De Rekentest Referentieniveau 2F HIER bestaat volledig uit redactiesommen die kennelijk zijn bedoeld om te toetsen of men in de aangegeven situatie goed kan rekenen, schattend rekenen, or whatever. Met ‘redactiesommen’ bedoel ik wat in Angelsaksische landen word problems heten.
Is ook uit het referentiekader HIERaf te lezen dat deze redactieopgaven bedoeld zijn als ‘realistische contexten’ voor het rekenen? Ja, dat is wel zeker. Ik geef enkele citaten.
- in een betekenisvolle situatie een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal [niveau 1F Paraat hebben]
- in contexten de “rest” (bij delen met rest) interpreteren of verwerken [idem]
-
verstandige keuze maken tussen zelf uitrekenen of rekenmachine gebruiken
(zowel kaal als in eenvoudige dagelijkse contexten zoals geld- en meetsituaties) [idem] - uitspraak, schrijfwijze en betekenis van negatieve getallen zoals ze voorkomen in situaties met bijv. temperatuur, schuld & tekort, hoogte en op de rekenmachine [niveau 3F Paraat hebben]
- getallen: 4862 m3 gas is ongeveer 5000 m3 [niveau 2F Functioneel gebruiken]
Het is waarschijnlijk wel aannemelijk te maken dat de rekenopgaven in de eerste editie van Bartjens, en latere edities, in deze zin als ‘realistisch’ waren bedoeld. Het fenomeen is dus niet iets van alleen de laatste decennia onder invloed van de school van Hans Freudenthal.
Maar in het wiskundeonderwijs zijn redactieopgaven toch iets anders. Ik worstel ermee. Ik heb dus maar eens mijn Polya (1962) erop nageslagen.
- One pipe can fill a tank in 15 minutes, another pipe can fill it in 20 minutes, a third pipe in 30 minutes. With all three pipes open, how long will it take to fille the empty tank? [p. 29]
Dit is geen ‘realistische’ stuatie, maar daar gaat het ook niet om. Het gaat om de manier waarop dit probleem is op te lossen, dus om de wiskunde, niet om de technologie.
- A farmer has hens and rabbits. These animals have 50 heads and 140 feet. How many hens and how many rabbits has the farmer? [p. 23]
Dit is verrukkelijk ‘onrealistisch.’ Het is volgens de regels op te lossen (algebraïsch, zoals Descartes het graag zag), met uitproberen, of via een brainwave (laat de kippen op 1 poot staan, de konijnen op twee, dan is dus het aantal konijnen 70 – 50 = 20).
- A patrol plane flies 220 miles per hour in still air. It carries fuel for 4 hours of safe flying. If it takes off on patrol against a wind of 20 miles per hour, how far can it fly and return safely? [p. 30]
Dit ziet er iets realistischer uit, en heeft dus meteen ook problemen. Het is instructief te lezen wat Polya erover heeft te melden. Voor de ontwerper van keuzevragen zit daar een les in: geef altijd gelegenheid voor toelichting op gegeven antwoorden, laat kladpapier inleveren, etc.
- It is understood that the wind is supposed to blow with unchanged intensity during the whole flight, that the plane travels in a straight line, that the time needed for changing direction at the furthest point is negligible, and so on. All word problems contain such unstated simplifying assumptions and demand from the problem solver some preliminary work of interpretation and abstraction. This is an essential feature of the word problems which is not always trivial and should be brought into the open, at least now and then.
Polya schrijft hier voor leraren wiskunde die in opleiding zijn. Het niveau is dus niet 2F, maar de strekking van de voorbeelden is duidelijk. Het gaat niet om training om in gegeven situaties wiskundig juist te handelen, maar om problemen met een wiskundig karakter wiskundig aan te pakken en op te lossen. Voor hem is dat ook de crux van wiskundeonderwijs (high school). Al problemen oplossend verwerven leerlingen zich een uitgebreid repertoire van patterns die bruikbaar zijn bij het oplossen van weer nieuwe problemen, een repertoire van wiskundige kennis dus. Het is alsof hij beschrijft hoe mijn eindexamen in 1962 was ingericht.
Bij realistisch rekenen is het, vanuit de optiek van Polya, de omgekeerde wereld: de aangedragen situaties dienen om het rekenen te motiveren, ‘betekenis’ te geven, en wat niet al (zie bijvoorbeeld Goffree, 1994 p. 176-177 Context is meer dan tekst). Deels in overreactie op wat ‘realistische’ auteurs mechanistisch rekenen noemen: het opdreunen van de tafels van vermenigvuldiging (bv. Goffree, 308, en het werk van Treffers).
Wiskunde en didactiek, van Goffree, is een prachtig boek, rijk materiaal. Maar het maakt de indruk dat rekenen voortdurend rechtvaardiging behoeft, dat het altijd ergens nuttig voor moet zijn, ook om het te kunnen begrijpen, waarvoor dan weer veel reflectie nodig is. Dat is doorgeschoten.
De vraag is: hoe de redactieopgaven (zoals die van Polya) te onderscheiden van de contextopgaven uit het realistisch rekenen? Dat is niet altijd ‘op zicht’ mogelijk in individuele gevallen, maar als een hele rekentest niveau 2F uit contextopgaven bestaat, dan lijken me de rapen wel gaar.
Het is nog iets ingewikkelder, want er is nog een derde categorie, die van de denkopgaven. Ik ben geneigd, waar het om toetsen en examens gaat en dus niet om instructie, om denkopgaven af te serveren als opgaven die in een intelligentietest thuishoren, tenzij het redactieopgaven zijn in de zin van Polya, dus opgaven die oplosbaar zijn voor wie zich door opletten en oefenen de nodige patterns voor het aanpakken en oplossen van dergelijke problemen heeft verworven.
- Fred Goffree (1982/1994). Wiskunde & didactiek 1. Wolters-Noordhoff.
- George Polya (1962, 1965). Mathematical discovery. On understanding, learning, and teaching problem solving. Volume I, II. John Wiley.
Ben Wilbrink.
Inz. redactieopgaven
U geeft uitstekend aan wat het verschil is tussen goede redactieopgaven en het contextgeneuzel: het eerste is een rekenopgave; het tweede is eigenlijk helemaal niets. Ik ben het niet met u eens dat het onderscheid tussen rekenen en niet-rekenen zo moeilijk te maken is. De voornaamste voorwaarde is m.i. dat je het zelf goed kunt en ook iets van wiskunde weet. Zo’n onderwijzer weet ook wel hoe een goede toets eruit ziet: een evenwichtig mengsel van cijfersommen en redactiesommen, niet vervuild door enigerlei vorm van ideologie. Deze kennis en dit beoordelingsvermogen is vast nog wel aanwezig. De kwestie is vooral hoe we figuren als van Bijsterveldt kunnen laten inzien dat zij de opdracht om die referentieniveaus in elkaar te zetten aan volstrekt foute figuren heeft gegeven (was dat niet weer het Freudenthal Instituut?).
Als deze vaagheid de maat moet zijn waarlangs we rekenprestaties gaan meten dan kan je bij het hoogspringen inplaats van een lat ook wel een dikke laag slagroom opspuiten. En wie weet mogen ze er dan ook nog dwars doorheen in plaats van eroverheen.
U mag mij tutoyeren, wanneer
U mag mij tutoyeren, wanneer u dat wil. 😉
Ik twijfel er niet aan dat veel wiskundigen in staat zijn om redactiesommen te maken, ik vrees echter dat onherroepelijk het resultaat al snel is dat niet-wiskundigen zoals onderwijskundigen sommen opstellen omdat, juist door de grote hoeveelheid tekst, de indruk ontstaat dat dit soort mensen dat ook wel kunnen.
Geen onderwijskundige, psycholoog enz. zal pretenderen verstand te hebben van rekendidactiek wanneer er enkel getallen zijn, zogauw er een lap tekst staat en de uidaging wordt om leuke context te bedenken lijkt het bedenken van die sommen al heel wat toegankelijker voor de leken.
Ik reageer nu ook eventjes op een opmerking hieronder: ik ben er optimistisch over dat politici wel degelijk te overtuigen zijn via wetenschappelijk onderzoek (deskundig wetenschappelijk onderzoek, deskundig laat ik hier weg omdat dit een pleonasme is of behoort te zijn).
Je moet er echter wel voor zorgen dat je de resultaten van dit wetenschappelijk onderzoek op zo’n manier mededeelt aan de politici dat zij weten dat tevens het grotere publiek hiervan op de hoogte is en zodoende de publieke opinie mee vormt.
Ik twijfel er niet aan dat elementen van het realistische rekenen nuttig kunnen zijn, zolang het beperkt blijft tot een klein deel van het rekencurriculum.
Ik heb nog nooit enige twijfel gezien over het introduceren van breuken d.m.v. een taart of een pizza, zogauw je die inleiding echter gehad hebt dan is maximalisatie van de oefentijd prioritair wat bekomen wordt met kale sommen.
Inderdaad kan het nuttig zijn om leerlingen eens het aantal gram suiker in verschillende producten met een verschillende samenstelling en gewicht uit te laten rekenen, zo’n opgave kan motiverend werken en het zelfvertrouwen een boost geven maar slechts een kleine minderheid van de opgaven moet zo’n contextsom zijn n.m.o.
inderdaad Bart,
Er is niks mis met realistische contexten.
Realisme is de perfecte inleiding voor het rekenonderwijs.
Maar we moeten gewoon erkennen dat ‘rekenen’ als bezigheid al zeer snel abstract wordt.
Rekenen = abstract.
En gaan erkennen dat het ook abstract is, die abstracties te koppelen aan wat eerst zo realistisch werd voorgesteld.
In mijn ervaring heb ik gezien hoe kinderen juist op dat moment het verband helemaal misten. Juist de zwakkeren, voor wie dat realistisch rekenen werd bedacht.
Terwijl juist de zwakkeren waren gebaat bij klassikaal onderwijs en regelmatig oefenen, werden juist zij het slachtoffer van vernieuwingen die voor hen bedoeld waren.
Het traditioneel onderwijs beloofde betere resultaten voor de zwakkeren, dan het realistisch rekenen.
Want bij het realistisch rekenen werden veel meer extra vertaalslagen verlangd! Dat is juist voor de zwakkeren te veel.
Vaak heb ik moeten vaststellen dat, dat wat bedacht werd voor de zwakkeren, in feite die zwakkeren juist op achterstand bracht.
Zo is groepswerk bedoeld om de zwakkeren mee te laten liften met de ‘beteren’, terwijl de ‘beteren’ zich zouden bekommeren om de zwakkeren.
Praktijk werd, dat de zwakkere alles aan de de betere te danken had ( zijn cijfer b.v.), maar dat hij in dat groepsgebeuren helemaal niets had bijgeleerd. Waar de betere vooral gefrustreerd werd.
Ik kan mij daarom helemaal vinden in de rekenmethode die BON hier propageert (naam is mij even ontschoten)!
Rekenmethode: Reken Zeker
Je bedoelt: Reken Zeker, ontwikkeld met medewerking van de stichting goed rekenonderwijs, uitgegeven door Noordhoff
De essentie van het rekendebat
We zijn het alweer helemaal met elkaar eens moby.
Ik denk dat we hier inmiddels aardig duidelijk hebben uitgekristalliseerd wat de zwakte is van het centraal stellen van realistisch rekenen.
– te weinig oefentijd door afleidende zaken
– geen overstap naar abstractie, terwijl juist die abstractie omwille van de structuur de zwakkere rekenaars kan helpen. Je hoeft niet te weten hoe het werkt als je maar weet dat het werkt, net als dat bijvoorbeeld het geval is bij het oplossen van eerste- en tweedegraadsvergelijkingen. Wie snapt waar de wortelformule vandaankomt of waarom de stelling van Pythagoras werkt? Vrijwel niemand en toch werkt het prima.
– wel een geschikte vorm om iets in te leiden maar ongeschikt om ermee te blijven werken. Inderdaad, dat is niets nieuws onder de zon. De eerste stap van realistisch rekenen is dat kinderen met hun vingers tellen, wie weet is zo het rekenen zelfs ooit ontstaan (10 vingers, 10 getallen).
Dat is een vrij traag proces in vergelijking met de stap van 10 naar 100 maar dat hindert niet omdat het kind met deze methode slechts 10 getallen hoeft te leren.
Het is onmogelijk om zo door te gaan t/m 100 en hoger en gelukkig hoeft dat ook niet aangezien het voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen volstaat wanneer je alle bewerkingen kan uitvoergen met een willekeurige combinatie van de eerste 9 positieve getallen en 0. Voor delen hoef je slechts de tafels t/m 10 x 10 te kennen.
Het zou tijdrovend zijn om t/m de 100 steeds met de vingers te tellen en zo te leren rekenen, daarom maken we boven de 10 de stap naar abstractie.
Soms vraag ik me af ofdat sommige mensen niet juist het realistische rekenen in stand willen houden omdat ze beseffen dat er heel wat minder geld te verdienen is met het opstellen van een ‘soberdere’ maar succesvollere methode.
Moeten rennen voordat je kan kruipen
Realistische opgaven kunnen bij wiskunde en natuurkunde best interessant, uitdagend en nuttig zijn.
Een simpel voorbeeldje: 1 vliegtuig stijgt op en vlieg met 800 km/uur naar het oosten, 400 km. ten noorden en 400 km. ten oosten stijgt een kwartier later een 2de vliegtuig op die naar het zuiden vliegt. Wat is de minimale afstand tussen deze vliegtuigen.
Met deze opgave is voor zo ver ik dat als relatieve wiskundeleek kan beoordelen niets mis: een kleine vertaalslag van praktijk naar theorie (assenstelsel met 2 assen, evt. uit te breiden tot 3 wanneer je de hoogte van de vliegtuigen ook weergeeft), vergelijkingen voor x en y opstellen met de parmeter tijd, afstand uitdrukken en differentiëren.
Echter, je moet al enige wiskundebasis hebben voordat je zo’n opgave kan oplossen, in Nederland volgens mij 4-havo/5-havo.
Daar gaat het volgens mij vaak dan ook mis met contextwiskunde, net als bij contextrekenen. Contexten worden gebruikt om de principes aan te leren. Nu is er ook bij wiskunde niets mis met een concreet voorbeeldje om theorie te introduceren (kinematica bij differentiëren bijv.) maar je kan m.i. beter niet zo de technieken inoefenen. Eens je die technieken wel goed beheerst, dan en pas dan is het aardig om eens wat contextopgaven op te lossen.
Een vak als mechanica is een en al context, wanneer je de vele verwaarlozingen buiten beschouwing laat. Mensen die dit volgen hebben normaal gesproken wel al een aardige basis in wiskunde en dat hebben ze ook hard nodig wanneer ze mechanica op niveau studeren.
Eerst kruipen, dan wandelen en pas dan rennen.
toegepast rekenen
Goede redactiesommen zie ik als ’toegepast (meervoudig) rekenen’. Ze zijn een sluitstuk, volgend op gedegen voorbereidend rekenonderwijs.
Het lijkt erop dat de makers iets als ‘burgerschapsrekenen’ hebben bedacht. In de plaats van ‘handelsrekenen’.
De vaardigheden van het handelsrekenen blijven echter noodzakelijk, ook bij het burgerschapsrekenen.
contextrekenen en redactiesommen
waar redactiesommen ooit geconstrueerde sommen waren om in een verhaaltje het kunnen toepassen van aangeleerd rekenen te testen, zijn contextsommen van een volledig andere orde. Contextsommen dienen vanaf het begin om leerlingen te leren rekenen. Leren optellen en aftrekken gaat bv met de context van de bus die bij haltes mensen oppikt en ook laat uitstappen.
Die contexten worden via de methode van de progressieve schematisering als het goed is steeds minder concreet, steeds abstracter. In het begin is er misschien zelfs een speeldgoedbus met poppetjes, iets later wordt een bus met passagiers getekend, weer later een hokje met turven of een hokje met een getal er in en uiteindelijk de som als 4+2=6, in de meest abstracte vorm.
Die schematisering heeft de bedoeling dat leerlingen steeds terug kunnen gaan naar een vorig abstractieniveau en zo steeds begrijpen waarom een som op een bepaalde manier gemaakt moet worden. Feitelijk wordt hier de prehistorie overgedaan natuurlijk. Ook daarvoor kent men een mooie term: “guided reinvention”.
Toen ik het voor de eerste keer hoorde, leek het me begrijpelijk en zinvol. Nu ben ik wijzer, de resultaten zijn rampzalig en dat had ik 30 jaar geleden eigenlijk ook wel direct kunnen bedenken
Re: contextsommen en redactiesommen
Nee 2010, dat had je 30 jaar geleden niet kunnen bedenken. Wat ‘ze’ 30 jaar geleden wel hadden moeten bedenken is dat, om te ontdekken of rekenen via contexten leren beter gaat dan op de traditionele manier, je wetenschappelijk onderzoek moet doen. Testgroep, controlegroep etcetera.
Op hoeveel verschillende manieren kan de muis bij de kaas komen?
Het is een idee van alle tijden dat rekenen gaat met knikkers, streepjes, een telraam, een abacus. Hoe leer je kinderen rekenen? Kennelijk ook door te beginnen op concreet niveau. Ach, dat is ook prima. Totdat het concrete niveau zelf zo uitvoerig en ingewikkeld gaat worden, dat de kinderen eerst moeten leren om met het concrete materiaal om te gaan, en dat moeten ze later dan weer afleren. Tel uit je winst. Kortom, er is dus ook al heel lang strijd over het eerst leren rekenen op concreet niveau.
Kijk je dan een boek zoals dat van Fred Goffree in, dan zie je ongelooflijk veel tekst en afbeeldingen van van alles en nog wat, en maar weinig wiskunde. Bijvoorbeeld: hij geeft veel opdrachten, en ook de uitwerkingen van die opdrachten. Op zich heel goed. Maar hoe heten de antwoorden: ‘Reflectieve oplossingen.’ Zie de actuele draad van Jeronimoon over het thema reflecteren. Kortom, Fred heeft zich helemaal suf gereflecteerd, zijn studenten moeten dat ook doen, en de opdrachten die Fred geeft zijn ook gericht op dat reflecteren. Dat gaat dus niet alleen over ‘handig rekenen’ (waar je ook heerlijk eindeloos op kunt reflecteren) maar ook over eindeloos veel situaties waaraan je kunt rekenen, of die je kunt aanvoeren om een rekensom te concretiseren.
Wat er vermoedelijk gebeurt is dat de beschikbare tijd voor de rekenles goeddeels wordt verbruikt om de kinderen allerlei situaties te laten leren en handige oplossingen door te reflecteren. Dat is allemaal extra mentale belasting. Wat blijft er nog aan ruimte, tijd en energie over om aan rekenen zelf te besteden?
Waar is het onderzoek dat laat zien dat Goffree en de zijnen op de verkeerde weg zijn? Dat onderzoek begint bij goede cognitieve theorie, John Anderson’s ACT-R theorie dus maar weer.
Hoeveel onderzoek nog?
Ik denk dat we na dertig jaar praktijkervaring met contexten en RR toch wel een paar conclusies mogen trekken. Toegegeven, dat is dan niet wetenschappelijk, inderdaad.
De vraag is of mensen die 30 jaar geleden het RR zonder wetenschappelijke onderbouwing hebben ingevoerd nu opeens overtuigd zouden kunnen worden door wetenschappelijk onderzoek. We hebben het hier over macht, status, gezichtsverlies, geld en baantjes.
De vraag is ook of politici als Dijksma en van Bijsterveldt overtuigd kunnen worden door zulk onderzoek. Ik denk dat de dames veel eerder overtuigd zullen worden door de publieke opinie. Helaas bestaat er niet zoiets als een publieke opinie over het Freudenthal Instituut.
Er is weinig tegen een vergelijkend onderzoek tussen traditioneel rekenen en RR, maar de beslissingen worden op heel andere gronden genomen.
Later misschien nog een andere reactie maar first things first
Voor veel ‘reken’vragen uit die voorbeeldtoets hoeft niet eens gerekend te worden.
Vraag 2: weet je hoeveel gas een modale woning verbruikt per tijdseenheid?
Vraag 3: beseffen dat er geen fracties van mensen bestaan
Vraag 4: lezen dat je om 8u30 reist en dat je daarom geen gebruik kan maken van de voordeelurenkaart. Misschien is dit nog een leuke vraag voor tekstverklaren, het heeft in de verste verte niets met rekenen te maken.
Side note: er lijkt 11/2 te staan i.p.v. 3/2 wat gemakkelijk op te lossen was door daadwerkelijk 3/2 te typen i.p.v. 1 1/2 (door de te korte spaties is die spatie niet goed waar te nemen).
Vraag 8: het volstaat om in te zien dat een percentage X van minder dan 100% van een getal Y wat een percentage is van getal Z altijd minder is dan Y. Er wordt niet voor gerekend.
Vraag 9: het is blijkbaar aannemelijk dat ook het onderste deel van het grondvlak vierkant is maar dit valt zeker niet met zekerheid af te leiden uit de vraag. Met wat geluk beseft de leerling dat een piramide een vierkant is die steeds smaller wordt maar wanneer hij dat niet doorheeft dan is dat eerder te wijten aan een gebrekkige algemene ontwikkeling dan aan een gebrek aan meetkundige vaardigheden.
Vraag 11: staat bij meetkunde maar heeft noch met rekenen noch met meetkunde iets te maken. Kinderen die ‘hun’ pc als multimedia-apparaat gebruikt (zoals ik) kennen het antwoord, anderen niet. Wat het met meetkunde of rekenen te maken heeft…?
Vraag 12: Kan de sliert van Groningen naar Maastricht opgerold worden om binnen Flevoland te passen? Zien jullie het? images.google.com/imgres?imgurl=http://www.aer.eu/fileadmin/Images/ViCards/Region/Nederland/nederland_carte.gif&imgrefurl=http://www.aer.eu/home/from-the-regions/visiting-cards/country/nederland.html&usg=__b5fdMGRJkJegrbKfejzhF45oVWA=&h=487&w=451&sz=27&hl=en&start=2&um=1&itbs=1&tbnid=VCIFuHTXACIkbM:&tbnh=129&tbnw=119&prev=/images%3Fq%3DNederland%26hl%3Den%26rlz%3D1G1GGLQ_ENUS283%26sa%3DN%26um%3D1
Deel 2 van mijn analyse van die voorbeeldtoets
Vraag 13: hoe goed kan je het verschil zien tussen 2 millimeter en 2,3 millimeter?
Vraag 14: alweer tekstverklaren: zoek de juiste tabel naar aanleiding van de onzorgvuldig geschreven inleidende tekst.
Vraag 15: inzien dat een dalende lijn inhoudt dat de tijdsduur korter wordt en dat dit inhoudt dat de afstand sneller wordt overbrugd.
Vraag 1 is slecht gesteld: er wordt niet gemeld wanneer het tekort is opgelopen, op dezelfde dag of eerder? Bij een correcte formulering een aardige vraag, nu niet.
Vraag 7 is de enige rekenvraag die echt de toets der kritiek kan doorstaan en de enige vraag die aantoont hoe SOMS een contextsom toegevoegde waarde kan hebben al hebben die inleidende regels hier geen nut m.b.t. het rekenen (dat suiker slecht is weten ze hopelijk wel en dat kan anders nog verteld worden tijdens de biologielesjes).
Ik word hier niet vrolijk van en ik heb zo’n vermoeden dat deze ‘sommen’ voor een hoger niveau alleen maar gemakkelijker zouden zijn omdat er dan tenminste daadwerkelijk gerekend wordt.
Deze voorbeeldtoets is niet de best mogelijke toets voor contextrekenen (denk aan het klassieke reisvoorbeeld waarbij 2 mensen in de tegengestelde richting reizen) maar het geeft wel aan hoe moeilijk het blijkbaar is om goede contextsommen te maken en te verifiëren dat het goede contextsommen zijn.
Bij een analyse ofdat contextrekenen nuttig kan zijn moet m.i. ook de uitwerking hiervan worden meegenomen en dus ook de kans dat die uitwerking al dan niet goed gaat zijn en de toepasbaarheid op verschillende niveaus.
Kwaliteit van de reacties
De bijdragen in deze draad lezend denk ik aan de supporters bij een voetbalwedstrijd. Hun team doet het minder goed dan ze gehoopt hadden en het commentaar is dan ook niet van de lucht. Omdat de supporters al jaren naar de wedstrijden kmen, weten ze ook precies waar het aan schort en dat laten ze weten ook. Het bestuur grijpt in, de coach ruimt het veld, de nieuwe trainer doet het helemaal anders en hij heeft goed naar de supporters geluisterd. Die, op hun beurt, zijn niet te beroerd om als ook daarna de resultaten tegenvallen, weer precies te weten waar het aan schort en dat ook luidruchtig te laten horen. Zij weten immers precies hoe het zit: ze zijn al jaren voetballiefhebber!
Toch wordt nooit een supporter coach. Waarom niet? Ze denken er wel verstand van te hebben, maar in feite is dat helemaal niet waar!
En ik verdenk de meeste schrijvers van bijdragen in deze draad daar ook van. Ze kunnen allemaal uitstekend rekenen, maar betekent dat ook dat ze verstand van rekenonderwijs aan jonge kinderen hebben?
Ik kan dit natuurlijk niet wetenschappelijk bewijzen, maar toch: als werkhypothese is het geruststellend.
Neem de buscontext in groep 3. Voor kinderen die weten wat 5+4=… en 8-3=… betekenen, is de buscontext niet meer dan een plaatje in het boek, maar wat is er op tegen om kinderen die de betekenis van 4+5=… of 8-3=… niet doorzien, te helpen met de gedachte aan of het concrete voorbeeld van een bus waar mensen in en uit stappen?
Het afdoen van contextsommen als verhaaltjes vertellen in plaats van rekenen is een onzinnige voorstelling van zaken.
Nog wat kwaliteit
Beste djdouwes, dat kan nog korter:
”Ik vind dat jullie er geen verstand van hebben, dus hou je er buiten”.
Dat belooft een interessante discussie te worden.
Uw voorbeeld
gaat over het leren begrijpen van de begrippen erbij/eraf. Optellen/aftrekken.
Elke bekwame juf van veertig of vijftig jaar geleden zag ook dat voorbeelden nuttig waren.
Maar uiteindelijk is toch het doel dat een leerling zonder problemen tot 100 kan rekenen: de basis van al het verdere rekenwerk.
En dan moet hij over tientallen heen kunnen springen, en een getal adequaat daartoe kunnen splitsen.
Deze vaardigheid leert men uitsluitende door zeer regelmatig te oefenen.
Bij bladzijden vol rijtjes als 37 + 49, of 83 – 73, kunt u nog wel zeggen dat het hier instappende of uitstappende mensen betreft, of gewonnen of verloren knikkers, zo’n ‘verhaal’ wordt dan van ondergeschikt belang.
Het gaat om het trainen van de bewerkingen, en bij dat trainen vergeet de leerling al gauw dat het om knikkers of mensen zou gaan.
De RR-methode die ik gebruikte trainde veel te weinig.
In korte tijd werden nieuwe onderwerpen aangesneden, vergezeld van een minieme (soms maar 3 rijtjes) hoeveelheid oefenstof.
Veel scholen hebben dan ook extra traditionele oefenstof moeten aanschaffen (van Stenvert, of Ajodakt), om toch nog een goed rekenniveau te kunnen handhaven.
regelmatig verbijsterd
Ik moet uit de herinnering putten (ik heb de kermis verlaten), maar de regelmatig terugkerende momenten van verbijstering bij de RR-methode zal ik niet vergeten.
Bij de introductie van iets nieuws (tiendelige breuken b.v.) kon je hooguit 9 rijtjes aantreffen, waarbij maar liefst 3 nieuwe problemen werden behandeld.
Zo’n les werd dus een les waarbij de leerkracht veel aan het woord was, en de leerlingen weinig aan het rekenen waren.
Kwam dezelfde stof een paar taken later weer terug, werd het voorgaande al als bekend verondersteld.
Op die (vele) momenten begreep ik helemaal niets van de makers van die methode.
Gebruik van contexten
Ik ben blij met uw bijdrage, Moby. Waarschijnlijk zijn onze opvattingen over rekendidactiek niet geheel identiek, maar u raakt wel de kern van de zaak.
Contexten zijn belangrijk voor het begrip en ter ondersteuning, maar zeker niet tot in het absurde.
Een buscontext helpt kinderen de begrippen erbij/eraf of optellen/aftrekken te leren begrijpen. Maar dat een som als 37+49 alleen maar uitgerekend kan (of zelfs mag) worden in de context van instappende passagiers, of een andere context, is een absurde vervorming van RR. Ik ben geheel met u eens dat die context dan ondergeschikt wordt en in de oefenfase zelfs helemaal niet meer aan de orde moet zijn.
Het is erg jammer dat vervormingen als deze in de discussie over RR zo vaak gebruikt worden om aan te tonen hoe slecht RR is. In een zuivere discussie over RR zou het moeten gaan over de eigenlijke uitgangspunten.
Een bekwame leerkracht zal de methode niet als keurslijf zien, maar als hulpmiddel, dat is tenminste mijn overtuiging. Iedere methode heeft sterke en minder sterke punten. Aan een methode met vooral veel rijtjes zal een leerkracht zelf contexten toevoegen; aan een methode met vooral veel contexten zal een leerkracht eigen oefenrijtjes willen toevoegen. En ik neem aan dat leerkrachten op basis van hun eigen visie zich bij de ene methode prettiger voelen dan bij een andere.
Methoden
Er is tegenwoordig maar 1 methode beschikbaar voor onderwijzers: de realistische. Met Reken Zeker komt er nu dan eindelijk een alternatief.
De eindtermen en de toetsen (de CITO toets, de 2F toets) zijn ook geheel gebaseerd op realistische wiskunde. Alles in context en belangrijke elementen die met de realistische methoden niet goed onderwezen kunnen worden (optellen grote getallen, werken met ‘niet eenvoudige’ breuken) worden gewoon niet getoetst.
In een zuivere discussie gaat het over de huidige implementatie van realistische wiskunde. Dit is immers waar onze kinderen aan blootgesteld worden. Heeft u naar de 2F toets gekeken? Is dat nu een absurde vervorming van realistische wiskunde?
De toon van het debat
Altijd goed als je geen argumenten hebt: beginnen over de toon van het debat. Hiermee ontmaskert u alleen uzelf djdouwes.
Toon??
Mijn reactie ging over de kwaliteit van de reacties. In het laatste deel van mijn bijdrage heb ik dat inhoudelijk toegelicht.
Uiteraard mag u het met mij oneens zijn en mijn argumentatie bestrijden.
En ik deel uw mening: als je geen argumenten hebt, is het beginnen over de toon een ‘goed’ alternatief.
Re: toon??
U beschuldigt de deelnemers aan dit debat dat ze geen verstand van zaken hebben. Dat is nog iets erger dan beginnen over de toon van het debat.
U geeft geen argument waarom u denkt dat de deelnemers van verstand van zaken hebben (anders dan dat ze het niet met u eens zijn). Laten we de deelnemers even langslopen. Ben Wilbrink is psycholoog (bijvak onderwijsresearch), Bart is (student?) ingenieur, Bernard Wijntuin is leraar natuurkunde, moby is oud onderwijzer, 2010 is wiskundige en o.a oud pabo-docent en ik ben gepromoveerd wiskundige. Je zou bijna geen betere samenstelling kunnen wensen lijkt me voor een rekendebat met verstand van zaken.
Het probleem is niet dat er een context gebruikt wordt om 4+5=… of 8-3=… te illustreren of introduceren (dat werd altijd al gedaan). Het probleem is dat het daarop in het huidige realistische rekenonderwijs blijft hangen. Het doel van het realistische rekenonderwijs is om ‘dagelijkse’ reken-wiskundeproblemen op de lossen (er wordt wel lippendienst bewezen aan voorbereiden op het vervolgonderwijs, maar feitelijk speelt dit geen rol; zie bijvoorbeeld de 2F rekentoets en de inaugurele rede van Mieke van Groenestijn, beide besproken op de BONsite). Nu is het middel om deze problemen op de lossen in het realistische reken-wiskundeonderwijs ook ‘dagelijkse’ reken-wiskundeproblemen (contextsommen). En daarmee wordt de abstracte reken-wiskunde kennis eruit geknepen. Die wordt overbodig verklaard.
Sommige realisten lijken dit als een Eureka moment ervaren te hebben: voor de meeste ‘dagelijkse’ wiskundepreoblemen heb je amper wiskunde nodig. En zeker geen abstracte wiskunde. Hiermee verliezen ze de voorbereiding op vervolgonderwijs echter volledig uit het oog. Voor bijvoorbeeld natuurkunde heb je al die abstracte wiskunde wel degelijk nodig.
Mijn bezwaar geldt met name
Mijn bezwaar geldt met name het feit dat de kritiek op RR zich niet richt op de echte uitgangspunten, maar op de vormingen ervan. Alsof bijvoorbeeld een groep 6 die de tafels nooit goed heeft geleerd als voorbeeld van goed realistisch rekenonderwijs kan dienen.
Ik twijfel niet aan de opleiding en de wiskundige kennis van u en anderen, maar wel vraag ik mij af of u weet waarover u schrijft.
De abstracte reken-wiskundekennis is niet door de realistische aanpak uit het onderwijs verdwenen. Ook in het RR is het doel om leerlingen uiteindelijk op het formele of abstracte niveau te brengen.
Betekent dat, dat alle leerlingen voorbereid moeten worden op voorbereidend wetenschappelijk wiskunde- en natuurkundeonderwijs? Dat lijkt mij niet: voor veel kinderen (de helft?) zal dat te hoog gegrepen zijn.
Wat gaat er dan mis?
Als we nog eens naar de cijfers van het laatste TIMMS-onderzoek kijken, dan zien we dat Nederland het heel goed doet; weinig uitschieters naar beneden, dus ook heel erg goed bij mindere leerlingen; weinig uitschieters naar boven, dus een stuk minder goed bij de betere leerlingen.
Is dat niet de eigenlijke kern van de kritiek? Dat het onderwijs in Nederland de betere leerlingen onvoldoende weet te ondersteunen om topprestaties te leveren?
BON is tenslotte pas begonnen toen er op universiteiten klachten over voorkennis begon te ontstaan en niet zo’n 20 jaar eerder toen de “ramp van het RR” zich aan het voltrekken was.
BON is ontstaan na ‘de ramp’
djdouwes schrijft: “BON is tenslotte pas begonnen toen er op universiteiten klachten over voorkennis begon te ontstaan en niet zo’n 20 jaar eerder toen de “ramp van het RR” zich aan het voltrekken was.”
Dat klopt en dat heeft goede redenen. Eén daarvan is dat leerkrachten die 20 jaar geleden (of 10 jaar geleden of 5 jaar geleden) op hun school uitten dat vernieuwingen zoals RR niet zo geweldig waren als voorgespiegeld, vaak door hun leiding op zijn minst niet werden gehoord. Of veel erger: ze werden actief benaderd als ‘niet-loyaal’, ‘ouderwets’ en ‘niet passend binnen de moderne schoolorganisatie’. Het Steunpunt Intimidatie van BON weet daar helaas alles van. Nog steeds is het voor velen noodzakelijk om op dit Forum onder een pseudoniem te posten dankzij de intimidatie van hun schoolleiding.
Positief beschouwd: dankzij BON is het wellicht mogelijk om de “ramp van het RR” te beperken tot één generatie en worden niet nog meer generaties slachtoffer van deze ellende.
Re: mijn bezwaar
De uitgangspunten van realistisch rekenen zijn veranderd in de tijd en ze verschillen ook nog eens per aanhanger van realistisch rekenen. Dat maakt het heel erg lastig om het in abstracto over ‘de uitgangspunten’ van realistisch rekenen te hebben. Is bijvoorbeeld kolomsgewijs rekenen een uitgangspunt van realistisch rekenen? In het begin niet (want toen was het nog niet verzonnen…), nu wellicht wel? En bijvoorbeeld ‘verticaal mathematiseren’ (toch zeker een uitgangspunt van realistisch rekenen) in de oorspronkelijke definitie las ik er vooral abstraheren in, maar in de inaugurele lezing van Mieke van Groenestijn bedoelde zij er ‘het sommetje oplossen’ mee.
Als je uitgangspunten maar abstract genoeg zijn dan kan iedereen daarop zijn eigen wensen projecteren (succesvolle politici maken hier volop gebruik van).
We kunnen het dus maar beter over realistisch rekenen in concreto hebben. Dat is wel lastig, want het Freudenthal Instituut glibbert overal van weg. Alle succes is een succes van realistisch rekenonderwijs en elke mislukking komt omdat het niet ‘echt’ realistisch rekenonderwijs is.
Ik heb van vele onderwijzers gehoord dat het vooral de zwakke leerlingen zijn die grote problemen hebben met de structuurloosheid van het realistisch rekenen. Dus het gaat zeker niet alleen om de beste leerlingen. Het is wel waar dat die beste leerlingen degenen zijn die mijn studenten waren en dat ik zelf dus de meeste ervaring en affiniteit met die beste leerlingen heb. Die worden door het huidige reken en wiskundeonderwijs in Nederland zeker niet goed bediend. Voor de overige leerlingen moet ik afgaan op wat ik van anderen hoor en dat stemt ook niet gelukkig.
BON is opgericht door Ad en Marijke Verbrugge. Ad werkt inderdaad op een universiteit, Marijke was lerares klassieke talen (uit wanhoop over de 2e fase gestopt). Ikzelf publiceerde al kritiek op realistisch rekenen voordat BON opgericht werd en ik was niet de enige (Frans Keune in zijn oratie, Henk Visser in zijn afscheidsrede om maar een tweetal te noemen). Het is pas sinds de PANAMA lezing van Jan van de Craats dat de kritiek een enigzins georganiseerd karakter heeft, maar ook daarvoor was er regelmatig kritiek op realistisch rekenonderwijs.
Bezwaar op bezwaar
Hoffmann en Mark79 hebben al prima reacties geschreven, maar ik kom ook nog maar even uit de hoek.
Alweer vraagt u zich af ‘of wij wel weten waarover wij schrijven’. Ja, ik wel. Weet ú eigenlijk wel waarover u schrijft? U ook? Mooi, dan hebben we dat gehad.
Dan nu even inhoudelijk. U schrijft dat niet elke leerling VWO zal volgen en dat het daarom niet nodig is dat zo’n leerling ‘voorbereid’ wordt op ‘voorbereidend wetenschappelijk onderwijs’. Dat is dus eigenlijk voorbereiding op voorbereiding en dat lijkt mij ook overdreven.
Op mijn lagere school kreeg iedereen hetzelfde rekenen. Rekenen was gewoon rekenen, iedereen wist wat daarmee bedoeld werd, sommigen waren er goed in, anderen slecht, sommigen hadden er in de zesde klas (groep 8) meer mee geoefend en waren er verder mee gekomen dan anderen.
Wat u nu wilt is blijkbaar twee soorten rekenen introduceren. Ten eerste het normale rekenen zoals we dat vroeger ook kenden, maar dat vindt u blijkbaar alleen haalbaar voor potentiële VWO-leerlingen. Daarnaast wilt u een soort poor man’s rekenen (en die rol wordt dan vervuld door dat RR) voor degenen voor wie dat gewone rekenen te hoog gegrepen is.
Ik vind uw idee om twee redenen verwerpelijk.
1) Het is belachelijk om kinderen ‘rekenen voor de slagerij’ bij te brengen met de misvatting dat ‘rekenen in de verpleging’ of ‘rekenen in de bouw’ iets anders is. Mensen kunnen wel eens van werk veranderen en het leuke van rekenen is, dat het voor al die banen hetzelfde is. Rekenen voor de slagerij BESTAAT DUS NIET.
2) Iedereen die niet debiel is kon vroeger leren rekenen. Misschien niet geweldig, maar 24 x 41 konden ze uitrekenen. Gaat u dat maar eens na bij degenen die alleen lagere school hebben of net iets meer. Tenzij de mens met de introductie van het RR óók genetisch veranderd is kunnen ze dat nog steeds. Het lager onderwijs verzaakt dus zijn plicht door ze dat (‘abstract’ rekenen) niet bij te brengen.
Pil X helpt echt tegen hoofdpijn! Als je ‘m maar goed inneemt.
Djdouwes schreef: “Mijn bezwaar geldt met name het feit dat de kritiek op RR zich niet richt op de echte uitgangspunten, maar op de vormingen ervan.”
In dit bezwaar zit een zeker risico. Namelijk dat u voorbijgaat aan het mogelijke feit dat de kritiek op de uitgangspunten van RR hout snijden.
Niet dat ik wil beweren dat u de homeopathie aanhangt, maar het bezwaar dat u hier formuleert doet mij denken aan de reactie van veel homeopathen op de kritiek dat hun andijvietinctuurtjes feitelijk niet blijken te werken. Dan houden ze vast aan hun ‘uitgangspunten’ en menen dat dit toevallige tinctuurtje niet deugde (de ‘vorming van’ die uitgangspunten dus) of het onderzoek ernaar niet (‘het is op de verkeerde manier ingenomen’).
Soms offert men in die branche zelfs een collega op om aan ‘de uitgangspunten’ te kunnen vasthouden. Toen enige tijd geleden een baby stierf na toepassing van een ‘cranio-sacrale behandeling’ door een ‘manueel therapeut’ (hij legde het babytje in een kreukel, waardoor het stopte met ademen) was na enig rumoer in de alternatieve gelederen de slotsom dat de therapie wel deugt, maar dat de betreffende collega die niet goed wist toe te passen.
Ook een manier om aan ‘je uitgangspunten’ vast te houden.
Ik voel steeds meer voor het weddenschapsmodel van wetenschap zoals o.a. door A.D. de Groot (bedenker van de CITO-toets en oprichter van het CITO) in zijn latere werken verwoord. Maar ik vermoed dat alterneuten er niet voor voelen om bij verlies van de weddenschap hun werkzaamheden te staken.
Zo zou het een interessante weddenschap kunnen zijn tussen aanhangers van het Freudenthal Instituut en van de Stichting Goed Rekenonderwijs om (even goed gefaciliteerd uiteraard) in een grootschalig en longitudinaal experiment uit te maken welke didactiek het beste werkt. En dan niet achteraf met de smoes aankomen dat de gebruikte ‘vorm’ van de beide didactieken niet deugde.
Project Follow Through
Zo een weddenschap is eind jaren 60 in de VS gemaakt: project Follow Through (hier op de BONsite). Een heel grootschalig en longitudinaal experiment om uit te maken welke didactiek het beste werkt. Het onderwijsestablishement (de Het Nieuwe Leerders) hebben het onderzoek begraven (een beetje zoals de Freudenthalers hun eigen MORE onderzoek begraven hebben).