SLO

NB: SLO-keek-mee-met-rekentoetshoorzitting

Dit blogje is opgedragen aan SLOSander. De beschouwingen zijn van voor #Schnabel2032. Toen ik dit schreef had ik geen flauw idee van de SLO-rol daarbij. Inmiddels is de aap wel uit de mouw:

decorrespondent.nl/4486/Reconstructie-Onderwijs2032-een-schoolvoorbeeld-van-schijninspraak/356426158-f6c2cb6c

Voorwoord

Dank aan allen die hieronder reageerden. Leestip: eerst lezen, dan free klikker de klik. Dit was/is mijn tweede discussiestuk waarin ik over de grenzen van de verschillende schoolvakken heen kijk. Eerder deed ik dat, naar aanleiding van de gevolgen van de implementatie van het TAL-project in de referentiekaders rekenen, de tussendoelen wiskunde voor de onderbouw, en alles wat daarna komt, hier:

Tussendoelen en toekomst met TALrijk onderwijs

Eindexamens en eindexamensyllabi, waar zijn ze goed voor? Wat moeten examens toetsen en wat willen we dat kinderen na 12 jaar school geleerd hebben met het oog op hun toekomst in onze 21-ste eeuw? Een vraagstelling die in het beta-onderwijs nu betrekking heeft op zowel de examens wiskunde als de rekenexamens die we onze jong-volwassenen laten maken op school. Wat zijn de overeenkomsten en verschillen in de problematiek bij die examens? Om die vraag te kunnen beantwoorden is een inventarisatie van de problematiek nodig.

Er spelen op dit moment diverse zaken met SLO en het College voor Toetsen en Examens (ik hoop dat ik de nieuwe naam goed heb). Daaronder:

– de verplichte rekentoetsen

– de rol van de GR als hulpmiddel (de relevante stukken staan hier: www.few.vu.nl/~jhulshof/rekenmachinemotie/)

– de 21th century skills (u vindt de subsidiestromen via NWO-NRO wel)

– www.beteronderwijsnederland.nl/blogs/2014/09/nieuwe-examenprogrammas-wiskunde-het-onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige-denkactiviteiten/

Om uit te werken en samen te vatten. Directe aanleiding is een discussie op twitter met de SLO-secretaris van de examensyllabuscommissies en de regisseur van de voorlichting aan leraren over de invulling van WDA (wiskundige denkactiviteiten) in het schoolprogramma. Over de rekentoetsen is inmiddels voor de goede verstaander genoeg geschreven. Kijk bijvoorbeeld hier:

staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/#rekentoetsen

Doorscrollend vindt u daar ook het werk van Wilbrink en diens artikelen in Examens over de rekentoetsen.  Ik richt me daarom nu op de ontwikkelingen in het reguliere wiskunde onderwijs. Daarin staan de WDA nu centraal. Gesubsidieerd door NWO via dit CITO/FI project:

www.nro.nl/kb/405-14-502/

Inhoudsopgave

– Theorie uit de praktijk

– Een voorbeeld, de windmolen

– Reflectie

– De rol van natuurkundeverhaaltjes

– De kloof tussen deelgebieden

– De oorverdovende ruis van kommagetallen

– De (dubbele) rol van de examenopgaven

– Een zinvolle invulling van WDA?

– About FriendlyFoe and cTWO

Didactiek is belangrijk. Daarover schrijf ik elders:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/het-epsilon-handboek-voor-de-didactiek-van-de-wiskunde

Theorie uit de praktijk, de rol van een goed voorbeeld (opening statement)  

Het lijstje met ongeveer 5 punten hierboven in het voorwoord is een willekeurige greep uit de problematiek in wat ik ons beta-onderwijs zou willen noemen, en wat daar zoal mee aan de hand is. De onderwerpen hangen met elkaar samen. Om die samenhang te laten zien kan ik natuurlijk beginnen met het aanbrengen van een theoretisch kader en vandaaruit verder redeneren, maar dat ligt mij niet. Net als bij hoe ik het met wiskunde graag zie begin ik liever met goede voorbeelden waaruit wat te leren valt. Theorie uit de praktijk. De draaikubus van Rubik, waarvan er inmiddels net zoveel verkocht zijn als muziekschijfjes van Led Zeppelin, is bijvoorbeeld prima geschikt om een college groepentheorie mee te beginnen. Er is een erg leuk boekje van de meester van de Nederlandse wiskundedidactiek zelf waarin dat ook gebeurt, met een concrete uitleg van normaaldelers en factorgroepen, en de classificatie daarvan voor de groep die bij Rubik’s cube hoort. Kostte destijds 7 gulden 50, u vindt het wel via bol.com. Aardig als module algebra bij Wiskunde D, het enige van de 4 schoolvakken wiskunde dat geen centraal examen heeft, en daarmee gevrijwaard blijft van examensyllabuscommissies.

www.few.vu.nl/~jhulshof/rubik.mov

 

Een voorbeeld: de windmolen  

Wat is een goed voorbeeld voor de problematiek het beta-onderwijs? Een karakteristiek voorbeeld vindt u in de nieuwe examensyllabus voor VWO Wiskunde B, te vinden via de Wiskunde E-brief. In de betreffende opgave gaat het over het vermogen van een windmolen bij een gegeven windkracht. Of een scholier die examen wiskunde B doet moet weten wat men in de natuurkunde bedoelt met vermogen is wel de vraag. Niet per se misschien, maar wie een profiel Natuur en Techniek doet toch zeker wel lijkt me. Dit is de som uit de SYLLABUS CENTRAAL EXAMEN 2018, pagina 23,24):

Bij experimenten met het opwekken van elektriciteit door middel van windmolens is onderzocht hoe het door de windmolens geleverde vermogen P afhangt van de lengte L van de wieken en van de windsnelheid v (bij gelijke luchtdichtheid).
Bij een bepaald type windmolens bleek het opgewekte vermogen
P (in W) evenredig te zijn met het kwadraat van de lengte van de wieken L (in m) en met de derdemacht van de windsnelheid v (in m/s). 

  1. Stel voor een windmolen die P=6 10^5 W levert bij L=20m en v=12m/s het machtsverband op.
  2. Bereken met hoeveel procent het geleverde vermogen van een windmolen afneemt als de windsnelheid afneemt met 20%.

Uitwerking

  1. De gegevens invullen in P = aL^2V^3 geeft 600000 = 691200a dus a 0,868.
  2. 0,8^3 = 0,512 dus 48,8% afname. 

Van een VWO-leerling die voor het eerst met zo’n vraag geconfronteerd wordt mag verwacht worden dat hij of zij zich zelf de vraag stelt waar het vermogen van een windmolen van kan afhangen. Meer vermogen bij meer wind is duidelijk, grotere wieken en hogere luchtdichtheid idem. Een formule, zo die bestaat, zal alledrie aspecten moeten bevatten, en eventuele evenredigheidsconstanten hangen dus af van de fysische eenheden die je gebruikt, bijvoorbeeld meter, seconde en kilogram voor lengte, tijd en massa. Een prachtig onderwerp voor een les natuurkunde in de praktijk zien we hier als context in een voorbeeldsom bij het nieuwe examenprogramma VWO Wiskunde B.

 

Reflectie  

Er zijn nu meerdere vragen te stellen, bijvoorbeeld:

– hoort de som in een eindexamen wiskunde thuis?

– horen dit soort onderwerpen in een schoolprogramma wiskunde thuis?

– is de natuurkunde in vraag en uitwerking correct?

– is het verhaal in de opgave waar of verzonnen?

– wat wil je met de natuurkundecontext bij wiskunde?

– van welke aard zijn de denkactiviteiten bij dit onderwerp?

– is de som karakteristiek voor het nieuwe eindexamenprogramma wiskunde van SLO?

 

De rol van natuurkundeverhaaltjes  

Laat ik met een van de vragen beginnen. Wat wil je met (deze) natuurkundecontext bij wiskunde? Dan moet misschien eerst de vraag zijn of je natuurkundecontext bij Wiskunde B wil. Bij de natuurkundecontext in de molensom zijn een paar overwegingen te maken. Het correct gebruiken van fysische eenheden staat direct in verband met het (hebben) leren rekenen met breuken, en breukrekenen staat weer direct in verband met het ontwikkelen van algebraische vaardigheden. Het is niet duidelijk dat de examensyllabuscommissie deze verbanden onderkent. Dat de fysische eenheden maar op 1 manier uit het probleem geschaald kunnen worden en daarmee een unieke dimensieloze combinatie van dichtheid, snelheid en afmeting afdwingen die via metingen kan worden onderzocht ligt gezien de formulering van de som buiten het perspectief van SLO en de examensyllabuscommissie. Terwijl ik daar bij SLO toch wel eens verhaal over gedaan heb. Kennelijk betreft het hier nog steeds geen gemeengoed, ondanks een veelheid aan uitleg op het web, bijvoorbeeld deze misschien niet helemaal correcte maar wel bijzonder aardige presentatie met echte historische voorbeelden:

www.cyberphysics.org/wwilson/Talks/DA_Talk.ppt

De vraag of de natuurkunde in de molensom correct is moet misschien voorafgegaan worden door de vraag of er natuurkunde in de som zit. Eigenlijk is dat niet het geval. De vraag bevat een formule die iets met natuurkunde te maken heeft maar de opgave staat daar los van. Dat is ook te zien aan de uitwerking, waarin de eenheden worden genegeerd en het antwoord zonder eenheden wordt gegeven. De voor de hand liggende vraag wat men met de natuurkunde wil in deze som is zo al beantwoord voor je hem gesteld hebt. Men wil niets met natuurkunde is deze som.

De vraag of natuurkundeverhaaltjes in een examen wiskunde thuis horen is een andere vraag dan de vraag die ik zojuist heb besproken. Antwoorden op vragen roepen nieuwe vragen op. Als men niets met natuurkunde en eenheden wil in deze molensom, wat wil men dan wel? Is het de bedoeling dat de leerling tijdens het examen nadenkt over het probleem in de context? Met welke wiskunde en welk examenprogrammaonderdeel heeft de molensom te doen? Over welk niveau praten we? De voorbeeldopgaven zijn zo te zien uit oud materiaal bij elkaar gesprokkeld voor het nieuwe examenprogramma. Als zodanig dienen ze niet per se als illustratie van de mogelijke opgaven op het eindexamen zelf heb ik begrepen.

Terzijde, wat er met het natuurkundeprogramma in het VO is gebeurd is een verhaal apart. Maar daar hoor je helemaal niemand over. Realistische natuurkunde? Kijk eens naar deel drie van www.withouthotair.com zou ik zeggen.

 

De kloof tussen deelgebieden

Het nieuwe examenprogramma Wiskunde B werkt met lijstjes bij deelgebieden van de wiskunde, en sommige deelgebieden zitten daar niet bij. Met de introductie van Wiskunde A is immers besloten om combinatoriek en kansrekening (zeg maar het tellen van mogelijkheden)  te ontkoppelen van de calculus bij Wiskunde B. De kubus van Rubik biedt bij uit elkaar slopen zo’n telprobleem: op hoeveel manieren kan ik hem weer in elkaar zettten? Systematisch tellen leidt tot het sommetje

12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1x8x7x6x5x4x3x2x1x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x3x3x3x3x3x3x3x3

en met wat handig en cijferend rekenen is dat op een A3-tje nog precies uit te rekenen ook. Ingredienten bij de techniek van dit tellen zijn producten als 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x12, dat we gemakshalve noteren met 12! (waar je beter geen leesteken achter kunt zetten). Een ruime keuze aan opstapjes voor wiskundige denkactiviteiten maar helaas, deze telproblemen liggen buiten het programma dat men geschikt heeft geacht als standaardwiskundevak bij het profiel Natuur en Techniek. Terwijl het ! van een getal alom aanwezig is in met name ook de calculus die studenten nodig hebben bij een willekeurige beta-opleiding. Het binomium van Newton en de driehoek van Pascal liggen aan verschillende kanten van een kloof die aangebracht is in de wiskundeprogramma’s, en gezien de molenopgave in de examensyllabus Wiskunde B is de kloof tussen Wiskunde B en Natuurkunde vermoedelijk nog veel groter. In een reactie hieronder werd ik gewezen op dit stuk over de relatie tussen wiskunde en natuurkunde in de schoolprogramma’s:

www.fi.uu.nl/ctwo/publicaties/docs/2008-09-16EindverslagWiskNat.pdf

 

De oorverdovende ruis van kommagetallen 

Natuurkunde is een mooi vak, dat ondenkbaar is zonder formules waarin meerdere letters tegelijk voorkomen. De experts die zich eigenaar hebben gemaakt van ons wiskunde onderwijs hebben gezien alle stukken die ik gezien heb collectief besloten dat zulke formules niet thuishoren in berekeningen die scholieren moeten leren te doen zonder daar iedere keer weer een hulpmiddel bij te hoeven gebruiken. Het doorgronden van simpele formules, essentieel voor alle beta-vakken, wordt systematisch vertroebeld door de ruis van kommagetallen in die formules. Diezelfde ruis vertroebelt de wiskunde zelf, toch ook een mooi vak. Een voorbeeld in de nieuwe examensyllabus is de som (aangehangen als ln2.pdf) waarin de scholier geconfronteerd wordt met de getallen 13, ln 2 en 9,0.

Misschien moet u eerst eens lezen hoe dat wordt besproken zonder ook maar aan de aard van het probleem te raken:

aowiskunde.blogspot.nl/2014/10/ee-niet-zo-goed-voorbeeld.html

Het probleem is dat dit soort examenopgaven voor SLO het startpunt zijn voor de wiskundige denkactiviteiten, die per slot van afrekening ook getoetst moeten worden. Het ultieme teaching to the test, dat inmiddels voor de rekentoetsen gemeengoed is geworden. Enige WDA zijn voldoende om te laten zien dat in genoemde opgave een gegegeven te veel staat, en dat uit de gegevens nu volgt dat 9,0 gedeeld door 13 gelijk is aan ln 2, hetgeen gezien de laatste reactie hieronder tot verbazing leidt. In welke zin deze laatste gelijkheid waar zou kunnen zijn brengt ons terug bij de rekenprofessoren, de kat van Ad, en de universele problematiek in het huidige reken- en wiskunde onderwijs, dat inhoudelijk nog steeds wordt ingevuld door de hoogleraren vakdidactiek:

www.few.vu.nl/~jhulshof/trap

 

De (dubbele) rol van de examenopgaven

Dat gemankeerde examenopgaven geen goed uitgangspunt vormen voor een zinnige invulling van wat je misschien WDA zou kunnen noemen moge duidelijk zijn. Los daarvan, er zijn verschillende redenen waarom de voorbeeldopgaven en -uitwerkingen in de examensyllabi niet deugen. Boven heb ik al de niet terzake doende en inhoudelijk gemankeerde natuurkundeverhaaltjes genoemd, alsook de ruis van kommagetallen. Maar ook de zogenaamde kale opgaven geven grote reden tot zorg. Het springende punt bij de opgave met 9,0 gedeeld door 13 is ln 2 is nog niet eens genoemd. De opgave heeft een gegeven te veel en met 9 waren de gegevens strijdig geweest. De ruis van de komma wordt als excuus gebruikt om niet te constateren hoe mis het hier is. Een andere opgave over ongelijkheden (die ik hieronder aanhang met daaronder een alternatieve uitwerking) heeft een voorbeelduitwerking die wellicht niet expliciet fout is. Maar waarom niet een schone uitwerking waarin gebruikt gemaakt wordt van het equivalentieteken <=> (dat in platte tekst goed te doen is). Het eerst oplossen van de gelijkheid en daarna via invullen of GR-plotten verdoezelt de eenvoud, en je kunt je afvragen welke begrip er werkelijk wordt aangebracht voor het rechtvaardigen van die tweede stap. Temeer omdat de voorbeeldopgaven evident ook bedoeld zijn om de inhoud van het programma te adstrueren.

 

Een zinvolle invulling van WDA

Terzijde, wat ik zoal aan de orde stel reikt verder dan Nederland, zie bijvoorbeeld:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/unscience-and-education

De gemeenplaatsen over WDA worden gepresenteerd als een nieuwe rode draad in de examenprogramma’s.  Of je iets nieuws met WDA wil en hoe dan wel is een andere kwestie. Opmerkelijk is dat er nu een SLO-syllabus voor ligt over onderwijzen en toetsen van WDA, terwijl men iedere keer weer middagen organiseert om tot een definitie van WDA te komen, onder begeleiding van de zelfbenoemde experts op dit gebied. Om uit te werken. Dit stuk is nog “under construction”. Voordat ik wel en goed begonnen was stond de eerste reactie van jl er al. Misschien kunnen we hier een 1-2-tje van maken jl, met de links in de reacties onder de blog en niet te veel door de tekst heen. Ik heb wel eens gehoord dat dat de leesbaarheid vergroot. Hier is alvast de link naar de examensyllabi:

www.hetcvte.nl/item/syllabi_wiskunde_a_b_en_c

Opmerkelijk is dat de rol van cTWO in de examensyllabuscommissies nu is overgenomen door APS. Een Google leergang bij die examenprogramma’s werd hier al aangekondigd:

www.wisactueel.nl/docs/wisactueel_files/wis_2013-3_act_leergang.pdf

Dit is wat geworden is:

www.leergangwiskunde.nl/home.html

www.leergangwiskunde.nl/lesmateriaal.html

Richtinggevend lijkt de module over de lift. Geen v=at zo te zien. Gefinancierd met Google gelden die dankzij www.imo2011.nl aan http://www.platformbetatechniek.nl/home werden gedoneerd en daarna bij o.a. SLO terechtkwamen. Daar was het geld beslist NIET voor bestemd. Meer daarover hier:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/nwo-nro

In poppetje bespreek ik 1 van de filmpjes die SLO maakte over WDA:

Daar kwamen twee reacties op. Eentje vanaf de burelen van SLO zelf, maar die ben ik kwijt, en een hele uitgebreide die u hier kunt lezen:

aowiskunde.blogspot.nl/2015/01/wiskundige-denkactiviteiten-een-filmpje.html

Ik citeer daaruit wat indrukken die misschien elders in het veld ook leven, ook over waar wiskundigen buiten school mee bezig zouden kunnen zijn.

Er zijn er meer filmpjes, u vindt ze wel via de genoemde leergang.

 

About FriendlyFoe  

FriendlyFoe is het pseudoniem dat ik ben gaan gebruiken tegen het einde van mijn termijn in het bestuur van BON:

www.beteronderwijsnederland.nl/nieuws/joost-hulshof-treedt-terug-als-bestuurslid-bon

Onder mijn skype naam schreef ik ondermeer deze blog over de Commissie voor de Toekomst van het Wiskunde Onderwijs:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/denken-en-doen-siersma-en-de-rekenmachinelobby

Meer blogs vindt U hier:

Meldpunt klachten over lonesomejoe

Met de laatste migratie zijn wat links verloren gegaan. Bijgewerkt en leerzaam blijft: www.beteronderwijsnederland.nl/blogs/2015/03/de-grote-knutseldag/

Bijlagen:

83 Reacties

  1. WDA (Wiskundige

    WDA (Wiskundige DenkActiviteiten)

    Blijkbaar vinden er tot nu toe in de wiskundelessen weinig of geen denkactiviteiten plaats.

     

    Het oplossen van vergelijkingen valt in ieder geval niet onder denkactiviteiten want daarvoor gebruik je gewoon een app: PhotoMath. Veel beter dan de Grafische Rekenmachine of de TI_Nspire. Je hoeft zelfs niets meer in te voeren, je hoeft alleen maar een vergelijking te herkennen en je richt daar je smartphone op.

     

    "Met de nieuwe app PhotoMath wordt wiskunde een stuk makkelijker. De app lost lastige sommen op en laat ook stap voor stap zien hoe dat moet. Gebruikers hoeven alleen nog maar hun camera op een wiskundige vergelijking te richten en PhotoMath doet daarna al het werk. Naast de oplossing toont de app dus ook hoe je tot het antwoord komt. PhotoMath is gratis te downloaden voor iOS en Windows Phone. De versie voor Android verschijnt begin 2015."

     

    "Nooit eerder werd wiskunde zo eevoudig dankzij PhotoMath"

     

    Bron: twitter.com/hashtag/photomath?src=hash .

     

     

     

  2. Sweller over Wiskundige

    Sweller over Wiskundige Denkactiviteiten

     

    John Sweller (bekend van 'Why Minimal Guidance During Instruction Does Not Work', Kirschner, Sweller Clark) over denkactiviteiten:

     

     

    “There is little more useless than attempting to teach generic thinking skills and expecting  students to be better thinkers or problem solvers as a result. Despite decades of work, there is no body of evidence supporting the teaching of thinking or other generic skills.”

     

    “It is a waste of students’ time placing these skills in a curriculum because we have evolved to acquire them without tuition. While they are too important for us not to have evolved to acquire them, insufficient domain-specific knowledge will prevent us from using them. We cannot plan a solution to a mathematics problem if we are unfamiliar with the relevant mathematics. Once we know enough mathematics, then we can plan problem solutions. Attempting to teach us how to plan or how to solve generic problems will not teach us mathematics. It will waste our time.”

     

    Bron: websofsubstance.wordpress.com/2014/10/13/australian-curriculum-review .

  3. OECD wil meer aandacht voor

    OECD wil meer aandacht voor Wiskundige Denkactiviteiten

    Leerlingen moeten leren om complexe, onbekende, wiskundeproblemen op te lossen op een niet-routinematige manier, dus zonder kant-en-klare algoritmen. Ze moeten denken over hun denken. Dat zijn de vaardigheden die deze 21-e eeuw verlangt. Het levert ook minder wiskunde-angst op en verhoogt de motivatie. 'Policy Makers' moeten hier rekening mee houden. Aldus de OECD. En de FI heeft het goed begrepen.

     

    "While there is almost a consensus that mathematics problems appropriate for the 21st century should be complex, unfamiliar and non-routine (CUN), most of the textbooks still mainly include routine problems based on the application of ready-made algorithms. The time has come to introduce innovative instructional methods in order to enhance mathematics education and students’ ability to solve CUN tasks. Metacognitive pedagogies can play a key role in this. These pedagogies explicitly train students to “think about their thinking” during learning. They can be used to improve not just academic achievement (content knowledge and understanding, the ability to handle unfamiliar problems etc.) but also affective outcomes such as reduced anxiety or improved motivation. This strong relationship between metacognition and schooling outcomes has implications for the education community and policy makers."

     

    Bron: search.oecd.org/education/innovation-education/

  4. Waarom de rekenmachine bij

    Waarom de rekenmachine bij examens ?

     

    De opgaven van de rekentoets moeten geheim blijven. Want het is te moeilijk om nieuwe opgaven te bedenken. Blijkbaar is het ook te moeilijk om nette getallen te bedenken. Daarom mag de rekenmachine niet afgeschaft worden.

     

    Het College voor Examens:

    “Zonder rekenmachine is het niet meer mogelijk  vragen in een realistische context te stellen. Het aantal kloppende wiskundeopgaven met nette getallen is heel beperkt.”  

     

    Bron: www.rijksoverheid.nl/bestanden/documenten-en-publicaties/brieven/2012/04/05/advies-van-het-college-voor-examens/advies-van-het-college-voor-examens.pdf .

  5. Karikatuur van het wiskunde

    Karikatuur van het wiskunde-onderwijs

    We hebben denkactiviteiten nodig, want tot nu toe bestaat het wiskunde-onderwijs alleen maar uit het toepassen van algoritmen, waarbij niet nagedacht hoeft te worden.

     

    Paul Drijvers:

    "Het is van belang dat in de les ook opgaven aan de orde komen die uitnodigen tot wiskundig denken. Dus niet alleen reproductie, of het probleem in deelstapjes opdelen zodat er niet gedacht hoeft te worden."

     

    Bron: www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/312/312december_drijvers.pdf .

     

  6. Module ‘De Lift’

    Module 'De Lift'

    ‘Een model voor een lift’.   Doel: het verduidelijken van de begrippen snelheid en versnelling.

    De allereerste grafiek deugt al niet: de versnelling verspringt. Dit vergt een oneindige kracht!!

    Men gaat in de module uit van de Shanghai Tower. De leerling wordt hierbij behoorlijk afgeleid door allerlei technische details, deels vermeld in het Engels.

    Veel aandacht voor de ‘jerk’, dat is de afgeleide van de versnelling. Zel f heb ik moeite om me er iets bij voor te stellen. Hoe het  ‘voelt’ in de lift hangt alleen maar af van de versnelling. Ook is het voor mij volstrekt onduidelijk dat de jerk invloed heeft op de krachten op materialen. In de natuurkunde ben ik vrijwel nooit een derde afgeleide tegen gekomen (jerk is de derde afgeleide van de plaats naar de tijd).

    Begrippen als snelheid en versnelling horen bij inleiding mechanica. Vanaf hun kindertijd hebben lln ervaring met bewegingen en krachten, en bij mechanica wordt een en ander kritisch bekeken. Het FI en de OESO willen het niet geloven maar lln zijn bij traditionele mechanicalessen volop bezig met denkactiviteiten. En al die, volgens FI en OESO, 'domme' algoritmen werden vroeger in 4-Atheneum ook afgeleid. En ook dan moeten lln denken. Deze module voegt alleen maar onnodige complexiteiten toe, wat voor verwarring zorgt. De basiswetten van de natuurkunde laten zich niet leren door meteen van complexe zaken uit te gaan.

     

    Bron: www.leergangwiskunde.nl/docs/lesmateriaal/Een%20model%20voor%20een%20lift-1.pdf

  7. Wat een kromdenker, die Paul

    Wat een kromdenker, die Paul Drijvers. Alsof het analyseren van een probleem, het opdelen in deelproblemen, het probleem reduceren van een complex geheel tot overzichtelijke stukjes, niet bij uitstek een denkactiviteit is.

  8. Geachte heer FriendlyFool,

    Geachte heer FriendlyFool,

     

    Is het misschien mogelijk om uw stuk van tussenkopjes te voorzien en overbodige links weg te halen?

    In deze vorm lukt het mij niet uw stuk te lezen.

  9. Paul Drijvers:

    Paul Drijvers: 'Denkactiviteiten i.p.v.beheersing elementaire algebraïsche vaardigheden'

    ‘Algebra leren in een computeralgebra omgeving’, een moduul ontworpen door Paul Drijvers bestemd voor 3 VWO, www.fisme.science.uu.nl/staff/pauld/dissertation/G9-I-StudentTexts.pdf .

    Deze leerlingen moeten aan de TI-89, een rekenmachine met een 'Computer Algebra System'. Kost maar € 240,– (www.rekenmachine-expert.nl/texas-instruments-ti-89-titanium ) dus dat kan het probleem niet zijn. Of anders achter de computer met het algebra-pakket DERIVE. Het ziet er allemaal niet eevoudig uit, voordat je weet hoe je iets moet invoeren heb je het algebra-probleem allang zelf opgelost. Mits er aandacht is besteed in de les aan algebraïsche vaardigheden. Wat dat laatste hoeft niet volgens Drijvers. Waar het om gaat is gevoel voor algebra, de zg.n. Symbol Sense.

     

    Paul Drijvers:

    “Symbol sense is voor algebra wat number sense is voor rekenen: een veelzijdig ‘gevoel’ voor symbolen, formules en expressies.”

     “Al met al is de verwachting dat de leerling door de beschikbaarheid van ICT minder afhankelijk zal worden van de beheersing van elementaire algebraïsche vaardigheden, die dus wat aan belang zullen verliezen.”

    “Kennelijk is men het erover eens dat het gebruik van ICT een beroep doet op hogere algebraïsche vaardigheden, zeg maar symbol sense. Terwijl elementair werk kan worden uitbesteed aan ICT, lijkt symbol sense belangrijker te worden.”

    “Samengevat lijkt het met het oog op het toenemend ICT-gebruik goed om aandacht te besteden aan de ontwikkeling van symbol sense, desnoods ten koste van elementaire algebraïsche vaardigheden. “

    Bron: www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/231/231september_drijvers.pdf .

  10. Ha jl, van dat lift verhaal

    Ha jl, van dat lift verhaal is best een goed verhaal te maken natuurlijk. De rol van de derde afgeleide is ook onderbelicht. Er zijn eigenlijk drie randvoorwaarden in de vraagstelling: grenzen op v,a en j. En je moet beginnen en eindigen met v=0 en a=0. Voor de hand ligt om j eerst maximaal te nemen, dan een tijdje 0 en dan maximaal negatief, op zo'n manier dat de grenzen op v en a niet overschreden worden. Dat netjes uitrekenen is best een nuttige oefening in letteralgebra waar ik wel een beetje hulp bij zou gebruiken. De vraag daarna of het beter kan is ook een aardige. Misschien heeft Wijzer daar inzicht in, die is van huis uit natuurkundige.

  11. Mijn kleine terzijde: Ik

    Mijn kleine terzijde: Ik beschouw het zeer diep treurig dat "vernieuwers" kennelijk helemaal NIET in de gaten hebben hoe traditioneel onderwijs (rekenonderwijs, algebra en meetkunde; van destijds) wel degelijk denkwerk verwachtte van de leerlingen.

    Juist bij dat denkwerk blijken de verschillen tussen de leerlingen.

    Sommigen kunnen 1 stap verder denken, maar andere leerlingen blijken wel 3 stappen verder te kunnen denken bij het oplossen van vraagstukken. Dat was al helemaal duidelijk in het traditionele onderwijs.
    Als men denkt dat bij het traditonele onderwijs denkwerk niet nodig was, vergist men zich, is men onwetend of houdt men de goegemeente bewust voor de gek.

  12. In de Wiskunde E-brief blikt

    In de Wiskunde E-brief blikt een held van het onderwijs terug met de kennis van nu. Henk Pfaltzgraff, lid van wat Paul Drijvers het achteraf onderons clubje van gelijkgestemden noemde schrijft:

     

    Een PDF verslag van mijn arbeid, geti­teld "Met de kennis van nu", kunt u hier downloa­den. Collega's van 36 jaar hebben moge­lijk in 1996 examen afge­legd. Ik ben be­nieuwd naar hun herinne­ringen aan de con­struc­tie in het rechte prisma van vraag 10. Collega's van 56 jaar, die zich na de havo, eventu­eel doorge­stroomd naar het athene­um, via de leraren­oplei­ding tweede- en eerste­graads be­kwaamd hebben, zullen genie­ten van het uitgeba­lanceer­de, strakke en veelzij­dige examen havo 1971.
     
    Zwarte bladzij­de
     
    Opval­lend was dat heel veel onder­werpen tegen­woordig op de wiskun­de B examens niet meer ge­toetst worden. Vector­reke­ning inclu­sief uitwen­dig product op de havo! Maar ook absolu­te waarden, limie­ten, continu­ïteit en diffe­renti­eerbaar­heid, meetkun­dige (sommeer­bare) rijen, parti­eel integre­ren, arctan­gens, trigono­metrie en goniome­trische formu­les, kansre­kening (zat wel in wiskun­de I en wiskun­de B1), impli­ciete func­ties en diffe­renti­aalver­gelij­kingen. Veel te veel om op te noemen.
     
    Wat is daar­voor in de plaats gekomen? Ik heb lang nage­dacht. Ik vond alleen het onder­werp koorden­vierhoe­ken, dat overi­gens in mijn HBS tijd al in de derde klas werd behan­deld. Een zwarte bladzij­de in het wiskun­deonder­wijs. Wel zijn sinds het midden van de jaren '90 steeds vaker plaat­jes, contex­ten, formule­bladen en grafi­sche rekenma­chines deel gaan uitma­ken van de wiskun­de B examens.
     
    Het verhaal van wiskun­de B1 en B1,2 en weer terug naar wiskun­de B (zonder kansre­kening) uit het derde millen­nium ligt nog te vers in het geheu­gen om in deze terug­blik te verwer­ken.
     
    Mevrouw Jacqueline Wooning van het College voor Examens omschreef Henk als
    Het is overigens jammer dat u alleen docenten kent die het gebruik van de GR maar niks vinden, er zijn namelijk ook vele docenten die gebruik van het apparaat toejuichen (in de les of zelfs bij toetsing). Of uw blik daarmee ruimer is dan die van de NVvW durf ik dan ook te betwijfelen. Wij proberen de kwestie in ieder geval vanuit zoveel mogelijk invalshoeken te bekijken en nemen op basis daarvan een beslissing. 
    en voegde daar aan toe
    Ik kan u echter niet verbieden contact op te nemen met de, u bekende, voorzitter van de vaststellingscommissie wiskunde B.
    Paul Drijvers werkt inmiddels bij CITO en is bijzonder hoogleraar op het FI. Ons kent ons.
     
     
     
     
     
     
     
  13. Actieve leerders niet beter

    Actieve leerders niet beter dan passieve leerders

    Steve Higgins (Professor of Education), Roberto Coe (Professor school of education):

    "There is no evidence that active learners remember more than passive learners. Memory is the residue of thought, so if you want students to remember something you have to get them to think about it. This can be achieved by being either “active” or “passive”.

    Bron: theconversation.com/seven-great-teaching-methods-not-backed-up-by-evidence-33647 .

  14. Anne van Streun zegt het zo: 

    Anne van Streun zegt het zo: 

     

    Wiskundedocenten, wiskundigen en wiskundedidactici zijn het er al decennia lang over eens dat wiskundeonderwijs meer moet inhouden dan het trainen van regels en algoritmen door alleen
    maar veelvuldig sommen te maken.


     

  15. @FriendlyFoe

    @FriendlyFoe

    Volgens mij geen "volledig medeweten" van de van de academische wiskundegemeenschap, maar onverschilligheid van (het overgrote deel van) de  academische wiskundegemeenschap.

  16. Met dank, dit is al beter. Ik

    Met dank, dit is al beter. Ik kan nu tenminste gaan lezen!

    Wie is die door u bewonderde Meester van de Nederlands wiskundedidactiek eigenlijk? Welk boekje? U maakt mij nieuwsierig.

    Victor

  17. FriendlyFoe: “De

    FriendlyFoe: “De voorbeeldopgaven zijn zo te zien uit oud materiaal bij elkaar gesprokkeld voor het nieuwe examenprogramma. Als zodanig dienen ze niet per se als illustratie van de mogelijke opgaven op het eindexamen zelf heb ik begrepen”. 

    Goed lezen van de syllabus toont aan dat dit genuanceerder ligt:
    “Om een indicatie te geven van het niveau waarop kandidaten deze specificaties dienen te beheersen op het centraal examen, wordt zoveel mogelijk verwezen naar vragen uit opgaven afkomstig uit de reeds afgenomen pilotexamens 2012 en 2013, eerste en tweede tijdvak. Deze pilotexamens zijn te vinden op www.cve.nl  (via Onderwerpen – Centrale examens VO – Vakvernieuwingen – Wiskunde havo/vwo).

    Daarnaast worden enkele examenopgaven genoemd die zijn ontleend aan oude examens. Ook deze zijn bedoeld ter verduidelijking van de specificaties en dienen tegelijkertijd als indicatie van het niveau van de opgaven. De genoemde examens zijn te vinden op www.examenblad.nl  (onder de betreffende jaarring).

    De voorbeeldopgaven

    Deze opgaven zijn bedoeld ter illustratie van de specificaties, niet om het niveau aan te duiden. Deze opgaven zijn ontworpen voor de syllabus. In enkele gevallen zijn het bewerkingen van oude examenopgaven. Ook die bewerkingen zijn ter illustratie van de specificaties en niet om het niveau aan te duiden.

    De voorbeeldopgaven zijn te vinden vanaf pagina 22.

    Voorbeeldexamen

    In 2017 zal op de pilotscholen voor het eerst een examen worden afgenomen bij deze definitieve syllabus. Dit examen kan als voorbeeldexamen voor 2018 gebruikt worden. Daarnaast kunnen eerder afgenomen pilotexamens een goed beeld geven van de te verwachten centrale examens vanaf 2018. Deze examens zijn geconstrueerd aan de hand van de werkversies van de syllabus bij het experimentele examenprogramma wiskunde B. Ook deze zijn te vinden op www.cve.nl.”

  18. JL: onder de kop “Karikatuur

    JL: onder de kop “Karikatuur van het wiskunde-onderwijs“: “We hebben denkactiviteiten nodig, want tot nu toe bestaat het wiskunde-onderwijs alleen maar uit het toepassen van algoritmen, waarbij niet nagedacht hoeft te worden” maar daarna wordt Paul Drijvers geciteerd: "Het is van belang dat in de les ook opgaven aan de orde komen die uitnodigen tot wiskundig denken. Dus niet alleen reproductie, of het probleem in deelstapjes opdelen zodat er niet gedacht hoeft te worden."

    Ik weet niet wie JL in het eerste citaat aanhaalt en wie “we” zijn, maar het is inderdaad een karikatuur om het “onderwijs tot nu toe” te karakteriseren zoals in dit citaat gebeurt.

    Het citaat van Paul Drijvers geeft met het gebruik van het woord “ook” en “niet alleen” aan dat het niet gaat om weggooien van oude schoenen, maar dat die wiskundige denkactiviteiten een duidelijkere plaats krijgen.

    Immers, wat Jos Tolboom in www.youtube.com/watch?v=0l9hrFHNw3Qlaat zien is wat we toch nooit anders gedaan hebben, ook vroeger niet. Het proces wordt blijkbaar nu geëxpliciteerd.

    Swellers: “We cannot plan a solution to a mathematics problem if we are unfamiliar with the relevant mathematics. Once we know enough mathematics, then we can plan problem solutions” blijkt uit elke VO-wiskundeboek. Je moet eerst het gereedschap leren hanteren voor je het echt kunt gaan gebruiken. Maar net zo min als een kind niet eerder mag gaan leren lezen en schrijven totdat hij alle lettertjes kent en woordjes kan spellen geldt ook voor wiskunde, dat je al snel met je kennis wat kunt gaan doen en kunt gaan leren waar en hoe.

    In de HBS-tijd vielen er te veel leerlingen bij wiskunde af door het te lang volgehouden abstracte van louter algoritmes. Kwadraatafsplitsen om het kwadraatafsplitsen en dat reproduceren op de repetitie, het was het perfecte dorre teaching to the test, toen. Maar laat ik niet vervallen in karikaturen, ik heb er toen veel van geleerd en ervan leren houden, wiskunde.

    Dat neemt niet weg dat er hier terechte kritische opmerkingen gemaakt worden over de relatie wiskunde-natuurkunde in het onderwijs. Voeg daar gerust de relatie wiskunde-economie aan toe. Alleen, het is niets nieuws en niet veroorzaakt door nieuwe examenprogramma’s of didactiek wat dan ook. Het is altijd al zo geweest ondanks verwoede pogingen van menie wiskunde- en natuurkunde-sectie op scholen om de kloof te overbruggen. 

  19. @kef

    @kef

    Deze opgaven zijn bedoeld ter illustratie van de specificaties, niet om het niveau aan te duiden. Deze opgaven zijn ontworpen voor de syllabus

    Als een verhaal veel woorden bevat kijk ik eerst naar de voorbeelden. Net als bij de referentiekaders van Anne van Streun in Staatsblad 2010 265 zie je dat de voorbeelden in de nieuwe examensyllabi niet deugen. Voor het filmpje geldt ook dat er veel woorden in voorkomen. Ook daar kijk ik naar het voorbeeld.

    Het modelleerverhaal begint met "de aarde is een bol en de kijker is een poppetje". In de toelichting wordt gesproken over eigenlijk modelleren: "de mens is geen poppetje". Lijkt me niet heel erg relevant. Het lijnstuk dat vervolgens genoemd wordt is in het plaatje geen lijnstuk. Afgezien daarvan is het plaatje correct. De toelichting suggereert dat deze basale observatie aan wiskundigen voorbehouden is, dat vind ik storend. De Pythagoras formule is vervolgens uiteraard correct. De manipulaties met die formule en het beantwoorden van de gestelde vraag worden daarna met woorden afgedaan waarbij het opzoeken van de straal genoemd wordt.

    Veel belangrijker in het vervolg is echter dat R veel groter is dan z en l en dat de algebraische manipulaties afgesloten worden met, na een ook niet genoemde schaling, een eenvoudige eerste orde benadering die eindigt met een kleine lengte keer de wortel uit tussen haakjes 1 plus een heeeeeel klein beetje.

    De vervolgvraag over kleuter versus volwassene heeft weinig met logisch redeneren te maken en veel meer met het kijken naar de resulterende doodsimple formule. Daarna wordt terugverwezen naar alle woorden die wat mij betreft grotendeels achterwege gelaten hadden kunnen worden en veelal open deuren en gemeenplaatsen betreffen.

    Het zal wel een kwestie van smaak zijn dat ik de luie stoel anecdote niet kan waarderen in dit verband. Ik vind dit filmpje ongeschikt voor een werkgroep met leraren. Met het voorbeeld kan veel gedaan worden, maar dan moet je eens met iemand praten VOOR dat je er een filmpje van maakt en je afvragen waarom je dat eigenlijk wil, en of dit nou de bedoeling was van de Google gelden die door de organsatie IMO2011 werden binnengehaald.

     

     

  20. @kef

    @kef

    Deze opgaven zijn bedoeld ter illustratie van de specificaties, niet om het niveau aan te duiden. Deze opgaven zijn ontworpen voor de syllabus

    Als een verhaal veel woorden bevat kijk ik eerst naar de voorbeelden. Net als bij de referentiekaders van Anne van Streun in Staatsblad 2010 265 zie je dat de voorbeelden in de nieuwe examensyllabi niet deugen. Voor het filmpje geldt ook dat er veel woorden in voorkomen. Ook daar kijk ik naar het voorbeeld.

    Het modelleerverhaal begint met "de aarde is een bol en de kijker is een poppetje". In de toelichting wordt gesproken over eigenlijk modelleren: "de mens is geen poppetje". Lijkt me niet heel erg relevant. Het lijnstuk dat vervolgens genoemd wordt is in het plaatje geen lijnstuk. Afgezien daarvan is het plaatje correct. De toelichting suggereert dat deze basale observatie aan wiskundigen voorbehouden is, dat vind ik storend. De Pythagoras formule is vervolgens uiteraard correct. De manipulaties met die formule en het beantwoorden van de gestelde vraag worden daarna met woorden afgedaan waarbij het opzoeken van de straal genoemd wordt.

    Veel belangrijker in het vervolg is echter dat R veel groter is dan z en l en dat de algebraische manipulaties afgesloten worden met, na een ook niet genoemde schaling, een eenvoudige eerste orde benadering die eindigt met een kleine lengte keer de wortel uit tussen haakjes 1 plus een heeeeeel klein beetje.

    De vervolgvraag over kleuter versus volwassene heeft weinig met logisch redeneren te maken en veel meer met het kijken naar de resulterende doodsimpele formule. Daarna wordt terugverwezen naar alle woorden die wat mij betreft grotendeels achterwege gelaten hadden kunnen worden en veelal open deuren en gemeenplaatsen betreffen.

    Het zal wel een kwestie van smaak zijn dat ik de luie stoel anecdote niet kan waarderen in dit verband. Ik vind dit filmpje ongeschikt voor een werkgroep met leraren. Met het voorbeeld kan veel gedaan worden, maar dan moet je eens met iemand praten VOOR dat je er een filmpje van maakt en je afvragen waarom je dat eigenlijk wil, en of dit nou de bedoeling was van de Google gelden die door de organisatie van IMO2011 werden binnengehaald.

     

     

  21. Dat de voorbeelden niet

    Dat de voorbeelden niet deugen is een ander verhaal dan dat de voorbeelden uit oud materiaal zijn gesprokkeld. 

    De pilotexamens bevatten nieuw materaal, dat ongetwijfeld in de ogen van de tegenstanders van deze ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs niet zal deugen, maar dat zijn niet de enige ogen die er op gevestigd zijn. Of de tegenstanders met hun opstelling en argumenten de ogen van die andere ogen zullen en kunnen openen blijft dan de vraag.

    Die pilotexamens hebben kunnen laten zien in hoeverre die nieuwe stijl opgaven deugden en inhoeverre de experimenteerdocenten en -leerlingen ermee overweg konden. 

    En wat in het filmpje wordt beweerd was niet mijn punt, het ging mij erom erop te wijzen dat de manier van benaderen van het probleem, de wiskundige denkaktiviteiten die er expliciet genoemd worden, niet van vandaag of gisteren zijn maar altijd al, misschien dan implicieter, bestonden. Zoals bij de blog over Henk Pfaltzgraff al opgemerkt inzake de vele oude examens die hij ons presenteert:  Die examens waren boordevol Wiskunde Denkactiviteiten.

    Om die strategie te ontwikkelen lijkt me geen verkeerd plan, volgens mij deden we dat als docenten eigenlijk altijd al wel op onze manier.

    In hoeverre het filmpje ongeschikt is voor een werkgroep met leraren? Misschien moet je dan eens met de leden van zo'n werkgroep gaan praten. Er zal ongetwijfeld wel met meerdere "iemand"-en gesproken zijn voor dat het filmpje gemaakt is, maar kennelijk met de verkeerde perso(o)n(en).  Ik begrijp althans dat FriendlyFoe er een heel ander idee over heeft, als hij zo'n filmpje zou gaan maken. Maar of datdcoenten dan beter zou helpen? We zouden dan wel mooi kunnen zien hoe hij zijn wiskundige activiteiten "denkt", misschien. 

  22. @kef Deze vind ik wel aardig,

    @kef Deze vind ik wel aardig, je schreef:

    Kwadraatafsplitsen om het kwadraatafsplitsen en dat reproduceren op de repetitie, het was het perfecte dorre teaching to the test, toen. Maar laat ik niet vervallen in karikaturen, ik heb er toen veel van geleerd en ervan leren houden, wiskunde.

    Is het niet wonderlijk? Het dorre teaching to the test (stampen) was kennelijk iets waar je veel van leerde. Kwadraatafsplitsen als doel ipv middel heeft uiteindelijk veel positievere effecten dan de GR als doel ipv middel. Er is echter geen kwadraatafsplitsfabrikant die promotieonderzoek of leerstoelen financiert. Zie daar de werkelijke reden voor het door het circuit gestuurde beleid van het bestuur met de voorzitter die overmorgen afscheid neemt.

  23. Beste @kef

    Beste @kef

    Je schrijft

    Dat de voorbeelden niet deugen is een ander verhaal dan dat de voorbeelden uit oud materiaal zijn gesprokkeld. De pilotexamens bevatten nieuw materaal, dat ongetwijfeld in de ogen van de tegenstanders van deze ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs niet zal deugen, maar dat zijn niet de enige ogen die er op gevestigd zijn. 

    Dat sprokkelen neem ik terug als dat je gelukkig maakt. Dat het nieuw materiaal is maakt de zaak alleen maar erger. Ik heb geen boodschap aan ontwikkelingen als ik de opgaven bekijk. De opgaven deugen inhoudelijk niet. Zullen we ze 1 voor 1 bespreken? Kies er maar 1 waarmee je wil beginnen.

    Vriendelijke groet, Joost

     

     

     
     
     
     
  24. Je berijdt met je

    Je berijdt met je stokpaardjes een ander circuit dan het parcours dat ik probeerde te volgen.

    Ik rijd die kant niet op, je zult me op jouw circuit hier niet terugvinden.

    Misschien komen we elkaar nog wel tegen op mijn parcours, als het wel gaat over het wel of niet deugen van opgaven en wie er wat van vindt en het wel en wee van wiskundige denkactiviteiten in heden en verleden.

     

  25. Mijn reactie van 21:01 was

    Mijn reactie van 21:01 was een antwoord op @FriendlyFoe 19:31, die van 19:53 was op dat moemnt nog niet zichtbaar.

    Wie bepaalt dat opgaven niet deugen? Jij en ik met z'n tweeën? Ik hoor het graag vanauit de kring van experimenteerscholen, die hebben er in de praktijk mee gewerkt. 

    Jouw mening is me wel duidelijk.

  26. Ik herhaal mijn vraag nog

    Ik herhaal mijn vraag nog maar even, u (FF) heeft deze misschien over het hoofd gezien:

    Wie is die door u bewonderde Meester van de Nederlands wiskundedidactiek eigenlijk? Welk boekje? U maakt mij nieuwsierig.

    Victor S.

     

     

  27. De gewraakte opgave uit de

    De gewraakte opgave uit de syllabus bevat de zinsnede:

    Op de grafiek van f(x)= 2^(x-3) + 3 ligt een punt met y = 16 waarin de helling van de grafiek 9,0 is.

    Eén van de vragen gaat over de heling in het overeenkomstige punt op de grafiek van de inverse functie van f.

    De voorbeeldopgave geldt ter adstructie van subdomein B4 vaardigheid 4: de eigenschappen van de inverse functie en haar grafiek interpreteren in een gegeven probleemsituatie.

    Op dit niveau had de helling beter gegeven kunnen worden als 13 ∙ ln 2 in plaats van de kennelijk als benadering bedoelde waarde 9,0. Dat kan een B-leerling ook zonder meer uitrekenen, maar dat was het doel van deze opgave blijkbaar niet.

    Het doel van de opgave ligt o.a. in het toetsen van het principe dat de helling bij de inverse functie het omgekeerde is van de helling van de oorspronkelijke functie.

    Dat er in de opgave expliciet staat dat 13 ∙ ln 12 = 0,9 dat lees ik er niet in. Dat had ik pas bedacht als er 9/10 als exacte breuk had gestaan. De formulering verdient daarmee nog geen schoonheidsprijs.

    Veel onoverkomelijker vind ik de beantwoording: 0,9 ^ -1 ≈ 0,11, te meer daar één van de principes bij het rekenen met decimale getallen lijkt te zijn, dat het antwoord afgerond wordt op hetzelfde aantal decimalen als in het gegeven.

    Er deugen dus inderdaad een aantal aspecten aan deze opgave en de beantwoording niet, maar dat de opgave in opzet niet deugt, ook gezien zijn doel, daar teken ik niet voor.

    In hoeverre de docenten van de pilotscholen hier wel of niet voor tekenen moet nog blijken. Het is geen opgave uit een pilotexamen. De syllabus is pas in juni verschenen.

    En of de makers niet weten waar ze mee bezig zijn? Ik heb daar geloof ik meer vertrouwen in dan FriendlyFoe. Maar dat is, denk ik, weer meer een kwestie van die stokpaardjes en de divergerende parcoursen.

    En we kunnen elk nog lang door blijven rijden, maar zo komen we elkaar niet meer tegen. Ik doe er verder ook geen poging meer toe.

  28. Het ontgaat kef dat met de y

    Het ontgaat kef dat met de y-waarde gegeven dit functievoorschrift ook de helling vastligt. Er is natuurlijk nog wel meer over deze opgave te zeggen. Twee tot de macht x-3 en dat plus 3, wie verzint het? Waarom een functievoorschrift als je toch de helling geeft. En waarom de 9,0? Dwaal- na dwaalspoor. Het is allemaal ruis. Deze opgave deugt niet. Hoe is mogelijk dat dit in een examensyllabus terecht komt? Volgende opgave graag.

  29. Geachte heer FF,

    Geachte heer FF,

     

    Ik vind het nogal vervelend dat u hierboven wel uitgebreid ingaat op wat ene "Kef" schrijft, maar geen antwoord geeft op mijn – toch nogal eenvoudige – vraag.

    Ik zal dan ook geen bijdragen aan deze discussie leveren. Beleefdheid lijkt mij niet uw sterkste kant.

     

    Victor S.

  30. Ik denk dat x = 3 + (2e) log

    Ik denk dat x = 3 + (2e) log (y – 3) en dan dx / dy = 1 / ((x – 3) ln 2) waarna de helling met y =16 dan 1 / 13 ln 2 ≈ 0,11 is, niet in de bedoeling van de opgave ligt als je leest wat er in de syllabus boven staat.

    Wat er mis is met de gegeven functie ontgaat me, maar het ging niet alleen om de helling maar ook om de asymptoot en wat daarmee bij de grafiek van de inverse gebeurt.

    En over die 9,0 hebben we het al gehad, geen erg exacte manier van formuleren van een gegeven in het kader van wis B.

    Maar goed, jij vindt dat die opgave niet deugt, ik denk daar anders over. Een volgende vraag stel ik niet aan de orde, het wordt een herhaling van zetten.

    Misschien kun je wat betreft deze opgave een alternatief formuleren waarin de volgens de syllabus bedoelde aspecten getoetst worden?

    Wat betreft die ongelijkheden: de eerste methode is conform de stappen die overal bij ongelijkheden worden gevolgd bij wiskunde in de TF, ook als het niet zou kunnen gaan zoals bij het tweede voorbeeld. Ik vind de greep naar de GR niet erg exact. Het tweede voorbeeld is eleganter inderdaad, maar ja, als 0 < g < 1 dan wordt natuurlijk vaak vergeten dat het teken omklapt, niet elke vwo-er is een nerd. De eerste methode biedt meer “bedrijfszekerheid”, van mij mag er dan ook op grond van g > 1 geconcludeerd worden dat hier het ongelijkteken niet omklapt (stijgende functie). Wat zeggen docenten van het VO van de ene tegenover de andere aanpak?

     

     

  31. kef: “Het tweede voorbeeld is

    kef: "Het tweede voorbeeld is eleganter inderdaad, maar ja, als 0 < g < 1 dan wordt natuurlijk vaak vergeten dat het teken omklapt, niet elke vwo-er is een nerd."

    Als je leraar bent dan hoop ik dat je in de klas wat beter op je woorden past.

     

  32. Beste mark79. Ik pas op mijn

    Beste mark79. Ik pas op mijn woorden, ik gebruikte het woord "nerd" niet om negatief te willen zijn, maar het schoot me te binnen na de zin "Deze leer­ling krijgt een punt en de nerd niet" in de vorige WiskundE-brief door Guus Balkema gebezigd. Als leraar zou ik trouwens beide voorbeelden van FriendlyFoe behandelen, en ik denk dat vele docenten dat wel doen.

  33. @kef. Weet jij hoe het zit

    @kef. Weet jij hoe het zit met die experimenteerscholen? En wat bepaalt of een examen geslaagd is? Ik zorg dat je het stuk van Balkema krijgt. Vriendelijke groet, Joost

     

     

  34. De pilotscholen zijn wel te

    De pilotscholen zijn wel te vinden op www.fi.uu.nl/ctwo/ ik denk o.a. in het eindrapport.

    Kijk ook op www.betanova.nl (en misschien interessant voor je: Eindverslag van Werkgroep afstemming Wiskunde – Natuurkunde maar dat zal misschien geen genade in jouw ogen vinden).

    En wat bepaalt of een examen geslaagd is? Een bijna rethorische vraag. Misschien moet je bij het LAKS wezen of anders bij fora waar de examens onder het mes genoemen of aan de kaak gesteld worden. Euclides geeft elk jaar een examennummer uit met examenrecensies, misschien komen de pilotexamens daarin ook aan bod, moet ik even opzoeken.

    Guus Balkema schreef iets over een  examenopgave in de vorige WiskundE-brief, dat heb ik ook gelezen. De laatste brief bevatte nog geen follow-up over zijn kwestie. 

    Ik kijk nog uit naar je alternatief voor die opgave over "de eigenschappen van de inverse functie en haar grafiek interpreteren in een gegeven probleemsituatie".

     

  35. Alternatief? Je zou kunnen

    Alternatief? Je zou kunnen denken aan opgaven van deze aard, al of niet ingekleed.: de natuurlijk logaritme is per definitie de primitieve functie van x -> 1/x die in x=1 gelijk is aan 0. Gebruik de inverse functie stelling om een differentiaalvergelijking voor de inverse functie af te leiden.

  36. @ 13. november 2014 – 18:05 |

    @ 13. november 2014 – 18:05 | FriendlyFoe

    De inverse functie stelling is voorzover ik weet geen VWO stof en differentiaalvergelijkingen zijn dat voorzover ik weet ook niet. Dat is overigens (weer voor zover ik weet) al een hele lange tijd zo.

  37. Differentiaalvergelijkingen,

    Differentiaalvergelijkingen, was iets daarvan niet een onderwerp bij wiskunde B1,2 (van voor de vernieuwde TF, continue dynamische modellen) en komt het nu weer voor bij wiskunde D? 

    Misschien heeft FriendlyFoe een alternatief dat binnen het huige wiskunde B VWO past? Geen schets maar een complete opgave.

  38. @kef

    @kef

    Je hebt gelijk. Differentiaalvergelijkingen was een onderwerp in wiskunde B2, maar een onderwerp dat niet op het centrale examen werd getoetst. En Wiskunde D heeft helemaal geen centraal eindexamen.

     

    @FriendlyFoe

    Differentiaalvergelijken en de inverse functie stelling komen beiden niet in de syllabus voor Wiskunde B voor.

  39. @kef

    @kef

    De inverse functiestelling zit in het nieuwe programma zo te zien. Daarmee kun je differentiaalvergelijkingen afleiden. En die hoeven daarvoor helemaal niet in het programma te zitten. Het woord hoeft niet eens te vallen. Een opgave van dit type kan eindigen met: laat zien dat de functie y(x) gedefinieerd door ……. voldoet aan y'(x)=y(x).  Varianten genoeg te bedenken met simpele functies.

     

  40. De afgeleide van de inverse

    De afgeleide van de inverse functie komt zeker wel voor @mark79. Pagina 25 van de nieuwe Wiskunde B syllabus. Opgave 8b (met een gegeven te veel) vraagt om de afgeleide van de inverse functie in een punt. Ik hang de opgave als ln2.pdf onder de draad.

  41. 13. november 2014 – 17:44 |

    13. november 2014 – 17:44 | FriendlyFoe

    Welke verhoudingstabel, welke pagina, waar ben je dan aan toe, welk circuit? Welke natuurkundedocenten, hoe ligt dat bij hun vakorganisatie? Hoe denken die erover? 

     
  42. @FriendlyFoe

    @FriendlyFoe

    In de link naar de syllabus die je geeft is Subdomein B4 "inverse functies". Daar staat de inverse functie stelling niet tussen. De enige voorbeeldopgave in de syllabus over dit subdomein lijkt er inderdaad wel van uit te gaan dat de leerling de inverse functie stelling kent.

    In de syllabus staat wel: "De kandidaat kent: de voorwaarden waaronder een functie een inverse functie heeft." Zullen ze hier dan de inverse functie stelling mee bedoelen? Als iemand mij zou vragen wat de voorwaarden zijn waaronder een functie een inverse functie heeft dan zou ik niet als antwoord de voorwaarden van de inverse functie stelling geven. Mijn antwoord zou zijn: "de functie moet injectief en surjectief zijn". Ook hier krijgen de syllabusmakers het lijkt het niet voor elkaar om duidelijk en eenduidig te zijn.

  43. @mark79 Precies, daar had ik

    @mark79 Precies, daar had ik het nog niets eens over. Totaal onduidelijk was ze bedoelen, omdat ze dat zelf niet goed weten ook vrees ik. Maar aangenomen dat er iets zinnigs geformuleerd zou staan, dan nog komt de vraag wat voor opgaven je doet. En de commissie kiest voor een onzinopgave met de vervuiling met kommagetallen. Alles gefixeerd op een uitkomst die een kommagetal moet zijn dat uit de GR komt. Zin- en doelloos. Ik pleit voor een andere type opgave. Zoals gezegd, mogelijkheden zat. 

     

    @kef Ik heb nu zoveel van die stukken gezien dat me nu even de moed ontbreekt ook dit weer te bekijken. TZT. Maar de fixatie op de verhoudingstabel (weer zo'n Van Streun middel dat doel geworden is, ook bij scheikunde) blijkt uit 15 hits bij search op. Wie van de betrokkenen weet wat van natuurkunde? 

  44. @kef Meer over de

    @kef Meer over de verhoudingsstabellen hier: www.few.vu.nl/~jhulshof/TAL.pdf&nbsp;

    Goed te zien is hoe de laatste stap bij dit hulpmiddel ook door de RR-kerk juist niet gemaakt wordt. Vervolgens vonden Van Streun en het FI elkaar in de expertgroep, met alle en veel verder dragende desastreuze gevolgen van dien, gebaseerd op de flauwekul in het Staatsblad (2010 265). De rekenramp en de rekentoetsellende hebben als grote gemene deler algemeen gedeelde geloof:

    www.few.vu.nl/~jhulshof/17.pdf

    RR in alle exacte vakken was de volgende stap:

    www.beteronderwijsnederland.nl/forum/rekenbewust-vakonderwijs-op-de-studiedag-van-de-nvvw

     

  45. Ik zocht naar een fysieke

    Ik zocht naar een fysieke verhoudingstabel, maar FriendlyFoe refereerde aan 3.2  Thema Evenredigheid (blz. 25 t/m 28) van het Eindverslag afstemming wis-na. Ik kon me vinden in de aanbevelingen 16 en 17. Verder wil ik niet ingaan op verhoudingstabellen en houd ik me buiten de didactische oorlog die kennelijk woedt over dit onderwerp, gezien ook de strijdbare taal die FriendlyFoe gebruikt.

    De vraag blijft hoe er in de kringen van natuurkundedocenten is gereageerd op dit eindverslag, de aanbevelingen (die me alleszins zinvol en werkbaar voorkomen) en natuurlijk hoe er over de in deze blog gedane kritiek wordt gedacht. Vooral de laatste post van FriendlyFoe bevat wel veel links naar steeds dezelfde eigen bronnen. Het lijkt me redelijk om ook anderen hierover te horen.

    Wat betreft inverse functies, in een VWO wis B-boek van G&R kwam ik als definitie tegen: “Functies f en g met de eigenschap  dat hun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies” en daarmee worden dan vervolgens logaritmes en cyclometrische functies ingevoerd. Verder wordt er niets met het begrip inverse functie gedaan, het valt ook niet onder de leerstof.   Van de cyclometrische functies worden ook afgeleiden bepaald, met een kennelijk impliciet beroep op de inverse functiestelling.

    De definitie leek mij op dit niveau wel bruikbaar. Ik heb vroeger in het VO de wiskunde ook niet zo exact geleerd als later op de universiteit.

    In de nieuwe syllabus staat dat een leerling de inverse van een functie begripsmatig hanteren, opstellen en gebruiken kan. Dat lijkt me niet al te diepgaand bedoeld, mede gezien wat hij ermee zou moeten kunnen aan kennis en vaardigheid, zoals daar genoemd.

    In het nieuwe deel 1 wis B (11e editie) wordt bijna eenzelfde definitie gebruikt en in eerste instantie toegepast op tweedegraadsfuncties met beperkt domein.

    Wat betreft de syllabi, als ik die voor de huidige wiskundevakken zie en vergelijk met de stof in de boeken van nu dan betreffen de omschrijvingen van de (sub)domeinen slechts summiere, globale, algemene beschrijvingen van wat uitgebreid, grondig en degelijk uitgewerkt in de boeken voorkomt. Dus afwachten hoe het allemaal verder uitpakt, dacht ik. Ik voor mij trek dus niet die vergaande conclusies uit de syllabi op zich. Het pilotmateriaal van de experimenteerscholen zou meer kunnen zeggen.

    En dan die opgave 8 uit de syllabus vwo wis B. In Subdomein B4 Inverse functies komt volgens mij  niets voor over de afgeleide bepalen (tenzij het natuurlijk een inverse  functie is die valt onder C2) bijv. op grond van de inverse functie stelling, natuurlijk onverkort van wat er in C2 staat. (Ook) onderdeel 8b doelt volgens mij op de eigenschappen van de inverse functie en het interpreteren van haar grafiek in een gegeven probleemsituatie en vraagt dacht ik niet dus om het bepalen de afgeleide van de inverse functie, op welke manier dan ook. Het gaat om de afgeleide waarde in een punt (a,b) op grond van de eigenschap:

    f inv ‘(b) = 1 / f ‘(a).

    Een compleet degelijk volledig alternatief voor deze opgave die past binnen de domeineisen (en binnen de tijd die een docent in de klas aan deze stof kan besteden) houd ik nog tegoed. het blijven wat vage schetsen die ik tot nu toe zag.

     

  46. Je hebt de opzet van opgave

    Je hebt de opzet van opgave zelf al gegeven @kef met 

     

    Het gaat om de afgeleide waarde in een punt (a,b) op grond van de eigenschap: 

    f inv ‘(b) = 1 / f ‘(a).

    Neem een simpele functie naar keuze. Of een rijtje functies. En noem het punt niet (a,b) maar (x,y).

    Even zoeken op web vond ik een manier die ik niet in gedachten had maar die wel aanvult:

    www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivatives-inverse-functions/v/derivative-inverse-sine

     

     

     

     

     

  47. Zoals gezegd @kef, ik heb het

    Zoals gezegd @kef, ik heb het rapport nog niet gelezen maar verwijzingen naar experts als www.dub.uu.nl/de-werkplek/2013/06/18/ontwerpstudio-monica-wijers.html beloven weinig goeds. Heb jij in www.fi.uu.nl/ctwo/publicaties/docs/2008-09-16EindverslagWiskNat.pdf iets gezien dat wijst op bekendheid met zaken die in www.cyberphysics.org/wwilson/Talks/DA_Talk.ppt worden behandeld?

     

    Nog even wat betreft inverse functies, ik kan me prima vinden in de spiegelbeelduitleg. Daarna is het bepalen van afgeleides van inverses een leuk spelletje waar niet meer begrip voor nodig is dan voor de door mij gewraakte opgave. En aan de informatie die uit het rijtjes standaard voorbeelden komen heb je nog wat ook. Hier is nog een verwijzing naar een eigen bron. Heeft in Euclides gestaan. Enjoy: www.few.vu.nl/~jhulshof/2x.pdf&nbsp;

     

    Misschien vind je trouwens de twee readers hier wel leuk:

    www.few.vu.nl/~jhulshof/nascholinglinks.php

  48. Het zou ongetwijfeld een

    Het zou ongetwijfeld een leuke uitbreiding van de stof betekenen die jij hier voorstaat inzake inverse functies en differentiëren, maar blijkbaar is dat niet de bedoeling van het nieuwe curriculum VWO wiskunde B en valt de toepassing die jij als alternatief ziet voor die opgave 8 buiten de boot. Kun je spijtig of onterecht vinden maar daar doen wij in deze blog niet veel meer aan.

    Ik heb die opgave 8 bekeken vanuit de opstelling om binnen de boot van het curriculum te blijven. En dan vind ik hem dus, naast de kritiek die ik er ook op heb (die 0,9) beter geslaagd dan jij, zo is nu wel duidelijk naar voren gekomen. 

    Dat verhaal over Wijers lijkt me meer gooien met modder dan dat het inhoudelijk ergens over gaat, over dat eindverslag zeker niet en wat natuurkundedocenten ervan denken ook niet. 

    En je zult wat betreft Wilson ook maar bij hen te rade moeten gaan en hen vragen of dat past in de bedoelingen en de opzet van het na-curriculum, ik kan je daar geen antwoord op geven. Ik denk eigenlijk dat hier hetzelfde geldt als wat ik zei over mijn wiskunde in het VO en hoe dat zich onderscheidde van de exacte aanpak op de universiteit.

    Ik denk niet dat de samenstellers van dat eindverslag zulke domme jongens zijn en niet bekend zouden zijn met wat Wilson hier aan de orde stelt. Maar vraag het hen zelf, hun namen staan in het rapport.

    Ik zal je readers lezen.

    Verder denk ik dat we met onze gedachtenuitwisseling nu wel rond zijn. Dus ik sluit hierbij af.

  49. Nee, de opmerking over Wijers

    Nee, de opmerking over Wijers heeft betrekking op een bewuste keuze voor een rol voor niet inhoudelijk deskundigen en misleidende informatie over die deskundigheid. Gezien www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2010-11-4-261.pdf en het Wiskunde Vakbekwaam is ook dit weer geen incident. Ik heb al uitgebreid met een van de andere hoofdrolspelers gesproken over de rol van dimensies. Onder www.beteronderwijsnederland.nl/content/wizwijs schreef ik over het huiswerk dat ik op kreeg en braaf gemaakt heb. Betreft o.a. een vliegtuigsom. Henk wuifde dit vervolgens allemaal weg als niet relevant.

  50. Teruglezend vermoed ik dat

    Teruglezend vermoed ik dat enkele reacties hierboven van @kef niet van hem/haar waren maar door iemand anders die dezelfde werkplek gebruikte. Eerder was er daardoor verwarring rond e-mail die ik mocht ontvangen. De andere gebruiker/afzender is Erik Korthof, voormalig twitteraar voor het bestuur van de NVvW, die ook elders op mijn bijdragen reageert: aowiskunde.blogspot.nl/2015/01/wiskundige-denkactiviteiten-een-filmpje.html

Geef een reactie