Het epsilon-handboek voor de didactiek van de wiskunde

Voor de implementatie van een en ander hieronder besproken zie

www.beteronderwijsnederland.nl/wp-content/uploads/2015/10/ontwerpen-van-wiskundige-denkactiviteiten-bovenbouw-havo-vwo.pdf

Dat was 2015. Een leerzaam 2016 gewenst allemaal (en nu ook 2017 en 2018). Geschreven voor de tijd dat ik van @leraar2032 (zeg maar #Schnabel2032) wist is dit een kerstblog uit 2015 alweer.

Ik sneed het onderwerp in de titel eerder aan onder een blog die al erg lang was en het onderwerp verdient wel een eigen blog. Na wat algemene beschouwingen vooraf neem ik de lezer mee op een toer door het handboek. Ik zal daarbij proberen links in de tekst te vermijden want lezers worden daar soms wat hyper van. Voor de enkele onderwijskundige die dit leest, het wordt meer dan een A4-tje helaas. Wie besluit te reageren krijgt van mij beleefd reactie onderaan de blog. Let op, ik kan veranderen in de tekst wat ik wil. Je eigen reacties kun je niet meer veranderen, maar als je de moderatie lief aankijkt dan gaan ze in op verzoeken om reacties weg te halen. Blijft een mooi forum dit.

Academische proefschriften genoeg met pseudowetenschappelijke verhandelingen over de didactiek van de wiskunde. Ik mag hopen dat lerarenopleidingen hun cursisten aanmoedigen zich kritisch op te stellen bij didactische cursussen gebaseerd op het nieuwe epsilon handboek voor de didactiek van de wiskunde. Ik heb grote delen van dat handboek gelezen. De reform math van de Freudenthalgroep is er stevig in verankerd. Niet voor niets zag de vorige voorzitter van Platform Wiskunde Nederland er vanaf dit handboek in ontvangst te nemen. U vindt het handboek hier:

www.epsilon-uitgaven.nl/E72.php

De Freudenthalgroep (een deelverzameling van het huidige FI verenigd met een grotere deelverzameling elders, te weten bij SLO, CvTE, CITO, het steunpunt voor taal en rekenen, de pedagogische centra en de diverse lerarenopleidingen, en niet te vergeten, ook nu nog, de NVvW en NVORWO) heeft zich een monopoliepositie verworven in de Nederlandse vakdidactiek. Dat kun je proberen te veranderen. Een enkele wiskundige doet dat door mee te schrijven. Zo bevat het handboek een hoofdstuk van een algebraisch meetkundige (voor wie ik groot respect heb) met de voorzitter van de examencommissies wiskunde over modelleren. Dat hoofdstuk 8 begint met het horizonprobleem.

Het probleem wordt omschreven op pag 237, en een denkbeeldige ervaren probleemoplosser mag vervolgens de oplossing presenteren. Mijn tenen krommen hier, maar om kromming gaat het wel en de formules boven aan pagina 238 zijn in de modelbeschrijving onder de gemaakte aannamen natuurlijk correct.

De modelvorming die wellicht al in de brugklas aan de orde zou kunnen komen is hier toegankelijk voor een breed publiek. Ook @SLO_nl liet haar licht er over schijnen. Ik had over dit onderwerp dan ook een discussie met Jos Tolboom, die begon met een stukje mijnerzijds dat onder mijn blogje over SLO hangt. Wat ik schrijf in

poppetje.pdf

leidde tot deze reactie van Jos:

WDAreactie

Wie doorgeklikt heeft weet dat het inmiddels over Wiskundige DenkActiviteiten gaat, speerpunt in de nieuwe examenprogramma’s. Die WDA hebben dan ook een apart hoofdstuk in het handboek. Dat is Hoofdstuk 11 en het eerste voorbeeld van zo’n denkactiviteit komt uit een proefschrift, verdedigd op de UvA.

De denkactiviteiten betreffen hier een formule die foutief formuleert dat, als je een grafiek horizontaal verschuift, ook de bijbehorende integralen en integralen op de voor de hand liggende manier veranderen. Dat vergt niet veel denkactivititeit, je moet je alleen niet vergissen met plussen en minnen. Om dan de vergiste formule te geven als conceptueel probleem is wat mij betreft het paard achter de wagen spannen en belooft weinig goeds voor de rest van het hoofdstuk over denkactiviteiten. Persoonlijk denk ik ook dat het vooral om analytisch denken gaat maar ik heb net zo weinig wetenschappelijke onderbouwing voor dat begrip als Anne van Streun voor WDA.

Voor ik daar wellicht nog op verder ga noteer ik dat essentiele overwegingen over enerzijds groot en klein en anderzijds fysische eenheden in de uitleg van SLO achterwege blijven. Dat is minder het geval in Hoofdstuk 8 maar dat het met ooghoogte h, horizonafstand x en straal R van de aarde om drie verschillende ordegroottes gaat wordt niet opgemerkt en dimensieloze grootheden worden niet ingevoerd. Dat is jammer, want door bijvoorbeeld links en rechts door het kwadraat van R te delen in de formules bovenaan pagina 238 zijn de relevante grootheden meteen herkenbaar.

Niet-dimensieloze grootheden en het rekenen daarmee herken ik als een belangrijk probleem in de schoolcurricula waar het gaat om het gebruik van contexten, vooral omdat de formules bij voorkeur zonder eenheden worden opgeschreven. Precies daarom heb ik maar eens wat algemene beschouwingen gedocumenteerd in

www.beteronderwijsnederland.nl/content/slo

Verder lezend in Hoofdstuk 8 zien we de ervaren probleemoplosser nog een keer terugkomen en vervolgens een verhandeling over modelleren. De modelleercyclus als theoretische kader, waarbij verwezen wordt naar Polya: de kracht van de abstractie maar de probleemsituatie (of de overbodige ballast?) niet uit het oog verliezen. In hoeverre er serieus gedacht wordt aan een volgende stap in de modelleercyclus voor het horizonprobleem betwijfel ik. Veel meer is te winnen aan een tweede slag in de analyse van de oplossingsmethode, bijvoorbeeld door de dimensieloze grootheden wel in te voeren, en de relevante kale algebra te behandelen, nu daar een mooie motivatie voor is. Maar die stap ligt hier voorbij de horizon. Helaas.

NB. Tijdens zijn oratie prikte de nieuwe FI-directeur (en geen Freudenthaler) Wouter van Joolingen de modelleercyclusballon zonder pardon door. U vindt de tekst wel.

Psychologie? Op pagina’s 240 en 241 zijn we daarna terug in het domein waar Van Streun in Hoofdstuk 1 begon en komen vervolgens Hoogland en Wijers aan de orde. Dan wordt het lastig om nog verdere inhoud te onderscheiden. Dus eerst maar een ander hoofdstuk. Hoofdstuk 1? Dat is Van Streun zelf die doet alsof hij psycholoog is. Maar dat is’ie niet. Hij was 10 jaar wiskundeleraar en daarna didacticus in Groningen waar hij promoveerde bij een (niet onbekende) psycholoog op heuristisch wiskundeonderwijs. Op weg naar een leerstoel in de didactiek van wiskunde EN de natuurwetenschappen (benoeming aanvaard met een oratie over het bevorderen van denken). Je vraagt je af of je bij wiskundigen zou kunnen promoveren op heuristisch psychologieonderwijs. Vast wel als het aan Henk Broer ligt.

De vraag op pagina 6 over een dalende rij die boven een stijgende rij ligt (let op de notatie-fout) krijgt van Van Streun eerst een logische analyse die hopeloos ingewikkeld is en vervolgens een psychologische analyse die naar het rijk der fabelen kan worden verwezen gezien de expertise van Van Streun, maar ik ben niet degene om dat verder te beoordelen. Dat vervolgens Devlin als wiskundige over wiskundigen wordt aangehaald mag misleidend heten.

We bladeren verder naar Heit en Kees en het hier opnieuw recyclede oorlogsaardappelfietsverhaal waar Van Streun achteraf een wiskundig probleem van gemaakt heeft. En passant wordt in van Streun’s verhandeling kennis van routines als minder relevant opzij gezet en natuurlijk wordt ook weer niet de voor de handliggende dimensie-analyse gedaan.

Onder het kopje exponentiele groei (?) gaat het daarna over kortingspercentages, en bij het voorbeeld van de kortingspercentages blijkt dat Van Streun de elementaire rekenwiskunde zelf niet op een rijtje heeft. Natuurlijk is op pagina 17 Opgave 2A NIET een versimpeling van Opgave 2, maar Van Streun beweert van wel en gaat vervolgens weer verder met de cognitieve schema’s en zijn pseudo-psychologie. Kortom, ik ben wel klaar met Hoofdstuk 1, maar psychologen nog niet vermoed ik, lees bijvoorbeeld eens verder en terug vanaf  1.3.1 Van wiskunde naar doelen van wiskundeonderwijs  in deze studie:

benwilbrink.nl/literature/handboek_wiskundedidactiek.htm

Alleen al over Hoofdstuk 1 staat daar meer dan wat ik hier over het hele handboek schrijf.

De afgeleide. Als eerste hoofdstuk om zelf mee verder te gaan kies ik het hoofdstuk over de afgeleide van Roorda en Daemen. Dat hoofdstuk baseert zich deels op het proefschrift van Doorman, bij o.a. Gravemeijer, en betreft een fundamenteel en belangrijk onderwerp. Roorda zelf promoveerde ook op de afgeleide, bij Van Streun. Dat proefschrift heb ik hier niet bij de hand, dat van Doorman wel. Van Streun zelf was prominent lid van cTWO, de commissie voor de toekomst van het wiskundeonderwijs.

Verder dus met Hoofdstuk 4 van het handboek. Na een vertaald citaat van Whitehead een karakteristiek begin op Pagina 111. Interesse in continue veranderingsprocessen zorgde in de 17-de eeuw voor een explosieve ontwikkeling vanuit het modelleren van bewegingen. Men denkt aan Newton denk ik dan, maar dat weet ik niet zeker. In de derde zin wordt verwezen naar het proefschrift van Doorman, dus het ligt voor de hand om te kijken hoe die begint. De titel van Doorman’s proefschrift is “Modelling motion: from trace graphs to instantaneous change” (supported by funding from the Netherlands Organisation for Scientific Research (NWO) under grant number 575-36-003C). Klinkt ook als Newton, en de inleiding begint met:

In 1987, during a teacher training course which I attended before completing my mathematics study, George Schoemaker pointed out the possibility of doing compulsory social service at the Freudenthal Institute to me. I took the opportunity and have been at the institute since then. At first I was mainly occupied with software development. Since the 1990s this changed to an increasing role in curriculum development projects. The work at the institute modified my view on the learning of mathematics and on mathematics as a discipline,  from an abstract language with hardly any connections to the world around us, to a language which emerges from organising phenomena and restructuring through reflection and generalisation.

Daarna lezen we:

The abstract nature of mathematics is experienced by many people because of the emphasis on algorithms in education: “dividing by a fraction is the same as multiplying by its inverse.” Teaching algorithms fosters beliefs such as mathematical rules having little to do with common sense, intuition, or the real world.

Huh? Ook zijn voorganger in het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren noemde deze programmeer(?)-regel een regel zonder betekenis en zelfs stompzinnig, dus hier valt nog steeds wat uit te leggen. Dat wil ik best een keer proberen maar laat ik nu toch maar eerst verder gaan met het handboek zelf. Ik vermeld maar vast dat ik steeds meer schrik van de in het eigen circuit gekeerde goedpraterij waarmee het afschaffen van de oude curricula wordt gerechtvaardigd, bijvoorbeeld door een uitwerking van vroeger zonder de bijbehorende opgave over te nemen en te praten over dergelijke teksten die niet meer in de schoolboeken voor komen.

Wat volgt is een uiteenzetting die beweging als vrijwel exclusief uitgangspunt neemt voor differentiaalrekening, en waarbij de GRM een hoofdrol speelt. Het inzoomen op een punt van de grafiek is wat mij betreft prima (hoeft ook niet per se in mechanische context) maar het vervolgens gebruiken van het commando dy/dx of zoiets om de algebra te vermijden werkt natuurlijk averechts. Opmerkelijk is de constatering dat de formele invoering van de differentiaalrekening voor veel leerlingen te hoog gegrepen is, maar bij Wiskunde B mag bij een enkele functie de leerling de formele afleiding wel te zien krijgen.

Let wel, de gegeven voorbeelden zijn eenvoudig met het differentiequotient waarin de factor die naar nul gaat kan worden weggedeeld (met een al of niet happende staartdeling) te behandelen. Begrippen als limieten en continuiteit zijn daarvoor niet echt nodig. In het handboek is hier bepaald sprake van verkeerde keuzes veroorzaakt door enerzijds fixatie op ICT en anderzijds gebrek aan elementaire kennis van de stof. Ergerlijk is dat die keuzes worden gerechtvaardigd met het gezag van steeds weer hetzelfde circuit dat zich in Nederland een wetenschappelijk status heeft weten te verwerven die op niets gebaseerd is.

Dat geconstateerd zijnde, gaat het refererend naar

www.fi.uu.nl/nl/profi/documents/analyse2_afgeleide.pdf

zo te zien af en toe wel over de inhoud om de inhoud zelf, ook al moet alles met ICT en is het maar voor een enkeling in de klas bedoeld als ik het goed begrijp. Ik moet de link hierboven later nog maar eens goed bekijken.

Kansrekening. Nu ik min of meer ook klaar ben met Hoofdstuk 4 ga ik naar Hoofdstuk 6, geschreven door de andere emeritus in het gezelschap (Bert Zwaneveld, gepromoveerd bij Jan van de Craats!), die mijn co-auteur Ronald Meester veelvuldig citeert in een verhandeling over kansrekening. Ik heb het nu 1 keer gelezen en het is zonder meer het meest inhoudelijke hoofdstuk tot nu toe.

Natuurlijk begint dit hoofdstuk met de vraag wat kansrekening is. Daar zijn de meningen over verdeeld. Persoonlijk zou ik zeggen dat kansrekening geen (of meer dan alleen maar) wiskunde is maar in de inleiding van het boekje met Ronald heb ik dat met diens goedvinden wat voorzichtiger geformuleerd. Het woord kans wordt door iedereen gebruikt en het is goed onderscheid te maken tussen enerzijds (wat mij betreft aperte) onzinuitspraken over de kans op leven elders in het heelal (die is naar ik vrees met kans 1 gelijk aan 0, maar epistemische kansrekenaars zullen dit kunnen weerleggen denk ik), en anderzijds de vraag hoe groot de kans is op het gooien van een 2 met een eerlijke dobbelsteen.

Dat in het laatste geval de kans 1/6 is, en wat met die uitspraak bedoeld kan worden, lijkt me het juiste uitgangspunt voor kansrekening op school. Er zijn 6 uitkomsten, die evident allemaal even waarschijnlijk zijn, dus als je er een getal aan toe wel kennen dan is dat getal voor alle 6 uitkomsten hetzelfde. Wat rest is het bereiken van overeenstemming over kansrekening als een model waarin kansen op disjuncte gebeurtenissen optellen en de totale kans gelijk is aan 1. Met die consensus is er maar 1 conclusie mogelijk: de kans op 2 is 1/6 (en de kans op 6 ook). Kortom, als we het eens zijn over de dobbelsteen kunnen we aan de slag.

En als we het niet eens zijn over de dobbelsteen? Dan tellen we gewoon alle mogelijkheden. Dat zijn er 6. En het gooien van een 2 is daar 1 van. Ook goed. We nemen het woord kans dan niet meer in de mond. Nergens voor nodig en we kunnen het zo ingewikkeld maken als we willen. Met twee dobbelstenen zijn de mogelijkheden 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6, 2+1, 2+2,….., 6+6, in totaal 36 mogelijkheden, met de uitkomst van de eerste steen VOOR, en die van de tweede steen NA de + die ik erbij gezet heb vanwege monopoly en de overwegingen in de gevangenis bij hotels op Utrecht (of all places).

In die mogelijkheden komt 9 als som 4 keer voor (9=3+6=4+5=5+4=6+3) dus 4 van de 36 uitlomsten geeft je een 9. De fractie of breuk die je daarbij kunt laten horen als je dat wil is 4/36=1/9. Toeval? Hoe het ook zij, de mogelijk uitkomsten voor de som zijn 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 en die komen niet evenveel keer voor als je de mogelijkheden telt. De aantallen zijn namelijk 1,2,3,4,5,5,4,3,2,1, totaal 36. Tellen is leuk en de kans dat je bij dat tellen op het begrip kans uitkomt in je hersenpan is bepaald niet nul. De bijbehorende fracties zijn dan 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 (ik laat de komma’s maar weg) en die tellen al of niet gezien als kansen mooi op tot 1.

Een helder verhaal over het totaal aantal ogen bij het gooien met twee dobbelstenen met ongelijke (!) kansen op het totaal aantal gegooide ogen is dus goed mogelijk zonder verwarring. Dat is bepaald anders bij kansmodellen gebaseerd op data uit het verleden. De modelcyclus die de didactici zo graag en dus ook hier bij kansrekening weer gebruiken is dan inderdaad al snel een (ik zou bijna zeggen vicieuze) cirkel, maar bij het gooien met dobbelstenen is daar toch echt geen sprake van. Kortom, het gebruik van deze modelcyclus is in dit hoofdstuk bepaald ongelukkig als het om gewone fracties of kansen gaat die je door tellen kunt bepalen. Maar goed, ik ben geen kansrekenaar en het liefst zou ik kansrekening in zijn geheel vervangen door combinatoriek.

Helaas, zo makkelijk gaat dat niet. Gooien met een niet zuivere munt dwingt ons meer te doen dan alleen maar combinatoriek als het om het rekenen aan waarschijnlijkheden gaat. Een kans p op kop en 1-p op munt met p tussen 0 en 1 maar niet per se gelijk aan 1/2 behoort tot de mogelijkheden als we onze aandacht voor munten niet tot bitcoins beperken, en limietovergangen bij grote aantallen leiden onvermijdelijk via de centrale limietstelling tot kansverdelingen gerepresenteerd door grafieken y=f(x) in het xy-vlak, bij uitstek het onderwerp van het calculus gedeelte van het schoolcurriculum en de bijbehorende differentiaal- en integraalrekening. Ik begrijp in dit verband niet goed wat Zwaneveld bedoelt met het niet voorkomen van overaftelbare kansruimten in de schoolstof, maar integraalrekening komt niet aan de orde in dit handboek voor zover ik zie (via de index bijvoorbeeld). Gezien de behandeling van de differentiaalrekening is dat misschien maar goed ook.

Ik verwijs in dit verband graag naar het boekje Wiskunde in je Vingers dat hoewel niet bedoeld als didactiekhandboek een aantal van deze zaken op een rijtje zet. Met name bijvoorbeeld het systematisch tellen dat hier in het handboek met boomdiagrammen gebeurt en daarom beperkt blijft tot “binaire” processen kan weer veel algebraischer. Algebra en combinatoriek (denk ook aan het principe van in- en exclusie) als basis voor zowel kansrekening en calculus is een optie die niet gezien wordt in de ICT-gedreven gedachtengangen van de Nederlands didactici.

Zo is dit Hoofdstuk 6 enerzijds een bruikbaar overzicht van wat aan de orde kan komen maar anderzijds een gemiste kans kwa het ongebruikt laten van de vele mogelijkheden die voor het grijpen liggen. Met de verbanning van kansrekening van Wiskunde 1 naar Van Streun’s vakken Wiskunde A en C is het klimaat daartoe ook bepaald niet beter geworden.

Hoofdstuk 6 gaat ook nog in op het begrip onafhankelijkheid en maakt een claim over een daarbij te gebruiken definitie die ik laat voor wat die claim is: een persoonlijke indruk die verder niet wordt onderbouwd, zoals zoveel persoonlijke indrukken in dit handboek, al of niet met een verwijzing naar verhaaltjes in de Wiskrant.

Statistiek. Next: Hoofdstuk 7, dat door de drie hooglerende editors in teamverband wordt behandeld. Ik ben benieuwd.

Inmiddels hoofdstukken 7 (statistiek) en 5 (meetkunde) gelezen. Nu bezig met 9, ICT. Op twitter al wat observaties.

Het is nu derde kerstdag, uit mijn hoofd typ ik nu verder zonder het handboek erbij. Wellicht zal ik dus later nog wat moeten corrigeren. Eerst terug naar Hoofdstuk 7, het statistiekhoofdstuk, dat begint met een verhaal over 24 doden bij de probiotica-experimenten in Utrecht. Een controversieel onderwerp dat goed is opgeborgen in een academische doofpot vermoed ik, maar dat is hier alleen terzijde. In Hoofdstuk 7 van het handboek wordt er niets meer mee gedaan.

Wat wordt er wel gedaan en besproken? Wel, eigenlijk precies wat ik destijds bij Wiskunde 1 op school kreeg halverwege de 70-er jaren. Toetsen met een nulhypothese en een alternatieve hypothese, H0 en H1 zogezegd. Met wat inzicht in elementaire kansrekening is dat allemaal niet zo moeilijk, maar je moet wel precies zijn in je formuleringen en dat kon toen bij Wiskunde 1.

Echter, nu zit het onderwerp bij Van Streun’s Wiskunde A en wordt de kansrekening bij voorkeur achterwege gelaten. Simulaties kunnen de rol van die kansrekening immers ook overnemen, aldus de filosofie in dit hoofdstuk, die uitgewerkt wordt met een jargon dat uit het Amerikaanse educatieve circuit afkomstig lijkt (PCAI-model), aangevuld wordt met de dezelfde modelleerlcyclus die we in Hoofdstuk 6 en 8 al zagen, maar met andere woorden erbij.

Hoe het ook zij, het gaat over H0 en H1. Wanneer verwerp je H0? Dat kan allemaal in beduidend minder veel pagina’s besproken worden, zonder verwijzingen naar design-lectuur of verhaaltjes in Euclides en de Wiskrant natuurlijk, en ook meningen gepresenteerd als wetenschappelijke resultaten (van o.a. Bakker) kunnen achterwege blijven. Het gaat allemaal om het toetsen van de aangenomen parameterwaarde in een veronderstelde verdeling.

Bijvoorbeeld bij het gooien van een munt met kans p op kop. Peter Kop had de uitleg hier wel bij mogen sturen. In een kwantitatieve tak van sport als statistiek is p<0,58 als ontkenning van p=0,58 bepaald ongelukkig. Hoe de binomiale verdeling en de normale verdeling in de echte toepassingen verschijnen blijft vaag. Een onnauwkeurige simulatie van een een binomiale verdeling als substituut voor de verdeling zelf vind ik ook ongelukkig. Maar ja, de verdeling is alleen maar een knop op de rekenmachine en de simulatie vergt nog een keer het gebruik van ICT, het middel dat zo vaak doel is bij Drijvers et al, zoals we nog zullen zien in Hoofdstuk 9.

Kortom, dit hoofdstuk draagt niet bij aan een didactisch slimme en wiskundig precieze manier van instructie (warempel, het woord wordt gebruikt in het handboek) bij statistiek. Recht in de WDA leer is het allemaal wel, met zinsnedes als “statistiek heeft zich ontwikkeld tot een eigen discipline met karakteristieke denkmethoden“. Tot zover de statistiek.

Meetkunde. We gaan verder met Hoofdstuk 5, van Van Streun en Verhoef. Nellie is tegenwoordig de naam die je tegenkomt in de stukken (denk aan: Delta-plan) van de wiskundige gemeenschap als het om schoolonderwijs gaat. Maar Van Streun blijft voorlopig bepalend via dit handboek, al is juist dit hoofdstuk een aanklacht tegen de recente hervormingen mbt meetkunde in het schoolonderwijs. Het hoofdstuk begint in de oudheid en springt dan via de door Van Streun wat betreurde Cartesiaanse hervorming van de vlakke meetkunde naar de NewMath discussie.

Bij de term NewMath raak ik altijd in verwarring. Enerzijds denk ik dan aan de verzamelingenleer die mijn tijd in klas 6 van de lagere school veraangenaamde, anderzijds aan de filmpjes van Tom Lehrer uit die tijd over kinderen die niet meer leren rekenen, filmpjes die me weer erg doen denken aan wat het realistisch rekenen ons gebracht heeft. In Van Streun’s verhandeling gaat het echter om al of niet Bourbaki en de conclusie is al voor het schrijven getrokken is mijn indruk. Het functionele doel van de inleiding van dit hoofdstuk lijkt vooral het positioneren van kijkmeetkunde in het schoolonderwijs.

Over de voorbeelden die hier langskomen is nog wel wat te vertellen. Het bewijs van de stelling van Pythagoras met inproducten is inderdaad natuurlijk niet het eerste bewijs om te geven, maar nuttig en leerzaam is het wel. Ik neem de vrijheid om in dit verband te verwijzen naar de course notes die onder

www.beteronderwijsnederland.nl/content/mastermath-voor-zij-instromers-wiskunde

hangen. Het huidige Hoofdstuk 4 (13 in het basisboek) van die notes zou als motto wel Conquest from the Plane mogen hebben: de introductie van het inprodukt komt NA een reflectie op het begrip loodrecht.

Terug naar de meetkunde in het handboek. De verwijzing naar kijkmeetkunde bij het (realistisch) rekenen in het basisonderwijs mag verhelderend heten. Denk aan het TAL-boekje over meten en meetkunde en de indeling van de VO-wiskunde aan de hand van de indeling gemaakt in het TAL-project, overgenomen in de referentiekaders rekenen en gehandhaafd door SLO in de tussendoelen van cTWO voor de onderbouw, tegen het niet aan OCW gerapporteerde uitdrukkelijke advies van de middag- en avondgroep bij de SLO-veldraadpleging in.

Dit hoofdstuk gaat dan ook nauwelijks over meetkunde, laat staan over didactiek, maar over een nu verloren zaak: 120 slu Voortgezette Meetkunde, waarbij de meetkunde zelf minder belangrijk is dan de aandacht voor denkgewoonten, uniek in de geschiedenis van het wiskundeonderwijs, maar nu gesneuveld in de eindtermen.

Vervolgens zijn daar in dit hoofdstuk weer de cognitieve schema’s. Wat dat zijn weet ik niet, even googlen geeft als eerste een hit een pagina van het wiki-team, en ik weet het nog steeds niet. Wat moet een lezer hiermee? Bij de schema’s spelen rare plaatjes met knopen en de zogenaamde Van Hiele Levels een belangrijke rol. Wie er een touw aan vast kan knopen mag het zeggen. Ook bij het inleidende hoofdstuk van Van Streun ben ik hier al afgehaakt. De software is weer onmisbaar zo blijkt en dat doet me nu maar eens naar een andere sleutelhoofdstuk springen. Hoofdstuk 9: ICT.

ICT. Hoofdstuk 9 heeft als doel de integratie van ICT in de wiskundeles en begint daarom met argumenten tegen het weren van ICT uit de wiskundeles. Waar is Brouwer als je hem nodig hebt zou ik bijna zeggen. Deze evident valse tegenstelling is karakteristiek. Vervolgens is het gebruik van ICT ook nauw verweven met cognitieve schema’s. Denk aan TI Nspire dat in dit hoofdstuk als software wordt gepresenteerd, en telkenmale exclusief genoemd wordt als het om de GRM gaat.

Ik stop even.

Inmiddels heb ik tot 10 geteld, ik kan het nog. Een verklaring voor de prominente rol die ICT hier krijgt heb ik niet. Het onderscheid dat tussen diverse manieren van  ICT-gebruik wordt gemaakt is op zich niet onjuist, maar de keuzes die de schrijvers maken bij het noemen van hard- en software lijken op zijn heel zachtst gezegd niet onafhankelijk. Ik herinner me de promotie van Jos Tolboom bij Henk Broer over het gebruik van ik meen TI voor communicatie met de klas, onderzoek gefinancierd door TI.

Dat soort ICT-gebruik laat ik voor wat het is. Vroeger kon het zonder, nu kan het met, maar zeker niet meer met TI lijkt me. Waarom het nu wel met moet zal wellicht met flippen van classrooms te maken hebben, maar met classroom flippers is het me nog niet gelukt om over vakinhoud te praten. Belangrijker vind ik zelf de vakinhoudelijke en vakdidactische toepassing. Ook het gebruik van ICT voor (ik noem het maar) remedial teaching interesseert me persoonlijk minder. Christian Bokhove promoveerde daarop op bij Drijvers, zie

www.beteronderwijsnederland.nl/content/1213-december-promotie-christian-bokhove-en-fisme-conferentie-over-algebra-ict

Ik ga nu verder met de vakinhoudelijke en vakdidactische toepassingen die ik zie. Figuur 9.6 is een boxplot met lengtes van leerlingen, uitgesplitst naar leefttijd, gemaakt met VU-Stat, een schoolprogramma dat ik niet ken. Als je zo’n boxplot wil maken dan doe je dat met ICT. Welke ICT laat ik in het midden, maar dit is niet nieuw. Had beter in Hoofdstuk 7 gepast dit, dat wel. Daarna Figuur 9.7. Naar de opgave moet je raden, het gaat over een vierkant met maximale oppervlakte, maar onduidelijk is wat de restricties zijn. Het is niet de eerste keer bij het lezen van het handboek dat onduidelijk is waar het inhoudelijk over gaat. Onduidelijk is dus ook of de ICT hier een meerwaarde geeft. Ik sla de oefenopgaven van Christian over, en kom op het eerste voorbeeld dat ik inhoudelijk kan snappen: snijpunten van een familie lijnen met een vaste parabool.

Meetkunde, altijd leuk, maar de bedoeling hier lijkt algebra, want de parabool is gegeven als y=x^2. Daar heb ik minder bezwaar tegen dan Van Streun. In Figuur 9.10 zien we die parabool, zonder het bijbehorende assenkruis, en een aantal evenwijdige lijnen die van linksonder naar rechtsboven lopen. Als ik denkactiviteiten zou uitleggen zoals Jos Tolboom dat in de filmpjes van de Google leergang doet, dan zou ik nu verder gaan met: de wiskundige weet dat de lijnen gegeven worden door y=px+q met p>0 vast en q variabel. Maar ik denk dat velen die nog niet wiskundig zijn dat ook wel weten.

De vraag die gesteld wordt is naar de middens van de lijnstukken tussen de snijpunten van de lijnen met de vaste parabool. De enigzins algebraisch geschoolde scholier weet dat je die snijpunten algebraisch vindt door x^2=px+q op te lossen en daarmee is het antwoord op de gestelde vraag er vrijwel onmiddelijk. Zeer leerzame som waar geen enkele ICT voor nodig is. De plusmin in de abc-formule (of pq-formule) is hier natuurlijk verhelderend.

Tegenwoordig is er echter dynamische meetkunde software en die moet gebruikt worden. De opgave wordt daarom veranderd in een opgave waarin een deel van het antwoord verklapt wordt. De middens liggen op een (verticale) lijn, en je moet de software gebruiken om dit met bewegende lijnen en punten te ontdekken. Bewegende beelden om de dynamiek van de onafhankelijke variabelen te ervaren. Sorry, maar dit is lariekoek die helaas goed verkoopt in het Nederlandse didactieklandschap dat maar niet in beweging te krijgen lijkt.

En het kan zo leuk en leerzaam zijn met voorbeelden als in Figuur 9.12. Het in de tekst genoemde functievoorschrift is een tweedegraads in x^2 met een parameter b. Hier is symbolisch van alles mee te doen, met minimaal (pen-en papier) werk, en de locatie van de mimima geparametriseerd door b is eenvoudig te vinden. Maar bij Figuur 9.2 lezen we: werk uitbesteden om vervolgvragen op te roepen. Wat een onzin. Die grafieken doe je gewoon met de hand natuurlijk, maar dat is systematisch afgeschaft in alle boeken, dankzij de dominante invloed van de GRM. De verwijzing naar “onderzoek” van Pauline Vos (2007) over de GRM is niet serieus te nemen, net als de meeste verwijzingen naar onderzoek in dit handboek.

Wat verder volgt in Hoofdstuk 9 is een heel verhaal over het gebruik van ICT voor simpele functies die je eenvoudig met pen en papier behandelt. Krampachtig wordt wat vroeger zonder ICT kon nu met gedaan. Waarom? Joost mag het weten, maar dat elke f(x) in de boeken tegenwoordig met een plaatje van de grafiek van f komt funest is voor het analytisch denkvermogen van de leerling weet ik wel, en ook dat de GRM en ICT de heilige koeien blijven in het didactiekcircuit dat de dienst uitmaakt in dit land. Wie de blaadjes open slaat ziet waarom.

———————————————————–

Reacties.

De eerste reactie hieronder betreft Jo Boaler. Meer over Boaler hier elders op het forum. En ook over Keith Devlin. Devlin wordt nogal eens aangehaald door didactici, zo ook in het handboek. Zijn publicatielijst ziet er imposant uit dus bekijk hem goed. Van Kees Hoogland kreeg ik destijds een artikel van Devlin waarin hij het 216-voorbeeld van Boaler besprak. Toen ik Hoogland uitlegde waarom het voorbeeld niet deugt kapte hij de discussie af. Observaties over wat hij wel vaker zag bij professionele wiskundigen had ik toen al over me heen laten komen. Opgemerkt kan worden dat enkele professionele wiskundigen in Platform Wiskunde Nederland Hoogland serieus nemen. Devlin blokkeerde me destijds op twitter meteen toen ik vragen stelde over 216. Comments onder https://vimeo.com/89583763 zijn disabled. Boaler is een ander verhaal. Haar scam werd in Nederland onder de aandacht gebracht door Pauline Vos op linked-in. Ik heb die discussie als pdf bewaard. Leerzaam. Hij hangt onder

www.beteronderwijsnederland.nl/forum/when-academic-disagreement-becomes-harassment-and-persecution

———————————————————–

De tweede reactie betreft de epsilon-delta redeneringen die vroeger bij Wiskunde 1 gewoon tot de stof behoorden. Onder de invloed van de Freudenthalgroep (waaronder Van Streun) is dat vak afgeschaft. Precisie in het schoolwiskundeonderwijs bestaat nu vrijwel niet meer. In het boekje met Ronald presenteren we een alternatieve aanpak, in eerste instantie zonder epsilons en delta’s, voor meer precisie in de uitleg van differentiaalrekening. Meer daarover ook in Hoofdstuk 1 (voor dat Sectie 1.1 begint) van de notes onder

www.beteronderwijsnederland.nl/content/mastermath-voor-zij-instromers-wiskunde

Inmiddels heb ook het lesmateriaal dat ik hierboven noemde bij het proefschrift van Doorman bekeken. De file uit 1997 is wat gecorrumpeerd maar ik zie met enig genoegen een expliciete benadering met differentiequotienten en uitdelen (helaas zonder de staartdeling). Hoe je dan vervolgens de limietovergang expliciet maakt zonder epsilons en delta’s komt daar echter niet aan de orde, terwijl het makkelijk kan natuurlijk. In het boekje met Ronald laten we dat zien. Ons uitgangspunt is om moeilijke zaken zo makkelijk mogelijk te maken en simpel mogelijk te vertellen. Deze didactische keuze is lastig te verenigen met contexten, zo is onze ervaring, en daarom divergeert onze aanpak van die van Kindt et al.

———————————————————–

Reactie nummer drie lees ik net. Zie voor meer achtergrond Reform Math dit overzicht:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/uitspraken-rekenen-deel-2

Meer over Boaler hier:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/een-rijke-betekenisvolle-uitdagende-les-over-ggd-en-kgv

———————————————————–

Interessante poging om pseudowetenschap te duiden:

www.beteronderwijsnederland.nl/nieuws/karin-den-heijer-over-pseudowetenschap

6 Reacties

  1. PROF. KEITH DEVLIN

    PROF. KEITH DEVLIN

    Devlin is mede-oprichter en directeur van het aan de Stanford-universiteit verbonden onderzoeksinstituut van menswetenschappen en technologie. Hij is Collega en supporter van Jo Boaler. Hij is schrijver van een aantal populair wetenschappelijke wiskundeboeken, waaronder 'The Math Gene'.

    [ProfKeithDevlin]

    • The "standard algorithms" for numerical computations sacrificed ease of understanding in favor of computational efficiency, and that made sense at the time. But in today’s world, we have cheap and readily accessible machines to do arithmetical calculations.
    • Those arithmetical procedures were never at the heart of mathematics. Anyone who says this should not purport to be sufficiently expert to pontificate on mathematics education. For mental calculation, left-right algorithm are far more efficient. But this a red herring, since the focus in education should be learning and understanding, and there are algorithms that are far more efficient in achieving those goals.
    • It's possible to do algebra without symbols. Formulas and equations are no more algebra than a page of musical notation is music.
    • School algebra does not have to be symbolic. It was done in a rhetorical fashion for thousands of years until the 16th century.

     

    Blijkbaar moet het onderwijs wat algebra betreft weer teruggaan naar de zestiende eeuw, toen men nog met onhandige notaties werkte. 

    Zet dit tegenover Dirk-Jan Struik (1894-2000), wiskunde hoogleraar aan het M.I.T.:

    "Vaak zijn nieuwe resultaten ontdekt als gevolg van een verbeterde notatie. Een voorbeeld is de invoering van de Hindoe-Arabische cijfers, een ander voorbeeld is Leibniz’ schrijfwijze voor differentiaalquotiënt en integraal. Een goed gekozen notatie weerpiegelt de werkelijkheid beter dan een onhandige. Daardoor lijkt het wel of een goede notatie een eigen leven leidt, de symbolen denken voor ons en zo komen nieuwe resultaten voor de dag.” 

     

    Formules zijn schitterend om naar te kijken, ze zijn uitdagend, ze zeggen meer dan 1000 woorden. En procedures zijn handig, als men telkens alles weer opnieuw moet beredeneren komt men nooit vooruit. Niets weerhoudt de docent ervan om bij het onderwijzen van procedures ook begrip bij te brengen, uitleggen of aannemelijk maken waarom de procedure werkt.  Dit wegzetten als mechanistisch betekent een karikatuur maken van het traditionele onderwijs.

     

     

Geef een reactie