CE Wiskunde B

Altijd eerst Henk Pfaltzgraff lezen, nummer 704, bovenaan:

www.wiskundebrief.nl

De meningen op twitter zijn verdeeld. Thuis hoor ik:

resultaat van dit examen is frustratie van motivatie om leerlingen wat te leren.

Hoe komt zo'n conclusie tot stand? Algemeen punt van kritiek is dat alles voorgezegd wordt, geen plaatje hoef je zelf te tekenen en bijna alles mag (lees wellicht moet) met de GRM. Dit adagio blijft aldus richtinggevend:

"IT use is expected to contribute to the visualization of concepts, and can free students from carrying out operations by hand, thus directing their attention towards concept development and problem-solving strategies. In this way, IT use might lighten the traditional algebra curriculum for them. In the meantime, the integration of technology raises questions concerning the goals of algebra education and the relevance of paper-and-pencil techniques, now that they can be left to a technical device."

Maar laten we het examen eens bekijken. Onderwerp voor onderwerp zoals ik zelf de indeling zou maken.

Functies.  y=f(x) etc. 

Het examen begint met een vraag over een positieve f(x) gedefinieerd voor x>0 en betreft de oppervlakten van de vier gebieden ingesloten tussen y=0,  y=f(x),  y=g(x)=f(x)/2, x=0, x=a>0, en x=b>a. Deze oppervlakten zijn 2 aan 2 gelijk vanwege de regels van de integraalrekening en de op het examen gestelde vraag over gelijkheid van 2 van de 4 gebieden komt dus neer op een vraag over de primitieve functie F(x). Als die primitieve zo gekozen wordt dat F(0)=0 dan is de vergelijking die moet worden opgelost F(a)/2=F(b)/2-F(a)/2, i.e F(a)=F(b)/2. In de opgave is b=4 genomen en f(x) de wortel uit x. Het vinden van de primitieve is dus triviaal. De vergelijking die tot slot moet worden opgelost is twee keer a tot de macht 3/2 is gelijk aan 4 tot de macht 3/2, hetgeen veelal op de rekenmachine gebeurt, want die kan dat symbolisch. Menig kandidaat maakt hier iets met een anderhalfdemachtswortel van.

Tot zover de integraalrekening voor functies en guncties. We zien ook een som over differentiaalrekening. Met 

f(x)=f(x;a)=sin(x) sin(x-a) 

 (ik heb geen subscripts, dus de a hangt achter een punt-komma ipv aan de f)

g(x)= sin x

De functie f heeft een parameter a. Dit kan een leuke som zijn. Twee grafieken, die aan elkaar kunnen raken. Daarvoor moet je a wel speciaal kiezen. Kan dat? Dan moet je dus oplossen

f(x;a)=g(x)

f'(x;a))=g'(x)

Twee vergelijkingen voor x en a. Kunnen we dat? Wel, f(x)=g(x) geeft (i) sin(x)=0 of  (ii) sin(x-a)=1 (en dan dus cos(x-a)=0). DAARNA kijk je dan naar de afgeleiden. Die zijn 

f'(x)=cos(x) sin(x-a)+sin(x) cos(x-a)

g'(x)=cos(x)

Kunnen die gelijk zijn in de oplossingen van f(x)=g(x) die we net gekarakteriseerd hebben? 

Twee gevallen: (i) sin(x)=o geeft sin(x-a)=1 en (ii) sin(x-a)=0 geeft cos(x-a)= 1 of -1 met cos(x) = sin(x) of -sin(x).

Was dat de bedoeling?

Waarschijnlijk niet. Eerst krijgt de kandidaat de versimpelde formule f'(x)=sin(2x-a) en een oplossing. Zo zou je het probleem dus nooit oplossen lijkt me. Of het echt helpt is me niet duidelijk. Geval (i) wordt in de vraagstelling uitgesloten.

Gevolg van de formulering is dat een eigen aanpak van een leuk probleempje onmogelijk is. Differentaalrekening blijft  tot een mimimum beperkt.

In beide opgaven staan de plaatjes er al bij.

Contextwiskunde

Een som over stermagnitudes. Zie wikipedia(use language switch). Of het om absolute of apparent magnitude gaat laat ik maar voor wat het is, maar de magnitude heet m in deze som en staat in de exponent: 10 tot de macht p+qm is de helderheid L (in lux, genoemd, daarna genegeerd). De indruk wordt gewekt dat zowel L als m gemeten worden, en dat q en p uit die meetwaarden worden bepaald. Of dat zo is weet ik niet. Ik vermoed eigenlijk dat m via de (10-)log van de gemeten L wordt gedefinieerd en dus niet gemeten. De praktijkformule zou dan

q+pm=log L

als definitie van m zijn. Kortom m is de log van L, modulo wat conventies is het vakgebied dat de examenmakers bestudeerd hebben.

De kandidaat moet p en q bepalen aan de hand van twee van 6 waardenparen voor (m,L): m=1,2,3,4,5,6, met bijbehorende waarden voor L (gegeven in wat soms nog de wetenschappelijke notatie voor getallen wordt genoemd, maar zonder de fysische eenheid natuurlijk). Hij/zij krijgt daarbij de opdracht dit te doen aan de hand van alleen m=1 en m=6. Het is per slot van rekening geen Wiskunde A examen dit.

Het antwoord staat er al bij (dat is gewoonte in dit en de meeste examens bij ongeveer de helft van de opgaven). De kommagetallen p=-5.6 en q=-0.4 zijn kennelijk "exact'' (zoals dat in de terminologie van de vakdidactici heet) want met

p+qm=-6+2/5 (1-m)

kloppen m=1 en m=6 precies, maar m=2,3,4,5 natuurlijk niet (denk aan do-re-mi etc zou ik bijna zeggen). Kortom, deze ogenschijnlijke meetwaarden (ik weet nu wel zeker dat m niet gemeten wordt) zijn gefabriceerd, en de opdracht aan de kandidaat is onzinnig.

Als er bij had gestaan "bereken p en q exact" had ik de humor kunnen inzien. Maar grappig is het niet echt. In het volgende onderdeel wordt het verband tussen m en L (met de numerieke quasi-waarden voor p en q) gekoppeld aan een verband tussen L en de afstand x (van xistance, uitgedrukt in meters) van de waarnemer hier op aarde tot de ster.  Dat verband is

L=C/x^2 (een constante C gedeeld door het kwadraat van x) 

Gecombineerd met q+pm=log L is het verband tussen de magnitude en de xistance dan eenvoudig te bepalen. In welke klas stelsels vergelijkingen als 

q+pm=log L

L=C/x^2

betekenisvol worden behandeld weet ik niet, maar het antwoord hier is via eenvoudige letteralgebra en de definitie van de 10-log 

m=(log L)/q – 2 (log x)/q – p/q

(watch your p's and q's).

Aan de kandidaat wordt gevraagd om dit met de expliciete quasi-waarden voor p en q "exact" te "bewijzen". Wat we hier zien vertoont grote overeenkomsten met wat we in de rekentoets zien en kan zo behandeld worden in de nascholing over WDA.

Wel aardig vond ik de overwegingen bij de magnitude van een dubbelster. Maar de kandidaat die dat ook vond zal daar niet voor beloond worden vrees ik. 

Het onderwerp besluit met de consequenties van een veranderende xistance x=x(t). Gevraagd wordt een toepassing van de kettingregel voor m via x als functie van t. Ook dit doe je natuurlijk nooit eerst met expliciete waarden voor p, q en C (de laatste valt eruit). De eenheden in dit onderdeel zijn meter (voor afstand) per jaar voor de snelheid. Parsecs of AU's zijn gebruikelijker zie ik als ik even google.

Om verdrietig van te worden deze opgave. Vermomd breukrekenen met de rekenmachine zoals men het in het TAL-project zo graag ziet, aangevuld met de quasi-realistische getallen die zo typerend is voor alles dat voortbouwt op de referentiekaders rekenen.

Niet los te zien van de discussie die ik hier aanga:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/slo

Functies in context

Tussen beide voorgaande onderwerpen ligt een opgave over harde bollen en hardheidsmetingen. Wel aardig, maar alle wiskunde wordt weer voorgezegd waarna het rekenwerk weer reduceert tot letteralgebra en via de omgekeerde zwaartekrachtsversnelling de kommagetallen gelukkig pas laat weer te voorschijn komen. Waarom stralen van bollen niet gewoon r of R mogen zijn in plaats van 5 blijf ik me afvragen. 

Parametervoorstellingen. x=x(t),y=y(t) etc

Zulke formules worden abusievelijk bewegingsvergelijkingen genoemd maar dat terzijde. In dit examen zit een een opgave over twee eenparige cirkelbewegingen, allebei met middelpunt (x,y)=0, allebei (voor de verandering) beginnend op de positieve y-as, allebei dezelfde kant op. De straal en hoeksnelheid van de ene cirkelbeweging zijn 2 keer zo groot als die van de andere cirkelbeweging en daarna volgen een paar vragen. Bijvoorbeeld waar het ene punt zich bevindt als het andere punt de assen snijdt. Even nadenken zonder rekenen leert natuurlijk dat het andere punt dan op 1 van de assen of 1 van de diagonalen ligt. De andere vraag, wanneer het verbindingslijnstuk horizontaal staat (bedoeld wordt evenwijding met de x-as), vergt wel rekenwerk. Zou een leuke en goede som kunnen zijn. 

Echter, U zult in de opgave de omschrijving hierboven in een heel andere vorm zien. De bewegingsvergelijkingen (bedoeld wordt parametervoorstellingen) worden expliciet gegeven, met de kleinere beweging genormaliseerd tot x=sin t, y=cos t en de grotere dus x=2sin2t, y=2cos2t. De plaatjes staan erbij. Visualiseren of algebraiseren is er dus weer niet bij. En de rekenopgave mag gewoon via het intikken van de vergelijkingen en een druk op de knop. Wie netjes eerst een vierkantsvergelijking voor cos t afleidt die twee oplossingen heeft (waarnaar gevraagd had kunnen worden) komt bedrogen uit. Dat was niet de bedoeling.

Vlakke meetkunde

Twee opgaven met een cirkel ingeklemd tussen twee lijnen die een scherpe hoek maken. De eerste met heel veel tekst, de tweede kaal en een vraag over een niet bijzonder punt F op die cirkel. Gevraagd wordt naar de andere cirkel door F ingeklemd door dezelfde lijnen. Door de vraag heen zit een hint in de vorm van een parabool met F als brandpunt en 1 van de 2 lijnen als richtlijn. Je moet het middelpunt van die andere cirkel tekenen. Bedoeld wordt construeren en daar heb je die parabool voor nodig. Ik vermoed dat de kandidaten voor dit soort sommetjes zijn voorgeprogrammeerd. Ik ben dat niet. Maar afgezien daarvan wel aardig. Correct zou geweest zijn: gebruik de parabool om het andere middelpunt te construeren. Ik vrees dat ik hier punten had laten liggen. Het gegeven punt definieert twee cirkels. De middelpunten liggen op  de bisectrice en de parabool snijdt die bisectrice in de middelpunten.

Het plaatje bij de eerste opgave laat meteen zien dat er een symmetrie is waaruit de uitspraak volgt. 

En dan waren er nog twee opgaven over wat een enkeling wel eens het koordenfetisjisme noemt. Die laat ik nu even voor wat ze zijn. Ik hoor dat het antwoordmodel een verbeterde versie van het koordenfeitje niet toestaat. Is gepost op het NVvW forum. Daar is te lezen, van een school uit Leiden:

"In de stelling van de constante hoek, "De omtrekshoeken van een boog zijn allemaal even groot", doet het er op grond van symmetrie, of mooier nog, op grond van een continuiteitsargument, natuurlijk niet toe waar die boog ligt. Onze leerlingen weten dat. De eis van het cv om toch een bewijs via bv de middelpuntshoek te vragen benadeelt de leerlingen die dit stukje meetkunde, de vlakke meetkunde uit het VWO wiskunde B programma, echt snappen. In plaats daarvan beloont het een vorm van domheid, het idee namelijk dat er nog een uitgebreid bewijs nodig zo zijn om te laten zien dat de plaats van de koorde niet van invloed is." 

Ik geloof niet dat deze mening veel bijval krijgt. Het geredeneer met hoeken is in de visie van de programmamakers bij uitstek het domein om het netjes redeneren op basis van de in de stof gegeven feitjes (het verkleinwoord hoef niet denigrerend opgevat te worden) te toetsen. Dat is een keuze, gebaseerd op het idee dat de axiomomatische opzet van de Euclidische meetkunde daartoe geschikt is. Los daarvan, hier zien weer een argument om de eerste correctie eerst door de eigen leraar te laten doen want die weet op welke punten hij/zij de standaardstof heeft aangepast en verbeterd.

Naar aanleiding van de reacties

De discussie gaat niet alleen over makkelijk of moeilijk. Onderscheidend was dit examen niet denk ik. Belangrijk vind ik de discussie over zin of onzin. Onzin is sterk aanwezig op dit examen merk ik tijdens mijn analyse. Dit betreft de magnitudesommen.

In de derde reactie hieronder wordt het juiste onderscheid gemaakt dat ik op twitter in de discussie niet zie. Of je zonder de parabool met passer en liniaal het tweede middelpunt kunt construeren weet ik niet zeker. Zie

en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number

Het probleem bevat 3 parameters: de y-coordinaat a van F als je z'n x-coordinaat 1 neemt, en het ene middelpunt op de bisectrice y=bx. Gegeven 0<b<a heb je een kwadratische vergelijking voor x. Als je 1 van de twee oplossingen daarvan meegeeft dan… Je begrijpt dat ik dit leuk vind. Van welke aanpak de leerling meer leert is een kwestie van smaak. 

Nieuwe examenprogramma's wiskunde

www.beteronderwijsnederland.nl/content/nieuwe-examenprogrammas-wiskunde-het-onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige-denkactiviteiten