Een van de terugkerende misvattingen in het onderwijs is dat kennis en vaardigheden vooral belangrijk zijn voor directe toepassing. Dat is niet waar: zeker in een vak als wiskunde zijn ze nog belangrijker als algemene wiskundige vorming.

Een voorbeeld op een heel laag niveau. Waarom is het goed dat kinderen leren tellen? Niet omdat wij in ons dagelijks leven zo vaak tellen (wanneer heb jij voor het laatst tot honderd geteld?). Nee, dat is omdat getallen overal zo'n belangrijke rol spelen, en kinderen een goed getalbegrip moeten krijgen. Tellen is daarvoor een eerste stap.

Het volgende niveau. Waarom moeten kinderen met pen en papier leren vermenigvuldigen? Niet omdat wij volwassenen dat zo vaak doen, maar omdat die vermenigvuldiging een centrale operatie is waarvoor de leerlingen een goed gevoel moeten hebben. Bovendien is de vermenigvuldiging een heel goed voorbeeld van een algoritme (zie de discussie van David Ross) en wijst hij de weg naar het werken met polynomen.

Nog een niveau. Waarom differentiëren? Niet omdat wij wetenschappers zo vaak een afgeleide echt uitrekenen, net zo min als we tot honderd tellen. Maar omdat in de wetenschap de afgeleide een centraal begrip is, waar de leerlingen een goed begrip van moeten hebben. Het is onvoorstelbaar hoeveel van de wetenschap zou verdampen als het begrip afgeleide zou verdwijnen.

Jos, ik wil ook even in detail op je vragen reageren.

Bijvoorbeeld: 'Ik geloof niet dat er ergens iemand te vinden is die echt in de praktijk differentieert om de marginale kosten te bepalen en vervolgens te minimaliseren.' Nee, er zijn er vast weinig voormannen op de werkvloer die dit doen. Maar er zullen vele bedrijfseconomen zijn die dit model (marginale kosten als ijkpunt) hanteren. Zelfs als zij nooit een afgeleide werkelijk uitrekenen, de toegevoegde waarde van het concept zit 'm in de conceptuele benadering, niet in de details van de uitwerking.

Wat de continuïteit van de kostenfunctie betreft, als je 100.000 exemplaren maakt en dat verandert in 100.001 (inderdaad een discrete stap, strict gezien) dan is de benadering met een continue functie (a) waarschijnlijk heel goed en (b) ook nog eens heel verstandig. Dit is een algemeen verschijnsel in de wetenschap: je maakt benaderingen, die strict genomen onwaar zijn, maar die (a) 'bijna' waar zijn (in een goed gedefineerde zin) en (b) de analyse veel simpler maken.