In de publieke discussie over het rekenonderwijs wordt de leraren het vermogen toegedicht om dat rekenonderwijs weer uit het slop te halen, als ze daar maar adequaat voor worden opgeleid en ondersteund. Zie bijvoorbeeld het rapport van de KNAW-commissie. Het opvallende van dergelijke pleidooien is dat het meestal NIET gaat om het toerusten van leraren om goed onderwijs in de basale rekenvaardigheden te geven, met als het kan nog iets meer. De Stichting Goed Rekenonderwijs is hier de uitzondering, natuurlijk. De meeste verhalen, ook die van de KNAW-commissie, beklemtonen dat leerlingen vooral probleemoplossers moeten worden, dat ze wiskundig moeten leren denken, dat het gaat om het begrijpen van het rekenen, niet zozeer om het correct kunnen rekenen. Kortom: wat wordt uitgedragen is veelal een of andere vorm van reform-rekendidactiek. En dat is een didactiek voor hoogvliegers.
In de rekendiscussie is het vanzelfsprekend om te kijken naar het rekenen van de leerlingen, niet naar dat van hun leraren. Maar het streven om van althans een deel van de leerlingen rekenwondertjes te maken — wish it could succeed — heeft natuurlijk ook gevolgen voor de leraren: die moeten zelf ook van die rekenwonders worden. Dat is immers een noodzakelijke voorwaarde voor succes.
De vraag die zich steeds sterker aan mij opdringt is nu de volgende. De idealen van de reformdidactiek zijn ook voor leraren onbereikbaar. Het kan bijna niet anders of onder deze omstandigheden moeten veel leraren ook weten dat ze aan die idealen niet voldoen, en dus eigenlijk niet kunnen rekenen zoals het volgens de rekenideologen moet. Rekenen is misschien wel heel moeilijk. Met het fenomeen van ‘Pygmalion in the classroom’ in het achterhoofd, ontstaat het bange vermoeden dat leraren op subtiele wijze en volkomen onbedoeld op hun leerlingen het idee overdragen dat rekenen heel moeilijk is. Als dit waar is, laten de gevolgen zich raden. Of draai dat om: het zou kunnen dat de huidige beroerde rekenresultaten, zeker voor de minder presterende groep leerlingen, mede in de hand zijn gewerkt door negatieve verwachtingen.
Ik ken (nog) geen onderzoekliteratuur dit dit mogelijke fenomeen direct heeft onderzocht. Wie kent wel dergelijk onderzoek? Wie kan ervaringen melden die relevant zijn voor dit pygmalion-vermoeden?
Een eerste aanwijzing is dat rekenen echt niet moeilijk is: iedereen kan leren rekenen.
Natuurlijk
Bij rekenen (en ook bij wiskunde) speelt op allerlei niveau’s mee dat het vak zogenaamd erkend moeilijk is. Dus is het begrijpelijk dat je het niet kan, begrijpelijk dat je leerlingen het niet kunnen en ook erg begrijpelijk dat je het zelf niet kunt uitleggen, Iedereen heeft een geweldig excuus er geen reet van terecht te brengen, en hoe meer mensen dat vreselijk ingewikkelde vak niet beheersen, hoe beter het excuus. Gaan we naar de haaien, dan gelukkig wel met z’n allen.
Laaiend word ik ervan omdat ik uit eigen ervaring weet, dat als je het bij uitleggen en oefenen houdt, dat ook leerlingen die in het verleden de ene na de andere frustratie hebben opgedaan, in staat zijn tot zeer aanvaardbaar rekenen en zelfs wiskunde. Ik heb het dan over het uitvoeren van vaardigheden, het volgen van een aantal reken/wiskunde recepten. Niks reflecterends, nergens eis ik begrip. Maar ik herhaal keer op keer dat ze nu eenvoudig hebben ingezien dat ze het wel KUNNEN. En dat geeft een sfeer die ongekend is.
Het goed gebruiken van de realistische didactiek is zelfs in een ideale situatie voor een hoog opgeleide leerkracht die goed kan rekenen en de realistische sommetje leuk vindt, erg lastig. Probeer maar eens een klassegesprek te leiden waarbij ook kinderen met verkeerde concepten mogen vertellen hoe ze hebben bedacht een som op te lossen.
Kijk maar eens naar de erbarmelijke uitleg bij de wetenschapskwis, waarbij iedereen zijn eigen oplossingkje mocht vertellen. Ik denk dat elk van de antwoorden van de vragen veel en veel helderder uitgelegd zou kunnen worden. Tenenkrommend de realistische uitleg van het vriendenprobleem op faceboek (met echte vrienden en linten die relaties aangeven) of de witte/zwarte bonbonnetjes. Vragen die al weken bekend waren en waarvoor alles uit de kast gehaald kan worden, worden zo onbenullig uitgelegd. Ik denk dat de presentatoren bij de helft van de vragen hun eigen uitleg niet snapten. Bah!
WQ
Gerard,
Even over de WQ: het is een proefjes-spektakel. Dat is geen wetenschap. Teveel vragen hebben helemaal niets wetenschappelijks: de wetenschap komt pas NAt de beantwoording door de deelnemers. En inderdaad, er worden lesjes opgezegd, ook nog eens een keer zo dat iedere kijker de indruk krijgt dat toch nooit te kunnen begrijpen. Deze quiz is bepaald geen aansporing om in je verdere leven iets wetenschappelijks te gaan doen. Dat blijkt ook uit de onmogelijkheid voor het wetenschapsteam om een goede score op deze triviant-vragen neer te zetten. Ieder team scoorde 20 goed uit 45, bij driekeuzevragen. Dat is waarschijnlijk niet significant beter dan kans, terwijl Spinoza-prijswinnaar Peter Verlinden nog wel op enkele natuurkundige vragen uitstekend scoorde door het juiste antwoord goed te beredeneren.
Ik heb al vele jaren een pagina over de actuele WQ, voor dit jaar:
www.benwilbrink.nl/projecten/wetenschapsquiz2011.htm.
Ik heb er vandaag, voorafgaand aan de WQ, nog aan gewerkt, en het viel me op dat voor veel vragen geldt dat de wetenschap pas achteraf als een duveltje uit een doosje te pas komt. Ik ben dat dus ‘kiekeboe’-vragen gaan noemen.
Ik heb contact met NWO over de quiz, kansje dus dat het volgend jaar beter wordt: de uitdaging om op een wetenschappelijke manier naar de wereld te kijken moet al in de vraag zelf evident aanwezig zijn. Niet achteraf in een show waarin alle gekkigheid, van schaamhaar tot menselijke bliksemafleider, is toegestaan.
De link met de vraag in mijn blog is wel duidelijk: de WQ zet een beeld neer van wetenschap als iets dat voor gewone mensen onbereikbaar is, en op zijn best als show valt te genieten. Zoiets is ook met het rekenonderwijs gebeurd, dat zo enorm is gemystificeerd dat teveel mensen menen dat ouders zich maar beter niet meer met het rekenen van hun kinderen kunnen bemoeien. Wat natuurlijk van de gekke is.
Opgegeven!
In dit verband is ook het volgende relevant (De Onderwijsbubbel, p. 139)):
In de Volkskrant (21 maart 2009) beschrijft oud-inspecteur Hans van Dael zijn bezoek
aan een willekeurige Amsterdamse school: ‘Daar heeft 65 procent van de
leerlingen een achterstand van een à twee jaar met rekenen. Ik heb achterin een klas
gezeten, en dan zie je dat een aantal kinderen helemaal niets doet. Die zijn opgegeven.
De leerkracht zie je worstelen. Hij geeft een som op en de leerlingen gaan door
elkaar heen roepen wat voor oplossingsstrategieën er allemaal mogelijk zijn. Sommige
leerlingen komen met zulke bizarre oplossingen, die leerkracht begrijpt niet eens wat er
allemaal gezegd wordt. Slechts op een paar leerlingen kan hij ingaan.’ Van Dael vat
samen: ‘Ik heb een rekenles gezien met rendement nul, maar de leerkracht heeft zich
het schompes gewerkt.’
Bekend stukje 😉
Mooi artikel dat je daar aanhaalt Ben!
Inspectie
Toch moet een hedendaagse inspecteur het interactieve gebeuren goedkeuren en een goede les met luisteren en sommen maken, gevolgd door uitleg afkeuren.
Een groot deel van de problemen in het onderwijs is veroorzaakt door deze domme richtlijnen van de inspectie.
Prettig
om op dit forum weer even iets te lezen wat met de dagelijkse basisschool realiteit te maken heeft. Hier gaat het namelijk over. Goedwillende juffen en enkele onderwijzer die geconfronteerd worden met steeds meer onhandelbare leerlingen.
Ga zo door BON. Weg met wsns en passend onderwijs,
Groet, Leo.
De zwakke rekenaar van ooit
Deze rekenaar had meer vaardigheden tot zijn/haar beschikking dan de zwakke rekenaar van de 21ste eeuw.
De zwakke rekenaar kon breukenbewerkingen maken die de moderne leerling niet kan maken. Die moderne leerling kent slecht een paar breuken maar kan er nauwelijks mee werken en blijkt tevens nauwelijks inzicht te hebben gekregen.
Het vak rekenen verloopt in fases waarbij oude leerstof moeilijker wordt, maar waar bij nieuwe leerstof weer met eenvoudige getallen wordt gewerkt. Bij die nieuwe leerstof is er weer alle kans voor de zwakkere rekenaar zolang hij/zij de bewerkingen onder de 100 goed beheerst.
Ook het cijferen bood (biedt) alle kansen voor de zwakkere.
Maar een som als 134 min 79 blijft m.i. moeilijk als die uit het hoofd moet worden uitgerekend (althans, ik moet daar nog steeds goed over nadenken), evenals b.v. het omzetten van oppervlakte- en inhoudsmaten.
Ik denk dat, hoe meer denkstappen (stappen die noodzakelijk uit elkaar volgen) een som verlangt, hoe moeilijker sommen zullen zijn, en dat voor sommigen waarschijnlijk een leven lang.
Voorbeeld: ml, cl, dl en l.
Een les voor groep 6/7. De kinderen werken in groepjes van twee tot vier en gaan verbanden leren zien tussen deze maten.
Er zijn emmers, maatbekers en lepels verzameld en allerlei lege verpakkingen die water kunnen dragen.
Er is ook een liedje bij.
Kinderen mogen nu vrij experimenteren met de hoeveelheden water en moeten verbanden noteren: in een fles gaat b.v. 100 cl en dat is hetzelfde als een liter; 20 dl maakt ook een liter enz.
Leerlingen moeten elkaar vertellen wat zij al doende ontdekken.
Bij de nabespreking maakt de leerkracht een tabel op het bord die laat zien dat we met oplopende hoeveelheden te maken hebben waarbij de onderlingen verhoudingen duidelijk worden.
De eindvraag is dan of leerlingen kunnen schatten hoeveel water er in een emmer past.
U begrijpt, zo’n les wordt een grote kliederpartij maar er wordt wel veel ervaren.
Kunnen de kinderen nu sommen over inhoud maken? Dat niet. Zulke sommen blijven ‘een andere wereld’.
Nog een mooie les
Een andere mooie les over ‘inhoud’.
Leerlingen moeten ontdekken hoeveel potgrond er voor een bloembak nodig is.
Aan de hand van de MAB-kist (een kist met houten staafjes, plakken en kubussen, allemaal verdeeld in eenheden) kun je laten zien dat de dm3 kan worden uitgerekend door eerst de oppervlakte van 1 laag uit te rekenen (10 staafjes van 10), waarna we de hoogte in gaan: weer keer 10 (10 plakken op elkaar immers).
Zo ‘ontdekken’ we dan lxbxh.
Gaan we bij de bloembak hetzelfde doen en komen we tot 20.000 cm3.
Maar hoeveel liter is dat?
We laten zien dat een liter net zo veel is als een dm3: schenk een literfles over in een dm3 bakje. Verbazing alom.
Nu moeten we zien te ontdekken hoeveel dm3 die bloembak is.
Een zeldzame slimmerik stelt voor de bloembak in decimeters op te meten. Grandioos.
Komen we nu tot 20 dm3, wat dus 20 liter is .
de zak potgrond bevat 10 liter en dus hebben we 2 zakken nodig.
Het is begrepen en in vind het een mooie intruductie.
We kunnen nu sommen aanbieden die over de moeilijkheid cm3 omzetten in liters gaan. En al werkende ‘ontdekken’ de kinderen de handigheid 3 nullen te verwijderen bij het omzetten van cm3 naar dm3.
Ze ontdekken een trucje!
Dat trucje houden ze vast.
Want ze zijn niet in staat bij elke som de hele bovenstaande redenering weer in herinnering naar boven te halen.
Als we elk rekenprobleem op deze manier willen introduceren, verliezen we heel veel oefentijd.
Als we zien hoe kinderen snakken naar het ontdekken van een trucje, kan men zich afvragen of het direct aanbieden van de regel niet effectiever zou zijn geweest.
Ik herinner mij nog goed uit de eigen schooltijd hoe de onderwijzer bij breuken steeds weer begon te tekenen op het bord. Toen ik de tekeningen zag, begreep ik het. Maar als de sommen kwamen, waren de tekeningen alweer vergeten en sloeg de onwetendheid toe. Dat hebben veel kinderen, zo heb ik ervaren.
Zolang je nog bezig bent met
Zolang je nog bezig bent met knippen/plakken/kleuren e.d. is het voor de leerlingen niet zo moeilijk. Oppervlakte tekenen op ruitjespapier, op het schoolplein een vierkante decameter maken van krantenpapier, een hectometer lopen, een bakje vouwen van ruitjespapier om met blokjes van kubieke cm. de inhoud te bepalen enz, dat is allemaal te doen.
De moeilijkheden ontstaan zodra een verband moet worden gelegd met de droge sommen. Dat blijkt slecht te werken. Voor de meeste kinderen blijven dat twee gescheiden werelden: de praktijk en de abstracte som.
En al helemaal natuurlijk als de abstracte sommen grotere getallen krijgen.
Rekenen moet geen praatles worden; we verdoen te veel tijd met praten en redeneren. Tijd die besteed had beter kunnen worden aan oefenwerk.
Er wordt al meer dan genoeg gepraat in het onderwijs.
Of er sprake is van een Pygmalion-effect?
Je kunt zwakke rekenaars ver brengen door veel te oefenen en door het aanleren van automatismen.
Maar in hoeverre verwachtingen een rol spelen, daar valt in het algemeen geen verstandig woord over te zeggen dunkt me. Dat lijkt vooral een persoonlijke kwestie.
Pygmalion
Ben,
een aardig artikel over het P-effect heb ik HIER gezet.
Willem Smit
Pygmalion en Rosenthal
Inderdaad is ‘Pygmalion in the classroom’ een boek uit 1968 over een reeks experimentele studies in het onderwijs. Ik heb er zelf altijd ‘experimenter effecten’ bij in gedachten. Mijn eerste kennismaking daarmee was in een college van Linschoten, in het studiejaar 1963-1964. Onder andere over experimenten van Rosenthal (dezelfde als die van Pygmalion) met studenten-proefleiders als proefpersonen. De proeven van de studenten waren met ratten (zo hoort dat in een psychologisch lab in de tijd van het behaviorisme), de experimenten van Rosenthal waren met de proefleiders van die rattenexperimenten. Een soort Blooker’s cacaomeisje. Maar misschien was het wel simpeler. De crux: sommige studenten-proefleiders hadden lievelingsratten, wisten wat de bedoeling van de experimenten was, en waarachtig: de lievelingsratten presteerden beter op die doelen. Of zoiets. Het is na te lezen bij Linschoten: zijn fantastische boek Idolen van de psycholoog (1964) staat integraal (hopelijk nu ook weer met de afbeeldingen) op dbnl.nl. Wie deze website nog niet kent: maak er kennis mee. Fantastisch. De passage over Rosenthal en zijn rattenexperimenten: blz. 172 en volgende.
Het enige dat ik ermee bedoel is: leraren die zelf het idee hebben dat rekenen moeilijk is, brengen dat idee mogelijk over leerlingen, geheel onbedoeld en onopzettelijk, en gaan mogelijk mee met het idee dat sommige leerlingen waarschijnlijk niet in staat zijn om behoorlijk te leren rekenen, waaronder ook Jan, Piet en Marie. Dat is geheel analoog aan de ‘experimenter effects’ van Rosenthal. Het is anders dan de door Heather Hill en de haren onderzochte effecten van gebrekkige rekenkennis van leraren.
Sommig rekenen is bedrog?
Op Elsevier kunnen we lezen hoe het huurwaardeforfait wordt opgehoogd: van 0,55% naar 0,60%.
Elsevier noemt dit een verhoging van 10%. Dat is schrikken voor de burger.
Maar is het niet gewoon een verhoging van 0,05%?
Want beide percentages worden geheven over de waarde van de woning.
Elsevier lijkt de beide percentages met elkaar te vergelijken en stelt dan dat de verhoging van 0,05% , 10% van 0,55% extra is.
Is dat niet misleiding?
je moet toch echt 10% meer betalen dan daarvoor
Om deze misverstanden te vermijden hebben ze het begrip procentpunt bedacht. Zie wiki
Help de percentages de wereld uit,
om te beginnen uit het rekenonderwijs.
En toch …
Inderdaad, zo’n niet gedefinieerd begrip zorgt voor allerlei ellende. Toch denk ik dat het ons eerder lukt om CGO de wereld uit te krijgen dan de procenten.
En van dat cgo heb ik veel meer last dan van die procenten.
Of leer iedereen het
Of leer iedereen het verschil tussen procent en procentpunt, zo moeilijk is dat toch niet. Ik overdrijf niet wanneer ik zeg dat economieleraren er vroeger in slaagden om dat aan MAVO-leerlingen uit te leggen, het geeft te denken dat nu veel ´hoger`opgeleiden er moeite mee hebben.
innovatieve gedachte
Als we bedenken dat het bij het huurwaardeforfait gaat om een toeslag op het belastbaar inkomen, wordt het percentage ophoging t.a.v. de te betalen belasting nog geringer.
Het lijkt aardig goochelen als het om percentages gaat.
Kabinet verhoogt huurwaardeforfait met 0,05%-punt,
zou dus een betere kop zijn geweest. En minder paniekerig.
Vervolgens kon worden uitgelegd dat de burger in absolute geldbedragen 10% meer dan vorig jaar zal gaan betalen, b.v. 1200 euro i.p.v. 1100 euro (hoewel dat een benadering lijkt).
10 procent van 0,55%
is 0,055% en niet 0,5%. Een verhoging van 0,55% naar 0,60% is dus iets minder dan een verhoging met 10%. Om precies te zijn, het nieuwe tarief is 1/11 (een elfde) meer dan het oude tarief (bij gelijk gebleven waarde van het huis), en 1/11 (een elfde) is minder dan 1/10 (een tiende).
10 of 9 procent is veel
Het zal me worst wezen of het 10 of 9 procent is. Dat het afgerond 9,166.667 procent is, weten we allemaal, en anders “weten” de rekenmachine en excel het wel.
Het gaat erom :
[1] dat het een schandalig hoge verhoging van de belastingen is : bijna tien procent ;
dat het bedrog, “rookgordijn” is (“kleine verhoging”) ;
[2] dat dergelijk geld gevonden moet worden in gezonde financiering, door bezuinigen, niet door belasting-inkomsten te verplaatsen –
[3] dat, kortom, overrheidsfinancien niet transparant zijn en deze soort bedrog derhalve zonder moeite toelaten ;
Dat (bedrog) geldt dan tevens voor de onderwijs-financiering en -organisatie op het MvO.
Ja, ik weet het : “de ambtenaren zijn vol zorg over de kwaliteit van onderwijs”. Ze zijn tevens begaan met het in stand houden van hun inkomsten ; en druk met hun almachtige controles en verantwoordelijkheid, waaronder de grondwettelijke vrijheid van onderwijs gecrushed wordt.
Tijd om de Dreigroschenoper weer van stal te halen :
– „ Denn wovon lebt der Mensch? “
– ” Erst kommt das Fressen, dann kommt die Moral ”
maarten
Volstrekt offtopic maar toch …..
Maarten,
Het is volstrekt offtopic maar de verhoging van het huurwaardeforfait mag je naar mijn mening niet betitelen als ‘bedrog’. Het is bovendien volstrekt transparant wat er gebeurt. Iedereen weet nu dat er een verhoging komt. Het zou bedrog zijn als die verhoging niet tijdig was aangekondigd. Bovendien: de meeste huiseigenaren zullen per saldo praktisch hetzelfde bedrag betalen omdat de dalende huizenprijzen terugkomen in de WOZ-waarde.
En ambtenaren (lekker generaliserend, maar vooruit) zijn niet begaan met het in stand houden van *hun* inkomsten maar van de inkomsten van de overheid. Daar kun je van alles van vinden, maar beschuldig ze op die grond s.v.p. niet van bedrog.
Marten – off topic
Marten,
Off topic, ja.
Omtrent de fiscale behandeling van huurwaarde-en-zo valt simpelweg veel meer te zeggen dan dat het simpel “bedrog” is. Transparant was en is het gedoe iig niet – ik hoor zojuist op Radio 1 een fiscaal jurist uitleggen wat er fiscaal nog meer staat te gebeuren – ook daar “transparantie”-achteraf. Ik blijf bij mij stelling dat overheidsfinancien een ondoorzichtig zootje zijn, gezien vanuit het perspectief van democratische/participerende financiering van openbare taken. Ja, de “politiek” geeft dat aan, maar – – – ambtenaren verschaffen de suggesties.
Laat me het sterker formuleren : inflatie is een principiele vorm van bedrog. Het overheidsapparaat faciliteert dat.
Ik waardeer overigens de milde vorm van jouw commentaar, tegen mijn felle betoog.
Waarom zo fel ? Lijkt me dat het ministerie (“de ambtenaren”, wie anders ??), in het besef van hun verantwoordelijkheid voor onderwijs, niettemin organisaties en organisatie-vormen koester en in stand houdt, die het “beheersen” van het onderwijs voor hen convenient maken ; en aldus doende de grondwettelijke “vrijheid van onderwijs” angstvallig op armlengte zetten en houden.
maarten
En nu weer on topic
En hiermee stopt de off-topic tak van deze discussie.
De moderatoren
Een didactiek voor hoogvliegers?
Beste Ben,
Je schrijft: “..De meeste verhalen … beklemtonen dat leerlingen vooral probleemoplossers moeten worden, dat ze wiskundig moeten leren denken, dat het gaat om het begrijpen van het rekenen, niet zozeer om het correct kunnen rekenen. Kortom: wat wordt uitgedragen is veelal een of andere vorm van reform-rekendidactiek. En dat is een didactiek voor hoogvliegers.”
Ik begrijp het niet helemaal meer. Deze didactiek is toch juist bedacht voor de zwakkere leerlingen? Of bedoel je met de hoogvlieger de leraar?
Een stukje geschiedenis
Freudenthal was ontevreden over de rekenvaardigheid van kinderen op de lagere school en in gesprekken met zijn kleinkinderen legde hij de sommetjes dan uit, waarna de kinderen het wel begrepen. Dat uitleggen ging met contexten en begrip, minder door oefenen van iets als “delen door een breuk is het vermenigvuldigen met het omgekeerde”. Kinderen vergiste zich naar Freudenthals mening teveel in die regeltjes en daarom was het beter dat te begrijpen, dan kon je het nooit vergeten.
Doel was dus om de rekendidactiek te verbeteren (en inderdaad, voornamelijk voor kinderen die zich vergisten en slecht rekenden). Helaas is het middel erger gebleken dan de kwaal, want kinderen die die regeltjes moeilijk konden onthouden hadden eerder meer dan minder oefening nodig en waren natuurlijk helemaal niet in staat om eigen oplossingen te bedenken. De slimmere kinderen zoals de kleinzonen van Freudenthal wellicht waren, was die extra uitleg wel interessant: ze begrepen nu waarom die regel werkte en er kwamen ook wat andersoortige sommetjes, meer wiskundig, meer probleemoplossend. Maar netto resultaat is ook voor de betere rekenaars toch negatief. Omdat Freudenthals methode veel tijd kostte, was er weinig automatisering en werden steeds minder regeltjes geleerd. Rekenen met breuken op een algebraische manier gebeurt feitelijk niet meer op de basisschool. Dus de betere rekenaars krijgen veel en veel minder stof te verwerken dan vroeger en zijn daarmee ook de dupe. Dat is duidelijk als je kijkt naar de extra wiskundelessen die er op (technische) universiteiten aan eerstejaars gegeven moeten worden om wiskunde zoals die in de jaren 70 in de onderbouw van het VWO werd gegeven in te halen.
Slecht voor zwakkeren
Of de theorie van Freudenthal al of niet bedacht is voor zwakkeren is niet aan de orde. Het feit is dat het juist voor zwakkeren uiterst discriminerend werkt. De slimme leerlingen komen er toch wel, of dat via degelijk oefenen is of via de inzichtmethode.
Juist de zwakkere leerlingen zijn hier ernstig in het nadeel. Ze krijgen te weinig oefening, er is een veel te talige drempel en het is uiterst verwarrend doordat zoveel oplossingmethodes goed zijn.
bedacht is voor zwakkeren
Hinke,
Je hebt gelijk dat het niet aan de orde is wat de oorspronkelijke bedoeling van de theorie van Freudenthal. Toch heb ik de indruk dat de realisten nog steeds denken dat de zwakkere leerlingen juist door de aanpak van Freudenthal worden bevoordeeld.
Is het werkelijk een feit dat het juist voor zwakkeren uiterst discriminerend werkt? Ik denk wel dat je gelijk hebt, maar is het ook aangetoond? Weet je misschien een publicatie?
Uit de verhalen van mijn leerlingen (gymnasium) begrijp ik dat veel leerkrachten in het basisonderwijs denken dat het leren van een algoritme (bv de staartdeling) juist alleen maar geschikt is voor de betere leerlingen.
Hoe delen uw leerlingen?
Daar ben ik wel erg benieuwd naar.
Gebruiken ze de staartdeling, of delen ze met happen hele getallen?
Ik werkte op de basisschool, en zag hoe het werken met ‘happen hele getallen’ veel moeilijkheden opleverde terwijl de methode tevens veel tijd kostte, wat vooral lastig werd als de deelsom onderdeel van een redactiesom was.
De opluchting van de klas toen ik hen toch maar de staartdeling aanleerde, vergeet ik nooit.
staartdelingen
Beste Moby,
Geen van mijn leerlingen gebruikt een staartdeling. Ze hebben er in klas 5 wel van gehoord.
Momenteel leren wij onze leerlingen in klas 1 (gymnasium) staartdelen. Inderdaad, hun mond valt open. “Juf, mogen we weer staartdelen”, vragen ze nu aan het begin van de les.
Wetenschap en alledag
Voor de wetenschappelijke bewijzen verwijs ik je graag naar onze vriend Ben Wilbrink, die daar echt heel veel van heeft uitgezocht.
In mijn dagelijkse realiteit, met leerlingen uit de laagste niveaus, blijkt helaas zonneklaar dat de meesten het eenvoudige rekenhandwerk niet onder de knie hebben gekregen; niet op de basisschool, niet op het VMBO.
Ik heb het hier over jongens die kozen voor de techniek en dus moeten kunnen rekenen. Bij aanvang op de beroepsopleiding scoren er velen ONDER niveau 1 F en helaas niet alleen met taal.
Het is echt onmogelijk dat de verdedigers van deze didactiek nog steeds denken dat het gunstig is voorde zwakken. Daarover is al zoveel bekend. Ze willen het denken en hebben lak aan andere informatie. Daarnaast is er een heel groot circus ontstaan die belang bij dit schandalige onderwijs heeft. Onder het motto: werkt het niet, dan moet je meer van hetzelfde doen, blijven ze begeleiding en cursussen verkopen in plaats van ietwat fundamentelere vragen te stellen.
Zwakke rekenaars slechter af
Juf,
Hier enkele vindplaatsen voor literatuur over zwakke rekenaars in realistische rekenregimes:
draad 7707
draad 4801
opinie Onderwijsgek 8060
Ortho
extra wiskundelessen
Extra wiskundelessen op universiteiten: daar kan mij wel wat bij voorstellen. Zo kunnen mijn leerlingen in klas 5 wel differentiëren, maar niet cijferen (bv. delen door een half). Ze lopen vervolgens in hun uitwerkingen helemaal vast.
Is dit het type probleem waar je op doelt?
delen door een half
Dat was bij uitstek een rekenprobleem waar het realistisch rekenen vol inzette op begrip. De huidige generatie middelbare scholieren is bijna helemaal opgeleid met RR-methoden. Het streven naar begrip heeft kennelijk gefaald.
Delen door een breuk is
vermenigvuldigen met het omgekeerde. Henk van der Kooij werkzaam op het FI en regelmatig actief in de diverse rekencommissies, tevens bestuurslid van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, noemt dit bij herhaling en uit volle overtuiging: “een stompzinnige regel zonder betekenis”.
leren zonder stompzinnige regel
Sommen als 3 : 1/2, of 3 : 1/4 moesten wel worden aangeleerd. Als de regel niet mocht, moest er een beroep op verkregen inzicht worden gedaan. Analogie was dan een middel; 30 : 5 = 6 omdat 6 maal 5, 30 is.
Analoog moest de leerling zich dus afvragen hoeveel halfjes of hoeveel kwarten 3 helen zouden opleveren.
Voor de rest werd de opgave ‘delen door een breuk’ als veel te ver verwijderd van de dagelijkse praktijk beschouwd (veel te abstract dus) en werden abstractere bewerkingen (12 : 3/7, of 1/3 : 4/7 b.v.) afgeschaft als leerstof voor de basisschool.
Of middelbare scholieren alsnog leren rekenen met ‘delen door een breuk’, dat weet ik niet.
Geen stompzinnige regel maar…
Ik vind wel dat deze regel vergezeld moet gaan van een algebraïsche uitleg maar het is mooi meegenomen dat zwakkere leerlingen die deze uitleg niet kunnen volgen via een simpel regeltje toch kunnen delen door breuken.
Het is gemakkelijk om te doen inzien hoe je deelt door 1/2, vermenigvuldig zowel de teller als de noemer met 2.
Vervolgens kan je laten zien hoe je een breuk deelt door een andere breuk.
Die uitleg hoeft niet steeds herhaald te worden maar die moet wel eens worden gegeven, net zoals je bijv. bij de wortelformule (ABC-formule) moet laten zien hoe je via het kwadraatsplitsen van een tweedegraadsvergelijking die wortelformule krijgt.
Het is tevens een mooie oefening voor de elementaire algebraïsche vaardigheden en het kan ook geen kwaad dat je zowel met constanten werkt die worden voorgesteld door een letter als met een variabele die wordt voorgesteld door een letter (kan later voor calculus erg nuttig zijn). Ik pleit er zelfs voor dat alle leerlingen zelf eens een keer die afleiding moeten geven in een toets, als je dat moet memoriseren dan heb je nog onvoldoende inzicht. Sowieso zou het goed zijn als er meer algebraïsche bewijsjes zouden worden gegeven zoals in Vlaanderen nog gebeurt.
Ik vind het schandalig dat nu zoveel formules ´uit de lucht komen vallen`. Natuurlijk hoef je niet altijd alle formules te kunnen afleiden maar het lijkt me verstandig dat leerlingen en studenten zien waar een formule vandaan komt, indien het mogelijk is wat voor de wortelformule en het delen door breuken zeker geldt.
stipsommen: beginnend algebra?
De basisschool kent stipsommen: in plaats van een letter zien we dan een stip.
Een som als 3 : 1/4 = (stip), kan dan worden omgekeerd tot
(stip) x 1/4 = 3.
Met behulp van tekeningetjes is die som aldus wel uit te rekenen (als we begrip willen).
Maar bij een som als 8 : 3/4, levert de omkering (stip) x 3/4 = 8, geen voordeel op, want met tekeningetjes komt de leerling er niet uit.
Je kunt leerlingen ook uitleggen dat een breuk eigenlijk een deling is. Delen door een breuk is dus delen door een deling.
Maar dan? Dan gaan de redeneringen weer te ingewikkeld worden als we een analogie willen ontdekken.
Ik zie geen handiger middel dan de formule.
De formule a : b = c dus/want c x b = a , kan alleen in de hogere groepen enige betekenis hebben. De lagere groepen kennen de tafels niet en dan is de formule zonder zin. De hogere groepen hebben echter al zo vaak deelsommen gemaakt dat de formule niet een extra hulpmiddel is.
De laatste redenering lijkt helaas wel op de redenering van de RR-methodemakers: kinderen zouden dan al zo lang ‘gespeeld’ hebben met getallen dat ze geen formule nodig zouden hebben, tenzij ze zelf de behoefte hadden en zelf een formule of regelmatigheid hadden ontdekt.
Seger de stompzinnige
Ook nu nog: als ik zie staan: : half of / half (waarbij half genoteerd staat als een kolom met van bover naar bneden 1, _ en 2 of als een rij met van links naar rechts 0, , en 5 en ik besluit verder te rekenen door te vermenigvuldigem met 2 flitst deze stompzinnige regel zonder betekenis door mijn hoofd.
Seger Weehuizen
Wiskundejuf, ik vind het
Wiskundejuf, ik vind het fraai dat uw school de leerlingen alsnog leert hoe ze met een staartdeling eenvoudig, snel en nauwkeurig kunnen delen maar ik vraag me af ten koste van wat het gaat. Wat wordt er opgeofferd om tijd vrij te maken voor die staartdeling? Of wordt er extra tijd ingeroosterd voor wiskunde?
Ik heb een technische WO-opleiding gevolgd dus ik denk dat ik antwoord kan geven op uw vraag. Het grootste probleem m.b.t. de aansluiting is dat de studenten de elementaire algebraïsche vaardigheden slecht beheersen. Dit is mijns inziens voor een belangrijk deel te wijten aan het veelvuldge gebruik van het grafisch rekenmachientje.
Ik denk dat u uw leerlingen een groot plezier zou doen door hen te verbieden om een grafisch rekenmachientje te gebruiken. Ze hebben die niet nodig, hooguit moet je wat voorzichtig zijn met de selectie van opgaves maar de meeste opgaves zijn prima zonder grafisch rekenmachientje te maken.
Op het moment dat het grafisch rekenmachientje het werk doet dan oefen je als leerling niet, je doet dus minder routine op en je mist een hoop kansen om inzicht te ontwikkelen.
Een simpel voorbeeldje: je laat de leerlignen memoriseren wat de cos, sin, tan, en cotan zijn van de hoeken van 0°, 30°, 45°, 60° en 90°
Vraag ze vervolgens voor de hoek van 210 graden de cos of iets dergelijks en ze moeten zelf gaan redeneren met die kwadranten. Laat het grafisch rekenmachientje het werk doen en de leerling mist een kans om inzicht op te doen.
Idem voor tal van algebraïsche bewerkingen die je zelf moet uitvoeren als je met de hand differentiëert of integreert of als je met de hand goniometrische vergelijkingen of logaritmen vereenvoudigt (bijv. inzien dat ln e^3 = 3).
Inzien?
Ik weet niet hoe jij logarithmen en exponentiele functies definieert Bart, maar dat ln(e^x)=x is voor mij de definitie van de natuurlijke logaritme…..
tijd vrij maken voor rekenen ten koste van wiskunde
Beste Bart,
Dank het compliment en de didactische tips. Inderdaad verbieden wij de rekenmachine in klas 1. In klas 2 en 3 doen we dit af en toe bij een toets.
Dit is bij de hogere klassen is dit gezien het wiskunde-programma en de gebruikte methode onmogelijk. Er wordt bovendien op het Centraal Examen van leerlingen verwacht dat ze met de grafische rekenmachine kunnen werken. Deze machines zijn behoorlijk gebruikersonvriendelijk. Je moet er veel mee oefenen voordat je bijvoorbeeld een grafiek kunt plotten. Probeer maar eens de grafiek van y=2log(x) te plotten.
Met het afschaffen van de rekenmachine leren leerlingen bovendien niet rekenen. Willen we de huidige leerlingen goed voorbereiden op het wiskunde-programma in de bovenbouw en de verplichte rekentoets, dan zit er niks anders op dan ze zo snel mogelijk te leren delen en vermenigvuldigen. Delen door een breuk komen ze gedurende hun hele loopbaan op school niet meer tegen, tenminste niet op de basisschool en niet in onze wiskundeboeken.
Voor zover ik weet krijgt de school geen extra geld voor rekenlessen. Dus inderdaad, rekenles ten koste van wiskunde.
Grafische rekenmachine
Als wiskundeleraar in het VO heb je inderdaad geen keuze wat betreft de grafische rekenmachine. Texas Instruments heeft het voor elkaar gekregen om via de eindexamens deze ondingen verplicht te stellen.
Te gemakkelijk
Natuurlijk is de leerling vooralsnog verplicht om bij het centrale examen voor wiskunde B het grafisch rekenmachientje te gebruiken en uiteraard moeten de leerlingen dus tijdens de voorbereiding op dat centrale examen oefenen met zo’n onding. Vanzelfsprekend worden de schoolmethodes hierop aangepast etc.
Ik vind het echter te gemakkelijk om je daar als leraar achter te verschuilen.
Wat houdt een leraar tegen om opgaves te selecteren waarvoor je geen GRM nodig hebt en om pas in het laatste jaar of in de laatste 2 jaar mondjesmaat het GRM te gebruiken door af en toe instructie te geven over hoe je zo’n ding gebruikt (staat overigens keurig uitgelegd in de boekjes) en daarna weer de leerlingen met de hand te laten oefenen? Of verplicht de leerlingen om het eerst met de hand op te lossen (steekproefsgewijs uitwerkingen laten zien) en daarna met het GRM aangezien ze dat voor het examen nodig hebben.
De beste stuurlui staan aan wal maar ik hoop dat de leraren zoeken naar mogelijkheden om het gebruik van het GRM te minimaliseren.
Vraagje, kunnen BON en Stichting Goed Rekenonderwijs iets doen om het GRM bij de centrale examens te verbieden? Dat zou natuurlijk de efficiëntste oplossing zijn.
over gebruik van GRekemasjien
Ingediend door Bart op Za, 31/12/2011 – 17:15 : “Te gemakkelijk”
(cit.)
Ik vind het echter te gemakkelijk om je daar als leraar achter te verschuilen.
Wat houdt een leraar tegen om opgaves te selecteren waarvoor je geen GRM nodig hebt en om pas in het laatste jaar of in de laatste 2 jaar mondjesmaat het GRM te gebruiken door af en toe instructie te geven over hoe je zo’n ding gebruikt (staat overigens keurig uitgelegd in de boekjes) en daarna weer de leerlingen met de hand te oefenen.
(fin cit.)
Helemaal mee eens ! En dit nog daarbij : mijn kinderen/kl-kinderen hebben VWO gedaan op een school (die we hebben helpen oprichten) waar de GRM hantering pas mondjesmaat werd “vertoond” in de vijfde, en pas routinematig werd ingezet/geoefend in de eindexamenklas – resultaat : ze werken @ Cambridge University, @ UN-New York, @ een gecompliceerde consultatieve IT-functie ; en, tenslotte, gaat er eentje in mei a.s. laten zien dat hij het even goed kan.
Scholen oprichten en met succes be-mensen en runnen kan dus wel degelijk.
Waar het niet lukt (en ook dat gebeurt vaak – nee, het lukt niet altijd), ligt dat niet aan het principe (“school starten”) of aan de wet (de overheid moet het initiatief toestaan), maar aan allerlei complicerende, bijkomende factoren – en die zijn idd. vaak frustrerend lastig ; maar NIET altijd onoverkomenlijk.
Het ligt er maar aan of er een groep stevig volhardende ouders + leraren is, die het project dragen, sturen en be-mensen (m/v), en dat over 4,5 tot 7,8 volhouden.
maarten
Basisschool: eindonderwijs?
Als er op de middelbare scholen niet verder gerekend wordt, is de basisschool kennelijk eindonderwijs. Dat is niet best, want de stof is er tot een minimum terug gebracht (zeker breuken, procenten en metriek stelsel) en vaardigheden worden matig beheerst. Waarbij we ons tevens kunnen afvragen of er werkelijk inzicht is bijgebracht.
Daarnaast vind ik de
Daarnaast vind ik de Nederlandse wiskundemethodes pedagogisch gezien erg zwak: grote lappen tekst die starten vanuit de context in plaats van dat je bondig en overzichtelijk met formules alles uitlegt en dit vervolgens toelicht met wat tekst.
Neem bijv. het leren differentiëren, je kan best starten met een uitleg over de achtergrond van het differentiëren (mechanica) maar de essentie is dat je gewoon laat zien hoe je de afgeleide krijgt door de limiet te berekenen. Vanzelfsprekend moet je dan wel eerst hebben geleerd wat limieten zijn en wellicht is een woordje uitleg over continuïteit dan handig.
Bij de opgaves viel mij altijd op (Getal en ruimte) dat er veel te veel dezelfde gemakkelijke opgaves zijn en veel te weinig opgaves op niveau. Op die manier blijven de moeilijk opgaves moeilijk, door de lat hoger te leggen worden de moeilijke opgaves uiteindelijk gemakkelijk.
Zo herinner ik me dat het hoogtepunt van het differentiëren was dat je de kettingregel combineerde met een cosinus of iets dergelijks, dat vond ik toendertijd nog moeilijk. Later toen ik calculus kreeg moest ik nog veel meer regeltjes combineren en werden de moeilijke opgaves van toen ineens eenvoudig.
@Wiskundejuf
Ik kan het nog wat concreter voor u maken: ocw.tudelft.nl/courses/technische-wiskunde/instaptoets-wiskunde/oefentoetsen/
De studenten moeten 12 van 20 meerkeuzevragen goed beantwoorden om te slagen, bij de ´beste` technische richtingen slaagt ongeveer 80%, bij de zwakkere niet-technische of oppervlakkig-technische richtingen (bijv. technische bedrijfskunde en ontwerp) slaagt minder dan de helft.
Hoogvliegers
Beste Juf,
Freudenthal en de zijnen doen veel mooie beloften, maar geen empirisch onderzoek dat die naam verdient (KNAW-rapport). De empirie moet uitwijzen wat er van die verhalen terechtkomt. De zwakke rekenaars blijken dan het kind van de reformrekening te zijn.
De betere leerlingen kunnen er altijd we mee overweg, maar ook zij schieten met alle realistische tierelantijnen en contexten weinig op.
pygmalion-vermoeden
Ben,
Terugkomend op je oorspronkelijke vraag. Het is erg lastig je vermoeden te onderzoeken. De hele omgeving van de kinderen straalt al uit dat rekenen moeilijk is. Op het jeugdjournaal schijnt het bijvoorbeeld volkomen normaal te zijn te suggereren dat rekenen (of was het wiskunde) voor meisjes moeilijk is. Zelfs in de kerk hoorde ik de dominee eens in de preek verwijzen naar “dat moeilijke vak wiskunde”.
Het zou mij niets verbazen wanneer leerkrachten in het basisonderwijs hun onzekerheid overbrengen op leerlingen. Het zijn meestal niet de hoogvliegers in wiskunde die naar de PABO gaan.
Mijn ervaring: ” Juf, zo simpel kan het toch niet zijn?”
Wiskunde is erkend moeilijk
en dat zorgt voor een hoop mensen dat de kachel blijft roken.
Dankzij dat idee hoeven basisscholen geen moeite te doen om kinderen te leren rekenen, kunnen allerlei instituten miljoenen opslurpen met idiote verbeterprojecten en blijven kinderen van kritiek gevrijwaard als ze voor wiskunde lage cijfers halen. Een zegen voor de hele wereld, zo’n label. En de enkeling die iets ander beweert is toch een nerd, die kan niet samenwerken, is niet van deze tijd en daarmee hoeft niemand meer rekening te houden.
Ik kreeg een mail van Prof Henk Tijms met een video van Richard Boucherie die een oud promovendus van hem is en die nu hoogleraar toegepaste wiskunde aan de UTwente is. Aanbevolen:
Het heeft toch veel te maken met hoe het wordt onderwezen
Inderdaad een prachtige en illustratieve video.
Zo kan ik mij nog een uitzending van het programma “Zomergasten”, gast dr. Rinnooy Kan, herinneren:
Interviewer: “Wiskunde, jouw vak. Het meest gehate vak op de middelbare school”.
Rinnooy Kan: “Ja, het heeft toch veel te maken met hoe het wordt onderwezen”.
opvattingen van leraren
Juf,
Met een aantal omtrekkende bewegingen komt de zaak waarschijnlijk wel helder in beeld, ook als er geen direct onderzoek naar is. Er is waarschijnlijk heel veel onderzoek gedaan (internationaal) naar opvattingen van leraren in het primair onderwijs, ook internationaal vergelijkend onderzoek (zoals in het kader van Pisa en TIMSS), en daar zit ongetwijfeld materiaal tussen waarin verschillen in opvatting over de moeilijkheid van rekenen gerelateerd zijn aan rekenprestaties van de leerlingen van de betreffende leraren. Dat zijn dan slechts correlaria, maar we weten dan al heel veel meer.
Een andere ingang is onderzoek naar de kennis van leraren over rekenen en rekendidactiek. Waarschijnlijk is er een behoorlijk negatief verband tussen rekenvaardigheid, en opvattingen over hoe moeilijk het rekenen is.
Ik heb nog geen gelegenheid gevonden om een zoektocht te ondernemen, bijvoorbeeld op google.scholar.
Niet moeilijk misschien, maar hard werk!
Rekenen is te doen als je gewoon oefent, de tijd neemt voor de opdrachten, zorgvuldigheid en geduld betracht. Kortom: het is bijna net handwerk. Het kost inspanning en tijd die je niet aan andere leuke dingen kunt besteden. l
Het levert natuurlijk wat op, maar als je weet (of denkt) dat de rekenmachine met veel minder inspanning hetzelfde oplevert is de keuze gauw gemaakt.
Ik doe tegenwoordig de opdrachtjes van de dagelijke rekentest van een uitgever op niveau 2F. Zou toch moeten kunnen met mijn intelligentie en redelijke (zij het talige) opleiding.
Zelden haal ik de honderd procent en zo goed als altijd ging het om haast of slordigheid. Het maken van die testjes geeft vooral een goed inzicht in die eigenschappen, niet eens zozeer in je rekeninzicht of je rekenvaardigheid.
Als ik een keer 100% heb gehaald levert dat wel tevredenheid op.
100%
Hinke,
Onze hersenen werken niet als een computer, zodat 100% alleen met heel korte toetsjes goed haalbaar is.
Met de rekenmachine werken: die rekenmachine maakt geen fouten (maar heeft misschien wel een afwijkend algoritme!), maar bij het werken met die rekenmachine — intikken, bewerkingen, aflezen — worden evengoed fouten gemaakt als bij rekenen op papier.
De keuze is overigens niet die tussen zelf rekenen of met de rekenmachine, maar die tussen goed leren rekenen, of niet goed leren rekenen omdat de tijd is vermorst met contexten en eindeloos veel verschillende oplosmethoden proberen.
In het vo en mbo is de keuze tussen het gebruik van een rekenmachine altijd toelaten, of juist iedere gelegenheid waarin er gerekend moet worden tevens te benutten om die vaardigheid op peil te houden.
Minachting voor handwerk
Wat ik me eigenlijk afvroeg: is de minachting voor ambachtelijk rekenen niet gewoon te wijten aan minachting voor het ploeterende handwerk. Dat is alleen voor de dommen, in de ogen van velen.
TAL en breuken
Ik zag toevallig dit overzicht voor het rekenen met breuken volgens TAL. Kijk zelf:
www.fi.uu.nl/talbovenbouw/lessen.html
Eenderde is 1 op 3 is 34%
Op de door Lonesomejoe aangegeven pagina is onder meer DIT PDF-bestand over het werken met breuken te vinden.
Citaat:
“Verhoudingen kunnen we op verschillende manieren aangeven, bijvoorbeeld:
– Een derde van de Nederlanders rookt
– Een op de drie Nederlanders rookt
– 34% van de Nederlanders rookt
Het zijn drie uitspraken bij hetzelfde gegeven.”
Niet verwonderlijk dat kinderen in verwarring raken 🙂
fundamenteel fout geredenerd m.i.
Als we dat verhaal lezen, over die voordelen van procenten t.o.v. breuken, kunnen we denk ik best wel instemmen. Natuurlijk is een standaardbreuk als ‘honderdste’ handig als we willen gaan vergelijken.
De opsteller van die hele redenering vergeet echter het belangrijkste punt: de kinderen weten nauwelijks wat breuken zijn! Hoe kun je hen van voordelen overtuigen als zij nauwelijks weten wat eventuele nadelen zijn van een voor hen onbekend systeem ??
Zulke volwassenen pretenderen dat zij ‘begrip’ gaan brengen, maar het kind begrijpt er niets van, want het heeft nauwelijks nog weet van het breukensysteem.
Al die volwassen redeneerders lijken helemaal vergeten te zijn, dat de kennis die bij hen aanwezig is, nog helemaal NIET aanwezig is bij kinderen.
Die kinderen zitten je dus glazig aan te kijken als je komt vertellen over de voordelen van procenten, want ze hebben nog nauwelijks weet van breuken.
Het zijn mensen die fundamenteel rekenen hebben geleerd (maar die vervolgens vergeten zijn dat zij die kennis ooit stap voor stap hebben moeten aanleren) die vervolgens met nieuw verkregen inzichten komen opdraven.
Dat zij die nieuw verworven inzichten willen onderwijzen aan kinderen die nog helemaal geen fundamenteel rekenen hebben geleerd, is m.i. de grootste denkfout geweest van dit soort geleerde heren en dames.
fundamentele denkfout 2
Het idee dat kinderen zich druk zouden maken over de voordelen van een algemeen systeen van ‘honderdsten’ boven allerlei andere breuken, is eveneens lachwekkend uiteraard.
Mensen die dit denken, hebben waarschijnlijk zelden of nooit voor de klas gestaan.
Het zal de overgrote meerderheid van de kinderen werkelijk een rotzorg zijn of procenten zoveel voordelen opleveren.
Hun voornaamste interesse is toch echt: “Kan ik die sommen maken, want meester/juf en pappa/mamma willen dat ik het kan.”
Dit betekent dat juf/meester zelf de moeite moet doen om dit de kinderen eventueel uit te leggen (liefst klassikaal want zo bereik je de meesten binnen de kortste tijd).
Zelf gaan ze dit niet ontdekken, want het hele probleem interesseert hen geen biet, mijne geleerde heren en dames.
1/3 = 34 %, 2/3 = 66 %
Een gewoon mens denkt dan aan een verschrijving, maar de ervaring leert dat er rekenmeesters rondlopen die serieus volhouden dat 1/3 = 34 %. Zie ook afbeelding 7666
34+66=100
Kennelijk hebben de realisten eerst 2/3 decimaal gemaakt en daarna 1/3. Zou afbeelding 7666 van voor of na de Willem Ruis show zijn?
Hoe word ik miljonair?
Volgens mij is daar geld mee te verdienen