Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streun [4]

Realistische rekenreferentieniveaus? De werkgroep-Van Streun en het RR-gedachtengoed

 

Eindexamentoetsen rekenen op basis van de referentieniveaus van de werkgroep-Van Streun pdf: Kunnen we dat vertrouwen?

De invoering van rekentoetsen in de eindexamens vo en mbo schrijdt met grote passen voort. De maatvoering is aangegeven door het referentiekader rekenen, en wel de F-niveaus — een minimale invulling dus, door de wetgever zo bepaald. F-niveau of S-niveau, het punt is dat dit referentiekader is ingekleurd door opvattingen die typisch horen tot het realistisch rekenen. Let wel: het referentiekader pdf werd gepubliceerd voordat het KNAW-rapport van de commissie-Lenstra over rekenen uitkwam. Deze laatste commissie was beter gebalanceerd wat protagonisten van realistisch versus degelijk rekenonderwijs betreft, en kwam met een advies dat het wat realisme in het rekenonderwijs betreft van haar mag vriezen danwel dooien. Dat schiet niet op.
We zullen dus moeten roeien met de riemen die we hebben, een mogelijk eenzijdig referentiekader, een ontwijkend standpunt van de KNAW, toenemend inzicht in het onwetenschappelijke karakter van de ontwikkelingsgang van het realistisch rekenen (blog 1 en 2 in deze reeks, more to follow), en een naderende deadline voor de rekentoetsen die deel gaan uitmaken van de eindexamens vo en mbo.

Hoe zit dat met het rekenrapport, zit het degelijk in elkaar, kunnen we erop bouwen, kunnen we het vertrouwen? Ik neem een proef op de som, om het zo maar eens uit te drukken. De som is er een die voor de werkgroep-Van Streun — verder ‘Van Streun’ — van belang is (‘Van Streun’ betekent dus niet dat ieder lid van de werkgroep vereenzelvigd mag worden met de positie die de werkgroep als werkgroep heeft gekozen). Eerst maar de som:

  • Een auto van 22.000 euro wordt 20% goedkoper. De nieuwe prijs wordt daarna nog eens met 10% verlaagd. Wat is het percentage van de totale prijsverlaging?

‘Van Streun’ gebruikt dit voorbeeld: “Om duidelijk te maken wat de strategie is waarmee de drie genoemde componenten van kennis, inzicht en vaardigheid worden gekoppeld aan referentieniveaus, werken we nu één voorbeeld van het subdomein Verhoudingen helemaal uit.” De drie genoemde componenten zijn:

  1. Paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken, vaardigheden.
  2. Functioneel gebruiken van kennis in een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak.
  3. Weten waarom, het begrijpen en verklaren van concepten en methoden, het formaliseren, abstraheren en generaliseren, het blijk geven van overzicht.

Zijn dit doelen voor een opleiding wiskunde? Welnee, het gaat om rekenen voor onder andere 12-jarigen. Aha, maar dan moet dit gedachtengoed zijn dat teruggaat naar Hans Freudenthal: basisscholieren wiskundig leren denken. Laten we zien hoe ‘Van Streun’ dit voorbeeld uitwerkt.

Maar eerst even dit. Mijn eigen idee was dat het antwoord moet zijn: 20% plus 10% van de rest = 28%. Deze oplossing komen we bij Van Streun niet tegen. Ik ben geen wiskundige, maar dat hoef je ook niet te zijn om te weten dat deze oplossing correct is. Ik kom hier straks op terug, want nu eerst de mogelijke antwoorden die ‘Van Streun’ ziet (zie voor de volledige tekst het rapport, paragraaf 2.2).
Er is nog een perverse mogelijkheid: de vragensteller geeft niet ondubbelzinnig aan waar de 10% aan is gerefereerd: aan de oorspronkelijke prijs, of aan de al verlaagde prijs. Leerlingen die 30% antwoorden, kunnen daar dus een uitstekende reden voor hebben.

Oplossing 1.
Deze oplossing loopt via de tussenstap van een vereenvoudigde versie van de vraag. Van Streun signaleert niet dat het een heel andere vraag is, want gevraagd is niet het totale kortingspercentage, maar wat de auto nu kost. Une petite différence?

    • Een auto van 22.000 euro wordt 20% goedkoper.
      Wat kost die nu?

       
      “Opgaven van dit type worden in PPON-2004 door de gemiddelde leerling (de percentiel-50 leerling) matig gemaakt. Voor referentieniveau 1S zijn wij van mening dat leerlingen deze opgave goed moeten kunnen maken. Tot het repertoire aan paraat hebben van de leerlingen behoort dan het met de hand kunnen berekenen van 20% van een mooi geheel groot getal, de situatieve kennis dat die berekende 20% van het bedrag van 22.000 moet worden afgetrokken (functioneel gebruiken) en ook nog het snel en foutloos kunnen uitvoeren van de berekening 22.000 – 4.400 = 17.600. De ambitie voor 1S is dat de percentiel-65 leerlingen deze opgave 2A vlot en goed moet kunnen maken, dat is heel wat beter dan nu het geval is.”

    • “Terug naar de oorspronkelijke opgave 2. Waar bestaat de moeilijkheid uit? We rekenen even door, nu 10% nemen van 17.600, dat er weer van aftrekken, dat geeft 15.840. Het vraagt al wat meer vaardigheid in het foutloos uitvoeren van een aftrekking met pen en papier (zie hoofdstuk 7 Getallen), maar wellicht nog wel de streefkwaliteit 1S van het eerste referentieniveau. Tweemaal dezelfde berekening uitvoeren. Nu wordt het echt lastig. De vraag uit opgave 2 moet nu getransformeerd worden naar ons berekende antwoord. Wat wordt er nu bedoeld? Hoe kom ik van 15.840 naar het antwoord op de vraag naar het percentage van de totale prijsverlaging? Die denkstap zal voor leerlingen van kwaliteit 1S, de streefkwaliteit op het eerste referentieniveau, na de voorgaande rekenpartij allicht te complex worden. (In PPON komen deze complexe samengestelde berekeningen van het type functioneel gebruiken niet voor.) De totale prijsverlaging is 6.160 euro, 1% van 22.000 is 220, dus 6.160 : 220 = 28 of 28%.”

‘Van Streun’ komt hier tot een absurde oplossing van de oorspronkelijke opgave door de onhandige tussenstap van een vereenvoudigde opgave die evenwel geen vereenvoudiging is van de oorspronkelijke opgave, maar van een variant op die oorspronkelijke opgave. Slordig. Immers, die 22.000 euro is irrelevant voor het beantwoorden van de vraag, en met het mes van Occam moeten we eventuele geldbedragen uit mogelijke oplossingen snijden.
Terzijde. Het gegoochel met streefniveaus ontgaat mij, het lijkt op de problematiek waar toepassers van de cognitieve taxonomie van Bloom in verzeild raken: vaak kun je niet weten of antwoorden op basis van kennis, of van een Aha-Erlebnis tot stand zijn gekomen; Hans Freudenthal kritiseerde die taxonomie daarop, en ik vermoed dat hij met met een taxonomie in de vorm van referentieniveaus evenmin gelukkig zou zijn. Ik kom in een afzonderlijke blog terug op de kwaliteit van de referentieniveaus als taxonomie voor indeling van bijvoorbeeld rekenopgaven.

Oplossing 2

    • “Je kunt je ook herinneren (paraat hebben) dat het vaak een goede heuristiek (een vaak succesvolle zoekmethode om je denken op gang te helpen) is om de gegeven probleemsituatie gewoon te vereenvoudigen door een simpel getallenvoorbeeld te nemen. In dit voorbeeld leidt dat zelfs meteen tot de oplossing. Neem 100 euro, 20% eraf geeft 80 euro, daar weer 10% af geeft 72 euro, dat is 72% van het beginbedrag, dus 28% korting. Het kunnen toepassen van een succesvolle strategie is een aspect van het functioneel gebruiken, waarbij dergelijke strategieën ook behoren tot het gewenste kennisbestand. Zo onderwezen en berekend mag je wellicht verwachten dat leerlingen na wat meer ervaring met procentuele veranderingen op de basiskwaliteit van het tweede referentieniveau 2F een goede oplossing kunnen vinden.”

Oplossing 3

    • “Wat je vanaf de streefkwaliteit van het tweede referentieniveau 2S mag verwachten is dat leerlingen uit die doelgroep hebben begrepen en gememoriseerd dat het bij procentuele toename of afname (dus exponentiële groei) altijd gaat om het rekenen met een vermenigvuldigingsfactor. Het beginbedrag wordt met 0,8 x 0,9=0,72 vermenigvuldigd, dus het kortingspercentage is 28%. De laatste aanpak, namelijk het zoeken van de vermenigvuldigingsfactor, is breed toepasbaar op allerlei situaties waarin exponentiele toename of afname een rol speelt. Kenmerkend voor weten waarom.”

Ik begrijp weinig of niets van wat ‘Van Streun’ hier schrijft. Zeker het antwoord is correct, maar het hoppen van percentages naar het complement van de overeenkomstige proporties is toch knap ingewikkeld (voor een leerling). Wat hier staat over begrijpen en memoriseren ontgaat mij; ik mis de verwijzing naar referentieniveaus. Verwijzen die laatste naar de oplossing van opgaven, of naar de opgaven zelf? Het eerste lijkt mij volstrekt inadequaat.
Ook oplossing 2 is mij een raadsel; zeker, de oplossing is acceptabel, maar het is een oplossing langs een omweg.
Van oplossing 1 zal ook ‘Van Streun’ achteraf wel toegeven dat dit een vergissing is.

wat is hier aan de hand?

Het gevraagde is 20% plus 10% van 80% = 28%. ‘Van Streun’ ziet deze oplossing niet eens, en geeft in plaats daarvan buitenissige oplossingen, inclusief hoe die passen in de systematiek van de referentieniveaus. Dit is ongelooflijk geklungel en gehannes, wat de wiskunde betreft. De verwarring lijkt op wat er wel eens gebeurt bij open vragen waar de handige leerling het antwoord niet op weet, en dan antwoordt met een uiteenzetting over iets dat hij of zij wél weet. De docent die zo’n antwoord gaat honoreren omdat het op zich blijk geeft van toch wel enige kennis, maakt een ernstige beoordelingsfout.
De oplossingen die “Van Streun’ geeft zijn gekenmerkt als gedachtengoed van realistisch rekenen: kromme wegen tot een oplossing zijn ook goede oplossingen en het is prima wanneer leerlingen die als zodanig hebben geleerd, enzovoort. Op deze kant van het rekenrapport kom ik eveneens in een volgende blog nog terug, want het kan toch niet zijn dat rekentoetsen in de eindexamens vo in feite ‘realistisch’ rekenen toetsen, in plaats van degelijk rekenen? De wettelijke onderwijsdoelen voor rekenen zijn toch niet verschoven, nu het parlement die referentieniveaus heeft overgenomen?
NB: wat ik nog niet wist bij het schrijven van deze blog: de wetgever heeft het realistisch rekenen al veel eerder in de kerndoelen van het rekenonderwijs geschreven! Zie blog 7591

Mijn vertrouwen in het rekenrapport is al beschaamd, nog voordat ik aan hoofdstuk 3 toe ben. Gaat ‘Van Streun’ zijn stempel drukken op de inhoud van het rekenonderwijs in het vo, inclusief de toetsing in de eindexamens?

Literatuur

  • Wet van 29 april 2010 tot vaststelling van regels over referentieniveaus voor de taal- en rekenvaardigheden van leerlingen (Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen). Staatsblad. pdf
  • Besluit van 17 juni 2010, houdende vaststelling van referentieniveaus Nederlandse taal en
    referentieniveaus rekenen (Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen). Staatsblad. pdf

  • Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep
    Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf

  • Commissie-Meijerink / werkgroep-Rijlaarsdam-van den Berg / werkgroep-Van Streun (2008). Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. Taal. Rekenen. Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf

  • Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool. pdf

  • Nieuwe NWO-subsidies ‘Rekenen in het primair onderwijs’ 1 november 2010 html

Voorgaande blogs

  1. Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456
  2. Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485

  3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520

Volgende blog

  • Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555
  • Wat de bewindslieden de Kamer hebben toegezegd over de rekentoets-vo en referentieniveaus 7577

5 Reacties

  1. Sterke analyse Ben
    Het voorbeeld is typerend voor een deel van de realistisch rekenen problemen. Uitgangspunt lijkt steeds te zijn dat rekenen (of wiskunde) in de ogen van de opstellers een bepaald probleem moeilijk maakt. Ik bedoel: als je hetzelfde probleem zonder rekenen of wiskunde kunt oplossen, dat het dan makkelijker zou zijn. Een beetje zoals op de achterkaft van populair wetenschappelijke boeken staat dat de ingewikkelde wiskunde is vermeden. Bij dergelijke boeken is dat wellicht begrijpelijk: het onderwerp wordt toegankelijk gemaakt voor mensen die over weinig wiskundevaardigheden beschikken, maar bij scholen gaat het er toch om dat kinderen juist wel wat leren en als vaardigheid in rekenen en/of wiskunde handig is om later natuurkunde en economie te begrijpen, dat dan dat rekenen wordt aangeleerd.

    Maar het is niet alleen voor vakken natuurkunde en economie dat het handig is om wiskunde te leren. Dat is ook zo voor wiskunde. Om beter wiskunde te leren, of om beter rekenen te leren, moet je wiskunde leren/rekenen leren. Ik bedoel hier geen taalspelletje te spelen, maar zal het illustreren aan de hand van een voorbeeld: rekenen met procenten op de basisschool. Een van de didactische hulpmiddelen om kinderen te leren rekenen met procenten is de verhoudingstabel. Dat is een tabel met twee rijen en meerdere kolommen (4 – 8). Als bv 15% van €50 moet worden uitgerekend, dan staat in de eerste kolom bovenin 50 en daaronder 100 (€50 is 100%). Leerlingen kunnen dan in stappen naar 15% toewerken, bv door in de tweede kolom onderin 10 te zetten (10%) en te berekenen dat dan bovenin 5 moet staan. Om naar 15% toe te werken, moet (kan) eerst 5% worden uitgerekend, dus wordt 5 op de derde plek onderin gezet en (5 is de helft van 10) wordt bovenin 2,50 geplaatst (de helft van 5, in de vorige kolom). Het resultaat voor 15% krijgt de leerling dan door de tweede en derde kolommen bij elkaar op te tellen. Onderin staat dan 15 en bovenin het gezochte antwoord: 7,50
    Dat lijkt een inzichtelijke manier van werken, het is een geschematiseerde versie van een naief (maar juist) denkproces. Toch prefereer ik de algebraische oplossing: 15% van €50 = 0,15*50. Dat is niet alleen veel sneller en vergt minder rekenwerk, maar bereidt ook voor op het gebruik van procenten in formules later. De algebra past daar wel in, maar de verhoudingstabel is toch verrekte lastig in een rente op rente formule te plaatsen. Wiskunde maakt het leven dus eenvoudiger en dat is natuurlijk ook precies de historische reden waarom het zich allemaal zo heeft ontwikkeld. Naïeve informele contextgebonden redeneringen blijven beperkt tot de eenvoudigste toepassingen en zijn zelfs daar verre van “handig”.

    • Ingewikkeld doen om het begrijpelijk te maken
      Inderdaad is een markant verschijnsel in het realistisch rekenen dat de didactiek de zaken juist ingewikkelder maakt voor de leerling dan noodzakelijk is. Hier ontbreekt bij zowel Hans Freudenthal als bij de Freudenthal-groep ieder zicht op wat er in psychologische zin gebeurt: om een algoritme A begrijpelijk te maken, wordt vaak een algoritme B geïntroduceerd, bovendien vaak in een context C en D. Dat leidt geheid tot wat tegenwoordig wordt aangeduid als cognitive overload. Maar we hebben al dat beroemde artikel uit de vijftiger jaren:

      • Miller, G. A. (1956/1994). The magical number seven, plus or minus two: Some limits on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81-97. Partially reprinted in Psychological Review, 101, 343-352. html
      • Baddeley, A. (1994). The magical number seven: Still magic after all these years? Psychological Review, 101, 353-356. pdf

      Kortom, dit onderwerp zal nog uitvoerige aandacht krijgen in toekomstige blogs (de misvattingen in de psychologische en filosofische grondslagen van het werk van HF en zijn groep).

  2. Link
    Ben, de link die je geeft is niet naar het specifieke rapport van ‘Van Streun’ waar je uit citeert. Dat rapport kan hier gevonden worden.

  3. De staat van het onderwijs
    Ben gaat vooral in op wat deze opgave 2 zegt over ‘Van Streun’. Ook interessant is echter wat er in het rapport staat over hoe slecht leerlingen scoren op deze opgave.

    Zo staat er:

    De instroom van de pabo in het 2006-onderzoek behaalde een 20% goed score op deze opgave 2.

    en

    In PPON-2004 kon de top 10% van de leerlingen een soortgelijke opgave matig maken, dat wil zeggen: de kans dat een leerling uit de top 10% deze opgave goed maakt ligt tussen 0,5 en 0,8.

    Schokkend.

    • Rekenprestaties in de 21 eeuw
      Over de rekenprestaties van Nederlandse leerlingen is al enkele jaren een hoop gedoe. Ook Marja van den Heuvel-Panhuizen kon er niet meer omheen, en ging er in haar inaugurele rede op in. Zij erkende dat de basale rekenvaardigheden sterk zijn teruggelopen (PPON-2004, rapportage Cito) in de laatste decennia, de decennia waarin op realistisch rekenen gebaseerde methoden het hele onderwijsveld hadden veroverd.

      Ik vermoed dat de werkelijke situatie voor het reken- en wiskundeonderwijs ernstiger is dan Marja bereid is te erkennen: die basale rekenvaardigheden zijn immers een noodzakelijke voorwaarde om ooit verder te komen met rekenen en wiskunde.

      Om dat vermoeden om te zetten in harde argumenten, is het nodig om een diepere analyse van de rekenproblemen te maken dan bijvoorbeeld de commissie-Lenstra heeft kunnen doen. Tot die diepere analyse hoort zowel het uiteenrafelen van het theoretische kader waarop het realistisch rekenen berust (vooral door Adri Treffers in vele publicaties verwoord), inclusief het ontbreken van het noodzakelijke empirische onderzoek (zoals al door ‘Lenstra’ aangegeven), als een analyse op het niveau van afzonderlijke toetsvragen. Zoals deze autosom. Ik zal er nog vele blogs voor nodig hebben, daarom heb ik in de huidige blog afgezien van vermelding van die 20% score van aankomende pabo-studenten.

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.