Robert E. Eicholz, Phares O’Daffer, J. W. van ’t Hof & P. Wagenaar (1968/1973). Elementair wiskundig rekenen voor basisscholen. 8. Van Gorcum. Kennelijk is dit een vertaling door Van ’t Hof en Wagenaar van de Amerikaanse uitgave geschreven door Eicholz en O’Daffer.
De titel is een onhandige vertaling van ‘Elementary School Mathematics’, wat in het Nederlands volgens mij nog steeds gewoon ‘Rekenen’ is. Zoals het Amerikaanse ‘problem-solving’ in de rekencontext gewoon ‘het maken van opgaven’ betekent (Van Dale Engels-Nederlands is daar veel te kort over: het zou altijd probleemoplossen zijn; maar een problem kan zowel een probleem als een opgave zijn, dus iets om op te lossen, of om te maken).
Het ziet er voor mij uit als een gewoon rekenboekje uit die tijd, met plaatjes, meer redactiesommen en flauwe rekenopgaven zoals ik die uit mijn eigen lagere-schooltijd niet ken (begin vijftiger jaren). Wat me opvalt is dat voor het delen ook de hapmethode wordt behandeld. Zou Treffers dat happen aan een bestaande rekenmethode hebben ontleend? Voor vermenigvuldigen gaan Eicholz & O’Daffer gewoon uit van het standaardalgoritme, no nonsense. Van kolomsgewijs cijferen kom ik in dit deeltje geen sporen tegen.
Een en ander in het kader van mijn zoektocht naar de herkomst van het gedachtengoed van de Freudenthal-groep. Een vondst zoals hier bij Eicholz & O’Daffer doet mij vermoeden dat de voorstanders van realistisch rekenen die hapmethode voor het delen ten onrechte aanzien voor een kroonjuweel uit de Wiskobas-tijd, al dan niet als herontdekking van Egyptisch rekenen.
Adri Treffers & Anneke Noteboom (2000). Willem Bartjens, 19 nr 1, 11-41. pdf
Treffers & Noteboom biedt vermakelijke lectuur. Het kolomsgewijs delen, bijvoorbeeld, wordt behoorlijk opgehemeld:
- Ziehier de meerwaarde van de kolomsgewijze aanpak: een nadruk op het schatten, en het bieden van ruimte voor gedifferentieerde aanpakken en oplossingen. Ook de aandacht voor de restproblematiek is nieuw ten opzichte van de traditionele leergang van de staartdeling. En tenslotte is nieuw de zorg waarmee het schema van de staartdeling gezamenlijk wordt geconstrueerd vanuit het overzichtelijk afschatten.
‘Breng het met mooie woorden’, adviseerde de retoricus.
‘Laat me je empirische onderzoek zien’, vind ik toch een stuk aantrekkelijker.
Voor meer materiaal over het delen in het rekenonderwijs, zie HIER, de rekenproject-pagina over delen [het materiaal op deze pagina is een eerste aanzet; het is de bedoeling uiteindelijk een of enkele rekenblogs over de thematiek te componeren]
Anneke Noteboom
Dezelfde Anneke Noteboom die als lid van de KNAW commissie Lenstra zich mocht buigen over realistisch rekenen versus traditioneel rekenen.
Anneke deed
de presentatie in het Spoorwegmuseum van het Lenstra-rapport. Dat deed ze best leuk en op zich was die bijeenkomst wel geslaagd, met goede discussies met het publiek. Het gestook van Marja kon daar niets aan afdoen. Misschien dat Anneke bereid is nu afstand te nemen van wat er mis is gegaan onder de regie van Anne van Streun. Zie
beteronderwijsnederland.net/node/7933#comment-65192
Joost Hulshof
Math Education: An Inconvenient Truth
Film vanaf 7:00 ‘long division’ (staartdeling).
Mental math, every day math, newmath,
wel Paul, wie gelooft nog dat de FI-ers deze flauwekul uit Nederland hebben weten te weren?
Antwoord: de FI-ers.
Joost Hulshof
inderdaad,
zo leerden de kinderen RR-vermenigvuldigen.
Een som als 27 x 483, werd dan
21 + 560 + 2800 + 60 + 1600 + 8000.
En dan cijferend optellen (dan mag het wel).
delen heet voortaan aftrekken
Dit om het rekenwerk inzichtelijker te maken.
Bij het meest inzichtelijke geval trekt een leerling steeds 4 af van die 136, net zolang tot er niets meer overblijft.
Merk op dat er wel cijferend moet worden afgetrokken, met lenen enzo. Heel vaak dus, met een grotere kans op uitglijders onderweg.
Maar het mag ook iets vlotter: de leerling mag ook een groepje van 20 x 4 in een keer aftrekken.
Merk op dat de leerling wel moet zien (weten?) dat 20 x 4 = 80. Dat je dan 2 x 4 met een nul erachter kunt doen (oeps..! een cijfertrucje komt zomaar om de hoek kijken).
Of gaat de leerling een apart blaadje pakken om daar 20 + 20 + 20 + 20 uit te rekenen?
Maak de getallen groter en zeer vermoedelijk zien al plussend en minnend de meeste kinderen door de bomen het bos niet meer.
Waar de staartdeling de getallen zo klein en overzichtelijk mogelijk weet te houden.
De inzichtelijke wijze is goed als introductie, maar faalt als gereedschap bij steviger rekenwerk.
wat betekent 136 : 4 voor een kind?
Voor welke leefsituatie van het kind is deze uitkomst van belang? Vernieuwers willen toch functionele gecijferdheid (Mieke van Groenestijn)?
Betekent het: we gaan 136 opdelen in groepjes van 4?
Of betekent het: we gaan 136 in 4 stukken verdelen?
Of betekent het: we gaan net zolang groepen van 4 aftrekken tot alles op is.
Of betekent het: ontdek hoeveel keer 4 136 oplevert.
Denkt men werkelijk dat de meeste kinderen nu beter gaan rekenen omdat zij het bovenstaande nu helemaal zijn gaan begrijpen?
M.i. is delen nog steeds gecompliceerde abacadabra voor die kinderen, en zien ze verlangend uit naar de eenvoudigste manier om tot het goede antwoord te komen.
Een spel?
@ Moby
Zeker.
Voor de basisscholier heeft het rekenen vooral of uitsluitend betekenis binnen de context van de school. Het is toch opvallend hoe blind de Freudenthal-group is voor dit context-fenomeen. Vanuit die verblinding krampachtig proberen om het rekenen voor de kinderen betekenisvol te maken met contexten van buiten de school . . . . . dat moet wel tot mislukken gedoemd zijn.
Als het inderdaad zo is dat het rekenen voor de leerlingen betekenis heeft als schoolse activiteit, dan volgt daaruit dat de didacticus er verstandig aan doet om met die stroom mee te gaan, in plaats van ertegenin. Vat het rekenonderwijs op als een lange introductie in een boeiend spel met cijfers en getallen, een spel dat volgens strakke spelregels loopt; zoals wel vaker met spelregels: je hoeft ze niet meteen ook op hoog niveau te begrijpen, en sommige regels zijn natuurlijk ook gewoon onbegrijpelijk (zo hebben we het nu eenmaal afgesproken, Jan Kees). Zet het spel wel verantwoord op: de wiskunde moet natuurlijk kloppen (wat tegenwoordig verre van vanzelfsprekend is), en de introductie in het spel moet evengoed didactisch verantwoord zijn. Het spel moet na de basisschool voortgezet kunnen worden, uitgebouwd, praktisch uitgebuit.
Laten we ophouden om al van de jongste leerlingen wiskundige denkertjes-in-de-dop te willen maken, om van alle leerlingen creatieve probleemoplossers te willen maken. Laten we ophouden om ze voortdurend te laten begrijpen, zonder ze de kennis mee te geven die juist een voorwaarde is om tot enig begrip van zaken te kunnen komen.
Het spel van de staartdeling. Is dit zinvol? Lieven Verschaffel heeft met collega’s interessant onderzoek gedaan naar de enorme moeite die leerlingen hebben om contextopgaven (gewoon redactiesommen, dus) te interpreteren zoals meester of ontwerper of meester-ontwerper hebben bedoeld, nl. wat ze buiten de school betekenen. Maar dat is niet het spel waar de leerlingen zich in bevinden.
rekenen op school
Ik denk dat het gros van de kinderen zich buiten schooltijd nauwelijks met rekenproblemen bezighoudt. Hooguit worden er vragen gesteld als ‘wat betekent 1L?’, of ‘wat betekent 2,5 km?’. Ze zullen willen kunnen klokkijken en met hun zakgeld kunnen rekenen, maar veel dieper zal het bij de meeste kinderen niet gaan.
Daarom vind ik iets als ‘functionele gecijferdheid’ een beetje een lachertje. Neem de kinderen mee naar de supermarkt en ze zullen de door jou opgeworpen vragen slechts beantwoorden omdat jij dat schijnt te willen.
De meeste leerlingen vertrouwen gewoon op de kassa-juffrouw en lopen niet door de supermarkt met rekenproblemen in hun hoofd. Eigenlijk lopen zij net zo door de supermarkt als hun moeders en vaders.
In rekenen wordt een kind niet ondergedompeld, zoals het wel wordt ondergedompeld in een pratende en lopende wereld, waardoor het ook wil lopen en praten. Gaat dat praten en lopen vanzelf? Nee hoor. Ook deze activiteiten worden voortdurend vergezeld van correcties door de ouders en de zwaartekracht.
Aangezien er geen onderdompeling in rekenen bestaat, ligt hier dus een taak voor de school. De leertijd bij uitstek (de kinderleeftijd) zou dus effectief moeten worden gebruikt. Begrip volgt later: zo blijft de ontdekkingsreis spannend.
Daarnaast zie ik bij kinderen steeds een grote kloof tussen ‘begrip’ en de sommen die volgen. Zo kon ik elke dag een vierkante meter laten zien (het zijraam van het schoolbord). Deze zichtbare werkelijkheid leidde echter niet tot het vermogen oppervlaktevraagstukken beter uit te rekenen. Voor de meeste kinderen blijven die zichtbare werkelijkheid en die vraagstukken erover, toch gescheiden werelden. Het vergt vermoedelijk volwassenwording om die zaken te kunnen combineren.
Maar kinderen zijn nog niet volwassen. Ze hebben wel een groot talent tot inprenten. Gebruik dat zou ik zeggen.
als rekenen vooral een schoolse noodzaak is
Kinderen kunnen heel goed functioneren in het dagelijkse kinderleven zonder te beschikken over rekenvaardigheden.
Daaruit kan men concluderen dat kinderen geen directe noodzaak hebben om te leren rekenen.
Alleen als we verder kijken, komt de noodzaak tot rekenen aan het licht: het huishoudboekje, het narekenen van de belastingen, een wiskundevervolg e.d.
Dat betekent dat het rekenonderwijs niet kan blijven steken in de kinderwereld, aangezien die kinderwereld het heel goed kan redden zonder te hoeven rekenen.
Dat betekent dat rekenonderwijs een toekomstig belang heeft.
En als het de school is die de noodzaak bepaalt, kan het ook de school zijn die de inhoud bepaalt.
Waarmee het inhoudsbepalende functionele rekenen voor de kindertijd naar de prullenbak kan.
Onhandig rekenen
Merkwaardig hoe de adepten van “handig rekenen” de staartdeling zo onhandig weten te maken dat het een karikatuur van een algoritme is.
Of anders gezegd: het demonstreert goed hoeveel efficiënter je een deling kunt uitrekenen wanneer je de tafels wèl paraat hebt.
Delen is natuurlijk altijd in wezen herhaald aftrekken, zoals vermenigvuldigen eigenlijk herhaald optellen is, maar om dat bij elke deling of vermenigvuldiging te laten zien is een enorme verspilling van tijd, energie, inkt en papier, en draagt alleen in het begin, maar op de lange duur in het geheel niet meer bij tot dieper inzicht.
Is delen wel herhaald aftrekken?
Je hoort het vaak: in wezen is delen herhaald aftrekken (en vermenigvuldigen herhaald optellen). Maar dat geldt alleen voor rekenen met hele getallen. Zodra je wat verder kijkt, en bijvoorbeeld gaat werken met breuken, kommagetallen of irrationale getallen verdwijnt dat helemaal naar de achtergrond, en verliest het alle betekenis. Hoezo is wortel(5) maal pi herhaald optellen? Of hoezo is wortel(5) gedeeld door pi herhaald aftrekken? Het wezen van vermenigvuldigen en delen is dat ze elkaars omgekeerde bewerking zijn: met delen door a maak je vermenigvuldigen met a weer ongedaan, en vice versa. Net zoals optellen en aftrekken elkaars omgekeerde bewerkingen zijn. Dat is wat je nodig hebt bij elke toepassing van rekenen, en, later, wiskunde. Het zijn de rekenregels die de essentie vormen. Probeer maar eens een vergelijking als
ax + b = cx + d
waarin a, b, c en d gegeven getallen zijn, op te lossen naar x. Dan doe je niets anders dan deze regels toepassen.
Door ook bij beginners steeds maar weer de nadruk te leggen op vermenigvuldigen en delen als herhaald optellen en aftrekken zet je kinderen op het verkeerde been. En naar mijn overtuiging kweek je daarmee ook geen begrip, wat dat dan ook moge zijn.
hartelijk dank voor deze andere kijk
Inderdaad: ga leerlingen die intussen ‘begrijpen’ maar eens uitleggen dat, als ze de taart al begrijpend in vieren verdelen, ze bezig zijn met herhaald aftrekken.
delingen opdelen in kleinere deelsommen
Dat is wat herhaald aftrekken doet: de grote deelsom wordt in kleinere deelsommen opgedeeld. Maar intussen blijven al die kleinere deelsommen wel het omgekeerde van vermenigvuldigen.
Wat een eye-opener.
En wat ben ik gelukkig, want ik hamerde voortdurend op die omkering.
Handig boekje
In een andere posting had ik grevraagd om mij van argumenten te voorzien over RR. Ik heb daar veel praktische en theoretische overwegingen kunnen vinden van Forumleden.
De informatie die ik hier vind sluit daar op aan.
In mijn contacten met Basisschoolleerkrachten, waar zich een dochter bij heeft gevoegd die nu een vierjarige deelcursus is begonnen aan een betrouwbaar overkomende opleiding in Rotterdam, heb ik gemerkt dat men daar overdonderd wordt met RR-methoden. De cursisten hebben te weinig overzicht van het terrein. Mijn dochter is gewaarschuwd en die klaagde al meteen toen ze voor een soort begintoets moest gaan kolomrekenen. Ze vond dat al meteen hinderlijk en vervelend, omdat zij het gelukkig nog normaal geleerd had.
Daarom: kan BON geen handig boekje maken waar kort wordt uitgelegd wat dat RR is en waar de argumenten tegen al dat gedoe systematisch worden behandeld? Of bestaat dat boekje al?
staff.science.uva.nl/~
staff.science.uva.nl/~craats/#zwartboek
Dit lijkt mij behoorlijk duidelijk voor eenieder die het wil lezen. Het heeft bij mij de ogen geopend wat er precies verkeerd gaat in het rekenonderwijs.
Ik probeer zijn betoog te parafraseren (hopelijk correct) maar lees zijn betoog waarin hij het zeer helder uitlegt.
Door steeds dezelfde algoritmen te volgen is het rekenen overzichtelijk, kweek je sterke automatismes aan (je hebt er maar een paar nodig), maximaliseer je je oefentijd en doe je zelfvertrouwen op en de meesten krijgen vanzelf tijdens het oefenen meer inzicht in getallen en in rekenkundige bewerkingen. Zij die niet dat extra inzicht ontwikkelen kunnen in ieder geval rekenen en zij zouden met realistisch rekenen net zo goed niet goed leren rekenen.
Bij realistisch rekenen moet je bij wijze van spreken bij elke ´som` opnieuw het wiel uitvinden: onoverzichtelijk, zwakke automatismes (dan weer zus dan weer zo), minimalisatie van de oefentijd, weinig zelfvertrouwen (je maakt er veel sneller fouten mee) en de meesten ontwikkelen door dit alles weinig inzicht.
Bij het realistisch-reken-onderwijs is het de intentie om vanaf het begin al veel inzicht te ontwikkelen terwijl de praktijk is dat je juist tijdens het rekenen gemakkelijker dat inzicht ontwikkelt.
Dank
Meteen gedownload, afgedrukt en doorgestuurd!
CAPTCHA meldde dat “the answer you entered was not correct”: ik had ook geprobeerd op te tellen met kolomrekenen!
heel helde opgebouwd
heel helde opgebouwd stukje!
Seger Weehuizen