Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog? [12]

 
Een overzicht, na de eerste elf rekenblogs.

De eerste elf blogs springen nogal van de hak op de tak, van het oeroude verleden (Freudenthal, 1968) (blog 7456) naar de nieuwe problemen in de dop (de rekentoetsen zoals de Toetswijzercommissie die in eerste instantie ziet, handig rekenen’ in de kerndoelen, de referentieniveaus en de rekentoetsen (7591, 7599, 7607), van de politiek (de Tweede Kamer bijeen op 31 maart 2010) (7577) naar wetenschapstheorie (waarom de Freudenthal-groep geen empirisch onderzoek meent te hoeven doen) (7485, 7616). Belangrijke onderwerpen zijn nog niet eens aan de orde geweest: Hoe staan de huidige rekenprestaties van Nederlandse leerlingen er eigenlijk voor? Wat zijn de theoretische uitgangspunten van Freudenthal en de zijnen eigenlijk waard? Tijd voor een tussenbalans.

De stormbal is gehesen: de resultaten van de PPON 2004 laten ondubbelzinnig en onweersproken zien dat de Nederlandse 12-jarigen ernstig achteruit zijn gegaan in basale rekenvaardigheden. De grootste gemene deler in het rekenonderwijs sinds ongeveer de negentiger jaren is dat het vrijwel geheel berust op rekenmethoden die realistisch zijn geïnspireerd. Het valt te denken dat de conclusie dan toch voor de hand ligt: dat realistisch rekenen blijkt geen gouden greep te zijn, weg ermee. Dat is een normale, rationele conclusie, al zullen allerlei andere factoren ongetwijfeld mede een rol spelen. Trouwens, daar hebben we weer zoiets: als het mede aan de didactische kwaliteiten van de leerkrachten ligt, dan komt het realistich rekenen wederom ten tonele: de pabo’s zijn veelal gericht geweest op het scholen in het realistisch gedachtengoed, en leveren al enige tijd jonge leerkrachten af die helemaal geen tradioneel rekenonderwijs meer kennen.
Veel scholen blijken ondertussen wel degelijk te weten dat het realistisch rekenen de problemen veroorzaakt: de Inspectie meldt dat zij hun realistische rekenmethoden aanvullen met extra leermateriaal om de basale rekenvaardigheden tenminste nog enigszins overeind te houden (7520)

Er is een kleine maar invloedrijke Freudenthal-groep die er heel anders over denkt: over de oorzaak van de zwakke basale rekenprestaties. Al naar gelang waarvandaan de wind komt, is het argument dat het eind 80-er jaren een bewuste keuze van het onderwijsveld is geweest om in het rekenonderwijs minder aandacht aan basale rekenvaardigheden te schenken (we moeten dus niet vreemd opkijken wanneer die vaardigheden dan ook teruglopen), of is het argument dat het realistisch rekenen nog onvoldoende is geïmplementeerd (dus moeten de inspanningen verdubbeld, moet het rekenonderwijs dus nog realistischer worden).
Hoe invloedrijk is de Freudenthal-groep? Van de groep zelf krijgen we te horen dat scholen vrij zijn in de keuze van hun rekenmethode: als iedereen dan methoden kiest die op realistische leest zijn geschoeid, is alles oké. En toegegeven, de Freudenthal-groep heeft zo bezien inderdaad overweldigend succes geboekt. Uitstekende PR, want succes. Dat een universitaire groep (sinds de overgang van IOWO naar OW&CO, later FI) zichzelf voortdurend aanprijst is een ander verhaal en het behoort zeker niet tot de ethiek van het wetenschapsbedrijf. Dat aanprijzen is zelfs zover gegaan dat de Nederlandse kerndoelen voor het rekenonderwijs twee stempels hebben gekregen: 1) dat het voortaan niet meer rekenen, maar ‘handig rekenen’ is, 2) met het goedkeuringsstempel van de overheid. Staatsrekendidactiek. (7591, 7599, 7607). OCW lijkt zodoende te worden aangestuurd vanuit Utrecht, althans waar het om het rekenonderwijs gaat, met als gevolg dat minister van onderwijs Rouvoet in de Tweede Kamer de rekenreferentieniveaus definieert als een uitwerking van die kerndoelen, van ‘handig rekenen’ (7577).

Dit lijkt op het eerste gezicht een impasse in een strijd tussen tegen- en voorstanders van realistisch rekenen. En verdraaid, het rapport van de KNAW-commissie die zich over de problematiek heeft gebogen, lijkt dat beeld te bevestigen. De commissie brengt een unaniem onderschreven rapport uit dat de gevoeligheden van de voorstanders van realistisch rekenen spaart, maar verlost Nederland daarmee niet van een absurde rekendidactiek. Wat ik heb gemist in het rapport Lenstra is een scherpe analyse van de realistische rekendidactiek (ik zal er nog in een afzonderlijke blog op terugkomen).

De insteek van deze serie blogs is om te laten zien, zo gedocumenteerd en zo navolgbaar mogelijk, dat de keuze tussen goed rekenonderwijs of realistisch rekenonderwijs niet gemaakt hoort te worden op basis van wie de meeste invloed heeft, maar op basis van wat de beste argumenten zijn. Waar de noodzakelijke empirische gegevens nog zouden ontbreken, moeten die als de wiedeweerga worden verzameld in degelijk onderzoek. Maar extra onderzoek is naar mijn inschatting niet nodig om de zaak te beslissen: er zijn ondertussen sterke empirische data beschikbaar, niet uit onderzoek door het FI (hoewel het enige behoorlijke FI-onderzoek – het MORE-onderzoek – wijst op een ernstig probleem in het bouwwerk van het realistisch rekenen), maar vooral uit de PPON-analyses (7587).

Nu blijkt de strijd om het rekenonderwijs niet alleen meer te gaan om wat de empirische onderzoeken ons vertellen dat er aan de hand is: er is een wetgevingstraject ingezet dat voorziet in door de overheid afgedwongen extra aandacht voor (taal- en) rekenonderwijs in basis- en voortgezet onderwijs, en het mbo. De dwang zou kunnen komen door rekentoetsen die onderdeel gaan uitmaken van de eindexamens vmbo, mbo en havo/vwo, evenals van herziene eindtoetsen voor het basisonderwijs. Niemand kan nog zeggen hoe dat precies vorm gaat krijgen, op welke manier rekentoetsen voor wie of wat mee gaan tellen, of leerlingen er op kunnen zakken, en waar dan de grenzen liggen: dat is allemaal nog onderwerp van nadere regelgeving nadat bijvoorbeeld de rekentoetsen concreet zijn uitgewerkt en beproefd (7577). Er is een Toetswijzercommissie ingesteld met de taak om de wettelijk vastgestelde referentieniveaus (aangeleverd door de cie-Meijerink – wg-Van Streun) te vereenvoudigen tot toetswijzers op basis waarvan rekentoetsen kunnen worden ontworpen. De commissie heeft april jl concept-voorbeeld-rekentoetsen voor advies voorgelegd aan het veld en aan een meeting van experts (zie voor links naar relevante stukken het begin van blog 7587).
Nu er concept-voorbeeld-rekentoetsen beschikbaar zijn blijkt ook dat de wetgever geen heldere boodschap heeft. Dat kale rekensommen alleen ‘handig rekenen’ toetsen lijkt dan nog het kleinste probleem: nu die absurditeit op het niveau van het vo en ho is getild, zal daar vanzelf oppositie tegen dit gemankeerde rekenen ontstaan. ‘Gemankeerd’: de PPON laat zien dat handig, schattend en hoofdrekenen tot massaal verkeerde antwoorden leidt. Vergelijk de situatie wanneer scholen een heel eigen taalspelling zouden gebruiken! Welnu, zoiets is met het rekenonderwijs aan de hand. Ernstiger is dat de wetgever niet duidelijk is over het te bereiken doel: het enige doel lijkt te zijn dat het onderwijs meer aandacht aan taal en rekenen geven, hoe scholen dat gaan doen kunnen ze zelf bepalen, maar de overheid bepaalt wat scholen (individuele leerlingen?) aan het eind van de dag (bij de eindexamens?) bereikt moeten hebben. Uit deze Dijsselbloem-kramp tussen het wat en het hoe moet het idee geboren zijn om rekenstandaarden vast te leggen. Maar zijn de referentieniveaus van de werkgroep-Van Streun die standaarden? De Tweede Kamer wist het ook niet, zodat tijdens de kamerbehandeling op 31 maart 2010 door minister Rouvoet is vastgelegd dat de referentieniveaus een uitwerking zijn van de kerndoelen rekenen. Maar hoe zit het dan met die betere aansluiting bo-vo, vo-ho, en voor het mbo: dat was toch de inzet van de oefening? En daarbij speelde toch de zorg over de rekenachterstanden zoals die o.a. uit de PPON 2004 waren gebleken? Moeten we dan niet eerst weten waarom die achterstanden hebben kunnen ontstaan? Deze waarom-vraag is nadrukkelijk aan de orde gesteld in de kamerbehandeling, met alleen machteloze speculaties van kamerleden als antwoord. Wat een armoede, waarom heeft OCW dat niet al veel eerder onafhankelijk laten onderzoeken? Het wetgevingstraject nu overziende gaat het leiden tot meer inspanning van hetzelfde rekenonderwijs dat allereerst tot de huidige problemen heeft geleid. Na elf blogs heb ik eigenlijk alleen maar vragen over wat de wetgever eigenlijk wil. Wel of geen rekenmachines? De handelingen van 31 maart 2010 geven de indruk dat de wetgever sterk maar wel traditioneel rekenonderwijs voor ogen heeft gehad, zoals de sprekers in dat debat het zelf nog hebben genoten.

De tegenstelling tussen goed rekenonderwijs en realistisch rekenonderwijs komt nu terug in de vorm van een levensgroot conflict tussen het parlement (goed rekenonderwijs, geen rekenmachine) en de Toetswijzercommissie (realistisch rekenonderwijs, met rekenmachine), en mogelijk ook in een conflict tussen wiskundeleraren en de Toetswijzercommissie, en tussen het ontvangende ho en de toetswijzercommissie. Dan heb ik de leerlingen nog niet genoemd, die in deze mallemolen kotsmisselijk dreigen te worden en een en ander dus niet in dank af zullen nemen. Het conflictueuze zit hem erin dat deze rekentoetsen vooral overbodige toetsen zijn (havo/vwo), en voorbijgaan aan wat als tekorten in vooral basale rekenvaardigheden worden ervaren in vo, mbo en ho.

Ik begrijp hier allemaal dus niets van. Want wat gebeurt er: in alle drukte van commissies, parlementaire behandeling, en concrete uitwerking is het de protagonisten van het realistisch rekenen gelukt om de aandacht af te leiden van de hamvraag: zit Nederland in de rekenproblemen dankzij het realistisch rekenen, of ondanks het realistisch rekenen? Nou ja, in beide gevallen ligt het niet voor de hand om als remedie voor de rekenproblemen, het voortgezet onderwijs ook nog eens hinderlijk te belasten met dat rekenen dat uitgaat van dezelfde realistische kerndoelen (handig rekenen’ enz.). Het hoger onderwijs zit er al helemaal niet op te wachten: de bijspijkerprogramma’s rekenen gaan vooral over de basale vaardigheden die de protagonisten van het realistisch rekenen nu juist met de vuilnisman hebben meegegeven.

Dan ligt het voor de hand om alsnog een poging te doen om de inspanningen voor het rekenonderwijs te baseren op wat evidence based is. Aan de Freudenthal-groep dus de vraag om de evidence te produceren waar de realistische rekendidactieken op berusten. Blog 7616 heeft laten zien dat er helemaal geen empirische basis is voor de claim dat het realistisch rekenen goed uitwerkt, dus zeker niet voor extra realistisch rekenonderwijs in het vo! Dit moet toch beslissend zijn, dunkt me. Voeg daar het empirisch bewijsmateriaal uit de PPON aan toe, inclusief de Leidse studies door Kees van Putten, Marian Hickendorff, en Willem Heiser (zie blog 7587).

Is het realistisch rekenen nog te redden omdat het mogelijk berust op een uitstekend theoretisch kader? Ik dacht het niet, en zal nog in een reeks blogs laten zien hoe de vijf beginselen die Adri Treffers onder het realistisch rekenen heeft gelegd, goede psychologische gronden ontberen. Dat ligt ook voor de hand: het realistisch rekenen is langzamerhand uitgegroeid tot een vorm van radicaal constructivisme (zie uitlatingen van Uittenbogaard, Oonk, Treffers, Goffree waar het helemaal niet meer de bedoeling is dat leerlingen uiteindelijk ook nog eens de standaardalgoritmen beheersen). Het constructivisme is zelf al een stevige misvatting van wat de cognitieve psychologie verstaat onder het idee dat de hersenen zich voortdurend een beeld van de wereld scheppen. Dat laatste is van een totaal andere orde dan het idee dat kinderen zichzelf hun eigen wiskunde moeten vormen. Guided reinvention, dat nog wel, maar wat een gekkigheid (let wel: het gaat om basisscholieren en -scholiertjes!).

Ja, en dan is het rekenen zelf nog niet eens aangestipt. Ik ben geen wiskundige, en ik vind dat wiskundigen prima in staat zijn de wiskundige onzin uit de publicaties van de Freudenthal-groep aan te wijzen. De situatie is hier weinig anders dan in de VS, waar iets wordt onderwezen en getoetst dat wiskunde moet heten, maar dat in feite niet meer is (is Californië de uitzondering?).
Zoals ook psychologen een schone verplichting hebben om duidelijk te maken dat de realistische rekendidactiek poogt leerlingen slimmer te maken en hun ruimtelijk inzicht te vergroten. Schitterend als deze dingen tot de mogelijkheden van het onderwijs zouden horen, maar dat doen ze dus niet. Het reken- en wiskundeonderwijs mag niet degenereren tot het voortdurend toetsen van verschillen in intelligentie.

Literatuur

  • Zie de literatuur vermeld in de voorgaande blogs

Voorgaande blogs

  1. Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456

  2. Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485

  3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520

  4. Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streun blog 7547

  5. Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555

  6. De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 blog 7577

  7. Diagnose rekenproblematiek bo, met Harskamp 2007, bijlage A werkgroep-Van Streun blog 7587

  8. Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591

  9. ‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9] blog 7599

  10. ‘Handig rekenen’: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard’s ‘Juliette en Jonas’ [10] blog 7607

  11. Waarom de Freudenthal-groep niet onderzoekt of realistisch rekenen wel deugt [11] blog 7616

Volgende blog

  • Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd? Begin van de reis langs zijn beginselen [13] blog 7700

90 Reacties

  1. Petje af
    Voor je overzicht en al het werk dat je eraan besteed hebt.
    Een reaktie van het FI lijkt me zeer gepast. Zoniet dan is het “Qui ne dit mot consent”.

    • Qui ne dit mot consent
      @hendrikush

      Je Frans is niet slecht, maar ik ben het er niet mee eens. Ik was in 1974 in een ‘Qui ne dit mot consent’-situatie terechtgekomen, en dat was niet aangenaam. Ik was destijds woordvoerder van de Contactgroep Research Wetenschappelijk Onderwijs (CRWO) op het dossier over selectie bij numerus-fixusstudies zoals geneeskunde. Het standpunt van de CRWO was dat integraal loten de minst beroerde oplossing is onder de gegeven omstandigheden (capaciteitsgebrek; toelaatbaarheid met vwo-eindexamens). Prof. Bakker, bioloog RU Leiden, kwam daartegen in verzet in de nrc; zijn postbus stroomde vervolgens over van de steunbetuigingen. In het CS van de nrc schreef ik in overleg met redacteur Pollman een artikel als antwoord. Zoals dat gaat, kwam daar o.a. een neersabelende reactie op van Leppink en Veldkamp, hoogleraren mathematische statistiek en wiskunde als ik het goed heb. Collega’s raadden mij ten sterkste af om daar weer op te reageren. Ik heb dat dus alleen in een persoonlijke briefwisseling gedaan, en daar een goed contact met prof. Leppink aan overgehouden.

      Voor prof A.D. de Groot was het uitblijven van mijn reactie aanleiding tot jouw Franse oordeel; heel pijnlijk. Prof. Hans Crombag heeft ik meen in het Universiteit en Hogeschool uitgelegd dat A.D. de Groot hierin geen juist oordeel heeft gehad.

      Vanuit het FI is het realistisch rekenen verdedigd in diverse publicaties in 2009 en 2010, waar ik ook naar heb verwezen.
      Er komt ongetwijfeld een gelegenheid voor een wisseling van argumenten, dat hoeft niet op dit forum te zijn maar bijvoorbeeld bij gelegenheid van uitwerking van enkele thema’s tot artikelen in het Nieuw Archief voor Wiskunde of in Euclides. Of Panama Post. Ik respecteer ieders keuze om niet op dit riskante forum te reageren op de rekenblogs.

    • reactie ‘petje af’ voor de heer Wilbrink
      Ik neem tevens mijn petje af. De heer Wilbriunk doet wat zijn wetenschappelijke status verlangt: het opzoeken van wetenschappelijke onderzoeken, het kritisch doorlezen ervan en het toetsen van die onderzoeken aan de eisen die aan wetenschappelijk onderzoek worden gesteld.
      Al die inspanning bewonder ik; tevens begrijp ik waarom ik voor de wetenschap niet in de wieg ben gelegd: ik zou het allemaal doodvermoeiend vinden.
      Ik zie het een beetje als een wetenschappelijk circuit dat zichzelf, door onderlinge toetsing, aan het werk houdt.
      Achteraf kan het zeker nuttig zijn. En daarmee kom ik tot de kern van mijn bezwaar: het is toch steeds achteraf praten en analyseren.
      Waar de leden van Freudenthal voor de troepen uitliepen en vooraf idealen verkondigden die ‘wetenschappelijk’ verantwoord zouden zijn.

      Ik blijf erop hameren dat het toch steeds weer de praktijkmens is die als eerste allerlei manco’s opmerkt. Degenen die vanuit het paradigma ‘rekenen is vaardigheid’ lesgaven, zagen al zeer snel hoe dat RR-rekenen niet goed werkte. RR-rekenen werkte allen goed als men een ander paradigma hanteerde: rekenen is vooral begrijpen.
      De praktijkmens had deze nuances al snel door.
      De heer Wilbrink, met al zijn goede werk, is vooral achteraf bezig. Tijdens de invoering van de nieuwe paradigma’s hebben wij weinig kritiek van hem vernomen.
      En dat is wellicht misschien wel logisch: wetenschap functioneert pas als er voldoende meetbaar materiaal voorhanden is. Wetenschappers die voor de troepen uit lopen, zonder voldoende meetbaar materiaal, moeten het vooral van dromen, fraaie woorden en idealisme hebben.

      Ik blijf dus pleiten voor de open ogen en oren (en daarmee voor de belangrijkste stem) van de gewone praktijkmens. Die kan als eerste allerlei zwakheden in het ideaal opmerken.

      • Toetsexpert
        De invoering van realistisch rekenonderwijs kun je een toetsexpert moeilijk kwalijk nemen. De hoogleraren wiskunde mogen zich wel achter hun oren krabben. En de hoogleraren onderwijskunde, pedagogiek en psychologie ook. Slechts een enkeling heeft er iets van gezegd.

        • Wat is een toetsexpert
          In mijn ogen is een toetsexpert iemand die zelf goede toetsen heeft ontworpen.
          Kritiek is namelijk altijd de gemakkelijkste weg. Zelf iets beters aandragen blijkt altijd veel lastiger.
          Verder neem ik de heer Wilbrink de invoering van het realistisch rekenonderwijs uiteraard niet kwalijk. Ik zeg alleen dat zijn kritiek een beetje laat, als mosterd na de maaltijd, komt.

          Maar er is zeker sprake van een historisch belang. Toekomstige historici zullen, als zij het onderwijs begin 21-ste eeuw willen begrijpen, zeker nut hebben van de analyses van de heer Wilbrink.
          De gewone meester of juf heeft echter directer belangen op het oog: het rekenbelang van Pietje en Marietje in het jaar des Heren 2011. Wat mij betreft gaat dat laatste belang voor het latere historische belang waarbij ‘correcte’ analyses eventueel (want zeker is dat allerminst; niemand weet welke vreemde vooringenomenheden in de toekomst zullen gaan gelden) zullen worden gemaakt.

      • RR-rekenen: een verkeerde afkorting
        RR-rekenen, dat klopt niet als afkorting. Het betekent ‘realistisch rekenen-rekenen’.
        Als afkortingen een eigen leven gaan leiden, kunnen dit soort fouten ontstaan. Maar de alternatieven zijn: R-Rekenen, alleen maar ‘RR’, of voluit ‘realistisch rekenen’.

  2. wat vinden de 18?
    Het zou interessant zijn als de 18 hoogleraren die in het pamflet
    vorige.nrc.nl/opinie/article2039486.ece ( link kopieëren in browser svp)
    zo uitgesproken hun mening hebben gegeven over de verdiensten van het realistisch rekenonderwijs inhoudelijk reageren op de bevindingen in deze samenvattende blog. De commissie onderwijs van Platform Wiskunde Nederland, zie
    www.platformwiskunde.nl/onderwijs.htm
    doet er ook goed aan kennis te nemen van deze blog.

    Joost

    • Macht
      Je onderschat de macht Joost. Als je die hebt hoef je helemaal aan niemand verantwoording af te leggen. Denk maar niet dat ze de moeite willen nemen om zich te vernederen om op grond van argumenten en inhoud verantwoording te nemen.

      Ze hebben de macht en de minister geeft ze die. Dat gebeurt niet op grond van argumenten, maar op grond van relaties en gevestigde orde.

      Ze willen niet (kost moeite) en ze durven niet (riskeert positie)

  3. vv Rekenen in Nederland: hoe benoem ik de hoofdrolspelers?
    Waarom schrijf ik dit zo op? Ik heb in deze en de voorgaande blogs eigenlijk voortdurend moeite met het vinden van een naam of een aanduiding van dit complexe netwerk van didactici en anderen die met overtuiging achter het gedachtengoed van het realistisch rekenen staan. Zo heb ik, meen ik, gebruikt: ‘protagonisten van het realistisch rekenen’, ‘Freudenthal en de zijnen’, ‘de Freudenthal-groep’, ‘de realistisch rekenaars’ en ‘de Freudenthalers’. Het gaat altijd vergezeld van met naam en toenaam aangeduide publicaties en citaten daaruit, dus het probleem is hier niet dat de aanduidingen onnodig generaliserend zouden zijn. Maar echt bevredigend is het niet, en ik kan me voorstellen dat er bij de zo aangesprokenen enige irritatie over ontstaat. Het gebruik van ‘de Freudenthalers’, zo heb ik begrepen, wordt niet opgevat als een juiste karakteristiek, maar als een denigrerende benaming; als dat zo is, is het beter deze aanduiding niet te gebruiken. Ik zal het overwegend houden bij ‘de Freudenthal-groep’.

    vv 2

  4. vv 2
    Er blijft in al deze aanduidingen — ‘de Freudenthal-groep’ enzovoort — iets onbevredigends zitten. Natuurlijk is de ene voorstander van realistisch rekenen de andere niet, en gaat het binnen de Freudenthal-groep om een familiegelijkenis (in Wittgensteiniaanse zin) tussen de spelers binnen deze groep. Een gemeenschappelijk kenmerk is in ieder geval dat voor het theoretisch kader altijd wordt teruggegrepen op het werk van Hans Freudenthal en de vijf beginselen die Adri Treffers onder woorden heeft gebracht. Juist dit naar binnen gekeerd zijn van deze groep rekendidactici rechtvaardigt en maakt het onvermijdelijk om de spelers in dit netwerk als groep aan te duiden. In blog 11 geeft het uitvoerige citaat uit het proefschrift van Buijs daar een scherp voorbeeld van: Buijs volgt Freudenthal in kwesties van methodologie, en dat is het.

    Het bestaan van deze groep impliceert dat er spelers zijn die niet tot deze groep behoren. Of zij dan ook tegenstanders van de Freudenthal-groep zijn is niet interessant, maar kan wel persoonlijke wrijvingen opleveren. Niet doen; er is niets persoonlijks aan de orde. Het gaat om de kwaliteit van het rekenonderwijs. Dan gaat het niet aan om vanuit een gesloten onderwijsopvattin invloed op dat rekenonderwijs uit te blijven oefenen. Het gaat dus niet om de groep, maar om de wetenschapsopvatting. Ik constateer dat op dit punt Jan van Maanen, gezien zijn oratie pdf, zich als directeur van het FI open opstelt: er is gemeenschappelijke grond om gezamenlijk het rekenonderwijs uit het slop te helpen, waarmee tal van partijen (scholen, uitgevers, toetsmakers) ondertussen al een begin hebben gemaakt. Zie hier voor een korte annotatie bij zijn oratie.

    Ben Wilbrink

    • Machtsmanipulaties
      Ik denk dat de gebeurtenissen rond het realistisch rekenen sterke overeenkomsten vertonen met die rond het CGO.
      – sociaal constructivistisch
      – niet op feiten gebaseerd, geen onderzoek naar geschiktheid en effecten
      – geen fatsoenlijke analyse van ervaren problemen en daarbij passende oplossingen
      – een conglomeraat aan meelopers die de boodschap verspreiden als het enige heil
      – die langzamerhand steeds meer invloed en macht inzake het (reken)onderwijs hebben verkregen, zonder daarvoor echt verantwoording te hoeven afleggen
      – en die zaken volledig naar hun persoonlijke visie gaan interpreteren (niemand weet of iets nu wel of niet absoluut onderdeel is van CGO)
      – pas als van alle kanten duidelijk is dat het nieuwe geen betere resultaten oplevert, komt er bij enkelen (die geen machtspositie innemen) twijfel

      Zo is het gegaan met rekenen en zo zal het gaan met de competenties. De competenties zelf zijn al gestorven, de werkprocessen en de kerntaken leven nog wel. Een brede en degelijk ondergrond aan theoretische kennis probeert men ongewenst te verklaren, maar het idee dat dit onmisbaar is/gevraagd wordt wint al terrein (zie o.a. de in te voeren examens Nederlands/Rekenen/Engels)

      • toch ook een fundamenteel verschil
        De overeenkomsten zijn evident Hinke, toch is er een in mijn ogen fundamenteel verschil. Wellicht niet in de processen rondom RR en CGO, maar wel in de basis.
        Het RR is ontwikkeld vanuit het vak. Het is een didactiek in plaats van een onderwijskundige theorie. Eerste doel was kinderen beter leren rekenen. Alhoewel Freudenthal wel gezegd heeft dat wiskunde als apart vak zou (moeten) verdwijnen en ik daarmee niet geheel zeker ben over alle intenties, is mijn ervaring dat alle veranderingen in het begin wel degelijk werden gestart vanuit de gedachte om beter reken- en beter wiskundeonderwijs te geven. Kinderen zouden beter kunnen rekenen als ze begrepen wat breuken waren in plaats van de dan gangbare situatie, dat ze “stom” de regeltjes toepasten en die ook door elkaar haalden.

        Pas later heeft men het constructivisme gebruikt als vehicel om te legitimeren waar men mee bezig was en welicht ook om de invloed te borgen en versterken. Zo paste dat hele realistisch rekenen in de vigerende onderwijskundige mode. Achteraf maakt het feit dat we inderdaad kunnen zeggen dat het RR kenmerken in zich draagt van het constructivisme, dat RR evenzeer een vergissing is als het constructivisme dat is.

        • Stom regeltjes toepassen
          @ 2010,

          Het niet aflatende getoeter van de realistisch rekenaars dat traditioneel rekenonderwijs ‘mechanistisch’ zou zijn (een uitvinding van Adri Treffers, maar dubbel en dwars een drogreden) heeft diepe sporen getrokken in ons rekenonderwijs. Zo diep, dat ook jij de drogreden herhaalt:

            • Kinderen zouden beter kunnen rekenen als ze begrepen wat breuken waren in plaats van de dan gangbare situatie, dat ze “stom” de regeltjes toepasten en die ook door elkaar haalden.

          Treffers heeft voor het tweede deel van deze stelling — wat de ‘de gangbare situatie’ zou zijn — nooit ondersteunend bewijs geleverd. Anecdotisch materiaal is natuurlijk altijd te vinden, maar het is niet handig om dat ‘stom’ te presenteren als bewijs. Bij mijn weten heeft Treffers er maar op één plaats enige afstand van genomen: in de inleiding tot De Proeve deel 1 (1989), waar hij benadrukt dat de tegenstelling tussen traditioneel en realistisch natuurlijk niet zwart wit is, maar tal van grijstinten kent (ik vat het in mijn woorden samen; Treffers, De Moor en Feijs gebruiken hier ook een iets andere terminologie voor de tegenstelling).

          Ik maak van deze gelegenheid gebruik om te wijzen op de mogelijkheid van een derde factor als verklaring: dat beroerd realistisch rekenonderwijs — waar Nederland nu onder lijdt — gemeen heeft met slechts incidenteel beroerd traditioneel rekenonderwijs — waar Nederland tot rond 1990 mee gezegend was — dat het gaat om leerkrachten die niet opgewassen zijn/waren tegen hun rekentaken. Ik weet het niet, hoor, maar ik heb toch zo’n vermoeden dat anno 1970 de onderwijzers in de lagere school beter rekenonderwijs gaven dan de leerkrachten in het basisonderwijs van 2011. Door de bank genomen. Laat OCW daar eens een onderzoek op aanbesteden. De PPON 1987 versus 2004 is ook goed, natuurlijk.

          • Hoezo, mechanistisch?
            De stelling van veel leden van de Freudenthal-groep dat het traditionele rekenonderwijs ‘mechanistisch’ zou zijn — zonder begrip, opdreunen, en andere lelijke dingen — is een drogreden (stroman) die mij buitengewoon stoort, en dat blijkt een belangrijke motivatie te zijn voor mijn bemoeizorg met dat realistisch rekenen. Zo gaan die dingen.

            Een indruk die ik heb uit het proefschrift van Fred Goffree, dat o.a. een informatief overzicht geeft van de naoorlogse ontwikkelingen in het rekenonderwijs, is dat de kweekscholen onderwijzers afleverden die zeer rekenvaardig waren, maar zonder didactische bagage dat die naam mocht dragen. Ik vermoed dat dit in het lager onderwijs kan hebben geleid tot rekenonderwijs dat weliswaar didactisch ‘arm’ was, maar rekenkundig in ieder geval correct. Ik ben wel benieuwd of er meer valt te zeggen over hoe dat rekenonderwijs in de klas in werkelijkheid in zijn werk ging, me al zijn kwaliteitsvarianten.

            Interessant is in ieder geval ook, al gaat dit over de voorafgaande periode:
            A. Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Wolters. Proefschrift. Leen bespreekt o.a. eerdere pleidooien om het rekenonderwijs te ontdoen van pedante overlading. Bepaald iets anders dan mechanistisch rekenen. Toch?

            Onderzoek dat een beeld geeft van de kwaliteit van wat er in de klassikale rekenles gebeurt is al met al toch vrij uitzonderlijk, is mijn indruk. Een recente voorbeeld, uit de VS:
            Heather C. Hill and others (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511. pdf

          • mechanistisch autorijden/fietsen
            Ik ben blij dat ik mechanistisch autorijd: kan ik meer aandacht aan het verkeer besteden.
            Hetzelfde geldt voor de tafels: de mechanistische beheersing ervan leidt ertoe dat andere rekenopgaven gemakkelijker kunnen worden opgelost.
            Als een kind bij een grote deelsom eerst nog via de inzichtelijke methode moet uitvinden hoeveel 6×7 is en 8×12, raakt het bij het voortraject van de uit te rekenen opgave de weg al kwijt.
            Bij het leren bespelen van een muziekinstrument kan ‘mechanistisch’ ook geen verwijt zijn. Waarom bij het leren rekenen dan wel?

          • denkkramp
            De denkkramp in het realistisch rekenen (alles altijd met begrip doen) berust op innerlijk tegenstrijdige noties, zoals het voorbeeld van autorijden inderdaad aangeeft.

            Bijvoorbeeld: het ‘progressief schematiseren’ waar Adri Treffers en de zijnen gek op zijn, verschilt in psychologische opzicht niet van het langs traditionele weg leren rekenen dat Treffers en de zijnen geringschattend ‘mechanistisch’ noemen. Het gaat in beide gevallen om handelings-verkortingen (zoals Mettes en Pilot dat in hun proefschrift noemen, als ik me goed herinner. Maar ja, dat ging over probleemoplossen in het vak thermo-dynamica.). Niks tegenstelling tussen mechanistisch en realistisch. Met deze uitzondering dan: de talloze omwegen en zijpaden die het realistisch rekenen nodig vindt.

            Ook over de gradaties van ‘begrijpen’ zijn nog vele blogs te vullen.

          • aanhalingstekens om stom
            Ik herhaal inderdaad de drogreden, maar niet met de bedoeling die te ondersteunen. Vandaar de aanhalingstekens om stom.
            Dus: ook ik denk dat “stom” oefenen in het geheel niet stom is, sterker nog, dat door oefening met getallen en bewerkingen vertrouwdheid met getallen en bewerkingen bevorderd en dat dat een goede basis is voor begrip.

            Als de kwaliteit van leerkrachten een beperkende factor zou zijn, dan is dat met de realistische didactiek alleen maar erger. Om op een realistische manier les te geven, moet je vele malen vaardiger zijn, zowel met rekenen en wiskunde als met klassemanagement, dan om traditioneel rekenen te geven.

          • De rekenmeester
            @ 2010

            De realistische drogreden is dat traditioneel onderwijs mechanistisch zou zijn, waarin het niet gaat om het begrijpen van de stof, maar alleen om het blind herhalen. Dat onderwijs bestaat niet; het gaat hier om wat in de boeken over drogredenen en argumenten een stroman heet.

            Wat jij hierboven noemt, door oefenen vertrouwdheid opbouwen, is iets anders. Het boeiende van dit thema is dat de filosofie van het realistisch rekenen is dat je dat oefenen moet doen in realistische contexten met grote getallen (dat levert in de praktijk dus geen succes op), en da de realisten bezig zijn om langs een omweg daarop terug te komen en oefenen met kale sommen om vertrouwdheid met getallen op te bouwen in hun canon aan het opnemen zijn. Dat is boeiend, omdat het een erkenning is van het falen van het realistisch rekenen. Dat het laatste niet volmondig wordt toegegeven vind ik prima, zolang het ombouwen van realistisch naar verantwoord rekenonderwijs maar doorgaat. Laten we dat dus vooral aanmoedigen.

            Wie de door Goffree geschreven leerboeken voor de pabo doorbladert, slaat de schrik om het hart. Bij mij in ieder geval wel. Enorm omvangrijke stof, extra dubbel bovenop de eis dat de jongelui natuurlijk ook nog hun eigen rekenvaardigheid op hoog peil moeten brengen. Uit heel de wiskobas- en realistisch-rekenen-literatuur is de overweldigende indruk dat de modale leerkracht op de basisschool die ook nog veel andere dingen te doen heeft, dit op geen enkele manier op de onderwijsvloer kan realiseren. Ik zie dan zelf nog enorme problemen bij het interpreteren van de onderliggende psychologie, de vijf beginselen van Adri Treffers: het lijkt me onmogelijk dat leerkrachten zich hier een coherent beeld uit kunnen vormen dat qua psychologie correct is.

          • Inderdaad: onmogelijke eisen aan leerkrachten
            Ik denk inderdaad dat de meeste leerkrachten geen idee hebben van wat er allemaal van ze wordt verwacht bij realistisch rekenonderwijs. Zelfs als de uitgangspunten zouden kloppen, dan nog is de uitwerking op de onderwijsvloer onhaalbaar.
            De boeken van Goffree zijn voor pabo studenten veel te moeilijk. Wat overblijft is dat “de wetenschappers” zeggen dat we vooral huis tuin en keukenvoorbeelden moeten verzamelen en daar rekendingen mee moeten doen. En practisch en enthousiast als ze zijn wordt dat ook zo uitgevoerd. Het geeft ook “leuk” onderwijs, passend in het onderwijskundig klimaat waar de school zich toch al aan heeft overgegeven.

            Voor alle duidelijkheid: ik verwijt hier de leerkrachten niets. Zij worden zowel bij de algehele onmderwijsvisie als bij het realistisch rekenen opgezadeld met zogenaamd wetenschappelijke oekazes waarvoor ze niet in de positie zijn die tegen te spreken. Het getuigt van professionaliteit dat ze zich zoveel moeite getroosten om volgens die “laatste wetenschappelijke inzichten” te werken.

          • begrijpen is nog geen beheersen
            Wie leerstof begrijpt, beheerst het nog niet. Men kan kinderen laten begrijpen waarom de tafel van 7 zo in elkaar zit: het betekent niet dat leerlingen nu kunnen werken met de tafel van 7. Men kan laten zien dat een kubieke decimter evenveel is als een liter: het betekent allerminst dat een leerling nu sommen kan maken over ‘inhoud’. Enz.
            Dat is de makke van al die nadruk op ‘begrijpen’.
            Tevens vergeten de geleerde heren dat rekenen voor de zwakke kinderen altijd al gauw abstract wordt. De ‘vertaalslag’ van een som op papier (met alle begrippen die erbij horen) naar het visualiseren van een praktijksituatie is voor deze kinderen al veel te gecompliceerd. Die kinderen leggen met grote moeite een verband tussen wat ‘begrepen’ werd tijdens een knip-, kleur- en plakles en de abstractie daarvan die in een som wordt weergegeven.

            Het verwijt van ‘mechanistisch’ komt van de tegenstelling tussen ouderwets onderwijs en modern onderwijs die (karikaturaal) werd gemaakt. Bij ouderwets onderwijs zouden kinderen passief als automaatjes volgepompt worden met voor hen onbegrijpelijke kennis. Het moderne onderwijs zou van het kind weer een kind gaan maken: de stem van het kind zou gaan meetellen en kinderen zouden de leerstof gaan begrijpen. Dat zou pas echt onderwijs zijn: kinderen die hun stem mogen laten horen en die begrijpen wat zij leren. RR past helemaal in zo’n ideaal.
            Dat het ideaal niet werkt, dat zien we wel vaker.
            De nieuwste rekenmethode als Reken Zeker wil dan ook niet alle ‘begrip’ weggooien, maar het beste van de twee werelden aanbieden. Dat zie ik als een goede ontwikkeling.

        • inhoudelijke en conceptuele correctheid
          Wat ik me nog steeds afvraag is of er een direct verband is tussen de zaken die hierboven worden besproken en het gebrek aan respect voor inhoudelijke en conceptuele correctheid, waarover ik keer op keer struikel. Zie bijvoorbeeld:

          www.fi.uu.nl/toepassingen/03346/spel1.html

          Joost

          • Correcte lesstof, toetsen, en lessen?
            @ Joost Hulshof

            ‘Gebrek aan respect voor inhoudelijke en conceptuele correctheid’ komt in twee smaken: smaak A: niet weten wat correctheid is; of smaak B: dat wel weten maar het van geen belang vinden.

            Het probleem is niet specifiek voor realistisch rekenen, rekenen, of het Nederlandse onderwijs. Het antwoord is dus: er is geen verband.

            Een voorbeeld. De Nationale Rekentoets 2006 en 2007, de eerste op tv gepresenteerd door Ronald Plasterk, wemelen van de inhoudelijke en conceptuele slordigheden. Ik heb daar destijds over gecorrespondeerd met het Cito, verantwoordelijk voor deze toetsen die tevens voorbeeld waren van de rekentoetsen voor de toegang tot de pabo’s: zeker, er zitten slordigheden in; nee, we gaan daar geen extra aandacht aan geven want het is hier al druk druk druk. Smaak B, dus.

            Smaak A, in de VS, bij wiskunde:

              • “Too often test designers and textbook authors do not have a clear idea of what mathematics is. Indeed, something on the order of 25% of the questions on a typical state mathematics assessment are mathematically incorrect.”

              R. James Milgram (2007). What Is Mathematical Proficiency? In Alan H. Schoenfeld:. Assessing mathematical proficiency (pp. 31-58). Cambridge University Press. pdf

            Dit zorgvuldigheidsprobleem is niet specifiek voor rekenen en wiskunde. Veel toetsen en examens bevatten meerdere dubbelzinnigheden en fouten, we gaan het deze dagen weer meemaken voor de eindexamens vo. Dat gaat van de categorie blunders en slordigheden tot en met de belangrijke categorie van gebrekkige validiteit. Zie mijn ‘Toetsvragen ontwerpen’ respectievelijk:
            hfdst 8. Kwaliteit van toetsvragen
            par 2.6 Validiteit: een goed antwoord bewijst kennis

          • Tijdverspilling
            Wat “leer” je in hemelsnaam in die verffabriek? Is dit niet gewoon een voorbeeld van verknoeide leertijd ofwel van “zoethouderij”? Ik zie het woordrapport al voor me liggen: Jantje kan heel goed en aandachtig met de computer rekenspellen uitvoeren.

          • conventie-verwarring
            Als ik de breuken omreken in percentages gaat de band lopen. Maar daarmee snap ik nog steeds niet waarom de som van de breuken niet 1 is en de som van de percentages niet op 100 gesteld is. (De individuele percentages mogen echter nooit meer dan 100 % zijn). Als het om dat omrekenen van breuken in percentages gaat heeft die hele verffabriek er niets mee te maken. Als het om verhoudingen van de kleurstoffen gaat die ,wanneer alle kranen geopend zijn, blijkbaar 1:1:1 is, ligt het voor de hand om de verhoudingen in gehele getallen te geven en niet in breuken. Dat samen niet 1 of honderd zijn zonder dat daar een verklaring voor is geven of gemakkelijk bedacht kan worden maakt de berekening anfällig voor fouten voortkomend uit conceptuele misleiding. Bij gewone verhoudingsgtallen onttaat die verwarring niet.
            Seger Weehuizen

          • Een wel goede vraag
            Een aardige vraag bij de verffabriek zou zijn geweest: Hoe moet men de kranen voor de verschillende kleuren afstellen opdat de bussen zo snel mogelijk gevuld worden? (De leerling maakt er dan gebruik van dat een kraan nooit meer dan 100% geopend kan zijn).
            Seger Weehuizen

  5. Rekenen in Nederland: hoe benoem ik de hoofdrolspelers?
    Over de laatste halve eeuw bezien zijn de meest invloedrijke spelers in het rekenonderwijs in Nederland te vinden in de netwerken van Hans Freudenthal en na 1990 het Freudenthal Instituut. Zeker, er zijn tal van andere spelers: andere onderzoekgroepen, uitgevers, pabo’s, de NVvW, OCW, de politiek, SLO en Cito, cTWO, en onderwijsonderzoekers. Maar kijk naar de verschillen in de didactiek in de klas tussen 1960 en 2010, dan is de bepalende invloed die van Hans Freudenthal & de Wiskobas-groep, en de verspreide groep van pleitbezorgers van het realistisch rekenen. Die laatste groep is verspreid, letterlijk bij de opheffing van het IOWO in 1981, maar vooral omdat Hans Freudenthal en de zijnen school hebben gemaakt en er op tal van plaatsen nu individuele spelers zijn die met overtuiging het gedachtengoed van het realistisch rekenen promoten. In de instituten van de genoemde reeks van ‘andere’ institutionele spelers zijn dan ook vele medewerkers te vinden die al dan niet nadrukkelijk uitgedragen opvattingen over het rekenonderwijs hebben die teruggaan op vooral het denken van Hans Freudenthal.

    • Hoekse en Kabeljauwse Twisten
      Een keurig item van Een Vandaag. Jan van Maanen kiest de tegenaanval:

      6:46 “Het lijkt op een godsdienstoorlog. Het lijkt alsof een kleine sekte, de sekte van de traditionele rekenaars, duidelijk wil maken dat het grote algemeen gedeelde geloof niet meer goed is.”

      6:20 “Er blijft eigenlijk een vrije marktsituatie waarin sommige scholen, nou ja, op een andere manier rekenonderwijs geven dan andere scholen, en dan zullen de toetsen uitwijzen waar de goede resultaten behaald worden.”

      Deze uitzending is 20 oktober 2008. Dat basale rekenvaardigheden, het onderwerp van deze uitzending, ernstig achteruit zijn gegaan is dan echt wel bekend uit de PPON-analyse van het Cito en van Kees van Putten. Van Maanen refereert wel aan de PPON, maar verzwijgt precies dit resultaat. Van de Craats wijst op die teruggevallen basale rekenvaardigheden. Zij zitten niet aan een tafel, het communiceert dus niet echt lekker.

      Heeft de redactie selectief gesneden in het interview-materiaal? Ik dacht het niet. Jan van Maanen is volstrekt ondubbelzinnig in zijn uitspraken. Maar het is 2008, het voortschrijdend inzicht bij het Freudenthal Instituut vandaag is dat de basale rekenvaardigheden, door Adri Treffers denigrerend ‘cijferen’ genoemd ofwel koopmansrekenen à la Bartjens, inderdaad verwaarloosd zijn en heeft daar maatregelen op genomen. Zoals veel scholen al eerder hebben gedaan (Inspectierapport, maart 2011, zie blog 7520)

          • expertmeeting rekentoetsen 12 april
            Haar team was aanwezig op de bijeenkomst met Victor Schmidt’s rekentoetswijzercommissie, die de verplichte nieuwe rekentoetsen voor slechts 1/5 zonder rekenmachine wil laten doen, en dat gedeelte dan ook alleen met voorgekookte sommetjes die handig gedaan kunnen worden, dus bij voorkeur zonder cijferen. De namens BON en SGR nadrukkelijk uitgesproken zorg over de wiskunde eindexamens als referentiekader voor de toetsen, in plaats van de wensen van de beta-brede vervolgopleidingen, vond daar geen respons.

            Joost Hulshof

          • Citaat
            Besproken of niet, laat ik eens een alinea citeren:

              • Het probleem met het rekenen op school is dat rekenen uit een
                boek nauwelijks iets te maken heeft met het rekenen in het dagelijkse
                leven. Daarom is het van het grootste belang om werkelijke,
                betekenisvolle rekenwiskundige activiteiten als meten (van lengte,
                gewicht, inhoud en oppervlakte) en meetkunde regelmatig in het
                onderwijs in te bouwen. Alleen maar rekenen uit een boek biedt
                kinderen onvoldoende bagage voor het rekenen in het dagelijks
                leven en voor hun toekomstige beroep.

            Dit lijkt helemaal niet onredelijk. Maar ik wijs erop dat dit soort denkbeelden, waarvan het ritselt in de realistische rekenliteratuur, niet berusten op enige onderbouwing met empirisch onderzoek dat die naam verdient. Nu is de problematiek van aansluiting tussen onderwijs en arbeidsmarkt (tussen onderwijs en dagelijks volwassenenleven) mij niet helemaal onbekend, en heb zo’n dof vermoeden dat de het geciteerde denkbeeld kletspraat is. Er zit bovendien enige tijd tussen dit onderwijs, en het dagelijks leven waar het hier om gaat (niet dat van de basisscholier, maar van de volwassene in de samenleving).

          • stand up!
            Wel Ben, ik heb Mieke al eerder gevraagd om te reageren.

            Joost Hulshof

    • Het geloof van Van Maanen
      Van Maanen wijst erop dat bij zijn methode van delen b.v. de kinderen werken met echte hele getallen.
      Ze doen geen staartdeling omdat de staartdeling niet met die hele getallen werkt.
      485 : 8 wordt dan 400 : 8, 80 : 8 waarna nog 5 overblijft.
      Dat is pas inzicht!
      Hij vergeet echter dat we bij de notatie van de getallen ook al tot ‘afkortingen’ overgaan.
      Hij schrijft 485 niet als 400 plus 80 plus 5.
      Maar schrijft, tegen zijn eigen geloof, gewoon 485.
      Verder ben ik van mening dat kinderen die degelijk en grondig hebben leren rekenen minder moeite hebben met de ‘inzichtelijke’ manier van rekenen dan die kinderen die van begin af aan alleen dat zogenaamde inzicht hebben om op te vertrouwen.
      De traditionele methode is dus win-win: leerlingen krijgen grote vaardigheden bij het beheersen van de rekenbewerkingen EN zijn tevens in staat zich hiermee begrip eigen te maken.
      Wie goed rekenonderwijs wil kiest dus voor die win-win- situatie.

      • 400 : 8
        En probeer 400 : 8 maar eens inzichtelijk uit te rekenen als je de tafels van vermenigvuldiging niet hebt geautomatiseerd (‘klaagzangen noemen de vernieuwers dat: dat opzeggen van de tafels).
        Dat krijgen we dit:
        80 : 8 = 10, want dat is een ‘weetje’. Noodzakelijk, want als we ook nog eerst tienmaal 8 : 8 moeten uitrekenen, begint een eenvoudige som op een filosofisch drama te lijken.
        We gaan dus verder, weer 80 : 8, weer 80 : 8, en weer, en weer, totdat we bij 400 zijn aangekomen. Daarna wordt het tweede deel ( 80 : 8 ) al makkelijker want dat kwamen we al tegen. Maar als het 90 was geweest, hielden we nog 15 over. Zonder tafelkennis moet het kind gaan uitrekenen wat 15 gedeeld door 8 is. Er past 1 maal 8 in, zal het ontdekken, waarna er nog 7 overblijft (dit vereist wel het automatisch kunnen splitsen van getallen onder de 20); als dit niet automatisch kan, moeten er blokjes op tafel worden gelegd om in te zien dat bij 15 minus 8 er nog 7 overblijft.
        Wie daar is aangeland weet allang niet meer welke som hij aan het uitrekenen was. Tevens kost een eenvoudige som op deze manier zoveel tijd, dat elke eenvoudige opgave een hachelijke onderneming gaat worden.

        Automatiseren helpt de leerlingen pas echt vooruit. Ik heb gezien hoe rekenzwakke kinderen toch goede cijfers konden halen door hun vaardigheid met ‘cijferen’.

      • win-win rekenonderwijs
        Moby,

        Ik deel jouw visie. Iets van een bewijs schemerde al door in het MORE-onderzoek (zie bv blog 7485), waarin leerlingen uit de traditionele school ‘handiger’ konden rekenen dan de leerlingen uit de realistische school die juist op ‘handig’ rekenen is gericht.

        Ik ga op zoek naar de empirische basis onder het rekenonderwijs. Ik doe dat aan de hand van het volgende artikel dat nog in druk moet verschijnen, en zal zo spoedig mogelijk ein en blog de eerste resultaten van de speurtocht melden.

        • Robert S. Siegler, Clarissa A. Thompson & Michael Schneider (2011 accepted). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology. pdf
        • Siegler e.a. 2011
          Dit artikel van Siegler pdf opent een wereld die ik nog niet kende. Het gaat o.a. over getalbegrip, als voorwaarde om goed te (leren) rekenen. Denk dan aan de getallenlijn. Jonge of heel jonge leerlingen plaatsen getallen aanvankelijk niet lineair (de lijn x=y) op de juist plek, maar de grotere getallen juist gedrongen naar rechts (alsof de schaal logaritmisch is, zeg maar; op een j-curve ipv op een recht lijn). Daar is leuk onderzoek naar te doen, maar ik heb dit alleen nodig als inleiding op het volgende citaat, dat ik onvertaald laat (ik kom binnenkort met een uitvoerige blog met een theoretisch kader voor rekenonderwijs).

            • Findings regarding whole number magnitude representations also have illuminated other aspects of numerical knowledge, such as arithmetic. If learning answers to arithmetic problems were solely a matter of rote memorization, there would be no particular reason to expect a relation between the accuracy of magnitude representations and arithmetic competence. However, if learning answers to arithmetic problems is a meaningful process, accurate magnitude representations might indicate the implausibility of many answers and the plausibility of a few, producing more peaked distributions of activation [hersenactiviteit] around the correct answer, thus facilitating correct retrieval. Consistent with the latter perspective, experiences that improve numerical magnitude representations not only increase subsequent learning of correct answers to arithmetic problems but also lead to errors being closer to the correct answer on trials where children err (…).

          Dit is andere theoretische koek dan die van de Freudenthal-groep. Dit logenstraft ws. de uitspraken uit die hoek over ‘mechanistisch rekenen’.

          Wie nieuwsgierig is: download het Siegler-artikel.

          Ben Wilbrink

          • Siegler
            Ik heb het artikel gelezen en ik moet zeggen dat ik niet onder de indruk ben Ben.

            Siegler et al. zien ‘fraction magnitude’ als het centrale concept. Ze hebben het dan ook steeds over ‘fraction magnitudes’, maar zonder ooit te zeggen wat dit is. Ook na lezing van het hele artikel is me nog steeds niet duidelijk wat ‘fraction magnitude’ nu precies is: een wiskundige definitie ervan zou ik niet kunnen geven op basis van wat ik gelezen heb. Dit doet me denken aan realistisch rekenen waar ze het steeds hebben over ‘kommagetal’ zonder te zeggen wat dit nu precies is.

            Ze hebben het ook steeds over ‘number lines’. Die ken ik dan wel. Voor een wiskundige is de ‘number line’ gewoon de meetkundige aanschouwing van de (geordende) verzameling van reeele getallen. Siegler et al. lijken dit niet door te hebben, bij lezing van het artikel lijken ze hier allerlei misconcepties over te hebben. En bijvoorbeeld op pagina 18 schrijven ze:

            The present findings indicate that the mental number line is also a useful way of thinking about fraction magnitudes [naast behulpzaam te zijn voor ‘whole number magnitudes’].

            Als wiskundige kan ik hier alleen maar op reageren met: duhh.

            In sectie 2.2.2 ‘magnitude comparison’ lijken de leerlingen geen kladpapier te krijgen. Bij ‘fraction arithmetic’ (sectie 2.2.3) krijgen ze dat wel. Maar bepalen of 3/5<5/9 of niet is ook gewoon 'fraction arithmetic': er is een standaardalgoritme voor (kruiselings vermenigvuldigen) waar een kladpapiertje erg handig bij is. Hier lijken Siegler et al. de onderliggende wiskunde niet te kennen.

            Zoals gebruikelijk in onderwijsonderzoek halen ze veel te brede conclusies uit heel smal onderzoek. Ze hebben 48 leerlingen wat sommetjes laten maken en komen dan met een 'integrated theory of acquisition of knowledge about whole numbers and fractions' met 'instructional implications' and all.

            Het enige goede dit ik in deze studie kan zien is in de laatste 2 paragrafen van Sectie 4.2 (pagina's 20 en 21) waar ze op basis van het werk van de leerlingen concluderen dat leerlingen vooral verward zijn en dat 'whole number bias' zeker niet HET fundamentele probleem is dat sommigen erin zien aangaande het breukenonderwijs. Hier doen Siegler et al. wat gedaan moet worden: goed kijken naar de data die je hebt verzameld en 'kleine' conclusies trekken.

          • psychologie van de getallenlijn
            Mark,

            Het gaat om psychologisch onderzoek, geen wiskunde. Als er wiskundige halve waarheden in staan, hoor ik dat graag. Ik heb dit artikel nog niet in zijn geheel kunnen bestuderen, ik ga langzamer dan jij 😉

            Het onderwerp van het onderzoek noem ik maar even getalbegrip. Ik grijp terug op het eerdere Booth & Siegler (2008) dat over positieve gehele getallen gaat, niet over de complexere breuken.

            De psychologie is kort samengevat dat ons naïeve getalbegrip zo in elkaar steekt dat we het verschil tussen 1 en 2 als groter beoordelen dan dat tussen 8 en 9. Dat heeft ermee te maken dat we niet als wiskundigen worden geboren, maar als jager/verzamelaars. Voor een jagersvolk is het verschil tussen geen stekelvarken of één stekelvarken van levensbelang, dat tussen 4 en 5 stekelvarkens een luxe-probleem. In onze culturele samenleving moeten we leren dat zonder context het verschil tussen 0 en 1 even groot is als tussen 9 en 10. En dat blijken leerlingen in de jongste groepen inderdaad te leren, zij het in verschillend tempo en in verschillende mate. De mogelijke consequenties van een en ander voor het leren rekenen kun je je wel voorstellen.

            Dit getalbegrip laat zich eenvoudig onderzoeken, dat is mooi. Het probleem herhaalt zich overigens voor de grotere getallen van 1 tot 100, en waarschijnlijk voor 1 tot 1000, en voor journalisten bij verwarring over miljoen, miljard, en biljoen (zeker als ze Amerikaanse berichten zelf vertalen).

            Voor mij ziet dit onderzoek eruit als behorend tot het terrein van decision-making (dat is iets anders dan besliskunde), waarvoor Daniel Kahneman een Nobelprijs heeft gekregen. (Ik weet niet of Siegler dat verband al heeft gelegd).

            Het is ook anders te verklaren, zoals Lebiere & Anderson met hersenmodellen/onderzoek doen (eerder op het forum genoemd): kleine getallen zijn bekender, vaker gebruikt, dan grotere.

          • Re: psychologie van de getallenlijn
            Ja, dat jonge kinderen gehele getallen logaritmisch op een schaal plaatsen is ook interessant. Maar daar gaat dit onderzoek niet over, ze noemen dit alleen en verwijzen naar eerder onderzoek. Ook aangaande dit eerdere onderzoek heb ik hetzelfde commentaar als in de laatste paragraaf van mijn eerste reactie: “Hier doen Siegler et al. wat gedaan moet worden: goed kijken naar de data die je hebt verzameld en ‘kleine’ conclusies trekken.”

            Dus ja, het werk van Siegler is best nuttig. Maar dat bijvoorbeeld ‘whole number bias’ niet de hoofdschuldige is van verkeerd rekenen met breuken, maar dat leerlingen vooral heel veel dingen door elkaar halen, dat weet iedere ervaren leraar al. Goed dat iemand er systematisch naar kijkt en de mythe (onder onderwijsonderzoekers, niet onder goede ervaren leraren) van ‘whole number bias’ onderuit haalt, maar niet wereldschokkend.

          • Dehaene: mathematician turned psychologist
            Mark,

            Je commentaar helpt mij om beter te omlijnen wat het communicatieprobleem tussen wiskunde en psychologie is. Dat is nuttig en nodig, omdat ik immers vanuit de psychologie een kritische analyse maak van de situatie waarin het Nederlandse rekenonderwijs zich bevindt, en hoe het daarin verzeild is geraakt. Analyse van de onzin-wiskunde in het realistisch rekenen laat ik graag voor rekening van wiskundigen.
            Book Page Img
            Voor een goede voorbereiding van de ‘Siegler-blogs’ heb ik zojuist een bekend boek van Stanislas Dehaene ontvangen: The Number Sense. How The Mind Creates Mathematics. (free download) (samenvatting pdf) Het is al wat ouder, van 1997 (er is een nieuwe editie uit in 2011, die heb ik nog niet gezien), maar biedt een stevige ondergrond voor wie zich in dat getalbegrip wil verdiepen. Dehaene is een wiskundige die zijn vak heeft verruild voor dat van de cognitieve neuropsychologie, een riskante carriére-switch die voor hem bijzonder goed heeft uitgepakt: hij behoort nu tot de leiders van het veld.

            Van Stanislas De haene zie ook:

          • Halve tafels van vermenigvuldiging
            Dehaene, in een paragraaf over rekenmachines (p. 136):

              • In the West, we generally learn multiplication tables line after line, starting with the ‘times two’ facts and ending with the ‘times nine’ facts, for a total of 72 facts to be remembered. In China, children are explicitly taught to reorder multiplications by placing the smallest digit first. This elementary trick, which avoids relearning 9×6 when one already knows 6×9, cuts the amount of information to be learned by almost one half. It has a notable impact on calculation speed and error rates of Chinese pupils.

            Een mooie uitspraak, maar Dehaene noemt er geen bronnen voor. Als ik me niet vergis, heeft zijn proza her en der oppervlakkige gelijkenis met dat van de Freudenthal-groep. Dat komt mij prima uit, want de uitdaging is om duidelijk te maken waar het verschil dan in zit, als dat er is. Bv. op dezelfde bladzijde een variant op een uitspraak die we ook van Hans Freudenthal kennen:

              • In the Western educational system, children spend much time learning the mechanics of arithmetic. Yet there is a growing suspicion that many of them reach adulthood without having really understood when to apply this knowledge appropriately.

            Prima, Stanislas telt hier appels en peren op: zowel A als latere B kunnen waar zijn, daarmee is A nog geen oorzaak van B. Precies dat legt Stanislas in deze paragraaf uit: ongecijferdheid — innumeracy — is rekenen zonder je verstand te gebruiken. Oké, Dehaene populariseert, dat is goed en het is moedig, maar we moeten hem dan wel met verstand lezen.

          • Analfabeet
            Het volgen van de redenering van Dehaene geeft dan dat je analfabeet bent wanneer je zonder je verstand te gebruiken leest. En dat je beenverlamming hebt wanneer je zonder je verstand te gebruiken loopt.

            Dehaene schrijft over zo ongeveer alles: van rekenonderwijs tot 2e taalverwerving. Zoals de Amerikanen zeggen: a mile wide and an inch deep.

          • Dehaene
            Ik weet niet hoe jouw publicatielijst eruit ziet, maar dit is die van Stanislas Dehaene: hier.

            Ik schreef al dat populariseren van het eigen vak ook moed vereist. Zeker in Nederland.

          • Typefoutje
            Typefoutje inmiddels hersteld Joost. Nu zou de zin wel begrijpelijk moeten zijn….

          • 8×7=7×8=56
            Traditioneel moet je natuurlijk alle sommen uit de tafels in de vorm 8×7=7×8=56 blind paraat hebben. Voor de SLO-FI rekenexpertcommissie van Victor Schmidt: ik zeg hier dus niet dat je voor traditioneel rekenen blind moet zijn. Of je die staat van paraatheid bereikt via een eerste ronde waarin de kleinste voorop staat? Wie weet. Belangrijker is dat je niet verkeerd wordt ingereden met 7×8 als een wiskundig probleem dat je eerst bestudeert en na diep denken strategisch aanpakt via 7=5+2 en weet ik wat allemaal. Wie het strategisch denken volgen kan volge het. Begin met www.kennisbasispabo.nl/publications/27-Eindversie-kennisbasis-rekenen-wiskunde-,
            feestelijk overhandigd aan Marja van Bijsterveldt op 7 december 2009 door (toen nog Doekle Terpstra’s) HBO-raad. Een moeras waarin het rekenen op de PABO verder wegzakt.

            Joost Hulshof

          • Misschien had ik een wat
            Misschien had ik een wat aparte leraar maar mijn leraar die braaf met de klas de tafeltjes oefende wees tijdens het oefenen van die tafeltjes regelmatig op de commutativiteit van de vermenigvuldiging, natuurlijk zonder het woord commutativiteit te gebruiken. Dat lijkt mij dus niet uniek aan Japan maar eerder een kenmerk van een goede leraar (althans goed in het geven van rekenonderwijs).
            Niet dat dat nodig was wanneer je als leerling een beetje snugger was, dan zag je tijdens het opdreunen van die tafels al snel dat X*Y gelijk is aan Y*X. Je moet toch iets doen als je je verveelt tijdens de zoveelste keer het opdreuenen van die tafels terwijl je ze al lang hebt geautomatiseerd.

          • Inzicht meetkunde lijkt aangeboren
            De nrc van vandaag, p. 20 wetenschap: ‘Inzicht meetkunde lijkt aangeboren’

            Véronique Izard, Pierre Pica, Elizabeth S. Spelke, and Stanislas Dehaene (2011).
            Flexible intuitions of Euclidean geometry in an Amazonian indigene group.

            Kant argued that Euclidean geometry is synthesized on the basis of an a priori intuition of space. This proposal inspired much behavioral research probing whether spatial navigation in humans and animals conforms to the predictions of Euclidean geometry. However, Euclidean geometry also includes concepts that transcend the perceptible, such as objects that are infinitely small or infinitely large, or statements of necessity and impossibility. We tested the hypothesis that certain aspects of nonperceptible Euclidian geometry map onto intuitions of space that are present in all humans, even in the absence of formal mathematical education. Our tests probed intuitions of points, lines, and surfaces in participants from an indigene group in the Amazon, the Mundurucu, as well as adults and age-matched children controls from the United States and France and younger US children without education in geometry. The responses of Mundurucu adults and children converged with that of mathematically educated adults and children and revealed an intuitive understanding of essential properties of Euclidean geometry. For instance, on a surface described to them as perfectly planar, the Mundurucu’s estimations of the internal angles of triangles added up to ∼180 degrees, and when asked explicitly, they stated that there exists one single parallel line to any given line through a given point. These intuitions were also partially in place in the group of younger US participants. We conclude that, during childhood, humans develop geometrical intuitions that spontaneously accord with the principles of Euclidean geometry, even in the absence of training in mathematics.

            Het betreffende artikel is op de site van PNAS niet vrij te downloaden, maar wel op de site van Stanislas Dehaene:

            Véronique Izard, Pierre Pica, Elizabeth S. Spelke, and Stanislas Dehaene (2011).
            Flexible intuitions of Euclidean geometry in an Amazonian indigene group.
            PNAS 2011 ; published ahead of print May 23, 2011. PNAS=Proceedings of the National Academy of Sciences. PDF.

          • Psychologie
            Mark,

            Een samenvatting van het artikel van Siegler cs (2011) had ik zo uit de mouw kunnen schudden. Maar het probleem is precies om wiskundigen zoals jij te laten zien op welke manier deze lijn van onderzoek ( = het theoretisch kader dat Siegler cs geven) relevant is voor een evaluatie van het Nederlandse op realistische leest geschoeide staatsonderwijs rekenen. Ik moet dus stevig investeren om met een blog te komen waarin in ieder geval een eerste lijntje wordt geschoten over de kloof die wiskunde en psychologie gescheiden houdt. Op zich is deze kloof — ik bedoel hoe de Freudenthal-groep ermee is omgegaan — absoluut een onderdeel van de huidige rekenproblematiek.
            Beschouw het Siegler cs (2011) onderzoek wat mij betreft als baanbrekend: het verlegt grenzen binnen de aangeduide lijn van onderzoek naar rekenpsychologie, om het zo maar even te noemen.
            Om in mijn opzet te kunnen slagen, moet ik een stap terug doen, en met een eenvoudiger onderzoek beginnen: dat van Booth & Siegler (2008).
            Het lijkt alsof het gaat om een of twee kleine onderzoeken, met vreemd jargon omgeven, met kleine groepen proefpersonen. So what? Ik noem dit niet voor niets psychologisch onderzoek. Anders dan bij het ontwikkelingsonderzoek van de Freudenthal-groep, hebben we bij Siegler en de zijnen te maken met een onderzoekgroep die wetenschappelijk te werk gaat, het werk relateert aan dat van anderen, en opereert binnen de cognitieve en neurocognitieve psychologie. Natuurlijk kan een enkele publicatie op zich een falikante misser zijn, ook bij uitstekende onderzoekers. Ik ken daar een goed voorbeeld van, een artikel dat eerder tot enthousiasme heeft geleid bij critici van het realistisch rekenen, maar dat bij nadere analyse gewoon misleidend broddelwerk blijkt: Kirschner, Sweller & Clark, 2006 (er is op het forum al heel wat over te doen geweest).

          • Siegler
            Ha Ben,

            Als ik begin te lezen dan moet ik, net als Mark79 wellicht, wennen aan het taalgebruik. Hier een klein beginnetje. Citaat plus reactie.

            ‘‘children’s knowledge of natural numbers (a core domain) serves as a conceptual barrier to later learning about other numbers and their mathematical structures, for example, fractions.’’

            Helemaal eens, een belangrijke barriere, die inspanning vereist om te nemen, maar nooit helemaal mag verdwijnen.

            “…. that the positive integers – the very values that the accumulator model is capable of representing – are psychologically privileged numerical entities.’’

            Hier ben ik van overtuigd.

            The importance of fractions within the present theory of numerical development dovetails with the importance of fractions within mathematics education.

            Het mooie woord dovetails wekt hier misschien een verkeerde suggestie. Ik heb liever een uitroepteken omdat die breuken, met in teller en noemer gehele getallen en later letters (en niet zoals in het respectloze TAL-breukenboekje zo snel mogelijk kommagetallen) de basis vormen voor wiskunde en de natuurwetenschappen.

            Joost Hulshof

          • Siegler vervolg
            ….if understanding magnitudes is crucial for understanding fractions,….

            Ik vind het begrip quantity veel geschikter. Hoeveelheid ipv grootheid. All you can eat or larger than life? Ik weet het wel, grapje, maar onverwachts dreigt het gevaar van ergernis. Als in de rest van het verhaal niet snel de overweging quantity versus magnitude op de proppen komt dan neemt dat gevaar toe, zeker met mijn karakter. Ben, jij hebt het al gelezen dus je weet al wat er komt. Maar ik ga nu eerst zoeken naar de reden waarom ik geergerd raakte, en daarna wil ik het liefst het artikel zelf (her)schrijven. Die neiging herken je in

            www.few.vu.nl/~jhulshof/reader.pdf

            De reden is, na even nadenken, dat met quantities de natuurlijke getallen een speciale rol hebben en bij magnitudes niet. Dat maakt quantities mijns inziens veel geschikter. Terwijl daarna de stap van een hele pizza naar een halve pizza en andere stukken minder lastig is dan de schrijvers inschatten. Of niet? De stap naar reele getallen blijft altijd lastig, maar via Archimedes’ herhaald vierendelen en Opgave 7 in onze reader zijn er wel mogelijkheden. We schrijven natuurlijk voor de lezer die al vertrouwd is met het begrip getallenlijn. Maar we hadden ook kunnen beginnen met pizza’s en daarna uitwijden over stukken van perfect ronde pizza’s die ontstaan door snedes met een recht scherp mes precies door het midden. Met twee snedes heb je dan meestal ook “echte” reele getallen. Moet de getallenlijn perse eerst? Wikkel dan een centimeter om de pizza heen.

            Nou ga ik verder lezen, heb toch een dagje vrij genomen.

            Joost Hulshof

          • magnitude, quantity, numerosity
            Joost,

            Ik vermoed dat magnitude, quantity, numerosity gewoon inwisselbaar zijn (in dit Siegler-onderzoek), en al naar gelang het type opgave (Booth & Siegler 2008 gebruiken vier soorten schattingsopgaven, waarvan die met een getallenlijn er één is) past de ene term beter dan de andere.

            Die getallenlijn is instrumenteel gebruikt, het is niet iets dat leerlingen in hun hoofd hebben.

            Deze lijn van onderzoek, naar een bijzonder kenmerk van getalbegrip, is van recente datum, en staat nog in de kinderschoenen. Het aantrekkelijk ervan is dat het lijkt te gaan om een funderende rekenvaardigheid, en dat de theorie (als je die grote term ervoor mag gebruiken) leidt tot toetsbare hypothesen over samenhangen met leren, prestaties en didactiek. Dat is op zich al interessant, maar mij is het meer te doen om het contrast tussen theorievorming en wetenschappelijk onderzoek door de Siegler-groep, met de onwetenschappelijke aanpak van de Freudenthal-groep.

            Dan komt dus direct in beeld wat je hierboven aanduidt als de voorwaardelijke relatie van het breukrekenen tot algebra. Het Siegler-rapport 2010 over breuken geeft hopelijk een actueel overzicht van wat daar analytisch, theoretisch en empirisch over bekend is, en welke consequenties dat voor de didactiek moet hebben. Een mooie gelegenheid om dat af te zetten tegen de TAL-aanpak van vdH-P en de haren, die nog nooit hebben gehoord van wiskunde die afhankelijk is van beheersing van het breukrekenen (als ik je goed begrijp, ik heb die TAL-lijn nog niet kunnen bestuderen).

          • Onprecies
            Dat onprecies zijn met woorden is waar ik me aan stoor. Zeker als het over wiskunde gaat kun je je dat gewoon niet veroorloven.

            Ingenieurs gebruiken ‘magnitude’ (van een complex getal) voor wat wiskundingen ‘absolute waarde’ noemen. Siegler et. al gebruiken ‘magnitude’ zeker niet in die zin (want al hun breuken zijn positief). Het woord ‘quantity’ (hoeveelheid) is ook erg problematisch. Het is gewoon niet duidelijk over welk wiskundig concept Siegler et al. het hebben. En dat terwijl zij dit concept als fundamentaal voor heel het rekenen poneren. Maar wat het is: God mag het weten.

          • @mark79 (quantity/ies)
            Doe even een search in het artikel. Dan zie je dat ze het woord inwisselbaar gebruiken, net als Ben constateert. Ik neem aan dat je dat bedoelt met “problematisch”. Maar aan deze auteurs is dit wel duidelijk te maken denk ik. Bij Marja lukt dat van ze leven niet. Ik heb het meerdere keren, eerst heel lief ook, geprobeerd. En Koeno himself holt zo hard vooruit dat hij buiten bereik is voor iedere communicatie. De toekomst telt heet dat.

            Joost Hulshof

          • Joost
            Joost, jij bent wiskundige. Haal jij dan uit dit artikel voor mij een eenduidige precieze definitie van wat Siegler et al. met ‘quantity/magnitude’ bedoelen. Welk wiskundig concept wijzen ze aan met dit woord.

          • wiskundig concept? Nee, psychologisch
            Het gaat Siegler cs om een psychologisch concept.

            Het heeft niet geweldig veel zin om het getalbegrip van zesjarigen te relateren aan wat bijvoorbeeld Schouten (1916) de ‘grondslagen van de rekenkunde’ noemde. Maar goed, dat gelijknamige boek is bijna een eeuw oud. Neem dan Patrick Suppes (2002). Representation and invariance of scientific structures. MIT Press. op meerdere plaatsen online te lezen of te downloaden. Super-wiskunde, want getild op het niveau van wetenschapstheorie (ik begrijp er dan ook geen bal van).

            Ik begrijp de reflex van de wiskundige lezer wel, maar die reflex zit communicatie met andere disciplines in de weg.

          • Nee, wiskundig concept
            Nee, Ben Siegler et al. lijken ‘magnitude’ wel degelijk als wiskundig concept te zien. Zie bijvoorbeeld de zin:

            properties of all real numbers, in particular their magnitudes.

            (Reele) Getallen hebben dus blijkbaar een bepaalde eigenschap ‘magnitudes’. Als eigenschap van een getal is dat een wiskundig concept, geen psychologisch concept.

          • Kom op, Mark
            Het gaat om eigenschappen van getallen (gehele getallen, decimale getallen, breuken, alle getallen) zoals die voor leerlingen van belang zijn. Als je vindt dat daar te weinig wiskundige nuance in zit, zodat leerlingen die met deze simplismen grootgroeien er later mee in problemen komen, als ze verzekeringswiskundige zijn or whatever, zeg dat dan. Je bent haren aan het kloven die niet in de soep van Siegler c.s. drijven.

            Het kan ook anders. Geef aan wat Siegler cs beter op hadden kunnen schrijven. Ik ben benieuwd.

          • Haren kloven
            Dit is geen haren kloven Ben.

            Het gaat hier niet om kinderen, maar om wetenschappers (dit is een artikel in een wetenschappelijk tijdschrift, niet een lesboek voor kinderen).

            Siegler gebruikt het begrip ‘magnitude’ voor breuken. Dan mijn vraag aan jou: wat is de magnitude van 5/4? Als jij me dat niet kunt vertellen dan is het begrip ‘magnitude’ niet goed gedefinieerd. En dit is het centrale begrip uit dit artikel van Siegler. Het gaat hier niet om nuance, ik heb gewoon werkelijk geen idee wat de ‘magnitude’ van een breuk nu wel is.

            Dan nu het psychologische concept. Ook dat is niet duidelijk. Siegler identificeert ‘iets’ dat niet hetzelfde is als kunnen rekenen maar er wel mee correleert en getoetst wordt door zowel ‘number line estimation’ als door ‘magnitude comparison’. Hij poneert dat dit ‘iets’ heel belangrijk is. Maar bestaat dit ‘iets’ wel? En toetsen de ‘number line estimation’ en ‘magnitude comparison’ taken wel hetzelfde en iets anders dan de ‘fraction arithmetic’ taak?

            Wanneer ik op deze manier wat dieper op dit artikel inga dan blijkt het hele artikel uit elkaar te vallen….

          • Niet zo dramatisch (‘uit elkaar vallen …. ’)
            Mark,

            Now we’re talking.

            Eerst wat je zegt over het psychologische concept. Of het bedoelde getalbegrip wel ‘bestaat’ is een voor de hand liggende vraag, maar valt in dezelfde categorie als de vraag naar het bestaan van ‘intelligentie’ (lees: ‘verschillen in intelligentie’). Ik ben geneigd er volmondig ‘nee’ op te antwoorden. Het zijn constructs. Je vraag is misschien hetzelfde (ik ben daar niet zeker van) als de vraag of wiskunde buiten de mens wel ‘bestaat’. Afijn, filosofisch gaat het hier om het realisme (!) en zijn tegenvoeters (er is een tussenpositie mogelijk, zie Ronald N. Giere (2006). Scientific perspectivism. The University of Chicago Press.)

            Siegler gebruikt ‘magnitude’ voor breuken, en voor andere getalsoorten. Op de getallenlijn van 0 tot 10 zou hij de leerling uit groep vijf kunnen vragen om 5/4 een plek te geven.
            Als de betekenis van een term is te vinden in zijn gebruik (Wittgenstein), dan kunnen we kijken hoe Siegler en anderen (zie ook de literatuur waarnaar hij verwijst) het begrip gebruiken. Zij raadplegen er geen funderende wiskundige onderzoeken voor. Ik zie geen probleem, en ben benieuwd wat precies het probleem is dat jij ziet.

            Je schrijft: “Het gaat hier niet om kinderen, maar om wetenschappers (dit is een artikel in een wetenschappelijk tijdschrift, niet een lesboek voor kinderen).” Dat is in antwoord op mijn: “Het gaat om eigenschappen van getallen (…) zoals die voor leerlingen van belang zijn.” Daar gaat het de onderzoekers om, dat onderzoeken zij. De leerlingen zijn de proefpersonen.

            Overigens, dit is inderdaad allemaal nog vaag, te vaag voor een wiskundige begrijp ik. Het moet mogelijk zijn om een en ander haarscherp te krijgen, bijvoorbeeld door de ACT van John Anderson c.s. in te zetten, de verst ontwikkelde theorie over cognitief functioneren die we hebben. En dan leerlingen in fMRI-scanners observeren om de modelvoorspellingen te verifiëren. Werk te doen.

          • Magnitude
            Ben schrijft:

            Op de getallenlijn van 0 tot 10 zou hij de leerling uit groep vijf kunnen vragen om 5/4 een plek te geven.

            Wat jij noemt is wat getoetst wordt in de taak ‘number line estimation’. Als dit inderdaad een volledige beschrijving van ‘magnitude’ zou zijn, dan zou ‘magnitude’ dus niets anders zijn dan ‘number line estimation’. Maar ‘magnitude’ wordt ook getoetst in de taak ‘magnitude comparison’ en dat is zeker geen ‘number line estimation’. Dus ‘magnitude’ is niet gelijk aan ‘number line estimation’.

          • Getalbegrip: vergelijk intelligentie
            schema verknooptheid

            Figuur. Schema van vaktermen rond het begrip intelligentie. In mijn ‘Toetsvragen ontwerpen’ hoofdstuk 3

            Zie ook

            • Robert B. Kozma (2000). The Use of Multiple Representations and the Social Construction of Understanding in Chemistry. In Michael J. Jacobson and Robert B. Kozma: Innovations in Science and Mathematics Education. Advanced Designs for Technologies of Learning (p. 11-46). Erlbaum. pdf

            Waar het bij dat getalbegrip om draait is dat het niet vanzelfsprekend lineair is, maar dat dat geleerd moet worden (nb: dat is niet hetzelfde als oefenen op de getallenlijn).

            Een ander theoretisch begrip is ‘rekenen’. Wat Siegler cs in onderzoek naar dit specifieke getalbegrip doen, is meteen onderzoeken of er een voorwaardelijk verband is met rekenen: maakt het voor het leren rekenen verschil of de leerling een lineair getalbegrip heeft (in het bereik van de getallen waarmee gerekend moet worden, bv van 1 tot 100).

            De cognitieve neuropsychologie (zoals ACT-R van John Anderson) kan proberen een en ander te modelleren (niet-lineair, lineair) in de hoop dat dit toetsbare empirische voorspellingen oplevert. Etcetera.

          • Psychofysica
            Het zou mij niet verbazen wanneer technieken uit de psychofysica bruikbaar zijn om onderzoek te doen naar getalbegrip. Ik meen te weten dat bijvoorbeeld Spelke waarnemingsonderzoek doet bij heel jonge kinderen.

            Psychofysica is onderzoek naar de waarneming. Is dat vreemd in deze context? Nee, het kunnen onderscheiden van verschillende hoeveelheden hoort tot het domein van de waarneming. Het onderscheiden van de grootte van getallen (afstand tussen getallen) zou ook onder waarnemingstheorie zijn op te vatten. Onder de psychofysica is al in de negentiende eeuw een stevige basis gelegd. Het gaat o.a. over ‘the magnitude estimation of sensory attributes’. Mijn idee zou dus zijn, voor wie op zoek is naar een definitie van ‘magnitude’, om die in de psychofysica te zoeken. Dat zal dan een operationele definitie zijn, geen essentiële. Maar dat mag geen bezwaar zijn, definities van de belangrijkste natuurkundige begrippen zijn er evenmin (zie de werken van Max Jammer over massa, kracht, ruimte).

            • Donald Laming (1997). The measurement of sensation. Oxford Science Publications. Oxford University Press
              • I have organized the book around a succession of theoretical ideas that have been proposed to explain why it is that people’s judgments of sensory quantities sometimes diverge sharply from physical reality.

            Niet-lineair schatten van de grootte van getallen heeft dus parallellen in de waarneming van fysieke prikkels.

          • quantity/magnitude
            Ben net terug van Rush in AHOY. Oren beetje uit laten spuiten. Decibellen (110 slechts tegenwoordig) zijn in ieder geval een magnitude. Een grapje met fout taalgebruik. Het is 110 decibel. Decibellen bestaan niet (logaritmische schaal). PH’s bestaan ook niet.

            Maar goed, ik zie het verschil vanuit de dagelijkse werkelijkheid. Discreet/continu, quantity/magnitude, pizza’s/bier, broden/meel, guldens/waarde. Ik zou het engelse woord magnitude nooit voor aantal gebruiken. En het woord quantity nooit voor afstand.
            Discreet of continu, eerst alleen positieve getallen. Negatieve getallen pas daarna en ook uit de praktijk: rood staan, onder zeeniveau, etc.

            Dit boerenverstand onderscheid komt volgens mij VOOR dat we het over psychologie of wiskunde hebben. En daar haal ik mijn didactiek uit. Als zulk onderscheid niet gemaakt wordt door academici dan stoort mij dat enorm. Heb ik zo de vragen over definities voldoende beantwoord?

            Het nascholingsmateriaal www.few.vu.nl/~jhulshof/reader.pdf is vanuit deze filosofie geschreven, zonder daar een wiskundig eigendomsrecht op te willen leggen. Het is namelijk wiskunde die rechtstreeks uit de werkelijkheid komt, realistische wiskunde dus. De abstractie komt vanzelf. Wat de Freudenthalers (Anne van Streun en zo, niet Hans Freudenthal zelf) aan realistische wiskunde laten zien is noch realistisch, noch wiskunde. Terwijl Wiskunde A zo’n mooi vak zou kunnen zijn.

            Joost Hulshof

          • Boerenverstand
            Joost,

            Ik begrijp jouw boerenverstand niet. Nog in de 19e eeuw waren er wiskundigen die niets van negatieve getallen moesten hebben. Negatieve getallen horen dus alleen maar tot het domein van het boerenverstand in de vorm van halve waarheden, de klok hebben horen luiden maar niet weten waar de klepel hangt. Mijn vraag is dus: wat bedoel je precies met

            “Dit boerenverstand onderscheid komt volgens VOOR dat we het over psychologie of wiskunde hebben. En daar haal ik mijn didactiek uit. Als zulk onderscheid niet gemaakt wordt door academici dan stoort mij dat enorm. ”

          • Heren, heren
            Dit lijkt wel onderwijskunde. Hoe kan ik hier als afgestudeerd vernufteling een touw aan vastknopen? Gaat het hier misschien over ‘getal’ + ‘eenheid’ = ‘grootheid’ ? Gaat het over ‘ordes van grootte’?
            En over getallen gesproken; die worden in de hele historie al uitgescholden.
            Natuurlijke getallen kunnen nog net door de beugel, een nul stelt weinig voor; negatieve getallen klinken weinig positief; breuken zijn slecht voor de gezondheid; irrationale getallen zijn onbegrijpelijk; complexe getallen zijn veel te ingewikkeld. Toch een teken van verdraagzaamheid dat al die zaken achtereenvolgens, zonder moord en doodslag, zijn opgenomen in de wiskunde. Daar kunnen politici en predikers een puntje aan zuigen.

          • onderwijskunde
            Niets mis met onderwijskunde in relatie tot een onderwerp en met verstand van inhoudelijke zaken, waaronder ook enig perspectief op het leven na het papiertje dat verder gaat dan hear-say en borrelpraat. Helaas heeft het hele proefschrift- en oratiecircus van de realistische rekencultus zich vrijwel aan iedere onafhankelijke controle onttrokken. Het zou aanbeveling verdienen om een apart literatuuronderzoek “Oraties en proefschriften van en onder Freudenthalers” te starten, in het Engels, met cc’s naar onafhankelijke wetenschappers, waaronder natuurlijk ook psychologen, wiskundigen, fysici etc. Met een kleine toelichting op het gebruik van de term Freudenthalers en met alle respect voor Hans Freudenthal zelf, misschien ook door voortaan alleen in zijn naam de eu nog als oi uitspreken. Ben is in feite al met dit onderzoek begonnen.

            Joost Hulshof

          • boerenverstand
            Ben, ik had het onderscheid tussen quantity en magnitude dus, als we het hebben over positieve getallen.

            Het verband tussen getallenlijn en “perceptie” is zo lijkt Siegler te betogen de logaritme. Dat weet je later als wiskundige of fysicus ook wel. Aardig in dit verband: de Black-Scholes vergelijking voor optiewaardes S wordt via o.a. u=log S omgeschreven naar de lineaire diffusievergelijking. De getallenlijn als zodanig is nauwelijks een fysisch begrip. Daar had Sir Roger op het oprichtingsfeestje van Platform Wiskunde Nederland waar we zo gezellig met Jan van Maanen hebben gekeuveld ook een leuk verhaal over kunnen houden.

            De stap naar negatieve getallen staat hier wat mij betreft helemaal los van. Het gebruik van het woord magnitude voor negatieve reele getallen verdient wel enige toelichting. Dat we niet alles aan wiskundigen moeten overlaten in het reken-wiskundeonderwijs is inmiddels wel duidelijk. Hoewel, misschien heeft het meer met de lokale ivoren toren cultuur van sommige universiteiten te maken.

            Joost Hulshof

          • Re: boerenverstand
            Is de getallenlijn een fysisch begrip? Ja en nee. ‘Lijn’ is zeker een fysisch begrip (of beter: een wiskundige abstractie van een fysisch begrip). De Grieken plaatsten geen getallen op een lijn. Met Fermat en Descartes zijn we dat wel gaan doen (analytische meetkunde). De vraag is dan hoe je de getallen op een lijn plaatst. De standaarmanier is geworden om dat linear te doen (gelijke afstand tussen gehele getallen), maar logaritmische schaalverdelingen worden ook veel toegepast (door ingenieurs bijvoorbeeld). Een lineaire schaalverdeling aanbrengen op de lijn IS arbitrair. Dat dit de standaardmanier is moet je kinderen dus leren.

            Vergelijk: ons decimale getallenstelsel is arbitrair (we hadden net zo goed een binair getallenstelsel kunnen hebben). Je moet kinderen de decimale schrijfwijze van getallen dus aanleren.

          • siegler vervolg 2
            When a nationally representative sample of US 8th graders was asked on the National Assessment of Educational Progress (NAEP) to choose whether 12/13 + 7/8 is closest to 1, 2, 19, or 21, the answer 2 was chosen by fewer students than either 19 or 21 (Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981).

            Hier vraag ik me af in hoeverre het wel niet vaak uitgerekend hebben van dit soort sommen invloed heeft op het kunnen herkennen van beide termen als ongeveer 1 en VERVOLGENS de som als ongeveer 2. Het kan zijn dat de schatting voor de termen apart best zou lukken maar dat door gebrek aan routine en vertrouwdheid met breukrekenen het proefkonijn op tilt gaat. Zouden de auteurs zich dezelfde vraag stellen? Ik zou er niet gek van opkijken als een gebrek aan (voor de opgave zelf strict genomen niet benodigde) rekenvaardigheid hier juist wel de achterliggende oorzaak is.

            Joost Hulshof

          • Onbegrijpelijk laag prestatieniveau
            Joost,

            Er zijn voorbeelden bij de vleet van idioot eenvoudige opgaven die meerderheden van leerlingen fout weten te maken. Bij Uittenbogaard (2008) kwamen we dat ook al tegen (zie hier).

            Ik lees net in Booth & Siegler (2008) hun vierde hypothese in experiment twee: dat er nog steeds samenhang is tussen scores op verschillende typen schattingsopgaven, ook wanneer al is gecorrigeerd voor de correlaties met prestaties op een rekentoets. Dit is precies een soort onderscheid waar jij hierboven op doelt: getalbegrip (zoals gemeten op de schattingsopgaven) is een ander concept dan rekenvaardigheid (zoals gemeten op rekentoetsen). Hun toelichting:

              • This prediction was based on our belief that performance on the estimation tasks is a quite direct reflection of a common numerical representation, whereas math achievement test performance reflects that representation but also reflects other factors, such as memorization of arithmetic facts and mastery of mathematical procedures.

            Of de voorspelling wordt gelogenstraft, weet ik nog niet (en anders zou ik het niet meteen verklappen). Maar je ziet dat wat op het eerste oog een onontwarbare knoop van capaciteiten lijkt, wel degelijk onderzoekmatig uit elkaar is te plukken.

  6. Rekentoetsen: individueel of evaluatief?
    In de Wet op de referentieniveaus, zeker gezien de kamerbehandeling op 31 maart 2010, blijft het onduidelijk of de voorgenomen rekentoetsen afrekentoetsen zijn voor individuele leerlingen, of voor de scholen. Dat blijft zo, ook al gaan allerlei organisaties en clubs er op dit moment van uit dat de rekentoetsen ‘gewone’ onderdelen van de eindexamens gaan worden. Die laatste opvatting lijkt me nogal voorbarig. Illustratief is wat minister van Bijleveldt vandaag, 23 mei, verklaart over de voorgenomen onderbouwtoets (nrc, p. 6):

      • “Een leerling kan niet blijven zitten als gevolg van de toets. Het is de bedoeling dat dit een diagnostische toets wordt die inzicht geeft in waar een leerling staat met deze drie vakken. Dit wordt geen extra examen. Of een scholier overgaat, wordt besloten aan de hand van de cijferlijst van het vierde jaar.”

    Dit is toch interessant. De minister (Rouvoet) en de staatssecretaris (Van Bijsterveldt) hebben 31-3-201o open gelaten welke consequenties de resultaten op de nieuwe rekentoetsen gaan hebben. Ik zie al wat de betekenis van de rekentoets havo/vwo gaat worden:

    ‘Of een examenkandidaat slaagt, wordt besloten aan de hand van de cijferlijst van de examenvakken, niet aan de hand van het cijfer voor de rekentoets.’

    Ben Wilbrink

  7. funderende rekenvaardigheden
    Ongeacht alle dikke rapporten en parlementaire stukken, zou men toch denken dat de voorgenomen rekentoetsen moeten gaan over de funderende rekenvaardigheden. Gebrekkige resultaten op zo’n rekentoets moeten immers antwoord geven op de vraag of dat ligt aan funderende rekenvaardigheden, of niet.

    Wat zouden die funderende rekenvaardigheden dan kunnen zijn? De tafels van vermenigvuldiging, en andere basale rekenfeiten voor kleine getallen? Hmmm, dat is warm. Behoorlijke beheersing hiervan is zeker nodig om vlot te kunnen rekenen, maar vlot rekenen wordt in spectaculaire rekentoetserij (Citotoets, PISA, TIMSS) nauwelijks gevraagd (inteligentietest-achtige vragen des te meer, die leveren ook gegarandeerd een goede spreiding van scores op).

      • However, understanding of numerical magnitudes appears to be particularly central to understanding what numbers are, and has been shown to be related to many other aspects of mathematical development, including counting (…), memory for and categorization of numbers (…), and mathematics achievement test scores (…). Moreover, manipulations that improve numerical magnitude knowledge have been shown to be causally related to increased proficiency in other important skills, including arithmetic (…). These are among the reasons why the present theory of numerical development focuses on acquisition of knowledge about numerical magnitudes.

      Robert S. Siegler, Clarissa A. Thompson & Michael Schneider (2011 accepted). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology. pdf (Zie daar ook voor de hierboven weggelaten verwijzingen)

    Het onderzoek van Siegler e.a. gaat over breuken etcetera, waarvoor hetzelfde geldt.

  8. Magnitude of numbers: linear, or not?
    Ik noemde hierboven het boek van Laming (1997) over psychofysica:

    • Donald Laming (1997). The measurement of sensation. Oxford Science Publications. Oxford University Press.

    Toch eens kijken of het onderwerp getallen erin voorkomt. En ja hoor. Dat is bijzonder interessant, vooral ook voor Mark en Joost, omdat Laming werkt in een harder, exacter, theoretisch kader dan Siegler en de zijnen, of Dehaene.

    • 7.4 The subjective values of numbers.
    • 7.5 Collateral evidence on the subjective values of numbers.
      • Yet another approach to the problem of the subjective value of number is examplified by Banks and Hill (1974) who asked subjects to utter numbers rapidly and at random, without any specific upper limit. The first 26 numbers thus uttered were recorded, rearranged in rank order, and the relationship between rank order and numerical value examined. That relationship, estimated from a group of subjects, tended to be logarithmic (so that the density of numbers uttered increased inversely with respect to absolute numerical value) (…) [Laming, p. 95-96] [W. P. Banks & D. K. Hill (1974). The apparent magnitude of number scaled by random production. Journal of Experimental Psychology Monograph, 102, 353–376.]

    Het artikel van Banks en Hill (1974) is ook gebruikt door Booth & Siegler (2008); zij zijn dus bekend met psychofysische methoden van onderzoek. Maar zie ook dit abstract, met vermelding van een bizar onderzoekje van Galton, 1880, over getalbegrip. Het onderwerp is dus al bejaard (dat blijkt wel vaker bij veronderstelde nieuwigheden).

    • Logaritmisch
      Oorzaak: positiesysteem?

      1, 10, 100, 1000, 10000.
      Logaritmisch, maar in ons positiesysteem ook ‘linear’: steeds een nul erbij.

      Mensen blijken niet goed te zijn in ‘random’. Als je ze vraagt om ‘random’ punten te tekenen op een A4’tje dan zullen ze die gelijk verdelen over het A4’tje. Bij echt random zie je echter ook clusters ontstaan. Dit onderzoekje met getallen lijkt hetzelfde te zien te geven: mensen zorgen ervoor dat ze het aantal cijfers dat de genoemde getallen hebben gelijk verdelen.

      Dit heeft overigens heel weinig te maken met hoe je kinderen het best kunt leren rekenen.

      • rekenonderwijs
        Mark,

        Je schrijft
        Dit heeft overigens heel weinig te maken met hoe je kinderen het best kunt leren rekenen.

        Ik vermoed dat orthopedagogen dat niet met je eens zijn. Niet dat hier de enige bron van mogelijke complicaties bij het rekenen ligt. Ik vind het ook niet ondenkbaar dat iemand al eens een diagnostische toets voor rekenproblemen heeft gemaakt op basis van deze lijn van onderzoek (die waarin Siegler onderzoek doet) (Siegler cs geven ook enkele suggesties voor diagnostiek).

        Mijn plan is om dit Siegler-onderzoek te gebruiken als opstap in de kritische analyse van het theoretische kader dat de Freudenthal-groep gebruikt. Niet vanwege het directe belang van dit onderzoek voor het rekenonderwijs, maar om de wetenschappelijke houding waarvan het getuigt. En het is leuk onderzoek, begrijpelijk ook (althans, ik zal proberen het in de volgende blog op begrijpelijke wijze te presenteren).

        • goed plan, deze blog afsluiten?
          Ben,

          Ik zou de blog afsluiten nu.

          Joost Hulshof

          • afsluiten?
            Joost,

            Voor afsluiten is er een standaardregel (zoveel tijd verstreken na de laatste post, oid), tenzij moderatoren vinden dat er ingegrepen moet worden. Gewoon open laten, dus.

            En wel hierom: deze blog 12 is de laatste in de reeks. De andere blogs zijn waarschijnlijk afgesloten. Het is buitengewoon handig wanneer opmerkingen en aanvullingen op het rekenonderwerp in deze serie blogs plaats krijgen, niet als zelfstandige blogs die op den duur niet meer als onderdeel van de discussie worden gezien. Is dit een goed plan?

            Ben Wilbrink

          • Afsluiten
            Ik denk dat Joost doelt op om te stoppen met de discussie over Siegler onder deze blogpost. Laten we dat inderdaad maar doen. Kunnen we later verder gaan met die discussie onder de aparte blogpost die Ben ooit over Siegler zal schrijven.

          • lees dit dan eerst nog even
            Hoe ook taal verminkt wordt in het talige realistische rekenonderwijs moge blijken uit

            www.few.vu.nl/~jhulshof/TAL.pdf

            Maar eerlijk is eerlijk, het boekje “Rekenen is leuker ALS je denkt” is wat taal betreft een verademing.

            Joost Hulshof

          • Goed verhaal.
            Er is zoveel te zeggen. Neem nu dat voorbeeld van 37 x 27, dat handig uitgerekend zou kunnen worden. We komen uiteindelijk terecht bij 111 x 9.
            Dat is een ‘handige’ som; hoewel vernieuwers zo’n zelfde som graag denigrerend als ‘trucje’ mogen wegzetten, zou het dan nu plotseling ‘handig’ zijn.
            Voor een zwakkere leerling die de tafels niet beheerst, is er helemaal niets ‘handigs’ te ontdekken bij deze som. Verondersteld wordt immers dat de leerling direct ziet dat 27 = 3 x 9. Dat lukt alleen als je de tafels kent.
            Wie de tafels niet kent komt daar dus niet achter.
            Die leerling gaat al helemaal niet ontdekken dat je door die ‘handigheid’ uiteindelijk bij 111 kunt uitkomen. Zwakke leerlingen kunnen zelden meer dan een stap vooruit denken.
            Ik beschouw die nieuwe handigheid dus volledig als humbug, uitgevonden door mensen die zelf wel volledig met automatismen zijn toegerust, maar die het bezit ervan zo vanzelfsprekend zijn gaan vinden dat zij niet beseffen dat kinderen dit allemaal stapje voor stapje, met heel veel oefening, moeten leren.

            Neem ook dat delen door herhaald aftrekken: er zou zo inzicht ontstaan door het werken met de volledige getallen. Intussen moet er voortdurend volgens het ‘oude’ systeem worden afgetrokken! Want als we het aftrekken binnen zo’n bewerking ook nog eens gaan doen met de hele getallen, begint een eenvoudige som op een erg ingewikkeld bouwwerk te lijken. Dat is juist voor beginnende en zwakkere leerlingen funest.
            Juist om zaken te vereenvoudigen heeft men ooit de afkortingen bedacht. Die gaan we de kinderen dus ook leren!

          • humbug!
            uitgevonden door mensen die zelf wel volledig met automatismen zijn toegerust, maar die het bezit ervan zo vanzelfsprekend zijn gaan vinden dat zij niet beseffen dat kinderen dit allemaal stapje voor stapje, met heel veel oefening, moeten leren.

          • uitgevonden door?
            Destijds de slimste jongetjes in de klas die door het onderwijs van toen nooit verder hebben gekeken. Er was dus wel iets mis lijkt me en het had ons misschien wel allemaal kunnen gebeuren. Je hele leven met dat rekenen bezig zijn.

            Joost Hulshof

  9. Standards-Based Reforms
    De overheid is bezig het (taal- en) rekenonderwijs te sturen middels referentieniveaus en andere aangescherpte standaards. In de VS heet dat standards-based reform, en zijn daar gemengde ervaringen mee opgedaan. Het moet leerzaam zijn om van die ervaringen kennis te nemen. Een goede ingang lijkt mij, en dat noteer ik hier dan maar vast (met een 2e artikel, op een verwant thema):

    • Madhabi Chatterji (2002). Models and methods for examining standards-based reforms and accountability initiatives: Have the tools of inquiry answered pressing questions on improving schools? Review of Educational Research, 72, 345-386. abstract
    • Asha K. Jitendra , Cynthia Griffin , Andria Deatline-Buchman , Caroline Dipipi-Hoy , Edward Sczesniak , Natalie G. Sokol , Yan Ping Xin (2005). Adherence to mathematics professional standards and instructional design criteria for problem-solving in mathematics. Exceptional Children, 71.abstract / full text / download (descargar) full pdf

    Bij ons, in de Tweede Kamer en elders, is de discussie nog niet echt losgebarsten, omdat bewindslieden en de onderwijswoordvoerders van de TK de vraag welke consequenties aan toetsresultaten verbonden zullen worden, voor zich uit hebben geschoven (zie de Handelingen van 31 maart 2010, behandeling van de Wet op de referentieniveaus 7577). Better be prepared.

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.