Cursus Analyse voorjaar 2019

Het is 2018 (uuuh 9) inmiddels. Na www.few.vu.nl/~jhulshof/vingers.html, het vrolijke boekje www.itsacademy.nl/wiskunde-in-je-vingers/ van

tweededruk

there’s some more in preparation here:

2020new

(met nog wat spul in het Nederlands ooit bedoeld voor de mastermath zij-instroom, Hoofdstuk 41 en verder, nu interessant voor Maarten van/en @curriculum_nu)

Alles over y=f(x).

We beginnen met de vraag wat er gebeurt als je zo’n f als input-output machientje gebruikt. Dat begon wellicht al bij kleitablet YBC7289 en benaderingen van de wortel uit twee zo’n 3700 jaar geleden, en de getallenrij van Heron tweeduizend jaar later: de facto een implicatie van Newton’s methode uit wat dan nu wel onze moderne tijd mag heten. De van school bekende begrippen als limieten, continuïteit en differentieerbaarheid komen hier op een natuurlijke manier langs. De moderne differentiaalrekening is gebaseerd op lineaire benaderingen. De Babyloniers deden het al.

Sterker nog, de formule die ze gebruikten is precies de benadering van de wortel uit 1 plus iets kleins die ook hier terugkomt:

www.beteronderwijsnederland.nl/wp-content/uploads/2014/12/poppetje.pdf

Een andere startvraag, oppervlaktebepaling van gebieden in het platte vlak beschreven met formules als y=f(x), leidt ons terug naar de tijd van Archimedes en de formule voor de inhoud van een piramide met de voorfactor 1/3, die mooie breuk waarmee sinds de referentiekaders rekenen stb-2010-265 vrijwel niet wordt gerekend in het basisonderwijs.

De niet puur meetkundige afleiding van deze formule leidt tot basale vragen over de getallen waarmee we onze wiskunde bedrijven, zoals ook de wortel uit twee dat al deed. De moderne integraalrekening is vervolgens op de antwoorden gebaseerd.

Het verband tussen differentiaalrekening en integraalrekening wordt eerst geïllustreerd met het voorbeeld van polynomen en machtreeksen, en wel zo algebraïsch mogelijk zonder die vervelende limieten. Daarna pas komt de analytische aanpak die het verband in algemenere context precies maakt.

Het oplossen van vergelijkingen met twee variabelen x en y naar y met x als parameter leidt tot het begrip impliciete functie en een tweede herbezinning op het kleitablet, Heron’s rij en de methode van Newton. De impliciete functiestelling is het resultaat.

Alle definities en stellingen worden geformuleerd voor x en y gewone reële variabelen, maar zo verwoord dat overschrijven naar de situatie dat x in X en y in Y zit, wat X en Y dan later ook mogen zijn, zoveel mogelijk een copy-paste oefening is.  Daarbij wordt |x-y| vervangen door d(x,y), spreek uit de afstand tussen x en y.

Het is een neiging van wiskundigen om getallen in verzamelingen te stoppen. In y=f(x) zitten x en y doorgaans in R, de verzameling van de reële getallen, waar dikke boeken over volgeschreven zijn. De f in y=f(x) is een ander object. We zullen meer aandacht besteden aan verzamelingen waarvan de elementen f-jes zijn, en deze verzamelingen kunnen weer als een X of een Y een rol spelen in wat via copy-paste inmiddels als bouwwerk staat.

Een eerste toepassing van de abstracties is de toepassing van de inmiddels bewezen fundamentele stelling, geïntroduceerd in de context van het kleitablet, over oplossingen van vergelijkingen van de vorm x=f(x), maar met x in X nu, op het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

We besluiten wat het eerste deel van een boek zou kunnen zijn met een vraag wordt die in het voorbeeld dat x en y allebei in R zitten voor f eindelijk nooit zo expliciet gesteld wordt. Dat is namelijk de vraag of en onder welke voorwaarden een functie f met f(0)=f'(0)=0 een kwadratische functie in vermomming is. Het antwoord op die vraag brengt ons op miraculeuze wijze terug tot het worteltrekken waar het hele verhaal met het kleitablet mee begonnen is.

Over en aan de rest van dit pdf pak kom ik nog te schrijven. Uitpakken van wat we al weten over differentiaalrekening na het eerste deel en interpreteren wat het is in andere concrete situaties.

Zijdelings gaat het al over Lebesgue en zo.

Under construction. De voertaal wordt uiteindelijk Engels.

JH&FF

 

 

Geef als eerste een reactie

Geef een reactie