FI: examples of PhD research in math education

6-1-2012. Zie www.beteronderwijsnederland.nl/node/8125. Naar het promotiewerk van Angeliki wordt verwezen in het Toekomst Telt rapport.

28-12-2011. Zie www.beteronderwijsnederland.nl/node/8150. Een promotie binnen de realistische rekenkerk, maar toch.

8 november. De discussie over probleemoplossen en wiskundige denkactiviteiten die sinds afgelopen studiedag van de NVvW weer volop loopt maakt deze draad weer relevant. Zie ook beteronderwijsnederland.net/node/8027.

Deze draad is interessant om meerdere redenen. Een van die redenen is dat we hier zien hoe vakdidactici in de rekenlessen al wiskunde willen doen. Het onderscheid tussen rekenen en wiskunde hoeft natuurlijk niet heel scherp gemaakt te worden, maar gezien de huidige staat van het rekenonderwijs, waarin de basisvaardigheden zijn verwaarloosd onder de invloed van de realistische rekenaars, is het misschien verstandig om dat toch maar wel te doen. In de doorlopende leerlijnen van Anne van Streun is te zien hoe men rekensommen meent te zien als wiskundig problemen die opgelost moet worden, zie

www.beteronderwijsnederland.nl/node/7883

Ik vind dat bepaald ongelukkig. Het is interessant hoe de realisten over het vinden van een oplossingsstrategie denken. De tekst hieronder is in het Engels. Het betreft een van de vele voorbeelden van onderzoek zoals gedaan op het FI. Ik zag het toevallig op de FI-site en ik raakte geinteresseerd. Kijk eens rond bij ander onderzoek dat onder begeleiding van deze promotoren op het FI gebeurt. Bijvoorbeeld het IMPULSE project:

www.fi.uu.nl/~marjolijnp/

———————————————————————————————–

See the PhD announcement

www.ou.nl/eCache/DEF/2/33/247.html

and the paper

tsg.icme11.org/document/get/466

The test problem mentioned in the announcement is:

In a quiz with 10 questions you get two points for a correct answer, while one point is subtracted from your score for a wrong answer. If your score is 8 points how many questions did you answer correctly?

We are talking talented fourth-graders here. Would they be expected to denote the number of good and bad answers by g and b? If so they may come to write the problem to solve for g and b as

2g-b=8
g+b=10

Note that g and b are nonnegative integer unknowns.

This abstract problem formulation may be solved by trial and error methods. Starting with the second equation there are only 10 possible candidate solutions to check, so if you number them as

g=10 b=0
g=9 b=1
g=8 b=2

etc, you quickly hit the solution g=6, b=4.

So after you have arrived at the abstract formulation, which is part of solving the problem, you essentially solve the second equation and combine its solutions with the first equation to conclude.

Of course you may well cook up the very same method without going to any abstract notation and algebra:

10 rights, 0 wrong, score 20
9 rights, 1 wrong, score 17
8 rights, 2 wrongs, score 14

With or without the algebra, a pattern quickly emerges and a smart kid will jump to the right conclusion. What else can a poor boy do? Except for

a smart remark that adding both equations you find that 3g=18 so g=6. A more mathematical solution method, which you may or may not expect even a smart kid to see, and which seems to rely much more on the algebraic formulation. Note though that this is a trick, and not a method, just like the trick 8+7=8+8-1=16-1=15 is not a method. It works only because of the coincidence of two cancelling (upon adding) terms +b and -b in the equations.

QUESTION (for the authors of TAL): explain why 8+7=8+8-1=16-1=15 is not a method.

Anyway, here’s a standard idea in problem solving: change the problem or make the problem more general.

In other words, play with the problem formulation. For instance, change the rules of the exam. Maybe 3 points for every right and not a penalty for a wrong but just a smaller reward, say 1 point for every wrong. How many rights did you then have with a score of 8 out of 10 questions?

QUESTION (for anyone who understood the abstract formulation): what are the equations for g and b to solve?

QUESTION (for all): do the non-algebraic method starting

10 rights, 0 wrong, score 30
9 rights, 1 wrong, score 28

What do you conclude? How did you conclude quickly?

ANSWER (to the last question): by being systematic in ordering the possibilities.

QUESTION (possibly for the PhD-defense): reflect on the above and the set-up of the research done in the paper.

REMARK: another solution strategy in solving equations is interchanging the role of input and output, that is, of parameters and solutions. This will get too technical to explain here. It is really interesting to see part of this approach appearing in the experiments, maybe unintentionally, but still. Additional points can be made. Hints are in the questions above.

OPMERKING: het is interessant om wat er wiskundig gebeurt in deze experimenten te vergelijken met mijn voordracht bij de NVvW. Zie

www.beteronderwijsnederland.nl/node/7237

Let op de rollen van parameters en oplossingen. Creativiteit van jonge onderzoekers sturen is leuk. Maar of het zin heeft om te kijken of het willekeurig proberen van oplossingen door leerlingen met behulp van een soort dartboard helpt? Een beetje vergezocht.

Joost

20 Reacties

  1. Engels
    Waarom moet dit toch in het Engels Joost?

    Het proefschrift is hier beschikbaar; het artikeltje dat Joost noemt is hoofdstuk 4.

    • Liever het origineel in het
      Liever het origineel in het Engels dan een vertaling die per definitie onnauwkeurig is. Als iemand moeite zou hebben met een deel van de tekst dan kan altijd iemand het nog even vertalen.

      • En nu weer ter zake,
        want inhoudelijke reacties op dit onderzoek zien we met interesse tegemoet. Ook in het Engels. Dixi?

        Joost Hulshof

        • Ik vind het wat lastig om
          Ik vind het wat lastig om inhoudelijk te reageren op een stukje van zo’n uitgebreide tekst maar mijn eerste reactie: de schrijver begint goed door de twee vergelijkingen op te schrijven, waarom pleit hij voor het de leerlingen laten invullen van getallen in plaats van een keertje voor te doen hoe je met algebra deze simpele vergelijking met 1 variabele (wanneer je vergelijking 2 gebruikt voor vergelijking 1) oplost?
          Wat is er mis met zo’n ´truucje` en waarom is dat ´truucje` geen methode?
          Dat dit een truucje is in plaats van een methode lijkt me nogal een gewaagde stelling (een semantisch spelletje?), wat vinden jullie wiskundigen daar van?

          • Schrijven
            De tekst in de blog is volgens mij van Joost zelf…..

            We hebben het hier over 4e klassers basisschool, letterrekenen is voor hen wat geavanceerd….

            2 lineaire vergelijkingen in 2 onbekenden oplossen, daar is inderdaad een methode voor (Gauss eliminatie) en dat is wat je doet als je de 2 vergelijkingen optelt (al moet je meestal een veelvoud van de ene bij de andere optellen). Blundertje van Joost?

          • Ik leef me in
            in de gedachtenwereld van de bedenkers (dat heb ik veel gedaan bij de realisten) en nu ook (met de realisten) in die van de kinderen. Het gaat hier om kinderen van 10 jaar of zo. Toen ik 10 was deed ik nog geen vergelijkingen, zeker niet met 2 onbekenden.

            De vraag is wat hier de achterliggende gedachte is. Dat kinderen leren ontdekken hoe ze de vergelijkingen opstellen en die vervolgens oplossen? Dat is mij nog niet duidelijk hier. Maar men heeft het over wiskunde, dus ik kan me moeilijk voorstellen dat er een andere bedoeling is.

            Wat het trucje betreft, met 3 punten voor goed en 2 strafpunten voor fout wordt het probleem

            3g-2b=8
            g+b=10

            Daar werkt het optellen van de vergelijkingen niet en moet je iets anders bedenken, tenzij je al een METHODE kent (of ter plekke bedenkt) waarmee het altijd lukt. Dan ontdek je vervolgens dat er geen oplossing is met g en b geheeltallig, maar dat terzijde (wel als je 8 door 10 vervangt). Ook dat bedenken van een methode zou een doel kunnen zijn.

            Wat natuurlijk opmerkelijk is dat met het random proberen van g-tjes en b-tjes (pijltjes gooien) en niet systematisch aftellen wordt geprobeerd het inzicht te genereren. Dat is mijn eerste vraag om te stellen als ik meedenk in dit onderzoek.

            Ook valt op dat de algebraische voorbeeldformulering in het artikel niet het stelsel van 2 vergelijkingen is maar de eerste vergelijking met voor b meteen b=10-g ingevuld:

            2g-(10-g)=8

            Dat is al halverwege de wiskundige oplossing van de wiskundige formulering.

            Joost Hulshof

          • Re: inleven
            Het is onduidelijk wat de bedoeling is van deze opgaven (dat is eigenlijk altijd zo met de FIers). Uit het proefschrift blijkt dat het voor moet bereiden op algebra, maar dat er geen onderwijs wordt gegeven (anders dan het spelletje spelen) en dat leerlingen zelf maar moeten bedenken hoe dit op te lossen. Er wordt dus geen methode aangeleerd (zoals 2 lineaire vergelijkingen opstellen en dan Gauss eliminatie toepassen).

            Hoe dit voorbereidt op algebra is mij dan ook een raadsel. Er is geen follow-up activiteit die de link legt met algebra. Dit spelletje en deze puzzeltjes op een toets blijven dus geheel in de lucht hangen, worden niet gekoppeld aan wat dan ook.

          • geen follow-up
            Mark,

            Wat je noemt slaat de spijker op de kop. Een collega die het geprobeerd heeft op het FI formuleerde het precies zo. Probleemverkenning, maar daarna?

            Joost Hulshof

          • Eerst de ad hoc methode weer afleren.
            Het gaat er misschien zelfs niet alleen om dat er geen gestructureerd vervolg is of dat die voorbereiding teveel tijd in beslag neemt, maar ik vermoed dat die voorbereiding in zichzelf nadelig kan uitpakken. Bij de eerste kennismaking met een nieuw begrip of methode wordt een ad hoc werkwijze gepromoot. Ik vermoed dat het feit dat de leerling via die ad hoc werkwijze een sommetje kan oplossen wel eens een drempel kan zijn om de juiste werkwijze aan te leren.
            Het aloude adagio dat als je iets verkeerd aanleert, dat het afleren daarvan het grootste probleem is.
            Het lijkt niet zo heel erg gek dat iets meteen goed aanleren beter werkt, toch? Het is van de fundamentele problemen met het constructivisme. Ook ik geloof dat hersenen iets beter kunnen oppakken als het geen losse feiten zijn, maar als het onderwerp herkenbare structuur heeft. De voorbeelden van schakers die moeiteloos echte stellingen onthouden, maar namaakstellingen niet kunnen onthouden spreken voor zich. Maar de constructivisten hebben dat gegeven vertaald naar de zogenaamde noodzaak dat leerlingen iets van de grond af aan (vanuit hun eigen beleving) eerst zelf zouden moeten construeren. Dat is funcdamenteel verkeerd, want dan worden verkeerde constructies gevormd. Construeren door leerlingen is best, maar dan wel op basis van bouwtekeningen van een goede architect. Heet dat proces niet “onderwijs”?

  2. Raden bij keuzevragen
    Het probleem in het paper van Angeliki Kolovou, Marja van den Heuvel-Panhuizen, Arthur Bakker en Iliada Eliax (2011) komt mij bekend voor.

    Een toets bestaat uit tien driekeuzevragen. Een goed beantwoorde vraag levert twee punten op, voor een fout beantwoorde vraag wordt een punt afgetrokken, een niet beantwoorde vraag levert nul punten op. Let op het verschil: niet beantwoorden levert geen strafpunt op. Over dit scoringsvoorschrift bestaat wel enige literatuur, zie hier.

    Het is in dit casus natuurlijk niet geweldig interessant om bij een score van 8 uit te gaan zoeken hoeveel vragen er goed zijn beantwoord. Goed beantwoord kan immers ook goed geraden zijn, of om de verkeerde reden goed beantwoord. Zoals fout geantwoord niet fout geraden, maar gewoon fout geantwoord kan zijn. Maar dat terzijde.

    Het hele idee van deze scoringsregel is om het raden op keuzevragen niet aan te moedigen. Dat is goed.

    Het is natuurlijk niet voldoende. Wat je als docent wilt weten: hoe komt de leerling aan zijn antwoord, welke rechtvaardiging kan hij daarvoor geven. Vraag daar dan ook naar. Of geef op zijn minst de gelegenheid aan de leerlingen om een motivering van hun antwoord te geven. Het kladblaadje in te leveren.

    • rekentoetsen
      Het artikel dat in de huidige blog besproken wordt gebruikt de toetscontext als context voor een wiskundeprobleempje, dat vervolgens een eigen leven gaat leiden in de studie van zelfontdekkend leren op de van het FI bekende wijze. Of die oorspronkelijke toetscontext als zodanig hier de interesse van de schrijvers heeft is de vraag. Maar het is goed er van uit te gaan dat elke context die bij het leerproces gehaald wordt als zodanig ook de moeite van het bespreken waard kan zijn. Hetgeen hier natuurlijk het geval is. De schrijvers zullen daarom deze blog

      www.beteronderwijsnederland.nl/node/7791

      met plezier lezen.

      Joost Hulshof

  3. Look ma, no hands!
    Het paper van Angeliki Kolovou, Marja van den Heuvel-Panhuizen, Arthur Bakker en Iliada Eliax (2011) wekt toch wel mijn verbazing. Een enorme literatuurlijst die goeddeels irrelevant is voor de inhoud van het paper/onderzoek. Het onderzoek dat geen onderzoek is (onvoldoende power om resultaten te kunnen boeken) en dat dan wordt geherdefinieerd als een try-out voor de instrumenten enz.

    Waar gaat het over? Over probleemoplossen? In naam: ja. Maar dit onderzoekje is bevredigen van nieuwsgierigheid op de vierkante millimeter, en gaat substantieel nergens over.

    De literatuurlijst bevat interessante namen en titels, zeker, maar waarom zijn die erbij gesleept? Papert? Wat hebben de originele onderzoeken van Suppes in de zestiger jaren met computerondersteund onderwijs te maken met dit vreemde applet-boogschieten (is dit een realistische context???)? Past het paper als puzzelstukje misschien perfect in het proefschrift, terwijl het op zichzelf staand geen betekenis heeft?

    Kan iemand mij duidelijk maken hoe ik dit paper dan wel moet lezen?

    ‘Research as a human activity’, zullen we maar zeggen.

    • Re: Look ma, no hands!
      In het proefschrift is er ook vergelijkbare, maar grootschaligere studie. Dus dat deze ‘paper’ een try-out was lijkt heel aannemelijk. Het proefschift bevat ook een studie naar of dit soort problemen voorkomen in schoolboeken (als artikel gepubliceerd in 2009). De onderzoeksopzet an sich is dus zo gek nog niet. Het echte probleem ligt zoals ik hierboven aangaf (met een echo van 2010) volgens mij bij de inhoud: zonder follow-up doe je hier meer schade dan goed mee.

      • Niet-routinematige puzzelachtige rekenopgaven leren maken
        Promotoren Van den Heuvel-Panhuizen en Van Maanen nemen dit onderzoek voor hun rekening, een aardige Griekse dame heeft het uitgevoerd.

          • “In het dissertatieonderzoek komen drie onderzoeksvragen aan de orde:
            1. Hoe goed zijn Nederlandse basisschoolleerlingen in probleem oplosssen, d.w.z. in het oplossen van niet-routinematige, puzzelacthige rekenopgaven?
            2. In hoeverre bieden reken-wiskundemethodes aan leerlingen de mogelijkheid om niet-routinematige, puzzelachtige rekenopgaven te leren maken?
            3. Wat is een goede manier om leerlingen niet-routinematige, puzzelachtige
            rekenopgaven te leren maken?”

        Water laten branden.

        [ps: niet-routinematige puzzelachtige problemen kun je niet leren oplossen]

        In hoofdstuk 8 de conclusie dat er meer wiskunde in het Nederlandse rekenonderwijs op de basisschool moet.

        ZOEFI

  4. Wie promoveert er eigenlijk?
    Het proefschrift van Angeliki Kolovou is een bundeling van zes artikelen waar Marja van den Heuvel-Panhuizen, promotor, mede-auteur is.

    Zijn de zeden zo verwilderd, in deze neoliberale decennia, dat dit wordt gepresenteerd als de gewoonste zaak van de wereld?

    • Marja
      Ik houd het erop dat Marja hier promoveert, op een onderzoek naar probleemoplossen van de beste leerlingen in groep zes. Kritische bespreking van dit onderzoek is kritische bespreking van het FI. Twee dingen, en een historisch ding (voor Jan).

      Onderzoek naar probleemoplossen is psychologisch onderzoek. Dat betekent niet dat psychologen (Duncker; A. D. de Groot; Newell & Simon) het onderwerp monopoliseren (Polya ging zijn eigen goede gang), maar sinds Newell & Simon kan niemand meer om deze literatuur heen. En dan niet alleen om in de literatuurlijst op te nemen: het onderzoekontwerp moet ervan doortrokken zijn, op enigerlei wijze. Ik heb er zelf lang mee geworsteld, en nog steeds, zie mijn hoofdstuk over het ontwerpen van probleemstellingen hier.

      Dit onderzoek beperkt zich tot de beste leerlingen. Waarom is dat? Is dit in meer ontwerponderzoek van het FI het geval geweest? Welke opvatting over rekenonderwijs in relatie tot verschillen in capaciteiten van leerlingen spreekt hieruit?Waarom bijvoorbeeld niet gekozen voor de slechtst presterende leerlingen?

      Historisch was het in Nederland zo dat de promovendus de stellingen van de promotor verdedigt, als ik het goed heb. In de middeleeuwse universiteit werden de kandidaten geëxamineerd door anderen dan hun eigen meester, wat nog steeds een uitstekende regel is, die we terugzien in de huidige vorm van de promotiecommissie. Gezien de nadruk op probleemoplossn, had ik een experimenteel psycholoog als copromotor verwacht.

      • Probleemoplossen
        De psychologie achter/van het realistisch rekenen is van grote betekenis als verklarende factor voor het falen van dat realistisch rekenonderwijs. Opvattingen over probleemoplossen maken daar deel van uit. Ik wil aan probleemoplossen zeker uitvoerig aandacht besteden, en misschien is het goed om dat juist niet te doen vanuit de ideeën daarover in de Freudenthal-groep, maar juist van de stand van zaken in de psychologie. Met bijzondere aandacht voor het rekenen, natuurlijk. Ik denk bijvoorbeeld aan:

        • S. Ohlsson & E. Rees (1991). The function of conceptual understanding in the learning of arithmetic procedures. Cognition and Instruction, 8, 103-179. abstract. Genoemd in Jamie I. D. Campbell (Ed.)(1992): The Nature and Origins of Mathematical Skills. North Holland.the whole book (large!), en in Jamie I. D. Campbell (Ed) (2005) Handbook of Mathematical Cognition, in zijn geheel online hier (enorm)
        • Stellan Ohlsson (2011). Deep learning. How the mind overrides experience. Cambridge University Press. zie ook hier

        De titel van het boek van Ohlsson suggereert onderzoek naar de problemen bij het overstijgen van de boerenwijsheid van de eigen ervaring. Ik hoop dat dat inderdaad zo is, een boeiend thema. Zonder gekheid: het boek gaat zeker de belofte van het ‘deep learning’ waarmaken. Er komt in dit zomerreces een blog over (of meerdere).

    • Re: Wie promoveert er eigenlijk?
      Helaas Ben, het is inderdaad zo dat een promotor tegenwoordig vrijwel standaard mede-auteur is. Komt doordat de boven ons gestelden keutels (artikelen) tellen. Dus alles waar je je naam op kan zetten, daar zet je je naam op.

Reacties kunnen niet achtergelaten worden op dit moment.