NRC over niveaudaling – II

In het artikel van Marlies Hagers en Derk Walters komen heel wat specialisten langs met ieder hun eigen verhaal over de ontwikkeligen in ons onderwijs.

[…]
Jan van de Craats, hoogleraar wiskunde van de Universiteit van Amsterdam, merkt op: “Tien jaar geleden hoefden we geen bijspijkercursussen te geven.” Hij wijt het aan de grafische rekenmachine. “Die is een eigen leven gaan leiden. Schoolboeken zijn helemaal naar die machine toegeschreven.” De aansluiting met het hoger onderwijs is zoek, zegt Van de Craats. “Daar gaat het niet om de uitkomst van sommen, maar om het ontdekken van wetmatigheden, het werken met en combineren van formules. Dat leren ze niet meer.” Dat de aansluiting hapert, wordt bevestigd in het Cevo-rapport Het niveau van de centrale examens in vwo en havo. “Het schrappen van bijvoorbeeld differentiaalvergelijkingen uit het wiskundeprogramma levert een discrepantie op met het hoger onderwijs”, staat daar in.
[…]
Eindoordeel 1985 – 2006: nu concreter, niet veel makkelijker (gemaakt zonder grafische rekenmachine)

Een reden om de opgaven toch maar zelf te gaan lezen.
Geen probleem voor de huidige opgaven. Ga naar havovwo.nl

Vergelijk deze teksten met het wiskunde B examen uit 1984 hieronder…

l. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door
. x = -t^2 + 6t en y = -1/3 t^3 + 2t^2 waarbij t E R.
. a. Bereken de coördinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
. b. Toon aan dat er twee lijnen zijn die K in O raken. Bereken de hoek van deze lijnen in graden nauwkeurig.
. Teken K.
. c. Voor welke p E R+ geldt: de lijn y = 2x – p raakt K?

2. D is de differentiaalvergelijking sin x dy = ( y cos x – cos^2 x)dx waarbij x E [ – pi, pi].
. a. Bereken de coördinaten van de singuliere punten van D.
.
. Teken ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy de verzameling van de punten waarin het door D bepaalde
. lijnelement de richtingscoëfficiënt 0 heeft.
. b. De grafiek van een functie g is een integraalkromme van D.
. Voor welke a E R is de grafiek van de functie x -> g(x) + cos (a – x) ook een integraalkromme van D?
. c. Voor welke b E IR raakt de grafiek van de functie x –> b – cos x een integraalkromme van D in een punt van de
. lijn y = 2?

3. De functie f met domein R is gegeven door f(x) = x^2 (2 – ln x^2) voor x E R \ {0} en f(0) = 0.
. a. Bereken f'(0) en bewijs dat de afgeleide functie van f continu is in 0.
. b. Onderzoek f en teken de grafiek van f.
. c. Bereken de oppervlakte van één van beide vlakdelen ingesloten door de grafiek van f en de x-as.

4. Men speelt een spel met een pion in een speelveld dat voorzien is van een rechthoekig assenstelsel Oxy
. (zie figuur). Het spel bestaat uit een reeks zetten van de pion in het speelveld.
. Elke zet van de pion wordt bepaald door de uitkomst van een worp met een zuivere dobbelsteen. Bij de uitkomst
. ‘één of twee ogen’ wordt de pion vanuit zijn plaats in het speelveld één eenheid in de positieve x-richting
. verzet.
. Bij de uitkomst ‘drie of meer ogen’ wordt de pion vanuit zijn plaats in het speelveld één eenheid in de
. positieve y-richting verzet.
. Bij het begin van het spel staat de pion in (0, 0). Tijdens het spel beweegt de pion zich dus van roosterpunt
. naar roosterpunt.
.
. a. In welke roosterpunten kan de pion zich – vanuit de beginstand – na precies drie zetten bevinden?
. Bereken bij elk van die punten de kans dat de pion dat punt bereikt.
. b. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de pion – vanuit de beginstand – na negen zetten zowel
. de lijn x = 3 1/2 als de lijn y = 2 1/2 is gepasseerd.
. c. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat de pion – vanuit de beginstand – via het punt (5, 2) het punt
. (7, 9) bereikt.

… en oordeel zelf.

Dit item werd eerder hier besproken.

Vrijwel nooit besproken het gebeuren in de havo-sector.
Daarom ook eens aandacht voor deze afdeling, waar B-kandidaten in 1984 het volgende examen moesten verwerken:

1. In R3 zijn ten opzichte van een rechthoekig stelsel Oxyz gegeven de punten A(4, 0, 0), C(0, 4, 0) en D(0, 0, 4).
Deze punten zijn hoekpunten van de kubus OABC.DEFG. Het punt P ligt op de ribbe DG zo dat DP = 1.
Het punt Q is het midden van de ribbe OCC. (Men mocht zelf naar de tekening kijken)

a. Bereken de afstand van P en het vlak OCF.
b. Stel een vectorvoorstelling op van de snijlijn van de vlakken EPQ en AOD.

R is een punt op de x-as;de lijn PR snijdt de lijn EQ in S.
c. Bereken de lengte van het lijnstuk RS.

2. In R2 zijn ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy gegeven
de parabool p met vergelijking y = x^2 + 4x + 3 en voor elke a E IR de lijn la met vectorvoorstelling:
(x,y) = (2,-1) + labda (-1,a)
a. Bereken de afstand van l1 en de top van p.
b. Er zijn cirkels met straal 10 en middelpunt op l1, die door het punt S(0, 3) gaan.

Stel van elk van die cirkels een vergelijking op.
c. Voor welke a geldt: la raakt p?

3. In een draaibare trommel zitten vijf balletjes die genummerd zijn van 1 tot en met 5. Nadat men de trommel aan . .. het draaien gebracht heeft, stopt deze na enige tijd. Er rolt dan aselect precies één balletje uit.
A doet het volgende experiment drie keer:
A laat de trommel draaien en schrijft het nummer op van het balletje dat er uit rolt. Daarna doet A het balletje .. terug in de trommel.
a. Bereken de kans dat A drie keer hetzelfde getal opschrijft.
b. Bereken de kans dat de som van de drie getallen die A opschrijft gelijk is aan 6.

B laat de trommel drie keer draaien.
B legt de balletjes niet terug in de trommel, maar legt ze in volgorde van verschijnen, van links naar rechts, voor zich op tafel, zo dat een getal van drie cijfers ontstaat.
c. Bereken de kans dat het door B gevormde getal groter is dan 421.

4. Van [0, 7r] naar P zijn gegeven de functies fx ->tan x en gx ->- 2 sin x. a. Los op: f(x) = g(x).
b. Teken in één figuur de grafieken van f en g.

l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A(1/4 pi, 1).
De lijn m snijdt l loodrecht en raakt de grafiek van g in punt B.
c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de coördinaten van B.

5. Van P naar P is gegeven de functie fx –> x + 3 – 4 sqrt(x).
a. Los op: f(x) >= 3.
b. Onderzoek f en teken de grafiek van f.
c. Voor welke a E (R en b E R geldt: de vergelijking f(x) = 2log (ax + b) heeft als oplossingsverzameling {4, 16}?