Na eerder het met bolletje met 80m wol dat in stukjes van 2m75 geknipt moest worden ben ik nu de rij Chinezen tegengekomen in het oefenboekje voor de pabo rekentoets. Onderwerp schattend rekenen.
Er zijn 1,3 miljard Chinezen. Als ze allemaal achter elkaar zouden staan, hoe lang is die rijd dan?
Tsja … knappe kop die daar iets zinnigs over kan zeggen, maar een pabo student is natuurlijk precies dat. Voor het geval ze het antwoord niet weten, staat het achterin: ongeveer 1 miljoen kilometer.
Zou er vooral geselecteerd worden op het kritiekloos slikken van wat rekenrealisten voorschrijven?
Toetsen
Dit is dus precies het probleem met landelijke HBO eindexamens en verplichte nascholing voor alle leraren in verband met het lerarenregister: het zal ongetwijfeld door de onderwijsvernieuwlers gebruikt worden om te selecteren of kritiekloos slikken van wat de vernieuwlers voorschrijven.
leuke opgave
Vooral in Amerika bestaat er een traditie om te proberen ongrijpbare hoeveelheden te visualiseren. Dat zijn beslist leuke opdrachten.
Wie traditioneel kan cijferen, heeft zo’n vraag in een mum van tijd opgelost. We zetten 50 (centimeter) onder 1.300.000.000 ) zoveel personen; elk zo’n stukje) , vermenigvuldigen dat en krijgen het antwoord in centimeters.
Om er kilometers van te maken halen we er 5 nullen vanaf (handig rekenen!).
Ik kom niet aan het miljoen.
Want intussen is de ruimte die elke persoon zou innemen wel arbitrair: hoe dicht staan ze op elkaar? Er zijn hier dus meerdere antwoorden mogelijk. Dit soort opgaven vallen onder ’toegepast rekenen’: men beheerst de basisvaardigheden en kan daar vervolgens allerlei leuke dingen mee uitrekenen.
Precies zoals dat in de degelijke tijden ooit toeging.
Uiteraard snapt nog steeds niemand zo’n getal.
Vertaal dit getal in afstanden naar de maan of in rondjes rond de evenaar en we beginnen te menen er iets meer vat op te krijgen.
Zo’n som kun je in de hoogste groepen van de basisschool gemakkelijk aanbieden, op een voorwaarde: de leerlingen beheersen de techniek van het cijferend vermenigvuldigen en de techniek van het omzetten van de afstandsmaten.
Dat rekenen met al die nullen vinden ze vaak erg leuk: 5 x 0 is 0, 5 x 0 is 0 enz, enz.
Hoe
Hoe gaan die Chinezen staan? Lepeltjesgewijs? Schouder aan schouder? Op lengte? Stilstaand of bewegend? Op geslacht? In een rechte rij of in een zichzagrij? Rechtstreeks het heelal in of de kromming van de aarde volgend?
Door de “realistische context” maak je van een eenvoudige rekensom met een eenduidig antwoord een probleem met oneindig veel antwoorden. Leerzaam voor wie en voor wat?
zin en onzin
Ik denk dat het best nuttig is om leerlingen te laten nadenken over getallen in het dagelijks leven. Zaken als: hoeveel mensen zitten er eigenlijk in deze bioscoopzaal, hoeveel leraren basisonderwijs zouden er zijn, wat betekent het dat we 5 miljard uitlenen aan de Grieken, hoeveel auto’s staan er in een file van 5 km?
Het zijn allemaal problemen waarvoor je moet kunnen rekenen en waarvoor je moet kunnen bedenken waar je de basisgegevens vandaan haalt. Ik vind dat zinnig omdat het welicht kinderen aanzet tot een kritische houding tav alle getallen die in de media worden genoemd.
Mijn probleem met het voorbeeld van de chinezen is dat het op rekengebied helemaal niks voorstelt, dat het volkomen irreëel is en ook nog eens op geen enkele manier een uitdaging biedt (anders dan de gok wat de opsteller bedoeld zou kunnen hebben).
Verder is er op zn minst de vraag naar de dosering van dergelijke verhaaltjessomen. Dat boekje staat er vol mee, het lijkt dat het in plaats is gekomen van het normale rekenen. Dan is het al helemaal een doodzonde.
Bij de rekenrealisten staat dit bekend als gecijferdheid. Als je kinderen dat wil bijbrengen, en dat lijkt me op zichzelf zinvol, wat is dan de beste manier om dat te doen? Ik zou zeggen: zorg voor een uistekende rekenbasis en beschouw dergelijke problemen als leuke uitstapjes, dan is er niets mis mee.
De hele waardering voor die gecijferdheid wordt vervuild door het realistisch idee dat kinderen voor het leren rekenen contexten nodig hebben. Verhaaltjes die de basis vormen van rekentechnische uitleg. Alhoewel de ene functie van een verhaaltje de andere niet is, en je dus verschillende verhaaltjes zou moeten gebruiken in verschillende didactische situaties, loopt het in de praktijk door elkaar heen: het is een volslagen structuurloze verzameling verhaaltjes geworden.
Overigens ben ik ook niet altijd tegen verhaaltjes bij het aanleren van rekenvaardigheden: laat een piza zien als je het over breuken hebt. Maar net als aan het einde van eenleertraject, waar de open problemen een soort moderne variant van redactiesommen zijn geworden, hebben de rekenrealisten aan het begin van het traject geen enkele maat weten te houden.
Schattend rekenen?
Het concept van ‘schattend rekenen’ — is dat vooral door realistisch rekenaars zo opgehemeld? — heb ik nooit begrepen. Samen met ‘handig rekenen’ en hoofdrekenen lijkt het me een recept voor disaster, zoals ook wel gebleken is bij de diepere analyse die Kees van Putten kon maken van het werk van de leerlingen die aan de PPON 2004 deelnamen.
Neem bijvoorbeeld de eenvoudige vraag of dat schattend rekenen wel valt te onderwijzen, resp. te leren. Het antwoord op deze vraag is absoluut niet vanzelfsprekend, en zal empirisch onderbouwd moeten worden. Als er al vooruitgang is in presteren in schattend rekenen, dan kan dat zijn omdat er ondertussen vooruitgang is geboekt in ‘gewoon’ rekenen, omdat leerlingen een normale ontwikkeling hebben doorgemaakt (straks meer daarover), of omdat ze inderdaad schattend hebben leren rekenen in het schattend leren rekenen onderwijs. Bent u er nog?
Nu is er de laatste jaren interessant onderzoek gedaan op zuivere vormen van schatten, namelijk het schatten van de grootte van getallen. Denk aan de opgave om op een gegeven getallenlijn te markeren waar een bepaald getal dan zou moeten staan. Onderzoek laat zien dat de kwaliteit van de prestaties afhankelijk is van de ontwikkeling van de betreffende leerling: het is ontwikkelingspsychologie zeg maar.
De bal ligt nu voor open doel. Onderzoek laat inderdaad zien dat leerlingen die beter schatten, ook rekenvaardiger zijn. Dat suggereert een oorzakelijk of tenminste een voorwaardelijk verband. En consequenties voor de didactiek. Dat gaat een afzonderlijke blog worden. Waarschijnlijk een sleutelpublicatie is:
J. L. Booth & R. S. Siegler (2008). Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development, 79(4), 1016–1031. pdf
chi
“Er zijn 1,3 miljard Chinezen. Als ze allemaal achter elkaar zouden staan, hoe lang is die rij dan?”
Het goede antwoord is 1,3 miljard chi !
uit de losse pols
Dat zal de bedoeling zijn. Per Chinees ongeveer wat minder dan een meter, is dan wat minder dan 1.3 miljard meter, laten we zeggen, iets van 1 miljard meter in die buurt, is dan ongeveer 1 miljoen kilometer.