Uitspraken (Rekenen)

 

Overige ‘Uitspraken rekenen’-blogs:

——————————————————-

De vernieuwers aan het woord:

  1. Wat is wat?  Wie is wie?
  2. Vocabulaire van de vernieuwers
  3. Rekenen en wiskunde volgens de vernieuwers
  4. Het Freudenthal Instituut
  5. Het Freudenthal Instituut en de PABO

 

————————————————————————-

1. Wat is wat?

 

APS (Algemeen Pedagogisch Studiecentrum): Een commercieel onderwijsadviesbureau. Het APS heeft grote invloed op het reken/wiskunde-onderwijs, ook op beleidsniveau. Het APS werkt nauw samen met het Freudenthal Instituut.

Constructivistisch reken-wiskundeonderwijs: Een wiskundedidactiek gebaseerd op het sociaal constructivisme.  Sociaal constructivisme is een omstreden psychologische kennistheorie die stelt dat verschijnselen in feite sociale constructies zijn; een bepaald verschijnsel wordt slechts ervaren als iets dat werkelijk bestaat en van andere zaken onderscheidbaar is, omdat daarover in de samenleving een afspraak is gemaakt. Kennis is niet overdraagbaar, kennis waarover iemand beschikt werd door de individuele persoon zelf geconstrueerd. Kennis is daarom uniek voor elke persoon.  Iedereen construeert zijn eigen werkelijkheid. Het leerproces is een actief proces van kennisverwerving, waarbij kennis ontstaat en gedeeld wordt met anderen. Deze leer wordt aangehangen door het Freudenthal Instituut: leerlingen moeten zelf begrippen, rekenregels en strategieën ontdekken en hun eigen constructen gebruiken, omdat deze dan beter begrepen zouden zijn. De leraar is coach, hij moet de denkwijzen van ieder van zijn leerlingen volgen. Variaties op constructivistisch leren vinden we in allerlei bewoordingen terug. Of het nu zelfontdekkend leren, onderzoekend leren, project-gestuurd leren, vraaggestuurd leren, ervaringsgericht leren of natuurlijk leren wordt genoemd, de kern blijft: de leerling gaat zelf op onderzoek uit en de leraar staat aan de zijlijn.

Contextsom: Verhaalsom. Opgave met veel text waaruit een berekening gehaald moet worden, die meestal eenvoudig is.

cTWO: Commissie Toekomst WiskundeOnderwijs. In 2012 heeft de commissie haar eindrapport opgeleverd. M.i.v. 2016 volgt de invoering in 4 Havo/VWO.

ELWIeR:  Expertisecentrum Lerarenopleiding WIskunde en Rekenonderwijs. Een samenwerking tussen het Freudenthal Instituut en verschillende lerarenopleidingen en lerarenopleiders.

Euclides: Vakblad voor de wiskundeleraar, uitgegeven door de NVvW.

FI: Freudenthal Instituut

Freudenthal Instituut: Onderzoeksinstituut van de Universiteit Utrecht, dat zich ten doel stelt de kwaliteit van het onderwijs in rekenen, wiskunde en beta-vakken te bevorderen. Het FI is nauw betrokken bij het bepalen van vorm en inhoud van het reken-wiskundeonderwijs; het heeft veel bijgedragen aan de invoering van het realistisch rekenen in het basisonderwijs.

GR: Afkorting voor Grafische Rekenmachine.

Handig rekenen:  Bij handig rekenen wordt gebruik gemaakt van eigenschapen van getallen en bewerkingen. Voorbeeld: 8 x 12,5 = 4 x 25 = etc.   Handig rekenen werkt alleen maar bij ‘mooie’ getallen.

Hapmethode: Methode voor het uitvoeren van een deling. De hapmethode komt dus in plaats van de staartdeling. De voorstanders beweren dat leerlingen bij de hapmethode zouden begrijpen wat ze doen, terwijl dat bij de staartdeling niet het geval zou zijn. Volgens de tegenstanders nodigt de hapmethode uit tot onhandig en omslachtig rekenen, omdat het geen systematische methode is, leidt het tot meer fouten en is de methode alleen maar practisch uitvoerbaar bij kleine getallen. De voorstanders beweren weer dan men voor grote getallen de rekenmachine dient te gebruiken.

Kolomsgewijs rekenen (Kolomrekenen):  onderscheidt zich van het traditionele cijferen doordat bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van links naar rechts gerekenend wordt, en tussenresultaten genoteerd worden.  De staartdeling wordt vervangen door ‘happend delen’. Volgens de voorstanders wordt hiermee het getalinzicht vergroot. Volgens de tegenstanders werkt het alleen maar bij kleine getallen en is de kans op fouten groter dan bij traditioneel cijferen.

Lieve Maria:  Actie opgezet door alle wiskunde- en natuurkunde studievereningingen in 2006 om aandacht te vragen voor de moeilijkheden die studenten hebben met de wiskundevakken op het WO als gevolg van het slechte wiskundeonderwijs van de  middelbare scholen.  ‘Maria’ verwijst naar de toenmalige minister van Onderwijs: Maria van der Hoeven.

Mechanistisch rekenen, Koopmansrekenen:  Denigrerende benaming voor het rekenonderwijs van vroeger. Er wordt hierbij ten onrechte gesuggereerd dat men geen aandacht had voor begrip en inzicht en voor toepassingen.

NVORWO (Nationale Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken/Wiskundeonderwijs): vakvereniging ter bevordering van het reken-wiskundeonderwijs voor de leeftijdsgroep van 4 tot 14 jaar.

NVvW: Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.

OW&OC:  Ontwikkeling van het Wiskundeonderwijs en Onderwijs Computercentrum. Voorloper van het Freudenthal Instituut.

PANAMA: PAbo NAscholing Mathematische Activiteiten. Ieder jaar wordt er een PANAMA-conferentie gehouden, met sprekers uit vooral de vernieuwende hoek.

PISA-toets  (Programme for International Student Assessment). Een internationale toets uitgevoerd door de OESO (OECD) met als doel het meten en onderling vergelijken van de kennis en vaardigheden van scholieren. Het is eerder een intelligentietoets, het reken/wiskundeniveau van de opgaven is heel laag.

PPON: Periodieke Peiling OnderwijsNiveau

Realistisch rekenen: Bij realistisch rekenen ligt de nadruk op inzicht en niet op het inoefenen van rekenregels en rekenprocedures. Het doel is dat leerlingen de rekenregels zelf ontdekken en dat ze concrete problemen en situaties kunnen oplossen met behulp van eigen strategieën en inzichten. Hiervoor gebruikt men context-opgaven. Reken-oefeningen met pen en papier zijn minder belangrijk, er wordt kolomsgewijs gerekend en men doet aan ‘handig rekenen’. Men maakt al snel gebruik van de rekenmachine.

Realistisch reken-wiskundeonderwijs: Bij realistische reken-wiskundeonderwijs wil men leerlingen zover brengen dat ze (concrete) problemen en situaties kunnen oplossen met behulp van eigen strategieën en inzichten. Startpunt van dit leerproces vormen de voor leerlingen (alledaagse) contextsituaties, waarbij leerlingen diverse inhouden uitdiepen.

RR (-methode): Afkorting voor Realistische rekenen.

SLO: Nationaal Expertisecentrum LeerplanOntwikkeling. Op de gebieden rekenen en wiskunde werkt SLO veel samen met het Freudenthal Instituut.

Stichting Goed Rekenonderwijs: Opgericht door vrijwilligers uit bezorgdheid over de gebrekkige rekenvaardigheden van leerlingen. Stichting Goed Rekenonderwijs wil het rekenen van leerlingen verbeteren door de ontwikkeling en verspreiding van deugdelijk lesmateriaal.

TAL-projectTussendoelen Annex Leerlijnen. Nationaal programma voor het vak rekenen op de basisschool, door OC&W gefinancierd en uitgevoerd door het Freudenthal Instituut en SLO. Het traditionele cijferen wordt afgedaan als rekenen met onbegrepen trucjes zonder inzicht, mechanistisch, onnatuurlijk want van rechts naar links,  koopmansrekenenen en in feite overbodig. Handig rekenen is speerpunt in het TAL-project, waarbij elke som opnieuw creatief moet worden opgelost en er kolomsgewijs gerekend wordt. In het het TAL-boekje lezen we: “In de geschetste realistische didactiek wordt niet direct en uitsluitend op het reproduceren van de tafels aangestuurd via herhaald optellen, zoals vroeger in de mechanistische methodiek gebeurde via klassikaal uitgevoerde klaagzangen.”

TIMMS-toets (Trends in International Mathematics and Science Study). Een internationale toets met als doel het meten en onderling vergelijken van de kennis en vaardigheden van basisschool- en VO-leerlingen in de exacte vakken. Het reken/wiskundeniveau van de opgaven is heel laag.

Traditioneel rekenen, regelgeleid rekenen: Leerlingen krijgen de basiskennis van het rekenen systematisch aangeboden in goed overzichtelijke leerstappen en volgens een standaardoplossingswijze. Er is ook aandacht voor toepassingen en contexten. Dit is het rekenonderwijs zoals gebruikelijk in 1970.

Volgens Bartjens: vaktijdschrift uitgegeven door NVORWO.

IJsbergmetafoorEen metafoor, afkomstig van het Freudenthal Instituut, dat gebruikt wordt om de didactiek van het rekenonderwijs in de basisschool te ‘verduidelijken’: de formele ‘wiskundetaal’ (kale sommen) is slechts het ‘topje van de ijsberg’ als het gaat om begripsontwikkeling; er is, ook binnen het realistisch rekenen, teveel aandacht voor kale sommen; niet iedereen hoeft de top van de ijsberg te bereiken, d.w.z. niet iedereen hoeft de standaardalgoritmen bij rekenen te kennen. 

Wiskobas: (WISKunde Op de BASischool). Naam voor een nieuwe didaktiek, in de zeventiger jaren ontwikkeld door het Freudenthal Instituut. ‘Blind cijferen’ moest plaats gaan maken voor inzicht en alternatieve rekenstrategieën.

Wiskunde light: Andere benaming voor het HAVO/VWO-vak Wiskunde A

Wiskunde ultra-light: Andere benaming voor het HAVO/VWO-vak Wiskunde C

 

WIE IS WIE ?

 

Prof. Jan van de Craats: Hoogleraar wiskunde. Criticus van het huidig reken-wiskundeonderwijs. Mede-oprichter van  ‘Stichting Goed Rekenonderwijs’. Zijn lezing ‘Mythen in de rekendidactiek’ op de Panamaconferentie in 2007 lokte heftige reacties uit van zowel voor- als tegenstanders. Schrijver van  ‘Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen’: een uitgebreide analyse over wat er mis is met het rekenonderwijs en hoe het beter kan. 

Raf Feys: Feys was afdelingshoofd van Pabo-Torhout (België). Hij strijdt al tientallen jaren, deels met succes, tegen (voorgestelde) veranderingen van het Belgisch reken- en wiskundeonderwijs in de richting van het realistisch/constructivistische. Hij is criticus van het Freudenthal Instituut.

Hans Freudenthal (1905-1990): Hij was de geestelijke vader van het realistisch reken/wiskunde-onderwijs. Naar hem is het Freudenthal Instituut genoemd.

Prof. Koeno Gravemijer: Hij is Medewerker bij het Freudenthal Instituut en hoogleraar Science & Techniekeducatie. Hij is onderzoeker en promotor van het constructivistisch reken-wiskundeonderwijs.

Mieke van Groenestijn. Ze was projectleider  ‘Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie’.  Dit protocol heeft grote invloed op de reken/wiskunde-didactiek voor alle leerlingen, dus niet alleen voor leerlingen met dyscalculie. Ze studeerde onderwijskunde en orthopedagogiek.

Marian Kollenveld:  voorzitter van de NVvW.

Henk van der Kooij: Curriculumontwikkelaar bij het Freudenthal Instituut. Bestuurslid NVvW. Hij was coordinator exacte vakken VO bij het CEVO, nu CvE (College voor Examens).

Prof. Jan de Lange: Hij was directeur van het Freudenthal Instituut.

Adri Treffers: Hij was medewerker bij het Freudenthal Instituut en hoogleraar rekendidactiek in Utrecht. Hij was één van de grootste en invloedrijkste promotors van het realistisch rekenen.

Monica Wijers: Onderzoeker en ontwerper van reken-wiskundeonderwijs bij het Freudenthal Instituut. Ze wordt wiskundige genoemd, maar ze voltooide alleen de studie onderwijskunde. Wijers was betrokken bij de proef met de verplichte rekentoets die middelbare scholieren naast hun gewone examens moeten halen vanaf 2016.

 

 

 

—————————————————————————-

Vocabulaire van de vernieuwers: Realistische wiskunde – Burgerwiskunde – Constructivistische wiskunde – Mindset Mathematics –  Ethnomathematics – Social Justice Math –  Socio-math norms – Kolomsgewijs cijferen – Happend delen – Realistisch rekenen – Contextrijk rekenen – Het nieuwe rekenen – Schattend rekenen – Slim rekenen – Strategisch rekenen – Functioneel rekenen – Handig rekenen – Globaal rekenen – Inzichtelijk rekenen – Zelfontdekkend rekenen – Doelgericht rekenen – Probleemgericht rekenen – Generiek rekenen – Beroepsspecifiek rekenen – Flexibel rekenen –  Effectief rekenen Duurzaam rekenen – Excellent rekenen – Professioneel rekenen – Individueel rekenen – Coöperatief rekenen – Levend rekenen – Handelend rekenen – Spelend rekenen – Bewegend rekenen – Pretparkrekenen – Real Life Rekenen – Rekenen op burgerschapsniveau – Rekenen in projecten – Rekenen volgens leerlijnen – Rijke betekenisvolle rekenopdrachten – Betekenisvolle algebra  – Authentieke Context – Word problems versus image-rich numeracy problems –  Oplossingsstrategieën – Voorkeursstrategieën –  Geleid heruitvinden – Horizontaal mathematiseren – Verticaal mathematiseren – Progressief mathematiseren – Multi-channel rekenoefeningen – Denkactieve wiskundeopgaven – Wiskundige Denkactiviteiten (WDA) – Denkactieve wiskundelessen – Denkac­tieve kenmer­ken volgens het model van Van Streun – CUN (Complex, Unfamiliar and non-routine Mathematics Problems) – Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (GWA) – Computational Thinking – Techno-mathematical Literacies – Gecijferdheid – Ontluikende gecijferdheid – Professionele gecijferdheidGecijferdheidscompetenties – Gecijferdheidscoach – Gecijferdheidssituaties – Gecijferdheidsdossier – Gecijferdheidsportfolio – Persoonlijke Gecijferdheidsgereedschapskist – Rekenkist MBO – Rekenlokaal –  Rekenkast – Rekenkoffer – Rekenposters – Rekentaalkaart – Gecijferd bewustzijn – Rekenvlootschouw – Ontwikkelen van gecijferd gedrag Rekenwiskundige attitude – Competenties in het verwerven van nieuwe rekenwiskundige vaardigheden – Texas Instruments – Grafische rekenmachine – TI-84 plus c silver edition – TI_Nspire – Computer Algebra System (CAS) – Digitale Wiskunde Omgeving (DWO) – Geintegreerde Algebraische Leer Omgeving In School  (GALOIS) – Zeer Interactieve Goniometrie (Ziggy) – Geogebra – Rekenwerkgesprek – Rekenwijzer – Rekenpilotscholen – Rekenteam – Excellente rekendocent – Rekencoördinator – Rekencoach – Rekenexpert – Rekenconsultant –  Profiel rekenbewuste rekendocent  –  De Nationale Rekencoördinator Dag –  De regionale netwerken van rekencoördinatoren – Rekenatelier – Rekentuin – Rekenplein – Rijke rekenomgeving – Rekenonderwijscommunity – Rekenbeleidsplan – Rekenwerkgroep – Rekendenkkader – Rekendossier –  Drieslagmodel Functioneel Rekenen – Protocol Ernstige RekenWiskunde Problemen en Dyscalculie (ERWD) – Masterplan Dyscalculie – Handelingsmodel rekenen – Rekenbewust vakonderwijs – Doelgericht reken-wiskundeonderwijs – Opbrengstgericht rekenonderwijs Excellent rekenonderwijs – Krachtig rekenonderwijs – Motiverend rekenonderwijs – Inspirerend rekenonderwijs – Verantwoord rekenonderwijs – Verdiepend rekenonderwijs – Zinvol rekenonderwijs – Toekomstbestendig rekenonderwijs – Kindgericht rekenonderwijs – Taalondersteunend rekenonderwijs  – Rekenonderwijs volgens het model van interne convergerende differentiatie – Mindset Maths – RekenGroen – Verrijkend bètaonderwijs – Bèta Burgerschap – Wiskundige wereldoriëntatie –  Big Data – zOEFFi – Kangoeroewedstrijd – De Grote Rekendag gericht op 21st Century Skills – De ijsbergmetafoor – Number sense – Proportional sense – Dimensional (2D/3D) sense – Symbol sense – Number literacy – Data literacy – Algebraic literacy –  Wiskundige geletterdheid – PAbo NAscholing Mathematische Activiteiten (Panama) – Panamaconferenties – APS rekengroep – APS Exact – APS-wiskundeconferenties – APS Rekentoetsen – Talig Rekenen als Professie (TRaP-project, gesubsidieerd door NRO) – Inquiring Mathematical Power and Unexploited Learning of Special Education Students (IMPULSE) – International Commission for Study and Improvement of Mathematics Education (CIEAEM) – PRomote Inquiry-based learning in MAthematics and Sciece across Europe (PRIMAS) – MAthematics and SCience for Life (MaSciL, EU-project)

———————–

REKENEN EN WISKUNDE VOLGENS DE VERNIEUWERS

 

Kritiek op het traditionele cijferen

Het memoriseren van tafels is volstrekt overbodig.”  Hans Ter Heege (Medewerker Freudenthal Instituut)

Mechanische rekenvaardigheid heeft zijn maatschappelijke functionaliteit verloren.”  Koeno Gravemeijer (Medewerker Freudenthal Instituut)

Het cijferen, dat we vroeger leerden, heeft z’n betekenis verloren. Er is geen beroep meer waar je dat nog voor zou moeten kunnen.” Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut)

 

Traditioneel cijferen kan kort gekarakteriseerd worden als rekenen-zonder-hoofd.”    Adri Treffers (Medewerker Freudenthal Instituut)

“In de winkel wordt er voor je gerekend. Je hoeft dat niet zelf te doen.”  Mieke van Groenestijn (Lector ‘Gecijferdheid’ aan de Hogeschool Utrecht)

“Zo hoeft een caissière bijvoorbeeld niet meer te kunnen uitrekenen hoeveel een klant moet betalen of hoeveel ze moet teruggeven, want dat geeft de kassa aan. Wel moet ze het te betalen bedrag kunnen aflezen en het terug te geven bedrag kunnen samenstellen met het beschikbare geld in de kassa. Het toenemend aantal klanten dat met een pinpas betaalt, maakt op termijn zelfs het kunnen samenstellen van het bedrag minder belangrijk.”  Uit het rapport ‘De Toekomst Telt’ van SLO (Nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling)

Vermenigvuldigen wordt te vaak vooral, of zelfs alleen gekoppeld aan de verkorte notatie. Het symbool ‘x’ staat centraal. Dit lijkt overigens erg op ‘+’ wat voor sommige kinderen verwarrend is, het zijn allebei kruisjes. Verkorte notatie met symbolen wordt soms te gemakkelijk en te vroeg ingezet, zodat het betekenisloos is.”  ‘Kennisbank Rekenen door Denken’, Ruud de Moor Centrum OU

De vraag of cijferen nog wel nodig is wordt zeker legitiem als we bedenken dat de huidige reken-wiskundemethoden een mooi alternatief bieden, namelijk het kolomsgewijs rekenen.”  uit de map “Optellen en aftrekken tot 100 en tot 1000” van het Freudenthal Instituut

Veel wiskundeonderwerpen bieden de kans om leerlingen met getallen te laten werken. En ik zeg met opzet niet rekenen. Er is veel meer aan getallen te beleven dan alleen maar de bekende rijtjes sommen, waar onze vmbo-kinderen een grondige hekel aan hebben gekregen.” Frans Ballering (Lerarenopleider wiskunde aan de Hogeschool Rotterdam)

In de Nederlandse reken-wiskundemethodes ligt de nadruk te weinig op probleemgericht rekenen. Ons rekenonderwijs op de basisschool zou meer wiskundig van aard moeten zijn.”   Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Freudenthal Instituut)

We moeten kinderen niet leren rekenen, we moeten ze leren denken.”  Jelle Jolles, Hoogleraar neuropsychologie

 

De manier waarop kinderen waarnemen en denken (veel meer visueel dan vroeger, multi-tasking en hoppend) vraagt een nieuwe doordenking van het leerstofaanbod en het didactisch handelen bij Rekenen en Wiskunde.”  De Onderwijsinspectie

 Cijferen bereidt niet voor op wiskunde in het Voortgezet Onderwijs. Cijferen leidt niet tot inzicht in rekeneigenschappen.”     Koeno Gravemeijer (Medewerker Freudenthal Instituut)

Zo bezien is het cijferen niet per se nodig om later wiskunde te begrijpen.” Hans ter Heege (Medewerker Freudenthal Instituut)

 “Waarom  moeten we eigenlijk breuken kunnen vermenigvuldigen? Welke volwassene maakt er nog een staartdeling?” Ton van Rijn, Directeur basisschool ‘Wittering.nl’

32/125 en 9/20 zijn geen breuken die ik regelmatig nodig heb. Het is zinloze kennis. Het aardige is dat je voor rekentrucs ook niet veel hersens nodig hebt, iedereen kan ze leren.”  Wilma Cornelisse (Onderwijsjournaliste)

Algoritmen / Procedures

 

Het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!”   Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut)

Het leren van algoritmes impliceert meestal geen kennis van betekenis en gebruik van de voorkomende begrippen, draagt niet bij aan het leren oplossen van problemen en is zeker niet uitdagend.” Bert Zwaneveld, Hoogleraar ‘Professionalisering van de leraar’ aan het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit

Reken/wiskunde-onderwijs mag niet bestaan uit het aanleren van allerlei (veelal onbegrepen) algoritmen. Onnodig in het tijdperk van de rekenmachine.” Jan van Stralen (Docent PABO Amsterdam/Alkmaar en Medewerker bij het Freudenthal Instituut)

’Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Dit is een stompzinnige regel zonder betekenis.” Henk van der Kooij (Curriculum Developer bij het Freudenthal Instituut)

Zeker, standaardalgoritmen zijn technisch en historisch gezien mooie uitvindingen. Dat is ook de formule voor breukrekenen: “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Ik heb echter zelden een kind of zelfs een volwassene ontmoet die begreep waarop deze formule is gebaseerd. Namelijk op de relatie tussen maat, grootheid en getal. Een beker van een halve liter (maat) past 2 maal (getal) in een beker van één liter (grootheid). Dus 1 : 1/2 = 2.” Jo Nelissen (Freudenthal Instituut)

Bij het traditionele cijferen is het uitvoeren van de staartdeling veelal een blinde procedure. Het structureren betekent hier: het strikt volgen van regels voor uitvoeringsprocedures. Er is geen sprake van een structureringsproces, waarin de herhalingsstructuur en de tienstructuur zelf ontdekt worden.” R. A. de Jong (1986), ‘Wiskobas in methoden‘

 

Verder geldt dat regelgeleid rekenen voornamelijk nostalgie betreft en wetenschappelijk niet te onderbouwen is.” Kees Vreugdenhil (Vreugdenhil Onderwijsontwikkeling). Hij studeerde sociale pedagogiek en noemt zich breinexpert. Hij was betrokken als adviseur bij ‘Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de PABO’

 

 

De schadelijkheid van het traditionele cijferen

De nadruk op het cijferen vormt een blokkade naar gecijferdheid”. Uit “Kinderen leren rekenen” TAL-project (t.b.v. vernieuwd reken-curriculum PABO)

In de bovenbouw van de basisschool is maandenlang cijferen funest. Andere vormen van rekenen (hoofdrekenen, schattend rekenen en rekenmachinegebruik) zijn van groter belang dan het blote cijferen om de ‘gecijferdheid’ bij kinderen te bevorderen. ”    TAL-team, 2000

Het aanleren van de tafels is uiteraard een proces op zich. Het gevaar is dat je gedachteloos maar wat voor je uit zit te zeggen.” ‘Kennisbank Rekenen door Denken’, Ruud de Moor Centrum OU

De natuurlijke rekengaven van het kind moeten tot bloei worden gebracht. Het hardop oefenen van de tafels is schadelijk voor die ontwikkeling. Want als je de tafels hardop oefent wordt alleen het taalcentrum in de hersenen geactiveerd, en niet het rekencentrum.”  Jan de Lange, Hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut

“Ongecijferdheid, slecht kunnen omgaan met getallen en cijfermatige gegevens, vormen een veel groter probleem dan men denkt. Volgens Adri Treffers wordt dit niveau van ongecijferdheid niet zozeer bereikt door de inhoud van wat wordt onderwezen, maar is het juist het resultaat, door de structurele opbouw van de praktijk van het onderwijs.”  Prof. Jan de Lange,  Directeur van het Freudenthal Instituut

Anderen nemen over het cijferen een veel radicaler standpunt in. Als we volgens Dehaene kijken naar de rekenvaardigheid van mensen, dan is het duidelijk dat onze hersenen niet gemaakt zijn om te cijferen. Daarom kunnen we het maar beter uit het onderwijsprogramma halen.“  Prof. Marja van den Heuvel-Panhuizen (Freudenthal Instituut)

Internationaal onderzoek wijst uit dat vroege invoering van het cijferen en een te grote nadruk daarop een blokkade vormen voor de groei naar het flexibel en deskundig omgaan met getalsmatige gegevens, naar gecijferdheid.”  Jan van Maanen, Directeur van het Freudenthal instituut

Kale rijtjes leren, zoals sommige recente boeken propageren, lijkt mooi, maar het legt een geweldig beslag op het geheugen als je die kennis nergens aan kunt vastmaken. Het leidt tot verwarring.” Jan van Maanen, Directeur van het Freudenthal instituut

Een eenzijdige, sterk mechanistische didactiek kan de oorzaak zijn van dyscalculie. Er is hier sprake van ernstige didactische verwaarlozing.” Jo Nelissen (Freudenthal Instituut)

“Joop van Dormolen betoogde dat als er vooral aandacht wordt besteed aan het trainen van vaardigheid in specifieke methoden, het gevaar bestaat dat dit ten koste gaat van de vorming van de algemene, onderliggende concepten. De specifieke methoden worden dan elk afzonderlijk in het langetermijngeheugen opgeslagen. Door het ontbreken van de verbindende algemene methoden en concepten worden die technieken vaak slecht toegankelijk. Leerlingen kunnen bij het verwerven van nieuwe begrippen of vaardigheden dan niet voortbouwen op een bestaand netwerk aan kennis. Dat leidt ertoe dat leerlingen voor elke kleine variatie in opgaven weer nieuwe oplossingsprocedures moeten leren. In andere woorden: hun kennis is dan niet samenhangend.” Anneke Verschut, Arthur Bakker (Freudenthal Instituut)

Veel kinderen raakten door de traditionele rekenmethoden hun motivatie kwijt.”   Kees Hoogland (Adviesbureau APS)

Veel kinderen zijn verloren voor het rekenen, omdat ze moeten beginnen met het aanleren van de rekenregels. En dan komt het nooit meer goed.”  Harry Gankema, Senior-Adviseur bij de KPC Groep. Bedenker van de scholen Slash21 en Wittering.nl

Algorithms not only are not helpful in learning arithmetic, but also hinder children’s development of numerical reasoning. We have two reasons for saying that algorithms are harmful: They encourage children to give up their own thinking, and they unteach place value, thereby preventing children from developing number sense. The persisting difficulty with standard algorithms lay in the column-by-column, single-digit approach that prevents children from thinking about multidigit numbers. Children in the primary grades should be able to invent their own arithmetic without the instruction they are now receiving from textbooks and workbooks.“   Uit ‘The Harmful Effects of Algorithms in Grades 1-4’   Constance Kamii, Ann Dominick (onderwijskundigen)

Giving children tests on their times tables is creating huge damage”  ” I have never memorized my times tables. I still have not memorized my time tables. It has never held me back, even though I work with maths every day.”  “Time tables tests cause the early onset of maths anxiety.” “When students focus on memorizing times tables they often memorize facts without number sense, which means they are very limited in what they can do and are prone to making errors“.   Jo Boaler, maths education professor at Stanford University

De rekenmachine

 

Als het inzicht er maar is. En de berekening zelf kun je dan uiteindelijk best door een rekenmachine laten maken.” Mieke van Groenestijn (Lector ‘Gecijferdheid’ aan de Hogeschool Utrecht)

“De opvatting dat kinderen door in de basisschool de rekenmachine te gebruiken, niet meer leren rekenen, is even hardnekkig als onjuist.”  Willem Vermeulen (Rekenwiskundemethode ontwikkelaar)

Er gaat heel veel geld naar het verbeteren van rekenvaardigheden, terwijl iedereen de beschikking heeft over een mobieltje met rekenfunctie. Het lijkt mij dat je daarmee investeert in iets dat terugkijkt.”  Dave Drossaert, rector van uniC, een middelbare school  in Utrecht.

Waarom die aandacht voor rekenen?  Als je langere tijd je rekenvaardigheden niet hebt geoefend raak je die kwijt. Dat is helemaal niet vreemd; je gebruikt het gewoon niet in je dagelijks leven.” Prof. Joseph Kessels, Hoogleraar ‘Opleidkundig Leiderschap’ bij LOOK aan de Open Universiteit.

Is het begriploos uitschrijven van een staartdeling zoveel beter dan het begriploos intypen van die deling in een zakcalculator?”  Otto van Poelje (wiskundig ingenieur), Simon van der Salm (docent wiskunde VO)

Het is niet handig veel tijd te steken in foutloos leren cijferen als je daar later toch die rekenmachine voor gebruikt.” Prof Koeno Gravemeijer n.a.v. het PPON-onderzoek waarin een dramatische terugval in het cijferend rekenen op de basisschool werd vastgesteld.

Wie van ons vermenigvuldigt nog twee getallen van elk drie cijfers met pen en papier? Is dit geen verspilling van tijd van onze meest getalenteerde leerlingen aan routinematige vaardigheden die ze in de toekomst niet meer nodig zullen hebben?” Prof. dr. H.M.C. Eijkelhof (Hoogleraar-directeur Freudenthal Instituut)

 —————————-

 

 

De claim over de didactische superioriteit van de aloude cijfermethodes wordt op geen enkele wijze door de beschikbare onderzoeksresultaten gerechtvaardigd — integendeel. De resultaten op alle niet cijferonderdelen zijn in die traditionele methodes ver onder de maat, terwijl ze bij het cijferen evenmin excelleren. “  Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerkers Freudenthal Instituut) 

 

 

In onze vakgroep zitten geen mensen met een wiskunde-achtergrond. Dat zien wij als een voordeel. Niet dat een wiskundeleraar geen rekenen zou kunnen geven, maar hij kijkt toch vaak wat abstracter naar rekenen.” Uit ‘Voorbeeldig rekenonderwijs’,  Steunpunt taal & rekenen

We weten al lang dat je kinderen kunt laten rekenen in ongeveer twintig weken, in plaats van zes jaar basisonderwijs.” Prof.  Luc Stevens, Oprichter NIVOZ

Het rekenonderwijs moet functioneel, laagdrempelig, zo realistisch mogelijk, visueel aantrekkelijk en het liefst met geluid zijn.”  Richard van der Kraan (Docent rekenen ROC Zadkine)

Rekenen/wiskunde is op de basisschool zo belangrijk dat het wel een doel op zichzelf lijkt te zijn geworden. Daarbij komt dat het domein vaak onnodig wordt verengd tot cijferen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en procenten berekenen, maar uiteindelijk worden kinderen geen cijferaar van beroep. Rekenen is een hulpmiddel voor de activiteiten waar het in het leven echt om gaat.“  Uit het rapport ‘Talent ontwikkelen met Wetenschap en Techniek’  geschreven in het kader van het project ‘Excellentie, Wetenschap en Techniek’, dat zich richt op het bevorderen van wetenschap en techniek binnen het basisonderwijs.

Oefening baart kunst, maar zelden inzicht.” Uit  ‘Rekendidactiek op de opleiding voor leraar wiskunde’, Hogeschool Rotterdam

De kern van de grote uitdaging voor het rekenonderwijs in het vo is een aanbod te leveren dat aansluit op de onderwijsbehoeften van leerlingen met een grote variëteit aan rekenvaardigheid.”  Uit ‘Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie voor het VO’

Lesboeken slaan veel onderwijs dood. Levend rekenonderwijs kan niet volledig geregisseerd worden door kant-en-klare methodes of lespakketten.”  Uit leerboek ‘Dat telt, bouwstenen voor levend rekenonderwijs’

De methode ‘Dat telt : levend rekenonderwijs’ heeft voor zeventien rekengenres een leerlijnmatrix uitgewerkt. Hierin staat een korte beschrijving per fase, een vertaling naar levensechte situaties, de koppeling aan zowel de kerndoelen, de vakkennis, leesschrijfvaardigheid als sociale vaardigheden. Daarbij worden ook de brevetten per fase opgenomen. In die brevetten staat zeer concreet beschreven aan welke eisen een kind moet voldoen en het is zo opgesteld dat een kind dit zelf kan invullen.” Mark Sanders (Opleidingsdocent rekenen/wiskunde aan Pabo De Kempel, Helmond)

“Maatgetallen maken het voor leerlingen eenvoudig om te begrijpen wat er gebeurt als er gerekend wordt met kommagetallen. We pleiten er dan ook voor om in het vervolgonderwijs vooral vast te houden aan het rekenen met maatgetallen en niet met breuken, omdat die maatgetallen goed aansluiten bij de kennis van de leerlingen.” Jan Folkert Deinum, Egbert Harskamp (Docenten onderwijskunde)

Het is wel heel erg reactionair om zo te hameren op rekenvaardigheden. Binnen nu en een paar jaar verandert de samenleving ingrijpend als gevolg van ict.”  Prof. Rob Martens (Hoogleraar ‘Multimedia educatie’ aan het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit)

Het idee over rekenen vroeger was: je kunt het of je kunt het niet. En als je het niet kunt is er niets aan te doen.”  Uit brochure  ‘Op ouders kun je rekenen’ van de PO-raad

Opvallend is dat het rekenonderwijs van de zestiger jaren niet toepassingsgericht en inzichtelijk was opgebouwd.”  Kennisbasis wiskunde, Ruud de Moor Centrum Open Universiteit (professionalisering onderwijsgevenden)

Er wordt door tegenstanders van het kolomsgewijs rekenen hard geroepen dat ze niet goed zijn, omdat het van links naar rechts is. Maar mij valt op dat ook de staartdeling van links naar rechts is.”  Lonneke Boels (Docente wiskunde. Ontwikkelaar van rekenlessen voor de bovenbouw Havo binnen een project van de NVvW)

 

“De alarmerende berichten over de afnemende kwaliteit van het rekenonderwijs, zoals die met name in enkele media en bij sommige politici naar voren worden gebracht, missen elke empirische grond.”  Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Freudenthal Instituut)

Indien er geen methodevernieuwing had plaatsgevonden, zouden de uitkomsten van het rekenwiskundeonderwijs thans lager zijn geweest. De afname van de cijfervaardigheid bij met name vermenigvuldigen en delen kan derhalve niet aan de toename van de nieuwe rekenmethodes worden toegeschreven.”  Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerkers Freudenthal Instituut)

 

De zegen van het realis­tische reken- en wiskun­deonder­wijs van de Duits-Neder­landse wiskun­dige en peda­goog Hans Freudenthal ver­taalt zich al jaren in een opti­maal oplei­dingsni­veau van de gemid­delde Neder­lander. Het is dan ook treurig om te zien dat het calvi­nis­tisch cha­grijn in het Neder­lands onder­wijs met middel­eeuwse stand­punten, dodelij­ke reken­toetsen, ver­scherp­te slaag/zakrege­lingen en beper­kingen van het gebruik van de (grafi­sche) rekenma­chine steeds meer voet aan de grond dreigt te krijgen.” Ton Groeneveld (Lid Redactie WiskundE-brief)

De afgelopen jaren heeft resultaatgericht werken het Nederlands rekenonderwijs oppervlakkig gemaakt. Testresultaten waren voldoende, maar heeft deze ontwikkeling werkelijk bijgedragen aan het doorgronden van rekenconcepten? Leerlingen leerden niet echt nadenken.” Uit ‘Deep learning met resultaat’, Pieter Gerrits (Adviesburo CPS), Suzanne de Lange (Docent rekenen-wiskunde PABO InHolland)

“Ik ken genees rekenen.”  Leerlinge ROC Zadkine

Kritiek op Prof. Jan van de Craats

Aanvoerder van de restauratieve rekenen/wiskundebeweging is Jan van de Craats. Zijn standpunt over rekenen/wiskunde is puur politiek, al zal frustratie over het succes van zijn collega Hans Freudenthal wellicht meespelen. De Van-de-Craats-wiskunde vloeit niet voort uit de discipline, uit het vak, maar uit een achterhaald cliché over hoe onderwijs eruit moet zien. De methode Van de Craats biedt scholieren in basis- en voortgezet onderwijs uitsluitend reken- en wiskundesommen die zijn voorzien van voorgeponste oplossingen. Nadenken hoeft niet meer, nadoen is voldoende. De koppeling met de wereld om ons heen verdwijnt, net als het oplossingsgerichte denken dat onlosmakelijk met realistisch rekenen/wiskunde verbonden is.” Wilma Cornelisse (Onderwijsjournaliste)

Het inmiddels bekende artikel van Van de Craats over het onvermogen van Daan en Sanne om goed te rekenen heeft een hoog ‘wat de boer niet kent … -gehalte’“ Dolf Janson (Adviesbureau APS. Medeauteur van het ERWD-protocol voor het VO)

Ik heb Jan van de Craats ook vergeleken met Geert Wilders en Rita Verdonk: beiden gericht op de onderbuikgevoelens van eenvoudige burgers. Door met simpele kreten het gevoel te geven dat alle problemen erg zijn, maar met simpele oplossingen zijn te verhelpen.“ Henk van der Kooij (Freudenthal Instituut)

The opponents of  Realistic Mathematics Education have as their leader jan van de Craats, a professor in mathematics, who used to teach at a military academy.” Marja van den Heuvel-Panhuizen (Freudenthal Instituut)

De ideeën van Van de Craats hebben geen enkel draagvlak.”  Adri Treffers (Medewerker Freudenthal Instituut)

We zijn twintig jaar met veel mensen bezig geweest om tot het kolomsgewijs rekenen te komen en nu wil een enkele wiskunde professor dat onderuit halen.”  Uit Panamapost n.a.v. de lezing “Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen” van Prof. Jan van de Craats

Van de Craats zegt in zijn lezing: ‘Voor elk van de vier hoofdbewerkingen is er één universeel werkend recept.’ ‘Was het leven maar zo eenvoudig’, is mijn reactie.”  Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut)  

Van de Craats en de zijnen schuwen meestal de dialoog en brengen hun verhalen liever ongenuanceerd en rechtstreeks in de media.”  Anne van Streun (Hoogleraar didactiek van de wiskunde en natuurwetenschappen; voorzitter van de werkgroep rekenen in de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen)

De privé-inzichten van Van de Craats, voorzitter van de ‘resonansgroep’, over hoe je wiskunde moet onderwijzen, komen, als het voorstel van de bewindslieden wordt aangenomen, in de examenprogramma’s terecht. Daar mag een nieuwe commissie-Dijsselbloem zich over tien jaar over buigen.”   Jan van Maanen (Directeur van het Freudenthal Instituut)

Van de Craats bases his statements on superficial, incomplete, and one-sided perceptions and clearly shows he lacks knowledge of research and developmental work on mathematics education over the last thirty years.” Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut)

Van de Craats toont niet alleen aan onvoldoende kennis en interesse in wetenschappelijk onderzoek naar het onderwijs in wiskunde te bezitten, maar ook dat het hem worst is. Blijkbaar is het al jaren dor hout. Met zijn onwetenschappelijk amateuren is hij een stoorzender geweest die minister, parlement, onderwijs, journalisten, publiek en ook wetenschappers op het verkeerde been heeft gezet.”   Thomas Colignatus (pseudoniem voor Thomas Cool); schrijver van boeken over wiskundeonderwijs. Hij studeerde economie

Jan van de Craats beweert: ’Juist tijdens het oefenen ontstaat geleidelijk steeds meer begrip’. Ik begrijp niet goed hoe een Hoogleraar in de wiskunde zo’n uitspraak kan doen. Alsof begrip vanzelf komt als je maar lang genoeg oefent. Maar oefenen en denken dat het met begrip en inzicht dan wel automatisch goed komt, dat is van een naïviteit die ik niet van een Hoogleraar had verwacht.”  Hans Wisbrun (Hij heeft een eigen bedrijf ‘Wisc’ dat zich o.a. bezighoudt met het ontwikkelen van leermateriaal)

Waarschuwing aan de ouders

Er zijn ouders die hun kind thuis extra rekenles willen geven om rekenachterstanden te voorkomen. Hierdoor kunnen ze doorkruisen wat er op school gebeurt. Immers, de school hanteert een bepaalde manier om het rekenen te laten leren en wanneer men dat thuis op een heel andere manier aanpakt zou dat het kind in verwarring kunnen brengen.” Prof. Theo Wubbels (Onderwijskundige. Directeur van de docentenopleiding IVLOS)

“Ouders, help je kinderen vooral niet met rekenen. De manier waarop ouders zelf het rekenen hebben aangeleerd is zo anders dan wat nu op school wordt geleerd, dat de kinderen al snel hopeloos verdwalen. Begin er niet aan!”  Frederik Smit (Onderzoeker ouderbetrokkenheid bij ITS Nijmegen)

En tegen Daan en Sanne zou ik willen zeggen: niks meer over rekenen aan opa vragen. Die helpt jullie van de regen in de drup. Ik wil jullie wel ‘handig rekenen’ leren, in een klasje met Juliette en Jonas.”  Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut) 

De vraag is nu of ouders er verstandig aan doen hun kinderen met rekenen te helpen. Ik zou zeggen: indien ze dat wenselijk achten zouden ze dat in ieder geval pas na overleg met de school moeten doen. Dan is het echter nog maar de vraag of hulp van een ‘rekenouder’ wel zo effectief isWant kinderen leren rekenen is een vak.” Adri Treffers (Medewerker Freudenthal Instituut, Hoogleraar rekendidactiek)

Wiskunde

Houd toch op met dat gezeur over die algebraïsche vaardigheden.” Kees Hoogland (Adviesburo APS)

Wat moeten we met algebra in de 21ste eeuw? Is algebra een taal, een manier van redeneren, of een manier om haakjes weg te werken?” Jan de Lange (Freudenthal instituut)

Steeds meer mensen kunnen wiskunde toepassen, ook als ze niet beschikken over de nodige vaardigheid in de rekenalgoritmen. Het gebruik van ICT werkt tijdsbesparend.”   Uit ‘Ontwerpleerplan wiskunde 2009’ ,  VVKSO, België

Bij wiskunde zijn de prestaties achteruit gegaan bij de havo- en vwo-leerlingen. In PISA worden vooral hogere wiskundige vaardigheden gemeten. Een relevante vraag is in hoeverre de recente nadruk in het onderwijs op basale rekenvaardigheden in het havo/vwo wellicht ten koste is gegaan van de beheersing van de hogere-orde vaardigheden in wiskunde.” CITO, n.a.v. de PISA-2015 scores

Eindelijk zullen kinderen met plezier naar het wiskundelokaal komen, waar we ze niet meer met dat formele en abstracte gedoe zullen lastigvallen. ”  ‘Commissie Ontwikkeling Wiskundeonderwijs’, welke de opdracht had te komen tot een vernieuwd wiskundeprogramma voor de basisvorming

Vroeger was het algemeen de didactische praktijk dat de docent voordeed wat de leerlingen moesten leren, en die probeerden dat dan na te doen.” “ Soms wil het de leerling maar niet duidelijk worden. Het is dan voor de leraar erg verleidelijk even de truc te demonstreren, dan kan de leerling weer even verder. Maar een truc die niet op inzicht is gebaseerd heeft weinig draagkracht, en een kort leven. De docent kan echter de leerling niet dwingen te begrijpen. Het beste is in veel gevallen de zaak even te laten rusten en een volgende keer met nieuwe voorbeelden nog een poging te wagen. Het kan niet genoeg benadrukt worden hoe belangrijk het is dat de leerling een oplossingsmethode als ‘eigen’ ervaart.” Bram Lagerwerf (Auteur van het APS-boek ‘Wiskunde-onderwijs in de basisvorming’)

Een leerling maakt op dit moment een filmpje over het berekenen van de omtrek van een cirkel. Daar is hij heel druk mee, en als het af is, weet hij er ongetwijfeld alles van. Hoe creatiever de leerlingen zijn, hoe beter dat is voor hun leerproces. “ Wilma ter Riet, Teamleider Innova, Het Stedelijk Lyceum Enschede

The past was subject-based, the future needs to be project-based.”  Andreas Sleicher (Hoofd PISA) 

 

Wiskundeonderwijs in Nederland is traditiegetrouw vooruitstrevend. Behalve een kleine groep in het eerstegraadsgebied. Deze zal op een eilandje proberen zich te onttrekken aan elke vernieuwing.”   Jan de Lange, Freudenthal Instituut  

Wanneer computers onze wiskunde doen, wat moeten we dan met ons wiskundeonderwijs?” Koeno Gravemeijer

Stop teaching calculating. Start teaching math.”  Conrad Wolfram

“Conrad Wolfram verwoordt goed wat mijn gevoel al heel lang is. De computer kan en moet gebruikt worden voor alle berekeningen en het onderwijs kan zich op de conceptuele aspecten richten.” “De vergelijking die hij dan maakt en die mij zeer aanspreekt, is dat het erop lijkt dat als je wilt leren autorijden je ook verplicht bent precies te begrijpen wat zich in de motor afspeelt en bij voorkeur ook nog een reparatie kan verrichten als er iets misgaat.”   Maurice de Hond (Bedenker van de Steve-Jobsschool) 

The integration of technology raises questions concerning the goals of algebra education and the relevance of paper-and-pencil techniques, now that they can be left to a technical device.” Paul Drijvers (Freudenthal Instituut)

In de laatste jaren zien we ook een regelmatig opduikende suggestie om technologische hulpmiddelen in zijn geheel te verbieden bij reken- en wiskundeonderwijs. Dat is een richting die zeer waarschijnlijk het onderwijsniveau in wiskunde snel naar of tot onder het europees gemiddelde zal doen dalen en is ook een tendens die ingaat tegen de wereldwijde tendens om in de 21e eeuw meer technologie te gebruiken in het onderwijs.”   Kees Hoogland, Peter van Wijk  (APS)

Het onderwijs deed er meer dan 100 jaar over om te erkennen dat door mensen uitgevoerde algoritmen net zo goed – en meestal zelfs beter – door rekeninstrumenten kunnen worden uitgevoerd.”  Otto van Poelje (Wiskundig ingenieur), Simon van der Salm  (Docent wiskunde VO)

It’s possible to do algebra without symbols. Formulas and equations are no more algebra than a page of musical notation is music.”  School algebra does not have to be symbolic. It was done in a rhetorical fashion for thousands of years until the 16th century.”   Keith Devlin, Directeur Stanford MediaX research network; auteur van “The Math Gene”

Wiskundige begrippen worden slechts begrepen als ze aangeboden worden in een context.” American Standards 1989, National Council of Teachers of Mathematics 

Algebra doet zich voor in situaties. Daarmee vormen contexten de bron, de aanleiding en de legitimatie van de algebra. Het uitstellen van toepassen ‘tot later’ is niet motiverend en evenmin productief. Contexten bieden de leerling grond onder de voeten en zijn het vertrekpunt voor algebra.”  Paul Drijvers

Rekenen met breuken, wortels en negatieve getallen is vele malen belangrijker dan de abc-formule of de cosinusregel. Als we —vooral— de abc-formule maar eens zouden mogen afschaffen, dan valt een loden last uit het programma. Dan verdwijnt de rituele dans om de tweedegraads vergelijkingen en dan ook die om de parabool. Weg met de rituele wiskunde dus.”  Martinus van Hoorn, Hoofdredacteur Euclides

Rekenen-wiskunde moet niet gaan over sommen die leerlingen uitrekenen en die dan goed of fout zijn, maar over problemen waar leerlingen over moeten nadenken. Het gericht zijn op goede antwoorden is een effect van de bestaande inrichting van het onderwijs, dat oppervlakkige resultaten oplevert.” Kees Hoogland (Adviesburo APS)

Om goed te kunnen tennissen is heel veel oefening nodig; maar de vergelijking met een vak als wiskunde, waarbij het draait om begrip, gaat volledig mank. Je kunt zolang als je wilt oefenen op bepaalde vraagstukken, maar als je ze niet begrijpt, zul je het nooit leren.”   Marianne Offereins, Eindredacteur NVOX, tijdschrift voor natuurwetenschap op school

“Of leerlingen de natuurlijke nieuwsgierigheid op kunnen brengen voor zaken als Franse grammatica of wiskunde? Ik denk dat het antwoord ja is. Leerlingen die met een docent een aantal bruggen gaan bekijken en zelf uitzoeken waarom die bruggen niet instorten, doen heel veel wiskundige kennis op.”  Prof. Rob Martens, Onderwijspsycholoog

Een docent wiskunde gaf vroeger drie uur per week ‘losse lessen’. Nu moet hij een korte cursus wiskunde ontwerpen voor een specifiek project, zoals in een echte werksituatie het geval is.”  Anneloes Vogelaar, Docentenbegeleider ROC Da Vinci

Studenten aan technische opleidingen willen heel graag techniek doen, maar haken af op de wiskunde? Dat zal toch niet waar zijn, dat opvattingen van wiskundedocenten het studeren belemmeren in plaats van helpen!”  Kees Hoogland

Er wordt bij ‘natuurlijk leren’ niet voor gekozen te werken vanuit de vakken. Ik ben overigens optimistisch als het gaat om wiskundige activiteiten van de leerlingen. Wanneer zij met klussen bezig zijn, ontstaat er in het algemeen een behoefte om iets aan wiskunde te doen.”   A. Vink, APS-begeleider natuurlijk leren

Vanaf volgend studiejaar hoeven studenten niet meer allemaal per se de moeilijkste wiskundevakken te volgen, maar kunnen ze ook kiezen voor psychologie of economie. Het wordt makkelijker als ze de abstracte vakken, waarvoor ze weinig gemotiveerd zijn, niet meer hoeven te doen.”  Floris Ran (woordvoerder TU Eindhoven)

 

Kees Hoogland (Medewerker Adviesburo APS, vakcoördinator wiskunde. Hij is/was betrokken bij allerlei vernieuwingen in het reken- en wiskundeonderwijs. Hij is lid van de Nederlandse Onderwijs Commissie voor de Wiskunde met als taak: ‘het geven van beleidsadviezen en reacties op beleidsnota’s over de verbetering van het wiskundeonderwijs’. Hij was hoofdredacteur van Euclides, het tijdschrift voor wiskundeleraren. Hij heeft een eigen website ‘gecijferdheid.nl’. Medewerker bij SLO (Nationaal expertisecentrum LeerplanOntwikkeling), dit ondanks zijn commerciële belangen!!)

[Houd toch op met dat gezeur over die algebraïsche vaardigheden] [Van sommen maken naar gecijferdheid] [Openingslezing Kees Hoogland Panamaconferentie 2016]

  • Het reken- en wiskundeonderwijs is altijd gericht geweest op het doen van bewerkingen. Dat is in het industriele tijdperk een belangrijke vaardigheid geweest; die vaardigheid is nu niet meer van belang, het is over, ouderwets, het heeft geen zin meer. Er komt nu een herbezinning op gang en dat is maar goed ook want anders blijf je leerlingen heel lang lastig vallen met lessen die geen enkel effect, geen enkele transfer hebben.
  • Gecijferdheid heeft niets te maken met cijferen op de basisschool. Cijferen is het mechanisch uitoefenen van voorgeschreven algoritmes op van betekenis ontdane symbolen. Gecijferdheid richt zich op de rol van cijfers, patronen structuren in de wereld om ons heen en in de lerende zelf.
  • Standaardrekenen leidt slechts in geringe mate tot het bevorderen van gecijferdheid. Dat dat wel zomaar automatisch het geval zou zijn is een wijd verbreid misverstand.
  • Kinderen worden steeds getest op dezelfde manier, met dezelfde sommen en keer op keer moeten ze oefenen met diezelfde sommen. Dat werkt niet.
  • Een staartdeling is niet meer dan een trucje.
  • Onze generaties, en dan heb ik het over degenen die in de zestiger en zeventiger jaren op school zaten, hebben de staartdeling geleerd als een algoritme, een reeks instructies. Het was eigenlijk niet meer dan een trucje. Het probleem zat hem bij grote groepen wat zwakkere leerlingen, voor wie het algoritme gewoon te abstract was. Ze voerden het trucje wel uit, maar ze begrepen het niet.
  • Veel kinderen raakten door de traditionele rekenmethoden hun motivatie kwijt.
  • Rekenangst wordt veroorzaakt door een fout/goed-cultuur.
  • In rekensituaties gaat het om het maken van sommen en het komen tot antwoorden; zijn antwoorden goed of fout; kun je de sommen of kun je ze niet; gaat het om technieken en notaties. In gecijferdheidssituaties gaat het om interpreteren; gaat het om redeneren (en wat moet ik daar mee); gaat het om kritisch zijn; vorm je een mening of krijg je een impressie.
  • Het gaat er niet om hoe goed iemand een sommetje kan uitrekenen, maar of die persoon weet hoe hij een rekenopgave moet aanpakken.
  • Het onderwijs legt de nadruk op rekenen omdat dat gemakkelijk is te onderwijzen, te toetsen, vorm te geven en het is gemakkelijker om daar lesmateriaal over te maken.
  • Het reken-wiskundeonderwijs moet minder op antwoorden gericht zijn en meer op probleemoplossen. Rekenen-wiskunde moet niet gaan over sommen die leerlingen uitrekenen en die dan goed of fout zijn, maar over problemen waar leerlingen over moeten nadenken. Het gericht zijn op goede antwoorden is een effect van de bestaande inrichting van het onderwijs, dat oppervlakkige resultaten oplevert. Leren probleemoplossen ligt veel dichter bij het wezen van wiskundig denken.
  • Gecijferdheid neemt de wereld om ons heen als uitgangspunt. Die is zo rijk, zo gevarieerd en zo complex, dat studenten een zeer uitgebreid repertoire nodig hebben om zich daarin te redden.
  • Cijferen is, net als het topje van de ijsberg, het meest zichtbare en bekende deel van gecijferdheid. Het grootste deel, getalbegrip, verbindingen kunnen leggen, modelleren, herkennen in de praktijk, interpreteren en toepassen in de praktijk is vaak een onzichtbaar of onbekend deel van rekenen. Het drijfvermogen van de ijsberg is het rekenkundig en wiskundig denken en dat is veel omvangrijker en fundamenteler dan het topje. Hoe meer in onderwijs wordt geinvesteerd in het drijfvermogen hoe stabieler de top wordt. Zonder drijfvermogen is er geen zichtbare top.
  • Er is een brede zorg of het gangbare reken- en wiskundeonderwijs de geëigende vorm is om de gewenste gecijferdheidscompetenties te verhogen.
  • Cijferen komt in het dagelijks leven weinig voor, en dan kan worden uitgeweken naar de rekenmachine; getalbegrip is van groot belang. Ik vraag me af of kale sommen oefenen de goede manier is om gecijferdheid aan te brengen.
  • Tussen 4 en 18 jaar gaan kinderen naar school. Hun intuïtieve natuurlijke nieuwsgierige en waardenvrije ontdekking van de gecijferdheid in de wereld om hen heen komt tot een vrij abrupt einde. De wereld van het rekenen wordt van 3-dimensionaal en levensecht opeens 2-dimensionaal, plat en los van de echte wereld: werkbladen, boekjes, beeldscherm, stil zitten achter een tafel, vooral niet bewegen, alles via het hoofd, liever niet met de handen. Soms snel toewerkend naar door anderen bedachte notaties en conventies. Er ontstaat een wereld van een antwoord-gedreven goed-fout cultuur. In de volwassen wereld blijken heel veel mensen moeite te hebben met zelfs elementaire gecijferdheidsproblemen. Zo moeilijk is rekenen nu ook weer niet. Ik denk dat veel van de gesignaleerde problemen van psychologische aard zijn, opgebouwd door plat rekenen in een goed-fout cultuur buiten de context van de echte wereld.
  • Professor Van de Craats stelt dat zijn ‘Basisboek rekenen’ zal helpen om met vlag en wimpel te slagen voor elke rekentoets. Een gecijferd mens weet dan raad met opgaven als (1/3 x 6/8): (1/3 + 3/5). Ik vraag me zeer af wat dit nu bijdraagt aan gecijferdheid van leerlingen of studenten, en dus ook wat nu eigenlijk de relevantie is van al die toetsen.
  • Realistisch rekenen wordt wereldwijd gezien als een goed gedocumenteerde en onderzochte instructietheorie voor het leren van rekenen. Ook de resultaten zijn internationaal gezien van goede kwaliteit.
  • Realistisch rekenen benut de verschillende strategieën die kinderen van nature inzetten bij rekenproblemen.
  • Ik heb het sterke vermoeden dat de manieren om leerlingen beter te laten functioneren in kwantitatieve situaties niet zullen bestaan uit werkbladen en andere schoolboeken. Het zullen reflecterende gesprekken zijn tussen docenten en leerlingen en tussen leerlingen onderling: ‘wat deed je nu net in die situatie van gecijferdheid ? Wat dacht je en hoe ben je er uit gekomen ?’
  • Laat een poster maken van allerlei gecijferdheidssituaties die leerlingen echt hebben meegemaakt. Maak een ‘Persoonlijke Gecijferdheidsgereedschapskist’ voor leerlingen waarmee ze gecijferdheidssituaties kunnen aanpakken. Benoem een ‘gecijferdheidscoach’ in het kernteam die leerlingen op het spoor zet van gecijferdheidsaspecten.
  • Het meest ideale zou zijn om de leerlingen mee te nemen, de school uit, en in echte situaties te brengen waar ze rekenen moeten toepassen. Bijvoorbeeld naar een supermarkt en ze twee potten jam laten vergelijken. Een van 350 gram en een van 275 gram. Welke is goedkoper?
  • Gecijferdheid is niet eenvoudig te toetsen is. Ik weet ook niet of dat nodig is. Vooruitgang in gecijferdheid is zichtbaar te maken in de reflecties die je doet met een leerling. Ik denk dan eerder aan iets als een gecijferdheidsportfolio, waarin je bewijzen en voorbeelden verzamelt van je kunnen, dan aan een toets.
  • Het ligt meer voor de hand om leerlingen een gecijferdheidsdossier aan te laten leggen met voorbeelden van eigen producten. Systematisch hieraan werken is vruchtbaarder dan leerlingen elk jaar te toetsen met dezelfde soort formele reken- en wiskundesommen, die verder alleen functioneren binnen de schoolcontext.
  • Het in het hoofd kunnen visualiseren van allerlei wiskundige begrippen en processen kan wel eens een grote doorbraak betekenen ten opzichte van het meer mechanistisch en manipulatief handelen. Louter al doordat het denken naar een andere hersenhelft verschuift.
  • Wist U dat het uitvoeren van bewerkingen in een geheel ander gebied van de hersenen gebeurt dan het schatten van een antwoord?
  • In het onderwijs is vaak een reflex de vragen héél precies te willen hebben om geen discussies te krijgen. Je krijgt dan een vraag die niemand ooit zo stelt.
  • Nederland is internationaal gezien één van de weinige landen die de contextbenadering van gecijferdheid ook daadwerkelijk substantieel heeft ingevoerd in het onderwijs. Dat wordt ook gezien als een van de belangrijkste factoren voor de hoge scores van Nederland op internationaal vergelijkende onderzoeken.
  • Landen die sterk de nadruk nadruk leggen op sommen oefenen scoren zonder uitzondering laag op internationale toetsen.
  • Alle landen die geen of nauwelijks de rekenmachine gebruiken in het voortgezet onderwijs zijn te vinden in de onderste regionen van de onderwijsranglijsten over kwaliteit van het onderwijs.
  • In de brede benadering wordt gecijferdheid gezien als een complex, veelvormig en verfijnd concept, waarin wiskunde, communicatie, en de culturele, maatschappelijke emotionele en persoonlijke aspecten verweven zijn.
  • Ik ben voorstander van functioneel rekenen: dat wil zeggen dat het rekenen geïntegreerd is in cultureel, maatschappelijk, persoonlijk en emotioneel handelen (gecijferdheid).
  • In de tweede fase [open studiehuis bovenbouw HAVO/VWO] is het vermogen tot leren vrijwel onbegrensd.
  • Na een halve eeuw internationaal onderzoek naar reken- en wiskundeonderwijs is er  weinig geloof meer in de effectiviteit van het aanleren van gefragmenteerde, geïsoleerde en mechanische reken- of wiskundekennis. Er is een grote behoefte aan mensen met  “number sense” , “proportional sense”, “dimensional (2D/3D) sense” en “data literacy”.
  • [N.a.v. veldraadpleging over conceptrekentoetswijzer 3S] Wij vertrouwen er op dat ons commentaar [APS rekengroep] zorgvuldig zal worden behandeld door de commissie en niet zonder onze toestemming publiek gemaakt zal worden op allerlei websites. 
  • Het uitvoeren van algebraïsche handelingen is geen algebra en ook geen analyse; het is een ambacht, een vaardigheid. En bovendien een vaardigheid waarvan de betekenis bijna is uitgestorven.
  • Het concept ‘betekenisvolle algebra’ heeft alles in zich om een bruikbaar concept te worden voor het wiskundeonderwijs. Het zet in op een wiskundeonderwijs, waarmee je leerlingen voorbereidt op hun toekomst in plaats van op ons verleden.
  • Moeten leerlingen nu algoritmes stampen of moet je met hen op zoek naar een manier waarop zij bruikbare kennis kunnen construeren?
  • Er moet zo snel mogelijk op grote schaal en fundamenteel onderzoek gedaan worden naar hoe leerlingen van nu mét volledige inzet van technologische hulpmiddelen wendbare en betekenisvolle algebraïsche kennis kunnen construeren. En dat zal ingrijpend afwijken van de manier waarop wij algebraïsche kennis hebben geconstrueerd. Juist technische universiteiten zouden toch moeten beseffen dat hun eigen toekomst dáár vanaf hangt. Je zou verwachten dat ze juist daar tonnen in zouden investeren in plaats van in entreetoetsen uit de jaren tachtig van de vorige eeuw.

N.a.v. de kritiek op het reken-wiskundeonderwijs:

  • Bijspijkercursussen krijgen meer de gedaante van terugspijkercursussen.
  • [Op de website van ‘Lieve Maria’]   Ik ben zeer geschokt dat de digi-generatie van nu zomaar slikt en zelfs ondersteunt dat pen-en-papier-methoden weer terug moeten in het voortgezet onderwijs. De meest sprekende metafoor die ik hierbij ken is dat je met een bèta-auto met 180 km/uur op weg bent naar de toekomst, maar dat je gestuurd wordt door mensen die slechts in hun achteruitkijkspiegel kijken. De schrik slaat je toch om het hart.
  • Kwaliteit houdt meer in dan alleen maar goede scores op de kernvakken. In de Verenigde Staten is in een aantal jaren tijd alle ‘franje’ afgeschaft, om maar een paar punten beter te kunnen scoren op de kernvakken. Het effect is echt walgelijk.
  • Je ziet docenten die het wantrouwen als volgt formuleren:”Die onderwijskundigen die ons onderwijs verkwanselen”. Je mag blij zijn dat je zo niet denkt over je huisarts, over je juridisch adviseur en je belastingadviseur, die jaar na jaar de nieuwste inzichten moeten toepassen.
  • Ik constateer dat fatsoen en respect soms ver te zoeken is in de discussie rond rekenen en de rekentoets. Als ik kijk naar de discussie in de (sociale) media, dan geneer ik me regelmatig als vakexpert op het gebied van rekenen en wiskunde.
  • De reacties van hoogleraren op de examens van havo en vwo wiskunde zijn buitengewoon treurig. Die arrogantie kan alleen verklaard worden uit onwetendheid en isolement.
  • Krantenlezers werden opgeschrikt door berichten dat bij 40 % van de verpleegkundigen de rekenvaardigheid tekort schiet. Dat maar 125 verpleegkundigen een rekentoets aflegden die bestond uit maar 10 opgaven, werd er niet bij vermeld. Inzicht in het soort sommen waaruit de toets bestond, ontbrak al helemaal.
  • Relikwieën als de discussie van vandaag, gevoerd vanuit de wiskundegemeenschap ten behoeve van de wiskundegemeenschap met een nodige dosis arrogantie en met veel geweeklaag hoort niet thuis in een symposium. Zo’n discussie hoort thuis in een museum.

Advies van Hoogland n.a.v. het eindverslag van de ‘Werkgroep Afstemming Wiskunde-Natuurkunde’ van de vernieuwingscommissies CTWO en NiNa (Nieuwe Natuurkunde):

  • De werkgroep doet uitspraken over gecijferdheid en wiskundeangst die niet gebaseerd zijn op uitkomsten van internationaal wetenschappelijk onderzoek. De internationale literatuur over “Math Anxiety” is zeer omvangrijk. De Werkgroep is juist van mening dat angst voor rekenen ontstaat doordat er te weinig geoefend wordt. Deze opvatting is geheel nieuw.

N.a.v. de slechte resultaten van de (realistische) VO-rekentoets voor eindexamenkandidaten, niveau basisschool,  vertelt Hoogland in de Onderwijskrant:

  • Sommige methoden draaien teveel om kaal rekenen, terwijl de rekentoets juist bol staat van het realistisch rekenen.
  • Laten we eerlijk zijn: aan het kale rekenen kan wat minder aandacht besteed worden. In elke mobiele telefoon zit al een calculator.
  • Als je kunt optellen, delen en vermenigvuldigen wil dat nog niet zeggen dat je je als burger met vertrouwen in kwantitatieve situaties kunt begeven. Zo’n praktijkprobleem doet zich voor bij het ingraven van een trampoline. Hoeveel aarde moet je daarvoor uitgraven en hoeveel keer moet je met de kruiwagen lopen voordat je al die aarde hebt afgevoerd?

N.a.v. zijn promotieonderzoek: ‘Rekenen in beeld’. Hierin werd onderzocht wat beter is bij contextsommen: text of beeld. Vernietigende kritiek op dit onderzoek vindt U hier: Pseudowetenschap in het onderwijs blz 20-37.

  • Er is mij ook wel gevraagd waarom ik niet drie varianten heb gemaakt: talige opgaven, opgaven met beeld en kale sommen. Ik ben daar simpel  in: met kale sommen toets je wat anders. Punt. Dan toets je alleen of je bewerkingen kunt oplossen en niet of je kwantitatieve problemen kunt oplossen. Kale sommen of bewerkingen zijn maar een klein onderdeel van kwantitatieve problemen oplossen. Zo’n klein onderdeel, dat vind ik zonde van de tijd als je daar al je energie in stopt. Want er is toevallig ook nog een apparaat dat dat kan. Het is een beweging om terug te gaan naar de tijd voor de rekenmachine. Je leert kinderen rekenen zoals een rekenmachine dat doet. Als je alleen maar kale sommen leert, leer je deze niet vanzelfsprekend in de praktijk toe te passen. Over dat gebrek aan transfer is al heel veel onderzocht. Als je een kwantitatief probleem wilt oplossen, moet je eerst mathematiseren; je moet eerst snappen wát je moet uitrekenen. Dan pas komt het rekenen in beeld.  Bij mij gaat gecijferdheid over het eerste stukje, niet over dat tweede stukje.

Uit zijn proefschrift: ‘Images of numeracy’: 

  • De manier waarop de leerlingen omgaan met talige contextopgaven wordt in het wiskundeonderwijs gezien als problematisch. Waarschijnlijk als een uitvloeisel van de procedurele nadruk in het wiskundeonderwijs, benaderen veel leerlingen talige contextopgaven hardnekkig als procedurele oefeningen in vermomming, en handelen dienovereenkomstig: ze halen zo snel mogelijk een aantal getallen uit de probleemsituatie en voeren daar een bewerking op uit zonder het probleem te doorgronden en zonder rekening te houden met de beperkingen van de geschetste situatie. Deze problematiek wordt pijnlijk zichtbaar in de ontoereikende of zelfs onzinnige oplossingen die in leerlingwerk veelvuldig worden aangetroffen. Het uitschakelen van het gezond verstand bij het oplossen van talige contextopgaven wordt in het reken- en wiskundeonderwijs beschouwd als een belemmering om een probleemoplossende mindset te verwerven, aangezien actief betekenis geven aan het probleem wordt beschouwd als cruciaal voor een adequaat proces van probleemoplossen.
  • In the Netherlands at the start of the twenty-first century one could notice a rising concern about an alleged decline in mathematics performance. In the discussions, a kind of “backward utopia” was discernible. It manifested in a proclaimed belief that there once was a time when all children mastered all mathematical multiplication facts and were all able to execute all the algorithms in addition, subtraction, multiplication, and division of whole numbers, decimal numbers and fractions quickly and flawlessly. There was no factual underpinning for this belief, but it provided a frame for the discussions on the state of mathematics education which was strong enough to provoke policy changes.
Ondertussen heeft Kees Hoogland contact opgenomen met mijn decaan in verband met mijn uitlatingen over kwakzalverij en pseudowetenschap.”   Joost Hulshof (Hoogleraar wiskunde)

 

Mieke van Groenestijn (Lector ‘Gecijferdheid’ aan de Hogeschool Utrecht. Ze studeerde onderwijskunde en orthopedagogiek. Ze is hoofdauteur van Wizwijs, een nieuwe reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs)

Van Groenestijn was projectleider  ‘Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie’, in dit blog besproken.

[Kinderen leren rekenen] [Inaugurale rede] [Scholen zeer actief aan de slag met rekenen] [Zwakste leerling heeft recht op beste rekenleraar]

  • We maken geen sommen in het dagelijks leven.
  • In de winkel wordt er voor je gerekend. Je hoeft dat niet zelf te doen.
  • Als het inzicht er maar is. En de berekening zelf kun je dan uiteindelijk best door een rekenmachine laten maken.
  • Door alle technologische ontwikkelingen is de functie van het rekenen in de maatschappij minder zichtbaar. Neem de supermarkt. De waren zijn voorverpakt, we letten niet op het gewicht maar op de prijs; betalen doen we met de pas, niet met echt geld.
  • Cijferen is hoofdrekenen op papier. Als leerlingen niet kunnen hoofdrekenen, dan kunnen we ze beter niet laten cijferen maar meteen een rekenmachine geven.
  • Leerlingen dit niet tot het korste algoritme komen, die blijven hangen op tussenstappen, kunnen we maar beter meteen een rekenmachine geven, want dan hebben we alle problemen in één keer opgelost.
  • Een staartdeling bestaat eigenlijk niet uit delen. Dat denken we allemaal want het heet een staartdeling maar een staartdeling bestaat alleen maar uit vermenigvuldigen en aftrekken en dat is wel de grootste verassing die we kennen, want we blijven het hardnekkig een staartdeling noemen.
  • Een staartdeling wordt moeilijk als hij niet uitkomt, want dan moet je nullen aanhalen die er niet zijn. Dan wordt het al helemaal een onduidelijk verhaal.
  • Als u echt een eigen mening van me wilt horen: de staartdeling is overbodig geworden. Die is uitgevonden in een tijd waarin de rekenmachine nog niet bestond. Toen was de staartdeling de enige methode om een getal te delen door een ander getal. Nu hoeft dat niet meer. Maar kunnen we nu eindelijk eens stoppen met die discussies over realistisch rekenen? Ik vind dat echt een non-discussie. Onderwijs moet gericht zijn op de toekomst van onze kinderen. We kunnen ons afvragen of onze kinderen in de toekomst nog een staartdeling nodig hebben.
  • Niet elke leerkracht kan de rekenproblemen van een leerling zelf oplossen en dat hoeft ook niet. Het gaat om teamdeskundigheid. En daar gaat het nu ook vaak mis. De zwakste leerling heeft recht op de beste leerkracht.
  • De term ‘realistisch rekenwiskunde-onderwijs’ heeft een nare bijsmaak gekregen door de publieke discussies. Vanaf nu hebben we het alleen nog maar over ‘effectief en functioneel rekenwiskunde-onderwijs’.
  • De huidige leerlijn rekenen in het basisonderwijs is topzwaar. Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, cijferen, het metriek stelsel met decimale getallen, en dan nog eens breuken en procenten. Om deze lastige dingen goed onder de knie te krijgen, is het noodzakelijk dat deze vaardigheden in het voortgezet onderwijs verder worden ontwikkeld en geoefend. Dat is wat wordt bedoeld met doorlopende leerlijnen van de commissie-Meijerink.
  • Omdat de Arabieren van rechts naar links lezen en schrijven, hebben wij van rechts naar links leren cijferen. Tegenwoordig leren de kinderen van links naar rechts cijferen en dat sluit beter aan bij het hoofdrekenen.
  • Het probleem met het rekenen op school is dat rekenen uit een boek nauwelijks iets te maken heeft met het rekenen in het dagelijkse leven.
  • Alleen vanuit het boek leren levert te weinig bagage op om rekenen te kunnen gebruiken in situaties buiten de school.
  • Ons huidige onderwijs is gebaseerd op cultuuroverdracht van het verleden.
  • Ernstige rekenwiskunde-problemen ontstaan als er onvoldoende afstemming wordt gerealiseerd van het onderwijs op de onderwijsbehoeften van de leerling.
  • Veel rekenproblemen ontstaan doordat het onderwijs niet of onvoldoende is afgestemd op de leerbehoefte van een individuele leerling. Ik vraag me dan ook af wiens probleem rekenstoornissen zijn: die van het kind of van het onderwijs?
  • Er is niets mis met het realistisch rekenonderwijs, als je het maar goed doet. De uitgangspunten van het realistisch rekenonderwijs zijn legitiem. De didactiek is goed. Het commentaar dat nu gegeven wordt, heeft betrekking op slechts enkele onderdelen.
  • Realistisch reken-wiskundeonderwijs biedt ook een goede basis voor verdere ontwikkeling, dus voor studies op hoger niveau.
  • Een timmerman heeft andere rekenvaardigheid nodig dan een verpleegster, een architect of een elektromonteur.
  • Rekenactiviteiten zijn altijd leuker dan het maken van sommen. Rekenen moet je doen.
  • Geef ouders vanaf het begin goede informatie over het rekenen. Laat hen op ouderavonden zelf kolomsgewijs optellen en staartdelingen maken. Laat hen zelf allerlei rekenactiviteiten doen, zoals bananen wegen. Doe dit minimaal 2 keer per jaar. En geef regelmatig een leuke opdracht of een spelletje mee naar huis, dus geen blad met sommen. Ouders moeten, net als hun kinderen, positieve ervaringen hebben met het onderwijs dat hun kinderen krijgen.
  • Gecijferdheid draagt wezenlijk bij aan de ontwikkeling van ieder mens tot een uniek persoon.
  • Functionele gecijferdheid is nodig in vrijwel alle beroepen. Ondanks de voortschrijdende ontwikkelingen op het gebied van computers, rekenmachines en slimme machines voor specifieke beroepen zullen volwassenen altijd zelf moeten kunnen bepalen welke berekeningen in specifieke situaties uitgevoerd moeten worden en hoe zij daarvoor machines moeten instellen of programmeren.
  • Voor het rekenen met volwassenen heeft men veel van het realistisch reken-wiskundeonderwijs in het reguliere onderwijs geleerd, maar andersom kan het reguliere onderwijs ook veel leren van volwasseneneducatie.
  • Het doel van rekenwiskunde-onderwijs is niet het kunnen rekenen op zich, maar het ontwikkelen van bruikbare rekenwiskundige kennis en vaardigheden, ofwel ‘functionele gecijferdheid’.
  • Ik komt tot de volgende definitie van functionele gecijferdheid: ‘Kennis en vaardigheden die nodig zijn om adequaat te kunnen handelen in persoonlijke, maatschappelijke en aan werk gerelateerde reken-wiskundige situaties, in combinatie met het vermogen om die kennis en vaardigheden flexibel te kunnen aanpassen aan nieuwe eisen in een continu veranderende maatschappij die gedomineerd wordt door kwantitatieve informatie en technologie.
  • Werkelijke gecijferdheid is een heel complex proces. Iemand is gecijferd als
    • hij beschikt over een set van elementaire rekenwiskundige kennis en vaardigheden als basis om verder te kunnen leren met daarnaast specifieke rekenwiskundige vaardigheden afhankelijk van de individuele persoon, beroep en maatschappelijke positie
    • hij beschikt over competenties in het managen van rekenwiskundige situaties: hij heeft een algemene rekenwiskundige attitude ontwikkeld
    • hij kan betekenis geven aan getallen in hun context, kan beredeneren of getallen kloppen
    • hij kan situaties identificeren waarin een rekenwiskundige probleem of activiteit ingebed is
    • hij kan situaties analyseren en kan bepalen welke rekenwiskundige informatie aanwezig is en welke activiteiten nodig zijn om het probleem op te kunnen lossen of op andere wijze adeqaat kan handelen
    • hij moet kunnen communiceren over rekenwiskundige informatie en vraagstukken
    • hij kan effectieve beslissingen nemen op basis van berekeningen
    • hij heeft een onderzoekende houding ontwikkeld voor de betekenis van getallen in nieuwe situaties
    • hij heeft een reflectieve houding ontwikkeld om het eigen handelen te kunnen beoordelen op juistheid en effectiviteit
    • hij kan constructief samenwerken met anderen
    • hij heeft competenties in het verwerven van nieuwe rekenwiskundige vaardigheden
    • hij heeft inzicht in eigen rekenvaardigheden
    • hij kan verworven kennis en vaardigheden flexibel aanpassen aan nieuwe ontwikkelingen in zijn beroep
  • Rekenen is naast taal een kernvaardigheid en daarom kan het niet alleen maar worden toebedeeld aan de docenten wiskunde. Alle docenten hebben ermee te maken en daarom hebben we gekozen voor een drieslag. Het basisniveau is voor alle docenten, zodat zij het belang inzien van rekenen en er in hun eigen vak iets mee kunnen. Het is van belang dat ze kunnen signaleren of leerlingen iets wel of niet snappen of kunnen, niet om het dan zelf uit te leggen, maar om het door te spelen aan een rekencoördinator of mentor. Het gevaar is namelijk groot dat docenten zo hun eigen manieren hebben om rekenonderdelen, bijvoorbeeld procenten, uit te leggen. Dat kan voor sommige leerlingen erg verwarrend zijn. Het derde niveau is dat van de rekencoach of rekenexpert die overzicht heeft over alles wat er in de school op het gebied van rekenen gebeurt. Het is de bedoeling dat de rekencoaches zelf een aantal taken oppakken, zoals het ontwikkelen van rekenbeleid. Daarnaast hebben ze een taak als adviseur en coach voor hun collega’s. Het zijn in de school dus echt de experts op het gebied van rekenen. Ze begeven zich op een voor de scholen nieuw en onbekend terrein.
  • Interpersoonlijke en pedagogische competenties zijn voorwaarden voor het vakmanschap van elke docent. Binnen het thema REKENEN betekent dit dat elke docent:
    • er oog voor heeft dat leerlingen volop in hun rekenverwervingsproces zitten en rekenontwikkeling ziet als een dynamisch proces waarop zowel individu als omgeving grote invloed uitoefenen
    • het belang erkent van gecijferdheid voor de identiteit van elke leerling en groepen adolescenten
    • bekend is met aspecten van (interculturele) communicatie en een onderzoekende houding heeft t.a.v. zijn eigen communicatiepatronen
    • in klassen een prettig leerklimaat weet te scheppen waarin leerlingen zich veilig en gerespecteerd voelen,  fouten durven maken en uitgedaagd worden om optimaal hun capaciteiten te benutten.

 

Marian Kollenveld (Voorzitter van de Nederlands Vereniging van Wiskundeleraren)

  • Ik noem het realistisch rekenen, ook namens de wiskundedocenten, een grote stap vooruit.
  • Voorheen hebben we juist te veel leerlingen met de abstracte wiskunde belast. We staan er nu veel beter bij stil welke leerling welke wiskunde nodig heeft.
  • De standpunten [over goed reken/wiskundeonderwijs] zijn minder ver uiteen dan in de hitte van de strijd lijkt. Iedereen wil namelijk hetzelfde: goed, zinvol en interessant onderwijs voor onze leerlingen.
  • Voor zover het wiskundeonderwijs over de hele linie niet zo goed is als het zou kunnen zijn, komt dat niet door de onderwijsvernieuwing, het realistisch rekenen en de grafische rekenmachine, zoals Schotting stelt.
  • De grafische rekenmachine is er, en hem verbieden omdat hij gebruikt wordt voor simpele rekenopgaven is net zoiets als een pleidooi voor een verbod op de auto omdat daar ook ritjes mee gemaakt worden die je kunt fietsen of lopen. Bij wiskunde B biedt de grafische rekenmachine mijn leerlingen iets wat ze daarvoor nooit hadden: zijn rekenkracht, bijvoorbeeld bij het berekenen van Riemannsommen.
  • Vroeger, voor de alomtegenwoordigheid van heel goedkope rekenmachines, was het rekenonderwijs vooral mechanistisch. Het is voor een leerling op dit moment niet meer zo belangrijk om erg geoefend te zijn in dit soort opgaven. Belangrijk is nu om inzicht te  hebben in ‘orde van grootte’ en de structuur en volgorde van berekeningen te kunnen doorzien bij het oplossen van een rekenprobleem. Dit zijn hogere doelen dan de doelen voor mechanistisch rekenen.
  • De leerkracht moet op een hoger niveau kennis en inzicht in de structuur van de getallen hebben dan vroeger. Dan is het kennen van het kunstje, hoe het moet, niet meer voldoende.
  • Het Nederlandse wiskunde onderwijs is zelfs een exportartikel geworden.

In een brief aan het Ministerie van OC&W over de slechte resultaten van de rekentoets voor het voortgezet onderwijs:

  • Wij zijn als wiskundedocenten niet vanzelfsprekend deskundig in het toetsen van rekenvaardigheid en de rekendidactiek.
  • De kennis over de rekendi­dactiek komt van het onder­wijs dat de docent zelf heeft ontvan­gen op de basis­school of van hun eigen kinde­ren die op de basis­school zitten.
  • Onze duurzame oplossing bestaat er uit, het rekenen in het vo te verankeren binnen de vakken met een kwantitatieve component – zoals aardrijkskunde, geschiedenis, economie, natuurkunde,scheikunde, biologie en wiskunde. Door in elk van deze vakken rekendoelen in het examenprogramma op te nemen krijgt het rekenen een vanzelfsprekende plaats binnen de context van die vakken en kan het ook daarin worden getoetst. Dat vraagt enige afstemming, opdat bijvoorbeeld de procenten bij economie in het hoofd van de leerling niet andere zijn dan die bij wiskunde. Het is een lange termijn oplossing, maar als de huidige praktijk ons iets leert is het wel dat je iets wat in enige decennia is ontstaan niet even snel met de korte klap kunt oplossen.
  • Een andere “echte” oplossing zou zijn het examenvak rekenen in te voeren in het vo, met alles wat daarbij hoort, studielast, bevoegdheid etcetera. Los van al het gedoe dat dit met zich meebrengt wordt rekenen dan een apart, geïsoleerd vak, en dat is juist niet de bedoeling. Je moet niet leren rekenen om het rekenen, maar om er in je verdere leven in de maatschappij mee uit de voeten te kunnen.
  • Er is nog onvoldoende systematisch nagedacht over hoe je pubers, en zeker die met een rekenachterstand, min of meer vrolijk en effectief aan het rekenen krijgt.

 

Anne van Streun (Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde en natuurwetenschappen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Voorzitter van de werkgroep rekenen in de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen)

[Het denken bevorderen (Inaugurele rede)[De professie bedreigd of verrijkt door ict en studiehuis] [Hoe staat ons Nederlands wiskundeonderwijs ervoor]

  • Aan het onderwijsmodel, gebaseerd op de rol van de docent als informatiedrager die kennis overdraagt, is in het voortgezet onderwijs een einde gekomen.
  • In de zestiger jaren werd een andere onderwijsvisie ontwikkeld, die stelde dat het niet ging om het reproduceren van kant-en-klare wiskunde, maar om de wiskundige activiteiten zelf. Het ging in die wiskunde als menselijke activiteit om het zelf opsporen van verbanden en stellingen, het zelf kiezen en aanpakken van een wiskundige onderzoeksvraag, het zelf leren axiomatiseren van een deelgebied, het zelf mathematiseren van een realistische probleemsituatie, het zelf exploreren, vermoedelijke eigenschappen formuleren en die vervolgens proberen te bewijzen. Deze opvatting heeft nu in een bredere onderwijskundige kring ondersteuning gevonden in de constructivistische leertheorieën.
  • De nadruk moet liggen op het zelf inductief ontdekken, exploreren, redeneren, modelleren, abstraheren en deduceren.  Deze opvatting heeft nu in een bredere onderwijskundige kring voor allerlei vakgebieden ondersteuning gevonden in de constructivistische leertheorieën. Kort gezegd komen die erop neer dat kennisoverdracht niet mogelijk is, maar dat kennis steeds opnieuw moet worden geconstrueerd door de lerende. Gebeurt dat laatste niet, dan is er geen sprake van zinvolle, geïntegreerde en functionele kennis, die wendbaar kan worden ingezet voor het oplossen van problemen. ‘Knowledge how’ is daarom veel belangrijker dan ‘Knowledge what’ (Polya).
  • Bij het onderwijs in de wiskunde en natuurwetenschappen moet het niet voornamelijk gaan om ‘Weten dat’, maar veel meer om ‘Weten hoe’, ‘Weten waarom’ en ‘Weten over weten’.
  • De roep “BacktoBasics” en de eis om terug te gaan naar eenvoudige onderwijsvormen, gericht op overdracht en oefenen, berust op een denkfout. De denkfout is dat onderwijs volgens het bedoelde model, het overdragen van kennis, het zogenaamde vullen van holle vaten, aan leerresultaten precies datgene oplevert wat je er in stopt. Het resultaat is fragmentarische kennis in kleine brokjes opgeslagen in het geheugen zonder enige onderlinge samenhang, met moeite op de eerstvolgende toets oproepbaar maar niet bruikbaar voor toepassingen, niet leidend tot transfer, om van creativiteit en het vermogen tot zelfstandig denken en toepassen maar te zwijgen. Dat type onderwijs leidt bovendien tot aversie tegen leren (Waar is dit goed voor?).
  • Dankzij de wetenschappelijke kennis over informatieverwerking en de rol van de kennisschema’s van ons langetermijngeheugen begrijpen we beter waarom iets niet werkt. We begrijpen dat een didactiek van Voordoen-Nadoen-Oefenen niet leidt tot een blijvende leeropbrengst, omdat die [sic] routines los worden opgeslagen en na een tijdje niet meer adequaat kunnen worden opgeroepen.
  • Het flexibel leren gebruiken van wiskundige kennis en methoden in verschillende contexten vereist een sterke samenhang in het cognitieve schema en (omvang)rijke chunks. Training op geïsoleerde rijtjes analoge opgaven versterkt de verbrokkeling in het lange termijn geheugen.
  • Omdat de wiskunde haar oorsprong vindt in de realiteit en in het intuïtieve denken moet ook het wiskundeonderwijs daarvan uitgaan. Het gaat hierbij niet om de overdracht van kant en klare wiskunde maar om het werken aan ‘wiskunde in de maak’. Centraal in het wiskundeonderwijs moet de menselijke activiteit van het herontdekken van wiskunde staan.
  • Rekenvaardigheden en natuurwetenschappelijke concepten functioneren heel vaak niet in contexten buiten de school. Omgekeerd worden het rekenen van de straat en gezond verstand niet verbonden met een meer formele of abstracte benadering in de school. Eveneens bekend is het onderzoek naar de systeemscheiding tussen de schoolvakken, waardoor de kennis opgedaan bij het ene vak niet wordt geactiveerd in het andere vak.
  • Vaardigheden zonder begrip, zonder inzicht, daar heb je weinig aan.
  • Het algebraïsch rekenen, dat tot voor kort zo’n grote plaats in het wiskundeonderwijs innam, kan steeds meer worden overgelaten aan software. Zoals de cijfervaardigheid als leerdoel op de basisschool is verdrongen door het handig rekenen met een rekenmachine, kan nu ook het wiskundig rekenen worden uitbesteed aan apparatuur.
  • De invoering van de grafische rekenmachine in havo-vwo heeft veel algebraïsch rekenwerk overbodig gemaakt en een verschuiving tot stand gebracht in de oplossingsmethoden die leerlingen gebruiken.
  • Van de Craats en de zijnen schuwen meestal de dialoog en brengen hun verhalen liever ongenuanceerd en rechtstreeks in de media.

 

Willem Vermeulen (Medewerker Freudenthal Instituut. Rekenmethode ontwikkelaar, Thieme Meulenhof)

[De rekenmachine in het basisonderwijs van meet af aan!]  [Cijferend delen: daar krijg ik een staart van]

  • De opvatting dat kinderen door in de basisschool de rekenmachine te gebruiken, niet meer leren rekenen, is even hardnekkig als onjuist.
  • Het gebruik van de rekenmachine op de basisschool maakt een kwaliteitsslag mogelijk: er komt meer tijd vrij voor echt inzicht doordat eindeloos oefenen van basisprocedures niet meer nodig is.
  • De rekenmachine hoort vanaf groep 3 verkend te worden.
  • De rekenmachine hoort gewoon op school thuis.
  • Laten we wel zijn: wie rekent er in de huidige praktijk nog op een ouderwetse manier de cijfersommetjes uit?
  • Kunnen rekenen is een competentie met heel veel aspecten, en juist de verenging tot alleen maar trucjes kunnen uitvoeren, dat is pas griezelig. Daar zouden beleidsmakers werkelijk beducht voor moeten zijn.
  • Uit het PPON-onderzoek blijkt dat kinderen die de traditionele staartdeling gebruiken beduidend minder fouten maken. Wijken de leerkrachten op dit punt af van de methodes of zijn het de ouders die dit bewerkstelligen ?  Een mogelijke verklaring is dat vooral de betere en snellere leerlingen aan de traditionele staartdeling toekomen. We mogen dus niet zonder meer concluderen dat deze vorm van cijferend delen beter is.
  • Het cijferend delen blijft, vanwege de genoemde complicaties een zorgenkind. Ik vraag me dan ook af of het gerechtvaardigd is om zoveel tijd en moeite te investeren in een aanpak die maar weinig functioneel wordt gebruikt. Tenslotte ligt voor kale en moeilijkere sommen het gebruik van de rekenmachine voor de hand.
  • De noodzakelijke attitude van handig en kritisch zoeken en selecteren maakt dat onze jongeren andere feiten kennen en andere vaardigheden ontwikkelen dan oudere generaties. De jeugd gaat minder slaafs met informatie om, juist omdat er zo veel en zo veel verschillende informatie snel beschikbaar is.

 

Jaap Vedder (Voorzitter van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO). Voorzitter van de vaststellingscommissie rekenen 3F havo/vwo bij het College voor Examens)

Vedder werkte mee aan de protocollen ‘Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie’ (ERWD).

[Nog wereld te winnen in rekenonderwijs]

  • De leraar heeft zelf veelal ‘formeel’ rekenen geleerd. Hij maakt breuken gelijknamig. Maar de leerling van nu is informeel ingesteld, die maakt breuken visueel met pizzapunten. Zo is het net of leerling en leraar allebei een vreemde taal spreken.
  • Leraren in het vo en mbo weten vaak te weinig van de huidige didactiek van rekenen. Die is in de afgelopen decennia veranderd en daar moeten de lessen wel bij aansluiten.
  • Een belangrijk onderwerp voor de NVORWO is de leven lange professionalisering van de basisschoolleraren op het gebied van rekenwiskundeonderwijs. Een opleiding tot leraar verschaft slechts een startbekwaamheid.
  • Als scholen het protocol ERWD serieus nemen kunnen de rekenscores omhoog. Ook bij leerlingen waarvan nu gezegd wordt dat ze dyscalculie hebben.
  • Rekenen/wiskunde op realistische wijze gegeven is essentieel om de belangstelling voor bèta en techniek te laten groeien.

 

Marja Meeder (Medewerkster onderwijsadviesbureau APS. Zij schreef samen met Kees Hoogland het boekje ‘Gecijferdheid in beeld’)

[Gecijferdheid en Wiskundige Geletterdheid]

  • Je kunt perfect ongecijferd zijn met een hoog wiskundig diploma en omgekeerd.
  • We zullen in ieder geval eens moeten inventariseren wat iemand als ‘gecijferdheid’ nodig heeft om te functioneren. De vraag stelt zich natuurlijk wie dat ‘iemand’ moet zijn: gaat het om een wiskundige of om ons allemaal. Momenteel zijn er instanties die die dingen vastleggen en die bepalen wat we allemaal op het eind van onze schoolloopbaan moeten kennen. We kunnen ons afvragen of dit wel zinvol/mogelijk/wenselijk is.
  • Inventariseren van wat we nodig hebben, niet wat wiskundigen denken dat we nodig hebben, is heel belangrijk. Zo zullen we bijvoorbeeld moeten kunnen kloklezen, met de computer/GSM werken, omgaan met geld.
  • Eigenlijk hebben we niet zozeer nood aan een verticale stapeling van wat we allemaal moeten kennen en kunnen. We moeten een paar competenties uitstippelen en dan komen naar horizontale transfer. We moeten een basiscurriculum maken dat heel beperkt is qua wiskundige context, maar dat zeer rijk is aan maatschappelijke inhoud en aan transferkansen.

 

Prof. dr. Bert Zwaneveld (Hoogleraar ‘Professionalisering van de leraar’ aan het Ruud de Moor Centrum van de Open Universiteit)

  • De vraag naar wat rekenen is, is de vraag naar de functie van rekenen in allerlei situaties. Nadat die functies zijn vastgesteld komen de bij die functies passende vormen. Vorm volgt immers functie.
  • Omdat de verschillen tussen leerlingen bij rekenen groot zijn, moet er meer aandacht besteed worden aan de individuele leerling. De nadruk moet gelegd worden op het bijbrengen van begrip in plaats van op het kennen van rekenregels en het toetsen ervan.
  • Voor mij is de kern van het wiskundeonderwijs dat de leerlingen leren dat problemen opgelost kunnen worden met behulp van wiskunde. Dat gebeurt door de achterliggende probleemsituatie te modelleren. Het model opstellen is het belangrijkste, want het rekenen binnen het model kan aan de computer overgelaten worden. Die kan dat namelijk in veruit de meeste gevallen veel beter dan een mens.
  • Het leren van algoritmes impliceert meestal geen kennis van betekenis en gebruik van de voorkomende begrippen, draagt niet bij aan het leren oplossen van problemen en is zeker niet uitdagend.
  • het ‘domme (reken)werk’ laten we aan de computer over; wat de mensen moeten blijven doen, het ‘denkwerk’, leren we de leerlingen.

 

Peter Ale (Docent wiskunde pabo)

  • Degenen die nu kritiek hebben op realistisch rekenen, zijn mensen die vroeger goed konden rekenen. Dat dat vaak helemaal geen rekenen was, maar ‘nadoen’ en ‘goed onthouden’, zijn ze vergeten. Toen ze leerden staartdelen, leerden ze een kunstje.
  • Formules zijn betekenisloze dingen. Studenten vullen klakkeloos de formule in, als ze een fout maken dan merken ze dat niet en wat de uitkomst betekent, staat in het boek. Bovendien is er een grote groep studenten die bij a² + b² = c² al rode vlekken in hun nek krijgt. Er zijn allerlei inzichtelijke manieren om het over de stelling van Pythagoras te hebben. Er zijn echter maar weinig leraren die die moeite nemen.

 

Dr. Ronald Keijzer (Lector rekenen-wiskunde op Hogeschool IPABO. Hoofdredacteur Volgens Bartjens. onderzoeksleider ELWIeR. Projectleider van de Grote Rekendag )

Keijzer werkte mee aan de Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo’s.

[Rekenen op de toekomst]

  • De connotatie die kleeft aan het woord ‘rekenen’ – het louter instrumentele rekenen – is niet meer van deze tijd. Daar hebben we afscheid van genomen en dat zouden we wellicht nog wat radicaler kunnen doen.
  • Onderzoekend leren wordt op tal van manieren geassocieerd met het leren voor de toekomst. Dat geldt veel minder voor het rekenen.
  • Het bezien van wiskunde als proces van mathematiseren opent het perspectief op de toekomst en biedt kansen om accenten te verleggen in het wiskundeonderwijs op de basisschool. Denk daarbij bijvoorbeeld aan het programmeren van apparaten en het omgaan en structureren van grote hoeveelheden gegevens. Deze nieuwe onderwerpen vragen om leerlingen die op onderzoek gaan, omdat pasklare antwoorden niet zo maar beschikbaar zijn en de problemen niet kunnen worden opgelost door een vaste werkwijze te volgen.
  • Het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool in Nederland moet zo ingericht worden dat kinderen leren waar ze op moeten letten als ze een smartphone kopen. Probleemoplossend vermogen, daar gaat het om. We moeten werken aan een onderzoekende houding in het reken-wiskunde onderwijs.
  • Gecijferdheid of wiskundige geletterdheid is iets wat iedereen op een geheel eigen manier verwerft.
  • Dit idee van het bouwen aan de eigen wiskunde, die daarmee van mens tot mens verschilt, sluit aan bij (onder andere) Freudenthal, die wiskunde omschrijft als menselijke activiteit.  

 

 

Ronald Keijzer, Gerard Boersma (Keijzer is lector rekenen-wiskunde op Hogeschool IPABO. Boersma is docent rekenen-wiskunde aan de Hogeschool HAN)

  • Wanneer de invulling van het reken-wiskundeonderwijs maakt dat de leerlingen een hekel krijgen aan dit vak, staat dat het verwerven van een basale gecijferdheid in de weg. Het onderwijs is er daarom op gericht op plezier te krijgen in het rekenen. Kenmerkend voor dit onderwijs is het gebruiken van vele bronnen, echte interactie, waarbij leerlingen werkelijk wat in kunnen brengen, het werken in groepen en het passend gebruik van materiaal en computers.

 

Lonneke Boels (Wiskundedocent in delft. Ontwikkelaar van rekenlessen voor de bovenbouw Havo binnen een project van de NVvW. Docent vakdidactiek rekenen op de Haagse Hogeschool)

[Wiskunde E Brief 457]

  • Ik vind het erg jammer dat er nu een discussie ontstaat over het afschaffen van de contextrijke wiskunde. Met een dergelijke afschaffing wordt naar mijn idee het bekende kind met het badwater weggegooid.
  • Bij mijzelf heeft het destijds tot en met eind 5 vwo geduurd voordat ik doorhad dat de wiskunde die ik bij wiskunde kreeg, dezelfde soort opgaven was als bij natuurkunde. Tegenwoordig zie ik dat leerlingen de verbanden met andere vakken eerder en makkelijker leggen, onder andere door de contextrijke wiskunde.
  • Verder heb ik zelf jarenlang beweerd dat ik wiskunde eigenlijk nergens voor nodig had en dat het dus een overbodig vak was. Ik vond het een ontzettend leuk vak, dat wel, maar volslagen onbruikbaar in het dagelijks leven. Pas tijdens het halen van mijn eerstegraads wiskundebevoegdheid (na tien jaar bedrijfsleven) begon ik verbanden met het dagelijks leven te zien en dat wiskunde eigenlijk de grondslag is van alle andere studies en werk. Dit besef kwam dankzij de contextrijke wiskunde.
  • Een prachtig voorbeeld van het niet begrijpen van de aangeleerde algoritmen vind ik de discussie die onlangs oplaaide over het terugbrengen van de staartdeling in het primair onderwijs. Iedereen die roept dat de staartdeling van de basisschool is verdwenen, heeft het algoritme niet gesnapt. De staartdeling is NIET verdwenen maar wordt uitsluitend anders genoteerd. Het proces van aanleren is inderdaad héél anders maar de meest verkorte notatievorm die leerlingen die naar de havo en het vwo gaan moeten beheersen, is qua principe en algoritme precies hetzelfde als de staartdeling. Alleen doen leerlingen het nu met begrip in plaats van met een trucje. Iedereen die de ‘ouderwetse’ wiskunde heeft gehad en nu pleit voor invoering van de staartdeling, toont daarmee in mijn ogen aan waarom de ‘ouderwetse’ wiskunde alleen niet voldoende was.
  • Er wordt door tegenstanders van het kolomsgewijs rekenen hard geroepen dat ze niet goed zijn, omdat het van links naar rechts is. Maar mij valt op dat ook de staartdeling van links naar rechts is.
  • De grootste klacht van universiteiten is dat we onze leerlingen niet meer leren nadenken. We leren ze teveel slechts vaste regels (zoals de abc-formule) die de leerlingen vervolgens te pas en te onpas toepassen. 

 

Judith Wintermans (Onderwijzeres. Voor het ontwikkelen van ‘Rekenen: geen vak apart’ ontving ze een prijs uit handen van Minister van der Hoeven)

[Rekenen: geen vak apart]

  • Rekenen zit voor kinderen overal en het is dus érg onnatuurlijk om dit vak apart aan te bieden.
  • Ze leren nu én rekenen én samenwerken.
  • Sommige leerlingen bleken tot mijn verbazing toch naar het ouderwetse boekje te verlangen. Ze zagen dat boek liggen en vroegen er gewoon naar. Misschien omdat ze dat ook van hun ouders, broertjes of zusjes hebben gehoord.

 

Angele Bonger (Onderwijzeres Basisschool Samenspel)

Basisschool Samenspel doet mee met een pilot van Projectbureau Kwaliteit van de PO-Raad: omdat taal een grote rol speelt bij realistisch rekenen worden taal- en rekenonderwijs gecombineerd.

  • Deze lessen vind ik heel leuk om te geven. Het is anders dan een gewone rekenles. Het is luchtiger, het is niet ‘pak je boek en ga schrijven’, we zijn lekker met elkaar interactief bezig waarbij heel veel taal aan bod komt.

 

Prof. Theo Wubbels (Onderwijskundige. Directeur van de docentenopleiding IVLOS)

  • Als er al een achteruitgang van het rekenniveau is dan komt dat niet zozeer door realistisch rekenonderwijs. Het komt veeleer doordat pogingen tot realistisch rekenonderwijs verkeerd worden uitgevoerd.
  • Er zijn ouders die hun kind thuis extra rekenles willen geven om rekenachterstanden te voorkomen. Hierdoor kunnen ze doorkruisen wat er op school gebeurt. Immers, de school hanteert een bepaalde manier om het rekenen te laten leren en wanneer men dat thuis op een heel andere manier aanpakt zou dat het kind in verwarring kunnen brengen.
  • De verplichte rekentoets voor het voortgezet onderwijs kan beter reken- en taaltoets heten en daarmee is het een nuttiger instrument dan alleen een rekentoets.

 

Prof. Fred Korthagen (Bijzonder hoogleraar aan het Instituut voor Lerarenopleiding, Onderwijsontwikkeling en Studievaardigheden (IVLOS) van de Universiteit Utrecht. Mede-directeur van het Instituut voor Multi-level learning en Kernreflectie. Gestalt-therapeut)

Uit zijn oratie  ‘Leraren leren leren’: 

  • Eén van de meest indrukwekkende onderwijsontwikkelingen van de laatste decennia is de invoering van het zgn. realistisch wiskundeonderwijs. Er is daarin vrij rigoureus gebroken met de traditionele benadering die uitging van de theorie. In het realistisch wiskundeonderwijs ligt het vertrekpunt steeds in de aanname dat leerlingen zelf wiskundige noties kunnen ontwikkelen op basis van reële problemen. Die problemen worden gepresenteerd in voor de leerlingen herkenbare contexten en komen vaak uit het dagelijks leven.

 

Piet Mostert (Onderwijsadviseur bij de BDF-Adviesgroep. Hij adviseert over accreditatie in het HBO. Hij was coördinator kwaliteitszorg bij de HBO-raad)

  • Een docent verzucht dat zijn eerstejaars natuurkundestudenten niet meer om kunnen gaan met breuken. Zijn breuken dan zo belangrijk?  Maar dat is het punt niet. Voor de ingewijden zijn breuken het lakmoes van het wiskunde-onderwijs. Het kunnen rekenen met breuken markeert het omslagpunt, tussen er wel en niet thuishoren; moreel gesproken: tussen wel en niet deugen. Want wiskunde is bij uitstek een moreel vak. Ik zet het probleem in een ander perspectief, namelijk dat de macht van het denken in breuken nu eindelijk is gebroken.

 

Wulfert van den Brink (Docent statistiek. Schrijver van leerboeken over statistiek)

[Probleem oplossen en het wiskundeonderwijs]

  • De leerlingen krijgen op school nog steeds een enorme collectie trucs, recepten, standaardproblemen en standaardoplossingen te verwerken. Mechanisch werken wordt nog te vaak gestimuleerd. Denken leer je er niet van. Op langere termijn leidt het tot rigide oplosgedrag en veel fouten en frustraties.
  • Het vervelende is dat een algoritme weliswaar een oplossing garandeert voor problemen uit de klasse waarop het van toepassing is, maar dat je er geen nieuwe problemen mee kunt oplossen.
  • Je kunt je beter methoden van kennisverwerving eigen maken dan proberen grote hoeveelheden kennis op te slaan.
  • Wie kan denken hoeft zich niet langer tot imiteren te beperken maar kan ook op creatieve wijze nieuwe problemen oplossen.

  

Conrad Wolfram (Managing director van Wolfram Research, opgericht door zijn broer Stephen, bekend van de ‘Mathematica’-software)

Hij hield een TEDx conferentie en hij gaf een toespraak in het EU-parlement over hervorming van het wiskundeonderwijs.

Hij is oprichter van computerbasedmath.org/ .

[Conrad Wolfram: Stop teaching calculating. Start learning math

  • In the real world mathematics is all about problem solving, modelling, simulation, analysing the results. But in education it is mostly about doing calculations, mostly by hand, if you are lucky with a calculator.
  • We don’t want students to be first grade computers. We want them to be first grade problem solvers.
  • First objection. People object: you need to get the basics first. You have to work it out on paper before you do it on a computer. But you got to ask: the basics of what exactly? The basics of mathematics are the steps for problem solving. We should focus on what we are trying to achieve, not the mechanics that allows us to achieve it.
  • People think that working on paper is a more basic part of math because of the order of invention. Just because paper was invented before computers it does not mean that it gets you more to the basics of its subject.
  • Mathematical curriculum have in it things like inverting a matrix, solving simultaneous equations; the curriculum is mechanics-centred. What we should do is problem-centred mathematics.
  • Second objection: computers dumb maths down. In fact if you use computers in education you can do much harder problems, you can go further. By using computers people get more experienced in doing math. You must however use computers in the right way. It should not help a student to solve a quadratic equation, let the computer do the solving and let the student find out why he wants to solve that equation.
  • Third objection: Hand-calculating procedures teach understanding. But there is a way we can do procedureicing. That is called programming. So I am arguing about mathematics that is both more practical and more conceptual. The mathematics in real life is more intellectual and conceptual than the mathematics that we are teaching right now. By mimicing the real world we will improve the practial use and the conceptual understanding.
  • You can teach calculus to a child of 5 years old. I have learned my 5-year old daughter calculus. Why are we starting so late with calculus? That is because it is hard to do the calculations. But the concepts are meaningfull to a much younger age-group. And now we can leave the calculations to the computer. 
  • We want people who can feel the math instinctively.

Uit  [The UK needs a revolution in the way maths is taught] [The Dark Side of Math Education]:

  •  I believe today’s educational math is the wrong subject.
  • Stop teaching kids to add up. Maths is more important.
  • Instead of rote learning long-division procedures, let’s get students designing a traffic system or cracking secret codes.
  • One of the scariest aspects of maths for many students is how disconnected from anything in their lives it seems to be.
  • We have two kinds of math in the world. The first is in the real world that is a problem-solving subject that is as important as it’s never been in world’s history to every aspect of our lives. Then there’s this math in school that’s completely or increasingly disconnected from that.
  • Learning by rote is not the answer – unlocking the creative power of problem-solving is what will enthuse British schoolchildren and make them world-class.
  • I pick up my iPhone, activate its Siri voice recognition and say: “Solve x cubed plus 2x plus one equals zero” (x^3 + 2x + 1 = 0). With any luck, back comes the answer – the three solutions, presented with graphs and formulas. This is a cubic which, except in special cases, even further maths A-level students don’t get to. You must seriously question why we are spending years of our students’ lives failing to be able to compute what my phone did in seconds. Instead, they should be grappling with real problems and applying maths to them.
  • The point is to take real things we want to work out and apply, or invent, math to get the answer.
  • Real problems are usually messier. There’s more calculating, and the calculations are harder. Different skills are employed and they need a broader math toolset.
  • In real life the problem leads, and if the computation is messy and complex that’s OK: the computer will probably cope.
  • Even when our current system tries to give a context for maths, the problems are contrived so they’re solvable with weak hand-calculating techniques, so that everyone can see that they are not useful in real life.
  • We have confused rigor at hand-calculating with rigor for the wider problem-solving subject of math.
  • Code is the modern way in which you express math and the way to get computers calculating: It’s that central.
  • There’s one country that pushed coding in schools before the UK: Estonia. There, my company has just finished building a completely rethought probability and statistics curriculum. What’s really impressive is that Estonia has already come top in Europe in Pisa.

 

Maurice de Hond (Bedenker van de Steve-Jobsschool)

[Boekbespreking Maurice de Hond]

  • Dat een andere aanpak van het wiskundeonderwijs hard nodig is, staat voor mij buiten kijf.
  • Vroeger werden staartdelingen geleerd, omdat er geen rekenmachines waren en dat de enige manier was om het antwoord te vinden. Maar waarom doen we het nu nog?
  • Wolfram verwoordt goed wat mijn gevoel al heel lang is. De computer kan en moet gebruikt worden voor alle berekeningen en het onderwijs kan zich op de conceptuele aspecten richten.
  • Er wordt gesteld dat, terwijl wiskunde in de werkelijke wereld steeds belangrijker wordt en door steeds meer beroepen impliciet gebruikt wordt, het vak op school steeds minder populair is. En dat komt volgens Wolfram omdat het verkeerd wordt geleerd en de computer niet gebruikt wordt zoals hij gebruikt zou moeten worden. De vergelijking die hij dan maakt en die mij zeer aanspreekt, is dat het erop lijkt dat als je wilt leren autorijden je ook verplicht bent precies te begrijpen wat zich in de motor afspeelt en bij voorkeur ook nog een reparatie kan verrichten als er iets misgaat. De tijd die in de opleiding aan dit onderdeel wordt besteed (het overgrote deel van het onderwijs zelf) zou veel beter besteed kunnen worden aan andere aspecten van de wiskunde, die dan ook door veel meer leerlingen met enthousiasme gedaan zal worden en waar men na school ook veel meer aan heeft bij de vele soorten beroepen die men later zal gaan vervullen.

 

Wilma Cornelisse (Onderwijsjournaliste. Zij is/was hoofd- en eindredacteur van diverse bladen, waaronder ‘Schoolmanagement Totaal’. Over onderwijs verscheen van haar hand een reeks reportages, interviews, analyses, commentaren en columns in kranten, tijdschriften, boeken en op websites)

[Marja’s Staatswiskunde]

  • Met Marja’s staatswiskunde schaart Nederland zich bij de fundamentalisten in wiskundeonderwijs. Marja van Bijsterveldt stelt de staatswiskunde samen uit wat Jan van de Craats haar voorzegt. Hoogleraar wiskunde Van de Craats vecht al een paar decennia tegen de schoolwiskunde die hij te speels, te toepassingsgericht en te veelzijdig vindt. De wederkomst van de 19e eeuwse schoolwiskunde anno 2008 is banaal. Betekenisvol en aantrekkelijk voortgezet onderwijs begint niet bij de gestandaardiseerde lesboeken die met de methode Van de Craats meekomen.
  • Wetenschappelijke bewijs voor de positieve bijdrage van de alarmerende versmalling van de wiskunde die Van de Craats wil, is er niet. Draagvlak onder de leraren ontbreekt, de samenleving is niets gevraagd.

———————————-

2. HET FREUDENTHAL INSTITUUT

“De missie van het Freudenthal Instituut is het onderzoeken en verbeteren van het reken- en wiskundeonderwijs.”  Freudenthal Instituut

Het Freudenthal Instituut gaat uit van een dynamische theorie waarin Rekenen en Wiskunde begrepen en onderwezen kan worden. De medewerkers hebben met succes gestimuleerd dat de principes van het realistisch reken- en wiskundeonderwijs in nagenoeg alle basisscholen in Nederland zijn ingevoerd.”  De Onderwijsinspectie (2002)

 

Prof. Hans Freudenthal (Hij was hoogleraar wiskunde. Hij was vanaf de zeventiger jaren een belangrijk vernieuwer van het reken- en wiskundeonderwijs)

  • Het onderwijs, dat wij ontwikkelen is door een ander mensbeeld bepaald en tevens door een andere kijk op de wiskunde — niet als leerstof, maar als menselijke aktiviteit.
  • Er is geen wiskundeonderwijs meer in 2000, het is verdwenen. Er is geen vak wiskunde meer, geen wiskundeles op het rooster, geen wiskundeonderwijs om te onderwijzen. Het is er om beleefd en uitgeleefd te worden in een geïntegreerd onderwijs.
  • Cijferen leren volgens geïntegreerd progressief schematiseren kost de helft van de tijd die bij het geïsoleerd progressief compliceren wordt uitgetrokken. Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.
  • Vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk.
  • Het leren van wiskunde – in ieder geval in de basisschool – betekent het onder begeleiding heruitvinden van wat anderen lang geleden bedachten.

 

Ton Groeneveld (Docent wiskunde op RSG Slingerbos Levant in Harderwijk. Lid Redactie WiskundE-brief)

Uit ‘Ode aan Hans Freudenthal’ (WiskundE-brief 12 mei 2013)

  • Wist u dat Neder­land de geluk­kigste jeugd van de wereld heeft? Ook dat is zeker mede een verdien­ste van ons onder­wijs. Streeft u, net als ik, naar gelukki­ge leerlin­gen binnen een opti­maal voortge­zet onder­wijs, dan moet u dus eigen­lijk niet al te veel aan ons Neder­landse onder­wijssys­teem willen verande­ren.
  • Zeker binnen de wiskun­de bevin­den wij ons op het goede spoor. Daar waar de excel­lente Chinees tot pulp wordt ge­traind, passen onze leerlin­gen hun wiskun­de in voor­stelba­re prak­tijksi­tuaties toe. Daar waar de virtuo­ze Koreaan oefent op een waanzin­nige hoofdre­kensom, leren onze leerlin­gen op de juiste momen­ten naar hun rekenma­chine te grijpen.
  • De zegen van het realis­tische reken- en wiskun­deonder­wijs van de Duits-Neder­landse wiskun­dige en peda­goog Hans Freudenthal ver­taalt zich al jaren in een opti­maal oplei­dingsni­veau van de gemid­delde Neder­lander. Het is dan ook treurig om te zien dat het calvi­nis­tisch cha­grijn in het Neder­lands onder­wijs met middel­eeuwse stand­punten, dodelij­ke reken­toetsen, ver­scherp­te slaag/zakrege­lingen en beper­kingen van het gebruik van de (grafi­sche) rekenma­chine steeds meer voet aan de grond dreigt te krijgen.

 

Jan van Maanen (Directeur van het Freudenthal instituut. Projectleider ELWIeR)

  • Internationaal onderzoek wijst uit dat vroege invoering van het cijferen en een te grote nadruk daarop een blokkade vormen voor de groei naar het flexibel en deskundig omgaan met getalsmatige gegevens, naar gecijferdheid.
  • Kale rijtjes leren, zoals sommige recente boeken propageren, lijkt mooi, maar het legt een geweldig beslag op het geheugen als je die kennis nergens aan kunt vastmaken. Het leidt tot verwarring. Natuurlijk moet je met een zekere hoeveelheid basiskennis beginnen, en de tafels van 2 en 3 uit je hoofd kennen, en misschien nog een paar. Maar oefenen met nieuwe problemen in samenhang met eerdere kennis, of met een onderzoeksvraag, daar schiet de leerling veel meer mee op.
  • De staartdeling mag een efficiënte manier zijn om een deling te noteren, de manier om leerlingen kennis te laten maken met de staartdeling en goed gebruik ervan te bevorderen is niet een kaal doe-dit-doe-dan-dat recept.
  • Vroeger beschikten leerlingen slechts over een beperkt standaardrepertoire. Dat had echt iets geestdodends. De nieuwe aanpak biedt ruimte aan de creativiteit van de jongeren. Nu raadplegen ze me zelfs over wiskundige vragen die tien of twintig jaar geleden absoluut niet naar boven kwamen.
  • Kinderen begrijpend leren rekenen kost inderdaad iets meer tijd, maar het levert wel jonge mensen op die zelfstandig iets presteren. Verkijk je niet op de zeer negatieve ervaringen van de huidige veertigers en vijftigers, die onder het juk door zijn gegaan van ‘je hoeft niet te begrijpen wat je doet, het gaat om het goede antwoord’ en die keer op keer het goede antwoord niet vonden.
  • En ouders en grootouders moeten vooral niet denken “het was vroeger beter”, maar ze zouden zich moeten verdiepen in wat kind of kleinkind nu doet en dan vaststellen dat de uitkomst hetzelfde is als met de ‘oude’ methode.
  • De rekenproblemen op basisscholen worden eerder veroorzaakt door onervarenheid van leerkrachten dan door het realistisch rekenen.
  • In praktische opdrachten en profielwerkstukken hebben de HAVO- en VWO-leerlingen veel kennis en vaardigheden opgedaan die de parate-kennisgeneratie niet had. Leerlingen kunnen meer en beter leren dan de afgelopen jaren het geval was.
  • Is het wiskundeonderwijs op de universiteiten bijvoorbeeld wel zo in beweging? Of zijn daar de dictaten uit de jaren ’70 en ’80 mede de oorzaak van de aansluitingsproblemen tussen voortgezet en hoger onderwijs? 
  • Kijkt men bijvoorbeeld naar de mogelijkheden van de eerstejaars, naar wat die nu wel kennen en kunnen, in vergelijking met de parate-kennis-generatie? Maakt men gebruik van datgene wat voor de parate kennis in de plaats gekomen is ? Nee, zo gaat het niet. De eerstejaars dient zich aan het aanbod van het hoger onderwijs aan te passen. De ontbrekende kennis wordt bijgespijkerd en daarna kunnen de colleges zo blijven als ze waren. Maar de didactiek aanpassen aan de wezenlijk andere populatie, dat is een andere en veel grotere stap. Didactiek aanpassen gebeurt te weinig; ik vind dit een gemiste kans. Het hoger onderwijs zou namelijk goed gebruik kunnen maken van het gegeven dat studenten geleerd hebben om zelf dingen uit te zoeken en kennis te verwerven.

 

Reactie op het visiedocument cTWO (Toekomst Wiskundeonderwijs):

  • Onderzoek toont aan dat kennisconstructie altijd gesitueerd plaatsvindt. De commissie ‘Toekomst WiskundeOnderwijs’  lijkt zich hiervan geen rekenschap te (willen) geven. Onderwijs dat aan dit aspect van leren voorbijgaat, roept het risico over zich af betekenisloze kennis te genereren, wat toch in strijd is met de fraaie titel van het visiedocument.
  • Het ontbreken van algebraïsche vaardigheden is zeker een kwestie die aandacht verdient, maar al te eenvoudige oplossingen in de stijl van ‘veel oefenen van basisvaardigheden’ zijn gedoemd te mislukken. Recente inzichten over het leren van algebra tonen aan dat de beheersing van basisvaardigheden niet automatisch leidt tot toepasbare en flexibele algebrakennis. 
  • In hun artikel over ‘Integratie van de grafische rekenmachine’  tonen Van Streun, Harskamp en Suhre aan dat juist de zwakkere leerlingen veel profijt hadden van het gebruik van de GR.

N.a.v. de kritiek op het reken-wiskundeonderwijs:

  • Het doet denken aan een godsdienstoorlog. Het lijkt alsof een kleine sekte – sekte van de traditionele rekenaars – duidelijk wil maken dat het grote, algemeen gedeelde, geloof niet meer goed is.
  • De rekencritici willen dat er nog rekenles gegeven wordt zoals in 1980. Maar het onderwijs wil nu leerlingen vormen die met dat rekenen ook iets kunnen.
  • De plotselinge verontwaardiging in 2006 over het rekenniveau van de studenten die aan de pabo beginnen, zegt niet zozeer iets over de pabo als wel over havo en mbo; en natuurlijk zegt het iets over de klagers.
  • De commissie-Dijsselbloem zou een interessante nieuwe zaak hebben als ze zich zou verdiepen in de procesgang rond de voorgestelde examenprogramma’s wiskunde vanaf 2011. Prioriteit hebben ‘traditionele algebraïsche vaardigheden’. Traditioneel, dat gaat echt niet over de wiskundige inhoud. Die keuze is ingefluisterd door een ‘resonansgroep’ die naast de reguliere programmacommissie met vertegenwoordigers uit hoger en voortgezet onderwijs is geplaatst. Met als voorzitter Van de Craats. Zijn privé-inzichten over hoe je wiskunde moet onderwijzen, komen, als het voorstel van de bewindslieden wordt aangenomen, in de examenprogramma’s terecht. Daar mag een nieuwe commissie-Dijsselbloem zich over tien jaar over buigen.

‘Lieve Maria’  was een actie van universitaire studenten in 2006 om duidelijk te maken dat het wiskundeonderwijs op middelbare scholen ver onder de maat is en ze daardoor nu in de problemen zitten.

  • Diverse vraagstellers probeerden te achterhalen bij welke studieonderdelen de studenten nu vwo-kennis te kort gekomen waren, maar daar hadden deze woordvoerders van ‘Lieve Maria’ geen antwoord op. Niet over analyse of algebra spraken ze, ook al werden ze er nog zo dringend aan herinnerd, maar over media.

 

Adri Treffers (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar rekendidactiek Utrecht. Hij is één van de geestelijk vaders van het realistisch rekenen )

[De rekenmethode van opa werkt altijd] [De opkomst van het neo-klassikaal onderwijs]

  • Traditioneel cijferen kan kort gekarakteriseerd worden als rekenen-zonder-hoofd. Dat kan van het wiskundige cijferen zeker niet gezegd worden. Maar ook het wiskundig cijferen heeft z’n beperkingen. De gerichtheid op inzicht is namelijk te zeer tot het besloten terrein van het cijferen bepaald. Aldus kan dit cijferen het beste gekenschetst worden als rekenen-zonder-vleugels: het biedt de leerlingen weinig gelegenheid om boven het cijferen uit te stijgen en een vlucht naar toepassingsgebieden mogelijk te maken.
  • Een moeilijkheid bij het inoefenen van de traditionele cijferprocedures is, dat daar zoveel valkuilen in zitten, bijvoorbeeld met nullen en bij inwisselen en lenen, dat je daar toch een behoorlijke inzichtelijke basis voor nodig hebt.
  • Hieruit blijkt hoezeer een eenzijdige gerichtheid op cijferen het inzicht in getallen, getalrelaties en schattend rekenen blokkeert.
  • Mechanisch rekenen, dat kan niet meer. Je mag kinderen niet drillen als een aap. De tafels zijn een goed voorbeeld. Die moeten gekend worden. Maar niet met die rituele gezangen. Daar krijg je geen inzicht door.
  • Zelf geconstrueerde strategieën zijn voor een leerling betekenisvoller dan aangeleerde.
  • Op een school in Brabant stond ik voor 150 ouders, daar nam ik een heel extreem standpunt in: weg met cijferend optellen en aftrekken. Ik liet zien hoe je 53 min 27 ook uit kan rekenen. Eerst 20 eraf, dat is 30, dan kom je 4 tekort voor 3 min 7, dus het antwoord is 30 min 4, 26. Ouders enthousiast. Nooit geweten dat het ook anders kan.
  • In Amerika en Japan wordt een ‘math war’ gevoerd tussen voor- en tegenstanders van cijferend rekenen en de formele wiskunde. Bij ons gebeurt dat niet. Het beste bewijs dat onze aanpak werkt. [2000]
  • Men mag de leerlingen niet opleggen hoe ze bijvoorbeeld aftrekkingen op het rekenrek of de getallenlijn moeten maken. Voor gestandaardiseerde berekeningswijzen is niet langer ruimte meer.
  • Het is toch te gek om met een methode te beginnen die heel abstract is en waarbij je helemaal geen gevoel hebt of wat je krijgt, wel klopt? Je gaat 72 min 59 toch niet onder elkaar zetten als het met ‘aanvullend optellen’, of 1 + 12, heel makkelijk gaat?
  • De hele commotie rond het verdwijnen van de traditionele staartdeling is een storm in een glas water.
  • Zoals de oude staartdeling het symbool van het mechanistische cijferen is, zo fungeert de kolomsgewijze deling als model van het realistische cijferonderwijs — een inzichtelijke procedure die uiteindelijk in de oude staartdeling kan uitmonden.
  • ‘Delen door een breuk’ behoort al 35, 40 jaar niet meer tot het standaardprogramma. Als men vindt dat het weer tot de kerndoelen moet gaan behoren, dan moet het maar. Maar dat betwijfel ik.
  • Het is een bekend feit dat het plezier binnen het realistisch rekenonderwijs enorm is toegenomen, zowel bij leraren als bij leerlingen. Een paar jaar geleden vond men rekenen nog het stomste vak van de wereld.  
  • Engelse kinderen hebben ontzettend veel plezier in rekenen/wiskunde, met al dat geknip en geplak.
  • Waarom zo moeilijk doen over verschillen tussen kinderen? Een niveauverschil van twee leerjaren in een groep is geen enkel probleem.
  • Leerlingen leren daardoor van elkaars oplossingsstrategieën. Het gaat er niet om wie de opgave goed heeft, maar om de manier waarop een leerling tot een oplossing is gekomen, en waarom. In een klas wordt dus veel gesproken en gediscussieerd.
  • Met een beetje geavanceerd probleem kun je twee lesuren vullen, met opdrachten, besprekingen en discussies. Dat kost tijd, maar die kun je direct terugwinnen door minder productieve dingen achterwege te laten, zoals het schriftelijk oefenen van sommen die leerlingen al kunnen. Daar leer je echt niks van.
  • De vraag is nu of ouders er verstandig aan doen hun kinderen met rekenen te helpen. Ik zou zeggen: indien ze dat wenselijk achten zouden ze dat in ieder geval pas na overleg met de school moeten doen. Dan is het echter nog maar de vraag of hulp van een ‘rekenouder’ wel zo effectief is. Want kinderen leren rekenen is een vak.

N.a.v de kritiek op het realistische rekenonderwijs:

  • Het probleem is dat de critici van het rekenonderwijs niet meer weten dat de helft van hun klasgenoten destijds ook nauwelijks kon rekenen.
  • Het is een beetje flauw van de critici dat ze zo hameren op die sommetjes waarvan we met z’n allen hadden afgesproken dat ze in het onderwijs minder nadruk zouden krijgen. Over het algemeen maken de kinderen van nu de sommen beter, zeker als het om schattend rekenen gaat.
  • Ik vind niet dat optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen de basis zijn van wat je moet kunnen. Dat is een standpunt: je zegt dan dat cijferen het hart is van het rekenonderwijs. Ik denk niet dat er veel mensen zijn die zeggen dat dat het geval is.
  • De zere plek ligt op de pabo’s; daar besteden ze te weinig aandacht aan rekenen en wiskunde.
  • Bij het belang van oefenen gaat het niet om een herbezinning van de realistische didactiek als zodanig.
  • Als men cijferen in de beroepsopleiding zo belangrijk vindt, dan kan men dat daar toch uitbouwen?
  • De Nederlandse jeugd rekent beter dan ooit tevoren. Je moet de PPON-statistieken anders lezen dan de critici doen. Er blijkt juist uit dat de nieuwe methode op alle rekenonderdelen een positieve invloed heeft gehad. Dat geldt óók voor het cijferen: als we de oude methodes nog steeds hadden gebruikt, waren de resultaten slechter geweest. Bovendien wijst ander PPON-onderzoek uit dat het in het onderwijs, tot en met groep zes, nooit zo goed is gegaan. Op alle fronten. Nederland zit in de mondiale top vijf. Dat is geen mening, dat zijn feiten.
  • De inspectie bestempelt het rekenonderwijs als matig? Ik heb al eerder gezegd: als ons rekenonderwijs matig is, dan krijgt de rest van de wereld een onvoldoende. Dit internationale onderzoek bevestigt dat. Ze bedoelen eigenlijk ‘matig geïmplementeerd’. Het gaat niet over de resultaten, maar over de uitvoering van het curriculum. En dat dat nog niet helemaal uit de verf komt, is helemaal niet vreemd, want veel scholen zijn de afgelopen jaren zonder noemenswaardige bijscholing overgestapt naar een realistische rekenmethode. Het is een wonder dat de prestaties zo goed zijn. De Nederlandse leraren hebben de afgelopen jaren echt een geweldige job geleverd.
  • Waarom veel kinderen bij het rekenen geen papier gebruiken maar alleen het antwoord geven? Het komt door al dat getoets. Ze kunnen het wel, maar op de formulieren van het Cito is geen ruimte voor bewerkingen, dus daarom schrijven ze niets op. Als je de leerlingen vraagt de bewerkingen op papier te schrijven, gaat het heel goed.
  • Het was niet het Freudenthal Instituut dat de vernieuwingen in het rekenonderwijs heeft doorgevoerd. Een methode-terreur? Alsof wij directe invloed op de methodes zouden hebben. De programma’s in de leerboeken zijn geënt op de kerndoelen die door de overheid zijn opgesteld.
  • Uit het voorgaande is duidelijk geworden dat de kritiek van Van de Craats op het rekenonderwijs met terugwerkende kracht ook de traditionele rekenmethodes van vroeger treft.
  • De ideeën van Van de Craats hebben geen enkel draagvlak.

 

Prof. Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar reken-wiskundedidactiek aan de Universiteit van Utrecht)

Ze was projectleider van het door OC&W gefinancierde TAL-project: het TALige realistisch rekenonderwijs voor PABO-studenten. 

In het het TAL-boekje lezen we: “In de geschetste realistische didactiek wordt niet direct en uitsluitend op het reproduceren van de tafels aangestuurd via herhaald optellen, zoals vroeger in de mechanistische methodiek gebeurde via klassikaal uitgevoerde klaagzangen.” Handig rekenen is speerpunt in het TAL-project, waarbij elke som opnieuw creatief moet worden opgelost en er kolomsgewijs gerekend wordt.

[Reform under attack] [Hoe rekent Nederland?]

  • We hebben de plicht aan te sluiten bij de denkrichting van de kinderen zelf.
  • We kunnen niet terug naar ‘mechanisch’ sommen leren maken, zonder er bij na te denken. Kinderen zijn anders dan vroeger, ouders zijn anders. In Azië kunnen kinderen dat heel goed, daar scoren ze hoog in rekenen. Maar daar klagen ze over gebrek aan creativiteit.
  • Ofschoon Singapore in veel vergelijkende studies steeds weer aan kop gaat, maakt men zich in Singapore zelf ernstig zorgen of dit door de toets bepaalde onderwijs niet dodelijk is voor de creativiteit die nodig is om tot doorbraken en innovaties te komen.
  • Juist bij het oude rekenen haakten kinderen massaal af, omdat ze niet wisten wat ze deden.
  • Het begrijpen en inzicht hebben in cijfers en rekenstrategieën is belangrijker dan bijvoorbeeld tafels uit het hoofd stampen. Het domweg uit het hoofd leren kost veel tijd, terwijl ze dan nog niet weten wat ze doen.
  • Anderen nemen over het cijferen een veel radicaler standpunt in. Als we volgens Dehaene kijken naar de rekenvaardigheid van mensen, dan is het duidelijk dat onze hersenen niet gemaakt zijn om te cijferen. Daarom kunnen we het maar beter uit het onderwijsprogramma halen. Een gelukkige bijkomstigheid is, dat dit nu ook kan. We hebben immers de rekenmachine, aldus Dehaene.
  • Kinderen kunnen nu veel beter schatten. Als er nu in een winkel 10 procent korting wordt gegeven, weten ze hoeveel dat is. Met de oude methoden hadden kinderen geen enkel besef of er 270 of 2700 uit moest komen.
  • We hebben dertig jaar geleden al onderzocht wat er beter werkte, de staartdeling of delen via kolomrekenen. Dat was onderzoek in een kleine groep, maar de resultaten waren zeer overtuigend. We hebben juist nieuwe manieren bedacht omdat heel veel kinderen die staartdeling niet konden maken.
  • Leg aan ouders uit dat de kinderen nog steeds de benodigde vaardigheden opdoen, maar dat de weg om naar het meest abstracte algoritme te komen nu wat meer doorzichtig voor de kinderen is.
  • In het Nederlandse basisonderwijs doen we veel te weinig om kinderen wiskundig te leren redeneren. Het onderzoeken van getalpatronen, het op een elementaire manier kennismaken met variabelen, functies en combinatoriek ontbreken bijna volledig in ons basisschoolprogramma.
  • Het is opvallend hoe vaak leerlingen die een opgave niet kunnen oplossen daarover spreken in de verleden tijd en zeggen dat ze “niet meer weten hoe het moest.” Dit zegt in mijn ogen veel over het achterliggende leerproces. Het zal waarschijnlijk niet met veel eigen inbreng van de leerling gepaard zijn gegaan.
  • De nu al bereikte resultaten op het gebied van rekenen kunnen daarbij een belangrijke stimulans vormen. Het zal voor Nederlandse leraren een enorme opsteker zijn te weten hoe de Nederlandse leerlingen bij rekenen presteren. En gelukkig hoeven we daarbij niet af te gaan op wat her en der wordt geroepen, maar beschikken we over serieuze en objectieve onderzoeksrapporten. En wat in die rapporten staat, liegt er niet om. Menig land kijkt met afgunst naar de Nederlandse resultaten.
  • Een minpunt is dat vergeleken met 2003 het helaas wel slechter gaat bij de andere wiskundeonderdelen, te weten algebra, meetkunde en statistiek, maar dat is niet waar deze rekendiscussie over gaat.
  • Daarnaast zijn ook bepaalde onderdelen duidelijk minder geworden. Dit betreft het cijferend rekenen en het uitvoeren van samengestelde bewerkingen. Maar hier staat weer tegenover dat de leerlingen beter zijn geworden in hoofdrekenen, schattend rekenen, getallen en getalsrelaties, en rekenen met de rekenmachine; allemaal rekenvaardigheden die een goede basis vormen voor de 21ste-eeuwse vaardigheden, hetgeen je van het cijferen niet direct kunt zeggen.
  • [N.a.v. het Groot Nationaal Rekenonderzoek] Wij testen niet zozeer de kennis van de rekenfeiten maar meer het inzicht. Wij geven wel sommetjes maar de deelnemer hoeft die sommetjes niet uit te rekenen maar moet kunnen redeneren. Dit is ook belangrijk bij schattend rekenen, dat je de basis weet hoe bepaalde getallen gerelateerd zijn aan elkaar.

N.a.v de kritiek op het realistische rekenonderwijs:

  • Er is een hetze tegen realistisch rekenen aan de gang.
  • Aangevoerd door degenen die terug willen naar het rekenonderwijs van veertig jaar geleden, toen de staartdeling nog een prominente plaats innam in het Nederlandse rekenprogramma, vullen krantenkolommen zich met de voor waar aangenomen ‘achteruitgang’ van de Nederlandse rekenvaardigheid.
  • Verder zijn de in de media gegeven voorbeelden van de kolomsgewijze aanpak vaak ronduit stuitend: één grote chaos en gegoochel met getallen waarmee men geen kind zou willen lastig vallen.
  • De discussie rond realistisch versus mechanistisch is geen issue in de academische wereld van onderzoekers van reken-wiskundeonderwijs. Voor het werk van het Freudenhtal Instituut bestaat wereldwijd veel belangstelling, terwijl hier in Nederland sommigen spreken over didactische blunders van de realistische methode. Ik had nooit voor mogelijk gehouden dat er zoveel tegenstand zou zijn tegen de ideeën van realistisch onderwijs.
  • Als onderwijzers oefenen niet meer belangrijk vinden, dan is dat niet de schuld van het Freudenthal Instituut, want dat hebben wij NOOIT-NOOIT-NOOIT gezegd.
  • Het door Van de Craats voorgestane rekenonderwijs is een extreme variant van mechanistisch rekenonderwijs, doordat men het cijferen al bij het rekenen tot 100 laat beginnen. Dit betekent dat de informele strategieën van leerlingen worden onderdrukt en het hoofdrekenen een ondergeschikte rol krijgt toebedeeld. Bovendien is het vraag of deze ‘one issue’ didactiek wel als een volwaardige reken-wiskundedidactiek kan worden beschouwd.
  • Van de Craats wil terug naar het onderwijs van veertig jaar geleden en probeert dit te onderbouwen met de tegenvallende resultaten van het huidige (basisschool)onderwijs. Deze kritiek schiet in verschillende opzichten tekort. Zoals Treffers heeft laten zien, zijn de resultaten niet echt achteruitgegaan en ook internationale vergelijkingen geven geen aanleiding om dit te denken. Bovendien heeft Van de Craats geenszins aangetoond dat het trainen op algoritmen de leerlingen beter voorbereidt voor hun verdere wiskundige ontwikkeling en hun maatschappelijke redzaamheid.
  • Ik vind de de discussie soms erg onbetamelijk en van laag niveau. De kranten publiceren alles wat Jan van de Craats zegt, wij hebben daarentegen de grootste moeite om onze reactie gepubliceerd te krijgen.
  • The mathematics education debate is ruled by emotions.
  • While the style of criticisms against RME [Realistic Mathematics Education] in official reports stays within the social conventions that can be expected from professionals, the newspapers, including the so-called ‘quality papers‘ as well as magazines and websites often contain crass and unfounded accusations, in which well-regarded scientists are pilloried. This is all ‘normal’ within the current political climate in the Netherlands. In recent years, for a variety of reasons — including the emergence of high-profile populist politicians — the tone of the public debate has been lowered; especially when the establishment is the target of the debate. The track record that the Freudenthal Institute has built since 1970 means that we are now part of that establishment, with all the consequences of that position.
  • It is stated shamelessly by RME-attackers that children do not need to think.
  • The opponents of RME have as their leader, a professor in mathematics [Jan van de Craats], who used to teach at a military academy.
  • [e-mail aan Joost Hulshof] Ik heb bij nader inzien, doordat ik kennis heb genomen van je website, Marc van Zanten geadviseerd de uitnodiging voor de Panamaconferentie in te trekken. De Panamaconferentie is geen podium voor mensen die de regels van goed fatsoen met voeten treden.
  • [In een petitie voor steun aan Jo Boaler] In the Netherlands we also have a group mathematicians who repeatedly unfoundedly malign the research done at the Freudenthal Institute.

 

Adri Treffers, Marja van den Heuvel-Panhuizen (Medewerkers Freudenthal Instituut)

[Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg]

  • De claim over de didactische superioriteit van de aloude cijfermethodes wordt op geen enkele wijze door de beschikbare onderzoeksresultaten gerechtvaardigd — integendeel. De resultaten op alle niet cijferonderdelen zijn in die traditionele methodes ver onder de maat, terwijl ze bij het cijferen evenmin excelleren.
  • Indien er geen methodevernieuwing had plaatsgevonden, zouden de uitkomsten van het rekenwiskundeonderwijs thans lager zijn geweest. De afname van de cijfervaardigheid bij met name vermenigvuldigen en delen kan derhalve niet aan de toename van de nieuwe rekenmethodes worden toegeschreven.
  • Maar, nogmaals, dat is iets anders dan in al gemene zin het kolomsgewijze rekenen aan de kaak stellen, of sterker, zelfs op te roepen om het te verbieden. Dit betekent zoveel als een verbod op een klassieke rekenaanpak.
  • De voorstelling die Van de Craats van dit kolomsgewijze rekenen geeft, is zonder meer misleidend. Hij laat namelijk zien hoe ingewikkeld ‘729 × 345’ kolomsgewijs berekend wordt:  je krijgt dan 9 deelproducten in plaats van 3 zoals bij de standaardprocedure. 

 

Koeno Gravemeijer (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoogleraar Science & Techniekeducatie)

Gravemeijer heeft met professor Paul Cobb onderzoek verricht naar nieuwe vormen van rekenonderwijs. Uitgangspunt vormt het sociaal constructivisme, het idee dat iedereen een wereldbeeld schept vanuit zijn eigen kennis.

Gravemeijer was lid van de projectgroep die op verzoek van de Ververs Foundation een eerste verkenning uitvoerde naar de wenselijke inhouden van reken- en wiskundeonderwijs voor leerlingen van 4 tot 15 jaar (zie rapport ‘De Toekomst Telt’). Hij was eindredacteur van de projectgroep ‘Wiskunde voor Morgen’ die de Commissie Schnabel adviseerde over het reken- en wiskundeonderwijs in 2032.

[Reken-wiskundeonderwijs] [Wat is het probleem?] [Rekenen-wiskundeonderwijs dat leerlingen voorbereidt op hun toekomst] [Reken- en wiskundeonderwijs voor de 21e eeuw] [Globaal rekenen, redeneren en de zakrekenmachine gebruiken] [Het belang van social norms en socio-math norms voor realistisch rekenonderwijs] [Wiskunde leren is complexer dan je denkt] [Zet vooral in op kennis die een aanvulling is op wat de computer al kan]

  • De grondslag van de FI-aanpak wordt gevormd door het socio-constructivistische uitgangspunt dat de leerlingen hun eigen kennis construeren en dat de beïnvloeding hiervan door het onderwijs slechts indirect kan plaatsvinden. Via eigen activiteit ontwikkelt de leerling zelf wiskunde.
  • Wiskunde kan en moet geleerd worden op grond van eigen autoriteit en van eigen mentale activiteit. Kinderen maken hun eigen wiskundekennis. De eigen constructies staan centraal binnen het leerproces.
  • Kennis is uniek voor elke persoon. Je zou kunnen zeggen dat iedereen zijn of haar eigen werkelijkheid maakt. In het realistisch wiskundeonderwijs wordt ernaar gestreefd de leerlingen te begeleiden in het heruitvinden van wiskunde.
  • In kringen van onderwijswetenschappers wordt in ruime kring onderkend dat je kennis niet via het uitleggen van regels en definities kunt overdragen, maar dat je de leerlingen moet helpen kennis te construeren.
  • Het op gezag van anderen overnemen van wiskundige kennis acht Freudenthal bovendien geen wiskunde. Als alternatief stelt hij ‘guided reinvention’ voor: geleid heruitvinden.
  • Het gaat erom dat de leerlingen het reinvention proces zo ervaren, dat ze de uitkomsten van dit proces beschouwen als eigen kennis, als kennis die ze zelf voor hun verantwoording nemen.
  • In het traditionele reken-wiskundeonderwijs was het de taak van de leerlingen uit te vinden wat de leraar in zijn of haar hoofd had. In het nieuwe onderwijs moet de leraar proberen om erachter te komen wat de leerlingen denken. Het is nu niet meer de leraar die onderwijst maar de leerling die uitvindt.
  • Het basisidee van het realistisch reken-wiskundeonderwijs is dat men de leerlingen in de gelegenheid stelt reken-wiskundige kennis en inzichten uit te vinden. Daarmee hoop je te bereiken dat de leerlingen wiskunde construeren waarvan ze zelf de juistheid kunnen overzien. Zodat ze daarvoor niet hoeven te leunen op de autoriteit van de leraar of het leerboek.
  • De taak van de leraar is de leerlingen te begeleiden bij het heruitvinden van wiskunde. De eigen kennis en de eigen inbreng van de leerlingen vormen daarbij het vertrekpunt. Deze benadering past goed bij constructivistische opvattingen over kennisconstructie. Volgens het constructivisme is kennis niet zonder meer overdraagbaar, omdat eenieder zijn of haar eigen kennis construeert. In het reken-wiskundeonderwijs ontstaan volgens deze theorie al snel communicatieproblemen doorat leraar en leerlingen dezelfde termen en activiteiten binnen verschillende referentiekaders interpreteren.
  • Probleemgeorënteerd onderwijs vraagt een heel andere rolverdeling; dan gaat het om wat de leerling denkt waarbij de klas meer gaat functioneren als een onderzoeksgemeenschap. Van de leraren wordt verwacht dat ze proberen uit te vinden wat de leerling denkt, zelf niet uitleggen, maar in staat zijn de klassendiscussie zo in te richten dat de onderliggende wiskunde onderwerp van gesprek wordt.
  • De historische ontwikkelingsgang van de wiskunde wordt gekenmerkt door een proces van voortgaande organisatie – met praktische problemen als beginpunt, en het formele wiskundige bouwwerk als eindpunt. Dit wordt in traditioneel reken-wiskundeonderwijs op zijn kop gezet door met het formele systeem te beginnen en met de toepassingen te eindigen. De problemen die deze anti-didactische inverse oplevert zijn genoegzaam bekend.
  • Desforges en Cockburn deden in Groot Britannië onderzoek bij basisschoolleerkrachten die bekend stonden als goed en vernieuwingsgezind. Tot hun verbazing bleek er weinig terecht te komen van het beoogde probleem-georiënteerde onderwijs. In de praktijk bleek dat de leerlingen niet meewerkten. Door steeds om hulp en aanwijzingen te vragen probeerden de leerlingen de openheid van de opgaven zo veel mogelijk in te perken. Klaarblijkelijk voelden de leerlingen zich prettiger in een onderwijsleersituatie waar precies vaststond wat ze moesten doen dan in een situatie waar er veel aan henzelf werd overgelaten. Bovendien bleek het moeilijker om orde te houden in klassen die met open problemen werkten dan in klassen die rijtjes standaardopgaven moesten afwerken. Ook het bespreken van oplossingsstrategieën is niet probleemloos. Leerlingen gaan er namelijk niet spontaan toe over hun antwoorden uit te leggen en te rechtvaardigen.
  • Uit klassenobservaties bij leraren die aangaven probleemgeoriënteerd te willen werken, bleek dat deze geconfronteerd werden met leerlingen die verandering in een meer probleemgeoriënteerde richting tegenwerkten. Ze bleven vragen wat ze moesten doen, wilden steeds aanwijzingen, meer voordoen. Vanuit een wetenschappelijk perspectief valt te verdedigen dat er vermoedelijk een onderliggende oorzaak is die te maken heeft met de rolpatronen die in de loop der tijd zijn ontstaan. De leerlingen zijn gewend dat de docent uitlegt en voordoet. En dat hun werk wordt beoordeeld op de mate van overeenstemming met wat de docent heeft uitgelegd en voorgedaan. Daardoor hebben ze zich een beeld gevormd van wat hun rol is en die van de docent. In de literatuur spreekt men in dit verband wel van een ‘didactisch contract’.
  • Om de gewenste interactie in de klas te kunnen realiseren is het noodzakelijk dat het didactisch contract van dien aard is dat de social norms in de klas passen bij de interactie die realistisch reken-wiskundeonderwijs veronderstelt. In het algemeen vraagt dit om een herziening van de geldende normen. Aan de invoering van nieuwe normen dient de leerkracht expliciet aandacht te besteden in concrete situaties. Bovendien moet de leerkracht ervoor zorgen, dat de leerlingen in de praktijk ervaren dat de nieuwe normen werkelijk gelden. Naast de sociale normen die de interactie betreffen, zijn ook de zogeheten ‘socio-math norms’ in dit type onderwijs van belang. Gemeenschappelijke opvattingen over wat wiskundig gezien, elegantere of efficiëntere oplossingen zijn, vormen namelijk een krachtig instrument om de voortgang in een dergelijk open leerproces te ondersteunen op een manier die strookt met het adagium van het leren van wiskunde op eigen gezag. Met ‘proactief’ ingrijpen kan de leerkracht het progressief mathematiseren verder ondersteunen. Terwijl bovendien via pro-actief en retro-actief op zodanige wijze richting kan worden gegeven aan het onderwijsleerproces, dat de aansluiting met de gangbare wiskunde is verzekerd.
  • Het moderne realistisch reken-wiskundeonderwijs leidt tot meer zekerheid, meer flexibiliteit en een betere toepasbaarheid dan het eraan voorafgaande, mechanistische, rekenonderwijs. Het huidige reken-wiskundeonderwijs past daarmee veel beter bij de maatschappij van nu.
  • ‘Realistisch rekenen’ moet worden opgevat als rekenen waarbij je je realiseert wat je doet.
  • In het moderne realistisch reken-wiskundeonderwijs worden de tafels niet meer als losse feitjes geleerd. In plaats daarvan ligt het accent nu op het redeneren en het leggen van verbanden. De verandering betreft niet alleen een verandering van werkwijze, maar ook een verandering van doel: er wordt onder meer gemikt op een ander type getalkennis, waarbij getallen wiskundige objecten zijn geworden. Van Hiele beschrijft dit objectkarakter van getallen door te spreken van getallen als knooppunten in een relatienet. Een voorbeeld van zo’n knooppunt is het getal twaalf, dat een wiskundig object is geworden wanneer de leerlingen dit spontaan associëren met 12 = 10+2, 12 = 2×6, 12 = 3×4, 12 = de helft van 24 of 12 = 20−8. Het voordeel van dit soort kennis is dat je deze flexibel kunt inzetten als puzzelstukjes, die je naar believen kunt combineren. De leerling die dit type getalkennis ontwikkelt, creëert een stukje nieuwe werkelijkheid.
  • Cijferen bereidt niet voor op wiskunde in het Voortgezet Onderwijs; cijferen leidt niet tot het ontwikkelen van netwerken van getalrelaties; cijferen leidt niet tot inzicht in rekeneigenschappen. Handig rekenen daarentegen is geen verzameling van regeltjes. Hier worden wel getalrelaties en rekeneigenschappen gebruikt.
  • Wanneer computers onze wiskunde doen, wat moeten we dan met ons wiskundeonderwijs?
  • Er is nog steeds reken-wiskundige kennis nodig, maar niet meer dezelfde. Het gaat in de toekomst om de reken-wiskundige kennis die je nodig hebt als aanvulling op wat computers kunnen.
  • Om echt te leren begrijpen hoe het vermenigvuldigen en delen met breuken en kommagetallen in elkaar zit, moeten de leerlingen stevig wiskundig redeneren. Wat mij betreft mag zo’n investering best ten koste gaan van het routinematig, precies rekenen, dat immers nog maar een betrekkelijke waarde heeft in deze tijd van informatietechnologie.
  • Ik stel voor al vast die kant op te gaan en de accenten in het reken-wiskundeonderwijs te verleggen, van precies rekenen volgens vaste procedures, naar globaal rekenen, wiskundig redeneren en het leren gebruiken van de zakrekenmachine.
  • Globaal rekenen leidt bovendien tot rijker reken-wiskundeonderwijs.
  • Actuele problemen in het onderwijs zijn het gevolg van te lang én teveel traditioneel denken, waarbij de nadruk ligt op het ‘voordoen-nadoen’ en het oeverloos oefenen.
  • De ervaring leert dat leerlingen geneigd zijn om regels en procedures door elkaar te halen. Daarom wordt er door didactici en onderwijsgevenden in het algemeen voor gekozen om deze regels en procedures niet blind aan te leren. Bovendien gaat het in het reken- en wiskundeonderwijs om meer dan alleen maar regels en procedures: het richt zich ook op begrip, inzicht, flexibiliteit, creativiteit, toepassingsvaardigheid.
  • De klassieke wiskunde heeft als gevolg van de informatisering en globalisering compleet afgedaan.
  • Het type rekenonderwijs dat de critici propageren heeft enkel nut in een tijd waarin je nog veel met pen en papier moest uitrekenen. Inmiddels heeft de rekenmachine dit rekenwerk overgenomen. Mechanische rekenvaardigheid heeft zijn maatschappelijke functionaliteit verloren.
  • Er werd dertig jaar geleden veel geïnvesteerd in het oefenen van weetjes en procedures, maar de leerlingen konden hun kennis niet toepassen en nog minder in contextopgaven.
  • In het klassieke rekenonderwijs was er altijd een spanning tussen begrijpen en beheersen. In reken-wiskundeonderwijs dat zich richt op beheersing, ontstaat een focus op procedures die zijn toegesneden op specifieke opgaven/opgavetypen. Dit leidt tot losse stukjes opzichzelfstaande kennis en onbegrepen regeltjes die gemakkelijk door elkaar worden gehaald. Het gevolg is niet alleen dat voor de toekomst belangrijke inzichten, niet worden bereikt. Maar de verkregen vaardigheid is bovendien uiterst kwetsbaar. Er zal dus een verschuiving nodig zijn van op beheersing gericht rekenwiskundeonderwijs naar op inzicht gericht reken-wiskundeonderwijs.
  • Wat moeten onze kinderen leren om van China te kunnen winnen? Over die vraag zouden we het eens moeten hebben.
  • Enige tijd geleden stond in de krant ”Tientallen doden door rekenfouten van artsen en verpleegkundigen”. Als je uitzoekt waar deze krantenkop op is gebaseerd dan blijkt dat er helemaal geen doden zijn geteld. Er is een redenering opgezet, waarbij vanuit de resultaten op een rekentoets is geëxtrapoleerd naar het aantal doden dat zou kunnen zijn gevallen. Ik kan u verzekeren dat die redenering beslist niet houdbaar is.
  • [Uit zijn oratie in 2001]:   Verpleegkundigen gebruiken bij een probleemopgave niet zomaar een bestaand berekenmodel, maar ze ontwerpen een eigen mathematisch model om tot een oplossing te komen. Dit vergt andere kennis dan het model kunnen doorrekenen. Een verpleegkundige hoeft niet te kunnen doorrekenen wat een computer kan.
  • Het verplicht stellen van een toets rekenvaardigheid lijkt een logische reactie op de geconstateerde problemen rond de rekenvaardigheid van aankomende Pabostudenten. Maar de getoetste vaardigheid moet wel passen bij het doel van de opleiding. Dat stelt hoge eisen aan de toets. Er bestaat immers het gevaar van het trainen voor de toets. Dat zou ertoe kunnen leiden dat de studenten zich trucs en een trucmatige attitude eigen maken, die een inzichtelijke benadering in de weg staan. Laat ik dit illustreren met een opgave die in de media circuleert: “Hoeveel is 16 2/3 % van €1860,-?” Verwacht wordt dat de student weet dat 16 2/3 % overeenkomt met 1/6 deel, waarbij 1860 gedeeld door zes uiteraard mooi uitkomt. Dit is typisch het toetsen van schoolse kennis, de kans dat je in de realiteit buiten de school ooit precies 16 2/3 % van iets moet uitrekenen is nihil. Voor schattend rekenen hoef je slechts een paar mooie percentages te weten, zoals 50%, 25% en 33 1/3 %. Van daaruit kun je gemakkelijk verder komen. Het leggen van dergelijke relaties vraagt een ander soort rekenvaardigheid dan de schoolse rekentrucjes.
  • Het is de vraag of meer leerlingen voor een exacte studie zullen kiezen wanneer het onderwijs voor een groter deel zal bestaan uit het leren van definities en het oefenen van procedures. Nog los van het feit dat ze dan om een verkeerde reden exact zouden kiezen, spreekt dit leerlingen niet aan. Adolescenten hechten veel waarde aan activiteiten die passen bij hun zelfbeeld. Het nadoen van wat anderen bedacht hebben hoort daar niet bij.
  • Wat zijn de consequenties van de toenemende automatisering van reken-wiskundige routinetaken voor het wiskundeonderwijs. Je hoort er klachten over dat aankomende bètastudenten de staartdeling niet kunnen maken. Ik denk dat er iets ernstig mis is met de bètaopleidingen in Nederland wanneer de leerlingen daar nog staartdelingen moeten maken.
  • Ik hoorde onlangs dat exact-georiënteerde vwo-leerlingen een merkwaardig product van het type a² – b² niet herkenden in een opgave. Het ongedifferentieerd benadrukken van het belang van alle mogelijke vaardigheden kan echter het leren van echt belangrijke vaardigheden in de weg staan.
  • Bijna 20 jaar geleden werd in het zogeheten MORE-project vastgesteld dat het realistische reken-wiskundeonderwijs op de basisschool slechts in beperkte mate werd uitgevoerd als bedoeld. Het is wrang dat er nu wel in nascholing wordt geïnvesteerd om de klok weer terug te draaien. Dit is des te navranter omdat onderzoek laat zien, dat indien dit type ‘reform mathematics’ wordt uitgevoerd zoals bedoeld, het betere resultaten boekt dat de traditionele  benadering.
  • Nu zijn de klachten over de teruglopende rekenvaardigheden zo algemeen, dat we mogen aannemen dat er echt wat aan de hand is, maar of dat nu de conclusie rechtvaardigt dat we terug moeten naar het rekenen van vroeger? 
  • We moeten ons niet blind staren op de doorstroomrelevantie binnen het onderwijssysteem, maar ook oog hebben voor de uitstroomrelevantie, ofwel voor wat de maatschappij vraagt.

 

Hans ter Heege (Medewerker Freudenthal Instituut. Hoofdredacteur Panama-Post )

[Mad Math en Math War (Onderwijskrant)]  [Wat is realistisch reken-wiskundeonderwijs?]

  • Het memoriseren van tafels is volstrekt overbodig. Neem 8×6.  In de realistische aanpak kan dit berekend worden als 10 x 6 – 2 x 6, of als 5 x 6 + 3 x 6 of als 6 x 8 of ….
  • Door de tafels aan te bieden wil men tegelijkertijd begrip voor het vermenigvuldigen bijbrengen. Men slaat met andere woorden de brede en rijke begripsinbedding van het vermenigvuldigen over.
  • Het onomstotelijke bewijs dat de moderne aanpak beter is dan de traditionele ontbreekt, omdat vergelijkend onderzoek niet heeft plaatsgevonden. Wat we wel weten is dat met de ouderwetse didactiek volgens veel leerkrachten teleurstellende resultaten werden geboekt. De nieuwe aanpak is in jarenlang onderzoek ontwikkeld en gebaseerd op ruime ervaringen in de onderwijspraktijk. De effectiviteit van de traditionele tafeldidactiek is daarentegen nooit wetenschappelijk onderzocht. De moderne aanpak voor het leren van tafels ‘terug in te wisselen’ voor de traditionele aanpak is daarom een slechte zaak.
  • De rekenvaardigheid van de leerlingen en de volwassenen voor de komst van het Freudenthal Instituut was erbarmelijk.
  • De problemen met het niveau van het rekenonderwijs zijn gewoon het gevolg van het feit dat opleiding en nascholing van leraren maar in beperkte mate gelijke tred gehouden hebben met de ontwikkelingen in het vak.
  • Het ligt vooral aan de leerkrachten die veel moeite hadden met de overgang naar een nieuwe methode en naar de nieuwe realistische didactiek.
  • Zijn basisvaardigheden in het rekenen een noodzakelijke voorwaarde voor het leren van wiskunde? In de discussie die momenteel speelt, beweren sommigen dit met grote stelligheid. Maar wat zijn dan die basisvaardigheden? Behoort daar ook het cijferen toe? Gravemeijer meent dat vermenigvuldigingen met grote getallen, eventueel met komma’s, geen voorwaarde zijn voor het leren van algebra of integraal en differentiaal rekenen en evenmin voor het leren van meetkunde. Zo bezien is het cijferen niet per se nodig om later wiskunde te begrijpen.

 

Jan de Lange (Hoogleraar-directeur van het Freudenthal Instituut (1981-2006))

[Kinderen kunnen veel meer dan we denken] [Ieder rekent met zijn eigen hoofd]

  • De hoge prestaties van ons land internationaal gezien en de voorsprong op didactisch gebied, werken remmend. Waarom zouden we investeren in veranderingen als het al zo goed gaat? Toch constateer ik in Nederland een zeer vruchtbare voedingsbodem voor innovaties in het reken- en wiskundeonderwijs en de rol van ict daarbij. We hebben de beste leraren van de wereld, qua attitude en interesse in leerlingen. Er is een open cultuur voor het bespreken van veranderingen, die niet hiërarchisch gekleurd is, maar gebaseerd is op kwalitatieve inbreng. Tenslotte hebben we een ministerie van OC&W dat geïnteresseerd is in positieve onderwijsontwikkelingen en echt meedenkt. (2002)
  • Vroeger ging het alleen maar om de juiste uitkomst en het papegaaien van de leraar. Nu doen we een beroep op het eigen, kritisch denkvermogen van kinderen.
  • De natuurlijke rekengaven van het kind moeten tot bloei worden gebracht. Het hardop oefenen van de tafels is schadelijk voor die ontwikkeling. Want als je de tafels hardop oefent wordt alleen het taalcentrum in de hersenen geactiveerd, en niet het rekencentrum.
  • Niet stampen, maar strategie; volgens hersenonderzoek wordt op die manier effectiever gebruik gemaakt van het brein dan volgens de ouderwetse methode.
  • Ongecijferdheid, slecht kunnen omgaan met getallen en cijfermatige gegevens en uitspraken en situaties die uitnodigen tot uit het hoofd oplossen en schattingen doen, vormen een veel groter probleem dan men denkt. Volgens Treffers wordt dit niveau van ongecijferdheid niet zozeer bereikt door de inhoud van wat wordt onderwezen (of juist niet wordt onderwezen), maar is het juist het resultaat, althans gedeeltelijk, door de structurele opbouw van de praktijk van het onderwijs.
  • Wat moeten we met algebra in de 21ste eeuw? Is algebra een taal, een manier van redeneren, of een manier om haakjes weg te werken?
  • Nadenken, logisch redeneren en probleem oplossen zijn volgens de OESO de competenties van de 21ste eeuw. Maar in Nederland zwaait de slinger de andere kant op. Wij gaan weer terug naar de 18e eeuw. Er moet meer aandacht komen voor staartdelingen en we stellen rekentoetsen verplicht.
  • Peuters en kleuters gebruiken hun talenten om de wereld om hen heen te begrijpen. Ze stellen slimme vragen, proberen dingen uit en bedenken eigen verklaringen voor wat ze zien en beleven. Maar in het onderwijs raken kinderen die sprankelende houding snel kwijt. In groep drie begint het leren, denken we. Maar in groep drie eindigt het. Dat ligt aan rigide leerboekjes en leerlingvolgsystemen die geen ruimte laten voor onderzoekend leren en probleem oplossen.
  • Kinderen kunnen veel meer met getallen dan wetenschappers vroeger dachten. Denk bijvoorbeeld aan getallen onder nul. Kleuters hebben daar geen enkele moeite mee. -1 kennen ze van de lift, of van de temperatuur.
  • Het reken- en wiskunde-onderwijs moet rekening houden met die individuele voorkeuren. Het zijn verschillende vaardigheden die allemaal bruikbaar zijn. Je moet kinderen daarom niet te snel op basis van één vaardigheid voorsorteren. Zo is de klassieke manier van een staartdeling maken allang niet meer de enige.
  • Je staat er versteld van hoe kinderen van 13 met computers kunnen omgaan. Ze hebben een deskundigheid opgebouwd die je bij volwassenen nauwelijks ziet. Het is ongelooflijk hoeveel verschillende soorten informatie ze tegelijk kunnen verwerken. En in plaats van serieus rekening te houden met die vaardigheden, doen we alsof die niet bestaan. Kijk alleen al naar hoe hopeloos het is gesteld met de integratie van de computer in het onderwijs.

 

Wil Oonk (Medewerker Freudenthal Instituut)

  • In het primair onderwijs van voor 1970 kreeg het inoefenen van de tafels dan ook de meeste aandacht. Veel kinderen kenden al tafelproducten voordat ze eigenlijk de betekenis van de bewerking vermenigvuldigen door hadden.
  • Slimme leerlingen hadden al gauw in de gaten dat je 6 x 7 kon uitrekenen door 2 × 7 bij 4 × 7 = 28 op te tellen. Maar zonder dit slimme rekenwerk werd de rij tafels een rij betekenisloze objecten. 
  • Inzicht geven vond men vroeger onnodig en zonde van de tijd. De leerlingen moesten zo snel en zo goed mogelijk leren rekenen voor het leven van alledag. Vanaf 1971 werkte het Freudenthal Instituut aan een totale ommekeer.
  • Hans Ter Heege heeft b.v. vastgesteld dat kinderen op eigen kracht een adequaat netwerk moeten kunnen opbouwen voor basisproducten. De oplossingen die ‘het kind zelf uitvindt’ blijken beter en diepgaander begrepen te worden dan oplossingen die worden overgenomen van leraren.

 

Joost Klep (Medewerker Freudenthal Instituut; Medewerker Stichting Leerplanontwikkeling)

[Het kwartje valt]

  • Moeten we cijferen überhaupt oefenen? Moeten we nog sommen met maten en metriek stelsel laten oefenen of geven we de kinderen een tabellenboek. En welke vaardigheden beheersen kinderen 3 jaar ná het verlaten van de basisschool nog? Zijn de dingen die ze vergeten zijn dan het oefenen wel waard geweest ?
  • Idealiter moeten leerlingen in een situatie geplaatst worden waarin zij zichzelf vragen stellen, tot activiteit komen en tot gezamenlijke reflectie komen op de resultaten.
  • Realistische uitgangspunten zijn verwant aan het constructivisme en aan connectivistische opvattingen dat ieder mens zijn eigen inzichten opbouwt in interactie met zijn omgeving.
  • Kinderen leren niet alleen door instructie op school, maar ook autonoom en door ervaringen thuis en elders.
  • Wiskundige activiteit is gebaat bij vrijheid en aandacht. Aandacht betekent kinderen begripvol en wiskundig kritisch aanspreken in hun wiskundig handelen. Het is belangrijk kinderen uit te nodigen en ze te kennen in hun werk. Wiskundig kritisch betekent ze serieus nemen en uitdagen.
  • Ik ben er een sterk voorstander van dat de leerkracht het onderwijs op maat plant. Dat kan als de leerkracht goed inzicht heeft in de ontwikkeling van de leerlingen.
  • Als je steeds wilt aansluiten bij wat kinderen kunnen, staat niet meer de vaklogische opbouw van de leerstof centraal, maar de feitelijke ontwikkeling van de leerlingen. 

 

Maarten Dolk (Medewerker Freudenthal Instituut. Lector ‘Geïnspireerd Leren’ Hogeschool Zuyd)

  • Grote delen van het wiskundecurriculum zijn nog steeds gerelateerd aan wiskunde van vóór 1850.
  • De school zelf lijkt nog op de school ten tijde van het industriële tijdperk en is eerder een voorbereiding op het werken in de fabriek dan het werken in nieuwe kennisorganisaties.
  • De staartdeling is niet meer dan een truc. Deel 184 door 8: dan moest je eerst 16 onder de 18 zetten. Dat zijn regels die de leerlingen wel toepassen, maar niet begrijpen. De uitkomsten kunnen ze dan niet plaatsen.
  • Zien we kinderen als uitvoerders van regels of als kleine wiskundigen die zelf strategieën uitvinden en met elkaar praten over hun begrip van de wiskunde?
  • Heel veel leraren vinden voordoen-nadoen niet meer de gewenste aanpak. De kinderen gaan dan niet zelf nadenken maar volgen steeds wat de leraar zegt.
  • Ik vermoed dat een leraar die de kinderen een groot rekenprobleem aanbiedt waarin kinderen op de grens van hun eigen kunnen werken, gemakkelijker het denkwerk bij de kinderen kan leggen.
  • De leerlingen leren van elkaar en leren zelf doordat zij het elkaar uit moeten leggen.
  • Door het praten over de eigen kennis is er sprake van bewuste kennis en daardoor is reflectie op de kennis zelf mogelijk.
  • De leerkracht zou een andere taak op zich moeten nemen: het ontwikkelen en voortdurend bijstellen van een leeromgeving die elke leerling in staat stelt en inspireert tot het ontwikkelen van kennis.
  • Ik wil dat de leerkracht de leeromgeving zo inricht dat de leerlingen zelf kennis ontwikkelen. Het vakinhoudelijk denken moet bij de lerende liggen en het pedagogisch en didactisch denken bij de leerkracht.
  • Leerkrachten moeten over een zogenaamd ‘dubbele focus perspectief’ beschikken. Dit wil zeggen: ze moeten het rekenen door het brein van de lerende bekijken en tegelijkertijd het brein van de lerende door het rekenen bekijken.

 

Jo Nelissen (Freudenthal Instituut)

[Gaat oefenen vooraf aan begrip?] [e-mail discussie met de Rekencentrale[Misverstand over contexten oefenen en begrip] [Kinderen die niet leren rekenen]

  • We leerden vroeger dat delen door een breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde is. Ik heb echter zelden of nooit een leerling meegemaakt die deze formule begreep. Je kunt je ook afvragen hoe nuttig het is om een som als 7/12 : 2/3 te moeten maken.
  • Zeker, standaardalgoritmen zijn technisch en historisch gezien mooie uitvindingen. Dat is ook de formule voor breukrekenen: “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Ik heb echter zelden een kind (en zelfs volwassene) ontmoet die begreep waarop deze formule is gebaseerd. Namelijk op de relatie tussen maat, grootheid en getal. Een beker van een halve liter (maat) past 2 maal (getal) in een beker van één liter (grootheid). Dus: 1 : 1/2 = 2.
  • Onlangs kwamen enkele bij het onderwijs betrokkenen aan het woord die het standpunt verdedigden dat je in het reken-wiskunde onderwijs niet moet streven naar begrip. Het is volgens hen effectiever om vaak de vereiste vaardigheden te oefenen, het begrip volgt dat vanzelf. Wat ik niet snap is hoe men erbij komt dat het veelvuldig oefenen van vaardigheden de basis kan zijn van begrip. Ik ken geen enkel leerpsychologisch onderzoek waarin voor deze stelling steun kan worden gevonden.
  • We leren de leerlingen tafels op school en als het goed gaat onthouden ze deze sommen. Dan kunnen ze bij de som ‘3 × 4’ snel het antwoord 12 geven. Voor veel kinderen is dit echter niet meer dan een uit het hoofd geleerd versje. Voor hen krijgt een dergelijke opgave pas betekenis als hij geplaatst wordt in een begrijpelijke context als: ‘Er zitten 4 tennisballen in een blik. Ik heb 3 blikken. Hoeveel tennisballen heb ik?’
  • We moeten om het geleerde ordelijk te kunnen opslaan  ook begrijpen wat we opslaan. Wie niet begrijpt wat hij moet opslaan, zal last krijgen van tijdrovende speurtochten naar kennis die willekeurig en gefragmenteerd is opgeslagen.
  • Een eenzijdige, sterk mechanistische didactiek kan de oorzaak zijn van dyscalculie. Er is hier sprake van ernstige ‘didactische verwaarlozing’.
  • Zo vertelde een Pabo-studente eens dat ze letterlijk vlekken voor haar ogen kreeg als ze al vermoedde dat er gerekend moest worden. Zij kon en wilde absoluut niet meer rekenen, de motivatie was door angst en gebrek aan zelfvertrouwen ernstig aangetast.

 

Henk van der Kooij (Developer wiskunde-curriculum voor het voortgezet onderwijs bij het Freudenthal Instituut. Bestuurslid NVvW)

[Veel docenten zijn rekenschuw]

 

  • ‘Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Dit is een stompzinnige regel zonder betekenis.
  • Eind 2005 waren de slechte rekenaars opeens een issue in de politiek. Wij waren daar al veel langer mee bezig maar eigenlijk was niemand geïnteresseerd. De Pabo’s zelf wisten ook allang dat vooral door de instroom van mbo-onderwijsassistenten er studenten met een te laag niveau binnenkwamen. Wij werkten toen ook al volop aan een raamwerk rekenen/wiskunde voor het mbo. Maar de politiek was in dat soort fijnmazigheid niet geïnteresseerd. Het is een terugkerende ergernis. De politiek neemt besluiten zonder te luisteren naar adviezen van deskundigen.
  • Ik heb Jan van de Craats ook vergeleken met Geert Wilders en Rita Verdonk: beiden gericht op de onderbuikgevoelens van eenvoudige burgers. Door met simpele kreten het gevoel te geven dat alle problemen erg zijn, maar met simpele oplossingen zijn te verhelpen.
  • Ik ken Jo Boaler en Jeremy Kilpatrick persoonlijk. Beiden zijn in de internationale wiskundeonderwijswereld hoog gewaardeerd. Jo Boaler wordt in haar werk tegengewerkt door een paar ‘math war’ personen binnen haar eigen universiteit. Ik vindt de activiteiten van de ‘math war’ people in Amerika in veel opzcithen vergelijkbaar met de manier waar Joost Hulshof, Jan van de Craats, Ben Wilbrink, Henk Pfalzgraff en wellicht nog vier andere personen menen een land/de wereld te kunnen inrichten volgens het model van een zeer aggressief werkende, selecte, absolute minderheid van achterhoedevechters. Wanneer gaan jullie eens beseffen dat je daarmee de overgrote meerderheid van volwaardige burgers van Nederland en de rest van de wereld niet dient? Of ligt de waarheid bij de kleine elite van andersdenkenden die het lef hebben om de grote massa voor te schrijven hoe de ideale wereld eruit moet zien? Probeer dan a.u.b. maar eerst het systeem van democratie om te buigen naar een dictatoriaal systeem zoals dat van Hitler en andere ‘grootheden’ in de geschiedenis.  En schiet iedereen af die niet in jullie ‘narrow-minded’ wereldje past. ‘The Wall’ van Pink Floyd beschrijft op een indringende manier waar dat toe kan leiden. Een waar schrikbeeld.

 

Paul Drijvers (Freudenthal Instituut. Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde. Toetsdeskundige bij CITO. Secretaris van de vernieuwingscommissie cTWO)

Drijvers heeft meegewerkt aan de invoering van de grafische rekenmachine in het onderwijs.

[Algebraïsche vaardigheden, symbol sense en ICT] [Context abstractie en vaardigheid in schoolalgebra] [Denken over wiskunde, onderwijs en ICT]

  • De integratie van ICT in het wiskundeonderwijs (denk ook aan de grafische rekenmachine) vraagt om een herbezinning op de rol van algebraïsche vaardigheden.
  • Al met al is de verwachting dat de leerling door de beschikbaarheid van ICT minder afhankelijk zal worden van de beheersing van elementaire algebraïsche vaardigheden, die dus wat aan belang zullen verliezen.
  • Symbol sense is voor algebra wat number sense is voor rekenen: een veelzijdig ‘gevoel’ voor symbolen, formules en expressies. Misschien zou ‘Algebraic literacy’ nog wel duidelijker zijn.
  • ‘Symbol Sense’ wil zeggen: strategisch werken i.p.v. procedureel werken; globaal kijken i.p.v. lokaal kijken; algebraïsch redeneren i.p.v. algebraïsch rekenen.
  • Zijn algebraisch redeneren en symbol sense niet wat we nastreven in ons wiskundeonderwijs?
  • Het geïsoleerd oefenen van basisvaardigheden brengt het gevaar met zich mee dat symbol sense vaardigheden onderbelicht blijven. Het gevolg is dan dat leerlingen de algebra niet kunnen toepassen, de oplossingsmethode niet overzien of niet met een stapeling van basisstappen kunnen omgaan.
  • Kennelijk is men het erover eens dat het gebruik van ICT een beroep doet op hogere algebraïsche vaardigheden, zeg maar symbol sense. Terwijl elementair werk kan worden uitbesteed aan ICT, lijkt symbol sense belangrijker te worden.
  • Samengevat lijkt het met het oog op het toenemend ICT-gebruik goed om aandacht te besteden aan de ontwikkeling van symbol sense, desnoods ten koste van elementaire algebraïsche vaardigheden. 
  • Het geïsoleerd oefenen van basisvaardigheden brengt het gevaar met zich mee dat symbol sense vaardigheden onderbelicht blijven. Het gevolg is dan dat leerlingen de algebra niet kunnen toepassen, de oplossingsmethode niet overzien of niet met een stapeling van basisstappen kunnen omgaan.
  • Blind toepassen van algoritmen is niet zonder risico. Je zult toch ook moeten weten wat je moet doen als de situatie iets van de standaardsetting afwijkt of als je een onverwacht resultaat vindt. Bovendien, hoe zijn die standaardalgoritmen ooit ontdekt? Toch door mensen die bereid waren de ongebaande paden van het denken te betreden? En is het nut van wiskundeonderwijs voor velen, die in hun verdere leven wiskundige toepassingen niet nodig zullen hebben, niet vooral gelegen in het ‘leren denken’? Wiskunde voor denkers dan maar?
  • Algebra doet zich voor in situaties. Daarmee vormen contexten de bron, de aanleiding en de legitimatie van de algebra. Het is onterecht en gekunsteld om die aanleiding te negeren. Het uitstellen van toepassen ‘tot later’ is niet motiverend en evenmin productief. Contexten, in bovenstaande zin opgevat, bieden de leerling grond onder de voeten en zijn het vertrekpunt voor algebra.
  • Omdat abstraheren zo complex is, kun je er niet mee beginnen. Het moet uit een context ontstaan.
  • Contexten buiten beschouwing laten en meteen insteken op het abstracte niveau is een heilloze weg: voor veel leerlingen is dit niet haalbaar en bovendien leidt het tot manipuleren in een algebrawereld die voor hen geen betekenis heeft.
  • WDA (Wiskundige Denkactiviteiten) zit aan de symbol sense kant van algebraïsche vaardigheid. 
  • WDA’s moeten geen geïsoleerde opgaven zijn die je tussendoor een keer doet. Dit soort opgaven moet worden geïntegreerd in het hele lesgebeuren.
  • Het is van belang dat in de les ook opgaven aan de orde komen die uitnodigen tot wiskundig denken. Dus niet alleen reproductie, of het probleem in deelstapjes opdelen zodat er niet gedacht hoeft te worden.

N.a.v. de kritiek op het wiskunde-onderwijs:

  • Ik wil allereerst een ergernis kwijt. Twee jaar geleden heeft hoogleraar Ruud Schotting een oratie gehouden, waar hij een exemplaar van de TI-83 kapot heeft gemaakt, vergezeld van de uitspraak dat de rekenmachine een ramp is voor het onderwijs. Ik heb de hoogleraar gevraagd of hij dit kan aantonen.
  • De afgelopen tijd is er vanuit het hoger onderwijs vooral geklaagd dat aankomende studenten wiskundige vaardigheden niet onder de knie hadden. Die klacht is serieus genomen. Maar het gevaar bestaat dat we nu doorslaan. En dan wordt er over een tijdje weer geklaagd dat ze niet meer weten wat ‘echte wiskunde’ is, dat ze de theoretische concepten niet kennen en niet meer kunnen redeneren.

 

Paul Drijvers en Bert Zwaneveld

[Van knoppen naar kennis (uit: Handboek Vakdidactiek Wiskunde)]

  • De grafische rekenmachine is aan het begin van de 21ste eeuw wellicht het meest gebruikte ICT-gereedschap in de Tweede Fase van havo en vwo.
  • ICT verdient een plaats in het wiskundeonderwijs en biedt mogelijkheden voor het leren. ICT-gebruik speelt in toenemende mate een rol in de wiskunde. Zowel in toepassingen van wiskunde als in wiskundig onderzoek worden wiskundige ICT-middelen op steeds grotere schaal gebruikt. Ter voorbereiding daarop is het gewenst om nieuwe technologie ook in het wiskundeonderwijs te betrekken. De ontwikkeling van ICT-vaardigheden maakt verder deel uit van een adequate voorbereiding op een rol in de maatschappij. Een derde uitgangspunt is dat ICT-gebruik leerlingen kan motiveren en activeren.
  • ICTgebruik leidt tot een andere organisatie van het onderwijs. Een voorbeeld vinden we bij Berry en anderen. De aanpak bestaat eruit dat studenten eerst met een computeralgebra pakket een aantal functies differentiëren, om via patroonherkenning pas daarna te onderzoeken wat differentiëren eigenlijk inhoudt.
  • Er is geen evidentie voor de bewering dat het gebruik van ICT de vaardigheden met pen en papier ondermijnt. In Nederland is kritiek geuit op het gebruik van de grafische rekenmachine, dat de vaardigheden met pen en papier zou ondermijnen. Pauline Vos stelt echter dat deze kritiek niet hardgemaakt kan worden, omdat de invoering van de grafische rekenmachine gepaard ging met andere onderwijsvernieuwingen.

Dolly van Eerde (Medewerker Freudenthal Instituut)

  • [N.a.v. de kritiek dat de wiskunde o.i.v. het Freudenthal Instituut te talig is geworden] Het leren van wiskunde betekent op een bepaalde manier met elkaar communiceren in een bepaalde taal. De taal beïnvloedt de wiskunde, en omgekeerd. De Maori’s hebben een andere wiskunde dan wij omdat ze een andere taal spreken. Ze spreken Maori-taal en hebben Maori-wiskunde.

 

——————————————————————————————————————–

Het Freudenthal Instituut en de PABO

 

Marc van Zanten (Docent rekenen/wiskunde op de PABO Hogeschool Edith Stein. Medewerker Freudenthal Instituut)

[Over de muurtjes heen kijken (Landelijk expertisecentrum voor de lerarenopleiding rekenen en wiskunde)]

  • Ik onderzocht onlangs hoe lang er al wordt geklaagd over de rekenvaardigheden van de pabostudent. Ik kwam terecht in 1967. Toen werden er al kanttekeningen geplaatst bij kwekelingen, afkomstig van de hbs.
  • Studenten die moeite hebben met rekenen, openen ook de blik van studenten die daar wél goed in zijn. De rekenwonders realiseren zich daardoor beter dat er als ze voor de klas staan, kinderen zijn die zwak zijn in rekenen. Tegelijk kunnen de rekenzwakke pabostudenten zich als onderwijzer waarschijnlijk goed inleven in de leerlingen die moeite hebben met rekenen.
  • Maaike is een eerstejaars PABO-student. Zij loopt stage bij meester Joost in groep 7. De eerste stagedag al vertelt ze hem dat rekenen ‘een ramp’ zal worden, daar kan ze zelf niets van, dus de rekenlessen moet hij maar zelf doen. Joost neemt daar geen genoegen mee. Bij de eerste rekenles van Maaike is Joost blij verrast. Maaike laat de kinderen hun oplossingen aan elkaar vertellen. Ze zet oplossingsstrategieën op het bord. Ze bereikt zo, zeker voor een eerstejaars, een hoog niveau in haar les. Maaike heeft zelf helemaal niet in de gaten dat ze goed bezig is.
  • Praktijksituaties waar instructie bij rekenen voornamelijk het karakter heeft van betekenisloos en trucmatig voor‐ en nadoen komen nog frequent voor. Zoals alle startende studenten heeft Ada vanuit haar eerdere rol als leerling een bepaald beeld van rekenonderwijs. Maar al te vaak is dit een versimpeld en mechanistisch beeld: de leraar is degene die de leerstof overdraagt en de leerlingen leren door daarnaar te luisteren. Dit verklaart mede waarom Ada haar les geslaagd vindt; zij heeft immers haar verhaal gehouden en de leerlingen hebben daar naar geluisterd. Dat er vanuit het vakdidactisch perspectief veel op een dergelijke instructie valt af te dingen, ontgaat haar nog.

Uit ‘Rekenen-wiskunde op de basisschool‘:

  • Het sociaal-constructivisme vat leren rekenen op als een leerproces van in overleg en samenspraak met anderen, zelf opbouwen (construeren) van kennis. Het idee is dat kinderen belangrijke ontwikkelingen en ideeën van de wiskunde als het ware zelf ontdekken. Dit proces wordt ook wel geleide herontdekking genoemd en kan plaatsvinden als kinderen nadrukkelijk worden gestimuleerd tot (zelf) wiskundig denken.
  • De invloed van het sociaal-constructivisme is in het reken-wiskundeonderwijs terug te zien doordat contexten niet alleen worden gebruikt om geleerde rekenvaardigheid toe te passen, maar ook als bron voor de ontwikkeling van reken-wiskundige kennis.
  • Dit vraagt van de leerkracht inzicht in het denken en redeneren van kinderen, inzicht in het lange termijn perspectief van verschillende oplossingsstrategieën en bovendien overzicht op (langlopende) leerlijnen.

 

Wil Oonk, Marc van Zanten, Ronald Keijzer (Medewerkers Freudenthal Instituut)

[Gecijferdheid, 4 eeuwen ontwikkeling (2007)]

  • De uitdrukking ‘Volgens Bartjens’ typeert het rekenonderwijs uit die tijd en de eeuwen daarna. Inzicht geven vond men zonde van de tijd. Opvallend is dat het rekenen ‘Volgens Bartjens’ – we zeggen nu ‘mechanistisch rekenen’ – eeuwenlang stand wist te houden, in feite tot in de jaren zeventig van de vorige eeuw.
  • Vanaf de jaren zeventig van de vorige eeuw veranderde, ook internationaal, het idee over hoe mensen rekenenwiskunde leren of, meer algemeen, hoe mensen leren.
  • Het leren van wiskunde – in ieder geval in de basisschool – betekent het (begeleid) heruitvinden van wat anderen lang geleden bedachten. In de basisschool moeten leerlingen daarom in situaties gebracht worden die ze optimaal in staat stellen om beoogde uitvindingen te doen. Deze situaties zetten de lerenden op het spoor van exploreren van de wiskunde.
  • Maatschappelijke situaties zijn essentieel anders dan enkele jaren geleden. Ze vragen om andere wiskunde en het ligt daarom voor de hand dat de gewijzigde maatschappelijke realiteit in de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs zichtbaar wordt.

 

Marjolein Kool (Pabo-docente reken- en wiskundedidactiek. Projectleider zOEFi bij het Freudenthal Instituut. Hoofdredactrice ‘Volgens Bartjens’)

[Realistisch reken-wiskundeonderwijs op de basisschool]

  • Regeltjes aanleren of een vaste oplossingsmanier inslijpen door middel van lange rijen kale sommen, dat gebeurt niet meer op de basisschool.
  • Kinderen gaan met elkaar in gesprek, luisteren naar elkaars ideeën en komen zo vanzelf weer op nieuwe ideeën.
  • Opgave: 6 × 249. Er zijn verschillende mogelijke uitwerkingen, 6 × 250 – 6 × 1 is de handigste. Misschien kunnen de kinderen zelf nog een paar vergelijkbare sommetjes verzinnen om deze handige aanpak nog eens extra te oefenen, dan worden ze zich meteen goed bewust voor welke sommen deze strategie geschikt is. Er worden dus op de basisschool wel degelijk strategieën ingeoefend, maar daanaast krijgen kinderen de ruimte om zelf een eigen aanpak te kiezen. Op deze wijze worden ze flexibele rekenaars, die thuis zijn in de getallenwereld, allerlei rekenstrategieën kennen en zich bij elke som opnieuw afvragen: ‘Wat is in dit geval de handigste aanpak?’
  • Wat kun je nou doen, als wiskundeleraar, als het sommetje 7½ : ¾ nog steeds grote problemen oplevert in de brugklas? Dan jeuken je handen toch om even snel het regeltje te leren: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’? Even trainen met een paar voorbeeldsommen en dan gauw verder. Tja, ik kan me voorstellen dat de verleiding groot is, maar misschien kunt u het toch eens op een andere manier proberen. Zet het vraagstuk in een context: Iemand heeft zelf 7½ liter wijn gemaakt en nu wil hij flessen gaan vullen. In elke fles gaat ¾ liter. Hoeveel flessen kan hij vullen? Daar zal geen leerling voor terugschrikken. U moet dan echter zelf niet terugschrikken voor de verschillende oplossingsmanieren op verschillende niveaus, die de kinderen zullen aandragen.

N.a.v. de kritiek op het rekenonderwijs:

  • Het realistisch rekenen was aanvankelijk zo succesvol dat aan het eind van de twintigste eeuw alle rekenmethodes realistisch waren. Enkele jaren geleden ontstond een tegenbeweging die beweerde dat de rekenprestaties van kinderen sterk waren verslechterd en dat de oorzaak het realistisch rekenen zou zijn. De discussie leverde zo veel bagger op, men reageerde zo negatief – vanuit de onderbuik – dat we dit hebben opgegeven.
  • Hoe moet ons rekenonderwijs er over enkele jaren uitzien? Cijferende kinderen of flexibel rekenende kinderen? Moet het handig rekenen afgeschaft worden?
  • Ons rekenonderwijs haalt de laatste tijd regelmatig de voorpagina van de krant. Wat is het toch jammer dat de pers altijd staat te trappelen om negatief nieuws voor het voetlicht te brengen terwijl positieve zaken nauwelijks in de schijnwerpers komen.
  • ‘Leer kinderen cijferen, dat is genoeg’, aldus de kritiek.

 

Willem Uittenbogaard (Medewerker Freudenthal Instituut. Werkzaam op PABO Hogeschool InHolland)

[Kolomrekenen en cijferen: hoe nu verder?][Hoe Juliette en Jonas leren rekenen] [Geen catechismus leren, maar nadenken]

  • Als je goed rondkijkt in de scholen, zie je dat er onevenredig veel tijd wordt besteed aan het oefenen en inslijpen van kolomprocedures. Sommige scholen gaan in groep 7/8 de kolomprocedures zelfs nog vervangen door ons traditionele van rechts naar links cijferen. Dat kan toch niet de bedoeling zijn! Deze vaardigheden heb je later helemaal niet nodig! Het procedurele rekenen (kolomsgewijs en cijferend rekenen) loopt in zekere zin op z’n laatste benen. Wij zijn van mening dat verdere terugdringing van de onderwijstijd voor dit nog altijd dominante leerstofgebied dringend gewenst is.
  • Er wordt in mijn ogen nog veel te veel aandacht aan het cijferen geschonken. We zouden met veel minder toe kunnen. Met boerenverstand, met ‘rijgen’ en als je verstandig gebruik maakt van een rekenmachientje, hoef je helemaal geen andere of betere algoritmen te leren. Toch kun je dat kolomsgewijs rekenen wel veel nageven. Van links naar rechts, grote happen eerst. Niet tegen de leesrichting in en veel mogelijkheden tot meerdere of mindere verkortingen. In mijn ogen zeker niet als opstap naar de traditionele algoritmen. Daar maak je het alleen nog maar moeilijker mee.
  • We danken de ‘van rechts naar links’-werkwijze in onze traditionele cijferalgoritmen aan de Arabieren. En dat is voor ons en onze kinderen niet logisch.
  • Onze traditionele cijferalgoritmen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen hebben, als ultieme verkortingen hun uiteindelijke vorm gekregen in de zeventiende eeuw vooral ten behoeve van de handel.
  • Er zijn geen argumenten voor de traditionele staartdeling.
  • De oude cijferalgoritmen hebben niet veel betekenis voor het wiskundeonderwijs in het voortgezet onderwijs of voor later.
  • Het cijferen, dat we vroeger leerden, heeft z’n betekenis verloren. Er is geen beroep meer waar je dat nog voor zou moeten kunnen.
  • Het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!
  • Bij kinderen merk je dat voor- en nadoen een manier is waarmee je in het leven veel kunt leren. Gaat het bij rekenen ook zo? Nee: het is geen vak waarvoor je allerlei recepten moet leren en toepassen.
  • 345 x 729. Dat doe je toch met een rekenmachientje. We gaan in deze tijd toch geen twee getallen van drie cijfers algoritmisch vermenigvuldigen. 83218 : 37. Weer een voorbeeld met te grote getallen. Deze deling gaat natuurlijk veel eenvoudiger met een rekenmachientje. [2008]
  • Van de Craats zegt in zijn lezing: ‘Voor elk van de vier hoofdbewerkingen is er één universeel werkend recept.’ ‘Was het leven maar zo eenvoudig’, is mijn reactie.
  • Als Van de Craats en co hun zin krijgen ontstaan hier Amerikaanse toestanden waar kinderen zelfs 7 + 8 onder elkaar uitrekenen.
  • Het lijkt erop dat Van de Craats, getuige zijn lezing op de Panama-conferentie, de ontwikkelingen in de tijdsspanne 1970-2007 niet heeft gevolgd. Nu zijn kleinkinderen op de basisschool zitten, verbaast hij zich echter over alle veranderingen die er in die 35 jaar hebben plaats gevonden.
  • This article comments on Van de Craats’ arguments: he bases his statements on superficial, incomplete, and one-sided perceptions and clearly shows he lacks knowledge of research and developmental work on mathematics education over the last thirty years.

N.a.v. kritiek op de gebrekkige cijfervaardigheid van leerlingen: (Het gaat nog steeds om dezelfde Willem Uittenbogaard)

  • Wie de moeite neemt om de huidige realistische methodes erop na te slaan, ziet direct dat bijna op elke pagina rijtjes sommen staan, dat van de leerlingen verwacht wordt dat ze de tafels paraat hebben en dat er gewoon met de staartdeling cijferend gedeeld wordt. [2011]

 

Jan van Stralen (Docent PABO Amsterdam/Alkmaar. Medewerker Freudenthal Instituut)

  • Ik kocht bij een groot warenhuis een bureau van f 650,-. Achteraf bleek het bureau echter voor f 585,- in de aanbieding. Ik werd verwezen naar de klantenservice, waar een mevrouw me vertelde dat ik het teveel betaalde geld terug kreeg. Ze keek naar de bedragen, rommelde wat onder de balie, verontschuldigde zich, verliet de ruimte en kwam na enige tijd terug. Ze had de oplossing voor haar probleem meegenomen: een rekenmachine. Ze typte beide bedragen in en verklaarde dat ik 65 gulden terug kreeg. Vanaf die tijd heb ik mijn zwakke leerlingen niet meer lastig gevallen met het aanleren van cijferend aftrekken onder elkaar.
  • Een goede vierdejaarsstudent bedrijfskunde worstelt met de opgave 5 * 0,4 als zijn rekenmachine hem ontfutseld is. Deze student functioneert met rekenmachine prima en verdient een hoog cijfer voor zijn werkstuk.
  • Mijn oudste zoon, inmiddels geslaagd voor het vwo met een ruime voldoende voor wiskunde, pakt bij een opgave als 1 : 0,2 meteen zijn rekenmachine. De rekenmachine heeft de maatschappelijke functie van het cijferen overgenomen. Dat moge duidelijk zijn. Waarom dan nog leren cijferen?
  • Ik snap niet waar Van de Craats het over heeft als hij zegt dat herinvoering van het cijferen goed zou zijn voor zwakke leerlingen. Ik werk nu alweer meer dan 15 jaar op een pabo en kom eigenlijk nog steeds hetzelfde tegen bij zwakke rekenaars: moet je die breuken nu gelijknamig maken of moet ik deze omkeren? Hoe moet ik ook alweer aanhalen bij die deling? Als nu mijn studenten net als vroeger mijn leerlingen, ruimte krijgen om zelf na te denken en hun eigen oplossingen te vinden, gaat er een wereld voor hen open: ze begrijpen waar ze mee bezig zijn! Ze ervaren dat rekenen-wiskunde niet bestaat uit trucjes en rekenregels, maar dat het een kwestie is van gezond verstand.

Reactie van van Stralen op de leraar24-video ‘Rekencoördinator in beeld‘ (zie hieronder Wim Aerden):

  • Deze meneer wil als rekencoordinator terug naar het oude rekenen. Naar mijn idee een foute keuze en dat is hem volgens mij op de cursus rekencoordinator zeker niet geleerd! Jammer dus dat jullie dit filmpje als voorbeeld van een rekencoordinator geplaatst hebben. Want een goede rekencoordinator weet beter.
  • Rekenwiskunde-onderwijs mag niet bestaan uit het aanleren van allerlei (veelal onbegrepen) algoritmen. Onnodig in het tijdperk van de rekenmachine.
  • Het is mijn overtuiging dat men bij het onderwijzen van rekenen-wiskunde, vooral aan kinderen die er moeite mee hebben, uit moet gaan van het denken en de aanpak van de kinderen zelf. De leerkracht moet hierbij aansluiten en van daaruit het denken van kinderen op een hoger niveau brengen.

 

Belinda Terlouw (Projectleider ‘Speciaal Rekenen’ aan het Freudenthal Instituut en Pabo-docente in Zwolle)

[Realistisch rekenen is niet zo dogmatisch] [A more beautiful question]

  • De Stichting Goed Rekenonderwijs verspreidt ongerustheid over het Nederlandse rekenniveau en dat vind ik op twee manieren verkeerd. Allereerst is gebleken dat we het in internationaal opzicht helemaal niet zo slecht doen. Ten tweede wordt ons, het Freudenthal Instituut, deze vermeende achterstand in de schoenen geschoven.
  • Mariska Milikowski vertelde in het artikel dat ze kinderen heel snel leerde vermenigvuldigen door tafels te stampen. Ik weet een andere snelle methode: ik ben een keer met de kinderen naar de supermarkt gegaan en heb ze in één morgen leren vermenigvuldigen! Ze kregen daar de essentie van het vermenigvuldigen door. Als een kind dat niet begrijpt, kan het misschien wel de tafels opzeggen, maar als je dan vraagt ”Wat is 6 x 12?”, zeggen ze: “Dat hebben we nog niet gehad”.
  • Als een kind niet in staat is om 5 x 7 = 35 uit te rekenen en je houdt het maar steeds voor -via de tafels- dat het 35 is, dan behaal je een schijnresultaat. Dan zegt het netjes op commando 35, maar kan het dan ook zeggen hoeveel 5 x 27 is, heeft het daar dan de vaardigheden voor? Daar heb je een cognitief netwerk voor nodig dat eerst in je hoofd moet worden gevormd.
  • Een trucje gebruik je bij vierentwintig drie-dertiende gedeeld door zevenvijftiende, als dat überhaupt een opgave is die je ooit tegenkomt. Maar als bij ‘normale’ rekenopgaven op basisschoolniveau een trucje het zicht beneemt op wat je eigenlijk aan het doen bent, kan het ook tot grote misverstanden leiden, zelfs bij sterke rekenaars.
  • Uit onderzoek is gebleken dat door het verwoorden van en reflecteren op denkprocessen, kinderen zich bewust worden van wat ze hebben gedaan. Op cruciale leermomenten is het heel belangrijk dat kinderen de ontdekkingen die ze hebben gedaan, delen met andere kinderen. Mij gaat het erom dat het kind zelf mag leren denken.
  • Doen onze vragen recht aan het creatieve denkvermogen van kinderen en nodigen zij hen voldoende uit om een kritische en onderzoekende houding aan te nemen? Wat doet het met het zelfvertrouwen van kinderen als ze voortdurend hun best moeten doen om het juiste antwoord te geven op onze vragen.
  • Een goede leerkracht is nieuwsgierig naar hoe kinderen denken en vertrouwt op de ontwikkelkracht van kinderen. Hij daagt ze uit zelf te denken en hun vragen te stellen. 

 

——————————————————————-

Rekenen  –  Ict  –  Het Basisonderwijs  –  Het Voortgezet Onderwijs  –  Het Middelbaar Beroepsonderwijs (MBO)  – Het Hoger Beroepsonderwijs (HBO) en het WO –  Onderwijskundigen  –  Adviesbureau’s  – Hersenen en Leren  –  Politici en Beleidsmedewerkers  –  De Vakbonden  –  Internationalisering – Duurzaamheid  –  Sprekers en Publicisten

9 Reacties

  1. De oproep tot e

    De oproep tot e-mailbombardementen in de wiskunde e-brief betreft alleen Den Haag.

  2. Uit het Protocol Ernstige

    Uit het Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie:

    "Het vijfde uitgangspunt van realistisch rekenen is de verstrengeling van leerstoflijnen."

    Persoonlijk denk ik dat hier spake is ven een verstrengeling van geheel andere aard 🙂

  3. Deze lijst van uitspraken is

    Deze lijst van uitspraken is belangrijk maar ook nogal ontmoedigend.

    Het sluit helaas aan bij de dalende trend van Nederland bij PISA voor rekenen.

    Het rekenonderwijs in ons land wordt professioneel afgebroken.

     

  4. Affiliatie Theo Wubbels is
    Affiliatie Theo Wubbels is wat achterhaald. Let op zijn rol in het financieren van pseudowetenschap via @hetNRO en als beschermheer via FSW Utrecht van de jaarlijkse Panama conferentie.

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.