Wiskundige DenkActiviteiten (WDA)

Overige ‘Uitspraken rekenen’-blogs

_____________________________________________

Wiskundige DenkActiviteiten

De 21e-eeuwse samenleving vraagt om creatieve, kritisch denkende, flexibele, generieke problem-solvers, in staat om onverwachte, complexe, niet-vertrouwde problemen aan te pakken. Leerlingen zullen in de toekomst nu eenmaal alle mogelijke problemen moeten kunnen oplossen. Het huidige wiskundeonderwijs, gericht op het gedachteloos toepassen van procedures, op reproduceren en op memoriseren, voldoet niet meer. Althans, zo wordt het geformuleerd door de OESO, het Freudenthal Instituut, de cTWO (Verniewingscommissie wiskunde), Onderwijs#2032, de adviesbureau’s, de onderwijsconsultants, de goeroes en overigen. Vandaar de noodzaak van de invoering van de ‘Wiskundige DenkActiviteiten’.

De cTWO en ELWIeR stellen dat het idee van de WDA ook al elders ingevoerd is, met name in de VS: de Common Core State Standards. Hoe het de VS sindsdien vergaat kunt U [hier]  lezen, zie Reform Math.

Nadat besloten werd om de WDA’s op te nemen in het examenprogramma, werden onderzoeksprojecten gestart met als doel helder te krijgen wat WDA’s nu precies zijn, want dat is nog wazig, wat dat voor het lesgeven betekent en hoe docenten hierbij geholpen(/ lastig gevallen) kunnen worden. Hoogconjunctuur voor het Freudenthal Instituut en de (commerciële) aanbieders van nascholingscursussen, ze wijzen trots op de grote (verplichte) belangstelling.

“In het schooljaar 2016-2017 zal het Centraal Examen wiskunde voor het eerst zijn samengesteld volgens de nieuwe examenprogramma’s. In deze examenprogramma’s spelen Wiskundige Denkactiviteiten (WDA’s) een belangrijke rol. Anders dan nu nog het geval is, worden de examenleerlingen geacht voor een wiskundig probleem zelf een goed werkende strategie te bedenken en uit te kunnen voeren. Hoe WDA’s geëxamineerd kunnen worden, daarover is nog geen duidelijkheid.”

“WDA staan op het ogenblik sterk in de belangstelling. Nadat de vernieuwingscommissie wiskunde cTWO dit begrip in de nieuwe 2015-curricula voor havo en vwo een belangrijke plaats heeft gegeven, is er van alles in gang gezet: WDA spelen een rol in de nieuwe eindexamens, de nieuwe methodes besteden er aandacht aan, nascholing rond dit onderwerp komt op gang en er vindt onderzoek naar WDA plaats. Tegelijkertijd leven er nog veel vragen rond WDA. Wat verstaan we daar nu eigenlijk precies onder? Hoe zien denkactieve opgaven eruit, hoe ga je daarmee om in de klas en op welke manier gaan WDA in de eindexamens een rol spelen? ” Paul Drijvers, Hoogleraar Didactiek van de wiskunde

 

Uit *Denken en Doen*, cTWO:

• Docenten ervaren de vernieuwing ten aanzien van Wiskundige Denkactiviteiten als positief.
• Wiskundige denkactiviteiten zijn vanuit hun aard juist niet antwoordgeoriënteerd.
• Het is niet gemakkelijk gebleken, het idee van wiskundige denkactiviteiten te operationaliseren.

 

Uit: *Ontwerpen van wiskundige denkactiviteiten. Onderbouw Havo VWO (2017). SLO* :

• Elk schoolboek bevordert het niet-denken!
• Ook met een vergrootglas zijn er in de schoolboeken zelden aanwijzingen te vinden voor een systematische probleemaanpak, laat staan van het bevorderen van metadenken. En de Houding, die lijkt te worden bevorderd, is het memoriseren van alle leerstofbrokjes die in het boek staan, zonder enige samenhang.
• Wij, wiskundedocenten, ervaren dat we steeds weer moeten herhalen en herhalen met voor de modale leerling alleen succes op korte termijn. Dat is niet verrassend want onderzoek naar de werking van het geheugen heeft al tientallen jaren uitgewezen dat op die manier geen blijvende leeropbrengst wordt behaald.
• De kandidaat moet beschikken over productieve vaardigheden waarmee de kandidaat, niet op routine, complexe probleemsituaties kan aanpakken. De kandidaat zal door inzicht, overzicht, probleemaanpak en metacognitieve vaardigheden een strategie moeten bedenken om het probleem op te lossen.

 

Uit *Tussendoelen HAVO/VWO 3*,  Lambrecht Spijkerboer (APS-mederker), Dédé de Haan  (medewerker Freudenthal Instituut) en anderen:

• Onthouden en begrijpen zijn activiteiten die veelal in het korte termijn geheugen terecht komen. Bij integreren en toepassen gaat het om activiteiten die veelal in het lange termijn geheugen terecht komen.
• Bij integreren en toepassen heeft de leeropbrengst een langere houdbaarheidsdatum en de kans is groter dat leerlingen deze stof op een later moment nog kunnen oproepen en/of gebruiken.
• Voor onthouden hoef je de stof niet te snappen.  Wanneer je echt routinematig een opgave oplost kan dit vallen onder de categorie onthouden.
• Voorbeeld van onthoudvragen: wat is de definitie van een paralellogram?
• De leerling kan reflecteren op eigen wiskundige activiteiten, die activiteiten beschrijven en die van anderen kritisch beoordelen.

 

Uit  *Wiskundig denken stimuleren bij aanstaande leraren*,  ELWIeR:

• Dat er bij problemen ook oplossingen zijn die niet op algebra of het kale rekenen, maar op wiskundig denken, en dan met name redeneren, gebaseerd zijn, vereist ook een omslag in denken bij de leraren. Een algebraïsche oplossing of een oplossing waar vooral met getallen gerekend wordt, kan dan een wiskundig-denk-actieve oplossing in de weg zitten.
• De studenten moeten een andere beeld van het onderwijs ontwikkelen, waarbij ze loskomen van het eigen onderwijsverleden. Studenten leerden daar in het algemeen dat het bij rekenen en wiskunde ging om het toepassen van standaard werkwijzen.
• Studenten moeten ervaren dat het niet gaat om algoritmische aanpakken en standaardaanpakken maar om het doorzien van oplossingen.
• Met leerlingen op avontuur gaan, vraagt veel meer van het organiseren van het onderwijs, dan het inoefenen van standaardaanpakken.

 

Paul Drijvers [[(1)]  [ (2)]:  

• Wiskundig denken, een way of life
• WDA is in the air
• It is about thinking, not learning new math techniques
• Wiskundig denken is een centraal doel
• We moeten jonge mensen leren om te denken (Pólya)
• Hoe leer en onderwijs je WDA?  Hoe organiseer je intellectuele wonderen?

“Het geheugen van leerlingen kun je beschouwen als een leeg vat waar je allerlei betekenisloze, specifieke regels in kunt gooien, in de hoop dat ze die onthouden. Maar zo werkt het niet. Na korte tijd krijg je die regels er nooit meer op het juiste moment weer uit. Al die (losse) weetjes gaan in het langetermijngeheugen van leerlingen klonteren en zoekraken, als ze niet worden ingebed in een samenhangend geheel van begrippen en methoden dat leerlingen begrijpen. Wat dan overblijft, is het ongericht zoeken in het geheugen naar de juiste regels en begrippen. Leerlingen ervaren het als het gebruiken van een trukendoos.”
Uit *Ontwerpen van Wiskundige Denkactiviteiten*   SLO (Nationaal Expertisecentrum Leerplanontwikkeling)

“Hierbij dient te worden opgemerkt dat wiskundige denkactiviteiten en probleem oplossen zich niet tot het Voortgezet Onderwijs beperken maar ook al in het Basisonderwijs kunnen worden aangezet.”
Onderwijs 2032, Wiskunde voor Morgen

 

Anne van Streun (Hoogleraar in de didactiek van de wiskunde en natuurwetenschappen aan de Rijksuniversiteit Groningen. Voorzitter van de werkgroep rekenen in de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen)

[Het denken bevorderen (Inaugurele rede)]

Anna van Streun is betrokken bij de invoering van WDA in de examenprogramma’s.

• De nadruk moet liggen op het zelf inductief ontdekken, exploreren, redeneren, modelleren, abstraheren en deduceren.  Deze opvatting heeft nu in een bredere onderwijskundige kring voor allerlei vakgebieden ondersteuning gevonden in de constructivistische leertheorieën. Kort gezegd komen die erop neer dat kennisoverdracht niet mogelijk is, maar dat kennis steeds opnieuw moet worden geconstrueerd door de lerende. Gebeurt dat laatste niet, dan is er geen sprake van zinvolle, geïntegreerde en functionele kennis, die wendbaar kan worden ingezet voor het oplossen van problemen. ‘Knowledge how’ is daarom veel belangrijker dan ‘Knowledge what’ (Polya).
• De roep “BacktoBasics” en de eis om terug te gaan naar eenvoudige onderwijsvormen, gericht op overdracht en oefenen, berust op een denkfout. De denkfout is dat onderwijs volgens het bedoelde model, het overdragen van kennis, het zogenaamde vullen van holle vaten, aan leerresultaten precies datgene oplevert wat je er in stopt. Het resultaat is fragmentarische kennis in kleine brokjes opgeslagen in het geheugen zonder enige onderlinge samenhang, met moeite op de eerstvolgende toets oproepbaar maar niet bruikbaar voor toepassingen, niet leidend tot transfer, om van creativiteit en het vermogen tot zelfstandig denken en toepassen maar te zwijgen. Dat type onderwijs leidt bovendien tot aversie tegen leren (Waar is dit goed voor?).
• We begrijpen nu dat een didactiek van Voordoen-Nadoen-Oefenen niet leidt tot een blijvende leeropbrengst, omdat die [sic] routines los worden opgeslagen en na een tijdje niet meer adequaat kunnen worden opgeroepen.
• Training op geïsoleerde rijtjes analoge opgaven versterkt de verbrokkeling in het lange termijn geheugen.
• Omdat de wiskunde haar oorsprong vindt in de realiteit en in het intuïtieve denken moet ook het wiskundeonderwijs daarvan uitgaan. Het gaat hierbij niet om de overdracht van kant en klare wiskunde maar om het werken aan ‘wiskunde in de maak’. Centraal in het wiskundeonderwijs moet de menselijke activiteit van het herontdekken van wiskunde staan.

 

Michiel Doorman, Henk van der Kooij,  Ad Mooldijk     (Medewerkers Freudenthal Instituut)

[Denkactiviteiten, onderzoekend leren en de rol van de docent]

• De ideeën achter denkactiviteiten staan dicht bij de doelstellingen van onderzoekend leren, een leerproces waarin leerlingen een onderzoekende rol hebben en zelf actief betrokken zijn bij de ontwikkeling van kennis en vaardigheden.
• Het nascholingstraject ‘Onderzoekend leren’  is mogelijk gemaakt dankzij het Europese Primasproject. In Europa is sinds enkele jaren aandacht voor onderzoekend leren: onderwijs met inbreng van en een actieve rol voor leerlingen. Het doel is dat leerlingen beter leren, meer eigenaar van de lesstof zijn, onderzoeksvaardigheden en een onderzoekende houding ontwikkelen. Dit doel sluit aan bij wat in Europees jargon heet de wensen van de huidige samenleving. Onze samenleving vraagt om vaardigheden als probleemoplossen, in groepen kunnen werken, creativiteit, onderzoeksattitude, flexibiliteit en kritisch burgerschap. Uit een Europees onderzoek blijkt dat op beleidsniveau veel gebeurt om onderzoekend leren te stimuleren, maar dat de lespraktijk in veel landen gericht is op grotendeels gedateerde basiskennis en rigide vaardigheden.

 

Arthur Bakker (Freudenthal Instituut)

[Uit de ivoren toren]

• Denkactiviteiten worden gezien als een belangrijke manier om samenhangende kennis te bevorderen, en de suggesties die tot nu toe gedaan zijn voor denkactiviteiten gaan allemaal in de richting van wat opener problemen, waar leerlingen niet direct een oplossing voor zien en waarmee ze dus moeten worstelen.
• Uit onderzoek blijkt dat docenten het moeilijk vinden om de leerlingen daadwerkelijk en productief te laten worstelen bij de aanpak van dit soort lesactiviteiten. Het is dus belangrijk om docenten hierbij ondersteuning te bieden.

 

Geeke Bruin-Muurling (Docent vakdidactiek Wiskunde bij de Hogeschool Arnhem/Nijmegen)

Geeke is gepromoveerd bij Koeno Gravemeijer. Ze is eigenaar van Educatieve Dienstverlening Bruin-Muurling.

[Wiskundig denken stimuleren bij aanstaande leraren] 

• Ik verwacht dat de wiskunde anders wordt door een veranderende samenleving en de inzet van ICT.
• Wiskunde moet in mijn ogen de oplossing zijn voor een probleem in plaats van dat de wiskunde zelf het probleem wordt.
• Zolang we in onze lessen en in het stellen van doelen voor het wiskundeonderwijs antwoord en taakgericht blijven, zal ‘denken’ niet meer zijn dan reproductie van andermans begrip.

 

Geeke Bruin-Muurling, Anneke Noteboom (Noteboom is werkzaam bij SLO)

[De ontwikkeling van het logisch en wiskundig redeneren door spel]

• Het is belangrijk dat leerlingen hun vermogen tot wiskundig denken ontwikkelen. Spel en spel ontwerpen lenen zich hiervoor.
• U kunt het wiskundig denken van leerlingen stimuleren, door hen mee te laten denken over de spelregels. Als u leerlingen laat meedenken over de regels bevorderen ze niet alleen hun wiskundig denken, maar ook hun denken over hun leren!

 

 

• In de nieuwe examenprogramma’s krijgen leerlingen beduidend minder subvragen en moeten ze zelf stappen nemen. De module ‘Wiskundige Denkactiviteiten’ gaat hier uitgebreid op in.
• Wat moet er in de hoofden van leerlingen gebeuren als je vraagt of wapenbezit gevaarlijk is of niet? Om een onderbouwd antwoord te kunnen geven, moet een leerling data verzamelen en daarmee gaan rekenen. Bijvoorbeeld de verkoopcijfers van wapens, het aantal gepleegde moorden, het aantal vuurwapens per hoofd van de bevolking in de USA versus het aantal in Finland enzovoort. Wanneer mag je, wiskundig gezien, tevreden zijn met een antwoord?

 

Peter Kop (Docent wiskunde. Vakdidacticus bij het ICLON. Auteur bij de vernieuwingscommissie cTWO)

• Al langer weten we dat enkel algebraïsche basisvaardigheden niet voldoende zijn om algebraïsche problemen op te lossen. Om algebraïsche basisvaardigheden functioneel te kunnen inzetten is symbol sense nodig: het strategisch kunnen werken met globaal kijken naar expressies en formules om de structuur te herkennen en om kwalitatief te redeneren.
• Onderzoek onder experts leverden ons een raamwerk op waarmee denkactiviteiten die bij het schetsen van grafieken een rol spelen, in beeld te brengen zijn.

 

Dirk Boleij (Docent wiskunde Maurick College Vught)

[Wiskundig denken – Maurick College (video)]

• Leerlingen zijn antwoordgericht. Ze willen graag weten hoe het zit. En je moet echt jezelf tegenhouden door te zeggen: ‘Zij moeten het doen’. Ik kan alle antwoorden wel geven maar daar gaat het niet om. Leerlingen leren alleen door er zelf over na te denken.
• Ik ben ervan overtuigd dat als leerlingen zelf ontdekken wat de regel is, dan beheersen ze dat veel beter.
• Ik doe het nu steeds meer: gewoon een som pakken en tegen de leerlingen zeggen ‘zoek het maar uit’. Dus alleen maar een vraag stellen. Een vraagteken neerzetten. Bij wijze van spreken: ‘verzin zelf maar de vraag’.
• Wiskundig denken? Het gaat om denken. En dat dat toevallig over wiskunde gaat, eigenlijk staat dat er los van, het is veel breder dan dat. Het gaat om een kritische houding die leerlingen aan moeten nemen.
• Wiskundige denkactiviteiten: het kost tijd. Maar uiteindelijk levert het tijd op omdat ze het beter beheersen.

______________________________________________________________

De OESO (OECD)

Uit  ‘Critical Maths for innovative Societies‘, OECD:  

• While there is almost a consensus that mathematics problems appropriate for the 21st century should be complex, unfamiliar and non-routine (CUN), most of the textbooks still mainly include routine problems based on the application of ready-made algorithms.
• The concept of problem solving has changed dramatically in the last decade. In the past ‘problem solving’ has referred mainly to the application of ready-made algorithms to the solution of routine exercises and word problems. Yet according to OECD PISA the assessment of mathematical skills for the 21st century should focus on the capacity of students to analyse, reason and communicate effectively as they pose, solve and interpret mathematical problems in a variety of situations.
• The time has come to introduce innovative instructional methods in order to enhance mathematics education and students’ ability to solve CUN tasks. Metacognitive pedagogies can play a key role in this. These pedagogies explicitly train students to “think about their thinking” during learning. They can be used to improve not just academic achievement (content knowledge and understanding, the ability to handle unfamiliar problems etc.) but also affective outcomes such as reduced anxiety or improved motivation. This strong relationship between metacognition and schooling outcomes has implications for the education community and policy makers.

___________________________________________

Kritiek

“Wiskundige Denkactiviteiten, we moeten het nog onderzoeken, maar het zit al wel in het eindexamenprogramma.”
Ben Wilbrink, Onderwijsresearcher

“Wiskundige Denkactiviteiten: Meubels moeten maken zonder dat je basisvaardigheden timmeren geleerd hebt.”
Frans van Haandel, Docent wiskunde HAVO/VWO

” ‘Problem-solving abilities’ , creativiteit en ‘Denkactiviteiten’ spelen vrijwel geen rol bij de wiskundevakken in het vervolgonderwijs. ”
Jan van de Craats, Hoogleraar wiskunde

“De invulling van die WDA’s is in handen van Anne van Streun et al. Ik vermoed dat dit ook te maken heeft met de strijd tegen de armoede van alleen maar puur formeel reken/wiskundeonderwijs waar (bijna) niemand gelukkiger van wordt als het gaat om het inrichten van een fatsoenlijk leven in een complexe wereld, zoals een FI-medewerker in het bestuur van de NVvW het me eens omschreef. Dat scholieren vervolgens in de beta-brede vervolgstudies erachter komen basale onderbouwvaardigheden te missen zal de ideologische club rond Van Streun een worst wezen. Het belang van de Yomanda’s weegt zwaarder in onze Realistische Staat.”
Joost Hulshof (Hoogleraar wiskunde)

“Bloom’s Taxonomy is not supported by any research on learning.”
Carl Hendrick, Head of Wellington Learning and Research Centre

“We cannot plan a solution to a mathematics problem if we are unfamiliar with the relevant mathematics. Once we know enough mathematics, then we can plan problem solutions. Attempting to teach us how to plan or how to solve generic problems will not teach us mathematics. It will waste our time.”
John Sweller, Onderwijspsycholoog

 

Ben Wilbrink (Onderwijsonderzoeker)

• De term denkactiviteit is een oxymoron. Dus ook wiskundige denkactiviteit. Het 19e eeuwse idee was dat Latijn en wiskunde nuttig zijn om te leren denken. Kundig overhoop geschoffeld door psycholoog Edward L. Thorndike. In de huidige hype van vaardigheden van de 21e eeuw komen die generieke vaardigheden weer terug. Maar helaas, die generieke vaardigheden bestaan niet. De vraag is dan: hoe zit het met dat wiskundig denken, is dat puur wiskunde, of is dat generiek denken? De wiskundige denkactiviteiten maken er een potje van.
• Wiskundige denkactiviteiten’, dat heet elders gewoon zelf-ontdekkend leren. Dat zou toch eens een keer een alarmbelletje bij de wiskundeleraren moeten doen rinkelen.

 

Barry Garelick (Docent wiskunde aan een High School)

• Without sufficient skills, critical thinking doesn’t amount to much more than a sound bite.
• A glance at the textbooks that were in use over th 40’s and 50’s shows that mathematical algorithms and procedures were not taught in isolation in a rote manner as is frequently alleged. In fact, concepts and understanding were an important part of the texts.
• Absolutely no one has argued or is arguing for memorization without understanding, and that caricature of traditional methods is one of the bigger stumbling blocks in the debate.

 

Robert Craigen (Hoogleraar wiskunde aan de University of Manitoba)

• I think treating problem solving as a “core element of the curriculum” as the ‘National Council or Teachers of Mathematics’ and ‘Common Core State Standards’ have done is extremely misguided.
• Problem solving isn’t “content” — it is a skill that one develops by doing it. Problems are at the heart of ANY effective and comprehensive mathematical course of education, and the skill is not so much taught as developed through comprehensive experiences in which problem solving arises by necessity.
• I cannot say that I have seen any system of “instruction” of problem solving that I consider effective for “teaching” these skills. In a certain sense “problem solving” isn’t teachable. But what is probably more appropriate to say is that problem solving — as cognitive scientists believe they have shown in numerous studies — is highly context-dependent. That is, you can be proficient in solving problems in context X without gaining any discernable improvement in solving problems in context Y.
• What is effective for conferring ability to solve problems in a given context is to give students problems to solve in that context, provide scaffolding where possible and expose them to excellent templates and worked examples to help them find their own feet in new problems they encounter in that context. Developing their knowledge of content and known approaches, and giving them problems by which to consolidate this knowledge is the ONLY way to help them improve this domain. And none of that is accomplished by pushing aside mathematical content and “teaching problem solving”.

 

Daniel T. Willingham  (Hoogleraar cognitive psychology aan de Universiteit van Virginia)

[Critical Thinking]

• After more than 20 years of lamentation, exhortation, and little improvement, maybe it’s time to ask a fundamental question: Can critical thinking actually be taught? Decades of cognitive research point to a disappointing answer: not really. People who have sought to teach critical thinking have assumed that it is a skill, like riding a bicycle, and that, like other skills, once you learn it, you can apply it in any situation. Research from cognitive science shows that thinking is not that sort of skill. The processes of thinking are intertwined with the content of thought (that is, domain knowledge). Thus, if you remind a student to “look at an issue from multiple perspectives” often enough, he will learn that he ought to do so, but if he doesn’t know much about an issue, he can’t think about it from multiple perspectives. You can teach students maxims about how they ought to think, but without background knowledge and practice, they probably will not be able to implement the advice they memorize.
• It makes no sense to try to teach critical thinking devoid of factual content
• Knowing that one should think critically is not the same as being able to do so. That requires domain knowledge and practice.