SLO en het Freudenthal Instituut ontwikkelen in het ReAL-project rekenen en algebra leerlijnen voor de onderbouw VO.
Als onderdeel van dit project heeft het project team een toets gemaakt voor 3HAVO en 3VWO klassen op het Oscar Romero. De toets (met voorbeeldantwoorden van het project team) is als bijlage toegevoegd. Mijn bespreking van de voorbeeldantwoorden ook, die bespreking is vrij onthutsend: een groot deel van de voorbeeldantwoorden is fout. En vaak zijn ze niet een beetje fout ook: voor mij als wiskundige is door deze voorbeeldantwoorden duidelijk dat de leden van het project team zelf de wiskunde niet begrijpen.
En deze mensen moeten
doorlopende leerlijnen ontwikkelen ???!!
En stop
Met die kleuterschooltaal over Hester, Jan, Piet en Klaas als je het over een serieus vak hebt.
Bekrompen functiebegrip
Vroeger werd op de brugklas al een goede definitie van functie gegeven in alle algemeenheid, waarbij gebruik gemaakt werd van verzamelingenleer. Verzamelingenleer is inmiddels uit de stof verwijderd. Bij iedere functie begon men vroeger met domein en bereik.
Met wat voorbeelden lieten ze zien hoe algemeen toepasbaar begrippen als relaties en functies zijn. De meeste leerlingen hadden er geen moeite mee.
Nu moeten de leerlingen het begrip functie destilleren uit belachelijke en bekrompen context-sommetjes. De mooie haarscherpe definities en logische redeneringen van vroeger (met Venn-diagrammen, pijltjes), dat alles hebben de vernieuwlers eruitgegooid.
Mark79 laat terecht zien dat de uitwerkingen van alle kanten rammelen.
Ik vind een heel aardige bij opgave 10.
Men kan hier nog een veel eenvoudiger tegenvoorbeeld geven, n.l.
f(x) = 0 als x = 1,2,3
f(x) = 1 voor de overige x-waarden
De meeste leerlingen zullen nu echter meteen denken dat een dergelijke functie niet kan bestaan.
Ik behoor zeer zeker niet tot de verzameling
van deskundige wiskundigen: maar dat je moet rekenen zonder verzamelingenleer, dat kan ik me niet voorstellen! Verzamelingenleer is zelfs in de (analytische) filosofie nog een van de belangrijkste hulpmiddelen om bepaalde relaties tussen objecten weer te geven. Ik begrijp dus niet eens hoe je zonder toe kan in de wiskunde… Bovendien vond ik het een van de leukste onderdelen van wiskunde. Zelfs nu, als ik probeer krantenartikelen te begrijpen, teken ik in gedachten nog venn-diagrammetjes. En dan de fouten die ik maakte, in het begin, omdat ik nog niet goed begreep wat een lege verzameling is.
wiskunde zonder verzamelingenleer
Nou… dat kan best. We hebben het tot het einde van de negentiende eeuw zonder gedaan. Cantor heeft de verzamelingenleer eind negentiende eeuw ontwikkeld voor zover ik weet is het als onderwerp in de schoolwiskunde pas met de mammoet binnen gekomen. Toch nog iets goeds van de mammoet, zou je denken.
Overigens had ik er ook lol in en was het bij mijn weten voor mijn klasgenoten ook geen onoverkomelijke hindernis. In ieder geval was het een gedegen manier om relaties en functies te beschrijven ne leerde het je een nieuwe abstracte taal aan , met strakke grammatica. Niks mis mee dus.
Mammoetverzamelingenleer
Klopt, ik zat in de eerste lichting mammoet en daar werd als nieuw! nieuw! nieuw! nieuw! de verzamelingenleer geïntroduceerd door nog wat onwennige wiskundedocenten.
Toffe fractals trouwens, van Cantor….
Planeten Paultje
En toen was het afgelopen….
… met de praktische wiskundige vaardigheden, nodig bij het vak natuurkunde in de tweede klas. Wet van Archimedes en lenzenformule ? Doffe ellende. jaren later kwam de HEWET om e.a. te repareren, maar toen was het kwaad al geschied en deden we bij natuurkunde practicum.
enige nuancering
Niet mijn sterkste kant, nuanceren, en ik ben het zeer met Mark79 eens in die zin dat hier wordt aangetoond hoe ver we zijn verwijderd van enig exact denken in de schoolwiskunde, maar toch….
Als je dit opgelost wilt hebben, dan moet de wiskunde véél en veel rigider worden ingevoerd dan nu het geval is. En dit project beoorgt aan te sluiten bij de huidige Havo/VWO 3 leerlingen. Als je in een dergelijke test plotseling wel netjes gaat definieren, dan is dat volledig nieuw voor de kinderen.
Het probleem hier vind ik bv niet perse dat gevraagd wordt of elke parabool een snijpunt met de Y-as heeft, maar ik vind het jammer dat parabolen enkel beschreven worden als grafieken van 2e graads polynomen. Maar dat is al sinds de mamoet zo. Zonde, want de kegelsnede en brandpunt-richtlijn definities zijn prachtig. Maar als dat volledig buiten beeld is, en als het ook nog eens niet de gewoonte is om exact te forumelen, dan begrijp ik wel dat de opstellers van deze test dat ook niet doen.
Al met al duizend redenen om het wiskunde onderwijs aan te vallen, maar ik vind niet dat het specifiek op deze test gericht moet zijn. Die poogt in ieder geval nog enige algebra te toetsen.
Nuancering
Bij parabolen als grafieken van 2e graads functies had ik het dan ook over slakken en zout. De andere beschrijvingen van parabolen staan inderdaad niet op het programma. Dit is een punt voor de vernieuwingscommissie wiskunde (cTWO).
Het officiele doel van dit project schijnt te zijn om de algebra in de leerboeken te verstevigen. Als dit al versteviging van de algebra in de huidige leerboeken voor moet stellen…
Ik heb eigenlijk het idee dat dit project (zoals alle projecten van het Freudenthal Instituut) erop gericht is om het Nederlandse wiskunde onderwijs nog verder richting realistische wiskunde op te laten schuiven (voorzover dat mogelijk is). Omdat ze nu geld kunnen krijgen voor een algebraproject doen ze dit nu onder het mom van het verstevigen van algebra, wat het volgens mij helemaal niet is.
Hetzelfde was te zien bij TAL (tussendoelen annex leerlijnen) voor het basisonderwijs: daar staan helemaal geen tussendoelen en leerlijnen in! Er wordt een bepaalde didactische benadering beschreven.
P.S. Deze toets heb ik gekozen omdat het een hele concrete illustratie is.
Help!
Bij de uitgangspunten van Het ReAL project lees ik:
“Uitgangspunt is het ontwikkelen van concrete doorlopende leerlijnen voor de onderbouw van het VO op basis van conceptuele netwerken. Deze conceptuele netwerken wortelen in het rekenen.”
Dat begrijp ik niet helemaal.. Is er iemand die mij uit kan leggen wat hier bedoeld wordt? Of is ‘conceptueel netwerk’ ook iets van HNL?
conceptuele netwerken
Daarmee bedoelt men situaties waarbinnen een bepaald begrip kan voorkomen.
Een voorbeeldje: de breuken.
Een breuk is een deelsommetje, maar ook een stukje taart en tegelijkertijd is een breuk een verhouding, of is het een rationaal getal, of wellicht drie halen twee betalen of zelfs een bedrag: €0,80.
Het idee is dat al die verschillende situaties waar breuken een betekenis hebben tezamen een soort mentaal netwerk vormen dat inzicht geeft aan wat een breuk is.
Dit is een algemeen didactisch uitgangspunt bij realistisch rekenen. Wiskundige begrippen worden gekoppeld aan voor de leerling betekenisvolle context. Die context fungeert enerzijds als startpunt om duidelijk te maken wat het bergrip voorstelt en anderzijds als een werkelijkheid die bij gebruik van dat begrip als controle dient. Van dat laatste een voorbeeld. Stel een kind rekent uit dat 3 : 1/2 gelijk is aan 1 1/2. Dan kan de context gebruikt worden om te herkennen dat hier een fout is gemaakt. Drie gedeeld doot een half betekent hoeveel halve liters passen in drie liter. En aan de werkelijkheid kun je zien dat het juiste antwoord 6 moet zijn. Of je nu werkelijk met flessen water gaat knoeien, of met tekeningen van flessen water, of met enkel de getallen die de inhoud van de flessen water weergeven is een kwestie van abstractie. De term hiervoor is progressieve schematisering.
Bij het traditioneel rekenen worden die verbanden met de context veel minder gelegd en worden controle mechanismen ook binnen de wiskunde gevonden. Die gedeeld door een half kan nooit gelijk zijn aan anderhalf want een half maal anderhalf is geen zes.
Dus
nieuwe kennis/vaardigheden funderen op aanwezige kennis/vaardigheden.
Zo oud als de weg naar Rome; zo nieuw als de ideeënleer van Plato.
Maar de reclamemakers van de onderwijsschil blijven zo tenminste aan het werk.
Toch wel “nieuw”
Een groot verschil tussen beide benaderingen is of en wanneer je met de handigste abstracties gaat werken. Bij het traditionele rekenen gebeurt dat al vroeg en wordt het goed ingeslepen. Bij het realistisch rekenen is de orientatie periode veel langer en explicieter en veel meer op zaken buiten de wiskunde gericht.
Dat gaat uit van de veronderstelling dat je eerst iets moet begrijpen en het dan pas kan doen. Dat is onjuist: delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde kan iedereen doen, maar weinigen begrijpen het. Voor mij zijn het wel degelijk redelijk essentieel verschillende uitgangspunten en we hebben ook gezien wat de realistische uitgangspunten tot gevolg hebben.
Begrip
Is een vloeiend gebeuren. Ik heb veel dingen geleerd die ik pas later begreep en over veel zaken groeide mijn begrip in de loop van de tijd.
De vraag is daarom welke mate van begrip nodig is om een zo goed mogelijk eindresultaat te bereiken. Onbegrepen handelingen kunnen na verloop van tijd leiden tot een verhelderend inzicht.
Hoor, hoor, hoor!
Zo werkt het inderdaad, en in feite vat u hier tevens de essentie van het opvoeden van kinderen en het doorgeven van cultuur samen.
Niet altijd meteen alles tot op het bot willen uitleggen, nee, stapsgewijs opbouwen. Niet met een driejarige in discussie gaan waarom zijn plasje op de WC moet en niet ergens anders, gewoon op de pot zetten.
Voor elke discussie en voor elke vraagstelling is een tijd. Maar het kan geen kwaad om je in de tussentijd alvast wat zaken eigen te maken.
Re: dus
Hendrikush schrijft:
nieuwe kennis/vaardigheden funderen op aanwezige kennis/vaardigheden. Zo oud als de weg naar Rome; zo nieuw als de ideeënleer van Plato.
Natuurlijk heeft hendrikush gelijk, maar…. In het realistische reken/wiskunde onderwijs wordt niet gefundeerd op al aanwezige reken/wiskunde kennis. Er wordt ‘gefundeerd’ op dingen buiten de wiskunde. Hier zijn een aantal problemen mee.
1) Dit is niet hoe het in de wiskunde gaat; leerlingen krijgen dus een compleet verkeerd beeld van wat wiskunde is.
2) De bekend verondersteld kennis van buiten de wiskunde is bij vele kinderen helemaal niet bekend (er wordt vanuit gegaan dat leerlingen vanalles van huis uit meekrijgen). Er is dan dus helemaal niks om op te funderen.
3) Er wordt op verschillende dingen ‘gefundeerd’ (zie de voorbeelden over breuken van 1945). Dat dit allemaal hetzelfde oplevert wordt nergens aangetoond (soms bedenken de ‘realisten’ zelfs dingen die helemaal niet hetzelfde opleveren, maar waarvan ze claimen dat dit wel zo is). Zo krijgen kinderen het idee dat alles volstrekt willekeurig is (hoe zullen we breuken vandaag eens zien?).
liesbreuken?
trendbreuken, til-me-een-breuk-breuken, vlakke breuken (of was het nu breukvlakken juf?)
Sterker nog
breuken, net zoals alle getallen, bestaan niet; het zijn ideeën.
God heeft de natuurlijke getallen geschapen..
…de rest is mensenwerk (Kronecker)
Natuurlijke getallen en God
Wat Kronecker niet wist, maar Thomas van Aquino wel, is dat God de natuurlijke getallen niet alleen geschapen heeft, maar dat hij ze ook onderhoudt: creatio continua. Als God even verkouden is, dan is het ogenblikkelijk mis met de getallen! Dan kan het zijn dat de ‘1’ een haast onmerkbare fractie in waarde vermindert. Voor ons aardlingen is dat niet merkbaar, maar op kosmische schaal bega je dan al snel rekenfouten. Dan buigt het licht af waar je had verwacht dat ze zou opkrullen tot een hoepel!
Zo is komen vast te staan, onlangs op het EIT, dat het getal 5 met de waarde 0.0000000000000000000000012 is afgenomen!
Dit heeft niet alleen gevolgen voor het bedrijfsleven, de economie en de horeca, maar natuurlijk ook voor het onderwijs. Ze prakkezeren er zelfs over om alle examens vanaf 1950 over te laten maken- dat wil zeggen, alle examens waar sommen met het getal ‘5’ in voor komen. Ook is het de vraag of de cijfers vanproefwerken en tentamens niet opnieuw moeten worden berekend, want wie een vijf heeft op een proefwerk, heeft feitelijk een 5,00000000000000000000000012. Is het niet rampzalig?
Wiskundeleraren: jullie mogen de waarde van alle andere natuurlijke getallen nu ook wel weer opnieuw vaststellen: je weet maar nooit!
Gods
eeuwige wijsheid verbiedt deze vervuiling van getallen met menselijke waarnemingen aan zijn heelal.
Nog rampzaliger ….
… als iemand voor Engels een 5,4999999999999999999999989 had en daardoor, vanwege nog een onvoldoende, gezakt is. Wat zal de rechter hier mee doen ?
Mijnheer van Dale wacht op antwoord
Ik was ooit verbaasd tijdens bijles dat een leerlinge beweerde nooit van deze (lagere-school) regel gehoord te hebben.
Het Freudenthal Instituut geeft hier een bevestiging:
“De Van Dalen-regel is een crime en zou niet meer als voorschrift gehanteerd moeten worden. Wil je het toch toepassen dan moet je heel precieze afspraken maken, maar wat je dan toetst is of de kinderen die regels goed hanteren en niet of ze goed kunnen rekenen”.
Kortom haakjes zijn voortaan verplicht; het is anders te moeilijk.
De Van Dalen-regel is uit de tijd…
Laat een TI84 de berekening 5×4:2 en 4:2×5 uitrekenen.
Omdat tegenwoordig x en : gelijkwaardig zijn is ‘van Dalen’ uit de magische regel achterhaald.
Veel zinvoller en in de praktijk handig de Duitse Einsilber: ‘Punkt vor Strich-Rechnung’.
Van Dalen
Ik had op school de Van Dalen-regel geleerd samen met de uitzonderingen:
machtsverheffen en worteltrekken gelijke prioriteit;
vermenigvuldigen en delen in de volgorde waarin ze staan;
optellen en aftrekken in de volgorde waarin ze staan.
De Van Dalen-regel is door die uitzonderingen dus geen goede ezelsbrug.
De leerlinge vertelde me dat ze op school geleerd kreeg dat wanneer men de volgorde van de bewerkingen niet wist, men de TI moest gebruiken. Het lijkt mij echter toch niet als te moeilijk om de prioriteiten-regels te leren.
Zover zijn we inderdaad gekomen
Texas Instruments bepaalt op scholen wat juist is.
RPN
Geef mij maar een RPN rekenmachine. Daarmee kan ik tenminste rekenen in een voor mij begrijpelijke volgorde. Ik heb decennia trouw met een RPN-calculator in mijn tas rondgelopen (nu heb ik een simulator op mijn laptop :-).
Ongeveer 25 jaar geleden:
Leraar metaal: P, geef mij even je rekenmachine, ik heb de mijne niet bij de hand.
PP: Uhhhh, misschien is dat niet zo’n goed idee meneer H. Het zou kunnen dat u met deze geen weg weet…
Leraar metaal: Doe ff normaal, geef hier dat ding!
PP: OK.
tien seconden later:
Leraar metaal: P, wat is dit voor een @#$-rekenmachine, er zit geen = op!
PP: Daar hebben ze over nagedacht, meneer H.
Leraar metaal: Wie heeft er een rekenmachine te leen!?
Planeten Paultje
Voor de liefhebber
RPN-Engineering-Calculator
En zo ziet ie er uit
prefix?
Lijkt op de oude HP calculators. Als ik me niet vergis werkten die met prefix notatie.
De Dutch Flag…
Sorry, maar de Numerieke Processoren hebben echt geen Dutch Flag.
Uiteindelijk moet iemand dit opgemerkt hebben, want op Ezelsbruggetjes staat de opvolger van ‘Meneer van Dalen’, die het Nederlandse gestuntel op de internationale standaard moet tillen:
Het Mooie Veulentje Draaft Op en Af
Wat een ezels!
Wat zegt dit over al die “aanbrengers” ? (met dank aan….)