Een erg informatief boekje om te begrijpen wat er met het rekenonderwijs in Nederland aan de hand is: “Basisvaardigheden rekenen voor de Pabo” van Noordhoff.
Ik hielp een aankomende pabo studente zich voor te bereiden op de entreetoets die zij moest afleggen. Ze had wat vragen over het boekje dat ze ter voorbereiding bestudeerde. Een kenmerkend voorbeeld.
Reken uit hoeveel stukken van 2 meter 75 uit een bol wol van 80 meter gehaald kunnen worden. In het voorbeeld wordt het uitgewerkt:
2×2,75 is 5,50, dus is 4 maal 2,75 gelijk aan 11. Dan is 28 maal 2,75 dan gelijk aan 77, dus kunnen er 29 stukken uit die bol wol gehaald worden.
Komt dat even handig uit dat 11 een tussenproduct is. Nog maar goed dat er geen stukken van 2 meter 25 moetsen worden gemaakt.
De vraag van mijn studente: waarom doen ze zo moeilijk? Ik vraag haar hoe zij het zou doen. Nou, eenvoudig, gewoon 80 delen door 2,75 en ze schrijft een staartdeling.
Ter info: deze studente kwam uit Afghanistan, en iedereen weet dat vrouwen in Afghanistan niet altijd gemakkelijk onderwijs kunnen krijgen.
Het genoemde voorbeeld kan ik gemakkelijk aanvullen met veel andere. Was er geen taalprobleem, dan werd er wel een verschikkelijk ingewikkelde rekenmethode voorgeschreven (reken 7,1 x 0,7 uit door het antwoord van 7,1 x 2,1 te gebruiken, waarbij de laatste som zelf ook weer uitgerekend moest worden met het resultaat van een voorgaande som; de lijst begon met 10×72 en ging na 7,1 x 0,7 nog flink verder) . Ik ga eens bij de pabo collega’s informeren of de test eist dat de studenten het op de ingewikkelde manier doen.
Bolletje wol
Zou iemand overigens kunnen verzinnen waarom je überhaupt uit een bol wol 29 stukjes van 275 cm zou willen halen? Ik brei zelf nooit truien, maar het handige van een bol wol lijkt me nu juist dat-ie uit één lange draad bestaat. Wat je wél wilt weten is: hoeveel bolleltjes wol van 80 m heb ik nodig als ik een trui wil breien waar ik zo-en-zoveel wol voor nodig heb.
Aan de andere kant, nu je het over Afghanistan hebt: het zou wél weer een goeie vraag zijn voor een inburgeringscursus:
Eerst het wol-vraagstuk met die stukjes van 275 cm en dan niet het antwoord vragen, maar:
“Waarom stellen we in Nederland dit soort vragen aan aankomende leerkrachten?”
Als je dit begrijpt, ben je gewoon helemaal klaar voor Nederland.
Hoe hard mag je trekken ?
Het draadje moet natuurlijk wel recht zijn, maar dat valt niet mee met wol afgerold van een knot:
*1* en *2*
*Adios*
@1_1_2010
Met de HBO-raadkennisbasis rekenen voor de PABO is je schrikbeeld definitief. Zie ook www.beteronderwijsnederland.nl/node/7677. De rekentoetsen voor de PABO onttrekken zich aan ieders gezichtsveld. Het boekje dat je noemt bereidt er vast prima op voor.
Joost Hulshof
Buiten ieders gezichtsveld
Dat is ook 1 van de gevaren bij de in te voeren centrale HBO examens: dat niemand ‘van buiten’ ze te zien krijgt. Bij de voortgezet onderwijs examens is zulke inzage er wel lijkt bijvoorbeeld druk naar aanleiding van eindexamens die meer eindexamen grafische rekenmachine dan eindexamen wiskunde waren tot aanpassingen geleid te hebben. Als we de HBO eindexamens niet te zien krijgen, dan kan zulke druk er niet komen.
Ik weet het Joost
Maar schrik iedere keer als ik er mee geconfronteerd word
Leer deze som uit je hoofd?
De opgave kwam me heel bekend voor. En ja hoor (het citaat is uit Uittenbogaard) pdf:
Van de Craats lost dit waarschijnlijk op door deeltal en deler te vergroten met een factor 100 en de opgave op te lossen door het traditionele deelalgoritme toe te passen. Nog een keer hetzelfde probleem:
Juf heeft voor een handenarbeidles stukjes touw nodig van 2 meter 75. Zij heeft een bol van 80 meter. Hoeveel stukken kan zij daaruit halen?
Het bovenstaand probleem komt uit de laatste Cito PPONpeiling einde basisonderwijs 2004. De goedscore van dit probleem is ongeveer 10 procent. Bedroevend laag eigenlijk.
Wie denkt dat Uittenbogaard hier een licht opgaat — ‘bedroevend laag eigenlijk’ — komt bedrogen uit: hij gaat er niet op in waarom op realistische methoden gebaseerd rekenonderwijs dit bedroevende resultaat op kan leveren.
vv
Deze som, of op zijn minst dit type opgave, wordt kennelijk uitbundig gebruikt in toetsen van het Cito. Tip: oefen erop. Betere tip: oefen er niet op, er zitten al trucjes genoeg in het realistisch rekenonderwijs.
Uittenbogaard is er nog niet mee klaar. Het citaat gaat verder:
leven maar zo eenvoudig’, is mijn reactie.
Je zal maar les hebben gekregen van hem
Onderwijsgek heeft hier al uitgebreide verhalen opgeschreven over hoe hij leerlingen die een laag of zeer laag IQ hebben de staartdeling leerde, simpelweg door op een goede manier voldoende tijd te besteden aan het oefenen.
Deze meneer Uittenbogaard laat die leerlingen een staartdeling maken terwijl ze hier weinig op hebben geoefend en dan concludeert hij dat die staartdeling te moeilijk zou zijn? Dan weet ik genoeg over zijn niveau van wetenschappelijk denken. Een beetje een wetenschapper zou een groep leerlingen zoeken die wel op de traditionele manier heeft leren rekenen, hen dezelfde opgave laten maken en dan pas een conclusie trekken.
Zie je het al voor je dat een voetbaltrainer de leerlingen nooit heeft laten oefenen op het passen van de bal en dan roept: “jongens, we gaan die bal snoeihard naar voren trappen en dan zien we wel wat er gebeurt want dat passen is toch te moeilijk voor jullie”. Als de ouders van die pupillen een klein beetje verstand van voetballen hebben dan zal die trainer snel uit zijn functie worden ontheven.
vv bolletje wol
77 meter. Eén keer meer is minder dan 80 meter. 29 stukken,
dus.
Eva redeneert als volgt:
Oei, denk je dan. In een deling, zowel deeltal als deler veranderen. Dat kan haast niet goed aflopen. Maar Eva vervolgt:
Wout redeneert als volgt:
Uit: W. Uittenbogaard (2007). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Appels en peren — naar Hans Freudenthal. Panama-Post. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, ppraktijk, 26 nummer 1, 32-36. pdf
Het is allemaal geforceerd handig rekenen, voorzover ik kan zien. Het risico lijkt me dat Jordi, Eva en Wout dezelfde opgave, maar dan met vuile getallen zoals ze in de boze buitenwereld voorkomen, niet kunnen oplossen of in de resulterende handige chaos tot verkeerde antwoorden komen.
O ja, wil je dit op een rekenmachine doen, dan zul je toch het algoritme moeten kunnen toepassen, zo niet ‘begrijpen’. Of moet dat ook bij voorkeur ‘handig’?
Dit geforceerde ‘handig rekenen’ zit het automatiseren juist enorm in de weg, lijkt me. (‘automatiseren’ is wat Treffers deftig ‘progressief schematiseren’ noemt, dat juist niet ‘mechanistisch’ zou zijn. Volgt u het nog?).
die slimme Wout
is dus de uitzondering. Ik weet zeker dat een meerderheid van de leerlingen hem hierin niet eens kan volgen.
De zwakkere rekenaar doet het pas echt ‘realistisch’: die gaat 2,75 optellen bij 2,75 en weer, en weerm en weer, totdat hij/zij in de buurt van 80 komt.
Ik herinner mij heel goed hoe voor de meeste leerlingen het begrip ‘gedeeld door’ al erg moeilijk was. Want in het ene geval leggen we (realistisch) uit dat 40 : 5 betekent dat 40 wordt verdeeld door 5 kinderen, zodanig dat iedereen evenveel krijgt.
Dan weer leggen we uit dat 40 : 5 acht is, omdat 8 maal 5, 40 is.
Dan weer laten we zien dat 40 : 5 betekent dat we moeten gaan onderzoeken hoe vaak 5 in 40 past (bedenk goed: de tafels van vermenigvuldiging zijn NIET ge-automatiseerd).
Uiteraard raakten de zwakkeren de weg al gauw kwijt.
Maar nu het om een bolletje wol gaat, wordt de uitleg dat 80 meter verdeeld gaat worden onder 2,75 kinderen uiteraard ridicuul.
De sinistere grap bij dit alles is ook nog dat de meeste leerlingen geen flauw benul hebben van het getal 2,75.
Decimale breuken volgden in de RR-methode terwijl gewone breuken allesbehalve eigengemaakt waren.
Wie in het leven werkelijk wordt geconfronteerd met het probleem van het bolletje wol, is het meest gebaat bij de traditionele oplossingen: even beide getallen met honderd vermenigvuldigen (HANDIG! OOK volgens de mthode van de realisten!) om de lastige komma eruit te halen, en we kunnen tot het goede antwoord komen.
Het is mij een raadsel waarom een antwoord als ‘is ongeveer’ aanbevelenswaardig zou zijn.
Het voornaamste inzicht dat hier wordt gevraagd is het inzicht dat je het kleinere restant van minder dan dan 2,75 meter niet meer kunt meetellen bij de stukken die de juf wil.
Dat inzicht kan worden bijgebracht terwijl de kinderen intussen de automatismen hebben aangeleerd om deze opgave vlot te kunnen uitrekenen.
klaagzangen
Nu vernieuwers het automatiseren van de belangrijkste tafels van vermenigvuldigen benoemen als ‘klaagzangen’ ben ik voorgoed genezen van de gedachte dat zij werkelijk verlangen naar goed rekenonderwijs.
Ik denk dat bij meer dan de helft van alle rekensommen het beheersen van deze tafels enorm nuttig is. Ongelooflijk veel bewerking worden handig als men deze tafels volt kan opdreunen: deelsommen, breuken, vermenigvuldigingen uiteraard, redactiesommen en hoofdrekenen.
Wie deze mogelijk met opzet de kinderen wil onthouden, wil met opzet een handicap aanbrengen. Daar heb ik geen goed woord voor over: dat beschouw ik als een minderwaardig streven.
een miljoentje meer of minder?
Enig idee hoeveel deze klaagzangpropaganda gekost heeft?
Rekenen is leuker als je denkt.
Joost Hulshof