Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” [1]

 

  • Hans Freudenthal (1968). Why to teach mathematics so as to be useful. Educational Studies in Mathematics, 1 3-8.

Dit is het eerste artikel in dit door Hans Freudenthal opgerichte tijdschrift. Hij doet er de stevige uitspraak dat de meeste mensen er niet in slagen kennis van rekenen en wiskunde in het latere leven praktisch te gebruiken. Nee, geen bewijs daarvoor. Let op: het is in de ontwikkeling en achtergrond van realistisch rekenen een telkens terugkerend probleem dat uitspraken die een empirisch karakter hebben de bijbehorende empirische onderbouwing moeten ontberen. p. 4:

  • Much has been done to investigate the learning process, though it is a fact that most of this research has been rather laboratory than classroom-oriented. Very little, if anything, is known about how the individual manages to apply what he has learned, though such a knowledge would be the key to understanding why most people never succeed in putting their theoretical knowledge to practical use. [p. 4]

Dit credo van wiskobas en realistisch rekenen, dat het traditionele rekenonderwijs faalt omdat vrijwel niemand het geleerde ook werkelijk gaat toepassen, lijkt dus zijn wortels te hebben in het denken van Hans Freudenthal, niet in enige empirisch onderzochte werkelijkheid. Een mainstream psycholoog/onderwijsonderzoeker zou korte metten maken met deze stelling, vooral ook op de volgende misschien onverwachte wijze.

Laten we omwille van het argument eens veronderstellen dat kennis in het basisonderwijs opgedaan, in het latere leven weinig blijkt te worden gebruikt in situaties waarin het best wel handig zou zijn om die oude kennis toe te passen. Veronderstel dat dat dan ook voor rekenvaardigheid zo is. Waarom zou een andere methode voor rekenonderwijs daar een belangrijke verandering in kunnen brengen? Een verandering in positieve zin bovendien? Door allerlei denkbeeldige latere situaties uit het na-schoolse leven binnen te brengen in het onderwijs?
Waar zijn we dan mee bezig? Het onderwijs is juist een vrijplaats om zonder last van praktisch nut en noodzaak kennis en vaardigheden op te doen.

Wie dit niet overtuigend vindt, gaat voor de empirische toets: rekenen de kinderen na die nieuwe rekenmethode in onverwachte situaties vaker/beter dan wanneer zij traditioneel rekenonderwijs zouden hebben gehad? De nu beschikbare resultaten uit peilingsonderzoek (PPON) doen de vraag rijzen of leerlingen überhaupt nog wel kunnen rekenen, of leerlingen die zich in onverwachte situaties realiseren dat ze iets zouden willen uitrekenen (succes!) dat vervolgens nalaten omdat ze niet weten hoe (mislukt!).

Het is een aardig artikel, Freudenthal presenteert een voorloper van de ‘didactische inversie’, een inzicht dat onderwijsontwikkelaars goed zouden kunnen gebruiken (de didactische inversie is de misvatting van bijvoorbeeld New Math dat de huidige opbouw van een wetenschap zoals wiskunde, tevens het didactische pad geeft dat het onderwijs in dat vak moet aflopen). (hier de eerste pagina) Leden van de KB kunnen het tijdschrift via JSTOR (menu bestanden) vinden en het artikel dan downloaden.

Jammer dat Hans Freudenthal in 1968 meent dat psychologen niets te vertellen hebben over leerprocessen, of het verwerven van expertise, buiten het laboratorium. Toch maak ik me sterk dat Freudenthal ‘Het denken van den schaker’, proefschrift van A. D. den Groot, tot stand gekomen met medewerking van Euwe, wel heeft gelezen. Waar Freudenthal evident niet van op de hoogte is: de enorme verdienste die psycholoog Edward Thorndike heeft gehad voor de vernieuwing van het Amerikaanse rekenonderwijs direct na W.O. I. (Suppes, 1982 pdf), niet als na te volgen voorbeeld, maar als demonstratie van de power van de psychologie anno 1920.

    • A. D. de Groot (1946). Het denken van den schaker. Een experimenteel psychologische studie. Noord-Hollandsche Uitgevers Maatschappij. Proefschrift UvA. integrale tekst op dbnl helaas zonder de afbeeldingen van schaakstellingen (DBNL heeft rechtenproblemen voor heel zijn website) (Engels: (1965). Thought and choice in chess. Mouton)
    • Patrick Suppes (1982). On the effectiveness of educational research. pdf (eerst gepubliceerd door SVO, Den Haag)
    • E. L. Thorndike (1922). The psychology of arithmetic. New York: Academic Press. pdf 8Mb

Overigens ben ik van mening dat dit soort kortzichtigheid van (een buiten het eigen vakgebied opererende hoogleraar wiskunde) Hans Freudenthal het Nederlandse rekenonderwijs schade heeft berokkend.

  • In 1971 werd Freudenthal hoogleraar-directeur van het nieuw opgerichte Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs in Utrecht. Dit instituut werd voor hem het middel om zijn onderwijstheorieën aan de praktijk (van het klaslokaal) te toetsen en te ontwikkelen, alsook om zijn gedachtegoed verder uit te dragen.

Het ‘toetsen aan de praktijk van het klaslokaal’ gaat in het IOWO ‘ontwikkelingsonderzoek’ heten, en wordt geëxporteerd als ‘design research’. Kijken of dingen werken is natuurlijk helemaal geen gek idee. Het gaat hier evenwel niet om industrieel ontwerpen maar om het ontwerpen van onderwijs. Het wetenschappelijk naïeve ontwikkelingsonderzoek van Freudenthal en zijn team is niet bestand tegen eenvoudige waarnemingsfouten, en zeker niet in staat de doelmatigheid van realistisch rekenen tegenover andere methoden te toetsen. Om over de effecten op lange termijn, zoals die nu op basis van PPON-onderzoeken naar buiten komen, maar helemaal te zwijgen. Zie blog 7616 die in zijn geheel is gewijd aan de weigering van Freudenthal en zijn groep om empirisch toetsend onderzoek te verrichten op het rekenonderwijs dat zij claimen zo fantastisch te zijn.

Ik moet nog verduidelijken dat deze blog slechts een camel nose is. Ik laat zien hoe onthullend een enkele karakteristieke uitspraak van Hans Freudenthal de onderwijskundige is. Dat raakt onmiddellijk aan enkele karakteristieke problemen in het realistisch rekenen, zijn ontwikkelingsgang, en zijn promotie. Blogs zoals deze zijn er bij tientallen te schrijven, zonder in herhaling te hoeven vervallen, maar waarbij wel de problematische kanten van het realistisch rekenen steeds beter verbonden raken. Waarachtig, het laatste lijkt wel te berusten op een van Treffers’ vijf beginselen van realistisch rekenen! Ik beloof hierbij vast om binnen een week een tweede blog te schrijven, wederom aanhakend bij een karakteristieke Freudenthal-uitspraak.

Ben Wilbrink

documentatie

discussie

  • De Rekencentrale. Discussie 2007 tussen Jo Nelissen (FI) en Rob Milikowski. pdf

  • M. van Zanten & K. Buijs (2009). Aandachtspunten voor verbetering van het reken- wiskundeonderwijs. Een dubbelinterview met A. Treffers en K. van Putten. Panama-Post, 28 #1, 76-83. pdf

  • Bea Ros (2009). Staartdelen of happen? Een pittig tweegesprek over rekenen. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 4-8. pdf

actueel

  • Sectie Schoolpsychologen van het NIP (Nederlands Instituut van Psychologen) komt bijeen op maandagochtend 18 februari a.s. Van 10:5 tot 12:15 bespreekt Marisca Milikowski van ‘De Rekencentrale’ over problemen die kinderen kunnen hebben met het rekenen, en hoe ze te helpen. Dat gaat dus ook over problemen die gerelateerd zijn aan het realistische van het realistisch rekenen. Meer info: www.psynip.nl sectie Schoolpsychologen.

sleutelpublicaties: de psychologie

  • John R. Anderson, Lynne M. Reder, & Herbert A. Simon (2000, Summer). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review. pdf

sleutelpublicaties: empirisch toetsend onderzoek

  • Commissie-Lenstra (2009) pdf

    • Empirisch toetsend onderzoek over realistisch rekenen is door het FI niet gedaan.

sleutelpublicaties: de wiskunde

  • The Mathematis Teacher of March 1962 & American Mathematical Monthly of March 1962: On the mathematics curriculum of the high school. html

    • (…) memorandum was composed by several of the under-signed and sent to 75 mathematicians in the United States and Canada.

sleutelpublicaties: kritiek op realistisch rekenen

  • Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.

  • Tom Braams & Marisca Milikowski (Red.) (2008). De gelukkige rekenklas. Boom.
    • recensie door Bram van Asch in Euclides, 85, 93 pdf
  • Mad Math en Math War. Themanummer Onderwijskrant & O-ZON-katern, juli-augustus-september 2008. pdf
  • Marisca Milikowski (2009). Op zoek naar het verdronken kalf. Tijdschrift voor Orthopedagogiek, 48, 216-219. doc

    • Laat kort en krachtig zien dat het realistisch rekenen een behoorlijk theoretisch kader ontbeert (de psychologie deugt niet) en het ook nog eens zonder empirisch toetsend onderzoek moet stellen, een onzalige combinatie

sleutelpublicaties: verdediging van realistisch rekenen

  • Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf

  • Marja van den Heuvel-Panhuizen. (2010?). Reform under attack — Forty years of working on better mathematica thrown on the scrapheap? No way! Keynote presentation, MERGA33: Shaping the Future of Mathematics Education

  • Marjolein Kool en Ed de Moor (2009). Rekenen is leuker [dan] als je denkt. Bert Bakker.
    • recensie door H. Brandt Corstius in nrc-recensie 29-1-2010 html
  • Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
    • Een openhartig verhaal van Adri Treffers over wat hem boeit in het rekenonderwijs, en hoe goed het realistisch rekenen is, zonder te vervallen in een nadrukkelijke verdediging van dat laatste.

Volgende blog
Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” Onderwerp: Empirische uitspraken behoeven empirische toetsing; casus de staartdeling.
beteronderwijsnederland.net/node/7485

76 Reacties

  1. we rekenen meer dan we denken
    Ik denk dat we in het dagelijks leven vaker aan het rekenen zijn dan we beseffen. Denk alleen maar aan het feit dat iedereen zijn huishoudboekje in de gaten moet houden.
    Daarnaast legt de basisschool de basis: we weten niet wat al die kinderen na de basisschool nog gaan doen en daarom dient de aangeleerde basis breed te zijn. En echt aangeleerd.

    Een voorbeeld van het mislukte alternatief was het systeem van herhaald aftrekken bij deelsommen. De nieuwe methode was dermate omslachtig dat ze niet in andere situaties kon worden gebruikt. Bij redactiesommen b.v., was het erg handig als je vlot even een delinkje kon maken. Wie zich dan met het alternatief moest behelpen, raakte alle overzicht kwijt: te veel bewerkingen voor 1 som. Vandaar dat de gewone staartdeling veel handiger was.
    Maar de kernfout was dat men met ‘inzicht’ tevreden leek.
    Terwijl inzicht zonder kennis nog veel gemakkelijker en sneller verwaait. Waardoor bij een leergang rekenen, manco op manco en gebrek op gebrek wordt gestapeld.

  2. 3 x 6 = 18; begrijpen en weten
    Deze som is een voorbeeld dat laat zien dat inzicht alleen niet voldoende is.
    Met kleurplaten, echt materiaal enz, kun je de kinderen inderdaad laten begrijpen dat 3 x 6, 18 is. Maar wie het daarbij laat, zorgt ervoor dat het kind de verdere leergang steeds weer moeilijkheden ondervindt als in bewerkingen snel 3 x 6 moet uitrekenen.
    Daarom: inzicht is nuttig, maar vervolgens moet de kennis die voortvloeit uit het inzicht, grondig worden aangeleerd. Want alleen als inzicht kennis is geworden, kan men verder bouwen.

    • hoewel…
      Bij nader inzien is het misschien zelfs beter de 6- of 7-jarige de tafels gewoon maar te laten leren, en inderdaad te verwachten dat het begrip later wel komt.
      Want is de wereld van het getal voor de beginnende leerling niet sowieso onbegrijpelijk en ‘magisch’?
      Dat een aantal vingers ‘drie’ wordt genoemd, wat valt daar aan te begrijpen? Dat moet gewoon worden aangeleerd. Dat, als je de drie rijtjes van 6 bolletjes gaat tellen, je dan op 18 uitkomt: is dat te begrijpen? Voor de beginnende leerling zal dit toch echt neerkomen op het kennen van de juiste volgorde van een reeks woorden: een, twee, drie, vier… enz. en hun verband met steeds een voorwerpje erbij.
      Het woordje ‘maal’ : is dat echt te begrijpen? Of is er hier weer gewoon sprake van een afspraak die geleerd moet worden?
      Net als het teken ‘=’: ook zuiver een afspraak, een verkorte weergave van vele woorden.
      Voor het jonge kind lijkt me de wereld van de getallen vooral iets geheimzinnigs dat gewoon geleerd moet worden om ‘groot’ te kunnen worden.
      Daarom kan juf of meester met een gerust hart zich wijden aan het uit het hoofd laten leren van de tafels van vermenigvuldiging; het begrip komt later wel.
      Voor jonge kinderen is het allemaal immers lange tijd ondoorgrondelijk, zowel het ‘begrip’ als het uit het hoofd leren.

      En dan vergat ik bijna nog te vermelden dat rekenen altijd abstract (beyond ‘begrip’) gaat worden zodra de getallen wat groter worden.
      Desondanks werken we met groot gemak met getallen boven de 1000, hoewel weinigen zich werkelijk een voorstelling kunnen maken van zulke grootheden.

      • het blijft toch primitief
        Pas na mijn middelbare schooltijd heb ik “6 + 3 = 9” leren lezen als “6 + 3” stelt hetzelfde getal voor als 9, alleen is 9 de eenvoudigste schrijfwijze. Daarvoor las ik “als je 6 + 3 uitrekent krijg je 9” Boven een stel optelopgaven zou eigenlijk moeten staan “herleid onderstaande sommen tot de eenvoudigste vorm van het getal dat zij voorstellen” of “vul voor de stippeltjes in 6 + 3 = … één enkel getal in zodat een ware bewering ontstaat”. Ik weet niet of we de lagere schoolkinderen met dit soort opdrachten beter zouden leren rekenen.
        Seger Weehuizen

      • Rekenen gaat beter als je niet denkt
        Ik weet niet meer wat ik er zelf vroeger van “begreep” maar dat het bijzonder is dat 2×3 als sommetje dezelfde uitkomst heeft als 3×2, daar heb ik me nooit druk over gemaakt. Maar toch maakt het heel wat uit als ik na een kinderfeestje 3 keer rijd om telkens 2 kinderen thuis te brengen of maaar twee keer hoef te rijden om en telkens 3 kinderen kan meenemen. Het is de vraag of je kinderen op jonge leeftijd moet confronteren met het bijzondere feit dat de totaal verschillende werkelijkheden die zich achter 2×3 en 3×2 verbergen beide concretiseringen zijn van dat mooie getal 6.
        Laat ze dat dus maar niet ‘begrijpen” zou ik zeggen, in ieder geval; niet voor iedereen.

        Op dezelfde manier begreep ik al heel vroeg dat als ik iets losliet, dat het op de grond viel. Op de basisschool begreep ik dat dat kwam door de zwaartekracht, op de middelbare school begreep ik dat de valversnelling onafhankelijk was van de massa en begreep ik dat massa en gewicht niet hetzelfde zijn. Maar zelfs nu, na een universitair kandidaats natuurkunde, begrijp ik er nog niks van: wat trekt er dan aan dat voorwerp, ik zie geen touwtje, waar grijpen die atomen aan aan elkaar? Hoe zit dat eigenlijk met zwaartekracht?

        De leervolgorde lijkt me voor de hand te liggen: eerst bekend maken met het onderwep. gerekend hebben met 2×3 en 3×2 zodat je denkt te weten wat getallen zijn en wat vermenigvuldigen is, wat massa of zwaartekracht is en daarna afhankelijk van de gekozen onderwijsrichting eventueel meer begrijpen en begrijpen dat het einde bij dat begrijpen zo’n beetje zoek is. Want dankzij dat moderne reflecteren, moet ik niet alleen het onderwerp begrijpen, maar ook nog eens begrijpen waarop in wat en hoe wil leren en hoe mijn hersenen en hormonen daarmee samenhangen. Met zulke hoge doelen komt een mens niet meer aan het 1-2-3-4 hoedje van hoedje van 1-2-3-4 hoedje van papier toe. En dat is toch de basis van alle wijsheid en practische vaardigheid..

        • Graviton
          De moderne hypothese aangaande zwaartekracht is dat atomen een graviton uitwisselen. Maar dat is slechts een hypothese; de beste natuurkundigen snappen zwaartekracht ook niet. Dat weerhoudt ons er niet van allerlei praktische dingen die met zwaartekracht te maken hebben te doen (satellieten lanceren, de maanlanding et cetera).

          • zwaartekracht
            Aardig om dit te lezen van academici.
            Steeds wordt gesuggereerd dat we met een volkomen begrepen fenomeen te maken hebben.
            Zelf vraag ik mij al heel lang af, hoe het toch kan dat een ster (de zon) die vanaf Pluto een stipje moet zijn, toch zulke grote krachten op Pluto weet uit te oefenen. Krachten die zouden worden doorgegeven in die zwarte materie?
            Terwijl de tussendoor vliegende astronaut daar niet of nauwelijks aan onderhevig is?

          • Dat weten we dan weer wel
            De gravitatiewet van Newton zegt dat de zwaartekracht tussen 2 objecten evenredig is aan het product van de 2 massa’s. De zon oefent dus een grotere kracht uit op Pluto dan op de astronaut omdat Pluto zwaarder is dan de astronaut. En de zon oefent zo een sterke kracht uit omdat de zon zo ontzettend zwaar is.

          • Duit in het zakje
            De gravitatiewet van Einstein zegt dat het komt doordat de ruimte en dus de geodeten krom zijn. Hoe zwaarder een voorwerp hoe krommer de geodeten.

          • Verklaring
            Maar is dat een verklaring? Of alleen een andere beschrijving, een betere beschrijving van de fenomenen dan die welke Newton gaf?

            Ik ben ooit gestruikeld over mijn pogingen om iets zinnigs te berde te brengen over het ontwerpen van toetsvragen die hengelen naar een verklaring van een gebeurtenis. Verklaringen zijn al bijna even ongrijpbaar als die zwaartekracht.

          • Verklaring @benwilbrink
            Je doet waarnemingen. Je probeert die waarnemingen in formules (of model) te vangen. Vervolgens probeer je aan de hand van de formules/model voorspellingen te doen over waarnemingen die nog moeten gebeuren. Als die voorspellingen uitkomen ga je verder. Als ze steeds uitkomen worden je formules, je model steeds geloofwaardiger, steeds betrouwbaarder. Omdat formules soms zo kaal zijn, probeer je er iets bij voor te stellen. Een graviton dat uitgewisseld wordt of een gekromde ruimte.
            Bij het vangen in formules laat je door van alles leiden: symmetrie, energiebehoud, baryonbehoud, enz, enz. Kortom alles wat in het verleden al z’n nut bewezen heeft. Een enkeling voegt er een nieuw principe aan toe.
            Volgens mij heb je dan je verklaring. Geldig tot je een waarneming doet die niet met het model strookt. Dan weet je de grenzen van je model of je zoekt een model dat wel weer met alle waarnemingen strookt.
            Ik heb moeite met mensen die in absolute waarheden geloven in de wetenschap. Er zijn nog geen modellen die het al eeuwenlang uitgehouden hebben. Steeds is er een grens gevonden.
            Als iedereen in de onderwijskunde volgens bovenstaande methode zou werken, was ons veel ellende bespaard gebleven.
            Klaas Wilms

          • werking op afstand
            Klaas,

            Bij de krachten in de bewegingswetten van Newton is het probleem dat het er alle schijn van heeft dat ze op afstand werken. Een werking op afstand hebben, dat kan helemaal niet. Vandaar dat Newton een probleem had, dat hij elegant uit de weg ging door er geen malle veronderstellingen over te poneren. Hij had dus geen verklaring voor die werking op afstand, en wilde er geen verklaring voor suggereren.

            Ik ben geen natuurkundige, en kan niet overzien of de gekromde ruimte in Einstein’s relativiteitstheorie een verklaring voor deze werking op afstand biedt. Als in mijn tuin de appels van de bomen beginnen te vallen, zie ik geen gekromde ruimte, ook niet in mijn wildste fantasie. Ik houd het er dus maar op dat Einstein een betere beschrijving van de data geeft dan Newton, maar evenmin als Newton een verklaring geeft voor werking op afstand.

            Max Jammer heeft een studie over natuurkundige krachten geschreven (Concepts of Force. A Study in the Foundations of Dynamics). Ik kan eens nakijken of hij (Jammer) er iets begrijpelijks (voor mij dan) over zegt (of in zijn studie over ruimte, en over massa). Meteen even nagaan wat Bernard Cohen & Anne Whitman (1999) in hun vertaling van de Principia hebben te zeggen over het hypothesis non fingo van Newton. Het is wel een zijpad, maar een mooi zijpad.
            Ik begin trouwens te vermoeden dat de vraag naar wat zwaartekracht is, een vraag is naar een essentie, een wezensvraag. Metafysica dus. Hoort de vraag wat zwaartekracht is wel thuis in de natuurkunde?

          • Prachtig voorbeeld vd samenwerking tussen wis- en natuurkunde
            Ik “verklaar” de gravitatiewet van newton altijd vanuit de wiskunde: voor een dergelijke kracht is het aannemelijk dat er evenredigheid is met beide massa’s, de omgekeerde evenredigheid met het kwadraat van de afstand volgt uit de oppervlakteformule voor een bol.
            Niet verrassend dat de formule voor de electrische kracht tussen twee ladingen zo’n beetje gelijk is aan de gravitatieformule.
            Poëzie is het.

          • Poëzie
            Pas maar op dat je vak niet wordt overgenomen door neerlandici. Of dichters.

            Wat denk je dan van het volgende:

            Mark Levi doet het precies omgekeerde: die verklaart bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras met natuurkundige redeneringen/experimenten.

            Als we accepteren dat begrijpen, verklaren, inzicht hebben, niet een absoluut iets zijn, maar het verbinden van het een met iets anders, dan schieten we geloof ik al een heel eind op.
            Als Freudenthal die wiskundige inzichten voor de basisscholier een heel stuk lichter had aangezet, was het met dat realistisch rekenen mogelijk heel anders gelopen.

            De Engelse wiki heeft trouwens een aardig lemma over mechanistische verklaringen van zwaartekracht. Dat is allemaal geschiedenis, natuurlijk, maar leuk om te lezen.

            Zie ook mijn pagina: Wat is het om iets of een gebeurtenis te verklaren?. Of te begrijpen. Er inzicht in te hebben. Er iets zinnigs over te kunnen zeggen, of mee te kunnen doen.

          • Het kan nog prachtiger
            Het begin van de Algemene Relativiteitstheorie komt volledig voor rekening van wiskundigen. Mensen die gingen twijfelen aan de zo vanzelfsprekend lijkende axioma’s van de meetkunde. In de 18-e eeuw hing het al in de lucht. Lambert en Saccheri waren er dicht bij. En ca. 1830 publiceerden Bolyai en Lobachevsky een heel nieuwe meetkunde, waarin bv. de som van de hoeken van een driehoek minder is dan 180 graden, waarin een heel andere wet van Pythagoras geldt, waarin geen gelijkvormigheid bestaat (foto’s zijn dus automatisch vervormd) met heel andere trigonometrische formules en desondanks net zo rechtsgeldig als de oude vertrouwde meetkunde.
            In 1854 komt Bernard Riemann met een heel algemene meetkunde, met een willekeurig aantal dimensies, en een willekeurig te kiezen metriek. Punten hoeven niet meer homogeen te zijn. Riemann dacht al na hoe je dit zou kunnen gebruiken om EM-velden in de ruimte weer te geven. Dat was 60 jaar voordat Einstein de Riemann-meetkunde toespaste voor de beschrijving van de zwaartekracht d.m.v. een 4-dimensionale ruimte-tijd.

          • Volkomen begrepen fenomenen bestaan niet
            Moby,

            Het gaat hier om een stand van zaken die kennelijk al eeuwen zorgvuldig geheim wordt gehouden voor gewone stervelingen, waaronder leerlingen die natuurkunde doen.

            Newton zelf draaide er geen doekjes om: hij weigerde nadrukkelijk om ook maar enige veronderstelling te doen over de aard van de krachten die hij zo fraai in zijn bewegingswetten had gevangen.

            Ik vind het werkelijk fantastisch dat een eenvoudige natuurkundige wetmatigheid als

            F = ma

            uiteindelijk volkomen onbegrijpelijk blijkt. Laat de slimmeriken onder je leerlingen dit maar niet lezen. Een goed artikel over een en ander is

            • Brian Ellis (1965). The Origin and Nature of Newton’s Laws of Motion. In R. G. Colodny. Beyond the edge of certainty. Essays in contemporary science and philosophy (pp. 29-68). University Press of America. Norwood Russell Hanson reageert daar met een al even interessant artikel op. pp.6-28, 69-74

            Ik ken geen e-versie van deze artikelen. Maar iets dat wel verwant is heb ik wel kunnen vinden (er is natuurlijk een hele bibliotheek over, daar niet van):

            • Olivier Massin. Forces and Causation. In Swiss Philosophical Preprint Series. (Ongedateerd, maar na 2006) pdf

            De reden dat ik in dit onderwerp interesse heb: als je toetsvragen wilt ontwerpen over het begrijpen van de bewegingswetten van Newton, waar ben je dan mee bezig?

            Is de poging om basisscholieren wiskundige inzichten bij te brengen vergelijkbaar met een poging om ze uit te leggen wat de zwaartekracht is?

          • Ik vraag me af of F=ma
            Ik vraag me af of F=ma onbegrijpelijk is.

            Mijn eigen ervaring hiermee is dat op de middelbare school een begrippen*kader*, waaronder definities en verbanden, wordt aangeleerd.

            Pas later (op de universiteit) kwam het begrip: het is te beredeneren en te begrijpen vanuit behoudswetten en symmetrieen.

            Maar ja.. kom daar maar eens mee…

            Daartoe dienen eerst ‘wiskunde’woorden en -grammatica bekend te zijn. Later volgt, zoals 2010 het mooi zegt, de poezie: wiskundig redeneren uitgaande van een aantal eenvoudige basisaannamen.

          • F

            • Jessica Wilson (2007). Newtonian forces. Brit. J. Phil. Sci., 58, 173-205. pdf

            Wilson:

            • I defend Newtonian forces against the four best reasons for denying or doubting their existence.
        • re. 1-1-2001: zo is het leven
          Zo gaat het toch altijd in het leven: we beginnen te leven terwijl we helemaal niets begrijpen van het leven.
          Pas als we dreigen te sterven hebben we er iets meer van begrepen.
          Wie dus aanleert zonder volledig begrip te kunnen brengen, doet hetzelfde als wat ‘het leven’ doet. Eerst groeien we, en heel veel later gaan we iets van DNA en celdeling ‘begrijpen’.
          De basis voor dat realistisch rekenen, noemde Wilbrink mogelijk naieve psychologie. Dat lijkt me een juiste constatering. Het was zowel naief als idealistisch.
          Ik heb opgemerkt dat ‘begrijpen’ uiteindelijk toch gewoon neerkomt op het aanleren van afspraken.
          Wat als ‘begrip’ werd aangeboden, omvatte hooguit een nader inzicht in de samenhang van getallen en hun bewerkingen.
          Wat valt er te begrijpen aan het feit dat de helft van een kwart liter melk, een een achtste liter oplevert?
          Hooguit blijkt eruit dat de getallenwereld wel samenhang vertoont. Voor het kind.
          Laten we gerust vertrouwen op inzichten die later wel komen.
          Zelf werd mij tijdens een rekenles plotseling duidelijk waarom een staartdeling werkt zoals die werkt. Tot die tijd had ik zeker 20 jaar gewoon, met goed gevolg, kunnen werken met die staartdeling.

          • kinderen leren gerust zonder begrip
            Voor kinderen blijkt het allesbehalve een probleem te zijn om te leren zonder dat zij volledig begrijpen. Het kind is m.i. juist helemaal toegerust om te leren zonder te begrijpen.
            Het waren volwassenen die daar een probleem van gingen maken.
            Op de bijzondere school waar ik werkte, was b.v. Lied 387, alle coupletten achter elkaar (!), van het Liedboek van de Kerken, erg populair om in canon te zingen. Het was een zgn. tophit bij verzoekprogramma’s.
            Toch denk ik niet dat deze leerlingen begrepen waarover zij zongen.
            Men mag gerust verwachten dat de inzichten later komen.
            Freudenthal doet daar dus denigrerend over: over die inzichten die later komen. Toch is het geheel volgens de dagelijkse realiteit, zowel in de school als daarbuiten.

    • Erger nog
      De geautomatiseerde tafels maken het mogelijk om te rekenen met breuken. Als je bijvoorbeeld 3/12 en 1/4 bij elkaar moet optellen, moet je meteen zien dat ze allebei in dezelfde tafel voorkomen.

    • Begrijpen en weten
      In de visie van het realistische rekenen zijn bij een som als 3×6 twee zaken van belang. Aan de ene kant is het essentieel om te begrijpen wat de uitdrukking betekent en wat vermenigvuldigen betekent, zodat het verschil met 3+6 niet alleen van het herkennen van een karakter afhangt, maar meteen ook refereert aan het begrijpen. Aan de andere kant is van even groot belang het kennen, gememoriseerd, van de uitkomst.
      Tegenstanders van RR die dat laatste ontkennen, maken zich volgens mij schuldig aan demagogie.
      Het beperken tot het leren van de uitkomst in de hoop of verwachting dat het begrip dan later wel volgt, lijkt mij gevaarlijk. In de ‘buitenwereld’ komt 3×6 namelijk niet vaak los voor. Veel waarschijnlijker is het om een opdracht tegen te komen als: tel jij even hoeveel blikken er nog in het magazijn staan? En dat het dan 3 rijen van 6 blikken blijken te zijn. Hoe beslis je dan of 3×6 of 3+6 uitgerekend moet worden, wanneer je niet hoeft te weten wat vermenigvuldigen en optellen betekenen en schattend rekenen bovendien onbekend is?

      • + of x : het blijven afspraken
        Wat je hierboven stelt, komt toch echt neer op het aanleren van afspraken. Wat bedoelen volwassenen met dat rare tekentje: + ? Wat is het verschil met het gekantelde tekentje: x ?
        Dat zijn allemaal afspraken die het kind eenvoudig moet aanleren.
        Ik heb zelf jaren gewerkt met een RR-methode, en struikelde voortdurend over het feit dat voorgaande kennis misschien ooit begrepen was, maar dat deze kennis allesbehalve beschikbaar bleek voor het oplossen van opvolgende moeilijker vraagstukken.
        Ik spreek dus uit ervaring en niet vanuit een louter theoretisch perspectief.
        Deze bevindingen zijn overigens door de makers van die methoden uiteindelijk erkend. Volgende edities beloofden meer oefenstof. De rekenmethode van Jan van der Kraats e.a., Reken Zeker, heeft het helemaal goed gezien: de verdiensten van het begrijpend rekenen werden in belangrijke mate aangevuld met degelijke oefenstof.
        Bij het traditioneel rekenen werd ‘begrijpen’ trouwens ook niet verwaarloosd: ik herinner mij heel goed de appels en de pannenkoeken die de breuken dujidelijk maakten. Maar daarna volgden de rekenkundige bewerkingen op grond van regels.
        Een opgave als 1/2 maal 1/8 kon zo worden uitgerekend, al begreep een kind nauwelijks wat deze opgave betekent.
        Uiteraard kan dit met tekeningetjes op het bord worden duidelijk gemaakt. Maar met de opgave 3/4 maal 5/9 begint zoiets al veel lastiger te worden. Bovendien bemoeilijkt het het rekenen als er bij elke som een tekeningetje gemaakt zou moeten worden.
        Daarom is een RR-methode vaak ingewikkelder dan het degelijke oefenwerk dat ooit gebruikelijk was.
        Ik spreek vanuit ervaring.

        Ik eindig ermee te zeggen dat de tafels, dus ook 3 x 6 = 18, in het dagelijks leven vaker nuttig blijken te zijn dan u zou denken. U kunt wel beweren dat elke leerling steeds gewoon kan tellen, dat blijkt niet mogelijk als we rekenopgaven op papier moeten oplossen.
        De school is er voor de schriftelijke theoretische wereld.

  3. Hate mail?
    Meningen over realistisch rekenen geven kan op beschikkende manieren.
    Deze mail, aangekondigd als eerste van een serie, lijkt echter veel meer te gaan om een persoonlijke aanval op Hans Freudenthal. Deze manier vind ik ver beneden de maat.
    Ik stel voor deze serie niet voort te zetten. Ik vermoed dat voor de ‘liefhebbers’ de website van Ben voldoende voer biedt.
    Overigens kan ik die website van harte aanbevelen als het gaat om de bijdragen van Ben over beoordelen, toetsen en selecteeren.

  4. Waarom deze blog, waarom nu?
    Antwoord aan djdouwes

    Het gaat in mijn blog, zoals ook in de brede landelijke discussie, om de kwaliteit van het Nederlandse rekenonderwijs. De empirische cijfers wijzen er onmiskenbaar op, ook erkend door het FIsme (zie bijvoorbeeld de inaugurele rede van Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009) pdf), dat er een ernstig probleem is met basale rekenvaardigheden. Er zijn ongetwijfeld meerdere ontwikkelingen in de laatste decennia die hieraan hebben bijgedragen (ik heb daar in 2008 op gewezen, zie mijn blog Rekenonderwijs in de VS: recent evidence-based overzicht en reacties daarop ), maar een belangrijke oorzaak ligt zeker ook in het realistisch rekenen zoals gepropageerd door het FIsme.

    Vele anderen zijn prima in staat om aan te geven waar in het rekenonderwijs als zodanig de problemen liggen, mijn belangstelling gaat uit naar de vraag hoe het IOWO en later het FIsme hebben gewerkt in de ontwikkeling en het dissemineren (een anglicisme, excuus) van een hecht doortimmerde rekenmethode die pas in een veel te laat stadium blijkt tot ernstige kwaliteitsproblemen in het Nederlandse onderwijs te leiden.  Dit te laat blijken van tekortkomingen heeft waarschijnlijk te maken met wetenschapsopvattingen binnen het FIsme, zoals dat onderwijsontwikkeling het best kan stellen zonder empirisch toetsend onderwijsonderzoek. Deze opvattingen zijn altijd in publicaties onverbloemd uitgedragen, en stemmen overeen met wat Hans Freudenthal in tal van publicaties over onderwijs, maar vooral in zijn boeken in 1973 en 1978 onder woorden heeft gebracht.  

    vervolgd

  5. Waarom deze blog, waarom nu? vv
    Het gaat hier niet om toevallige of handig gekozen citaten uit een omvangrijk oeuvre, maar om een wetenschapsvisie die door Freudenthal en zijn teamleden, ook in latere jaren, nadrukkelijk is uitgedragen. Freudenthal gaf met de titel ‘Weeding and Sowing’ (1978, geschreven in de jaren 1973 en 1974, tijdens zijn directeurschap van het IOWO) al aan dat hij korte metten zou gaan maken met geschrijf over reken- en wiskundeonderwijs uit de hoek van (onderwijs)psychologie en onderwijsonderzoek. Voortaan zou het voldoende zijn om goed te observeren wat er in de klas gebeurt: ontwikkelingsonderzoek.

    Ik besef zeer wel dat het voor velen in het onderwijs, maar ook in kringen van wiskundigen, pijnlijk is om te zien dat er kritiek mogelijk is op de opvattingen van Freudenthal en zijn team over onderwijs, onderwijsonderzoek en rekenonderwijs. Als die kritiek terecht blijkt, dan moet daar ook het nodige mee worden gedaan. Hierbij speelt natuurlijk ook mee dat velen, en bepaald niet alleen met de kennis van vandaag, te weinig kritisch zijn geweest op de claims van de protagonisten van het realistisch rekenen. Anderen zijn wel degelijk kritisch geweest, zoals Raf Feys in talrijke publicaties (ik ben nog volop bezig om mij in de publicaties uit Utrecht te verdiepen, en zal pas later toekomen aan een inventarisatie van de kritische receptie van het gedachtengoed van wiskobas en realistisch rekenen; ik wil wel vast kwijt dat vroege (zeg, tot 2000) Utrechtse publicaties zelden ingaan op kritieken, althans met naam en toenaam).
    Blijkt de kritiek onterecht, dan heeft dat de verdienste dat het de verdere discussie over ons rekenonderwijs ontlast van beslommeringen over hoe het op basis van de filosofie van het wiskundeonderwijs van Hans Freudenthal toch mis heeft kunnen gaan.

  6. Anti-Freudenthal
    Vrijwel iedereen gebruikt algebraïsche rekenvaardigheden om natuurlijke verschijnselen te begrijpen. Voor iemand zonder rekenvaardigheid blijft dat adacadabra.

    • breuken vermenigvuldigen
      Een RR-methode legt alle nadruk op 1/2 x, 1/4 x, of 2/4 x. Waarom? Omdat deze sommen aanschouwelijk te maken zijn met pakken melk b.v. Daar heb ik niets op tegen; ik beschouw dit als een goede introductie.
      Toch blijft het voor de zwakkeren lastig om bij de abstractie 1/4 x 1/10 die melkpakken adequaat voor ogen te hebben.
      Terwijl die zwakkeren heel goed in staat zijn een hele bladzijde met moeilijker breuken te maken, als zij de tafels kennen, en de regel ‘teller maal teller en noemer maal noemer’.
      Aan de hand van de RR-voorbeeldsommen kun je laten zien dat de regel klopt en werkt.

      Vervolgens maken we sommen als: 2/3 x 4/7, 5/6 x 3/7, 9/5 x 7/8, 12/13 x 4/15, enz. enz.
      Het onthouden van deze stof gebeurt dan het best als we alleen dit soort sommen een tijdlang aanbieden.
      De RR-methode vermengt vaak allerlei type sommen, in de wens dat het kind samenhang gaat leren zien. Maar de praktijk is dat een zwakkere leerling door de bomen het bos niet meer ziet en er nauwelijks stof goed wordt ingeslepen.

  7. begrijpend rekenen, bestaat dat?
    Het uitstapje naar Newtoniaanse zwaartekracht heeft laten zien dat het begrijpen van een bewegingswet, zoals F = ma, niet iets vanzelfsprekends is, en eigenlijk helemaal niet vanzelfsprekend vanuit de gedachte dat F = ma een tautologie is. Het vermoeden rijst dan dat de nadruk die in het realistisch rekenen wordt gelegd op inzichtelijk rekenen – altijd begrijpen wat je doet – naïeve psychologie is. Dan past het de realistisch rekenaars niet om geringschattend te doen over het leren beheersen van algoritmen (bijv: Uittenbogaard (NAW, 2008) stelt dat algoritmen geen wiskunde zijn).
    Dit onderwerp is te groot om het in een enkele blog, laat staan in een enkele reactie te behandelen. Duidelijk is wel dat er tenminste twee belangrijke kanten aan zijn te onderscheiden. Deugt de psychologie achter het realistisch rekenen? En is er wel voldoende empirisch getoetst of de claims over dat altijd begrijpend rekenen wel juist zijn? Dat zijn twee verschillende zaken, ook omdat uit een ondeugdelijk theoretisch fundament onder de psychologische claims niet noodzakelijk volgt dat de claims bij empirische toetsing onderuit gaan.
    In deze blog heb ik de nadruk gelegd op de empirische toetsing: dat Freudenthal daar een te smalle invulling van geeft met alleen ontwikkelingsonderzoek. Voor de snelle start die het IOWO in begin zeventiger jaren moest maken op basis van het voorbereidend werk van de wiskobas-groep kon dat zeker volstaan, maar al in de zeventiger jaren had ook een begin moeten worden gemaakt met serieus empirisch onderzoek naar de juistheid van de sterke funderende claims onder het wiskobas-project, evenals naar de effectiviteit van wiskobas in vergelijking met andere rekenmethoden, onderscheiden ook naar bijvoorbeeld intellectueel verschillend toegeruste leerlingen. Het ontbreken van serieus empirisch toetsend onderzoek in OW&OC / FI was geen geheim, en door ieder die dat wilde zien eenvoudig te constateren.

    • creatief en leuk voor de slimmerikken maar …
      Toen ik ooit bij de voorloper van het FI werkte kwam ik in een club van uitstekende, creatieve en ook aardige mensen. Ik kwam met allerlei nieuwe “wiskunde” in aanraking. Zo herinner ik me nog het gebruik van matrices bij deterministische lineaire modellen. Het was nieuw voor me: matrices hadden voor mij (afgestudeerd wiskundige) te maken met vectormeetkunde en algebra. Ik vond die andere toepassingen leuk. Op dezelfde manier waren er allerlei andere leuke dingen die ik niet eerder had gezien (bv de inzichtelijkheid van breukenvermenigvuldiging vanuit de meetkunde). Acheraf denk ik dat iedereen gewoon erg enthousiast was over al die aardige dingen en gemakshalve vergat dat leuk en aardig voor slimme wiskundigen of voor de kleinkinderen avn Prof Freudenthal, iets heel anders is dan klassikaal uitleggen hoe je meot rekenen aan gewone kinderen.

      Die houding: enthousiasme voor je nieuwe ontdekkingen, zie ik vaker bij mensen die veranderingen in het onderwijs voorstellen. Niet alleen empirisch onderzoek ontbreekt, maar ook een kritische analyse. Het land utopia verschijnt aan mijn horizon 😉

      • Utopia
        Het Land Utopia ligt achter het Land van Acht. Context voor aardige mensen.

        • Land van acht in …. rekenmethode basisschool
          Ik heb het land van okt gezien in een (weet niet meer welke) basisschool rekenmethode. Ik had sterk de indruk dat de schrijvers meenden dat dat bevordelijk was voor de rekenvaardigheid van de kinderen (beter begrijpen dus beter rekenen). Maar het land van Okt is volgens mij geschreven omdat het voor pabo studenten leerzaam zou zijn: ze zouden dan zelf ervaren welke problemen kinderen zouden hebben met het aanleren avn het land van deci;-)

          Achter die gedachten gaan nogal wat onbewezen aannames schuil.

          • Ik geef Acht:
            Land van Acht: = hoofdstuk IV in Treffers (1978) (proefschrift) (contextrijk thema bedoeld voor laatste leerjaren basisonderwijs)
            Land van Okt: = hoofdstuk 1 in Goffree (1982). Wiskunde & didactiek, eerste deel (niet meer in de vierde editie 1994). (boek voor pabo-studenten)
            Land of Eight: = chapter IV in Treffers (1987). (vertaling van proefschrift 1978)
            Land van Acht: = hoofdstuk 13 in Treffers (2010). Het rekentheater. Atlas.

            • Tijdens een rekenles, die ik op mijn oude dorpsschool te Zetten bijwoonde, kwam het Land van Acht ter sprake. Daarin wonen figuurtjes uit de tekenfilms van Walt Disney. Disney tekende deze figuurtjes met vier vingers aan één hand omdat dit werk bespaarde.
              (…)
              De zoektocht door het Land van Acht is geen doel op zich maar een middel om over het eigen leerproces van vroeger in het tientallige positiesysteem na te denken.
              De kinderen blijken buitengewoon veel plezier aan dit rekenkundige uitstapje te beleven. Het onderwijs is interactief: er wordt individueel en in kleine groepjes gewerkt, maar er zijn ook momenten dat de hele groep bijeen is om instructie te krijgen, voorstellen te bespreken en te discussiëren.

            Ik zou ook onmiddellijk enthousiast kunnen worden voor dit rekenonderwijs.

            p.s. Hoe tekende Walt Disney?

    • Begrip
      is een verwarrend concept. Het wordt vaak gebruikt alsof je het binair, wel of niet, hebt. In werkelijkheid is begrip iets gradueels dat in vele lagen kan worden opgebouwd. Zoals 2010 zijn begrip van matrices en meetkunde verrijkt zag door zijn ervaringen bij het FI. Zoals het begrip (zwaarte)kracht via Newton, Maxwell, Faraday, Einstein tegenwoordig wordt afgeleid uit (zwaartekracht)potentialen.
      Maar de basis van alle begrip blijft dat je iets moet kunnen/beheersen/weten. Je begrijpt (toepassingen van) rekenen pas als je kunt rekenen en niet omgekeerd zoals het FI suggereert. Moby zou ook in staat zijn om het delen van breuken 2/3 : 4/5 aan te leren. Bij praktische toepassingen zal zoiets weinig voorkomen maar voor algebraïsche toepassingen is het essentieel.

  8. @ Moby, breuken vermenigvuldigen
    Voor mijn zoon (2 VMBO speciaal onderwijs, half kader-niveau, half TL) maakten die verschillende oplossingsstrategieen het rekenen op de basisschool inderdaad een hele duistere aangelegenheid. De leerkracht van mijn zoon heeft mij eens in een half uurtje na school de realistische aanpak proberen te leggen maar het kwam mij sowieso heel onlogisch en omslachtig voor, even afgezien van de complicatie van al die verschillende aanpakken. Geef die kinderen toch gewoon de beschikking over die standaard algoritmen. Toch lijkt het me (als absolute leek) wel zinvol als kinderen het waarom van de algoritmen uitgelegd/bewezen krijgen. Bij sommige kinderen zal dat hopelijk tot meer begrip leiden van waar ze mee bezig zijn, anderen kunnen er misschien niets mee, maar die hebben dan in ieder geval het houvast van die algoritmen, en zullen wellicht later in hun schoolloopbaan tot meer inzicht komen, of niet, maar dan kunnen ze in ieder geval (een beetje) rekenen. Ik vind in dit verband www.aft.org/pdfs/americaneducator/fall2009/wu.pdf overtuigend. Daarin staat ook een stukje over breuken vermenigvuldigen.

  9. Ondertussen in de Verenigde Staten

    • David Baker, Hilary Knipe, John Collins, Juan Leon, Eric Cummings, Clancy Blair & David Gamson (2010). One Hundred Years of Elementary School Mathematics in the United States: A Content Analysis and Cognitive Assessment of Textbooks From 1900 to 2000. Journal of Research in Mathematics Education, 41, 383-423.
      • Later in the century, the young learner is required not only to master more problem-solving strategies but also to understand the mathematical properties underlying problem-solving strategies in an abstract fashion that is transferable to new problems. Starting with textbooks for students as young as 5 or 6, decreased emphasis on mechanical application of set problem-solving procedures and increased focus on understanding and applying the properties of mathematics in multiple ways is a qualitative change—one that takes the cognitive demands of the curriculum in an entirely different direction from what was presented in textbooks to learners prior to the mid-1960s. By the 1990s, rather than asking students to mechanically apply problem-solving “recipes,” textbooks challenge young learners to use their modest knowledge of mathematical properties to engage in conceptual mathematical problem solving. p. 414

    Het is toch wel heel opmerkelijk om in dit onderzoek te zien hoe het Amerikaanse rekenonderwijs een ontwikkeling doormaakt die in zijn karakteristieke trekken veel weg heeft van wiskobas en realistisch rekenen.

    De auteurs signaleren dat dit olie op het vuurtje van de discussie over het rekenonderwijs is: gaat die allemaal niet ten koste van de basale rekenvaardigheden? Daar stappen ze niet. De auteurs signaleren wel dat over de laatste decennia heen er meer aandacht komt voor schattend rekenen en op verschillende manieren oplossen van veeleisende problemen.

    • New Math
      In Amerika in de jaren 60 was er de ‘new math’. Freudenthal zette zich hier juist tegen af (hij slaat zichzelf in 1 van zijn publicaties op de borst dat hij Nederland van de ‘new math’ gered heeft). Maar zoals Ben opmerkt, de FI ‘wiskunde’ en de ‘new math’ hebben karakteristieke trekken gemeen.

      • New Math: Tom Lehrer
        Op internet een aardig filmpje van Tom Lehrer die New Math uitlegt.
        Ik moet bekennen dat ik het cijfermatig aftrekken inderdaad op deze manier heb uitgelegd, in een poging ‘begrip’ bij te brengen.
        Naderhand ga je beseffen dat ‘begrip’ gewoon een afspraak betekent over de plaats van de getallen.
        Er is niets te begrijpen aan het feit dat een 2 op de 1 na laatste positie, 20 betekent.
        De New Math zoals getoond door Lehrer, maakt het allemaal onnodig ingewikkeld.

  10. (vrijwel) niemand gebruikt later die rekenmachine in de praktijk
    Ik kreeg van Wim Berkelmans, directeur van de stichting Vierkant voor Wiskunde en van de International Mathematical Olympiad 2011 de volgende uitspraak:

    “(vrijwel) niemand gebruikt later die rekenmachine in de praktijk”

    Zeker als het grafische rekenmachines betreft is dit volledig juist. Een aardige oneliner die vast nog wel gebruikt kan worden.

  11. naieve psychologie
    Misschien was de basis van dit soort vernieuwingen wel, dat er werd geloofd in de onbesmette zuiverheid van het kind.
    En als we het ‘eigene’ van het kind zouden willen beschermen en ontwikkelen, zou dit gaan leiden tot volwassenen die onbesmet alle zwaarden zouden omsmeden tot ploegscharen.
    Freudenthal-rekenen wilde dan ook uitgaan van dit kind, in zijn zgn.onbesmette staat.
    We moeten helaas constateren dat kinderen allesbehalve onbesmet zijn. Hun wangedrag vertoont vele overeenkomsten met het wangedrag van volwassenen; de schaal is alleen wat kleiner. Maar het zit er al heel vroeg in.
    Daarmee is voor mij deze psychologie: het ‘onbesmet’ willen bewaren van het ‘onbesmette’ kinderlijke, eenvoudig ideologie geworden. Ideologie die niet blijkt te beantwoorden aan de gewone nuchtere werkelijkheid.
    Hoewel ik erken dat bij elk nieuw kind er weer nieuwe hoop wordt geboren.
    De teleurstelling schijnt er echter toch steeds weer bij te horen.
    Teleurstelling die aanvaardbaar wordt zodra wij ook eerlijk t.a.v. onszelf willen zijn.

    • re WAAROM
      WAAROM? Dat was een vraag die kinderen eindeloos kunnen stellen, zegt Moby.
      Niet alleen kinderen, zoals deze draad dratisch bewijst.
      Je begrijpt iets pas als je weet of, en wanneer je WAAROM kunt vragen. Dat het hier vaak mis gaat is eerder gewoon. Ware kennis is een zeldzaam goed, aan shit, leven zonder denken, is nooit gebrek.

      In het eerste hoofdstuk van Moeder en Zoon van Gerard Reve -lees dat boek! uit het eerste hoofdstuk stijgt de waarheid op, waar in het eerste hoofdstuk van een ander boek slechts geest over de wateren zweeft.
      In dat eerste hoofdstuk beschrijft Reve zijn lagere schooltijd.

      Toen de staartdelingen aan de orde kwamen, scheen mijn begripsvermogen als verlamd. Zoals ook later, in mijn gehele leven, zocht ik veel te veel achter iets, dat eigenlijk heel simpel was. Ik kon niet vatten, hoe men een enkelvoudig getal, links van de schuine streep, mocht beginnen te delen op de paar eerste, linker cijfers van het te delen getal, die toch van een veel hogere decimaalwaarde waren. Dat de ter rechter zijde van het te delen getal nedergeschreven cijfers, van het groeiende quotient, van lieverlede op hun beurt eveneens een zich gestadig vertienvoudigende waarde kregen, ontging mij. Meester Van Kuylenburg besloot, zich persoonlijk voor mij in te zetten. ‘Er is echt niets aan, jongen’, verzekerde hij me. ‘Als je vanmiddag wat vroeger komt, om half twee, dan zal ik het je nog eens uitleggen’.

      Willem Smit
      Deeltijd-Revist

  12. Actueel: Schoolpsychologen NIP 18 maart
    De Sectie Schoolpsychologen van het NIP (Nederlands Instituut van Psychologen) komt bijeen op maandagochtend 18 februari a.s.

    Van 10:5 tot 12:15 spreekt Marisca Milikowski van ‘De Rekencentrale’ over problemen die kinderen kunnen hebben met het rekenen, en hoe ze te helpen. Als info heeft zij twee columns uit Balans Magazine gegeven (klik voor pdf van integrale tekst):

    Aan de ketting (oktober 2007)
    Blokpatronen (maart 2010).

    Dat gaat dus ook over problemen die gerelateerd zijn aan het realistische van het realistisch rekenen.

    Meer info:www.psynip.nl sectie Schoolpsychologen.

    • psychologie en empirie in het Land van FIsme
      Verbeterde link : Meer info: www.psynip.nl sectie Schoolpsychologen.

      Een verrassend scherp artikel verscheen in 2009, waar Marisca Milikowski glashelder de on-psychologie en de on-wetenschap (want geen empirisch toetsend onderzoek) in het Land van FI laat zien:

      • Marisca Milikowski (2009). Op zoek naar het verdronken kalf. Tijdschrift voor Orthopedagogiek, 48, 216-219. [geen online versie beschikbaar]

      Jan de Lange (FI) beweert in 2005 dat het hardop oefenen van de tafels schadelijk is voor de ontwikkeling van de natuurlijke rekengaven van de leerling. ‘Want als je de tafels hardop oefent wordt alleen het taalcentrum in de hersenen geactiveerd, en niet het rekencentrum.’ Het is werkelijk fantastisch dat De Lange zo’n sterke claim doet, zonder een snipper onderbouwing.

        • Als Jan de Lange gelijk heeft kunnen we alle mondelinge rekeninstructie beter meteen staken. En kinderen verbieden om de telrij te oefenen. En bij de bakker het cijfer 2 ophouden als we broodjes willen. En nooit meer zingen over de zevensprong.
          Maar Jan de Lange heeft geen gelijk. Normale onbeschadigde hersens verwerken getalwoorden juist wèl binnen het rekensysteem. Dat wil zeggen: van woorden als zes, zeven en tweeënveertig wordt behalve de klank óók de betekenis geactiveerd (zie bijvoorbeeld Dehaene et al. 2005).
          Niettemin, we zouden het kunnen onderzoeken. Zou dat niet chiquer zijn dan altijd weer die stemmingmakerij? (…)
          Al bijna twintig jaar doet men echter bij het Freudenthal Instituut geen onderzoek meer dat uit kan maken wie er in een bepaalde controverse gelijk heeft.
          p. 218

      Helaas, ook vóór 1990 is dergelijk onderzoek niet gedaan door OW&OC.

      • taalcentrum
        Daarbij vraag ik mij af of er een taalcentrum bestaat dat helemaal los staat van ons voorstellingsvermogen.
        Wie langdurig de tafel van 3 b.v. opzegt en leert, gaat m.i. ook zien dat elk volgende antwoord steeds 3 erbij krijgt.
        En gaat ook zien dat het ‘3 erbij’ samenkangt met 1x, 2x, 3x, enz.
        Het lijkt me inderdaad een merkwaardige claim, dat alleen het taalcentrum zou worden geactiveerd. Als ik ‘taal’ gebruik, zie ik ook voor me wat die ‘taal’ wil zeggen. Het voorstellingsvermogen doet dus gewoon mee.
        Maar ik ben maar een boertje.

        • druk verkeer in de hersenen
          Hoe onze hersenen wiskunde bedrijven, is wel te schetsen m.b.v. het ACT-R-model van John Anderson, en een empirische check door leerlingen in een MRI-scanner te schuiven en algebraïsche vergelijkingen te laten oplossen. Zie bijvoorbeeld

          • C. Lebiere (1999). The dynamics of cognition: An ACT-R model of cognitive arithmetic. Kognitionswissenschaft, 8, 5-19. pdf

          Zie ook de website act-r.psy.cmu.edu/

          Merk op dat deze wetenschappelijke informatie dus al een paar jaar beschikbaar is. Misschien is het intranet van het FI van de buitenwereld afgesloten?

      • herhalen leidt tot ‘begrip’
        Misschien is het wel zo dat het automiseren leidt tot meer begrip dat het blijven hangen in aanschouwelijk onderwijs.
        Wie gaat automatiseren kruipt a.h.w. helemaal in de stof; de stof wordt ‘eigen’ en kan hierdoor ook begrepen gaan worden.
        Maar dit is natuurlijk maar een suggestie; ik heb geen bewijzen hiervoor, slechts een vermoeden op basis van praktijk.

        • sloofjeswerk: mooi citaat
          Dit vind ik een mooi citaat uit het artikel van Milikowski:
          ‘Routines zoals spellen en het correct combineren van cijfers, knechten niet het intellect maar stellen het juist vrij van sloofjeswerk, van het telkens opnieuw, levenslang, moeten ‘uitvinden’ van de uitkomst van 6 x 7.’

          Ik wil geen scholen verbieden te rekenen volgens Freudenthal.
          Ik vind het wel treurig dat bijna heel Nederland diende te volgen.
          Ik ga echter niet vrijuit: ik zat erbij toen de school koos voor een RR-methode.

    • Wat is hier nu zo verrassend aan?
      Het verrassende van het (2009) artikel van Marisca Milikowski doc is niet de inhoud op zich, maar het feit van de publicatie ervan. Naar mijn indruk is dit een zeldzame publicatie, het is zeker de eerste publicatie die ik zelf heb gezien waarin de onzalige combinate van verkeerde psychologie en ontbrekend empirisch onderzoek in het FI ondubbelzinnig staat beschreven. Ik houd mij aanbevolen voor melding van meer van dergelijke publicaties, op zijn minst vanaf 1978, het jaar waarin als ik het wel heb het eerste proefschrift uit de wiskobas-groep wordt verdedigd (Treffers).

      Waarom is de inhoud van het artikel van Milikowski niet verrassend?

      Iedere psycholoog die thuis is in cognitief-psychologisch onderzoek zal op basis van de geschriften van het FI al snel constateren dat wat hier aan psychologische uitspraken wordt gedaan, op zijn best kan figureren als leken-psychologie, en dus volledig los staat van de psychologie als wetenschappelijke discipline.

      De psycholoog die constateert dat de psychologische basis van het realistisch rekenen niet deugt, ziet op hetzelfde moment natuurlijk ook dat serieus toetsend empirisch onderzoek ontbreekt. Anders zou het psychologisch tekort namelijk al in de begindagen van wiskobas, of althans van de serieuze verspreiding van gedachtengoed van het realistisch rekenen, zijn ontdekt, en gecorrigeerd.

      Wie niet thuis is in de psychologie, kan varen op het methodologisch adagium dat wie een bepaalde stand van zaken claimt, over staartdelen of wat dan ook, een claim doet over de werkelijkheid, en dus gehouden is daar behoorlijke empirische onderbouwing bij te geven. Die vorm van onderbouwing ontbreekt ten enenmale in het corpus van OW&OC / FI, zoals voor de periode na 1990 ook geconstateerd door de commissie-Lenstra (KNAW).

      • Cognitieve psychologie
        Vanuit de cognitieve psychologie was er al eerder kritiek op de Amerikaanse evenknieen van het FI. Dit artikel van Anderson, Reder en Simon werd naar ik gehoord heb geweigerd door Educational Researcher (slechts de kritiek op ‘situated learning’ werd gepubliceerd, de kritiek op ‘constructivism’ moest eruit).

        Ook in de discussie over de Amerikaanse evenknie van de commissie-Lenstra (National Mathematics Advisory Panel) speelt Educational Researcher een kwalijke rol. Volume 37 issue 9 gaat geheel over dit rapport. Slechts 1 van de partijen wordt gehoord (in maar liefst 11 artikelen). Een hele korte samenvatting van 3 van deze artikelen (in het Engels is makkelijker…):

        Confrey et al. question the intellectual integrity of the report, Thompson calls the report untrustworthy and Boaler goes as far as saying that the report deals a serious blow to America’s freedom,

        allemaal zonder bewijs natuurlijk.

        Volgens de Australiers is Educational Researcher echter 1 van de absolute toptijdschriften (A*).

        • Anderson, Reder & Simon, 2000

          • John R. Anderson, Lynne M. Reder, & Herbert A. Simon (2000, Summer). Applications and Misapplications of Cognitive Psychology to Mathematics Education. Texas Educational Review. pdf

          Attent van mark79 om hier op bovenstaand artikel te wijzen. Het gaat om uitvoerige uiteenzetting van zin en onzin in een aantal bewegingen in het onderwijsveld, en soms ook in academische disciplines. Het is te karakteriseren als de schets van een contrast tussen psychologie en pseudo-psychologie, en tussen wetenschappelijke en pseudo-wetenschappelijke opvattingen over hoe je een en ander aan empirisch onderzoek onderwerpt.

          John Anderson is de man van het ACT-R model (model voor cognitief psychologisch functioneren), Lynne Reder behoort ook tot de ACT-R groep van Carnegie Mellon, Herbert Simon behoort (hij is in 2001 overleden) tot de meest invloedrijke sociale wetenschappers.

          Uiteraard leggen zij nadruk op het doen van empirisch toetsend onderzoek. Zoals

            • Evaluation should include not only (and perhaps not mainly) the immediate learning effects of instruction for tasks like those used in training, but particularly (1) the retention of knowledge and skills after a substantial time has elapsed from the completion of training (months or even years), and (2) the transferability of the knowledge and skills to a broader range of tasks than those used in the instruction. To take an obvious example from mathematics, research on calculus instruction should be evaluated in large measure (except, possibly, for mathematics majors) by assessing the ability and propensity of students to use the calculus successfully when it is relevant in their work in physics or economics.

          Een sleutelpublicatie.

        • re Cognitieve psychologie
          In de redactie van Educational Researcher zitten, in ieder geval sinds tien jaar, inderdaad alleen nog Democrats, en geen Republicans. Zo’n (periodieke) wisseling van de macht is in de VS gebruikelijk, over tien jaar kunnen de kaarten weer anders liggen. Illustratief voor deze verschuiving is de redactionele verklaring van Karl Hostetler in ER 34 6 2005.

          “The question of what counts as good education research has received a great deal of attention, but too often it is conceived principally as a methodological question rather than an ethical one. Good education research is a matter not only of sound procedures but also of beneficial aims and results; our ultimate aim as researchers and educators is to serve people’s well-being. For their research to be deemed good in a strong sense, education researchers must be able to articulate some sound connection between their work and a robust and justifiable conception of human well-being. There is a good deal of history and convention against such a conception of researchers’ work. We need to consider the conditions needed if that conception is to be realized. Among the conditions is a concerted and cooperative endeavor for moral education among researchers and the people with whom they work—a context where questions of wellbeing are foregrounded, welcomed, and vigorously debated.”

          Typisch zo’n verklaring “waarin wel wat zit”, op het eerste gezicht. Maar niet op het tweede want dan wordt duidelijk dat ‘moral education among researchers’ neerkomt op dwingelandij en dat dit steevast slecht, want vooringenomen, onderzoek oplevert.

          En dan blijkt dat aan de uitkomsten van slecht onderzoek niemand wat heeft. Er is geen achtergestelde groep, geen “praktijk” die ervan profiteert, ondanks de hooggestemde ethische verklaringen waarmee ze worden uitgeserveerd.

          Overigens is ER geen researchperiodiek, laat staan top, eerder een forum voor onderzoekers die elkaars werk van commentaar voorzien. In de kolommen van ER met een gekleurde bril op zoals de bespreking van het NMAP rapport inderdaad pijnlijk duidelijk maakt.

          Willem Smit

          • Ongehoord
            Het is dus allemaal nog erger…. Als wetenschapper word ik hier zowel droevig van als boos over. Volgens Educational Researcher, is onderzoek dus ‘goed’ als het de ideologisch juiste uitkomsten heeft en ‘niet goed’ als het de ideologisch onjuiste uitkomsten heeft.

            Mijn referentie naar de Australiers (waarvan de link weggevallen was, nu hersteld) is naar hun ‘Excellence in Research for Australia (ERA) Initiative’. Als onderdeel daarvan hebben ze voor alle wetenschapsgebieden cijfers gegeven aan wetenschappelijke tijdschriften. Educational Researcher kreeg een A*, wat volgens de criteria staat voor

            “Virtually all papers they publish will be of a very high quality”.

            Dit is dus de hoogste kwaliteit in onderwijsonderzoek….

          • Verval nu niet in dezelfde fout …..
            Mark,

            Verval nu niet in dezelfde fout die Freudenthal heeft gemaakt: psychologie en onderwijsonderzoek wegwuiven omdat het hem niet bevalt (zowel in zijn filosofie van het wiskundeonderwijs ‘Mathematics as an Educational Task’ van 1973, als in ‘Weeding and Sowing’ van 1978), en verder de eigen eigenwijze weg gaan in het ongeleid heruitvinden van onderwijswielen. En daar het onderwijs aan blootstellen, zonder de veiligheidsgordels van empirisch toetsend onderzoek (jazeker, onderwijsonderzoek!) op de sterke claims die hij meende te kunnen doen in afwijking van wat in wetenschappelijke kringen algemeen als wijsheid werd gezien.
            Ik begrijp dat Freudenthal begin zeventiger jaren intensief contact had met Van Parreren (auteur van Psychologie van het leren’, hoogleraar psychologie in Utrecht, opvolger van Linschoten), maar kennelijk was dat niet voldoende om hem voor talrijke dommigheden te behoeden, en Nederland voor het realistisch rekenen.

          • Educational Researcher
            Ik heb het artikel van Karl Hostetler erbij gepakt. Het is voorzover ik kan zien geen ‘redactionele verklaring’, er staat zelfs bij

            this material does not necessarily reflect the views of AERA nor is it endorsed by the organization.

            Wat betreft het wegwuiven van psychologie en onderwijsonderzoek dat mij niet bevalt, het volgende. Het probleem is dat wat ik als wetenschapper (in een heel ander vakgebied, maar toch) en docent meen te herkennen als goed onderzoek (Simon, Van Putten,…) in onderwijsonderzoek kringen niet algemeen als wijsheid wordt gezien en wat ik als wetenschapper en docent meen te herkennen als slecht onderzoek in onderwijsonderzoek kringen wel algemeen als wijsheid wordt gezien (constructivisme, realistisch rekenen en dergelijke).

            Ik ben zo zelfverzekerd (of arrogant zo je wilt) om te denken dit ik het bij het rechte eind heb en de ‘onderwijsonderzoek kringen’ het verkeerd hebben. Het probleem is echter dat voor de buitenwereld (en dat is inclusief het ministerie, mijn universiteit en dergelijke) ik slechts een wetenschapper in een ander vakgebied en docent ben en deze mensen (als het Freudenthal Instituut en hun verwanten) de experts.

          • Niet waar
            Dat is niet waar Ben, want het gaat mij niet om ‘onplezierige’ uitkomsten. Het gaat mij om slecht uitgevoerd empirisch onderzoek of (zoals meestal) het geheel ontbreken van empirisch onderzoek. Of hele vergaande aanbevelingen voor de praktijk gebaseerd op flinterdun empirisch onderzoek.

          • Wat zijn dan goede criteria?
            Mark,

            Ik sta wèl in de schoenen van Hostetler. Het citaat dat Willem Smit geeft, wijst er niet op dat Hostetler een bijdrage zoals die van Anderson, Reder & Simon zou afwijzen.
            Opvattingen zoals van Hostetler waren enkele decennia geleden gemeengoed in onze universiteiten (ik doel niet op de marxistische uitwassen): de academicus heeft een bijzondere verantwoordelijkheid tegenover de samenleving. Ik ben bang dat er tegenwoordig maar weinig afstudeerders zijn die nog enig besef hebben dat er zoiets als een verantwoordelijkheid tegenover de samenleving bestaat. Als dat ook nog samengaat met niet gevormd zijn in het doen van onderzoek, dan staan alle sluizen open voor Slash21-toestanden.

            Ik kan het een heel eind met je eens zijn, zeker op het punt dat er (veel) beroerd onderwijsonderzoek bestaat (zoals in de meeste disciplines het geval zal zijn), maar niet met de omkering dat onderwijsonderzoek beroerd is. Dat is een generalisatie die kan uitmonden in het jezelf verlenen van een vrijbrief om maar helemaal geen empirisch toetsend onderzoek te doen, zoals het team van Hans Freudenthal heeft gedaan. We zijn het erover eens, ook Hostetler zou ermee instemmen, dat dit niet doen van onderzoek ongewenst is en vroegtijdig gesignaleerd had kunnen en moeten worden door belanghebbenden.

            Zo zoek ik naar wat er in het traject van wiskobas tot vandaag is misgegaan, in wetenschappelijke zin, en in verantwoordelijkheid naar de samenleving toe. Als dat helder is te krijgen, kunnen we een volgende ramp in het onderwijs hopelijk voorkomen (jammer dat we nu al middenin meerdere rampen zitten). Als ik me niet vergis, zitten wij beiden hier op één lijn.

          • Op 1 lijn
            Ik zie niet in hoe we niet op 1 lijn zitten Ben. Jij lijkt te denken dat ik alle onderwijsonderzoek diskwalificeer, maar dat is niet zo.

          • Freudenthal predikte revolutie, Mark restauratie
            Ik denk dat wat Mark hier betoogt niet dezelfde fout is als die Freudenthal maakte. Freudenthal wilde een rekenrevolutie en ging tegen de gangbare en beproefde praktijk in. Helt lijkt me dat hij die wenst te veranderen aantoont dat dat een verbetering is. Mark wil terug naar de beproefde praktijk.

          • GEEN onderzoek is in ieder geval slecht onderzoek
            Willem,

            Je citeert inderdaad mooie en dus bedrieglijke kletsika over wat ‘goed’ onderzoek is.

            Een beetje nuchterheid kan helpen. Een werkelijk heel beroerd type onderzoek is het onderzoek dat ten onrechte niet wordt gedaan. De realistisch rekenaars uit Utrecht grossieren in uitspraken over wat goed rekenonderwijs zou zijn — stuk voor stuk dus uitspraken die empirisch toetsbaar zijn — zonder die empirische toetsing volgens de regelen van die kunst voor eigen rekening te nemen. ‘Volgens de regelen van die kunst’ sluit het typische ontwikkelingsonderzoek — design research — van de ontwikkelaars van realistisch rekenonderwijs uit. Ook de commissie-Lenstra pdf, deels samengesteld uit leden gecommitteerd aan het realistisch rekenen, kon er niet omheen te constateren dat er van het FI geen empirisch toetsend onderzoek was in de daarop onderzochte periode (tot ca 1990).

            Het welzijn van leerlingen en toekomstige burgers van de samenleving tot criterium voor ‘goed’ onderzoek maken is een ingewikkelde manier om te zeggen dat bijvoorbeeld onderwijsonderzoekers die vermoeden dat een bepaalde ontwikkeling in het onderwijs de leerlingen wel eens zou kunnen benadelen — zoals voor realistisch rekenen voor velen herkenbaar al het geval is vanaf de zeventiger jaren — gehouden zijn om te pleiten voor het doen van onderzoek daarnaar (als zij zelf niet in staat zijn om dat onderzoek aan te vangen).

            vv

          • vv
            Anderson, Reder en Simon pdf wijzen in hun artikel op de noodzaak om de grote claims van bepaalde onderwijsvernieuwers op hun juistheid te onderzoeken, op zijn minst of allereerst analytisch door te kijken of ze overeenstemmen met huidige wetenschappelijke inzichten, en zeker wanneer over dat laatste twijfel bestaat door het doen van empirisch onderzoek op de empirische claims van deze hardlopende vernieuwers. Een artikel met deze strekking weigeren, kan onmogelijk het welzijn van wie dan ook dienen. Die Karl Hostetler, geciteerd door Willem Smit, trapt op zijn eigen staart.

            Eigenlijk valt deze thematiek onder het bereik van de rechtvaardigheidstheorie van Amartya Sen, een andere nobelprijswinnaar economie (de eerste is Herbert Simon, van Anderson, Reder en Simon): het gaat om vrije toegang tot informatie (mijn parafrase; veel te kort natuurlijk). Het NIET doen van onderzoek waarin je je eigen theorie kwetsbaar maakt, druist daar tegenin.

            • Amartya Sen (2009). The idea of justice. Allen Lane.
              • recensie door Irene van Staveren pdf
  13. ander voorbeeld: 25% van 80
    Dit soort sommen moest bij een RR-methode ook ‘inzichtelijker’ worden opgelost.
    Eerst moest een leerling een schema maken met een rij tellers (niets als zodanig benoemd) en een rij noemers (idem) eronder.
    Dan werd 25% 25/100, lees: 25 van de honderd.
    Heel goed.
    Daarna werd de vraag opgeroepen: hoeveel is dit nu van de 80?
    Er moest dan een rijtje lege ‘noemers en tellers’ worden genoteerd, waarna een leerling middels delen en/of vermenigvuldigen bij 80 moest uitkomen.
    In dit geval zou een leerling moeten zien dat je eerst naar ‘twintigste’ kon gaan (delen door 5: teller dan ook delen door 5), wordt dus 5/20.

    Leerling moest zien dat zowel de teller als de noemer door hetzelfde getal gedeeld kunnen worden. Dit terwijl de breukenbewerkingen allesbehalve grondig waren aangeleerd!
    Maar die leerling had ook al, vooruitziend, moeten ontdekken dat je van ‘twintigste’ goed kon springen naar ‘tachtigste’.
    Van twintigste naar tachtigste, is dus maal 4.
    Teller ook maal 4: krijgen we 20/80, te lezen als 20 van de 80.
    25 Van de 100, is dus hetzelfde als 20 van de 80.
    Waarmee 25% van 80 dus 20 oplevert.

    Ik heb geploeterd, maar niet gezien dat hier ‘begrip’ werd bijgebracht; vooral voor de zwakkeren was er sprake van een erg gecompliceerde gebeurtenis.

    Veel gemakkelijk was natuurlijk de oude methode: 25% betekent 25/100, betekent 1/4. Een kwart van 80 betekent 80 gedeeld door 4.
    De ‘inzichtmethode’ lukt dan ook nog alleen als de getallen kloppend zijn gemaakt.
    Bij getallen als 25% van 74, lukt de methode niet meer.
    Dan werkt het oude systeem veel beter.
    En als de percentages niet ‘netjes’ zijn, b.v. bij de som 13% van 140, dan is de RR-methode volkomen onwerkbaar geworden.
    Dan kan ook een zwakke leerling veel beter uit de voeten, als het eerst 1% uitrekent (1,4) om dit vervolgens met 13 te vermenigvuldigen.

    • Procenten
      Kortom: van leerlingen die geen grondige leergang breuken achter de rug hadden en die ook de tafels van vermenigvuldiging niet grondig hadden geleerd, werd verwacht dat zij zouden ‘inzien’ hoe je in sprongen (delen of vermenigvuldigen) van 100 naar 80 zou kunnen gaan.

      ‘Nee, nee, niet optellen of aftrekken!’ Dat begrepen ze niet.
      Dat moesten ze gewoon maar onthouden.
      Maar ze hadden tevens moeten begrijpen dat met de teller hetzelfde gebeurt als met de noemer, hoewel er geen degelijke breukentrainingen aan vooraf waren gegaan.
      Hooguit hadden ze leren ‘begrijpen’ dat 2 van 4 hetzelfde is als 8 van 16, of 5 van de 10.

      Het werkte gewoon niet. Het was slechts ingewikkelder geworden.

      • procenten andersom
        Bij de volgende vraag: ‘Van een groep van 40 leerlingen zijn er 6 op een dag ziek. Hoeveel procent is er dan ziek?’, werd de volgende oplossingsstrategie voorgesteld:

        Zes van 40 leerlingen was ziek: hoeveel is dat van de 100?
        6 van de 40 =

        3 van de 20 =

        15 van de 100 = 15%

        Een elegante methode.
        Maar voor de zwakkeren niet echt inzichtelijker.
        Daarbij bleef juist het voor hen bij de RR-methode lastig om onderscheid te kunnen zien tussen ‘hoeveel is zoveel procent van..’ en ‘hoeveel procent is dit?’

        Zet je zulke leerlingen een hele bladzijde voor met soortgelijke sommen,
        4% van 20
        4% van 40
        4% van 100
        5% van 10
        5% van 60 enz. enz.,
        met de opdracht steeds eerst 1% uit te rekenen,

        kunnen zij veel beter uit de voeten.

        • Leg es uit juf!
          Leg eens uit juf, alsjeblieft. Ik begrijp de vergelijking tussen de twee soorten oplossingsmethodes niet.

          Nou ben ikzelf ook geen rekenwonder. Wat ik zou doen is waarschijnlijk fout realistisch. 40 leerlingen ophogen naar honderd (dus 2,5 x) en dan ook 2,5 x 6 leerlingen berekenen. Dan moet het aantal zieken (15) gelijk zijn aan het percentage, dus 15.

          • 40 leerlingen ophogen
            Maak er geen rommeltje van, anders heb je bij iedere nieuwe context een nieuw rommeltje.

            ‘Van een groep van 40 leerlingen zijn er 6 op een dag ziek. Hoeveel procent is er dan ziek?’,

            Gooi eerst de context weg: maak er een kale som van.
            Dat is nog niet eens eenvoudig, want de kale som is in feite een tussenstap: erna moet je 15/100 nog vertalen naar 15%, en aangeven % wat van wat.

            • Wat is hier het rekenmodel (kale rekensom)? 6/40 = ../100
            • Hoeveel % dat? 15
            • Procent van wat? Van de veertig leerlingen.
            • Wat is daarmee, dan? Die zijn vandaag ziek.
            • Dus: Op een dag is 15% van 40 leerlingen ziek.

            Zo kijk ik als ontwerper van toetsvragen tegen deze contextsom aan. Hij is dus knap ingewikkeld, en behoorlijk talig, armzalig van context want welke 40 leerlingen zijn dat eigenlijk, en overbodig.

            Deze contextopgave struikelt op wat je mijn overbodigheids-criterium (geintje) zou kunnen noemen:
            De informatie dat op een dag 6 van 40 leerlingen ziek zijn, is meestal beter dan de informatie dat 15% van 40 leerlingen ziek is (dat wil je immers meteen omrekenen naar hoeveel dat er dan zijn). De ontwerper van deze contextvraag houdt de leerlingen gewoon voor de malle, en het kan niet missen of die leerlingen voelen dat aan.

            Als de RR-juf wil dat leerlingen deze som ‘inzichtelijk’ oplossen, dan zou ik, als haar leerling, het bovenstaande als mijn inzichtelijke verkregen antwoord inleveren.

  14. transfer: het nut, of de vorming?
    Transfer (letterlijk: overdracht) is het verschijnsel dat iemand kennis opgedaan in A, ook in B gebruikt. Op school geleerd en in het werk toegepast valt er eigenlijk niet onder. Maar goed, laten we het begrip breed nemen. Er is veel over te zeggen, en ik zal er tzt nog een of meer blogs aan wijden. In deze reactie vraag ik aandacht voor het eerste citaat van Freudenthal in deze blog: hij zegt dat veel mensen er niet in slagen hun theoretische kennis ook praktisch te benutten.

    In een aardig boekje van Boermeester, 1955 (p. 6 e.v.), is transfer niet alleen een kwestie van praktisch nut, maar bij sommige auteurs ook van vormend nut (‘leren denken’). Voor de Mulo was er juist een onderscheid aangebracht tussen een programma met handelsrekenen en boekhouden (praktisch) en programma’s met minder of meer wiskunde (vormend).

      • Dit bewijst dus, dat langzamerhand het inzicht is doorgebroken, dat de wiskunde, voor een vrij groot deel van de Mulo-bevolking geen inhouds-nut bezit en wel voornamelijk voor die leerlingen, waarvoor deze school eind-onderwijs geeft en voor hen, die hun plaats op kantoor of in de handel gaan innemen. (…) Anders is het ten aanzien van het formele nut. Het is niet gemakkelijk uit te maken, of wiskunde werkelijk vormende waarde bezit. (blz. 6)

      • C. Boermeester (1955). Over meetkunde-onderwijs en psychologie. Het klassegesprek en andere didactische mogelijkheden voor het meetkunde-onderwijs aan Mulo-scholen gebaseerd op psychologische inzichten. J. B. Wolters.


    vv

  15. vv transfer
    Boermeester citeert o.a. Freudenthal uit een discussie met Mevr. Ehrenfest-Afanassjewa met uitspraken die contrasteren met uitgangspunten van realistisch rekenen. Hopelijk geeft de biografe van Freudenthal hier meer duidelijkheid over.

      • Men begrijpe mij goed: ik acht het niet onmogelijk, dat men, een speciaal vak beoefenende, (dus b.v. wiskunde — C. B.) ook opvoedt tot denken in meer algemene zin. Maar ik vrees, dat men op drijfzand bouwt, wanneer men de uren, die het één of andere schoolvak opeist, wil rechtvaardigen met een beroep op de denkoefeningen, waaraan die tijd zou worden besteed. (…) De wiskunde is namelijk het slechtste terrein om deze gewoonte (namelijk de gewoonte iets te willen begrijpen en niet een oordeel of een regel op vreemd gezag gezag te slikken) met hoop op overdracht te beoefenen. Dit is het noodlottige gevolg van de “eenvoud” der wiskunde. De wiskunde is in dit opzicht veel te weinig problematisch, omdat haar te eenvoudige structuur haar in hoge mate vrijwaart tegen het optreden van tegenstrijdigheden. In de wiskunde is er ook een gezag, namelijk het gezag der juistheid. Tegen zulk een gezag zich in critiek te oefenen, is uiterst moeilijk, want hoe meer men zich van de wiskunde verwijdert, hoe groter het slagveld van tegenstrijdigheden wordt.
        blz. 8, citaat uit gesprek tussen Ehrenfest-Afanassjewa en Freudenthal

    Leren denken = leren probleemoplossen?
    Waarschijnlijk (Boermeester noemt geen bron) gaat het om deze discussie:
    T. Ehrenfest-Afanassjewa en H. Freudenthal (1951). Kan het wiskundeonderwijs tot de opvoeding van het denkvermogen bijdragen? Purmerend: J. Muusses. [Ik heb dit boekje niet gezien, moet ervoor naar het Museum Boerhaave]

    • De ironie der exacte vakken
      Juist door exacte studiegebieden zich richten op gemakkelijk verifieerbare feiten zijn exacte vakken zo ingewikkeld. Vergelijk het maar met hoe je de meest ingewikkelde bouwwerken kan maken juist door op een hele simpele wijze de stenen te maken waarmee je die bouwt.

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.