingen bij een probleem / opgave te bedenken. Het gebruik van open opgaven en samen mogen werken met klasgenoten zal het creatief denken nog eens extra stimuleren.
• Verschillende onderzoeken hebben laten zien dat in de basisschoolleeftijd de creativiteit van kinderen steeds verder af lijkt te nemen. De verklaring daarvoor is dat een cultuur van toetsen, met de nadruk op het goede antwoord, vaak tijdsgebonden, kinderen weinig ruimte geeft om alternatieve oplossingen te exploreren.
• Een nadruk op procedurele en feitenkennis, het toepassen van de juiste strategie kan zelfs het creatief denken belemmeren.

 

Eveline Schoevers (Studeerde Pedagogische Wetenschappen en Educational Sciences)

[Het bevorderen van creativiteit in het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool]

Schoevers promoveerde in 2019 bij Evelyn Kroesbergen op het onderwerp:  het bevorderen van creativiteit van leerlingen in het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool.

• Creativiteit wordt gezien als een belangrijke competentie in de samenleving.
• Leerlingen moeten niet alleen leren om kennis en vaardigheden te reproduceren, maar ook om deze kennis en vaardigheden creatief toe passen. Zo kunnen ze nieuwe mogelijkheden ontdekken en creëren om problemen op te lossen.
• Het onderzoek laat zien dat creativiteit in het basisonderwijs het beste bevorderd kan worden door het structureel te integreren in meerdere disciplines. Daarnaast lijkt de creativiteit van leerlingen te kunnen worden gestimuleerd door vakken geïntegreerd aan te bieden: het kan leerlingen helpen om buiten de kaders van een discipline te denken en zo tot creatieve ideeën, antwoorden en (kunst)producten te komen.
• Creativiteit van leerlingen in het reken-wiskundeonderwijs kan worden bevorderd door in een les minder specifieke leerdoelen op te stellen en door leerlingen open problemen, activiteiten of lessen aan te bieden.
• Uit het onderzoek komt echter ook een aantal factoren naar voren dat de implementatie van deze strategieën kan belemmeren. Denk daarbij aan het gebruik van bestaande reken-wiskundemethodes in het basisonderwijs.

Schoevers was betrokken bij het meetkunstproject: het bevorderen van creativiteit van leerlingen in rekenen-wiskunde en beeldende kunst. In deze lessenserie stonden open activiteiten en klassendiscussies centraal, was er een minder specifiek leerdoel en gold een andere socio-wiskundige norm: minder gericht op een correcte oplossing van een wiskundig probleem.

• Het meetkunstprogramma was even effectief als reguliere meetkundelessen met betrekking tot het verbeteren van het meetkundig vermogen van leerlingen.
• De resultaten wijzen er op dat één meetkunstles per week niet genoeg is om de wiskundige creativiteit van leerlingen aanzienlijk te verbeteren.

____________________________________________________________________

De PABO’s

 

Dr. Ronald Keijzer (Lector rekenen-wiskunde op Hogeschool iPABO. Hoofdredacteur Volgens Bartjens. onderzoeksleider ELWIeR. Projectleider van de Grote Rekendag)

Keijzer werkte mee aan de Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo’s.

Keijzer is vakinhoudelijk expert voor het ontwikkelteam Rekenen & Wiskunde van Curriculum.nu, waar besloten werd om formele bewerkingen met breuken op de basisschool af te schaffen en in het voortgezet onderwijs alleen aan te bieden aan die leerlingen voor wie het relevant is.

[Keijzer: Lectorale rede] [Krachtige leraar: Discussie met Ronald Keijzer (2019)] [Nieuwsgierigheid leerkracht is basis voor verbetering]

• De connotatie die kleeft aan het woord ‘rekenen’ – het louter instrumentele rekenen – is niet meer van deze tijd. Daar hebben we afscheid van genomen en dat zouden we wellicht nog wat radicaler kunnen doen.
• Een leerkracht constateert dat een kind moeite heeft met de tafels. De standaardremedie zal zijn dat de leerkracht de tafels extra gaat oefenen, wat in de regel tot betere toetsresultaten zal leiden. Toch is daarmee niet gezegd dat de leerlingen de tafels daadwerkelijk beter onder de knie hebben. De kans is groot dat hiermee slechts op de korte termijn resultaat wordt geboekt, terwijl de werkelijke oorzaken niet zijn weggenomen. In essentie is het uitgangspunt dat je het kind centraal moet stellen.
• De rol van de staartdeling in meer recente discussies, leert mij vooral dat we dit algoritme mede moeten zien als cultuurgoed.
• De staartdeling mag volgens velen niet zomaar uit het wiskundeonderwijs op de basisschool verdwijnen. Het gaat namelijk om een fraaie uitwerking van wat de formele wiskunde te bieden heeft. Aan de andere kant vraagt men zich af welk inzicht je met zo een algoritme verwerft en wat het maatschappelijk belang van kennis van het staartdeelalgoritme is.
• Breuken worden in het maatschappelijke verkeer nauwelijks gebruikt en ook nieuwe technieken maken dat we vrijwel louter rekenen met kommagetallen. Dat geldt tot op zekere hoogte ook voor het gebruik van breuken in het voortgezet onderwijs. Dit roept de vraag op of we bij het voorbereiden van kinderen op de toekomst nog wel moeten investeren in het breukenonderwijs.
• Ik haal de noodzaak van probleemoplossen desondanks even aan, omdat ik me erover blijf verbazen dat hoe meer de maatschappij vraagt om problem solving skills hoe groter de roep klinkt om het inoefenen van rekenregels.
• Onderzoekend leren wordt op tal van manieren geassocieerd met het leren voor de toekomst. Dat geldt veel minder voor het rekenen.
• Ik verwacht betere resultaten van het reken-wiskundeonderwijs als de (aanstaande) leraren een meer onderzoekende houding ontwikkelen. Die onderzoekende houding zie ik als gewenste verbreding in het kader van het opbrengstgericht werken.
• Wat ik zo vreemd vind, wiskundigen lossen ook problemen op en zijn soms ook in verwarring en dat duurt even voordat je dat probleem opgelost hebt. Als je dat als wiskundige doet, waarom zou dat bij een kind dan niet mogen?
• Het bezien van wiskunde als proces van mathematiseren opent het perspectief op de toekomst en biedt kansen om accenten te verleggen in het wiskundeonderwijs op de basisschool. Denk daarbij bijvoorbeeld aan het programmeren van apparaten en het omgaan en structureren van grote hoeveelheden gegevens. Deze nieuwe onderwerpen vragen om leerlingen die op onderzoek gaan, omdat pasklare antwoorden niet zo maar beschikbaar zijn en de problemen niet kunnen worden opgelost door een vaste werkwijze te volgen.
• Het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool in Nederland moet zo ingericht worden dat kinderen leren waar ze op moeten letten als ze een smartphone kopen. Probleemoplossend vermogen, daar gaat het om. We moeten werken aan een onderzoekende houding in het reken-wiskunde onderwijs.
• Gecijferdheid of wiskundige geletterdheid is iets wat iedereen op een geheel eigen manier verwerft.
• Dit idee van het bouwen aan de eigen wiskunde, die daarmee van mens tot mens verschilt, sluit aan bij (onder andere) Freudenthal, die wiskunde omschrijft als menselijke activiteit.
• Op ieder niveau kan het leren beschouwd worden als heruitvinden en het is zinvol om te onderzoeken hoe het begeleiden hiervan optimaal kan gebeuren.

Kritiek op de kritiek

• Discussie is mooi, maar als je dat alleen maar doet door anderen zwart te maken, door het maken van een karikatuur en dingen te schrijven die domweg niet waar zijn, dan heeft niemand er wat aan.
• Argumenten worden soms op de spits gedreven, alleen maar om met modder te kunnen gooien.
• Dat kinderen in de war raken van verhaaltjessommen is helemaal niet erg. Dan gaan kinderen zoeken naar een oplossing. Waarom mogen kinderen niet puzzelen, overleggen? Wiskundigen zijn ook weleens in verwarring en het duurt even voordat ze een probleem opgelost hebben. Als men dat bij een wiskundige goed vindt, waarom zou dat dan bij een kind van 7 jaar niet mogen?

 

“Heb je weleens studenten van de iPabo op je school Thijs? Dan ervaar je de sloopkogelinvloed van die Keizer voor het basisonderwijs. Studenten zijn didactisch ongeschoold als het om rekenen gaat.”
Martin Bootsma (onderwijzer; mede-auteur van het boek ‘En wat als we nu weer eens gewoon gingen lesgeven’), twitter-bericht aan Thijs Roovers, onderwijzer.

 

Ronald Keijzer, Michiel Veldhuis (Veldhuis is docent-onderzoeker rekenen-wiskunde bij Hogeschool iPabo en Universiteit Utrecht; Hij is bestuurslid NVORWO)

[Discussie rekenwiskundeonderwijs] [Van Luit behoeft nuancering]

• Een kleuter die verstoppertje speelt redeneert meetkundig door gebruik te maken van verschillende perspectieven en bijbehorende kijklijnen.
• Wanneer gedacht wordt aan wiskunde als menselijke activiteit richt de doordenking van het wiskundeonderwijs van de toekomst zich meer op de wiskundige activiteit die het leven in de toekomst vraagt. Voor de hand ligt dan om te pleiten voor conceptuele doelen, waarbij het gaat om inzicht verwerven in wiskundige concepten.
• Het leren van probleemoplossend denken vraagt om onderwijs, en de inrichting daarvan, dat zich (onder andere) richt op conceptuele doelen.

Kritiek op de kritiek

• In zijn afscheidsrede kiest Hans Van Luit [Hoogleraar Dyscalculie] ervoor zijn zorgen en frustraties over het reken-wiskundeonderwijs op te hangen aan een karikatuur van realistisch reken-wiskundeonderwijs en de lerarenopleiding basisonderwijs.
• Kinderen en leerkrachten hebben last van de polariserende wijze waarop de discussie over het reken-wiskundeonderwijs gevoerd wordt.
• Uitingen rond de traditionele visie laten in het algemeen zien dat wiskunde gezien wordt als gesloten formeel systeem. Binnen deze visie gaat het bij wiskunde in de basisschool vooral om het regelgericht en efficiënt gebruiken van de hoofdbewerkingen bij het uitrekenen van kale sommen.
• De staartdeling mag volgens velen niet zomaar uit het wiskundeonderwijs op de basisschool verdwijnen. Het gaat namelijk om een fraaie uitwerking van wat de formele wiskunde te bieden heeft. Aan de andere kant vraagt men zich af welk inzicht je met zo een algoritme verwerft en wat het maatschappelijk belang van kennis van het staartdeelalgoritme is.
• Kies voor een constructieve dialoog en help je leerlingen op wiskundige wijze greep te krijgen op hun toekomst.

“Ik begrijp echt niet hoe je ‘op wiskundige wijze’ greep kan krijgen op de toekomst. Greep krijgen op de toekomst doe je door de juiste keuzes in het leven te maken.”
Gerard Verhoef, ex-docent rekenen/wiskunde PABO

 

Ronald Keijzer, Gerard Boersma (Keijzer is lector rekenen-wiskunde op Hogeschool iPABO. Boersma is docent rekenen-wiskunde aan de Hogeschool HAN)

• Wanneer de invulling van het reken-wiskundeonderwijs maakt dat de leerlingen een hekel krijgen aan dit vak, staat dat het verwerven van een basale gecijferdheid in de weg. Het onderwijs is er daarom op gericht op plezier te krijgen in het rekenen. Kenmerkend voor dit onderwijs is het gebruiken van vele bronnen, echte interactie, waarbij leerlingen werkelijk wat in kunnen brengen, het werken in groepen en het passend gebruik van materiaal en computers.

 

Annette Markusse (Hogeschool iPABO)

Markusse is auteur van een aantal rekenboeken, o.a. ‘Pluspunt’ en ‘De Wereld in Getallen’.

[Wat staat de leerlingen in de toekomst te wachten? (2017)]  [Wel of geen formeel breukenonderwijs op de basisschool?]

• Veel kinderen zien rekenen als een vak waarin je regeltjes moet toepassen i.p.v. een vak waarbij je leert problemen oplossen.
• De belangrijkste bijdrage van de leerling aan de maatschappij van de toekomst wordt het oplossen van problemen en het generen van nieuwe ideeën.
• Het begrijpen wordt belangrijker dan het zelf kunnen uitvoeren.
• Bied echte problemen aan en voer regelmatig met de hele klas een gesprek, gericht op het ontwikkelen van wiskundig inzicht.
• In mijn optiek kan men op de basisschool het inoefenen van standaardprocedures voor het vermenigvuldigen en delen van breuken beter buiten beschouwing laten. De nadruk op die procedures neemt bij veel leerlingen namelijk het zicht weg op wat breuken zijn.
• Laat kinderen met een puzzelachtige opgave operaties met breuken onderzoeken. Als ze er een paar zelf hebben opgelost, kun je de kinderen vragen om zelf een soortgelijke puzzel te ontwerpen. Dat vind ik altijd een hele mooie werkvorm omdat kinderen dan worden uitgedaagd om te laten zien wat ze kunnen. Iedereen kan er op zijn eigen niveau mee aan de slag.

 

 

Annette Markusse (Hogeschool iPABO), Frans van Galen (Medewerker Freudenthal Instituut)

[Een pleidooi voor geleid heruitvinden (2018)]

• Kennis laat zich niet kant en klaar overdragen.
• Freudenthal was vrij uitgesproken over de vraag hoe leerlingen het beste wiskundig inzicht kunnen ontwikkelen: leerlingen moeten de wiskunde als het ware zelf heruitvinden.
• We moeten ervoor zorgen dat leerlingen zichzelf min of meer als wiskundigen gaan gedragen. Leerlingen kunnen via het oplossen van problemen en gesprekken daarover, zelf een gereedschapskist van wiskundige ideeën verwerven.
• Inzicht ontwikkel je niet door naar de leerkracht te luisteren, je leert het door zelf actief op onderzoek te gaan, eigen redeneringen onder woorden te brengen en daar met anderen over te praten. Dit geldt voor leerlingen die inzicht in de wiskunde moeten ontwikkelen, maar het geldt net zo goed voor pabo-studenten die inzicht moeten ontwikkelen in de reken-wiskundedidactiek.
• Procedures blijven vaak halfbegrepen trucjes waar leerlingen uiteindelijk weinig aan hebben. Het zou beter zijn als het
  inzichtelijk redeneren met breuken op de voorgrond stond.

 

Wim van Gelder, Wiep Hoksbergen, Ruud Houweling (Reken-wiskundedocenten op PABO Hogeschool Viaa Zwolle)

• Het gaat bij realistisch rekenen om het ontwikkelen van denkvaardigheden en denkstrategieën. Dat zijn zaken waar de huidige, en waarschijnlijk ook de toekomstige maatschappij om vraagt.
• In het rekenonderwijs is het belangrijk dat kinderen actief en logisch kunnen nadenken en redeneren. En daar wil realistisch rekenonderwijs een krachtige bijdrage aan leveren.
• Er zijn vele voorbeelden van kinderen die de tafels maar niet goed in hun hoofd krijgen, omdat ze niet begrijpen wat nou precies een tafelsom is.
• In de wereld om ons heen kom je betrekkelijk weinig kale rekenopgaven tegen. Maar daar moet je je rekenvaardigheden kunnen toepassen. Daarom is het niet effectief om in de rekenles het meest met ‘veel rijtjes en droge sommen’ bezig te zijn.

 

Peter Ale (Docent wiskunde pabo)

• Degenen die nu kritiek hebben op realistisch rekenen, zijn mensen die vroeger goed konden rekenen. Dat dat vaak helemaal geen rekenen was, maar ‘nadoen’ en ‘goed onthouden’, zijn ze vergeten. Toen ze leerden staartdelen, leerden ze een kunstje.
• Formules zijn betekenisloze dingen. Studenten vullen klakkeloos de formule in, als ze een fout maken dan merken ze dat niet en wat de uitkomst betekent, staat in het boek. Bovendien is er een grote groep studenten die bij a² + b² = c² al rode vlekken in hun nek krijgt. Er zijn allerlei inzichtelijke manieren om het over de stelling van Pythagoras te hebben. Er zijn echter maar weinig leraren die die moeite nemen.

 

 

Zie ook *Het Freudenthal Instituut en de PABO* met  o.a. de PABO-docenten Marc van Zanten, Wil Oonk, Marjolein Kool, Willem Uittenbogaard, Jan van Stralen, Belinda Terlouw
____________________________________________________________

Breuken

“Van het onderwerp breuken wil het Ontwikkelteam in het primair onderwijs alleen nog begripsvorming en rekentaal aanbieden. In het voortgezet onderwijs wordt aan de leerlingen voor wie dit relevant is formeel rekenen met breuken aangeboden.”
Curriculum.nu, Ontwikkelteam ‘Rekenen en Wiskunde’

 

Bertus van Etten (docent aan de lerarenopleiding wiskunde van Fontys Hogeschool)

• Vergeet de notatie met teller en noemer. Gebruik alleen kommagetallen.
• Het probleem is dat de breuken op school, met termen als teller en noemer, niet de breuken zijn die in het dagelijks leven gebruikt worden. De notatie met teller en noemer wordt nu nog alleen op school gebruikt.
• Woorden als: de helft, een kwart of een derde kunnen gebruikt worden zonder aan een breuk met teller en noemer te denken.
• Leerlingen vinden het vreemd dat 1/2 meer is dan 1/3 terwijl 2 toch kleiner is dan 3. Bij de vermenigvuldiging 1/2 × 1/3 = 1/6 is het antwoord kleiner dan de deelnemende getallen. Dat past niet in het denken van de leerling. In de vermenigvuldiging 1/2 × 1/3 = 1/6 herken je geen herhaalde optelling. Je hebt geen half aantal. Kortom wanneer je met breuken in de gedaante van teller en noemer gaat rekenen botsen twee denkschema’s.
• De leerlingen zullen een paar trucjes leren, die ze later weer vergeten. ‘Gelijknamig maken’ en ‘delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde’ zijn recepten die niet lang stand houden. Zo blijft het breukbegrip voor veel leerlingen een onbegrijpelijk iets.
• Getalbegrip en het verstandig leren gebruiken van een rekenmachine is belangrijker dan een staartdeling leren maken.

 

Piet Mostert (Onderwijsadviseur bij de BDF-Adviesgroep. Hij adviseert over accreditatie in het HBO. Hij was coördinator kwaliteitszorg bij de HBO-raad)

• Een docent verzucht dat zijn eerstejaars natuurkundestudenten niet meer om kunnen gaan met breuken. Zijn breuken dan zo belangrijk?  Maar dat is het punt niet. Voor de ingewijden zijn breuken het lakmoes van het wiskunde-onderwijs. Het kunnen rekenen met breuken markeert het omslagpunt, tussen er wel en niet thuishoren; moreel gesproken: tussen wel en niet deugen. Want wiskunde is bij uitstek een moreel vak. Ik zet het probleem in een ander perspectief, namelijk dat de macht van het denken in breuken nu eindelijk is gebroken.

________________________________________________________

 

Lonneke Boels (Wiskundedocent in delft. Ontwikkelaar van rekenlessen voor de bovenbouw Havo binnen een project van de NVvW. Docent vakdidactiek rekenen op de Haagse Hogeschool)

[Wiskunde E Brief 457]

• Ik vind het erg jammer dat er nu een discussie ontstaat over het afschaffen van de contextrijke wiskunde. Met een dergelijke afschaffing wordt naar mijn idee het bekende kind met het badwater weggegooid.
• Bij mijzelf heeft het destijds tot en met eind 5 vwo geduurd voordat ik doorhad dat de wiskunde die ik bij wiskunde kreeg, dezelfde soort opgaven was als bij natuurkunde. Tegenwoordig zie ik dat leerlingen de verbanden met andere vakken eerder en makkelijker leggen, onder andere door de contextrijke wiskunde.
• Verder heb ik zelf jarenlang beweerd dat ik wiskunde eigenlijk nergens voor nodig had en dat het dus een overbodig vak was. Ik vond het een ontzettend leuk vak, dat wel, maar volslagen onbruikbaar in het dagelijks leven. Pas tijdens het halen van mijn eerstegraads wiskundebevoegdheid (na tien jaar bedrijfsleven) begon ik verbanden met het dagelijks leven te zien en dat wiskunde eigenlijk de grondslag is van alle andere studies en werk. Dit besef kwam dankzij de contextrijke wiskunde.
• Een prachtig voorbeeld van het niet begrijpen van de aangeleerde algoritmen vind ik de discussie die onlangs oplaaide over het terugbrengen van de staartdeling in het primair onderwijs. Iedereen die roept dat de staartdeling van de basisschool is verdwenen, heeft het algoritme niet gesnapt. De staartdeling is NIET verdwenen maar wordt uitsluitend anders genoteerd. Het proces van aanleren is inderdaad héél anders maar de meest verkorte notatievorm die leerlingen die naar de havo en het vwo gaan moeten beheersen, is qua principe en algoritme precies hetzelfde als de staartdeling. Alleen doen leerlingen het nu met begrip in plaats van met een trucje. Iedereen die de ‘ouderwetse’ wiskunde heeft gehad en nu pleit voor invoering van de staartdeling, toont daarmee in mijn ogen aan waarom de ‘ouderwetse’ wiskunde alleen niet voldoende was.
• Er wordt door tegenstanders van het kolomsgewijs rekenen hard geroepen dat ze niet goed zijn, omdat het van links naar rechts is. Maar mij valt op dat ook de staartdeling van links naar rechts is.
• De grootste klacht van universiteiten is dat we onze leerlingen niet meer leren nadenken. We leren ze teveel slechts vaste regels (zoals de abc-formule) die de leerlingen vervolgens te pas en te onpas toepassen.

 

Judith Wintermans (Onderwijzeres. Voor het ontwikkelen van ‘Rekenen: geen vak apart’ ontving ze een prijs uit handen van Minister van der Hoeven)

[Rekenen: geen vak apart]

• Rekenen zit voor kinderen overal en het is dus érg onnatuurlijk om dit vak apart aan te bieden.
• Ze leren nu én rekenen én samenwerken.
• Sommige leerlingen bleken tot mijn verbazing toch naar het ouderwetse boekje te verlangen. Ze zagen dat boek liggen en vroegen er gewoon naar. Misschien omdat ze dat ook van hun ouders, broertjes of zusjes hebben gehoord.

 

Angele Bonger (Onderwijzeres Basisschool Samenspel)

Basisschool Samenspel doet mee met een pilot van Projectbureau Kwaliteit van de PO-Raad: omdat taal een grote rol speelt bij realistisch rekenen worden taal- en rekenonderwijs gecombineerd.

• Deze lessen vind ik heel leuk om te geven. Het is anders dan een gewone rekenles. Het is luchtiger, het is niet ‘pak je boek en ga schrijven’, we zijn lekker met elkaar interactief bezig waarbij heel veel taal aan bod komt.

 

Prof. Theo Wubbels (Onderwijskundige. Directeur van de docentenopleiding IVLOS)

• Als er al een achteruitgang van het rekenniveau is dan komt dat niet zozeer door realistisch rekenonderwijs. Het komt veeleer doordat pogingen tot realistisch rekenonderwijs verkeerd worden uitgevoerd.
• Er zijn ouders die hun kind thuis extra rekenles willen geven om rekenachterstanden te voorkomen. Hierdoor kunnen ze doorkruisen wat er op school gebeurt. Immers, de school hanteert een bepaalde manier om het rekenen te laten leren en wanneer men dat thuis op een heel andere manier aanpakt zou dat het kind in verwarring kunnen brengen.
• De verplichte rekentoets voor het voortgezet onderwijs kan beter reken- en taaltoets heten en daarmee is het een nuttiger instrument dan alleen een rekentoets.

 

Prof. Fred Korthagen (Bijzonder hoogleraar aan het Instituut voor Lerarenopleiding, Onderwijsontwikkeling en Studievaardigheden (IVLOS) van de Universiteit Utrecht. Mede-directeur van het Instituut voor Multi-level learning en Kernreflectie. Gestalt-therapeut)

Uit zijn oratie  ‘Leraren leren leren’: 

• Eén van de meest indrukwekkende onderwijsontwikkelingen van de laatste decennia is de invoering van het zgn. realistisch wiskundeonderwijs. Er is daarin vrij rigoureus gebroken met de traditionele benadering die uitging van de theorie. In het realistisch wiskundeonderwijs ligt het vertrekpunt steeds in de aanname dat leerlingen zelf wiskundige noties kunnen ontwikkelen op basis van reële problemen. Die problemen worden gepresenteerd in voor de leerlingen herkenbare contexten en komen vaak uit het dagelijks leven.

 

Wulfert van den Brink (Docent statistiek. Schrijver van leerboeken over statistiek)

[Probleem oplossen en het wiskundeonderwijs]

• De leerlingen krijgen op school nog steeds een enorme collectie trucs, recepten, standaardproblemen en standaardoplossingen te verwerken. Mechanisch werken wordt nog te vaak gestimuleerd. Denken leer je er niet van. Op langere termijn leidt het tot rigide oplosgedrag en veel fouten en frustraties.
• Het vervelende is dat een algoritme weliswaar een oplossing garandeert voor problemen uit de klasse waarop het van toepassing is, maar dat je er geen nieuwe problemen mee kunt oplossen.
• Je kunt je beter methoden van kennisverwerving eigen maken dan proberen grote hoeveelheden kennis op te slaan.
• Wie kan denken hoeft zich niet langer tot imiteren te beperken maar kan ook op creatieve wijze nieuwe problemen oplossen.

 

Wilma Cornelisse (Onderwijsjournaliste. Zij is/was hoofd- en eindredacteur van diverse bladen, waaronder ‘Schoolmanagement Totaal’. Over onderwijs verscheen van haar hand een reeks reportages, interviews, analyses, commentaren en columns in kranten, tijdschriften, boeken en op websites)

 [Marja’s Staatswiskunde]

• Met Marja’s staatswiskunde schaart Nederland zich bij de fundamentalisten in wiskundeonderwijs. Marja van Bijsterveldt stelt de staatswiskunde samen uit wat Jan van de Craats haar voorzegt. Hoogleraar wiskunde Van de Craats vecht al een paar decennia tegen de schoolwiskunde die hij te speels, te toepassingsgericht en te veelzijdig vindt. De wederkomst van de 19e eeuwse schoolwiskunde anno 2008 is banaal. Betekenisvol en aantrekkelijk voortgezet onderwijs begint niet bij de gestandaardiseerde lesboeken die met de methode Van de Craats meekomen.
• Wetenschappelijke bewijs voor de positieve bijdrage van de alarmerende versmalling van de wiskunde die Van de Craats wil, is er niet. Draagvlak onder de leraren ontbreekt, de samenleving is niets gevraagd.

 

_____________________________________________________________________

De (Grafische) Rekenmachine en ICT

Willem Vermeulen (Medewerker Freudenthal Instituut. Rekenmethode ontwikkelaar, Thieme Meulenhof)

[De rekenmachine in het basisonderwijs van meet af aan!]  [Cijferend delen: daar krijg ik een staart van]

• De opvatting dat kinderen door in de basisschool de rekenmachine te gebruiken, niet meer leren rekenen, is even hardnekkig als onjuist.
• Het gebruik van de rekenmachine op de basisschool maakt een kwaliteitsslag mogelijk: er komt meer tijd vrij voor echt inzicht doordat eindeloos oefenen van basisprocedures niet meer nodig is.
• De rekenmachine hoort vanaf groep 3 verkend te worden.
• De rekenmachine hoort gewoon op school thuis.
• Laten we wel zijn: wie rekent er in de huidige praktijk nog op een ouderwetse manier de cijfersommetjes uit?
• Kunnen rekenen is een competentie met heel veel aspecten, en juist de verenging tot alleen maar trucjes kunnen uitvoeren, dat is pas griezelig. Daar zouden beleidsmakers werkelijk beducht voor moeten zijn.
• Uit het PPON-onderzoek blijkt dat kinderen die de traditionele staartdeling gebruiken beduidend minder fouten maken. Wijken de leerkrachten op dit punt af van de methodes of zijn het de ouders die dit bewerkstelligen ? Een mogelijke verklaring is dat vooral de betere en snellere leerlingen aan de traditionele staartdeling toekomen. We mogen dus niet zonder meer concluderen dat deze vorm van cijferend delen beter is.
• Het cijferend delen blijft, vanwege de genoemde complicaties een zorgenkind. Ik vraag me dan ook af of het gerechtvaardigd is om zoveel tijd en moeite te investeren in een aanpak die maar weinig functioneel wordt gebruikt. Tenslotte ligt voor kale en moeilijkere sommen het gebruik van de rekenmachine voor de hand.
• De noodzakelijke attitude van handig en kritisch zoeken en selecteren maakt dat onze jongeren andere feiten kennen en andere vaardigheden ontwikkelen dan oudere generaties. De jeugd gaat minder slaafs met informatie om, juist omdat er zo veel en zo veel verschillende informatie snel beschikbaar is.

 

Conrad Wolfram (Managing director van Wolfram Research, opgericht door zijn broer Stephen, bekend van de ‘Mathematica’-software)

Hij hield een invloedrijke en vaak aangehaalde TED toespraak. Hij gaf een toespraak in het EU-parlement over hervorming van het wiskundeonderwijs. Conrad beweert dat ons wiskundeonderwijs volledig achterhaald is. Hij heeft er een boek over geschreven: ‘The Math Fix: An Education Blueprint for the AI Age’.

Voor Conrad is wiskunde uitsluitend een tool voor het oplossen van praktische problemen. Het woord ‘bewijs’ kom je bij hem nergens tegen, ook niet ‘analytische/algebraïsche vaardigheden’. Alle berekeningen laat je over aan computers, hooguit het maken van schattingen uit je hoofd kan nog zinvol zijn.

In de visie van Conrad gaan leerlingen ‘open-ended problems’ oplossen in groepsverband, ze gaan werken aan projecten die normaal gesproken door een team van specialisten uitgevoerd worden. Wolfram geeft zelf voorbeelden:

– het ontwerpen van een logistiek systeem voor Amazon
– het modelleren van de verkeers-lopen
– onderzoeken doen aan Covid19-data etc.

Ze maken hierbij gebruik van het softwarepakket ‘Mathematica’: een geavanceerd en waardevol wiskunde-pakket voor experts. Men zou denken aan belangenverstrengeling, maar dat woord ben ik bij vernieuwers nergens tegen gekomen.

Conrad ziet Estland als gidsland, nadat ‘Wolfram Research’ lucratieve deals gesloten heeft met het Estse ministerie van Onderwijs.

Hij is oprichter van computerbasedmath.org/ .

 [Conrad Wolfram: Stop teaching calculating. Start learning math] [TED talk: ‘Teaching kids real math with computers‘].

• We hebben een ernstig probleem met het wiskunde-onderwijs. Niemand is echt gelukkig:
  • diegenen die het leren vinden het wereldvreemd, oninteressant en moeilijk
  • leerkrachten zijn gefrustreerd
  • werkgevers vinden dat hun werknemers te weinig weten
  • het huidig wiskunde-onderwijs zorgt voor grote problemen voor onze kennis-economie
  Het antwoord op al deze problemen: Gebruik computers.
• Omdat papier eerder uitgevonden werd dan de computer, denken velen dat men wiskunde beter kan onderwijzen door papier te gebruiken dan door computers te gebruiken.
• Denkt men nu echt dat wiskunde, zoals het onderwezen wordt, meer is dan het volgen van procedures op vraagstukken die leerlingen niet echt snappen, of redenen die hen ontgaan? Wat ze leren is niet eens meer praktisch bruikbaar.
• In the real world mathematics is all about problem solving, modelling, simulation, analysing the results. But in education it is mostly about doing calculations, mostly by hand, if you are lucky with a calculator.
• We don’t want students to be first grade computers. We want them to be first grade problem solvers.
• If I can talk to my phone in 15 seconds and get an answer that most students can’t do after 10 years of study, why are we still teaching them that and not something different?!
• People think that working on paper is a more basic part of math because of the order of invention. Just because paper was invented before computers it does not mean that it gets you more to the basics of its subject.
• Mathematical curriculum have in it things like inverting a matrix, solving simultaneous equations; the curriculum is mechanics-centred. What we should do is problem-centred mathematics.
• First objection. People object: you need to get the basics first. You have to work it out on paper before you do it on a computer. But you got to ask: the basics of what exactly? The basics of mathematics are the steps for problem solving. We should focus on what we are trying to achieve, not the mechanics that allows us to achieve it.
• Second objection: computers dumb maths down. In fact if you use computers in education you can do much harder problems, you can go further. By using computers people get more experienced in doing math. You must however use computers in the right way. It should not help a student to solve a quadratic equation, let the computer do the solving and let the student find out why he wants to solve that equation.
• Third objection: Hand-calculating procedures teach understanding. But there is a way we can do procedureicing. That is called programming. So I am arguing about mathematics that is both more practical and more conceptual. The mathematics in real life is more intellectual and conceptual than the mathematics that we are teaching right now. By mimicing the real world we will improve the practial use and the conceptual understanding.
• You can teach calculus to a child of 5 years old. I have learned my 5-year old daughter calculus. Why are we starting so late with calculus? That is because it is hard to do the calculations. But the concepts are meaningfull to a much younger age-group. And now we can leave the calculations to the computer.
• We want people who can feel the math instinctively.

Uit  [The UK needs a revolution in the way maths is taught] [The Dark Side of Math Education]:

• I believe today’s educational math is the wrong subject.
• Stop teaching kids to add up. Maths is more important.
• Instead of rote learning long-division procedures, let’s get students designing a traffic system or cracking secret codes.
• One of the scariest aspects of maths for many students is how disconnected from anything in their lives it seems to be.
• We have two kinds of math in the world. The first is in the real world that is a problem-solving subject that is as important as it’s never been in world’s history to every aspect of our lives. Then there’s this math in school that’s completely or increasingly disconnected from that.
• Learning by rote is not the answer – unlocking the creative power of problem-solving is what will enthuse British schoolchildren and make them world-class.
• I pick up my iPhone, activate its Siri voice recognition and say: “Solve x cubed plus 2x plus one equals zero” (x ³ + 2x + 1 = 0). With any luck, back comes the answer – the three solutions, presented with graphs and formulas. This is a cubic which, except in special cases, even further maths A-level students don’t get to. You must seriously question why we are spending years of our students’ lives failing to be able to compute what my phone did in seconds. Instead, they should be grappling with real problems and applying maths to them.
• The point is to take real things we want to work out and apply, or invent, math to get the answer.
• Real problems are usually messier. There’s more calculating, and the calculations are harder. Different skills are employed and they need a broader math toolset.
• In real life the problem leads, and if the computation is messy and complex that’s OK: the computer will probably cope.
• Even when our current system tries to give a context for maths, the problems are contrived so they’re solvable with weak hand-calculating techniques, so that everyone can see that they are not useful in real life.
• We have confused rigor at hand-calculating with rigor for the wider problem-solving subject of math.
• Code is the modern way in which you express math and the way to get computers calculating: It’s that central.
• There’s one country that pushed coding in schools before the UK: Estonia. There, my company has just finished building a completely rethought probability and statistics curriculum. What’s really impressive is that Estonia has already come top in Europe in Pisa.

 

” ‘Mathematica’ will revolutionize the teaching and learning of math by focusing on the prose of mathematics without getting lost in the grammar.”
Steve Jobs

“Conrad Wolfram is one of the most important mathematical thinkers of our time. This book is packed with incredible ideas that could fundamentally change the mathematics experience for students across the world. The vision Conrad puts forward will allow students to experience mathematics as a beautiful, exciting subject empowering them to use critical and computational thinking, solving the problems they will encounter in their 21st-century work and lives.”
Jo Boaler, hoogleraar ‘Maths Education’

 

Maurice de Hond (Bedenker en bestuurder van de Steve-Jobsscholen ofwel iPad-scholen)

Een aantal van deze iPad-scholen zijn inmiddels door de Onderwijsinspectie gesloten, omdat het zeer zwakke basisscholen waren.

[Boekbespreking Maurice de Hond]

• Dat een andere aanpak van het wiskundeonderwijs hard nodig is, staat voor mij buiten kijf.
• Vroeger werden staartdelingen geleerd, omdat er geen rekenmachines waren en dat de enige manier was om het antwoord te vinden. Maar waarom doen we het nu nog?
• Wolfram verwoordt goed wat mijn gevoel al heel lang is. De computer kan en moet gebruikt worden voor alle berekeningen en het onderwijs kan zich op de conceptuele aspecten richten.
• Er wordt gesteld dat, terwijl wiskunde in de werkelijke wereld steeds belangrijker wordt en door steeds meer beroepen impliciet gebruikt wordt, het vak op school steeds minder populair is. En dat komt volgens Wolfram omdat het verkeerd wordt geleerd en de computer niet gebruikt wordt zoals hij gebruikt zou moeten worden. De vergelijking die hij dan maakt en die mij zeer aanspreekt, is dat het erop lijkt dat als je wilt leren autorijden je ook verplicht bent precies te begrijpen wat zich in de motor afspeelt en bij voorkeur ook nog een reparatie kan verrichten als er iets misgaat. De tijd die in de opleiding aan dit onderdeel wordt besteed (het overgrote deel van het onderwijs zelf) zou veel beter besteed kunnen worden aan andere aspecten van de wiskunde, die dan ook door veel meer leerlingen met enthousiasme gedaan zal worden en waar men na school ook veel meer aan heeft bij de vele soorten beroepen die men later zal gaan vervullen.

 

Paul Drijvers en Bert Zwaneveld (Drijvers: Freudenthal Instituut. Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde. Zwaneveld: Hoogleraar ‘Professionalisering van de leraar’ aan het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit)

[Van knoppen naar kennis (uit: Handboek Vakdidactiek Wiskunde)]

• De grafische rekenmachine is aan het begin van de 21ste eeuw wellicht het meest gebruikte ICT-gereedschap in de Tweede Fase van havo en vwo.
• ICT verdient een plaats in het wiskundeonderwijs en biedt mogelijkheden voor het leren. De ontwikkeling van ICT-vaardigheden maakt verder deel uit van een adequate voorbereiding op een rol in de maatschappij.
• ICTgebruik leidt tot een andere organisatie van het onderwijs. Een voorbeeld vinden we bij Berry en anderen. De aanpak bestaat eruit dat studenten eerst met een computeralgebra pakket een aantal functies differentiëren, om via patroonherkenning pas daarna te onderzoeken wat differentiëren eigenlijk inhoudt.
• Er is geen evidentie voor de bewering dat het gebruik van ICT de vaardigheden met pen en papier ondermijnt. In Nederland is kritiek geuit op het gebruik van de grafische rekenmachine, dat de vaardigheden met pen en papier zou ondermijnen. Pauline Vos stelt echter dat deze kritiek niet hardgemaakt kan worden, omdat de invoering van de grafische rekenmachine gepaard ging met andere onderwijsvernieuwingen.

________________________________________________________________

Spellen

 

Geeke Bruin-Muurling, Anneke Noteboom (Geeke is Docent vakdidactiek Wiskunde bij de Hogeschool Arnhem/Nijmegen. Noteboom is werkzaam bij SLO)

[De ontwikkeling van het logisch en wiskundig redeneren door spel]

• Het is belangrijk dat leerlingen hun vermogen tot wiskundig denken ontwikkelen. Spel en spel ontwerpen lenen zich hiervoor.
• U kunt het wiskundig denken van leerlingen stimuleren, door hen mee te laten denken over de spelregels. Als u leerlingen laat meedenken over de regels bevorderen ze niet alleen hun wiskundig denken, maar ook hun denken over hun leren!

 

_________________________________________________________________

Zie ook:  *Vernieuwers aan het woord (1): Citaten*,

*Vernieuwers aan het woord (2): Kees Hoogland*,

*Vernieuwers aan het woord (4): Het Freudenthal Instituut*