Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16 [en dit is 17]

 
11 februari 2012. Mede dankzij de kritische analyses vanuit BON heeft OCW besloten om voor de rekentoets voor het vwo ook een serieuze variant 3S te laten ontwikkelen naast de 3F-toets van de commissie-Schmidt. (Volg bv. de WiskundE-brief voor verdere ontwikkelingen). Daar is door OCW een commissie voor benoemd: Jan van de Craats (vz), Jos Tolboom (secr), Jaap Vedder (CvE), Ernie Schouten (Cito), Henk van der Kooij, Wim Caspers, Peter Kop, Jan Karel Lenstra en Henk Rozenhart. Voor meer informatie, zie taalenrekenen.nl (daar ook het emailadres van de secretaris).

  • In blog 7779 heeft de redactie, met toestemming van Victor Schmidt, zijn brief n.a.v. rekenblog 16 geplaatst (deze brief is door Schmidt in afschrift aan OCW gestuurd): pdf.
  • Rekenblog 16: De wet, de rekentoets, het rekenen, en de eindexamens, ihb. havo/vwo [16] blog 7756

Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16

Het is wel heel bijzonder om een inhoudelijke brief te ontvangen van Victor Schmidt, voorzitter van de Rekentoetswijzercommissie (zie redactie-blog 7779 met de brief van Schmidt). Tamelijk heftig ook, omdat hij negen misvattingen ziet in de laatste van een serie blogs over het rekenonderwijs in Nederland. Er is daarom voor gekozen om zowel zorgvuldig als uitvoerig te antwoorden op deze punten van kritiek. Het blijkt dat het Schmidt niet zozeer om misverstanden in rekenblog 16 is te doen, maar meer om de gelegenheid om toe te lichten hoe de commissie tewerk is gegaan bij het opstellen de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. Of eigenlijk hoe de commissie heeft moeten werken binnen een te nauwe opdracht gezien de aard van de taak: een nieuw onderdeel ontwerpen van het eindexamen havo/vwo.

Ik (de eerste auteur) zal kort aanstippen wat mijn werkwijze is bij dit project van rekenblogs.  Ik werk als onderwijsonderzoeker, niet als politicus, politicoloog, wiskundige of leraar. En op absoluut vrijwillige basis. Mijn specialisme is in het bijzonder het toetsen, testen, examineren en selecteren dat in en rond het onderwijs plaatsvindt, tot en met aansluiting de arbeidsmarkt. Vanuit dat perspectief evalueer ik wat de kracht en wat de zwakte is van rapporten van commissies, en zoals hier ook van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. Het is in dat kader wel interessant wat precies de opdracht aan een commissie is, maar in mijn academische benadering telt allereerst de waarheidsvinding.  Staat er in een opdracht dat een commissie ervan uit moet gaan dat de zon in het Westen opkomt en in het Oosten ondergaat, dan is het aan de commissie om daar geen genoegen mee te nemen.  Dat hier problemen liggen, begrijp ik. Maar we komen met onderzoek naar kwaliteitsgebreken in het onderwijs niet verder wanneer deze voortdurend door beleidspapier toegedekt kunnen worden.
Ik begrijp heel goed dat voor de voorzitter van een overheidscommissie het gelijk ligt in de letter en de geest van de opdracht aan de commissie, en van voorgaande rapporten en regelgeving, die de speelruimte van de commissie bepalen of inperken.  Ik ga bij mijn analyse uit van andere kaders, van algemene beginselen van behoorlijk onderwijs (Job Cohen, 1982), van wat er op basis van de stand van zaken in relevante wetenschappelijke disciplines valt te zeggen over didactische praktijken en de kwaliteiten van examenvragen.

Puntsgewijs volgen nu de passage zoals door Schmidt geciteerd, de toelichting waarop we menen te moeten ingaan, en onze argumenten die met letters zijn aangeduid om verdere dialoog te vergemakkelijken. 

 Misvatting 1
“Een novum is ook, voor zover op dit moment te overzien (de concept-voorbeeld-rekentoetsen van de toetswijzercommissie-Schmidt), dat deze rekentoetsen, waar het College voor de Examens (CvE) de verantwoordelijkheid voor krijgt, een particularistische opvatting van rekenen vertegenwoordigen.” 

a. Ik begrijp uit de toelichting van Schmidt dat het hier niet om een misvatting gaat, maar om een uitspraak waar de voorzitter van de rekentoetswijzercommissie, verder de commissie te noemen, toelichting bij wil geven. Dat is prima. Schmidt beschrijft de gang van zaken en de beperkingen waarmee zijn commissie te maken heeft, wat op zich waardevolle informatie is.

  • Schmidt: “De rekentoetswijzercommissie heeft als opdracht gekregen een toetswijzer te ontwikkelen voor havo en vwo op basis van referentieniveau 3F. Als randvoorwaarde gold dat de toetswijzers alleen beredeneerd mochten afwijken van de examensyllabus rekenen/wiskunde mbo-4. Op basis van deze opdracht is de commissie samengesteld en aan het werk gegaan met als resultaat een rekentoets dat grotendeels uit contextopgaven bestaat.”

b. Met alle respect, maar dit is niet de manier waarop op een verantwoorde wijze (onderdelen van) examens ontwikkeld moeten worden. Het ontwerpen van een examen is geen bureaucratische opgave, maar een inhoudelijke.  Uit de toelichting van Schmidt blijkt dat het de commissie eigenlijk expliciet is verboden om een inhoudelijke adequate rekentoets te ontwerpen. 

c. De basis voor het ontwerp van de rekentoets zou het referentieniveau 3F moeten zijn.  Waar komt dat referentieniveau vandaan: het is het resultaat van commissiewerk (de commissie-Meijerink), om preciezer te zijn van de werkgroep-Van Streun waarin leden van de commissie-Meijerink en externe leden. Had deze commissie, resp. werkgroep, de opdracht om rekentoetsen als onderdeel van het eindexamen havo/vwo voor te bereiden? De vraag stellen is hem beantwoorden: Nee. (Bijlage A van het rapport van de commissie-Meijerink) Maar dit is toch een wonderlijke situatie: referentieniveaus die voor een ander doel zijn ontwikkeld, blijken even later het keurslijf te zijn waarbinnen de commissie-Schmidt zijn opdracht moet vervullen. En dan is nog niet eens gesproken over de verdere inperking: alleen beredeneerde afwijking van de examensyllabus rekenen/wiskunde mbo-4. Wat mag de dwingende relatie zijn tussen eindexamens mbo-4 en havo/vwo? Dat zij alle toelaatbaarheid tot het hbo geven? Maar dan ligt het ultieme criterium voor een rekentoets toch niet in de voor een ander doel opgestelde referentieniveaus, maar in de eisen die het hbo stelt aan de reken- en wiskundevaardigheden van de binnenkomende studenten?

  • Schmidt: “De vrijheid van de commissie was en is zeer beperkt. De rekendoelen van referentieniveau 3F zijn beschreven in het desbetreffende besluit. De commissie zou het referentiekader geen recht doen als ze een groot deel van deze rekendoelen niet in de rekentoetsen zou opnemen of zelf rekendoelen zou hebben toegevoegd. Bovendien, de commissie is er van uit gegaan dat het referentiekader rekenen door een groep met uitstekende expertise en van voldoende variatie is opgesteld. Had de commissie te zeer een eigen plan getrokken, dan zou ze het werk van de expertgroep overgedaan hebben en daarvoor achtte zich niet bevoegd en evenmin juist samengesteld.”

d. Natuurlijk heeft de commissie een buitengewoon ernstig probleem, geen misverstand daarover. Dat de voorzitter dat openlijk kenbaar maakt is moedig. De commissie heeft immers een taak die niet goed uitvoerbaar is, volgens welke maatstaven van kwaliteit dan ook.  Waarschijnlijk gold hetzelfde ook al voor de commissie-Meijerink en zijn werkgroep-Van Streun.  Maar waar gaat het met het onderwijs in dit land naartoe wanneer commissies onmogelijke opgaven toch uitvoeren, daarmee bewindslieden, het parlement, en het publiek de indruk gevend dat het werk goed is opgeleverd?  Er zijn waarschijnlijk weinig voorbeelden van commissies of instituten die opdrachten hebben teruggegeven. Ik ken een enkel voorbeeld waar het bijna zo ver is gekomen: de opdracht aan het Cito om een toelatingstoets voor de opleiding geneeskunde te ontwikkelen (Kuijpers, 1982). Minister van Kemenade was het bestuur van het Cito evenwel voor: hij trok zelf de opdracht in.  

e. Bovenstaand casus is ook daarom relevant omdat het, evenals bij de rekentoets, ging om het ontwikkelen van een toets met een zeer bijzondere functie: om bij de numerus-fixus geneeskunde de gewogen loting te vervangen door een vergelijkende toelatingstoets. Het Cito-bestuur dat de opdracht accepteerde, deed dat met de uitdrukkelijke verklaring dat daaruit niet mocht worden afgeleid dat het bestuur het beleid van de minister daarmee zou onderschrijven. Een nieuw bestuur was minder schroomvallig en vond gewoon dat het op psychometrische gronden niet aanvaardbaar zou zijn de — inmiddels wel ontwikkelde — toets inderdaad te gaan gebruiken. Over de bruikbaarheid van deze toets (kosten-baten) zie ook Wilbrink (1980).

f. De positie van een commissie kan moeilijk zijn, en dat geldt nog sterker voor individuele commissieleden. Zij zijn op basis van hun expertise benoemd.  Moet het publiek nu geloven dat de referentieniveaus van de commissie-Meijerink zijn ontwikkeld en vastgesteld met volledige instemming van ieder van de betrokken experts? Er waren immers geen minderheidsstandpunten bij de rapportages. Dat lijkt niet geweldig waarschijnlijk. Het is buitengewoon jammer dat Meijerink minderheidsstandpunten geen ruimte heeft geboden: nu weten we immers niet op welke punten er om welke reden verschillen van inzicht zijn geweest.
Een uitzondering is de inbreng die Kees van Putten ongetwijfeld in de werkgroep-Van Streun heeft gehad: de resultaten van de PPON 2004. Van Putten moet juist vanwege zijn kennis op dat punt zijn benoemd in de werkgroep, maar in het rapport van de Werkgroep blijkt niet dat de commissie iets met deze kennis heeft gedaan, en evenmin waarom dat niet is gebeurd. Op een enkel punt kan een buitenstaander dus wel analyseren dat een minderheidsinbreng is ondergesneeuwd, maar in het algemeen zal dat het geheim van de commissie blijven.  Dat is niet onbelangrijk voor een volgende commissie, waarvan de voorzitter claimt dat wiskundigen het met het rapport-Van Streun eens zouden zijn:

  • Schmidt: “Bovendien, en dat is voor mij essentieel, heeft de hele wiskundegemeenschap zich destijds – soms met de nodige aarzeling, maar toch – geconformeerd aan het Referentiekader Rekenen.”

g. De wiskundegemeenschap is daarover niet geraadpleegd. Jan van de Craats, lid van de commissie Meijerink, van de werkgroep-Van Streun, en voorzitter van de door de minister in 2006 ingestelde Resonansgroep Wiskunde, heeft zich overigens in niet mis te verstane bewoordingen over een en ander uitgesproken, en dat kan toch niet als aarzelende instemming worden opgevat.

  • Schmidt besluit: “Er is slechts op een beperkt aantal onderdelen sprake van een particularistische opvatting van de commissie.”

h. Schmidt doelt hier op de eigen keuzen die de commissie heeft gemaakt. Maar daar doelt rekenblog [16] niet op. De strekking van de door Schmidt geciteerde uitspraak is immers dat de voorbeeld-rekentoets rekenopgaven bevat die berusten op het gedachtengoed van het realistisch rekenen; de term ‘particularistisch’ is daar een eufemisme voor. Dit thema komt bij de volgende punten nog concreet aan de orde.

Misvatting 2
“Dat zijn NIET de rekenvaardigheden die het HO juist vraagt.” 

  • Schmidt: “Ik was altijd in de veronderstelling dat het hoger onderwijs vooral behoefte heeft aan beheersing van algebraïsche vaardigheden. Dat wordt in de examenprogramma’s wiskunde van 2007 in voldoende mate geborgd. Het verwerven van algebraïsche vaardigheden verloopt in veel gevallen vanuit onderliggende rekenkundige vaardigheden. Als het hoger onderwijs tevreden is over beheersing van algebraïsche vaardigheden – en daarvoor zijn aanwijzingen – waarom zou ze zich dan nog moeite getroosten aan wat daaraan vooraf gaat?”

a. Er zitten tenminste twee kanten aan de stelling dat de rekentoets NIET de rekenvaardigheden bevat waar het ho om vraagt. Zie b, resp. c.

b. Wat in de voorbeeld-rekentoets zit, is irrelevant voor havo/vwo, en dus ook voor ho.  Hierbeneden is nog aan de orde hoe de inhoud van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo irrelevant is voor havo/vwo, zoals de kale rekensommen die hoogstens niveau groep 8 bo zijn, terwijl de contextopgaven voor eindexamenkandidaten havo/vwo met wiskunde A of B volstrekt overbodig zijn, zowel qua inhoud als qua niveau. 

c. Wat in de rekentoets zou moeten zitten, al was het maar vanuit de gedachte van doorlopende leerlijnen naar het beroep toe, zijn stevige basale rekenvaardigheden die vele beroepsbeoefenaren dagelijks in hun beroep gebruiken.  Eén strafzaak tegen een verpleegkundige die een onvergeeflijke rekenfout maakt (0,10 mg is tien keer zoveel als 0,1 mg) is toch wel voldoende om dit te onderbouwen.  Dat er in vele opleidingen in het ho extra cursussen rekenen en extra toetsen op rekenen zijn, is bekend (hoewel niet duidelijk is of bijvoorbeeld de rekentoets voor de pabo wel stevig over basale rekenvaardigheden gaat: er wordt erg geheimzinnig gedaan over deze toetsen).

d. De Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde 2 website:

  • “Dit project richt zich met name op de vermindering van uitval en van studievertraging in het begin van de studie die ontstaat door hiaten in de algebraïsche vaardigheden. Dit project wil bij de 18 deelnemende HO-opleidingen een substantiële vermindering van uitval en studievertraging in het eerste grotere wiskundevak realiseren.
    De participatie aan het hoger onderwijs staat onder druk door tekorten in wiskundekennis en vaardigheden bij startende studenten. Het betreft met name de economische, natuurwetenschappelijke en technische opleidingen (53% van de HBO-studenten, en 36% van de WO-studenten).”

Dit citaat benadrukt tekorten in wiskundige vaardigheden, in g) en h) komen de rekenkundige aan de orde.

e. De toelichting van Schmidt roept nieuwe vragen op, afgezien van de op zich opmerkelijke bekentenis die erin ligt besloten dat de rekencommissie die de rekentoets havo/vwo voorbereidt niet precies weet wat de aansluitingsproblemen met het ho zijn. 

f. De algebraïsche vaardigheden waarover Schmidt schrijft zijn wel degelijk problematisch voor het ontvangende ho. Een interessante vraag is of gebrekkige basale rekenvaardigheden daarvoor een achterliggende oorzaak zijn, zoals uit de opmerkingen van Schmidt zou kunnen volgen.  Daar is natuurlijk wel informatie over beschikbaar, zie de als bijlage geven brieven van Herman Ten Napel aan de voorzitter van de Rekentoetswijzercommissie, en van Geert Jan Franx aan de docenten wiskunde en statistiek van de universitaire opleidingen economie in vergadering bijeen op 29 juni 2011.

g. Ten Napel:

  • “Maar als we dan toch -ons neerleggend bij de realiteit- een rekentoets moeten afnemen, mis ik een paar zeer essentiële zaken, zoals een aantal abstracte algoritmische rekentechnieken die de leerlingen zonder rekenmachine snel en foutloos moeten kunnen uitvoeren …”

(concrete voorbeelden: zie de brief in de bijlage.

  • “In arren moede zijn we op onze faculteit maar weer begonnen om in de eerste weken van het collegejaar het elementaire rekenen met breuken te behandelen, tot grote verbazing en hilariteit van onze buitenlandse studenten (Chinezen en Koreanen) die zich terecht afvragen in wat voor land ze eigenlijk terechtgekomen zijn.”
  • “Als bij de centrale schriftelijke VWO-eindexamens, óók bij wiskunde- A, de basistechnieken van rekenen, en hieruit volgend de basistechnieken van de algebra, voldoende aan bod komen, is eigenlijk het invoeren van een aparte rekentoets overbodig.”

h. Franx:

  • “Het beroemdste voorbeeld is natuurlijk de verpleegster die voor moord werd aangeklaagd omdat ze een patiënt een overdosis insuline had gegeven. Haar (oprechte) verweer was dat ze simpelweg het recept van de dokter had uitgevoerd: “Vorige week moest ik 0,1 mg geven, en deze week stond er plotseling 0,10 mg, dat is dus 10 keer zoveel…” Dit is het regelrechte gevolg van het gebruik van de rekenmachine in het onderwijs: De antwoorden worden geïnterpreteerd als een character string, waarvan de betekenis hen totaal ontgaat. Alleen door jarenlang met de hand met breuken te werken, wordt de betekenis duidelijk.
    Dit voorbeeld is wellicht wat extreem, maar wat dichter bij huis (in mijn geval de VU) blijkt dat de meerderheid van de bedrijfskunde en economiestudenten grote problemen heeft met breuken die spontaan kunnen optreden bij het oplossen van praktisch problemen. Als bijvoorbeeld na enig rekenwerk de vergelijking x/a = b/c optreedt, hebben deze studenten geen idee hoe ze hieruit x kunnen oplossen, laat staan dat ze de vergelijking a/x = b/c aankunnen (uiteraard zijn a, b en c constanten).”

Misvatting 3
“Ergo: dit is een uitwerking langs de lijnen van realistisch rekenen, een niet empirisch ondersteunde (zie de Onderwijsraad) rekendidactiek van het Freudenthal Instituut. Als de overheid dit, via het CvE, gaat voorschrijven, schrijft het het ‘hoe’ van het rekenonderwijs voor.” 

  • Schmidt: “Rekendoelen op het gebied van functioneel gebruik gaan over het oplossen van problemen van rekenkundige aard in een functionele situatie. Het stellen van dergelijke doelen betekent dat scholen geacht worden in hun onderwijs aandacht te schenken aan het verwerven van functioneel gebruiksvaardigheden. Hoe ze dat doen, staat ze vrij.”

a. Is het niet zo dat het idee dat de overdracht van rekenkennis naar zijn gebruik in praktijksituaties — transfer — bij uitstek is benadrukt door Hans Freudenthal en zijn groep? Dat is toch wat is bedoeld met ‘functioneel rekenen’? Niet dat de rest van de wereld daar op tegen is, maar het idee om praktijksituaties de school binnen te willen halen — of dat in realistische rekenmethoden ooit is gelukt is best een interessante vraag — is toch wel bijzonder. Is de school niet juist de vrijplaats van de beslommeringen die het dagelijks leven straks met zich mee gaat brengen? Jongelui in het vmbo de prijs van anderhalf ons kaas uit laten rekenen verspilt hun kostbare tijd: deze functietraining kunnen ze veel beter later doen, en dan niet als consument, maar als jongste bediende in de detailhandel. 

b. Het is dus duidelijk dat het functioneel rekenen in contexten een didactiek is, in de school van Freudenthal.  Natuurlijk, dat functioneel rekenen zal oorspronkelijk bedoeld zijn als didactisch hulpmiddel. Dat het didactische hulpmiddel vervolgens opduikt in afsluitende rekentoetsen vraagt op zijn minst om enige uitleg.  Toetsen of iemand zonder krukken kan lopen, gaat immers zonder die krukken.  Of is dit de verkeerde metafoor?  De vraag is deze: rekenonderwijs dat gebruik maakt van contexten, aangenomen dat empirisch is gebleken dat dit een verstandige didactiek is, impliceert niet dat het toetsen van rekenvaardigheden dan ook in of met contexten moet gebeuren. Dat zijn gescheiden zaken, en wie het samenbrengt zal het moeten uitleggen. 

c. Wie argument b. niet overtuigend vindt, bedenke het volgende: bij het onderwijs in de zaakvakken komt rekenen te pas. Dan zijn die zaakvakken de relevante contexten, en die contexten worden bij de zaakvakken ingezet, niet bij het rekenen.   
Het hele verhaal is in het vo hetzelfde waar het gaat om wiskunde en natuurkunde/scheikunde.  Waarom moet in het wiskundeonderwijs zo nodig met gekunstelde of onzinnige contextvragen worden gewerkt. Heet dat functionele wiskunde?

d. Victor Schmidt bestrijdt niet de stelling van de Onderwijsraad dat het realistisch rekenen van de Freudenthal-groep een empirisch onbewezen didactiek is,. Dat wil zeggen dat er geen empirisch onderzoek is dat aannemelijk maakt dat deze didactiek tenminste even doelmatig en doeltreffend is als alternatieve didactische benaderingen die dichter blijven bij het rekenen en de wiskunde als abstracte vakken. 

  • Schmidt: “Als een school van mening is dat hun leerlingen deze rekendoelen kunnen bereiken door veel rijtjessommen te oefenen, dan zal niemand daar een probleem van maken, zolang haar leerlingen er maar blijk van geven op het toetsmoment functioneel gebruiksdoelen voldoende te beheersen.”

e. Het geeft geen pas om niet op realistisch rekenen gebaseerde rekenmethoden af te doen als methoden die vooral veel rijtjessommen oefenen. Jan van de Craats heeft in 2007 een prima schets gegeven hoe rekenonderwijs er zonder de door hem bekritiseerde didactieken van het realistisch rekenen uit zou kunnen zien.  Een dergelijke methode — Reken zeker — is ondertussen op de markt beschikbaar (Noordhoff).

f. Schmidt stelt wel makkelijk tegenover elkaar dat het aan de scholen is om bij op realistische leest geschoeide toetsing toch te kiezen voor een alternatieve rekenmethode, en ook precies andersom, maar dit zijn geen symmetrische situaties. Psychologische wijsheid is dat een zuivere rekendidactiek het gaat winnen van een rekendidactiek die juist heel breed van stof is en de basale rekenvaardigheden verwaarloost, hoe er ook wordt getoetst. Een aanwijzing daarvoor is het resultaat in het MORE-onderzoek (Gravemeijer e.a., 1993), waar leerlingen die handig hadden leren rekenen in handig rekenen minder presteerden dan leerlingen die een ander rekenprogramma hadden gevolgd.

g. Dat het referentiekader alleen het ‘wat’ voorschrijft is een politieke fictie, onder andere in stand gehouden door de constructie om de referentieniveaus wettelijk te beschouwen als verfijning van de kerndoelen basisonderwijs. Minister Rouvoet (Handelingen 31 maart 2010)

  • “Kerndoelen bepalen wat het onderwijsaanbod moet zijn en de referentieniveaus bepalen wat het resultaat van die inspanning moet zijn, namelijk het beheersingsniveau van die basisvaardigheden taal en rekenen. Zeker wat het primair onderwijs betreft, waar wij twee referentieniveaus onderscheiden, moet het referentieniveau niet worden opgeteld, bovenop de kerndoelen, maar worden beschouwd als een uitwerking van de kerndoelen op het niveau van de beheersing door de leerlingen.”

Misvatting 4
“Ergo: met het ontbreken van directe toetsing op rekenvaardigheden vermenigvuldigen, delen, en breuken wordt ontkend dat hier juist de problemen met het reken van de Nederlandse jeugd liggen.” 

  • Schmidt: “In de voorgestelde rekentoetsen wordt wel degelijk getoetst op beheersing van de genoemde rekenvaardigheden.”

a. In de uitnodiging voor de expert meeting (zie bijlagen bij de blog) staat ondubbelzinnig:

  • “Er zijn geen toetsopgaven die betrekking hebben op een specifieke rekenprocedure.” 

Dus geen opgaven als: bereken met een staartdeling 74983 : 432. Of bereken met behulp van vermenigvuldigen onder elkaar 74983 x 432. De impliciete boodschap aan het onderwijsveld is: dit rekenen is niet van belang, er zal niet op worden getoetst.

b. Wat hebben we nu: een voorbeeld-rekentoets havo/vwo die bestaat uit te simpele ‘handig’ te berekenen kale sommen en te simpele contextopgaven waar een rekenmachine bij de hand is. Dit is niet het rekenen waarvan bij de PPON 2004 is geconstateerd dat de 12-jarigen deze rekenvaardigheden dramatisch slechter beheersen dan in voorgaande peilingen het geval bleek (Janssen, Van der Schoot & Hemker, 2005). 

c. Deze voorbeeld-rekentoets is niet inhoudsvalide, gemeten naar zijn relevantie voor de Nederlandse rekenproblematiek zoals bij gelegenheid van de PPON 2004 geconstateerd. Terwijl deze boodschap toch in kringen van SLO en FI wel degelijk is overgekomen, zoals de openingsparagraaf van Buijs (2009) laat zien.

Misvatting 5
De rekentoetswijzercommissie schrijft handig rekenstrategieën voor.

a. Schmidt geeft dit niet als citaat, en dat is het ook niet; hij bedoelt kennelijk dat hij de tekst zo opvat.
De voorbeeld-rekentoets bevat vooral contextvragen, waarbij tevens een rekenmachine beschikbaar is, en een klein deel kale rekenopgaven die ‘handig’ zijn op te lossen. Hierin is het gedachtengoed van het realistisch rekenen te herkennen. Dat is het punt van rekenblog 16: als dit zo is, dan schrijft de overheid, over de band van de rekentoetswijzecommissie en het CvE, een specifieke rekendidactiek voor, en didactiek is het ‘hoe’. 

  • Schmidt: “De rekentoetswijzercommissie schrijft geen strategieën voor, maar biedt leerlingen de gelegenheid handig rekenstrategieën toe te passen.”

b. Wat Schmidt schrijft is correct, en in rekenblog [16] niet anders voorgesteld. Maar zo eenvoudig is het natuurlijk niet:

c. Uit alle denkbare kale rekensommen zijn de sommen die ‘handig’ zijn op te lossen een heel kleine onderverzameling (subset).  Dat betekent dat de commissie hier willens en wetens kiest voor een dramatische eenzijdigheid in de rekentoets, daarmee het onderwijsveld uitnodigend om in het rekenonderwijs te koersen op eenzelfde eenzijdigheid. 
Dit is helaas geen nieuwigheid die door de commissie is bedacht, maar een stand van zaken die al heel lang bekend is. Immers, de kerndoelen rekenen schrijven deze eenzijdigheid zelfs voor, waar het rekenen zoals u en ik dat kennen is vervangen door ‘handig’ rekenen.

d. zie punt 4.a

  • Schmidt: “Als een leerling deze [een handige rekenstrategie] niet, maar een cijferprocedure wel beheerst, dan staat het hem volledig vrij een dergelijke procedure te hanteren.”

e. Dat is waar, maar dat is ook niet ontkend. Het probleem is een ander, en nadrukkelijk onder de aandacht gebracht door Kees van Putten (2005). Veel leerlingen zijn geneigd om een kale deelsom niet op papier uit te rekenen, al dan niet met staartdeling of hapmethode, maar uit het hoofd. En dan maken ze verschrikkelijk veel fouten. Kale rekensommen die ‘handig’ zijn uit te rekenen, nodigen uit om dat inderdaad te doen — de leerlingen hebben ook nadrukkelijk geleerd om het handig te doen — en het gevolg daarvan zal zijn dat het vaker uit het hoofd gaat, met meer fouten.  Als geen onbekende op het terrein van toetsvragen komen deze ‘handig’ oplosbare kale sommen mij veel te dicht in de buurt van strikvragen.  Het probleem is enigszins te ondervangen door de kandidaten te vragen iedere berekening op schrift uit te voeren, maar waar zijn we dan met ons rekenonderwijs mee bezig?

Misvatting 6
“Er is nog steeds, ook na de brief van Van Bijsterveldt van 7 juni jl, onzekerheid over de status van die rekentoetsen: of ze uiteindelijk wel mee zullen tellen voor de eindexamenresultaten havo/vwo (wat van de gekke zou zijn), …. ” 

  • Schmidt: “Het is inmiddels duidelijk op welke wijze de resultaten op de rekentoetsen meetellen in het examen.”

a. De zaak is geenszins al politiek dichtgemetseld.  En dan nog: ten strijde willen trekken is geen misvatting, maar een democratische plicht. Ook wanneer het hele wetgevingstraject zou zijn doorlopen, is het geen gedane zaak: de wet zal op korte termijn worden geëvalueerd, en desnoods herzien. 

b. Ik wijs erop dat de betekenis van de wet, van iedere wet, door meerdere gegevenheden wordt bepaald: de tekst van de wet, de toelichting op de wet, maar ook de parlementaire behandeling en in het bijzonder de in de Handelingen vastgelegde wisseling tussen bewindslieden en Kamer bij de behandeling van het wetsontwerp, en niet te vergeten de jurisprudentie bij de wet.  

c. De Handelingen van 31 maart 2010 laten zeer uitgesproken opvattingen zien, die bepaald meer diepte geven aan, bijvoorbeeld, wat de minister in de brief van 7 juni aan de Kamer rapporteert.  Het is bepaald geen gedurfde stelling dat de inrichting van de voorbeeld-rekentoets havo/vwo op belangrijke punten in strijd is met opvattingen van bewindslieden en TK op 31 maart 2010 uitgesproken. 

d. Er kunnen de nodige juridische conflicten worden verwacht, gezien de vele nieuwigheden rond deze rekentoetserij in het eindexamen, de tegenstrijdige interpretaties in het wetgevingstraject, en het falen van de voorbeeld-rekentoets op het punt van inhoudelijke en voorspellende validiteit. Inhoudelijke validiteit faalt: het toetst geen rekenvaardigheden die in de PPON gebleken zijn juist het probleem van het Nederlandse rekenonderwijs te zijn. Voorspellende validiteit faalt: het toetst niet de rekenvaardigheid die het ho eist. 

e. Het voorgaande is allemaal wel van belang, maar is niet wat is bedoeld met de nog bestaande onzekerheid over de status van de rekentoetsen: dat is immers de belangrijke kwestie, uitgesproken op 31 maart 2010  bij de behandeling van het ontwerp van de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, wat er zal worden gedaan met de resultaten op de rekentoetsen. Worden die individuele leerlingen aangerekend (wat dus niet vanzelfsprekend is), en zo ja, hoe gaat dat dan, welke eisen worden dan gesteld, zijn die algemeen voor alle leerlingen? Enzovoort. Deze vragen hebben de bewindslieden laten staan omdat daar werkendeweg pas zicht op zal komen, in pilots, experimenten en raadplegingen, en voortgaande meningsvorming in het veld.

 
Misvatting 7.

  • Schmidt: “Volgens mij is de belangrijkste beweegreden van de overheid om rekentoetsen in te stellen gelegen in het feit dat niet elke leerling eindexamen in het vak wiskunde aflegt.”

a. Dit is een wonderlijke gedachte. Maar misschien is hij waar. Schmidt weet het ook niet zeker, en geeft er geen vindplaats voor.  

b. Waar het mij om gaat, in de sectie waar het door Schmidt aangevochten citaat thuishoort, is wat een goede aanpak is om ervoor te zorgen dat leerlingen de rekenvaardigheid die ze op hun 12e hebben, goed onderhouden. En daar nog enige rekenvaardigheid aan toevoegen. En de tekorten die ze waarschijnlijk als 12-jarige al hebben — zolang het bo zijn zaken niet op orde heeft — snel bijspijkeren.  Dan ligt een rekentoets in het laatste, eventueel het voorlaatste jaar van de opleiding wel erg ver weg, en wordt het zonder behoorlijk integraal rekenbeleid een struikelblok.  
Stel nu eens dat Jan Jacob van Dijk en Jasper van Dijk hun motie met twee woorden hadden uitgebreid: dus niet alleen taal meebeoordelen in alle examenwerk, maar ook rekenen. 
Ha, maar rekenen is iets heel anders! Wie fout rekent, maakt zijn opgave natuurkunde immers niet goed! 
Maar dat is te snel geconcludeerd. Wie zijn natuurkunde, resp. wiskunde goed kent, maar rekenfoutjes maakt, kan best een 10 voor zijn natuurkunde resp. wiskunde krijgen.  Dus de motie had evenzeer het rekenen kunnen betreffen.  De CvE komt in zijn advies aan de minister wel met de mogelijkheid om toch een afzonderlijke toetsing op taalverzorging, maar dat is niet meer dan een mogelijkheid waar tal van kosten en nadelen aan zijn verbonden. Het moet dus integraal taalbeleid zijn, waarbij een toetsing bij of in het eindexamen niet noodzakelijk is. 
Waarom zou dat voor rekenen anders zijn?  We gaan toch geen rekentoets opnemen alleen omdat bepaalde leerlingen geen wiskunde in hun pakket hebben?  

c. Opmerking over de rekenfoutjes in b. In het CSE wiskunde levert een rekenfoutje standaard een punt aftrek op. Tegen deze werkwijze bestaat hetzelfde bezwaar als tegen het aanrekenen van taalfouten in examenwerk, en ook tegen het aftrekken van punten voor spel- en syntaxfouten in de samenvatting Nederlans in het CSE. Voor de argumenten zie Wilbrink, Borsboom & Couzijn, 2010.

Misvatting 8
“De KNAW commissie-Lenstra had opdracht om nu eens een keer goed naar het rekenonderwijs te kijken, maar heeft dat uiteindelijk dus niet gedaan: geen analyse van de mogelijke tekortkomingen in de huidige dominante didactiek van het realistisch rekenen, onder gelijktijdig aangeven dat er geen empirisch onderzoek beschikbaar is over de effectiviteit van de genoemde didactiek.”

Het lijkt aanvankelijk op het verhaal van ‘het glas is half vol’ versus ‘het glas is half leeg.’ Schmidt legt uit waarom ik hier de zaak verkeerd zie:

  • Schmidt: “De commissie Lenstra heeft geconcludeerd dat er geen aanwijzingen gevonden konden worden waaruit blijkt dat de realistische dan wel de traditionele rekendidactiek effectiever is dan de ander. De meest bepaalde factor zou de docent zijn. De opdracht aan de commissie was ook niet enkel om tekortkomingen van de realistische rekendidactiek te analyseren, maar de (effectiviteit van de) realistische en de traditionele rekendidactiek met elkaar te vergelijken.”

a. Als er nauwelijks empirisch toetsend onderzoek beschikbaar is, valt er over de effectiviteit van het huidige Nederlandse rekenonderwijs op basis van gericht onderzoek niets te concluderen. Dat traditionele en realistische methoden even effectief zijn, is natuurlijk een conclusie die op geen enkele manier volgt uit het ontbreken van empirisch onderzoek.

b. Maar dat is nog niet het einde van het verhaal: de PPON 2004 heeft immers een grote terugval is basale rekenvaardigheden laten zien. Dat is gebeurd in een land waar vrijwel alle rekenmethoden op realistische leest zijn geschoeid.  Een terugval in resultaten van het rekenonderwijs die samengaat met het overgaan van heel Nederland op realistische rekenmethoden is op zijn minst een stevige indicatie dat er iets met die rekendidactiek mis is. We weten wat 1 + 1 is: de Freudenthal-groep heeft altijd het belang van automatiseren (de tafels van vermenigvuldiging) en algoritmen (zoals de staartdeling) gebagatelliseerd, en laat nu precies in die basale vaardigheden Nederland in de gevarenzone zijn beland. Dan is het toch opmerkelijk dat de commissie-Lenstra hier geen verder onderzoek naar heeft gedaan. Berust dat op een meerderheidsbesluit van de commissie?

c. Schmidt zegt hier dat de opdracht aan de commissie-Lenstra óók was om de tekortkomingen van de realistische rekendidactiek te analyseren. Dat moet een verschrijving zijn.  Bedoelt Schmidt dat blog 16 stelt dat dit de opdracht aan de commissie was? Dat staat er nu juist heel zorgvuldig NIET (zie het citaat).  Wat de commissie niet had hoeven verhinderen om zo’n onderzoek uiteindelijk wel te doen, gezien de wél beschikbare empirische data (PPON-peilingen) en het feit dat de dominante didactiek in de kritische periode juist de realistische is.

  • Schmidt: “Er is daarnaast onderzoek over dit thema gedaan door De Bock …. ”

d. Dit is een misvatting van Schmidt.  Er is in de media een hoop te doen geweest over de dissertatie van Kaminski. Dat betreft experimenteel psychologisch onderzoek, in het laboratorium, onder gekunstelde condities zoals die volgen uit de noodzaak om zoveel als mogelijk is irrelevante factoren uit te kunnen sluiten. Ik heb mij niet verdiept in de commotie, maar het lijkt erop dat Kaminski, en/of anderen, onvoorzichtig zijn geweest in het trekken van algemene conclusies. Die volgen inderdaad niet, dat ben ik met De Bock c.s. (2011) eens. Zij hebben een replicatie-onderzoek gedaan, eveneens experimenteel psychologisch, de resultaten van Kaminski bevestigend, maar niet haar interpretaties.

e. Als ik Schmidt goed begrijp, denkt hij bij deze discussie over abstract versus concreet in de didactiek, aan het gebruik van contexten, dus ook van contextopgaven, zoals ruimschoots opgenomen in de voorbeeld-rekentoets havo/vwo. En aan de thematiek van transfer, natuurlijk, waar aanvankelijk in het denken van de Freudenthal-groep al die contexten voor waren bedoeld.  Als ik het goed heb, is er al snel een wending in het denken geweest: contextopgaven zijn niet alleen nodig om de transfer van de rekenkennis te bevorderen — de kans te vergroten dat deze kennis in nieuwe situaties inderdaad wordt gebruikt — maar contexten zijn het didactische middel bij uitstek om leerlingen wiskundig te leren denken, dus te leren abstraheren. Ik heb in mijn opleiding psychologie geleerd dat dit soort uitspraken over wat didactisch werkt en over wat transfer bevordert, empirische toetsing behoeven. Die empirische toetsing is bepaald iets anders dan onderwijs ontwikkelen op basis van de aangegeven ideeën (ontwikkelingsonderzoek), en die empirische toetsing ontbreekt bij de Freudenthal-groep. 

f. Het grappige is dat deze analyse leidt tot het poneren van de mogelijkheid dat contextopgaven niet thuis horen in summatieve toetsing, zoals een examentoets. Immers, voorzover contexten van belang mochten zijn om te leren abstraheren, zijn ze van belang in het onderwijs, maar niet als einddoel. En het idee dat het rekenonderwijs primair moet worden geleid door het streven dat leerlingen hun reken- en wiskundekennis zodanig leren dat ze deze in nieuwe situaties ook vanzelfsprekend toepassen, berust op de fantastische misvatting dat volwassenen vaak verkeren in nieuwe situaties waarin het van belang is dat ze zich realiseren op welke manier deze nieuwe situatie een rekensituatie of wiskundesituatie is.  Met alle respect, zo zit het dagelijks leven niet in elkaar, en zeker beroepssituaties niet, waar immers een korte functietraining meestal volstaat om de nodige rekenvaardigheid te actualiseren.  Deze hypothesen berusten op algemene psychologische inzichten, ook op kennis van aansluiting tussen onderwijs en arbeidsmarkt. Het gaat er hier niet om of de laatste hypothesen in onderzoek zijn getoetst, nee, het gaat erom dat de hypothesen van het realistisch leren rekenen niet op hun werkelijkheidswaarde zijn getoetst.

Misvatting 9.
“In de rekenopvattingen van de Freudenthalgroep is er steeds minder ruimte gekomen voor basale rekenvaardigheden.”

  • Schmidt: “Dit is een achterhaalde stellingname. Ook bij het Freudenthal Instituut is het besef ontstaan dat (het oefenen van) basale vaardigheden noodzakelijk is. Dat blijkt bijvoorbeeld uit het feit dat het instituut oefenmateriaal heeft uitgegeven onder de naam ZOEFI.”

a. Schmidt erkent dat deze stelling juist is, althans voor de periode tot, zeg, 2009. 

b. Het is toch goed hier voor de staartdeling nog eens aan te geven wat die ontwikkeling is geweest. In de tachtiger jaren benadrukt de didactiek van het realistisch rekenen dat de ‘hapmethode’ bij het leren delen langs de weg van progressief schematiseren voor de meeste leerlingen moet uitmonden in het standaardalgoritme voor de staartdeling. Er wordt zelfs geclaimd (Hans Freudenthal, 1984, in ‘Appels en peren’) dat deze didactiek in de helft van de tijd die andere methoden nodig hebben, de leerlingen beter leert staartdelen. De empirische evidentie daarvoor is altijd verscholen gebleven in een intern rapport, terwijl zo’n spectaculair resultaat toch gerapporteerd had moeten worden in Pedagogische Studiën, of het door Freudenthal opgerichte Educational Studies in Mathematics
Het is precies dit soort claims dat de realistische rekenmethode voor velen in het land zo aantrekkelijk deed lijken.  In de decennia daarna is in steeds sterker mate afscheid genomen van het idee dat het leren delen als einddoel heeft dat de leerlingen kunnen staartdelen. 

c. Een voorbeeld van de recente ommezwaai is de volgende uitspraak van Sieb Kemme, Ed de Moor, en Willem Uittenbogaard, van Rekenbeter.nl, in Het Onderwijsblad van 9 april 2011. 

  • “Wie de moeite neemt om de huidige realistische methodes erop na te slaan, ziet direct dat bijna op elke pagina rijtjes sommen staan, dat van de leerlingen verwacht wordt dat ze de tafels paraat hebben en dat er gewoon met de staartdeling cijferend gedeeld wordt.”

Ik weet niet of het bovenstaande naar de letter een juiste bewering is, maar wil dat best aannemen. Ik hoop eigenlijk dat het waar is. De auteurs gebruiken hun brief verder om columniste Lachesis belachelijk te maken; ik had liever de nodige uitleg gezien waarom dan de huidige realistische rekendidactiek de kroonjuwelen uit de voorgaande periode van de hand heeft gedaan. Ik citeer Willem Uittenbogaard en Wim Koersen (2006), die nog niet zo lang geleden een extremistisch standpunt tegen basale rekenvaardigheden presenteerden. Of nee, beter is Uittenbogaard (2008):

  • “Het cijferen, dat we vroeger leerden onder het motto: vlug, foutloos, voor later … heeft in de tegenwoordige tijd z’n betekenis goeddeels verloren. Er is bijvoorbeeld geen beroep meer waar je het nog voor zou moeten kunnen. En het toepassen van een algoritme is ook geen wiskunde! Bovendien, de oude cijferalgoritmen hebben niet veel betekenis voor het wiskundeonderwijs in het voortgezet onderwijs of voor later. In de woorden van Van de Craats: de doorstroomrelevantie van deze leerstof is niet groot.”

d. Is Uittenbogaard representatief voor de opvattingen in de Freudenthal-groep? Laat ik twee voordrachten noemen die dat trefzeker wél zijn: de oratie van Marja van den Heuvel Panhuizen (2009), en haar Australische verdedigingsrede van het realistisch rekenen (2011). Voor een rekeninstituut dat nauwelijks empirisch toetsend onderzoek heeft gedaan (Onderwijsraad, 2006; commissie-Lenstra, 2009),  claimt zij in deze toespraken wel heel veel empirische feiten. En misvattingen bij de critici van realistische rekenmethoden.

Tenslotte
Het is goed om deze argumenten te kunnen wisselen, waaruit ook duidelijk is wat de verschillende posities zijn van waaruit de voorbeeld-rekentoets havo/vwo kan worden beoordeeld. Victor Schmidt heeft negen misvattingen gezien in rekenblog 16, wat betekent dat hij zich in de vele andere punten in deze rekenanalyse 16 kan vinden. Wij menen in het bovenstaande getoond te hebben dat het ook met die negen misverstanden wel goed zit: uit de weg geruimd, of herleid tot verschillen in inzicht en verantwoordelijkheid. Dat is bemoedigend; het geeft aan dat er een breed gemeenschappelijk inzicht is op basis waarvan verdere dialoog over het werk aan het Nederlandse rekenonderwijs goed mogelijk is.

===================================================

  • Als bijlage, met toestemming van Herman ten Napel, docent wiskunde/statistiek aan de Economische Faculteit van de UvA, zijn brief aan Victor Schmidt, over de reken- en wiskundevaardigheden die het ho graag zou zien, maar bij de aankomende studenten vaak mist. Zijn brief komt ter sprake op woensdag 29 juni, de jaarlijkse bijeenkomst van de docenten wiskunde en statistiek van de economische faculteiten c.q. opleidingen van de universiteiten in Nederland.
    N.a.v. de brief van Ten Napel een aanvullende brief van Geert Jan Franx eveneens als bijlage hier toegevoegd, met zijn toestemming.

literatuur

  • Dirk de Bock, Johan Deprez, Wim van Dooren, Michel Roelens & Lieven Verschaffel (2011). Abstract or concrete examples in learning mathematics? A replication and elaboration of Kaminski, Sloutsky, and Heckler’s study. Journal for Research in Mathematics Education, 42, 109-126.
  • Kees Buijs (2009). Werken aan rekenvaardigheid in het vmbo. Euclides, 84. pdf (zie Kees Buijs (2011) in Euclides, 86, p. 286, voor het vervolg op dit project: Lesmap ‘Verder met rekenen’ voor het vmbo beschikbaar. lesmap pdf)
  • M. Job Cohen (1981). Studierechten in het wetenschappelijk onderwijs Proefschrift Rijksuniversiteit Leiden. Tjeenk Willink.
  • Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
  • Hans Freudenthal (1984). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Garant. integraal op dbnl. Hieruit in het bijzonder hoofdstuk 4: Wiskundig-didactische principes — vanuit het rekenonderwijs gezien. html
  • Gravemeijer, K., Van den Heuvel-Panhuizen, M ., Van Donselaar, G., Ruesink, N., Streefland, L., Vermeulen, W., Te Woerd, E. en D. van der Ploeg (1993) Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek.
  • Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
  • Marja van den Heuvel-Panhuizen. (2010?). Reform under attack — Forty years of working on better mathematica thrown on the scrapheap? No way! Keynote presentation, MERGA33: Shaping the Future of Mathematics Education.
  • J. Janssen, F. van der Schoot en B. Hemker (2005). Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (Hierin ook de deelrapportage van Kees van Putten) ashx
  • Kuijpers, H. L. M. (1982). Gewikt en gewogen. Eindverslag van het Cito-project ‘Studietoetsen voor studierichtingen met een numerus-clausus.’ Arnhem: Cito. Algemene publikatie nr 26.
  • Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf
  • Sieb Kemme, Ed de Moor & Willem Uittenbogaard (2011), ingezonden brief in Het Onderwijsblad van 9 april 2011.
  • Onderwijsraad (2006). Naar meer evidence based onderwijs. Advies aan de minister van OCW pdf
  • Commissie-Meijerink / werkgroep-Rijlaarsdam-van den Berg / werkgroep-Van Streun (2008). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Taal. Rekenen. Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
  • Putten, C. M. van (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In J. Janssen, F. van der Schoot en B. Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). ashx
  • Reken zeker. Noordhoff Uitgevers, in samenwerking met de Stichting Goed Rekenonderwijs. website
  • Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep
    Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf

  • Willem Uittenbogaard en Wim Koersen (2006). Kolomrekenen en cijferen: hoe nu verder? html
  • Willem Uittenbogaard (2008). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Appels en peren — naar Hans Freudenthal. Panama Post. pdf
  • Ben Wilbrink (1980). Toelatingstoets voor het wetenschappelijk onderwijs? Tijdschrift voor Onderwijsresearch 5, 39-40. html
  • Ben Wilbrink: Kwaliteit van toetsvragen. In Toetsvragen onwerpen. Handreiking bij het maken van toetsvragen over de leerstof. website 28-6-2011
  • Ben Wilbrink, Denny Borsboom & Michel Couzijn (september 2010). Spelling, grammatica en interpunctie meebeoordelen op eindexamens? Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk, 8 (3), 5-9. pdf.

links

  • In blog 7779 heeft de redactie, met toestemming van Victor Schmidt, zijn brief n.a.v. rekenblog 16 geplaatst (deze brief is door Schmidt in afschrift aan OCW gestuurd): pdf.

    Als bijlagen hier ook: uitnodiging van de commissie voor de expert meeting 12 april, de rekentoetswijzer (concept) en de voorbeeld-rekentoets (concept).
    [geen auteur genoemd] Servicedocument bij de rekentoetswijzers 2F en 3F vo. Toelichting, aanvullende informatie, verantwoording & discussie en voorbeeldopgaven bij de rekentoetswijzers 2F en 3F voortgezet onderwijs. Eindversie. pdf

    Rekenblog 16 was mede een oefening voor het volgende concept-artikel, waarvan de definitieve versie in september zal verschijnen in Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk:

    Ben Wilbrink en Joost Hulshof: De wet, het rekenen, en de rekentoets in de eindexamens havo/vwo. html

    Ben Wilbrink en Joost Hulshof (in druk): De wet, het rekenen, en de rekentoets in de eindexamens havo/vwo. Invoering van de rekentoets havo/vwo in 2014. Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk, jaargang 8, nummer 3 (september), 18-22. [Het beleid van dit tijdschrift is om artikelen na een jaar vrij beschikbaar te maken]

    Victor Schmidt refereert in zijn brief aan de brede discussie n.a.v. het proefschrift van Kaminsky, een discussie die ook in Nederland nogal wat pennen heeft losgemaakt. Omdat het gaat om laboratoriumonderzoek dat heel, heel ver van de onderwijsvloer afstaat, ga ik er in de reactie op de brief van Schmidt niet inhoudelijk op in. Daarom: voor een pdf met daarin enkele belangrijke stukken uit de pers, en een ppt-presentatie van De Bock e.a. die in de Nieuwe Wiskrant hun replicatie-onderzoek aan het Nederlandse publiek presenteren, zie hier de handout van de ppt presentatie op de site van het FI, of de pdf ervan in de bijlagen bij deze blog.

Vorige blog

  • De wet, de rekentoets, het rekenen, en de eindexamens, ihb. havo/vwo [16] blog 7756

voor-vorige blog, met volledige lijst van voorgaande rekenblogs

  • Coen Teulings: achterblijvende reken- en wiskundevaardigheden gaan ons jaarlijks zes miljard kosten [15] blog 7723

Ben Wilbrink, onafhankelijk onderwijsonderzoeker website
Joost Hulshof, Wiskundige Analyse aan de Vrije Universiteit, bestuurslid BON.

37 Reacties

  1. Didactiek
    Het is in mijn ogen niet zo dat deze rekentoetsen een didactiek voorschrijven. Schmidt heeft gelijk dat je een andere didactiek toe kunt passen om leerlingen op deze toetsen voor te bereiden (dat kan altijd…).

    Het is wel zo dat deze rekentoetsen compleet op de realistische didactiek aangepast zijn. Er worden precies die vragen gesteld die in de realistische didactiek als belangrijk gezien worden en opgaven die door het overgrote deel van de leerlingen die volgens de realistisch didactiek les hebben gehad niet goed gemaakt worden (zoals 132 x 469) worden niet gevraagd.

    • didactiek voorschrijven
      Mark,

      Natuurlijk wordt hier niet letterlijk een didactiek voorgeschreven. De diepere laag, evenwel, is deze. Wat als examenstof wordt voorgeschreven, wordt richtinggevend voor het onderwijs. Dat is niet alleen een ervaringsfeit, maar kan ook door de wetgever bewust zo worden gehanteerd. In het geval van rekentoetsen als onderdeel van de eindexamens is het expliciet de bedoeling van de wetgever de rekentoetsen richtinggevend te laten zijn voor het onderwijs dat moet worden gegeven. Wanneer dan die rekentoetsen gekleurd zijn in de kleurstof van een bepaalde didactische school . . . . . .

      • Re: didactiek voorschrijven
        Ik ben het met je eens dat deze rekentoetsen geheel en al gekleurd zijn door de opvattingen van het realistische reken-wiskunde onderwijs.

  2. Nog steeds happen
    N.a.v. misvatting 9, punt c, ontving ik de volgende mail, die ik heb geanonimiseerd:

    Ik werk op een basisschool in regio XXX. Wij werken met Wereld in Getallen 2.

    Per soort som staan er hooguit 4 rijtjes van 5 sommen waarbij zeker tot en met groep 6 er met name uit het hoofd gerekend wordt.

    Ja, ze moeten de tafels paraat hebben, zeker eind groep 5. In groep 6 maken we de opstart met het delen via de hapmethode. Uit de boeken van groep 7 en 8 weet ik dat het tot eind groep 8 gewerkt wordt met de hapmethode.

    Staartdelen mag ik mijn leerlingen nog steeds niet aanleren. We werken met de hapmethode, met alle gevolgen van dien.

    Zwakke leerlingen zien door de bomen het bos niet meer, terwijl ze prima uit de voeten kunnen met cijferend optellen/aftrekken en vermenigvuldigen zoals eind groep 6 van ze verwacht mag worden.

    En de sterke leerlingen worden lui, in groep 6 vinden zij nog uitdaging in het bedenken van zo groot mogelijke happen om een som sneller af te kunnen ronden. Maar als in groep 7 het vaste stramien zijn intrede heeft gedaan (1x,2x,4x,8x,10x,20x), komen ze daar niet meer van los totdat in groep 8 de rekenmachine zijn intrede doet.
    Op mijn school wordt in elk geval niet ‘gewoon met de staartdeling cijferend gedeeld’ was het maar waar.

    • De Wereld in Getallen
      Van de Wereld in Getallen is onlangs de 4e versie verschenen. Het valt dus vol te houden dat ‘Wereld in Getallen 2’ nog de ‘oude’ opvatting van het realistisch rekenen vertegenwoordigt.

      Zo schrijft de uitgever bijvoorbeeld in de brochure over het verschil tussen de 4e en eerder versies:

      Meer oefenen en automatiseren.

    • Totale bevestiging
      Ik werkte met WIG 1, en ontmoette precies dezelfde moeilijkheden.
      Ik zie nog steeds hoe trage leerlingen na een les van ruim meer dan een uur slechts 3 delingen hadden kunnen volbrengen. Kwam de deling niet op 0 uit, ontdekte ik fouten bij het aftrekken (want aftrekken diende wel cijferend te gebeuren!) of fouten bij het in eerste instantie, maken van de verdubbelingsrij.
      Dat gaf al veel problemen nog voordat de deling gemaakt moest worden!
      Als er dan, bij redactiesommen, tussendoor zulke opgaven gemaakt moesten worden, hadden vooral de zwakkeren na een les van ruim een uur slechts 2 sommen kunnen maken. Dit helpt hen uiteraard niet bij het ontwikkelen van allerlei benodigde vaardigheden.
      Slechts de sterkste leerlingen slaagden erin de opgaven met deze methode tot een goed einde te brengen.
      De rest was al fouten aan het maken bij het herhaald aftrekken of bij het noteren van de verdubbelingsrijen.
      De WIG-methode was dus vooral gericht TEGEN de zwakkeren, hoewel het omgekeerde werd verkondigd!
      Het totale gebrek aan inslijpen werd voortdurend juist de zwakkeren fataal. Zij bleven manco op manco stapelen.
      Want regelmatig kwamen nieuwe problemen aan de orde waar de oude (waar op gebouwd moest worden) zeker nog niet voldoende getraind waren geworden.
      Een bouwwerk dat geen fundamenten heeft, bezwijkt.
      WIG bracht te weinig fundamenten. Een nieuwe muur kwam aan de orde waar de oude muur nog was blijven steken bij het ‘kennis maken met’.
      Aldus stapelt zich gebrek op gebrek.
      En dat met grote regelmaat.
      En daarom werden vooral de zwakkeren de dupe van dit ‘nieuwe’ rekenen.
      Hoewel die vernieuwlers voortdurend namens de zwakken zeiden te spreken!

      • Dit geeft te denken
        Moby,

        Ik wil jouw verslag van de onderwijsvloer contrasteren met de rapportages van de Freudenthal-groep.

        Die rapportages gaan vrijwel zonder uitzondering (het MORE-onderzoek is een uitzondering) over wat zij ‘ontwikkelingsonderzoek’ noemen, geëxporteerd als ‘design research’. Dat is onderzoek dat geen onderzoek is, en ontwikkeling van onderwijs zonder het bijbehorende onderzoek (op doeltreffendheid, effectiviteit). De rapportages van de Freudenthal-groep bestaan typisch uit de beschrijving van het leren van individuele leerling Andries, Flip en Marie-Louise, of beter: van de oplossing die zij geven van een voorgelegde reken- of contextopgave.

        Jouw beschrijving serieus nemend, kan het niet anders of de ontwikkelaars in de Freudenthal-groep moeten tegen dezelfde problemen zijn opgelopen, zonder deze te hebben gerapporteerd. Dat zouden zij hebben kunnen doen omdat er in iedere klas ook leerlingen zijn die op een interessante manier komen tot een beredeneerde uitwerking van de voorgelegde reken- of contextopgave.

        Met andere woorden: de vraag ligt hier voor of de ontwikkelaars van de Freudenthal-groep in hun verslaglegging in rapporten en tijdschriften misschien selectief zijn geweest in de keuze van de leerlingen over wie ze gedetailleerd verslag doen. Misschien kan Jan van Maanen, de huidige directeur van het FI, daar duidelijkheid over verschaffen? Al was het maar door aan te geven op welke wijze de Freudenthal-groep heeft geborgd dat de verslaglegging objectief is. Dat dus ook de zwakkere en zwakste leerlingen in het ‘ontwikkelingsonderzoek’ op representatieve wijze zijn opgenomen.

        • hap-methode
          Tachtiger jaren realistisch rekenen: de hapmethode is juist geschikt om zwakkere leerlingen toch de staartdeling te kunnen leren die zij anders niet onder de knie zouden krijgen, en als ze het niveau van de staartdeling niet halen, dan kunnen ze in ieder geval met de hapmethode hun deling tot een goed einde brengen. Noemde Treffers die niet ‘progressief schematiseren’?

          Het bovenstaande is een empirische claim. Ik heb het bijbehorende onderzoek nog niet gezien, en vermoed dat het niet bestaat. Dat onderzoek moet immers laten zien dat een realistische rekenmethode het hier beter doet dan een rekenmethode die bijvoorbeeld Goffree in 1968 zou hebben gebruikt.

          Merk in deze context op dat de Cito Eindtoets Basisonderwijs niet om het uitvoeren van staartdeling zal vragen. Is dat ooit wél het geval geweest?

          Vandaag eraan herinneren dat de staartdeling toch het einddoel moet zijn, is solliciteren naar pek en veren. Ofwel: “En staartdelen is niets anders dan efficiënt genoteerd
          happen.”

          • Onhandig happen
            Andersom geformuleerd:

            De hapmethode is niets anders dan een onhandig genoteerde staartdeling.

  3. Niveau eindexamens wiskunde havo/vwo
    Over de daling van het niveau van de eindexamens wiskunde havo/vwo, zie het volgende interview met Schuring, de verantwoordelijke man bij het Cito in de jaren negentig. Het interview is in 2001, op dat moment zijn er, althans bij Schuring, geen vermoedens dat het dalen van het niveau van de wiskundeprestaties mogelijk iets te maken kan hebben met het rekenonderwijs. Het onderwerp is weer actueel: vandaag bericht de NOS over de plannen die Halbe Zijlstra morgen aan het Kabinet voorlegt over strenger wo: selectie, presentie, studietempo, en — gek genoeg — een bachelor met een breder vakkenpakket.

    • Gerard Alberts & Bert Zwaneveld (september 2001). Alle dagen eindexamen. Interview Henk Schuring, vertrekkend wiskundeman bij het Cito. Nieuw Archief voor de Wiskunde, 5/2, 262-264. pdf.
      • “In 1995 waren de examens voor wiskunde B van het VWO te slecht gemaakt. Er werden zelfs kamervragen gesteld. Daar ben ik toen binnen het CITO op aangesproken. Het jaar erop hebben we maatregelen genomen, door extra screeners de opgaven te laten doornemen. Het hielp niet. Alle betrokkenen zeiden vooraf dat de opgaven redelijk waren en dat deze eisen gesteld mochten worden en toch ging het mis. Het was dramatisch om vanuit het CITO te moeten toegeven: dit hadden we niet kunnen voorspellen. Het jaar daarop, 1996, was de vaststellingscommissie gewijzigd van samenstelling en zijn de examenopgaven vereenvoudigd. Toen heb ik het hoofd in de schoot gelegd. Die vaststellingscommissie is de vaksectie wiskunde van de CEVO (Centrale Examencommissie Vaststelling Opgaven [nu: CvE]). Het CITO produceert de examenopgaven, met eerder besproken CG, de CEVO stelt ze vast. De wiskundevaksectie van de CEVO steunde mij altijd ten volle. Toen de vaksectie zich vernieuwde, zijn de eisen vervriendelijkt.”
    • Vaksectie
      En wie zaten er in die vaksectie? Welke mensen hebben ervoor gekozen om de eisen te ‘vervriendelijken’?

    • “Het onderwerp is weer
      “Het onderwerp is weer actueel: vandaag bericht de NOS over de plannen die Halbe Zijlstra morgen aan het Kabinet voorlegt over strenger wo: selectie, presentie, studietempo, en — gek genoeg — een bachelor met een breder vakkenpakket.”

      Iedereen die een klein beetje kan nadenken beseft dat een opleiding per definitie aan diepgang verliest naarmate je die verbreedt indien de studentenpopulatie hetzelfde blijft.

      Nu kan ik me best voorstellen dat een gemeenschappeijk jaar voor een aantal sociale wetenschappen (psychologie, sociologie, pedagogie, politicologie) interessant kan zijn (dat kan jij ongetwijfeld veel beter beoordelen dan ik). Een gemeenschappelijk jaar voor enkel bètarichtingen kan best zinvol worden ingevuld: calculus, lineaire algebra, statistiek en kansrekening, algebra, (partiële) differentiaalvergelijkingen, analyse, algebra mechanica, thermodynamica, optica programmeren, …
      Ik houd echter mijn hart vast als straks bijv. de studenten elektrotechnie, technische natuurkunde en informatica in samen met bijv. studenten van technische bedrijfskunde en innovatie´wetenschappen´ vakken moeten volgen.
      Als je echter de hele bachelor wil verbreden dan moet je hier de logische consequentie aan verbinden dat tal van studierichtingen een extra masterjaar krijgen. Nu al is er bijv. nog maar weinig ruimte voor ingenieurs om en een goede basis op te doen (veel te weinig abstracte wiskunde en veel te weinig fysica) en zich voldoende te specialiseren aangezien er ook nog eens een stage moet worden gelopen en ook nog eens een thesis moet worden geschreven. In België en Duitsland bijv. is vijf jaar volstrekt normaal voor een willekeurige universitaire studies, dan spreek ik nog niet over de zwaardere studierichtingen.

      • Bredere bachelor
        Bart,

        Dat doet me bedenken dat er afgelopen decennia vele pogingen zijn geweest om gemeenschappelijke propedeuses te maken (beta-gamma, bijvoorbeeld). Ik maak me sterk dat die geen van alle een succes zijn geworden.

        Ook pogingen voor een gemeenschappelijke propedeuse hbo-wo in de technische vakken is zo’n idee dat niet blijkt te werken (Ackermans & De Jong, 1991, ATW/ARHO).

        Het idee dat ‘breed’ beter aansluit op de arbeidsmarkt is een misvatting. De specialistisch opgeleide ingenieur ruimtevaarttechnologie die in de ruimtevaart geen emplooi vindt, is ook elders graag gezien.

        Sies Wiegersma wees er in zijn boek Innovatie van het hoger onderwijs. al op dat een goede brede opleiding waanzinnig hoge eisen aan studenten stelt, dat gewonen brede opleidingen die eisen juist niet stellen, en dat dat toch een helder signaal zou moeten afgeven.

        Tenslotte: we hebben een onderwijsstelsel waarin het vwo al heel specialistisch is. En daar gaan we dan brede bachelors bovenop zetten? Waanzin.

      • in de dagen van olim
        Toen ik (lang geleden) op de THE (nu TUE) studeerde kon je je P1 voor natuurkunde uitbreiden tot een propaedeutisch examen door in één extra vak tentamen te doen. Dat ging over RLC-netwerken en de bijbehorende diagrammen in het complexe vlak. Daarmee haalde je toen een jaar eerder een propaedeuse binnen. De nominale studieduur voor de ingenieursexamens was in die tijd 5 jaar.
        Seger Weehuizen

  4. Rekenen en algebra
    Hans Freudenthal (Ed.) (1962). Report on the relations between arithmetic and algebra. Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematical Instruction. Groningen: J. B. Wolters.

    • Joh. H. Wansink: Arithmetic and algebra in the Dutch school system. 5-19
    • Hans Freudenthal: Logical analysis and critical survey 20-41
    • W. J. Bos: Stimulating and motivating the student 42-55
    • P. M. van Hiele: The relation between theory and problems in arithmetic and algebra 56-63
    • Joh. H. Wansink: The extensions of the number concept; the properties of the operations 64-90
    • H. Streefkerk: The introduction and the use of lettters and brackets in algebra 91-98
    • P. G. J. Vredenduin: Functions and relations 99-110
    • W. J. Brandenburg: The impact of the entrance examination on the mathematics teaching in the first grade of the secondary school 111-115
    • P. G. J. Vredenduin: Test classes 116-121
    • List of textbooks 122-123

    Verdraaid aardig, nuttig en onthullend overzicht: Wansink, 5-19.
    ‘Education as a human activity’ (p. 21): HF 20-41. Ook: ‘Learning as guided reinvention’
    Doorlopende leerlijn fracties-algebra: Wansink 64-90
    Proefklas algebra (toelating gymnasium): Vredenduin 116-121 (Dit materiaal zou een replicatie-onderzoek mogelijk moeten maken, lijkt me!)

  5. Lenstra, juli 2011: de sleutel ligt nog steeds bij de leraar.
    Bennie Mols (juli 2011). Leren de leraren weer rekenen? Jan Karel Lenstra over wat zijn rapport Rekenonderwijs op de basisschool in gang heeft gezet. Akademie Nieuws, 3-6. html [op dit moment is de site van de KNAW down, hopelijk niet voor eeuwig]

    In dit interview (gehouden december 2010) neemt Lenstra geen millimeter afstand van het rapport van zijn commissie, waarvan een van de hoofdconclusies hier nog eens is geformuleerd:

    • “Het publieke debat overdrijft de tegenstelling tussen de traditionele en de realistsiche rekendidactiek en gaat bovendien over het verkeerde onderwerp, namelijk een vermeend verschil in het effect van beide didactieken. Er is geen overtuigend verschil aangetoond.
    • < ?ul>
      Met alle respect, maar dit is misleiding. Er is geen verschil aangetoond omdat er geen onderzoek naar is gedaan. Het proefschrift van Harskamp dateert van 1988, en is maar beperkt van opzet geweest. Op zich was het destijds al spectaculair dat Harskamp liet zien dat het realistisch rekenen in zijn onderzoek (SVO-gefinancierd) niet veruit de betere methede was. Wat wél is aangetoond, in de PPON 2004: dat het rekenonderwijs faalt waar het de basale rekenvaardigheden betreft, en dat falende rekenonderwijs is bijna 100% op realistische methoden gebaseerd.

      De sleutel mag dan volgens Lenstra nog steeds bij de leraar liggen, maar als die ‘beter’ wordt geschoold in een falende realistische didactiek verdwijnt de oplossing verder uit zicht.

      In december zeggen Lenstra en Korbijn dat de discussie over het rekenonderwijs is verstomd. Dat was in december waar.

    • Niet vrolijk
      Van dat interview word ik niet vrolijk. Bijvoorbeeld het volgende fragment (van de interviewer) is echt misleiding:

      Ging het Nederlandse rekenonderwijs achteruit door het dominant geworden realistisch rekenen ten koste van het traditionele rekenen? Nee, was het antwoord van het rapport.

      En Korbijn zegt:

      maar men verschilt wel nog van mening over de vraag of die kennisbasis [Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo] te ambitieus is of niet.

      Dat lijkt me toch ook echt een vertekening van de werkelijkheid: zie bijvoorbeeld hier en hier en hier hier voor bikkelharde kritiek op die `kennisbasis’. En niet omdat die te ambitieus zou zijn…..

      Wel goed is het fragment waarin Lenstra zegt:

      Het realistisch rekenen is als zaligmakend dogma ingevoerd zonder empirische evidentie. En ook de pabo is door onderwijskundigen ingericht op basis van overtuigingen in plaats van op basis van wetenschappelijk onderzoek.

    • Ik kom terug op die millimeter
      Waarschijnlijk heeft de interviewer de conclusie uit het KNAW-rapport nog eens in het artikel gezet, niet Lenstra. Wat Lenstra wél zegt is toch opmerkelijk, voor de lezers in de Freudenthal-groep (zie ook het citaat in de post van Mark over empirische evidentie):

        • “”Er zijn nog een paar harde realisten die blijven zoeken naar systematisch positieve effecten van realistisch rekenen, maar ik denk dat zij een achterhoedegevecht voeren.”

          “Een positieve ontwikkeling is verder dat er een grotere verscheidenheid aan rekenmethodes op de markt aan het komen is. De jarenlange dominantie van het realistisch rekenen in de leerboeken voor de basisschool wordt daarmee doorbroken. Een grotere verscheidenheid draagt bij aan het doorbreken van het dogma dat of alleen het realistisch rekenen zaligmakend zou zijn, of alleen het traditionele rekenen.”

          “Lenstra: ‘Rekenboekjes moeten de beste kanten van beide didactieken combineren. Helaas zijn leraren op de basisschool lang niet altijd goed in staat een weloverwogen keuze te maken voor een bepaald rekenboek. Ik nam laatst een nieuw rekenboek mee naar de lagere school van mijn kinderen. Toen de interne begeleidster het boek zag, zei
          ze: “O, ik krijg hoofdpijn van die achtergrondkleuren.” Ze had het boek nog niet eens inhoudelijk beoordeeld.”

  6. ZOEFI
    Bij misvatting 9 verwijst Schmidt naar de methode ZOEFI die juist is gericht op oefenen van basale rekenvaardigheden. Wat dit inhoudt, wordt nogal ondubbelzinnig duidelijk gemaakt in dit filmpje:

    www.fi.uu.nl/zoefi/leraar24.html.

    Zonder blikken of blozen legt Marjolein Kool (Freudenthal-groep) (op 1:06′) hier uit dat bij de huidige rekenmethoden de leerlingen tekorten opdoen bij de basale rekenvaardigheden. Daar heeft het Freudenthal Instituut nu een methode voor, om dat bij te spijkeren: ZOEFI, een doorlopende oefenlijn. (Voor wie niet alles heeft gevolgd: de realistische rekenmethode houdt ook in dat basale rekenvaardigheden niet belangrijk zijn, en dus niet voldoende worden geoefend; dit kroonjuweel levert Kool hier in)

    Het filmpje laat op onthullende wijze zien hoe het realistisch rekenen ook bij een onderdeel als oefenen van basale rekenvaardigheden niet is weg te branden: iedere oefening is weer anders, de leerlingen doen allemaal ook lijfelijk mee, en ze vinden het hartstikke leuk. Te zien is hoe in de methode ZOEFI veel tijd verloren gaat met kleuteractviteiten (dit is groep 8, als ik goed heb opgelet!). En vooral dat de leerlingen zo ontzettend druk zijn met verwerken van informaie en indrukken, dat je je afvraagt of er ook nog enig moment belangstelling is voor de blote rekenfeiten. Ik kan de problemen van het realistisch rekenen niet beter uitleggen dan dit filmpje het doet! De kracht van het beeld.

    • FI op 30 juni: ZOEFI gaat goed
      Op de site

      www.fi.uu.nl/rekenweb/

      staat onder nieuws (30 juni):

      De zOEFi-scholen zijn tevreden over hun eerste oefenjaar. Dagelijks 10 minuten klassikaal de rekenbasis automatiseren met het digibord levert veel op. Door de speelse oefenactiviteiten zijn de rekenvaardigheid en het rekenzelfvertrouwen van de leerlingen gegroeid. Op de website www.fi.uu.nl/zoefi kunt u nog een zOEFi-abonnement nemen voor het nieuwe schooljaar. Daar vindt u ook drie gratis super-zOEFi’s. Dat zijn de drie populairste zOEFi-oefenactiviteiten van het afgelopen schooljaar.

      Joost Hulshof

      • Kan beter
        Bemoedigend. Dat geeft te denken: zonder alle flauwekul, en met gewoon een goede rekenmethode om te beginnen, zijn we snel waar we zijn moeten.

    • Grijns: dagelijks 10 minuten klassikaal oefenen
      Als een boodschap zo grijnzend wordt verkocht, ga ik al twijfelen aan de inhoud. Maar, zonder gekheid, ik oefende ooit dagelijks wel 50 minuten klassikaal: dat werkte goed. Is tien minuten dan ‘vooruitgang’?
      En dan de voorbeelden van het filmpje: didactisch waardeloos in mijn ogen.
      Meerkeuzevragen moeten worden beantwoord door een bepaald gebaar of een bepaalde houding aan te nemen. Het onthouden van de gevraagde gebaren vraagt van ‘zwakkeren’ al zo veel aandacht dat waarschijnlijk geen tijd overblijft om nog goed over de som na te denken. Bovendien weet een ervaren leerkracht dat die zwakkeren die het antwoord trager vinden dan de beteren, stiekum kijken naar die beteren en vervolgens hun gebaar gewoon (zonder te hoeven rekenen) nadoen. Zeker als er dan ook nog groepjes tegen elkaar moeten opbieden, wordt er bij dit soort ‘klassikaal’ oefenen gewoon nage-aapt door degenen die niet zo snel het antwoord weten.
      Ook hier weer: juist de zwakkeren wordt tekort gedaan. Die gaan gewoon maar wat zitten gokken en nadoen.
      Bij het echte traditionele oefenen wordt individueel gewerkt (uiteindelijk, na klassikale uitleg) en wordt het werk individueel nagekeken en direct gecorrigeerd indien nodig. Dat is pas effectief rekenonderwijs.
      Dit soort zoefi-flauwekul is vooral ‘leuk’ en ‘grappig’.

      • Dank Moby
        Zulke praktijkervaringen zijn onmisbaar voor goed rekenonderwijs.
        Ze zouden moeten helpen om onderwijskundigen uit hun ivoren torens te verdrijven.

        • Het is niet moeilijk; het wordt moeilijk gemaakt
          Voor de wat zwakkere rekenaars kost het al veel tijd en consequent oefenen om 1 rekenstrategie goed onder de knie te krijgen.
          Het ‘realistisch’ rekenen biedt steeds meer strategie-en aan die ook nog eens regelmatig blijven steken in de fase van ‘kennis maken met’.
          Geen wonder dat de rekenvaardigheden achteruit hollen.

  7. Succes voor wiskunde-B?
    De TU Eindhoven neemt instaptoetsen af voor studenten die wiskunde gaan doen. WIS Actueel oktober 2010, interview met Hans Cuypers. pdf.

    In dit artikel geen opmerkingen over rekenvaardigheden, dat zou ook bizar zijn voor wiskundestudenten. Maar wel over het herkenbare probleem dat het schort aan basisvaardigheden. En aan wiskundekennis, een opvallend probleem dat al heel lang bekend is, maar waar mogelijk een interessante wending is opgetreden: met het nieuwe programma Wiskunde B een verbetering? Yes we can?

    • “Studenten bleken steeds minder vaardig met wiskunde. Bij het bewijzen van stellingen hadden studenten niet zozeer moeite met de grote stappen, maar liepen ze vast op niet-parate basiskennis, bijvoorbeeld dat je x^2 – 4 kunt schrijven als (x+2)(x-2) of dat een derdegraadsvergelijking een nulpunt heeft.”
    • “De resultaten bij de TU/e zien er goed uit. “De instaptoets is dit jaar significant beter gemaakt dan de vorige jaren”, aldus Cuypers. ‘Over de hele linie is het slagingspercentage gestegen.’ Van de minder op wiskunde gerichte studenten – bij studies als bouwkunde en technische bedrijfskunde – slaagde vorige jaren maar 30 tot 40% voor de toets. Dit jaar is dat gestegen naar 50%. Bij de wis- en natuurkundestudenten steeg het slagingspercentage van 80% naar meer dan 90%. Ook de andere studies laten een vergelijkbare stijging zien. ‘We hebben de uitslag van de toets tegen drie mogelijke oorzaken afgezet’, licht Cuypers toe. ‘Hoe goed was een student in wiskunde B? Heeft hij of zij ook het vak wiskunde D gedaan? En hoe goed is er geoefend? De voor wiskunde B behaalde resultaten bleken het meest bepalend te zijn.’ Misschien is het nog te vroeg voor conclusies, maar de eerste resultaten zijn bemoedigend.”

    Yes we can. Nu rekenen nog.

    • Re: Succes voor wiskunde-B?
      Er is de afgelopen jaren in de examens weer meer aandacht voor algebra. Net na de invoering van de 2e fase was het wiskunde-examen niet meer dan een examen grafische rekenmachine. Dat is nu beter. Het onderwijs zal hier enigzins op achterlopen. De verbetering in de instaptoetsen aan de TUE zijn dus makkelijk verklaarbaar.

      Het is heel eenvoudig: gewoon toetsen in de examens wat je wil dat leerlingen kunnen. Als je het niet al te zot maakt, dan vinden leraren dan wel een weg om het de leerlingen aan te leren…..

  8. ZOEFI en rekenweb
    De site

    www.fi.uu.nl/rekenweb/

    staat vol met van alles en nog wat en verdient eigenlijk wel een eigen blog.

    Let ook op het professionaliseringsaanbod. Het is interessant om na te gaan in hoeverre en door wie dit aanbod gecertificeerd is. En voor wat.

    Joost Hulshof

  9. Hoe dan wel, als het een rekentoets moet zijn
    SGR (7 december 2009). Een voorstel voor een alternatieve kennisbasis rekenen en wiskunde voor de pabo. Stichting Goed Rekenonderwijs. pdf

    Uit Hoofdstuk 4 Voorbeelden van toetsopgaven.

    4.1 Natuurlijke getallen

    
        320              46848   
      52843                282
      35294              67367
      59989               5348
      ————— +            —————  +
    
    
    3059014            4003378
    1926735            3225799
    ——————— −          ——————— −
    
    
      35802              57483
       8835              14009
      ————— ×            ————— ×
    
    
    Voer met behulp van een staartdeling de volgende delingen met rest uit:
    
    568396 : 743 =           800543 : 514 =
    • Kan het zo eenvoudig? Ja, dat kan.
      Wie gewend is aan de volgehangen kerstbomen van de rekenmethoden op realistisch grondslag, ziet de bovenstaande voorbeeldopgaven misschien als valse eenvoud. Niets is minder waar.

      Hoe komt het toch dat de Freudenthal-groep eenvoudige zaken iedere keer weer (ZOEFI !) ingewikkeld weet te maken? Is dat omdat zij de beschikbare budgetten telkens weer steekt in het uitvinden van nieuwe wielen van rekenonderwijs, in plaats van behoorlijk onderzoek naar rekenonderwijs te doen? Hoe komt het dat OCW hier nu al een halve eeuw in is meegegaan?

      • Maak het ingewikkeld, en vang geld.
        Maarten Huygen (7 juli 2011). Wie iets in de top doet en het ingewikkeld maakt, krijgt geld. ncr, p. 15.

        Theo Capel: Digitale Topschool, bestrijdt de verveling van topbegaafde leerlingen in groep 7 en 8 van zo’n 50 basisscholen. Subsidieaanvraag: zestigduizend euro. Belasting van leerkrachten: nihil.

        • “Maar toponderwijs mag niet te simpel zijn georganiseerd, anders gelooft niemand dat het goed is. De Stichting Leerplanontwikkeling (SLO) en het Kennisnet begrepen dat. Zij krijgen subsidie voor hun gezamenlijke project ‘Acadin’, de ‘digitale topomgeving’. Dit is een site vol leuks voor hoogbegaafde kinderen. Het kost de scholen veel extra werk. Ze moeten een beheerder benoemen. Onderwijzers moeten de opdrachten geven en ze moeten de leerlingen volgen, met hulp van andere onderwijzers en betaalde krachten — extra knooppunten.”
        • “Maar de Digitale Topschool krijgt geen overheidsgeld en Acadin wel. De SLO gaf haar geheel belangeloze oordeel over Capels topschool. De sommen van de Digitale Topschool zijn ‘niet uitdagend’. Erger nog — de door de universiteit bedachte opdrachten zijn ‘te moeilijk voor cognitieve talenten’. De rekenles bevat ‘gesloten opdrachten’.”

        Ik kan niet het hele commentaar citeren. Lees de nrc. Maar wat een fantastische illustratie van precies hetzelfde probleem als bij ZOEFI, versus wat een goede leerkracht zelf aan oefeningen voor basale rekenvaardigheden kan bedenken en doen (het spel met de bal)

        • Ik heb er eerder reeds een
          Ik heb er eerder reeds een blog voor aangemaakt maar aangezien de strekking van dit verhaal exact hetzelfde is als de les die uit deze reportage “Stupid in America” getrokken kan en moet worden getrokken verwijs ik er maar nog een keer naar: www.youtube.com/watch?v=Bx4pN-aiofw
          Bottomline: de kwaliteit van het onderwijs hangt vooral samen met de kwaliteit van de leraar en dus met de hoogte van de salarissen voor die leraren.
          Het is zo simpel maar onze overheid wil het maar niet begrijpen.
          Kijk naar deze reportage, het is echt de moeite waard!

  10. Nieuw boek over toetsen, en Cotan-keuring
    Piet Sanders (Red.) (2011). Toetsen op school. Cito|Corporate
    toetswijzer.kennisnet.nl/html/toetsenopschool/toetsenopschool.pdf

    Vootzitter van bestuur Marten Roorda wil graag een bijdrage leveren aan beter onderwijs, vandaar dit boek.

    In verband met de kwaliteit van de voorgenomen rekentoetsen is hoofdstuk 10 direct relevant: over kwaliteitseisen voor toetsen, en hoe de Cotan daarmee omgaat.

    Piet Sanders & Bas Hemker: De kwaliteit van toetsen en examens. 157-174. Dit hoofdstuk is ook afzonderlijk te downloaden op deze pagina waar ook links naar een reeks bijlagen en documenten die bij dit onderwerp (kwaliteit van toetsen, Cotan) horen.

    Mijn eerste indruk van dit boek: mooi dat het gratis wordt aangeboden door Cito|Corporate. Jammer dat er een nieuw eufemisme voor keuzevragen in staat: gesloten vragen. Heel, heel veel informatie. Sommige informatie is nutteloos. Veel informatie kan best van pas komen. Zoals dat hoofdstuk van Sanders en Hemker over kwaliteit.

  11. Hoofdrekenen anno 1966
    F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff. vierde druk (eerste druk: 1966).

    Het boek geeft vele complete rekenlessen, en door kwekelingen te geven voorbeeldlessen. Interessant: de veertien hoofdrekentestjes, met de tijd waarbinnen die gedaan moeten worden (de auteurs hebben die tijden empirisch vastgesteld).

    2.A.8. Hoofdrekentest Tijd: 8 min.

    ƒ 105,00-ƒ  12,30 =           88+ 97 =            14x999   =
    ƒ 430,00-ƒ 115,12 =          598+364 =             2x15899 =
    ƒ 245,10-ƒ  44,17 =           80+745 =            17x899   =
    ƒ  33,95-ƒ  24,80 =          395+447 =            11x9999  =
    ƒ  17,35-ƒ   0,88 =          888+513 =          12,5x99    =
    
      64 : 25   =          10.000- 8 =             5x505  =
      78 : 1,25 =          50.000- 3 =           135x1001 =
     399 : 1,5  =          15.000-27 =            87x101  =
     774 : 3,75 =           9.000-91 =            94x1001 =
    8420 : 20   =          80.808- 9 =        7x124x11x13 =
    

    Hoofdstuk 9 behandelt hoofdrekenen en cijferen. Het gedachtengoed van het realistisch rekenen kennend, is het verleidelijk om dit hoofdstuk te lezen als een voorloper daarvan, wat ‘handig’ rekenen en hoofdrekenen betreft. Maar het gaat de auteurs er hier toch om dat ll. inzicht krijgen in getallenrelaties en het hanteren ervan. Het cijferen gaat om de basale rekenvaardigheden volgens vastgelegde handelingsschema’s, doel is om de ll.langs inzichtelijke weg de algoritmen bij te brengen. “In het voorgaande hebben we duidelijk gesteld dat de ll. slechts op het hoogste hanteringsniveau mochten inoefenen.” Niks kolomrekenen, dus. Interessant: wie de staartdeling goed beheerst, kan nog tot verdere verkorting komen (blz. 175). Dat is nog eens andere koek.

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.