Open de bijlage voor het artikel van Kaminski, Sloutsky & Heckler (Science, 2008)
Willem Smit
15 Reacties
Aanvulling Beste Willem,
De `aanvulling’ die ook op de website van Science staat is veel informatiever.
Uitleg voor de niet wiskundigen Wellicht is het artikel op het eerste gezicht voor niet wiskundigen lastig te lezen. Ik doe daarom een poging om de wiskundige inhoud te verduidelijken.
Het onderzoek handelt om de vraag of kinderen iets beter leren als ze eerste een generieke methode krijgen aangeleerd of dat het beter is die generieke methode weg te laten danwel pas later te geven.
In plaats van de generieke methode kun je kinderen dan laten kennismaken met een serie concrete voorbeelden zodat ze die generieke methode daar zelf uit destilleren. Ze hebben het dan beter begrepen en doen het niet alleen als aapjes na is het idee er achter. Een tussenvorm is om wel een aantal concrete voorbeelden te geven en pas daarna de generieke methode.
Als voorbeeld noem ik het vermenigvuldigen van breuken. De generieke methode is: teller maal teller, gedeeld door noemer maal noemer. Maar dan begrijp je niet waarom, zeggen de rekenrealisten. Vandaar dat dergelijke sommen (als ze al worden gedaan op de basisschool) worden uitgerekend door de oppervlakte van rechthoeken te berekenen waarbij lengte en breedte de beide breuken zijn.
In het onderzoek worden echter geen breukensommetjes genomen, dat zou niet kunnen want de proefpersonen kunnen dat wellicht al. Dus wordt gekozen voor een gefingeerd puur abstracte exercitie met rondjes, ruiten en vlaggetjes. Die exercitie is betekenisloos, maar de regels van die exercitie kun je kinderen (en volwassenen) gemakkelijk vertellen, net als de regels van het dammen of halma.
Je kunt echter exact hetzelfde “spelletje”niet met de genoemde figuurtjes laten uitvoeren, maar met kannen met water, die of voor 1/3 of voor 2/3 of geheel gevuld zijn.
Een 1/3 gevulde kan en een 2/3 gevulde kan levert een volle kan, bij twee kannen van 2/3 gevuld krijg je een hele volle kan (die doet verder niet mee) maar er blijft een 1/3 gevulde kan over (die is wel relevant in het spelletje, het gaat om de “rest”)
Bij 2 volle kannen krijg je geen rest, oftewel: de laatst gevulde kan is helemaal vol en bij een volle en een andere kan, houd je de inhoud van die andere kan over, de volle kan heeft geen invloed op de inhoud van een mogelijke rest kan. Deze uitleg kun je met kinderen en kannen zelfs fysiek naspelen. Met echt water en echte kannen.
Deze uitleg geeft een semantiek, een betekenis aan de puur syntactische exercitie die het gerommel met de figuurtjes is. Er is namelijk een 1 op 1 vertaling mogelijk van de figuurtjes (betekenisloos) naar de limonadekannen (betekenisvol) en die vertaling die behoudt de regels van het oorspronkelijke procédé. Wiskundigen noemen dergelijke overeenkomsten tussen twee systemen een isomorfie.
Maar de kannen zijn maar één voorbeeld van een betekenis die je aan de exercitie met de figuurtjes kunt koppelen. Een andere zou kunnen zijn dat je een kilometerteller kiest met maar één cijferpositie waarbij alleen de cijfers 1, 2 en 3 mogen voorkomen. Rij je 2 km een dan nog 2 erbij, dan staat de teller weer op 1. Staat de teller op 3 en rij je er 3 bij, dan staat hij na afloop weer op 3. Drie erbij doet dus eigenlijk niks.
De 3 cijferige km-teller is een andere voorbeeld van een aan de figuurtjes isomorf systeem. Zo hebben we een betekenisloos puur formeel systeem (de figuurtjes) en twee betekenisvolle voorbeelden daarvan, twee isomorfe systemen die betekenis toekennen aan het puur syntactische figuurtjes systeem.
Je kunt de figuurtjes als een generieke methode beschouwen en de beide andere systemen als specifieke voorbeelden. Nu heeft het onderzoek uitgewezen dat direct het generieke systeem aanleren het beste werkt. Kinderen en volwassenen hebben geen betekenisvolle voorbeelden nodig.
Sterker nog: geef ze de limonadekannen, laat ze er mee oefenen en toets daarna of ze de km teller sommetjes kunnen maken en ze gaan gokken, ze zien geen overeenkomst tussen de beide systemen, ze zien de isomorfie niet.
Vertel je het generieke systeem, dan kunnen ze met die regels in het achterhoofd zonder problemen allerlei voorbeelden direct oplossen.
Voor de volledigheid: het figuur systeem (en de andere isomorfe systemen natuurlijk ook) worden door elke wiskundige direct herkend als een zogenaamde Abelse groep (zeg maar klokrekenen met alleen de uren 0, 1 en 2)
abstraheren & wiskunde leren Het artikel* gelezen : duidelijk werk, goed onderzoek en eenduidige conclusies. De weergave in Trouw is tendentieus (ja : slecht), maar het Science artikel is eenduidig OK.
Daarbij is voor ogen te houden dat het om jong-volwassenen gaat, die (door hun leeftijd, 18-20 jaar), met hun cognitieve vermogen, dgl. abstracties kunnen assimileren. Ook de referentie naar 11-jarige leerlingen in hun artikel (Science, 2006) past hierin.
Eigenlijk zijn de resultaten niet opzienbarend, ze zijn in lijn van wat verwacht mag worden. Ze zijn ook niet in tegenspraak met het algemene beeld van de ontwikkeling van klein kind tot volwassene ; integendeel.
In dat beeld zijn er desondanks grote (niet alleen graduele, maar overwegende) verschillen tussen de abstractie-vermogens van zeer kleine en kleine kinderen, pre-adolescenten, adolescenten en jong-volwassenen. De abstractie-vermogens verschillen net zo goed als de cognitieve vermogens tussen kleine kinderen en volwassenen (ref : Piaget, Siegall, Carey, Gopnik, Nisbett, hoe verschillend ook onderling).
Elf jarige leerlingen zijn zoetjes aan (ja, al tamelijk verregaand) in staat om eenvoudige abstracties te assimileren en van daaruit te transformeren. De cognitieve afstand tussen een 11-jarige en een 18-jarige student is relatief gering, vergeleken met die tussen een kleuter van 2 of 3 jaar en een 6 of 7-jarig kind.
Zelfs in die jonge jaren (2, 3, 4 jaar) zijn er wiskundige abstracties (zoals BramRoth opmerkte) die kinderen aankunnen en uitpluizen : cirkels, vierkanten, blokken. Ik voeg er bij : kleuren, geluid, tonen, zintuigen.
De abstractie komt eerst, de aanleg is er a.h.w. van nature ; de uitleg komt pas later aan.
maarten
* (cit.) Science 25 apr 08, pp 454-455 > The Advantage of Abstract Examples in Learning Math ; Jennifer A. Kaminski, Vladimir M. Sloutsky, Andrew F. Heckler ; Center for Cognitive Science, Ohio State University, Columbus, OH 43210, USA.
abstraheren vanuit voorbeelden Ik vind het onderzoek NIET erg overtuigend, al komt de conclusie velen misschien goed uit.
Bij de zgn concrete-groep kunnen de leerlingen gewoon optellen met 1,2 en 3=0 door bijv. (in gedachten) de pizzapunten aan elkaar te leggen, of de inhouden van de kannen bij elkaar te nemen. Het enige nieuwe is dat nu “vol” hetzelfde is als “leeg”. Zoals bij klokrekenen 24 uur weer 0 uur is.
Omdat het rekenen bij hun verder helemaal in dat kader verloopt, valt het leerlingen in de eerste groep niet op dat er ook een abstract patroon is, namelijk dat 1+1=2 terwijl 2+2 =1, oftewel aa=b en bb=a, oftewel dat er een soort symmetrie is tussen de twee niet-neutrale elementen.
De generieke-groep daarentegen krijgt juist direct die abstracte regel voorgeschoteld.
In de afsluitende test wordt dan juist die abstracte regel gevraagd, vrijwel precies in dezelfde vorm waarin de generieke groep hem geleerd heeft (maar nu zijn a en b vervangen door c en d). De leerlingen in de eerste groep hebben opeens geen steun meer aan de optelling, tja, nogal wiedus dat die dan onderuit gaan. Zij moeten nu zelf de abstracte regel gaan herkennen die de generieke-groep gewoon kreeg ingelepeld.
Het zou eerlijker zijn als de eerste groep ook een voorbeeld kreeg waarin ze niet kunnen terugvallen op optelling, dus een groep die isomorf is met Z/3Z maar met een beschrijving die niet op het bekende optellen berust.
De tweede groep heeft eigenlijk geen abstractie geleerd, zij hebben gewoon een formele regel geleerd die hun vervolgens wordt teruggevraagd. Van de eerste groep wordt WEL gevraagd te abstraheren, maar omdat zij voorbeelden voorgeschoteld krijgen waarin die abstractie niet nodig is, doen zij dat dan ook niet.
welkom swaen! En dank voor je bijdrage op dit forum.
Ik begrijp dat je onderscheid wilt maken tussen toepassen van procedures enerzijds en abstractie anderzijds. Ik kan me dat wel voorstellen, maar in de praktijk van het leren rekenen zijn er natuurlijk nooit puur formele procedures, er is altijd een betekenis.
Bij realistisch rekenen daarentegen ontbreekt in grote delen van het leerproces die formalisatie. Daardoor wordt kinderen een mogelijkheid ontnomen om met behulp van die formalisatie of abstractie effectief en efficiënt te leren. Het onderzoek geeft aanwijzingen dat dat inderdaad zo is. Dat de transfer van de ene naar de andere concretisering slecht is en dat uit verschillende concretiseringen niet een formalisme ontstaat. De transfer van het formalisme naar concretisering is er echter wel degelijk. Inderdaad kun je dan zeggen dat in de concrete situatie een formalisme wordt gebruikt, maar daar is niets op tegen. Ook al omdat de formalismes zoals opgemerkt nooit zuiver betekenisloos zijn. Uiteindelijk leren de kinderen sneller en met minder fouten sommen maken. Ook blijken ze dat tot op hoge leeftijd te onthouden. Rekenen was ooit net als fietsen: je verleert het nooit. Dát nu is op dit moment echt anders en de oorzaak daarvan is de veranderde didactiek, het realistisch rekenen.
Wat betreft het “ooit” Wat betreft het “ooit” herinner ik me toch (ben weliswaar niet van 1945 maar van 1957) ook veel leerlingen die geen idee hadden wat ze aan het doen waren en na eindeloos oefenen alles netzo lief verkeerd om deden of achterstevoren.
Ik ben het wel met je eens dat in bepaalde situatie een formeel aangeleerd patroon sneller toegepast kan worden. Bij dit experiment echter kun je niet van “toepassen” spreken, zelfs niet van “herkennen” (of transfer) immers de generieke groep krijgt bijna letterlijk wat zij al geleerd hebben, het enige is dat ze nu plaatjes van vaasjes zien ipv een ruit en een vlaggetje.
groeten Marco
1945 -realistisch rekenen Vraag aan 1945 :
Kan je dan zeggen dat realistisch rekenen, als methode, acceptabel is, MITS het gevolgd wordt door, of verweven met, systematisch leren abstraheren ?
Ik dacht dat het zo is : heel klein beginnen kinderen al met rekenen leren (liever gezegd : ze wennen aan tellen en ordenen – 2,3,4,5 jaar).
Dan diversificeert zich het rekenen (7-9 of 10 jr) en in die fase (8-11 jaar) begint zich het vermogen tot abstractie te ontplooien. Dat gebeurt aanvankelijk vooral met behulp van voorbeelden, dus bij jongere kinderen. Het ontwikkelen van het vermogen tot abstractie is in deze fase vooral leeftijds-afhankelijk.
Maar zeker in de fasen die volgen (>10, 12, 14 jaar) is abstractie als leer-methode en middel op zijn plaats, ja onvermijdelijk.
Met de geschetste sequens (de leeftijden doorlopend) lijkt mij het ontwikkelen van abstractie-vermogen methodisch/didactisch relatief eenvoudig.
Ben benieuwd hoe jij (en anderen) dit zien.
maarten
maar dan is het geen realistisch rekenen Ik denk dat er geen bezwaar tegen is om te leren tellen met appels, of streepjes, of kralen in een ketting… Dat is altijd al zo gedaan. Dat is geen specifiek of uniek kenmerk van RR.
Mijn grootste bezwaren tegen RR zijn de volgende:
1. De lange orientatiefase bij elk nieuw begrip.
2. Heel veel verschillende concretiseringen,
3. Heel veel verschillende strategieën
4. De bijna sektarische weigering om kinderen die in de war raken “het kunstje te leren”
5. De verwarring die er van veel contexten uitgaat
6 Het gebrek aan oefening en eenduidigheid (kinderen weten niet wat ze leren, weten niet dat een volgende som in bepaald opzicht hetzelfde is als een eerdere som
7 De gekunsteldheid van de contexten (dat geeft ectra informatie die niet functioneel is, maar storend werkt bij het aanleren van het “zuivere” begrip
8 (op een ander niveau) de ontkenning van het belang van rekenen en algebra (we hebben toch rekenmachientjes), de sluipende verandering in de doelstellingen (beter leren rekenen is vervangen door allerlei vaagheden). Dat procedureel rekenen is nodig om algebra te kunnen leren, maar in het RR komt dat niet gegarandeerd aan bod. Daarmee wordt kinderen al heel vroeg een keuze ontnomen.
Verder denk ik, anders dan de realisten, dat het aanleren van het truukje wel degelijk een positief effect heeft op daadwerkelijk begrip. Men krijgt er namelijk zelfvertrouwen door en wordt vertrouwd met de objecten die die een rol spelen. Net zo als dat kinderen vertrouwd zijn met taal door te papegaaien en geen echt begrip van taal hebben. Dat kan later. Dieper “echt” begrip van rekenconcepten kan desgewenst ook later volgen. Daar waar rekenrealisten zeggen dat de mooiste vorm van het algoritme desgewenst voor de betere leerlingen later kan (progressieve schematisering), daar zeg ik dat het diepe begrip desgewenst voor de goede leerling best later mag, maar niet voor elke leerling nodig is.
1945 – realistisch rekenen OK, eens met jouw punten 1 tot 8, en ook van harte met de rest.
Het rekenen, realistisch of anderszins, heeft geen zin als het niet uitkomt op vaardigheid om het te kunnen en ermee om te gaan.
Talen net zo. Na doorloop van de school geldt : je moet het kunnen. Er geldt niet : je moet een rekenmachine kunnen bedienen.
Het ging mij eigenlijk ook om de ontwikkelingslijn inzichtelijk te krijgen, zo tussen 1-2 jaar en 18 jaar. En vooral om de dwars-verbanden in het leren : tussen rekenen, taal, talen, andere vakken, muziek. En dan vooral om de synergie tussen die processen van leren, waarin het assimileren van abstractie een stevige plaats heeft (of moet hebben).
maarten
Meaning is use “Meaning is use”; de betekenis van een taaluiting valt samen met de contexten waarin die taaluiting passend kan worden gebruikt. Zo extreem is het niet, maar Ludwig Wittgenstein had wel voor een groot deel gelijk. Leer kinderen wiskundige begrippen op een juiste manier gebruiken, en ze gaan die begrippen ook begrijpen. Dit pleit voor oefenen, oefenen, oefenen…
Re: abstraheren vanuit voorbeelden Beste swaen,
Er valt inderdaad het 1 en ander op het onderzoek aan te merken. Dat heb ik zelf eerder op een andere plaats op de BONsite ook gedaan. Voordat we boude conclusies gaan trekken moeten we minstens replicatie hebben met een ander onderliggend wiskunde concept, andere leermaterialen etcetera.
Abstraheren is uit-trekken (1) Abstraheren is het vermogen in de grillige complexiteit van concrete problemen een achterliggende abstracte structuur te ontwaren waarmee niet enkel het voorliggende probleem, maar ook nieuwe, verwante problemen kunnen worden aangepakt. In het voorbeeld is die structuur die van modulo-rekenen met slechts 3 elementen, de groep Z/3Z.
Abstraheren is de kern van wiskunde. Maar het is dermate moeilijk dat de meeste mensen er niet spontaan toe zullen overgaan. Dat blijkt ook weer in dit voorbeeld: Kinderen ontdekken niet uit zichzelf de onderliggende groepsstructuur. Dat kan in dit geval aan het voorbeeld liggen, maar er zijn aanwijzingen dat dit probleem breder is. Zo is de ervaring met Probleem Gestuurd Onderwijs aan de universiteit precies hetzelfde. Hierbij worden studenten met een concreet probleem geconfronteerd, dat als opstapje moet dienen voor een algemeen abstract leerstuk. Dit werkt in de praktijk niet. Weliswaar proberen studenten uit de casus te halen “wat er wel mee bedoeld zal zijn”, maar zelden of nooit komen er stevige handvatten op tafel om gericht te gaan studeren. Ik ken geen voorbeelden die wel tot spontane abstractie in de juiste richting leiden, maar swaen suggereert dat die er wel zijn en daar ben ik dan naar benieuwd.
abstraheren Interessant wat BramRoth schrijft (hieronder) :
Ik kijk over de grenzen van de wiskunde heen en zie het volgende :
[1]
(cit.) – – kinderen ontdekken niet uit zichzelf de onderliggende groepsstructuur – –
Dat is in overeenstemming met wat Piaget al in de dertiger jaren zei.
[2]
Het legt tevens een zware druk op de docent, in het verband van tendentieus onderwijzen van sommige of allerlei inzichten.
[3]
Het Probleem Gestuurd Onderwijs aan universiteiten is een Onwijs Probleem !
Ik heb nooit gesnapt hoe tegenwoordig chemisch ingenieurs, of natuurkundigen, of economen, of zachte alpha-logen tot hun bekwaamheid kwamen (wel tot hun getuigschriften, en hun bul). Het opleuken regeert. Op de lange duur wordt het nadeel wat vereffend, maar verdwijnen doet het nooit : dat gebrek aan elementair vermogen en kennis, het moeizame inzicht in ver reikende verbanden. Opleuken, een cultuur kwestie, zeker ; ook een handicap als er gene stevige basis.
[4]
EDI, het ontwikkelingsinstituut van de Wereldbank, doet wel aan PGO. In navolging van dat (nu al oude) idee kunnen economen, juristen, socio- en andere -logen tegenwoordig terecht bij xxxx-tig academische en pseudo-instituten in Nederland en daarbuiten, om hun dramatisch begeerde MBA en andere bullen te ‘verdienen’. Maar hier gaat het om post-universitaire of post-hbo-ose verdiepingen (soms/vaak een euphemisme), die geld ‘waard’ zijn – het gaat niet om universitaire vorming. Hoe een universiteit dat met eerste en tweedejaars doet, b lijft een raadsel.
maarten
Abstraheren is uit-trekken (2) Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd. Wiskunde-onderwijs op basis- en voortgezet niveau mag daarom wat mij betreft niet inzetten op zelfstandige abstractie door leerlingen. Niet alleen komt abstractie zelden spontaan tot stand aan de hand van een concreet voorbeeld, ook is er het gevaar dat verkeerde, onbruikbare abstracties worden gevormd, met alle gevolgen van dien voor het zelfvertrouwen van de betreffende leerling.
Daarom stel ik voor het wiskunde-onderwijs een compromis voor. Wij leren onze leerlingen de belangrijke abstracties op een pro-actieve manier: door instructie met ‘formele regels’. Vervolgens kunnen de leerlingen hun begrip van, en inzicht in de abstracties scherpen door ze toe te passen op concrete problemen. De kritiek dat leerlingen enkel formele regels krijgen aangeleerd wordt hiermee in zoverre ondervangen dat daarmee de in de regels gebruikte abstracte begrippen ook verder worden verhelderd en aangescherpt. En wat mij betreft kunnen we kinderen daarmee ‘echt’ wiskunde leren.
reactie van een wiskundige BramRoth schrijft ‘Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd’. Ik ben professioneel wiskundige, dat wil zeggen dat ik betaald word om nieuwe wiskunde te creëren – en het zoeken naar het juiste niveau van abstractie is daar een belangrijk onderdeel van. Bovendien ben ik op deze positie gekomen na een uitgebreid selectieproces, waarin specifiek op deze vaardigheid is gelet. Dit alles om aan te geven dat ik op de schaal van de vaardigheid ‘spontaan abstraheren’ waarschijnlijk nogal aan de gunstige kant zit.
Desondanks vind ik dat abstraheren honds moeilijk. Ik kom dagelijks abstracties van anderen tegen, en ik ben meestal zeer onder de indruk. Alleen al het groepsconcept uit dit voorbeeld: het is een prachtig voorbeeld van een concept met precies de juiste hoeveelheid informatie: een perfect, abstract object. Ik ken de geschiedenis van het groepsconcept niet, maar wel de geschiedenis van andere concepten, zoals de Hilbertruimte en het functiebegrip: het zijn allemaal juwelen van schoonheid, die niet zomaar ontstaan zijn, maar in de loop der tijd uitgekristalliseerd zijn in vele discussies tussen erg slimme mensen.
Ik vind de statement van BramRoth ‘Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd’ werkelijk een understatement van formaat. Natuurlijk, iedereen zal wel eens een klein stapje maken op de weg naar abstractie, en dat is ook iets om trots op te zijn! Maar die weg is enorm lang, en door anderen in detail uitgestippeld. Wees niet zo arrogant om te denken dat je dat wel eens over zult doen. Luister naar de groten, en leer van hun ervaringen. Sta op hun schouders!
Reacties zijn gesloten.
Copyright & kopiëren; 2024|WordPress thema door MH Themes
Aanvulling
Beste Willem,
De `aanvulling’ die ook op de website van Science staat is veel informatiever.
Uitleg voor de niet wiskundigen
Wellicht is het artikel op het eerste gezicht voor niet wiskundigen lastig te lezen. Ik doe daarom een poging om de wiskundige inhoud te verduidelijken.
Het onderzoek handelt om de vraag of kinderen iets beter leren als ze eerste een generieke methode krijgen aangeleerd of dat het beter is die generieke methode weg te laten danwel pas later te geven.
In plaats van de generieke methode kun je kinderen dan laten kennismaken met een serie concrete voorbeelden zodat ze die generieke methode daar zelf uit destilleren. Ze hebben het dan beter begrepen en doen het niet alleen als aapjes na is het idee er achter. Een tussenvorm is om wel een aantal concrete voorbeelden te geven en pas daarna de generieke methode.
Als voorbeeld noem ik het vermenigvuldigen van breuken. De generieke methode is: teller maal teller, gedeeld door noemer maal noemer. Maar dan begrijp je niet waarom, zeggen de rekenrealisten. Vandaar dat dergelijke sommen (als ze al worden gedaan op de basisschool) worden uitgerekend door de oppervlakte van rechthoeken te berekenen waarbij lengte en breedte de beide breuken zijn.
In het onderzoek worden echter geen breukensommetjes genomen, dat zou niet kunnen want de proefpersonen kunnen dat wellicht al. Dus wordt gekozen voor een gefingeerd puur abstracte exercitie met rondjes, ruiten en vlaggetjes. Die exercitie is betekenisloos, maar de regels van die exercitie kun je kinderen (en volwassenen) gemakkelijk vertellen, net als de regels van het dammen of halma.
Je kunt echter exact hetzelfde “spelletje”niet met de genoemde figuurtjes laten uitvoeren, maar met kannen met water, die of voor 1/3 of voor 2/3 of geheel gevuld zijn.
Een 1/3 gevulde kan en een 2/3 gevulde kan levert een volle kan, bij twee kannen van 2/3 gevuld krijg je een hele volle kan (die doet verder niet mee) maar er blijft een 1/3 gevulde kan over (die is wel relevant in het spelletje, het gaat om de “rest”)
Bij 2 volle kannen krijg je geen rest, oftewel: de laatst gevulde kan is helemaal vol en bij een volle en een andere kan, houd je de inhoud van die andere kan over, de volle kan heeft geen invloed op de inhoud van een mogelijke rest kan. Deze uitleg kun je met kinderen en kannen zelfs fysiek naspelen. Met echt water en echte kannen.
Deze uitleg geeft een semantiek, een betekenis aan de puur syntactische exercitie die het gerommel met de figuurtjes is. Er is namelijk een 1 op 1 vertaling mogelijk van de figuurtjes (betekenisloos) naar de limonadekannen (betekenisvol) en die vertaling die behoudt de regels van het oorspronkelijke procédé. Wiskundigen noemen dergelijke overeenkomsten tussen twee systemen een isomorfie.
Maar de kannen zijn maar één voorbeeld van een betekenis die je aan de exercitie met de figuurtjes kunt koppelen. Een andere zou kunnen zijn dat je een kilometerteller kiest met maar één cijferpositie waarbij alleen de cijfers 1, 2 en 3 mogen voorkomen. Rij je 2 km een dan nog 2 erbij, dan staat de teller weer op 1. Staat de teller op 3 en rij je er 3 bij, dan staat hij na afloop weer op 3. Drie erbij doet dus eigenlijk niks.
De 3 cijferige km-teller is een andere voorbeeld van een aan de figuurtjes isomorf systeem. Zo hebben we een betekenisloos puur formeel systeem (de figuurtjes) en twee betekenisvolle voorbeelden daarvan, twee isomorfe systemen die betekenis toekennen aan het puur syntactische figuurtjes systeem.
Je kunt de figuurtjes als een generieke methode beschouwen en de beide andere systemen als specifieke voorbeelden. Nu heeft het onderzoek uitgewezen dat direct het generieke systeem aanleren het beste werkt. Kinderen en volwassenen hebben geen betekenisvolle voorbeelden nodig.
Sterker nog: geef ze de limonadekannen, laat ze er mee oefenen en toets daarna of ze de km teller sommetjes kunnen maken en ze gaan gokken, ze zien geen overeenkomst tussen de beide systemen, ze zien de isomorfie niet.
Vertel je het generieke systeem, dan kunnen ze met die regels in het achterhoofd zonder problemen allerlei voorbeelden direct oplossen.
Voor de volledigheid: het figuur systeem (en de andere isomorfe systemen natuurlijk ook) worden door elke wiskundige direct herkend als een zogenaamde Abelse groep (zeg maar klokrekenen met alleen de uren 0, 1 en 2)
abstraheren & wiskunde leren
Het artikel* gelezen : duidelijk werk, goed onderzoek en eenduidige conclusies. De weergave in Trouw is tendentieus (ja : slecht), maar het Science artikel is eenduidig OK.
Daarbij is voor ogen te houden dat het om jong-volwassenen gaat, die (door hun leeftijd, 18-20 jaar), met hun cognitieve vermogen, dgl. abstracties kunnen assimileren. Ook de referentie naar 11-jarige leerlingen in hun artikel (Science, 2006) past hierin.
Eigenlijk zijn de resultaten niet opzienbarend, ze zijn in lijn van wat verwacht mag worden. Ze zijn ook niet in tegenspraak met het algemene beeld van de ontwikkeling van klein kind tot volwassene ; integendeel.
In dat beeld zijn er desondanks grote (niet alleen graduele, maar overwegende) verschillen tussen de abstractie-vermogens van zeer kleine en kleine kinderen, pre-adolescenten, adolescenten en jong-volwassenen. De abstractie-vermogens verschillen net zo goed als de cognitieve vermogens tussen kleine kinderen en volwassenen (ref : Piaget, Siegall, Carey, Gopnik, Nisbett, hoe verschillend ook onderling).
Elf jarige leerlingen zijn zoetjes aan (ja, al tamelijk verregaand) in staat om eenvoudige abstracties te assimileren en van daaruit te transformeren. De cognitieve afstand tussen een 11-jarige en een 18-jarige student is relatief gering, vergeleken met die tussen een kleuter van 2 of 3 jaar en een 6 of 7-jarig kind.
Zelfs in die jonge jaren (2, 3, 4 jaar) zijn er wiskundige abstracties (zoals BramRoth opmerkte) die kinderen aankunnen en uitpluizen : cirkels, vierkanten, blokken. Ik voeg er bij : kleuren, geluid, tonen, zintuigen.
De abstractie komt eerst, de aanleg is er a.h.w. van nature ; de uitleg komt pas later aan.
maarten
* (cit.) Science 25 apr 08, pp 454-455 > The Advantage of Abstract Examples in Learning Math ; Jennifer A. Kaminski, Vladimir M. Sloutsky, Andrew F. Heckler ; Center for Cognitive Science, Ohio State University, Columbus, OH 43210, USA.
abstraheren vanuit voorbeelden
Ik vind het onderzoek NIET erg overtuigend, al komt de conclusie velen misschien goed uit.
Bij de zgn concrete-groep kunnen de leerlingen gewoon optellen met 1,2 en 3=0 door bijv. (in gedachten) de pizzapunten aan elkaar te leggen, of de inhouden van de kannen bij elkaar te nemen. Het enige nieuwe is dat nu “vol” hetzelfde is als “leeg”. Zoals bij klokrekenen 24 uur weer 0 uur is.
Omdat het rekenen bij hun verder helemaal in dat kader verloopt, valt het leerlingen in de eerste groep niet op dat er ook een abstract patroon is, namelijk dat 1+1=2 terwijl 2+2 =1, oftewel aa=b en bb=a, oftewel dat er een soort symmetrie is tussen de twee niet-neutrale elementen.
De generieke-groep daarentegen krijgt juist direct die abstracte regel voorgeschoteld.
In de afsluitende test wordt dan juist die abstracte regel gevraagd, vrijwel precies in dezelfde vorm waarin de generieke groep hem geleerd heeft (maar nu zijn a en b vervangen door c en d). De leerlingen in de eerste groep hebben opeens geen steun meer aan de optelling, tja, nogal wiedus dat die dan onderuit gaan. Zij moeten nu zelf de abstracte regel gaan herkennen die de generieke-groep gewoon kreeg ingelepeld.
Het zou eerlijker zijn als de eerste groep ook een voorbeeld kreeg waarin ze niet kunnen terugvallen op optelling, dus een groep die isomorf is met Z/3Z maar met een beschrijving die niet op het bekende optellen berust.
De tweede groep heeft eigenlijk geen abstractie geleerd, zij hebben gewoon een formele regel geleerd die hun vervolgens wordt teruggevraagd. Van de eerste groep wordt WEL gevraagd te abstraheren, maar omdat zij voorbeelden voorgeschoteld krijgen waarin die abstractie niet nodig is, doen zij dat dan ook niet.
welkom swaen!
En dank voor je bijdrage op dit forum.
Ik begrijp dat je onderscheid wilt maken tussen toepassen van procedures enerzijds en abstractie anderzijds. Ik kan me dat wel voorstellen, maar in de praktijk van het leren rekenen zijn er natuurlijk nooit puur formele procedures, er is altijd een betekenis.
Bij realistisch rekenen daarentegen ontbreekt in grote delen van het leerproces die formalisatie. Daardoor wordt kinderen een mogelijkheid ontnomen om met behulp van die formalisatie of abstractie effectief en efficiënt te leren. Het onderzoek geeft aanwijzingen dat dat inderdaad zo is. Dat de transfer van de ene naar de andere concretisering slecht is en dat uit verschillende concretiseringen niet een formalisme ontstaat. De transfer van het formalisme naar concretisering is er echter wel degelijk. Inderdaad kun je dan zeggen dat in de concrete situatie een formalisme wordt gebruikt, maar daar is niets op tegen. Ook al omdat de formalismes zoals opgemerkt nooit zuiver betekenisloos zijn. Uiteindelijk leren de kinderen sneller en met minder fouten sommen maken. Ook blijken ze dat tot op hoge leeftijd te onthouden. Rekenen was ooit net als fietsen: je verleert het nooit. Dát nu is op dit moment echt anders en de oorzaak daarvan is de veranderde didactiek, het realistisch rekenen.
Wat betreft het “ooit”
Wat betreft het “ooit” herinner ik me toch (ben weliswaar niet van 1945 maar van 1957) ook veel leerlingen die geen idee hadden wat ze aan het doen waren en na eindeloos oefenen alles netzo lief verkeerd om deden of achterstevoren.
Ik ben het wel met je eens dat in bepaalde situatie een formeel aangeleerd patroon sneller toegepast kan worden. Bij dit experiment echter kun je niet van “toepassen” spreken, zelfs niet van “herkennen” (of transfer) immers de generieke groep krijgt bijna letterlijk wat zij al geleerd hebben, het enige is dat ze nu plaatjes van vaasjes zien ipv een ruit en een vlaggetje.
groeten Marco
1945 -realistisch rekenen
Vraag aan 1945 :
Kan je dan zeggen dat realistisch rekenen, als methode, acceptabel is, MITS het gevolgd wordt door, of verweven met, systematisch leren abstraheren ?
Ik dacht dat het zo is : heel klein beginnen kinderen al met rekenen leren (liever gezegd : ze wennen aan tellen en ordenen – 2,3,4,5 jaar).
Dan diversificeert zich het rekenen (7-9 of 10 jr) en in die fase (8-11 jaar) begint zich het vermogen tot abstractie te ontplooien. Dat gebeurt aanvankelijk vooral met behulp van voorbeelden, dus bij jongere kinderen. Het ontwikkelen van het vermogen tot abstractie is in deze fase vooral leeftijds-afhankelijk.
Maar zeker in de fasen die volgen (>10, 12, 14 jaar) is abstractie als leer-methode en middel op zijn plaats, ja onvermijdelijk.
Met de geschetste sequens (de leeftijden doorlopend) lijkt mij het ontwikkelen van abstractie-vermogen methodisch/didactisch relatief eenvoudig.
Ben benieuwd hoe jij (en anderen) dit zien.
maarten
maar dan is het geen realistisch rekenen
Ik denk dat er geen bezwaar tegen is om te leren tellen met appels, of streepjes, of kralen in een ketting… Dat is altijd al zo gedaan. Dat is geen specifiek of uniek kenmerk van RR.
Mijn grootste bezwaren tegen RR zijn de volgende:
1. De lange orientatiefase bij elk nieuw begrip.
2. Heel veel verschillende concretiseringen,
3. Heel veel verschillende strategieën
4. De bijna sektarische weigering om kinderen die in de war raken “het kunstje te leren”
5. De verwarring die er van veel contexten uitgaat
6 Het gebrek aan oefening en eenduidigheid (kinderen weten niet wat ze leren, weten niet dat een volgende som in bepaald opzicht hetzelfde is als een eerdere som
7 De gekunsteldheid van de contexten (dat geeft ectra informatie die niet functioneel is, maar storend werkt bij het aanleren van het “zuivere” begrip
8 (op een ander niveau) de ontkenning van het belang van rekenen en algebra (we hebben toch rekenmachientjes), de sluipende verandering in de doelstellingen (beter leren rekenen is vervangen door allerlei vaagheden). Dat procedureel rekenen is nodig om algebra te kunnen leren, maar in het RR komt dat niet gegarandeerd aan bod. Daarmee wordt kinderen al heel vroeg een keuze ontnomen.
Verder denk ik, anders dan de realisten, dat het aanleren van het truukje wel degelijk een positief effect heeft op daadwerkelijk begrip. Men krijgt er namelijk zelfvertrouwen door en wordt vertrouwd met de objecten die die een rol spelen. Net zo als dat kinderen vertrouwd zijn met taal door te papegaaien en geen echt begrip van taal hebben. Dat kan later. Dieper “echt” begrip van rekenconcepten kan desgewenst ook later volgen. Daar waar rekenrealisten zeggen dat de mooiste vorm van het algoritme desgewenst voor de betere leerlingen later kan (progressieve schematisering), daar zeg ik dat het diepe begrip desgewenst voor de goede leerling best later mag, maar niet voor elke leerling nodig is.
1945 – realistisch rekenen
OK, eens met jouw punten 1 tot 8, en ook van harte met de rest.
Het rekenen, realistisch of anderszins, heeft geen zin als het niet uitkomt op vaardigheid om het te kunnen en ermee om te gaan.
Talen net zo. Na doorloop van de school geldt : je moet het kunnen. Er geldt niet : je moet een rekenmachine kunnen bedienen.
Het ging mij eigenlijk ook om de ontwikkelingslijn inzichtelijk te krijgen, zo tussen 1-2 jaar en 18 jaar. En vooral om de dwars-verbanden in het leren : tussen rekenen, taal, talen, andere vakken, muziek. En dan vooral om de synergie tussen die processen van leren, waarin het assimileren van abstractie een stevige plaats heeft (of moet hebben).
maarten
Meaning is use
“Meaning is use”; de betekenis van een taaluiting valt samen met de contexten waarin die taaluiting passend kan worden gebruikt. Zo extreem is het niet, maar Ludwig Wittgenstein had wel voor een groot deel gelijk. Leer kinderen wiskundige begrippen op een juiste manier gebruiken, en ze gaan die begrippen ook begrijpen. Dit pleit voor oefenen, oefenen, oefenen…
Re: abstraheren vanuit voorbeelden
Beste swaen,
Er valt inderdaad het 1 en ander op het onderzoek aan te merken. Dat heb ik zelf eerder op een andere plaats op de BONsite ook gedaan. Voordat we boude conclusies gaan trekken moeten we minstens replicatie hebben met een ander onderliggend wiskunde concept, andere leermaterialen etcetera.
Abstraheren is uit-trekken (1)
Abstraheren is het vermogen in de grillige complexiteit van concrete problemen een achterliggende abstracte structuur te ontwaren waarmee niet enkel het voorliggende probleem, maar ook nieuwe, verwante problemen kunnen worden aangepakt. In het voorbeeld is die structuur die van modulo-rekenen met slechts 3 elementen, de groep Z/3Z.
Abstraheren is de kern van wiskunde. Maar het is dermate moeilijk dat de meeste mensen er niet spontaan toe zullen overgaan. Dat blijkt ook weer in dit voorbeeld: Kinderen ontdekken niet uit zichzelf de onderliggende groepsstructuur. Dat kan in dit geval aan het voorbeeld liggen, maar er zijn aanwijzingen dat dit probleem breder is. Zo is de ervaring met Probleem Gestuurd Onderwijs aan de universiteit precies hetzelfde. Hierbij worden studenten met een concreet probleem geconfronteerd, dat als opstapje moet dienen voor een algemeen abstract leerstuk. Dit werkt in de praktijk niet. Weliswaar proberen studenten uit de casus te halen “wat er wel mee bedoeld zal zijn”, maar zelden of nooit komen er stevige handvatten op tafel om gericht te gaan studeren. Ik ken geen voorbeelden die wel tot spontane abstractie in de juiste richting leiden, maar swaen suggereert dat die er wel zijn en daar ben ik dan naar benieuwd.
abstraheren
Interessant wat BramRoth schrijft (hieronder) :
Ik kijk over de grenzen van de wiskunde heen en zie het volgende :
[1]
(cit.) – – kinderen ontdekken niet uit zichzelf de onderliggende groepsstructuur – –
Dat is in overeenstemming met wat Piaget al in de dertiger jaren zei.
[2]
Het legt tevens een zware druk op de docent, in het verband van tendentieus onderwijzen van sommige of allerlei inzichten.
[3]
Het Probleem Gestuurd Onderwijs aan universiteiten is een Onwijs Probleem !
Ik heb nooit gesnapt hoe tegenwoordig chemisch ingenieurs, of natuurkundigen, of economen, of zachte alpha-logen tot hun bekwaamheid kwamen (wel tot hun getuigschriften, en hun bul). Het opleuken regeert. Op de lange duur wordt het nadeel wat vereffend, maar verdwijnen doet het nooit : dat gebrek aan elementair vermogen en kennis, het moeizame inzicht in ver reikende verbanden. Opleuken, een cultuur kwestie, zeker ; ook een handicap als er gene stevige basis.
[4]
EDI, het ontwikkelingsinstituut van de Wereldbank, doet wel aan PGO. In navolging van dat (nu al oude) idee kunnen economen, juristen, socio- en andere -logen tegenwoordig terecht bij xxxx-tig academische en pseudo-instituten in Nederland en daarbuiten, om hun dramatisch begeerde MBA en andere bullen te ‘verdienen’. Maar hier gaat het om post-universitaire of post-hbo-ose verdiepingen (soms/vaak een euphemisme), die geld ‘waard’ zijn – het gaat niet om universitaire vorming. Hoe een universiteit dat met eerste en tweedejaars doet, b lijft een raadsel.
maarten
Abstraheren is uit-trekken (2)
Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd. Wiskunde-onderwijs op basis- en voortgezet niveau mag daarom wat mij betreft niet inzetten op zelfstandige abstractie door leerlingen. Niet alleen komt abstractie zelden spontaan tot stand aan de hand van een concreet voorbeeld, ook is er het gevaar dat verkeerde, onbruikbare abstracties worden gevormd, met alle gevolgen van dien voor het zelfvertrouwen van de betreffende leerling.
Daarom stel ik voor het wiskunde-onderwijs een compromis voor. Wij leren onze leerlingen de belangrijke abstracties op een pro-actieve manier: door instructie met ‘formele regels’. Vervolgens kunnen de leerlingen hun begrip van, en inzicht in de abstracties scherpen door ze toe te passen op concrete problemen. De kritiek dat leerlingen enkel formele regels krijgen aangeleerd wordt hiermee in zoverre ondervangen dat daarmee de in de regels gebruikte abstracte begrippen ook verder worden verhelderd en aangescherpt. En wat mij betreft kunnen we kinderen daarmee ‘echt’ wiskunde leren.
reactie van een wiskundige
BramRoth schrijft ‘Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd’. Ik ben professioneel wiskundige, dat wil zeggen dat ik betaald word om nieuwe wiskunde te creëren – en het zoeken naar het juiste niveau van abstractie is daar een belangrijk onderdeel van. Bovendien ben ik op deze positie gekomen na een uitgebreid selectieproces, waarin specifiek op deze vaardigheid is gelet. Dit alles om aan te geven dat ik op de schaal van de vaardigheid ‘spontaan abstraheren’ waarschijnlijk nogal aan de gunstige kant zit.
Desondanks vind ik dat abstraheren honds moeilijk. Ik kom dagelijks abstracties van anderen tegen, en ik ben meestal zeer onder de indruk. Alleen al het groepsconcept uit dit voorbeeld: het is een prachtig voorbeeld van een concept met precies de juiste hoeveelheid informatie: een perfect, abstract object. Ik ken de geschiedenis van het groepsconcept niet, maar wel de geschiedenis van andere concepten, zoals de Hilbertruimte en het functiebegrip: het zijn allemaal juwelen van schoonheid, die niet zomaar ontstaan zijn, maar in de loop der tijd uitgekristalliseerd zijn in vele discussies tussen erg slimme mensen.
Ik vind de statement van BramRoth ‘Spontaan abstraheren is volgens mij voor de meeste mensen niet weggelegd’ werkelijk een understatement van formaat. Natuurlijk, iedereen zal wel eens een klein stapje maken op de weg naar abstractie, en dat is ook iets om trots op te zijn! Maar die weg is enorm lang, en door anderen in detail uitgestippeld. Wees niet zo arrogant om te denken dat je dat wel eens over zult doen. Luister naar de groten, en leer van hun ervaringen. Sta op hun schouders!