Advies tot een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde

28 Reacties

1. Colignatus, ik begrijp dat
   Colignatus, ik begrijp dat jouw eerdere voorstel werd “weggelachen”. Zo moeilijk is het toch niet om met graden of radialen (veel logischer dan graden) te werken, iedere leerling die minstens een normale intelligentie heeft moet hier probleemloos mee kunnen leren werken. Bij jouw alternatieve voorstel zouden de leerlingen niet leren dat de omtrek van de circel evenredig toeneemt met de straal (als je dat begrijpt dan heb je geen moeite met pi of met radialen), bovendien begrijp ik niet wat er eenvoudiger is aan jouw ´eenheidscircel`.
   Je moet geen problemen zoeken waar ze er niet zijn, dat kan tot veel problemen leiden die er nog niet waren. Het realistische rekenen en de contextwiskunde zijn hier mooie voorbeelden van. Deze methodes leren alle groepen kinderen slechter rekenen en wiskunde en in het bijzonder de zwakste leerlingen, dit terwijl ze juist met name ontwikkeld waren ten behoeve van de zwakste leerlingen.
   Ik weet niet hoe het met jou zit maar ik lig er niet wakker van dat niet iedereen wiskunde kan leren, zolang de wiskunde maar niet complexer wordt gemaakt dan dat nodig is. Dat is in dit concrete geval zeker niet zo.

   Ik zou me eerder zorgen maken om het totale gebrek aan simpele bewijsjes en afleidingen.
   Waarom de wortelformule op een magische wijze uit de lucht laten vallen en het zelfs nog een goochelachtige naam geven (ABC) wanneer je met een afleiding van een kwart A4’tje de leerling kan laten zien waar die formule vandaan komt en hen tevens inzicht doet ontwikkelen en kwadraatsplitsen leert (handig voor bepaalde integralen bij calculus)?
   Waarom niet eerst de limieten fatsoenlijk aanleren alvorens je over differentiëren begint? Waarom niet bij elke afgeleide even simpel laten zien dat je niets anders doet dan een delta x optellen bij de x en dat delen door die delta x?
   Je kan het juist simpel houden door het niet te versuikeren. Dan krijg je ook geen rotte tanden.

   • suiker
     De oneliner die ik ooit bedacht luidt:
     “Van versuikerd onderwijs krijg je gaatjes in je hersens.”

     Een direct gevaar voor je tanden is er niet voor zover ik weet;-)

2. Reactie op reacties
   @Joost: (1) Het bestuur hecht blijkbaar geen geloof aan mijn ervaring dat het laster is en hecht wel geloof aan die wiskundigen dat zij denken zo tekeer te kunnen gaan. Ik blijf van mening dat het bestuur die wiskundigen tot de orde moet roepen. (2) Ik heb ook een redelijke indruk van prof. Schilders maar moet constateren dat hij een onjuiste voorstelling van zaken geeft. Mijn protest blijft ter zake.

   @Bart: “Conquest of the Plane” (COTP) is veel breder dan alleen Cos en Sin. Bovendien zijn er t.o.v. van die onderwerpen sinds 2008 nog een paar argumenten bijgekomen. Het boek doet een voorstel om anders tegen zaken aan te kijken en dan via empirisch onderzoek te bepalen of leerlingen inderdaad e.e.a. sneller oppakken. Omdat COTP hindernissen wegwerkt is mijn verwachting wel dat inderdaad verbetering mogelijk is, anders zou ik het niet schrijven. Maar laten we het onderzoeken zonder het bij voorbaat te verwerpen.

   T.a.v. Cos en Sin is mijn voorstel om het platte vlak zelf als eenheid te nemen, dus 1. Een loodrechte hoek is dan 1/4 (een kwart vlak). Bij 360 graden moet je bij 90 graden nog apart berekenen 90 / 360 = 1/4 en lijkt het alsof je iets extra’s leert terwijl dat schijnkennis is. Met radialen zit je op 1/4 * 2 Pi = Pi / 2 wat ook weinig informatief is.

   Bart, wanneer je stelt “Bij jouw alternatieve voorstel zouden de leerlingen niet leren dat de omtrek van de circel evenredig toeneemt met de straal” dan is dat absoluut onwaar. Zie COTP waarin die proportionaliteit netjes beschreven wordt. Liever geen discussie wanneer men nog niet gelezen heeft.

   • Bestuur en BON Forum
     Colignatus schrijft onder meer: “@Joost: (1) Het bestuur hecht blijkbaar geen geloof aan mijn ervaring dat het laster is en hecht wel geloof aan die wiskundigen dat zij denken zo tekeer te kunnen gaan. Ik blijf van mening dat het bestuur die wiskundigen tot de orde moet roepen.”

     Voor de duidelijkheid: na aanmelding kan iedereen op het BON-Forum bijdragen leveren. Deze bijdragen zijn, zoals de regel onder elk bericht vermeld, dus afkomstig van sitebezoekers en weerspiegelen niet automatisch de standpunten van BON. Het blote feit dat uw bijdragen hier verschijnen lijkt mij hiervan een duidelijk bewijs.

   • Ik heb gisteren eveneens uw
     Ik heb gisteren eveneens uw pamflet van 20 bladzijdes gelezen.
     In het algemeen zag ik niet het nut in van hetgeen u in dat pamflet voorstelt. Op drie punten geef ik u (gedeeltelijk) gelijk:
     – het is onhandig dat breuken worden voorgesteld als combinatie van gehele getallen en breuken. Op zich is dat eenvoudig op te lossen door al dan niet haakjes te gebruiken, het is wat onhandig dat die conventie anders is zogauw je met letters (constanten en variabelen) gaat werken.
     Is dit daarom een probleem? Ik denk van niet, ik heb nooit de indruk gehad dat leerlingen of leraren hiermee worstelen. Maar goed, van mij mag rustig een alternatieve notatie voor breuken worden gebruikt wanneer je ze als combinatie van een geheel getal en een breuk wil voorstellen maar zie het maar eens ingevoerd te krijgen. 😉
     – u pleit tegen het gebruik van een grafisch rekenmachientje. Hier ben ik het volmondig mee eens, alleen hebben wij hier blijkbaar een ander motief voor. Ik vind dat leerlingen zoveel mogelijk met de hand moeten uitwerken aangezien ze al doende veel inzicht opdoen, u vindt dat andere ICT (pc’s/laptops en zeer dure softwareprogramma’s) als hulpmiddel moet worden gebruikt. Dit lijkt mij niet bevordelijk in dat stadium van de vorming, bovendien zou het momenteel buitengewoon veel geld kosten terwijl de meerwaarde naar mijn indruk twijfelachtig is.
     – u pleit ervoor dat er weer aandacht wordt besteed aan euclidische meetkunde. Dat lijkt ook mij een uitstekend idee.

     Met betrekking tot alle andere punten die u in dat pamflet noemt, waaronder een alternatieve notatievorm van cartesische coördinatenparen en het overslaan van de theoretische onderbouwing van het differentiëren (“begin direct met het te gebruiken” wijkt weinig af van hoe u het verwoordt), ben ik niet overtuigd.

     • Geen fan
       @bart van een GRM maar bij gebruik van ICT overdrijft U. Vrijwel iedereen heeft een laptop/pc, software is ook betaalbaar varierend van gratis tot duur. Dit laatste overigens in de hand gewerkt door een ongezonde “uitgeversmarkt”. Of software inzicht geeft in het proces hangt af van de software.

       • Waarom gebruikt de wiskundige het liefst een bord?
         Ik ben zo’n 30 jaar geleden in contact gekomen met computers in het onderwijs en heb de hele geschiedenis sindsdien van dichtbij meegemaakt. Veel (wiskunde) software leek leuk, maar mijn ervaring is dat de beste software in 95% van de gevallen, zowel voor docent als voor leerling gewoon een krijtje en een bord, een pen en papier is. Ook wiskundigen en fysici onderling gebruiken borden en pen en papier. Alhoewel ik jarenlang heb geloofd in de meerwaarde is de conclusie vrees ik echt negatief voor al die ICT. Dat wil niet zeggen dat je ICT met weren uit de klas, maar het promoten ervan is nu 30 jaar lang gebeurd en zonder echt resultaat. Het is ook vreemd, het promoten van en middel. Wie weet komt het er nog eens van en ook nu is internet of een programma als Geogebra soms handig, maar pen en papier vervangen zoals dat op kantoren is gebeurd door eerst de typemachine en daarna de computer is nog mijlenver weg. Als het vervangen wordt dan waarschijnlijk nog door iets als elektronisch papier dat met een i-Pen beschreven wordt.
         Dat zal dan geen resultaat zijn van een ICT project met stuurgroepen en de gebruikelijke kleilagen die een markt zoeken, maar gewoon deel uitmaken van de normale gang van zaken, zoals de balpen de kroontjespen heeft vervangen, de kopieermachine het stencilapparaat en de smartphone de telefooncel.

         Alle opgeklopte verwachtingen komen vooral, zo is mijn ervaring, van enerzijds mensen die geld willen verdienen en anderzijds van mensen die geen idee hebben van wat ICT vermag.

         • @Waarom bord en krijtje?
           Net als 1_1_2010 ben ik ook omstreeks 1980 in contact gekomen met computers in het onderwijs. Laaiend enthousiast schreef ik zelf een programma om golven zichtbaar te maken. In plaats van 2 lessen lang bezig te zijn om een lopende golf te construeren, kon ik het nu in 5 minuten wel 3 keer laten zien. Helder, duidelijk. Leerlingen vonden het ook mooi, ze snapten het helemaal. De euforie heeft een paar jaar geduurd. Tijdens repetities bleek namelijk dat leerlingen het een stuk minder goed verwerkt hadden. Het tweede en derde jaar in de uitleg daarop ingespeeld, maar het hielp niet. Langzamerhand kwam ik erachter dat het werken op krijtbord of whitebord niet alleen veel flexibeler is, maar belangrijker nog dat het automatisch een uitlegtempo oplegt dat hanteerbaar is voor de leerlingen. Na nog een aantal pogingen om ict voor uitleg te gebruiken, heb ik het opgegeven. Wel kun je het natuurlijk goed gebruiken als ondersteuning van je uitleg en voor allerlei meetprocessen. Zelf heb ik ooit eens tijdens een practicum 10 minuten lang de tikjes moeten tellen die een Geiger-Müller telbuis produceerde. Blij dat er nu een tellertje op zit die dat voor je doet.
           Klaas Wilms

         • Exact!
           Het voorbeeld dat je noemt is bijna identiek aan mijn ervaringen. Raaklijnen uitleggen met Geogebra leek zoveel mooier, geen geknoei op het bord, de dynamiek zit ingebakken, de animatie kan niet op een krijtbord. Of, vele jaren eerder, functies tekenen met de voorloper van de voorloper van excel. Grafiek, tabelletje en functievoorschrift met elkaar verbonden en makkelijk te wijzigen, Plaatje direct zichtbaar. Verander een parameter en je ziet wat er gebeurt, Bam!
           Helaas, geen bam, maar boem ;-). Weg met het begrip van de studenten. Omdat ze het konden proberen, verviel de noodzaak het zelf te doen. Omdat ik het zo mooi kon voordoen, keken ze eerder naar de mooie voorstelling dan naar de wiskunde die er achter zit. Die computer doet het allemaal zo mooi voor je, en dat is vaak geweldig natuurlijk. Maar in het onderwijs gaat het er niet om dat er iets gedaan wordt, het gaat er om dat de student iets doet. Alles wat de computer voor hem doet “hoeft” hij niet zel te doen en dus leert hij niks, maar kan het resultaat wel bereiken. Het productresultaat, NIET het leerresultaat.
           Eigenlijk is het heel simpel: die computer zorgt vaak voor extra afleiding, de fraaie plaatjes, de dynamiek, maar werkt juist ook daarom het leren tegen. Het ding is ok erg geschikt om jezelf te bedotten. Je kunt urenlang met wiskunde “bezig” zijn door gekke functies in te vullen en te kijken wat er voor plaatje uitkomt. Kijken in plaats van denken. Je kunt grafiekjes verfraaien met kleuren en toeters en bellen. Drie uur huiswerk gemaakt voor wiskunde, je zou het zelf geloven, maar … geen wiskunde gedaan. Het is alsof je een werkstuk schrijft en vooral aandacht besteedt aan hoe je het in MS Word mooi kunt opmaken. Nu kun je zeggen dat dat kinderachtig is en je er als leraar voor moet zorgen dat die afleidingen geen invloed hebben, maar dat kan natuurlijk niet. Volwassenen doen het namelijk ook. Kijk maar naar de lesboeken voor willekeurig welk vak. Zien er prachtig uit, maar inhoudelijk bepaald slechter dan 15 jaar geleden. Het zijn geen nadelige bijverschijnselen, het is inherent aan computergebruik. Doseren dus, die computer in de les.

           Ik ben overigens in het geheel niet tegen gebruik van ICT in het onderwijs. Als ik het heb over de wetten van Newton, dan is het aardig een plaatje van de man te tonen. Ik laat bij de introductie van mn natuurkunde deficiëntiemodule altijd een animatie zien van de powers of 10. Laat de hoog opgeleide docent daar zelf over beslissen en stop met al die projecten de als doel hebben ICT in het onderwijs te bevorderen. Het is de wereld op zn kop. Ik ben voor het bevorderen van het gebruik van de vierkleurenbalpoint!

         • ICT
           ICT in het onderwijs als dat noodzakelijk blijkt (vanuit het onderwijs geredeneerd), niet als het alleen maar mogelijk is (vanuit de techniek geredeneerd).

           Verder kan iedereen die daar financiering voor krijgt, natuurlijk onderzoek doen naar de mogelijkheden die de techniek biedt. Dat laatste is echt iets anders dan onderzoek doen naar wat het onderwijs kan gebruiken om bekende problemen te ondervangen of de doeltreffendheid te verhogen.
           De balpen was een fantastische uitvinding die een eind maakte aan geklieder en gedoe. Dat het schoonschrift ook sneuvelde, was collateral damage, maar niet essentieel.

   • Zolang het over wiskundig inhoudelijke zaken gaat,
     heb ik geen bezwaar tegen een discussie, temeer omdat het juist het besturenkartel van NVvW/cTWO/FI is dat tot nu toe discussie over inhoud en concept vermijdt. Erger nog, als je zegt dat iets niet goed is, dan krijg je het verwijt dat je mensen tot onder de enkels afbrandt.

     Thomas suggereert het platte vlak als eenheid. Dat is een origineel idee waar ik echter niet voor kies. Ik kies voor het concept van bewegende puntdeeltjes met absolute snelheid 1, in het bijzonder de eenparige cirkelbeweging die cos en sin definieert (en niet omgekeerd). Daarna komen bij mij pas de cos en sin in de context van driehoeken en de hele vlakke meetkunde, zo je daar uberhaupt nog wat mee wilt in de moderne tijd. Misschien meteen in het complexe vlak, maar vooral juist niet alleen euclidisch, en zeker niet axiomatisch volgens Euclides. Laat Newton, Leibniz, Gauss en Riemann de weg wijzen, met alle respect voor de klassieke oudheid, zoals beschreven door Spengler. Hun emancipatie van de wiskunde is door de Freudenthal groep teruggedraaid. De naam van het tijdschrift van de NVvW is bijna symbolisch voor hoe men op het FI de verlichting gemist heeft. Kies een nieuwe naam voor het tijdschrift van de NVvW, Riemann bijvoorbeeld, en laat voor de 21-ste eeuw ook Duits een klassieke taal zijn:

     www.emis.de/classics/Riemann/

     • Bravo, Joost!
       Ik ben het helemaal met je eens. Helaas zucht wiskunde B vwo nog enige jaren onder het juk van slecht begrepen en wiskundig aan alle kanten rammelende euclidische meetkunde, die dankzij bepaalde hobbyisten van de NVvW de zinvolle kansrekening en statistiek uit wiskunde B heeft verdreven. Ook veel van de wiskundig meest getalenteerde leerlingen vinden dit koordenvierhoekenfetisjisme verschrikkelijk.

       • Koordenvierhoeken
         worden vaak best leuk gevonden hoor ik thuis, maar dat is niet een reden om er tijd aan te besteden. Het is lekker puzzelen, net als de wiskunde-olympiade wellicht, maar waar dient het toe? Is er iets anders dat erop voortbouwt? Niet dacht ik. Klaas Landsman, die zijn lidmaatschap van de NVvW inmiddels teleurgesteld heeft opgezegd, houdt pleidooien voor kansrekening als een domein voor een axiomatische opzet, hoorde ik bij zijn voordracht op het didactiek symposium van het Mathematisch Congres in Utrecht, waar het bestuur van de NVvW schitterde door afwezigheid. Daar zie ik wel wat in. Weg met die vlakke meetkunde als domein voor de eerste zogenaamde “echte wiskunde”. Er zijn andere zaken om te veroveren dan het platte vlak (sorry Thomas).

       • Ik ben het met je eens dat
         Ik ben het met je eens dat er een koordenvierhoekfeitsjisme (toepasselijk woord) heerst. Die koordenvierhoek is een leukigheidje maar het bereidt je niet voor op een bètastudie.
         Ik ben een beetje verbaasd dat je pleit voor kansrekening en statistiek bij wiskunde B. Is het niet zinvoller om de substitutiemethode, het partieel integreren, partiële afgeleiden, parametrisaties, het rekenen met vectoren, complexe getallen enz. aan te leren?
         Wanneer ik de huidige eindtermen vergelijk met die van eind jaren 80 en 90 dan stel ik vast dat er heel wat meer verdreven is en de kansrekening en statistiek maakten toendertijd geen onderdeel uit van wiskunde B.

         Persoonlijk vind ik het Vlaamse systeem mooi, daar kan je kiezen tussen 4, 6 en 8 lesuur per week wiskunde, hoe meer uur hoe hoger het niveau.
         Het huidige Nederlande systeem met ingekorte wiskundevakken en twee aanvullende wiskundevakken die ongeveer hetzelfde niveau hebben vind ik geen goed idee. Je kan dan toch beter voor alle 4 de vakken een duideiljk verschillend niveau hanteren waarbij alle leerlingen 1 en slechts 1 wiskundevak kiezen en waarbij het ene vak duidelijk in alle opzichten de meer uitgebreide en moeilijkere variant is van de andere met hieraan gekoppeld meer lesuren.

         • Kansrekening?
           Bart, je reageerde op Jan, met wie ik het mbt Wiskunde B eens ben in de afweging vlakke meetkunde vs kansrekening. Toevallig komt die afweging overeen met de discussie over wat geschikt is voor axiomatische wiskunde, waarin ik Klaas Landsman aanhaalde. Jan en ik zijn nog steeds lid van de NVvW. Ik wacht op de verlichting die na de FI-duisternis zal komen met een nieuw NVvW bestuur. Hopefully before the Coming of the Great White Handkerchief.

     • En daar
       word je helemaal stil van (dat lijstje van Riemann).
       Vergeet ook de Fransen niet (Poincaré, Cartan).

     • Inderdaad, eerst de
       Inderdaad, eerst de eenparige circelbeweging, pas daarna de cos, sin en tan gaan toepassen in driehoeken.
       In de MAVO-boekjes introduceerden ze de sinus enz. via driehoeken (de eenheidscircel werd niet behandeld), dat vind ik de verkeerde volgorde.

       Meetkunde is toch zeer nuttig? Wanneer je bijv. mechanica krijgt aan de universiteit dan moet je daar veel mee werken. Het probleem is niet dat er meetkunde wordt onderwezen maar dat de verkeerde meetkunde wordt onderwezen op het VWO.
       Ik zou liever zien dat er op het VWO meer aandacht wordt besteed aan vectoren, vergelijkingen van vlakken, afstanden en hoeken in de ruimte en kegelsneden.

       Euclidische meetkunde vind ik interessant voor in de onderbouw van het VWO aangezien je met euclidische meetkunde zo mooi kan demonstreren hoe vanuit zeer eenvoudige zekere aannames stellingen kunnen worden gedefiniëerd die weer als basis dienen voor nieuwe stellingen.
       Hoeveel winst, zowel qua kwaliteit als qua tijd, kan er wel niet worden geboekt wanneer de fundamente ´algebra` op een zakelijkere en abstractere manier zou worden onderwezen en wanneer het VWO zich weer wat meer zou richten op de meer getalenteerde leerlingen met als gevolg dat de zwakkere leerlingen eerder en vaker afzakken naar het HAVO. Op deze manier kan er weer ruimte ontstaan om dit soort stof eveneens te onderwijzen.

       • meetkunde
         Helemaal eens, de verkeerde meetkunde wordt op school onderwezen.

         PS. Circel zou je uitspreken als sirsel, mijn studenten wezen me daar eens op…;-)

     • bewegende puntdeeltjes voor de generatie Einstein
       Ik heb er nooit zo naar gekeken, maar vraag me af of die beweging de zaak niet ingewikkelder maakt. Je hebt dat concept niet nodig om sin en cos uit te leggen en het komt verder in de reguliere VO wiskunde natuurlijk ook niet voor.
       Bij natuurkunde is het begrip beweging/snelheid al lastig genoeg. Denk aan de gemiddelde snelheid en de limiet daarvan voor delta t naar 0, denk aan de verwarring met de eenheden/grootheden (afstand en tijd), denk aan snelheid als vector versus snelheid als getal. Allemaal vast op te lossen, maar op het eerste gezicht vraag ik me af waarom je iets ingewikkelds zou willen introduceren terwijl je het niet nodig hebt. Om naar een vreemd vak te springen: die snelheid zou als katalysator kunnen dienen, het neemt niet deel aan de eigenlijke reactievergelijking, maar versnelt het proces wel.
       Rest de vraag: wat blijft er van radialen en sinus over in de relativistische wiskunde? Bij hoge snelheden verandert er nogal wat.

3. @ Joost en Riemann
   Je kunt die eenparige rotatie als didactisch middel voeren maar analytisch steunt dat op lengtes en punten, zodat die laatste fundamenteler zijn. Je kiest eerst punten en lengtes daartussen en pas met tijd erbij krijg je snelheid.

   In mijn schema zijn er naast de x en y assen van het platte vlak ook de X en Y coordinaten op de eenheidscirkel, dus X^2 + Y^2 = 1. De didactische stap is het gebruik van die hoofdletters. Een punt op die cirkel is niet slechts {x, y} maar heeft een interne afhankelijkheid waardoor nieuwe namen {X, Y} zinvol zijn. Vervolgens kun je die punten ook zien als afhankelijk van de hoek X[alfa] en Y[alfa], met hoek alfa op het platte vlak als eenheid.

   We leiden af dat X[alfa] = Cos[beta] en Y[alfa] = Sin[beta] met beta gemeten als de radialen van Joost / Riemann. De eenparige rotatie op beta blijkt dan een willekeurige keuze en waarom zou je dat dan niet voor alfa doen ? Met beta zit je meteen vast aan die ondoorzichtige termen Cos en Sin terwijl {X, Y} meteen begrijpelijk is. Pas in een laat stadium, de afgeleide, blijken radialen nuttig.

   Over wat didactisch het beste werkt kunnen we ex cathedra geen uitspraken doen. Wel kunnen we vaststellen dat er grote problemen in het onderwijs zijn, dat EWS en COTP nogal wat struikelblokken wegnemen, en dat het nuttig is om het parlement te vragen om middelen voor onderzoek ter beschikking te stellen.

   • Onbegrijpelijk Thomas,
     niemand kan volgen wat je na je eerste alinea schrijft. En je eerste alinea gaat voorbij aan wat ik schrijf over de eenparige cirkelbeweging. Dat concept dateert uit de tijd van voor de scheiding der disciplines.

     Jij blijft naar mijn mening vast zitten in je hoeken als startpunt. Dat is niet mijn startpunt maar voor jouw informatie, de hoek (in radialen) is per definitie de verhouding tussen de lengte van de cirkelboog en de straal van de cirkel. Geen hoek zonder een denkbeeldige cirkel met het hoekpunt als middelpunt. Punt. En op die cirkel kun je een andere schaalverdeling nemen, wat je wil. Eentje die 360 geeft bij 1 keer rond, of 400, of 1, of de wortel uit 23 voor mijn part. Ik neem zelf de omtrek van een cirkel met straal 1.

     Je x,y versus X,Y doet me vermoeden dat je een hunch hebt van wat een varieteit is of zou moeten zijn. Zie

     nl.wikipedia.org/wiki/Variëteit_(wiskunde)

     Lees ook eens wat over Riemann.

     • Niet “niemand”
       Beste Joost, het is niet “niemand kan volgen”, zie bijvoorbeeld die recensie.

       (1) COTP behandelt meer dan alleen de cirkel, maar richt zich inderdaad op het platte vlak, (2) EWS noemt ook andere zaken buiten het platte vlak, zoals inderdaad waarschijnlijkheidsrekening.

       Het is onjuist wanneer een uitgebreid voorstel tot verbetering op meer terreinen wordt teruggebracht tot alleen deze kwestie van cirkel en Cos en Sin. En wanneer een discussie wordt gevoerd zonder te gaan lezen. Wanneer je had gelezen dan zou je niet zulke verwarrende opmerkingen maken. Enfin, terug naar die cirkel. Zie COTP pag 42:
       www.dataweb.nl/~cool/Papers/COTP/ConquestOfThePlane.pdf

       Ja, cirkelboog gedeeld door straal – maar met een proportionaliteitsfactor. Kies je als factor 1 dan krijg je radialen met 2 Pi voor de hele cirkel. Maar als je het platte vlak als eenheid neemt dan is het totaal 1, en kies je factor 1 / (2 Pi).

       Wiskundeboeken worden nu vergeven met sommetjes waarin leerlingen steeds maar weer met 2 Pi moeten delen. Wanneer dit reeds in de maat voor de hoek zit dan is dit al automatisch gebeurd, en krijg je veel overzichtelijker sommen, zie bijv. pag 179-180.

   • Wanneer je de eenparige
     Wanneer je de eenparige circelbeweging introduceert dan wordt toch vanzelf duideiljk wat de cosinus en de sinus zijn?
     Introduceer op dat moment de cosinus en de sinus (met andere woorden: je hebt die eerder nog niet gebruikt in de lesboeken) en ik zie geen enkele reden waarom normaal begaafde leerlingen hiermee zouden moeten worstelen.
     De cosinus van een hoek alpha is de x-waarde van het snijpunt van de eenheidscircel en de koorde tussen de oorsprong en de eenheidscircel met een hoek alpha tussen de x-as en die koorde. Analoog voor de sinus.
     Wat is daar vaag aan?

4. Normaal begaafde leerlingen
   Zie EWS en COTP welke hindernissen normaal begaafde leerlingen moeten overwinnen om bij de huidige lesmethoden enig begrip van het platte vlak te krijgen. Na deze hindernissen cours blijven er niet zoveel over.

   Alleen al de ruime ondersteuning die wiskundigen bij BON geven aan de eenparige rotatie is al een teken dat ook deze “kritische” wiskundigen onderdeel zijn van het probleem met ueberhaupt wiskundigen.

   COTP bespreekt vectoren, het complexe vlak en gaat door met lineaire algebra. Vectoren zoals Pierre van Hiele al aangaf dat dit al op de basisschool zou kunnen. Maar het complexe vlak heeft een paar rariteiten zodat het alleen een korte tussenstap voor lineaire algebra is. Met Hulshof en Van der Craats die op het complexe vlak mikken ben je juist verder van huis. Maar laten we die discussie alsjeblieft niet hier voeren, met zulke rare “postings”. Ga eerst een lezen, dat was ooit een geweldige uitvinding.

   • Complexe vlak
     De bewering dat Hulshof en Van de Craats mikken op het complexe vlak is voor de rekening van Cool.

     Wellicht dat aspecten van de (klassieke) vlakke meetkunde in combinatie met het vlak als complex vlak te overwegen zijn voor het schoolvak wiskunde.

     Zoals eerder gezegd, ik voer hier geen discussie meer met Cool.

     Een meer algebraische opzet van de differentiaalrekening op school, VOOR het introduceren van limieten, heeft mijn warme belangstelling. In het nascholingsmateriaal op

     www.few.vu.nl/~jhulshof/nascholinglinks.php

     (de twee readers) is daar wat van terug te zien.

5. historie
   Een parlementair onderzoek lijkt me volkomen terecht, maar dan voor het rekenonderwijs en de gang van zaken rond en na het TAL-project, en de desastreuze gevolgen van dat project op de doorlopende leerlijnen, zie forum node 8111 en de follow-up die TAL nu krijgt in het Toekomst telt project (forum node 8125).

   Thomas Cool verwijst overigens naar forum node 4346. Op geen enkele manier wordt in die draad namens het bestuur gesproken. Thomas Cool kan schrijven wat hij wil op dit forum, mits binnen de regels die voor alle forumgebruikers gelden.

   NB Om naar de genoemde nodes te gaan in de http link boven in je/uw browser de 4 cijfers veranderen.

6. De nieuwe samenvatting
   van Thomas Cool kan iedereen lezen die dat wil. Zonder daar verder in detail op in te gaan is het duidelijk dat er inderdaad grote problemen zijn.

   Echter, Wil Schilders is een verstandige en betrouwbare vent die goed op de hoogte is van de problematiek zoals beschreven in

   www.beteronderwijsnederland.nl/node/8111

   Dat het na 10 jaar cTWO nog wel even kan duren voordat OC&W weer begrijpt met wie ze moeten praten als het om wiskundeonderwijs gaat is zeker Schilders niet aan te rekenen. Ik neem nadrukkelijk afstand van wat Cool over hem schrijft.

   Joost

7. Mijn goede vriend
   Richard Gill schrijft over de boeken van Cool in

   www.math.leidenuniv.nl/~gill/reviewCOTP.html