‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9]

 
Reden voor deze blog op dit moment is de urgentie van het onderwerp, gezien de concept-voorbeeld-rekentoetsen die de Toetswijzercommissie aan het veld heeft voorgelegd (toetst op ‘handig rekenen’ in plaats van op rekenvaardigheid met standaardstrategieën), en het feit dat deze rekentoetsen via de tussenstappen van referentiekaders en toetswijzers direct zijn afgeleid van de kerndoelen zoals die door de overheid zijn vastgesteld, waarin eveneens het ‘handig rekenen’ een prominente plaats heeft — standaardstrategieën in de gangbare betekenis zijn zelfs geheel uit de kerndoelen geschreven. In de voorgaande blog is deze stand van zaken gekenmerkt als staatsrekendidactiek, en daar lijkt mij geen speld tussen te krijgen omdat het immers gedrukt staat (o.a. in hfdst 7 rekenrapport werkgroep-Van Streun, zie voorgaande blog).

Wat zijn standaardstrategieën voor de basale bewerkingen met getallen?
Het is handig om een eenduidige referentie te hebben voor wat standaard is in het rekenonderwijs. Ik zou een boek uit 1968 kunnen nemen, dat waarschijnlijk nog zonder wiskobas-invloed is geschreven, Goffree, Hiddink en Dijkshoorn, maar ik wil dat alleen gebruiken als de situatie onmiddellijk voorafgaand aan wiskobas aan de orde is. Voor het huidige onderwijs ligt het voor de hand, zeker waar het de bedoeling van de wetgever is om doorheen het hele basis- en voortgezet onderwijs veel aandacht voor het rekenen te vragen, om een rekenboek te nemen dat is bedoeld voor aankomende HO-studenten om zelf hun rekenvaardigheid op peil te kunnen brengen: Van de Craats en Bosch.

  • F. Goffree, A. A. Hiddink & J M. Dijkshoorn (1970 ongewijzigde herdruk van 1968). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff.
  • Jan van de Craats & Rob Bosch (2007/2009). Basisboek rekenen. Pearson Education (4e gewijzigde druk)

De tegenstellingen in de rekendiscussie draaien vaak om bijvoorbeeld de staartdeling tegen delen met de ‘hap-methode’. Voor een handig overzicht van de standaardstrategie tegenover realistische strategieën voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, zie de website rekenbeter.nl/ (en natuurlijk kunt u wel heenkijken door de presentatie die bedoeld is om de superioriteit van de realistische aanpak te laten zien). Maar de realistisch aanpak van rekenen is breder dan alleen ‘handig rekenen’, zie voor het laatste:

Wat is ‘handig rekenen’?
Het is toch handig om met een handige karakteristiek aan te geven wat ‘handig rekenen’ is: rekenen dat gebruikt maakt van de specifieke getallen in de opgave om een andere oplossingsstrategie te bedenken dan de standaardstrategie. Deze beschrijving geeft meteen twee dingen aan, die ik nog niet meteen wil bespreken: de ‘handige’ oplossingsstrategie hoeft niet doeltreffender (minder denkstappen) of doelmatiger (vaker een goed antwoord) te zijn, en de ‘handige’ strategie die niet ter plekke wordt bedacht maar als strategie is geleerd, is niet een standaardstrategie maar is wat in het normale spraakgebruik een ‘trucje’ heet (want het werkt alleen bij specifieke getallen).

De website rekenbeter.nl/ geeft heldere voorbeelden.

Marjolein Kool en Ed de Moor (2009). Rekenen is leuker (dan) als je denkt.. Uitgeverij Bert Bakker. Ik citeer hieruit:

    • “Sommige vertegenwoordigers van deze richting [die de auteurs ‘neo-conservatieven’ noemen, b.w.] stellen dat handig en flexibel rekenen, dat juist een kernpunt van de realistische aanpak is, afgeschaft moet worden.” [blz. 21]
    • “Er is niemand en geen enkele instantie in Nederland die de didactiek kan voorschrijven.” [blz. 22]

Op blz. 66 geven de auteurs een tabel met voorbeelden van handige rekenregels. Bij optellen kun je bijvoorbeeld compenseren: 77 + 45 = 80 + 42. Die regels zijn inderdaad handig, maar dat is het punt niet. Het punt is dat nadrukkelijk onderwijs van wat handig is, de onderwijslast vergroot: er moet wel een behoorlijke leerwinst tegenover staan, wil dat gerechtvaardigd zijn. Er is dus empirisch onderzoek op dit punt nodig, zoals mogelijk maar één keer is gedaan [in het MORE-onderzoek, dit komt nog aan de orde]. Des te ernstiger is deze kwestie, omdat in het realistisch rekenen typisch niet eerst de standaardstrategieën goed worden ingeoefend alvorens aandacht aan handig rekenen te schenken (Hierbeneden een citaat van Treffers, die dit nog eens beklemtoont: eerst handig hoofdrekenen, dan pas gaan cijferen).

Kool en De Moor gebruiken onhandige voorbeelden om hun punt te maken, zoals de opgave 2003 – 1998 [blz. 64]. Ik zou dat doorgestoken-kaartopgaven kunnen noemen, en ik neem toch aan dat iedere leerkracht hier doorheen kan kijken. Zo’n opgave, al bedenk je er 1000, is natuurlijk geen argument om leerlingen zo vroeg mogelijk ‘handig’ te leren rekenen. De psychologie leert, maar ook daar kom ik nog op in een volgende blog, dat ‘handig’ werken de bijgift is van het verworven hebben van expertise.

Kool en De Moor bestrijden niet ‘dat sinds 1987 de vaardigheid van de leerlingen in cijferen over de gehele linie sterk is gedaald’. “Dit is ondermeer te verklaren uit het gegeven dat er minder tijd aan cijferen wordt besteed.“ [blz. 20-21] [Maar relalistische methoden zouden toch in de helft van de tijd die andere methoden nodig hebben, tot betere leerlingprestaties leiden? Zoals Freudenthal in 1984 claimde. Op dit type argument is het realistisch rekenen aan Nederland verkocht.] Adri Treffers heeft een andere verklaring: ‘prestaties bij het cijferen zijn vanwege het riskante rekenen uit het hoofd net zo duidelijk gedaald’ [Het rekentheater, blz. 241]. Elders is wel de verklaring van de terugval in rekenvaardigheid verklaard als logisch gevolg van de afspraak om aan cijferen minder aandacht te besteden. Afijn, hier wreekt zich dat de FI-groep niet aan empirisch onderzoek doet, en dus afhankelijk is van dat van anderen, in dit geval de PPON.

  • Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Atlas.

De volgende uitvoerige passage maakt de positie van voorstanders van ‘handig rekenen’ duidelijk.

    • “Moet het sommetje 29 + 27 worden uitgerekend, dan kunnen verschillende wegen bewandeld worden om tot het goede antwoord te komen:
      • a. (9 + 7) + (20 + 20) = 16 + 40 = 56
      • b. 25 + 25 + 4 + 2 = 50 + 6 = 56

      • c. 30 + 27 – 1 = 56

      • d. (29 + 20) + 7 = 49 + 7 = 56

      • e. 2 x 28 = 56

      • f. 30 + 30 – 1 – 3 = 60 – 4 = 56

      In de onderwijzersboekjes is bij herhaling op de mogelijkheid en noodzakelijkheid van de verschillende oplossingsmethoden gewezen. Het kiezen van de kortste, de eenvoudigste, de ‘beste’ oplossing spoort aan tot grote geestelijke activiteit.
          Zolang er niet vlot uit het hoofd gerekend wordt, dient men zich met het cijferen niet te haasten, aangezien het eerste steun moet bieden aan het tweede en eraan moet voorafgaan. In alle leerjaren moet het hoofdrekenen dan ook een belangrijke plaats innemen. Begint men te vroeg met cijferen dan staat dit het inzicht in de getallen en de te leren cijferbewerkingen in de weg. Wie er aandacht aan schenkt zal dat onder meer opmerken bij kinderen die bijvoorbeeld thuis op het werk der school zijn vooruitgelopen door de cijfer-‘kunstjes’ te vroeg te leren. Zij zijn daar dan bijna niet meer vanaf te krijgen, omdat het vaak veel eenvoudiger is om het goede antwoord te krijgen dan met hoofdrekenen. Maar wat begrijpen ze van wat ze doen.” [blz. 69-70]

Bij zo’n passage als hier geciteerd val ik van de ene verbazing in de andere. Hier doet Treffers achter elkaar uitspraken over het leren van rekenen, waarvoor de empirische evidentie ontbreekt (ik heb die in de IOWO/OW&OC/FI-literatuur tot op heden ook niet kunnen vinden, m.u.v. het MORE-onderzoek maar dat wijst juist op ondoeltreffendheid van het benadrukken van handig rekenen in het onderwijs). De onlogica van een en ander (zoals cijferen ‘kunstjes’ noemen) kan de lezer zelf wel constateren. Toppunt vind ik wel, zeker in het licht van de PPON-resultaten, dat het ook volgens Treffers vaak veel eenvoudiger is om een goed antwoord te krijgen met een standaardstrategie, dan met [handig] hoofdrekenen. Waar gaat rekenen ook alweer over?

  • A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijsonderwijs op de basisschool (1), (2). Eerdere, kortere publicaties hiervan: pdf, resp. pdf
    • “Omstreeks 1980 vond nog maar tien procent van de nieuwe reken-wiskundemethoden aftrek. In 1987 echter had al meer dan zestig procent van de basisscholen zo’n realistische methode — de naamsverandering van ‘rekenen’ in ‘rekenen en wiskunde’ dekte dus werkelijk ook een inhoudelijke vernieuwing. De meest opvallende veranderingen ten opzichte van het rekenonderwijs uit de jaren zestig:
      — nadruk op het ontwikkelen en beheersen van basisvaardigheden, dus tellen, tafels, hoofdrekenen en schattend rekenen plus de toepassingen ervan via het zogenoemde reken in contexten;
      — cijferen wordt vooral opgevat als een vorm van handig kolomsgewijs rekenen.
      (…)” [I blz. 24]

Hier komt ‘handig rekenen’ nog niet in voor, maar de standaardstrategieën zijn al van het rekenpodium af geduwd. De ambities van de Freudenthal-groep liggen elders, basisscholieren worden wetenschappers-in-de-dop, miniatuur-wiskundigen. In de ‘algemene leerdoelen’:

    • “Het onderwijs in reken-wiskunde is erop gericht dat de leerlingen bekwaamheid verwerven om zelf reken-wiskunde te construeren en te produceren, en op hun eigen activiteiten te reflecteren.” [I blz. 37]

Ik kan, ook achteraf, niet begrijpen dat Nederland voor dit doorzichtige reclame-proza is gevallen. Het geciteerde algemene doel is de laatste van acht doelen, maar ook de voorgaande zeven zijn geen uitingen van bescheidenheid.

    • “En hoofdrekenen is nu juist handig rekenen, wat betekent dat daarbij efficiënt gebruik wordt gemaakt van parate kennis, rekenwetten, bijzonderheden van getallen en relaties ertussen. In ons voorbeeld [90 x 70, b.w.]: 9 x 7 = 63, dus 90 x 70 = 6300, twee nullen erachter geplaatst en klaar. ” [I blz. 43]

De lezer voelt hem nu wel aankomen: het is heel leuk om te bedenken dat je handig rekenen berust op inzicht en getalkennis, maar in de werkelijkheid van de school gaan de leerlingen geen onderscheid maken tussen inzicht en de specifieke handige oplossingen: die laatste worden geleerd, dat is de weg van de minste weerstand. Wederom de vraag: hebben Treffers en collega’s dit empirisch onderzocht? Het is een retorische vraag. Ondertussen is bekend hoe het gaat: de leerlingen leren de trucjes. Precies het verwijt dat de realisten de neo-conservatieven hebben gemaakt.

    • “Het automatiseren van de elementaire tafels voor optellen en aftrekken tot twintig is in de hier geschetste opvatting niet louter een kwestie van in het hoofd stampen van een serie rekenfeiten zonder samenhang. Het wordt integendeel beschouwd als het eindprodukt van een langlopend leerproces dat gekenmerkt wordt door een steeds verdergaande verkorting van het berekenen. Deze is erop gericht het tellen (geleidelijk of tamelijk abrupt) terug te dringen en te vervangen door het handige rekenen met gedachte getallen en pure getallen [mijn accentuering, b.w.]. Gerichtheid op snelheid is bij het inprenten van kennis op den duur van belang, en gerichte oefening evenzeer. Maar er is hierbij geen sprake van domme dril, doch veeleer van gestage oefening en geleidelijke kennisuitbreiding.” [I blz. 49]

Wat hierboven staat lijkt mij buitengewoon onwaarschijnlijk: wat moet er zo nodig aan eenvoudige rekenfeiten worden ‘begrepen’ voordat ze gebruikt en geleerd kunnen worden? De juistheid van wat de ‘Proeve’ hierboven beschrijft, kan uitstekend empirisch worden onderzocht. Mogelijk is dat gedaan door Van Mulken, onafhankelijk van het FI. Ik heb zijn proefschrift nog niet bestudeerd:

  • F. van Mulken (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd. Proefschrift Universiteit Leiden.

Ik kan doorgaan met toelichten van de positie van het Freudenthal Instituut op wat zij handig rekenen noemt, maar het voorgaande is duidelijk genoeg. Zie ook het artikel over hoofdrekenen van Jan van de Craats uit 2007, toen hij lid was van de commissie-Meijerink en de werkgroep-Van Streun. Dat ook in de Freudenthal-groep het besef doordringt dat het rekenonderwijs gebukt gaat onder een overmaat aan irrelevante weetjes en handigheidjes is te lezen in het artikel van Bruin-Muurling, Gravemeijer en Van Eijck over het gemis aan aansluiting tussen het breukenonderwijs in de basisschool, en de breukenkennis die in het vo nodig is (pdf).
Om dit gedachtengoed over ‘handig rekenen’ te begrijpen, is het wenselijk om na te gaan waar het idee vandaan komt, waarom het door IOWO en FI is uitgewerkt zoals het is uitgewerkt, en op basis van welke empirische gegevens de invoering ervan in het onderwijs — zelfs tot in de kerndoelen die de overheid stelt — is gerechtvaardigd, of juist niet is gerechtvaardigd. Een volgende blog, een grote uitdaging ook. En wel hierom: het is vaak verdraaid lastig om in publicaties van Freudenthalers te achterhalen wat de bronnen van bepaalde ideeën zijn; voor ‘handig rekenen’ heb ik op dit moment werkelijk nog geen idee uit wiens koker dat op welk moment om welke reden is gekomen, en ik heb ondertussen toch al wel veel Freudenthal-literatuur onder ogen gehad. Goede aanwijzingen zijn welkom. Ik sluit niet uit dat het hele idee van ‘handig rekenen’ op onnaspeurbare wijze in de loop der tijd in het team rond Hans Freudenthal is ontstaan. Dat Freudenthal zelf er een rol in heeft gespeeld, lijkt mij trouwens buitengewoon onwaarschijnlijk: het hele idee moet wiskundigen absoluut tegen de haren in strijken, en Freudenthal was een eminent wiskundige.

Deze blog is niet de plaats om ook nog de relevante psychologie te behandelen, maar ik wijs er alvast op dat er o.a. door Noel Entwistle veel onderzoek is gedaan naar oppervlakkig versus diep verwerken van leerstof (niet specifiek rekenen, maar dat maakt geen verschil): dat zijn vooral verschillen tussen leerlingen in de manier waarop zij met de leerstof omgaan. Wat Freudenthal en zijn groep doen is een diepe verwerking van de leerstof didactisch opleggen aan de hele klas, tegelijk met het kennismaken met de stof. Misschien werkt dat, dat zou prachtig zijn, maar als je dit niet kritisch empirisch toetst dan gaat het geheid fout. Nieuwe stof bij eerste kennismaking meteen diep verwerken lijkt me een absurde didactische ambitie.
    Instructiepsychologie: op ‘handig rekenen’ gebaseerde realistische methoden laten leerlingen twee keer rekenen leren; dat is niet alleen een keer teveel, het schept vooral verwarring maakt het verdraaide lastig voor leerlingen om tot grondige beheersing van de standaardstrategieën te komen. Heeft het FI dit onderzocht? Het komt uit de PPON 2004 (Harskamp, bijlage A rekenrapport werkgroep-Van Streun).
    Examen-theoretisch: toetsen op ‘handig rekenen’ i.p.v. op rekenen geeft het verkeerde signaal af naar zowel leerkrachten als leerlingen.
    Cognitieve psychologie: is handig kunnen werken een voorwaarde om expert te worden, of is expertise een voorwaarde om handig te kunnen werken?
    Aansluiting onderwijs — arbeidsmarkt, of onderwijs — onderwijs: is ‘handig rekenen’ daarvoor een asset, of gaat het misschien aan het eind van de dag om routine in die standaardstrategieën? Vraag het ontvangend onderwijs, ontvangende werkgevers.

literatuur

  • Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
  • Commissie-Meijerink / werkgroep-Rijlaarsdam-van den Berg / werkgroep-Van Streun (2008). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Taal. Rekenen. Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf

  • Kerndoelenboekje en andere info over deze staatsdidactiek: www.slo.nl/primair/kerndoelen/

  • Rekentoetswijzercommissie (april 2011). voorbeeld-rekentoets havo/vwo pdf [Zie in deze toets de eerste tien rekenopgaven: dit zijn ‘handig rekenen’ opgaven]

  • Geeke Bruin-Muurling, Koeno Gravemeijer & Michiel van Eijck (2010). Aansluiting schoolboeken basisschool en havo/vwo. Nieuw Archief voor de Wiskunde maart 2010, 33-37 pdf
  • Jan van de Craats (2007). Hoofdrekenen als struikelblok. pdf
  • W. Uittenbogaard (2008). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Appels en peren — naar Hans Freudenthal. Panama Post. pdf

Voorgaande blogs

  1. Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456

  2. Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485

  3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520

  4. Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streunblog 7547

  5. Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555

  6. De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 blog 7577

  7. Diagnose rekenproblematiek bo, met Harskamp 2007, bijlage A werkgroep-Van Streun blog 7587

  8. Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591

Eerstvolgende blogs

  • ‘Handig rekenen’: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard’s ‘Juliette en Jonas’ [10] 7607

  • Waarom de Freudenthalers niet onderzoeken of realistisch rekenen wel deugt [11] blog 7616
  • Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog? [12] blog 7633

9 Reacties

  1. Hoe zit het nu met dat ‘handig rekenen’?
     
    Het komt voor mij als een grote verrassing dat het ‘handig rekenen’ zo’n allesoverheersende plaats heeft in het denken van velen die betrokken zijn bij het rekenonderwijs en bij het ontwerpen van rekentoetsen, of dat nu de toekomstige eindexamen-rekentoetsen zijn, of de rekentoets binnen de Cito Eindtoets Basisonderwijs.
    Ik wil er dus meer van weten dan alleen wat het FI, de SLO, het Cito en de CvE er vandaag onder verstaan. Hoe is deze eenzijdige nadruk op ‘handig rekenen’ ontstaan? Is het iets dat geleidelijk is ontstaan, of is het een brain wave geweest van bijvoorbeeld Adri Treffers?

    Mijn werkhypothese is als volgt. Dat ‘handig rekenen’ nauw is verbonden met hoofdrekenen, met het ‘begrijpen’ van getallen en bewerkingen op getallen, en mogelijk ook met de ideeën binnen de Freudenthal-groep over het belang van leren probleemoplossen. Tenslotte stelt iedere opgave die ‘handig’ moet worden opgelost, een nieuw probleempje. Zou dat niet het geval zijn, dan zou ‘handig rekenen’ een standaardstrategie zijn, een algoritme (al dan niet in meervoud).

    Ik moet dus in de literatuur aanwijzingen zien te vinden hoe bv. in het kolomrekenen al deze zaken bij elkaar komen, en hoe daar dan in de loop van de tijd het ‘handige’ uit is verzelfstandigd. Eigenlijk hoop ik dat deze oefening al eens eerder is gedaan, mogelijk zelfs meerdere malen, dus ik ga eerst maar eens de literatuur hierop doornemen. Wie heeft een goede tip? Om vervolgens bv. bij Appels en peren (een bundel van artikelen van Hans Freudenthal, in zijn geheel op dbnl.nl beschikbaar) te analyseren waar de aanknopingspunten voor dat ‘handig leren’ kunnen liggen. ‘Handig rekenen’ komt er niet in voor, het woord ‘handig’ maar twee keer; dat kan erop wijzen dat ‘handig rekenen’ pas veel later als zelfstandig concept in de PR van het FI zal opduiken.

    • Didactische omkering
      Ik zie verschillende ontwikkelingen.
      Op de eerste plaats denk ik dat handig rekenen er eerder was dan kolomsgewijs rekenen. Ik heb daar geen literatuur voor, alleen dat ik dat kolmsgewijs rekenen pas voor het eerst tegenkwam lang nadat ik de verhalen over handig rekenen al had gehoord.
      Verder lijkt me dat handig rekenen iets is wat een “rijpe rekenaar” zou doen: het is typisch iets dat bv wiskundigen doen. De gedachtegang “handig als het kan” past bij mensen die gemakkelijk met getallen en bewerkingen omgaan. Dat de Freudenthalers dit interessant vonden heeft te maken met hun hele focus op wiskunde als intelectuele activiteit in plaats van als vaardigheid en daarmee legde ze de focus op wiskunde zelf in plaats van op leren rekenen.
      Natuurlijk is dat kolomsgewijs rekenen in zekere zin een vervolg op handig rekenen. Daar waar het uit het hoofd niet meer handig kan, is kolomsgewijs op papier rekenen de logische voortzetting. Dat nu juist die methode nooit door een wiskundige zou worden toegepast en dus niet bedoeld kan zijn voor rijpe rekenaars maakt dat het in zekere zin didactisch omgekeerd is tov handig rekenen.

      het zijn wat losse gedachten en onvoldoende precies geformuleerd, maar ik heb dat handige rekenen altijd wel begrijpelijk gevonden, tenminste als rekenmethode, niet als didactiek (zo reken ik ook), maar dat kolomrekenen is werkelijk waanzinnig: vreselijk complex, niemand die het zo doet en kinderen, en volwassenen, raken er zeer van in de war. Het lijkt ontstaan uit de noodzakelijkheid dat alles wat je doet steeds bewust begrijpelijk moet zijn, vandaar ook dat breukbewerkingen zo goed als verdwenen is: men heeft daarvoor geen “kolomsgewijs breukbewerken” kunnen verzinnen.

      In de terminologie van het FI valt kolomsgewijs rekenen onder de didactiek van de progressie schematisering.

      • Handig rekenen in soorten
        @2010

        Er zijn in de FI-taal meerdere betekenissen van ‘handig rekenen’.

        Het ‘handig rekenen’ zoals dat in de kerndoelen basisonderwijs staat, betekent waarschijnlijk uitsluitend het handig rekenen bij rekenopgaven met getallen die dat ‘handige’ mogelijk maken. Zoals de opgave 99 maal 99. Of de eerste tien opgaven in de concept-voorbeeld-rekentoetsen van de Toetswijzercommissie (op de website van Jan van de Craats te vinden).
        Het absurde van dit kerndoel rekenen, deze staatsdidactiek, is dat het als een paal boven water staat dat leerlingen later in de boze buitenwereld niet vaak rekenproblemen tegen zullen komen die met ‘handig rekenen’ zijn op te lossen, en als ze die al tegenkomen dat het verstandig is om ze met de standaardstrategie aan te pakken.

        Tegelijk is er het didactische uitgangspunt dat leerlingen bij voorkeur uit moeten gaan van de oplossingen die ze zelf kunnen bedenken, meestal een vorm van ‘kolomrekenen’, en dan maar door oefenen en met begeleiding van een briljante leerkracht die al die individuele aanpakken kan overzien uiteindelijk uitkomen op de standaardstrategie — ‘progressief schematiseren’. Ondertussen is het een en al ‘handig’ kiezen van te nemen happen enzovoort. Ook hier zijn de opgaven waarschijnlijk zo ingevuld met concrete getallen dat al dit gedoe nog enigszins hanteerbaar is.

        Mijn veronderstelling is dat het kolomrekenen, een wiskobas-uitvinding uit de 70er jaren, er eerder was dan het ‘handig rekenen’ in bovenstaande omschrijving. Ik ben wel verrast door jouw vermoeden dat het juist andersom is. In ieder geval is het goed om open te staan voor wat het ook is dat uit de literatuur mag blijken.

    • Realistisch rekenen kort en krachtig neergezet: Freudenthal ’87

        • “(..) rond 1960, ben ik het scherper en scherper gaan formuleren. Rekenen leer je in de realiteit. waar je dingen — ook gedachte dingen — tellend en steeds maar handiger tellend manipuleert, en de meeste leren dat simpele rekenen ook in simpele situaties toepassen omdat ze er eerder via simpele situaties zijn ingestapt. Over het simpele rekenen gesproeken! Want bij de breuken, gewone of tientallige, is het anders gesteld. Daarmee begin je misschien heel eventjes in de realiteit, maar dan is het ook afgelopen, met als gevolg voor de meerderheid dat dat je de breukoperaties, indien je die dan ooit leert, totaal niet kunt toepassen. En zo gaat het door in het traditioneel wiskunde-onderwijs: wiskunde leren om achteraf toe te passen — een didactisch averechts procedure, waarmee de meesten niet gediend zijn, ook al zijn die toepassingen — die ze toch niet aankunnen — dan het rationale van hun wiskunde-leren. Ook hier weer het euvel van van het instappen op een niveau waar je eerst naar toe hoort te groeien. Hoe het moet, heb ik zo geformuleerd en dat steeds scherper: de realiteit waar je wiskunde in wilt toepassen. Geen toepassen achteraf — ja dit ook — maar allereerst het gebied van toepassing verkennen, zelf mathematiseren, onbewust, bewust en reflecterend. Zo ontstaat in de realiteit de wiskunde die je daar wilt toepassen. Zo was historisch de de gang van zaken, de weg die je ook de lerende moet toestaan om te bewandelen, stimulerend toestaan.”
          [Hans Freudenthal (1987). Schrijf dat op Hans! p. 357]

      Merk op dat Freudenthal zijn filosofie van realistisch-rekenen in 1960 al had afgerond. Wat ik wil onderzoeken is hoe hij, als amateur-didacticus, tot deze filosofie over rekenen en rekenonderwijs is gekomen. Want dat is de stellige indruk die zijn didactisch werk op mij maakt: autodidactisch, vervreemd van de relevante disciplines (psychologie, onderwijsresearch).

      • Jack van Lint
        Bram van Asch, Aart Blokhuis, Henk Hollmann, William Kantor & Henk van Tilborg (2006). Jack van Lint (1932–2004): A survey of his scientific work. Journal of Combinatorial Theory, Series A, 113, 1594–1613. pdf

        Jack van Lint was eminent wiskundige, rector magnificus van de TUE, en had naam als uitstekend didacticus. Het artikel bevat dan ook een paragraaf over onderwijs.

          • “He wrote a number of papers especially for high school teachers, too. See for instance [35,108,115,133,152]. It was his aim to present topics of mathematics, in particular discrete mathematics, in a popular way. In the last few years he was very worried about the standard of the mathematics education, both national and international. In [173] he gave his view on the central examination of mathematics in the Netherlands. This produced many positive reactions from high school teachers, but the policy makers were not amused, to put it mildly.”

        [172] J.H. van Lint, Rendement versus niveau, Nieuw Arch. Wisk. 3 (2002) 160–162.
        [173] J.H. van Lint, Reactie—Het eindexamen vwo B12, Euclides 78 (2002–2003) 20.

        Ik heb geen toegang tot Euclides, heeft iemand een pdf van dit artikel van Van Lint? (Ik ben toch maar lid geworden van de NVvW, dat is wat handiger, maar het moet nog administratief worden afgehandeld.).

        Deze post n.a.v. berichten die ik krijg van wiskundigen dat het citaat van HF in de voorgaande post wartaal is. Zeker, ook vanuit psychologie en onderwijsresearch gezien, maar het is wel invloedrijke wartaal geweest. Dat het wartaal is: tegenvoorbeelden zijn buitengewoon simpel te bedenken. Hoe dat ook zij, ik zal nog vele blogs nodig hebben om precies te laten zien hoe en waarom HF de didactische planken misslaat.

  2. 99 x 99

      • “Ik heb speciaal ingezoomd op de opgave ‘99 × 99 = ?’ omdat deze zich zo goed leent voor de zogenaamde realistische aanpak. Ik heb een groot deel
        van testboekjes met deze opgave uit PPON 2004 op een avond zelf nagekeken en heb die nacht bijzonder slecht geslapen: zolang de leerlingen maar ‘volgens opa’ rekenden, ging het meestal goed, maar realistische aanpakken via bijvoorbeeld 100 × 99 of 100 × 100 leverden een slagveld aan foutieve uitwerkingen en antwoorden op. Het begon al met
        fouten in 100 × 99 of 100 × 100 (met fouten als 990 respectievelijk 1000 of 100 000), en vervolgens het probleem hoeveel daarvan af te trekken (compenseren) met fouten als 1 of 2, 100 of 200 eraf. Eigenlijk was alleen de traditionele aanpak hier succesvol en konden alleen de sterke rekenaars (beste 33 %) zich een realistische aanpak veroorloven; alle andere combinaties waren kansloos.
      • Deze opgave bleek ook lastig op de nationale rekentest van december j.l. omdat die daar onder tijdsdruk uit het hoofd gedaan moest worden. Twee van de drie finalisten bezweken en toen kreeg de derde de tijd om het goed uit te rekenen: (100 × 99) − 99 = 9801.”

    De tekst is van Kees van Putten, in een brief van 28 januari 2008. Gepubliceerd in Onderwijskrant 146 Mad Math en Math War (juli-augustus-september 2008), p. 22. pdf

  3. “Reken die uit, maar doe het handig!”
    In de Freudenthal-biografie van Sacha la Bastide-Van Gemert (2006) (pdf), toch een biografie waarin de schijnwerper op ‘de didactiek van de wiskunde’ staat (formulering van de auteur, in de subtitel van het proefschrift; de bepalende lidwoorden horen hier m.i. niet thuis), komt het handig rekenen eigenlijk niet voor. De uitzondering is Freudenthal’s boek Waarschijnlijkheidsrekening en statistiek uit 1957.

    • “Freudenthal sprak zijn lezer continu toe. In de tekst en de opgaven zijn om de
      haverklap uitspraken te vinden als ‘Maar pas op!’, ‘Reken die uit, maar doe het
      handig!
      ’ of ‘Zoek dat uit!’.”
      La Bastide-Van Gemert, p. 167. [mijn accentuering, b.w.]

    Dit doet vermoeden dat ‘handig rekenen’ bij Hans Freudenthal bijna iets vanzelfsprekends is, waar mogelijk heel zijn didactiek van is doortrokken, maar waar hij zelf mogelijk niet op reflecteert (reflecteren ziet HF als bron van leren en inzicht); ik heb in zijn werk die reflectie op ‘handig rekenen’ (nog) niet kunnen vinden.

    • wellicht ten overvloede: de schoonheid van de wiskunde.
      Dat Freudenthal zijn studenten aanzette tot handig rekenen heeft niets met de handig rekenen didactiek te maken, maar met de eigenschap van wiskundigen dat ze niet geïnteresseerd zijn in opgeloste problemen en standaardmethodes. De bewijzen en methodes moeten nieuw en vooral fraai zijn. Iets bewijzen met een standaardberekening of met een computer staat in laag aanzien. Iets bewijzen op een geheel nieuwe en bovenal korte methode wordt als mooi en belangrijk ervaren. Dat is in mijn ogen ook terecht.

      Twee verhalen illustreren dat.

      Over de wereldvreemde Hongaarse wiskundige Paul Erdös gaat het verhaal dat in zijn ogen heel fraaie bewijzen, bewijzen uit het grote boek (van God) noemde. De man was atheïst, maar dat was geen reden die uitdrukking niet te gebruiken.

      Het tweede verhaal is een typerende grap.

      In een hotel slapen een technicus, een natuurkundige en een wiskundige.
      Het brandalarm gaat af en de technicus springt zijn bed uit, vult het ijsemmertje met water, doet zijn deur open en blust het beginnende brandje.
      De natuurkundige hoort het alarm, pakt zijn thermometer, maatbeker en binasboekje. Zo berekent hij de energie van de brand en meet precies de juiste hoeveelheid water af en blust de brand, zelfs geen waterschade!
      De wiskundige doet een half oog open, weet dat er brand is, maar ook dat hij voldoende water heeft en een emmertje. Hij vindt het probleem hiermee opgelost en gaat weer slapen.

      Beide verhalen geven de drijfveer van de wiskundige aan. Het gaat niet om praktisch nut, maar om schoonheid of om nieuw inzicht. Dat zal ook bij Freudenthal en de mensen van het FI en grote rol hebben gespeeld. Vandaar dat dat handig rekenen zo belangrijk was: het toonde inzicht en de wens tot de gemakkelijkste en slimste oplossing te komen. Het toonde een wiskundige houding aan. Dat zijn de werkelijke doelen van het FI. Leren rekenen is niet relevant, maar wiskundig inzicht wel. Dat het een misvatting is om zonder expliciet rekenonderwijs tot wiskundig inzicht te komen was voor hen niet duidelijk. Vandaar ook dat ik meen dat dat kolomsgewijs rekenen pas later is gekomen. Dat is nu net geen mooie methode, maar een gekunsteld tussenproduct dat nu eenmaal paste als halffabricaat tussen uit het hoofd (handig) rekenen en het echte cijferen. Waarbij dat laatste voor die mensen totaal oninteressant was. Kolomsgewijs rekenen paste in de lijn van progressief schematiseren, maar ik kan me eigenlijk niet goed indenken dat FI-ers er zelf voor warmlopen. Het zou me ook niet verbazen als het is bedacht door mensen met heel weinig wiskundige achtergrond, bedacht door onderwijskundigen of didactici of zo. Maar ja: als product van je bedrijf moet je er wel achterstaan.

      Ik denk dat de werkelijke drijfveer van Freudenthal veel te maken had met de schoonheid van de wiskunde en daarmee ook met de wens om iedereen die schoonheid te laten ervaren: ook kinderen die niet goed konden rekenen, ook zijn eigen studenten die handig moesten rekenen. Het land van Okt en Platland zijn daarvan goede voorbeelden. Het gilt allemaal van de daken: kijk eens hoe mooi het allemaal is. Dat verklaart ook de aantrekkingskracht van de methode voor wiskundeleraren. Naarmate het meer institutionaliseerde werd de informele drijfveer verlaten en in de plaats daarvan kwamen wangedrochten als dat kolomsgewijs rekenen. De hele rekendidactiek is van een goedbedoeld speeltje verworden tot een parodie op rekenonderwijs. Treurig.

      • kolomrekenen en ander handig ongerief
        @2011

        De kern van de rekenontwikkelingen onder invloed van Hans Freudenthal zou inderdaad kunnen liggen in het complex van opvattingen over wiskunde zoals je beschrijft (zie bv ook NAW maart 2010).

        Mogelijk is het ‘handig rekenen’ van de kerndoelen een latere misvatting en uitwas van wat wiskundigen ‘elegantie’ in bewijsvoering noemen, enz.

        Kolomrekenen komt echt uit de ontwikkelstal van Freudenthal:

        In 1987 treedt Treffers naar buiten met zijn/wiskobas’ opvattingen over kolomrekenen.

          • “In this article we shall first describe the characteristics of this new column arithmetic approach [wiskobas, b.w.] and thereafter the results of research concerning it. The various aspects will be set against the background of column arithmetic in traditional and current arithmetic education.”

            bron: A. Treffers (1987). Integrated column arithmetic according to progressive schematisation. Educational Studies in Mathematics, 18, 125-145. abstract

          • “Freudenthal’s reserve ten aanzien van algemene onderwijstheorieën als die van Gagné en Gal’perin is genoegzaam bekend. Toch heeft met name de onderwijstheorie van Gal’perin invloed op Wiskobas uitgeoefend bij de leergangontwikkeling van kolomsgewijs, cijferend rekenen (Van Bruggen, 1975 [intern IOWO]; De Jong, 1977 [De abakus; Uittenbogaard (2008) noemt het: De abacus; over cijferend optellen en aftrekken. leerplanpublikatie 6]).”

            bron: Adri Treffers, p. 138 in IOWO (1976). Five years IOWO. On H. Freudenthal’s retirement from the directorship of IOWO. IOWO snapshots. Educational Studies in Mathematics, 7, summary, mijn annotaties

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.