Rekenen is in de eerste plaats ook taal: we gebruiken immers woorden om rekenbetekenissen duidelijk te maken. Ook elke uitleg is voor een belangrijk deel talig, de taal vergezelt voortdurend het tellen, zeker op de basisschool.
Realistisch Rekenen wilde vooral dat kinderen zouden gaan begrijpen wat zij deden als zij rekenden. Iets begrijpen is gecompliceerder dan een regel toepassen en vandaar wellicht dat RR-methodes zo enorm talig moesten zijn. Daarbij zijn contexten, die de leefwereld moesten betrekken bij de rekenproblemen, natuurlijk ook nog eens vergeven van ’taal’.
Al die taligheid kan echter voor veel verwarring zorgen.
Een voorbeeld daarvan is het gebruik van het eenvoudige woordje ‘van’.
‘Van’ werd gebruikt om tafels van vermenigvuldiging te laten begrijpen: 2 x 6 werd dan uitgelegd als 2 van 6: 2 keer een groepje van 6, is dus eigenlijk 6 en 6 erbij.
‘Van’ werd echter ook gebruikt bij het leren begrijpen van een breuk: 1/3 heette dan 1 van de drie (en bij procenten werd 20%, 20 van 100).
Kinderen leren dus nu iets als 3 van 6, wat in het ene geval betekent 3 groepjes van 6, maar in het andere geval drie deeltjes van 6. Voor een gemiddelde leerling slaat hier de verwarring al toe.
Nog lastiger wordt het als we 1 van 3 (1/3) moeten vermenigvuldigen met 1 van 3 (1/3). We krijgen dan, al begrijpend, het volgende verhaaltje: dit is eigenlijk 1 van 3 VAN 1 van 3. Daarbij moeten we laten zien dat de oorspronkelijke eenheid eigenlijk 3 was juist omdat we hadden besloten deze in 3 stukken op te breken.
Met een tekeningetje van een schijf kun je laten zien dat, als we binnen het oorspronkelijk deel van 3 weer een deel van 3 gaan maken (waarbij dat onderdeel op zijn beurt in feite weer ‘drie’ is juist omdat we willen opknippen in 3), we ten opzichte van het uitgangspunt 9 deeltjes hebben doen ontstaan waarbij we elk deeltje nu 1 van 9 kunnen noemen.
Snapt u?
Als je als schoolmeester de kinderen dit alles wilt laten begrijpen (en dat wilden ‘we’ of ‘ze’), kom je al gauw terecht in een oerwoud van redeneringen dat door de gemiddelde leerling al snel niet meer gevolgd wordt waardoor deze afhaakt.
Tegenover al dat geredeneer is een simpele formule (teller keer teller en noemer keer noemer) toch veel gemakkelijker te hanteren, en al helemaal voor de zwakkere rekenaartjes.
Bovendien houd je veel meer oefentijd over als je steeds niet helemaal hoeft af te dalen naar het innerlijk van de getallenwereld teneinde die wereld te begrijpen.
Het steeds naar boven moeten halen van een lange redenering blijkt veel te lastig voor de gemiddelde leerling.
Als wij zwemmen, fietsen of lopen, halen we ook niet steeds redeneringen naar boven, maar gaan we over op automatismen.
RR-methoden hadden de verwachting dat reken-automatismen vanzelf zouden volgen als leerlingen maar eerst steeds begrepen wat zij aan het doen waren en als we als leerkracht zouden volharden in die, in eerste instantie, gecompliceerdere werkwijzen (‘Ik heb zelden een onderwijzer zo hard zien werken met zo weinig rendement’, sprak een inspecteur eens).
Het heeft volgens mij niet zo mogen zijn.
Misschien ook omdat we bij elk leerproces niet eerst begrijpen, maar vooral eerst doen (denk ik als leek), dus misschien zijn de verwachtingen van realistisch rekenen wel in strijd met een natuurlijk leerproces. Eerst doen we vooral waarbij we later mogelijk het e.e.a. gaan begrijpen.
Het is waarschijnlijk de hoogste tijd om afscheid te nemen van een niet-realistische voorstelling van zaken.
Vaardigheden eerst.
Waarom niet eerst de abstractie leren?
Een kleine toevoeging:
Een interessante recente ontwikkeling is dat onderzoek een indicatie geeft dat het leren van abstracties (algoritmen bijvoorbeeld) mogelijk beter kan beginnen bij de abstractie, in plaats van te proberen via Karel, Minoes en nog zo wat andere poezen bij het kind het begrip (de abstractie) ‘poes’ te laten dagen.
Recent?
(Bijna) de hele vorige eeuw werd op die manier wiskunde les gegeven: eerst de abstractie, dan de toelichting aan de hand van voorbeelden en toepassingen.
Abstractie eerst?
Ik heb eerlijk gezegd wel grote sympathie voor het laten ontstaan van wiskunde vanuit een concrete probleemstelling, waarbij Karel en Minoes wel achterwege kunnen blijven. Freudenthal’s onvrede met de Bourbaki aanpak in de WISKUNDE deel ik volledig, maar helaas is die onvrede vertaald in realistisch REKENonderwijs, dat zijn verlengde weer heeft gekregen in Wiskunde A, met dank aan….(de namen zijn inmiddels bekend).
Het gaat niet om het verschil tussen hogere en lagere wiskunde, maar om het verschil tussen goede en slechte wiskunde. Juist ook de wiskunde die we aan de scholier die geen harde beta-richting kiest voorzetten moet GOEDE wiskunde zijn. Helaas hebben we bij Wiskunde A die wiskunde laten invullen door….(de namen zijn inmiddels bekend).
Eerst een concrete probleemstelling maar dan snel abstractie
Ik ben het met je eens dat het productief is om bij wiskunde eerst een concreet probleem te schetsen, het geeft je een idee van waar je mee bezig bent zogauw de stap naar de abstractie wordt gemaakt. Vervolgens moet je echter wel redelijk snel die stap naar de abstractie maken zodat je complexere problemen kan oplossen en automatismes kan inoefenen, daarna volgt weer een concrete probleemstelling zogauw je met een nieuw probleem begint.
Zo begint menig calculusboek terecht met verplaatsing, snelheid en versnelling. Het is omwile van deze concrete problemen dat Newton (tegelijkertijd met Leibniz) de calculus uitvond, het is dan ook geen verrassing dat deze problemen snel duidelijk kunnen maken wat je ongeveer kan met calculus. Na zo’n inleidend hoofdstuk ga je deze concrete voorbeelden op een meer algemene en abstracte manier uitleggen zodat je dezelfde technieken ook voor geheel andere (complexere en abstractere) problemen kan gebruiken.
Ik zou graag hebben dat we 4 wiskundevakken blijven behouden op het HAVO en het VWO maar dat alle vier de vakken volwaardige vakken worden waarbij elke leerling 1 en slechts 1 wiskundevak volgt en waarbij het ene vak een uitgebreidere en complexere versie is dan de andere(n).
Bijvoorbeeld wiskunde A (alleen gericht op statistiek en de elementaire basis maar dan wel op een goede manier!) als minimale basis voor wie bijv. psychologie gaat studeren (statistiek), wiskunde B voor mensen die bijv. geneeskunde of farmacie gaan studeren, wiskunde C voor mensen die een minder wiskundige toegepaste wetenschap gaan studeren en wiskunde D voor de mensen die de meest wiskundige toegepaste wetenschappen, wiskunde of natuurkunde gaan studeren.
Ik gebruik de letters hier dus op een andere manier dan zoals ze nu worden gebruikt aangezien ik graag een systematiek heb.
Rekenen is iets als puzzeltjes oplossen…
Wat ik van mijzelf weet is dat rekenen op de grote school en wiskunde op het gym voor mij geen geheimen kende. Wat dat betreft was ik een echte bètha. Behalve als het om taalsommen ging, dan was ik nergens. Ik had er ook een grote hekel aan.
Dat zal zeker niet voor mij alleen gelden. Wat ik daaruit concludeer is dat taalsommen van een geheel andere aard zijn dat sommen met cijfertjes en getallen.
De wiskunde-docenten op dit forum kunnen dat waarschijnlijk goed uitleggen.
Wiskunde was juist zo leuk…
…omdat het zo abstract was.
Wat moet je nu met kinderen die wel van rekenen en wiskunde houden, maar die idiote taalsommen maar lastig vinden. Zijn die kinderen dan niet goed? In het huidige onderwijs blijkbaar niet. En dat deugt dus niet.
taalsommen en taalsommen is twee
De taalsommen van vroeger heette redactie-opgaven en waren van het soort: “Kees en Jan zijn samen 15 jaar, Jan is 2 keer zo oud als Kees, hoe oud zijn ze samen?” of “een trein vertrekt om 13:00 uur van A en rijdt naar B met een snelheid van 120 km/u, om 13:30 vertrekt een trein van B naar A met een gemiddelde snelheid van 80 km/u. Om 14:00 komen ze elkaar tegen, wat is de afstand tussen A en B?”. Kenmerken: vaak uiterst kunstmatige sommen zonder enig praktisch nut, een beperkt aantal soorten die binnen de soort rekenkundig identiek waren, ze werden gepresenteerd als een toepassing van reeds aangeleerde kennis/vaardigheden.
De huidige taalsommen staan juist aan de andere kant an het spectrum. De taal beschrijft een context en die context is bedoeld om het rekenen “betekenis” te geven en daarmee controleerbaar en begrijpelijk. Een voorbeeldje: vergelijk de som 1+2=3, met het verhaaltje van een bus die één passagier heeft en bij een halte 2 passagiers oppikt. Dat kan dan ook nog verbeeld worden met een plaatje en zelfs met een speelgoedautobus en poppetjes. Een kind kan dan tellen hoeveel passagiers er in de bus zitten. Zo zorgt de context zowel voor begrip, als voor controle. Deze taalsommetjes zijn dus van geheel andere orde en hebben een heel ander doel dan de taalsommetjes die we kennen als de redactie-sommen van vroeger.
Waar zijn de redactiesommen dan gebleven…?
Bedankt, 1_1_2010, voor je informatie.
Op dit forum leer je dagelijks bij.
Met de bus mee
2010,
Je noemt het voorbeeld van de bus en zijn wisselende aantal passagiers. De Freudenthal-groep vindt dit een prachtige ‘context’. Ik denk daar anders over. Die bus, in zijn concrete gedaante, is wat in de Engelse literatuur een ‘manipulative’ heet. Over de didactische waarde van concrete objecten in het reken- en wiskundeonderwijs bestaat onder onderzoekers geen consensus, vermoed ik, en dat is nog los van het vermoeden dat het misschien beter is om instructie te beginnen met de abstractie, in plaats van er mee te willen eindigen.
Het gebruik van die bus met zijn in- en uitstappende passagiers zie ik vooral als verwarrende informatie waar leerlingen zich doorheen moeten werken om bij het rekenen uit te komen (mogelijk een voorbeeld van te grote cognitive load); het zal allemaal wel een beetje functioneren, maar dit kost veel extra tijd, en het is maar helemaal de vraag hoeveel last leerlingen later nog hebben van die bus met passagiers. De Freudenthal-groep ziet dat anders. De vraag is dus: waar is het toetsende empirisch onderzoek dat het ongelijk van een van beide partijen aantoont? Suggesties zijn welkom.
Ik heb nog niet stelselmatig naar relevante onderzoeksliteratuur gezocht, maar wat ik tegenkom, plaats ik hier, en zoals te zien: het is nog maar een beginnetje. Pro memorie hoort een groot deel van de publicaties van de Freudenthal-groep in deze categorie thuis, zeker als symbolische objecten (lees: contexten) ook tot de categorie van de ‘manipulatives’ gerekend worden. Wat ik geneigd ben te doen.
Zie ook onderzoekliteratuur over optellen en aftrekken.
Busje ja, busje nee?
Ik zie allerlei bezwaren tegen de bus, maar durf niet te zeggen dat dergelijke contexten altijd slecht zijn. Eerlijk gezegd denk ik dat kinderen redelijk resistent zijn tegen suboptimaal leren (subprime learing;-), zolang je het maar beperkt houdt. Best die contexten aan het begin van een traject, maar werk ajb snel naar de abstractie toe. Abstract betekent minder detail, minder beslag op het geheugen, zuiverder regels en concepten ook (als je goed abstraheert). Natuurlijk staat daar tegenover dat er even een drempel is te overwinnen: de abstractie moet aangeleerd worden. Maar hoe langer je daarmee wacht, hoe meer balast je in de hoofden van de kinderen creëert, hoe minder je kunt oefenen en hoe meer je die abstracties voor de kinderen problematiseert.
Wiskunde (de abstractie) is bedacht om de werkelijkheid te kunnen begrijpen/voorspellen. Wiskunde maakt de wereld makkelijker. De rekenrealisten denken anders: die wiskunde is eigenlijk vreselijk moeilijk en lastig (en wij zijn erg knap dat we dat kunnen), dat kun je die kinderen alleen maar aandoen na een overdaad aan roze glazuur. De werkelijkheid (hoe werkelijk kan het zijn overigens) als versuikering van de abstracties, die juist inde pure vorm zo gemakkelijk zijn.
het juiste citaat van de inspecteur
Ter aanvulling:
De strekking van mijn citaat klopte, maar de woorden van de inspecteur waren letterlijk (de heer Wilbrink plaatste ze in zijn reactie ‘Opgegeven’):
“Ik heb een rekenles gezien met rendement nul, maar de leerkracht heeft zich het schompes gewerkt.”
Herkenbaar.
Talig en talrijk, tellen en tellen is twee
Zie www.few.vu.nl/~jhulshof/TAL.pdf. De TAL-leerstoel zal niet worden herbezet hoorde ik onlangs.
de formule is de synopsis
Een formule is het eindpunt van een hele redenering.
Zoals de titel van een boek een boek samenvat, een politieke leus het verhaal van een partij en de conclusie het gevolg en de samenvatting is van lang verhaal.
Mensen verlangen duidelijk naar een synopsis.
Je kunt kinderen niet van school sturen met alleen een grote verscheidenheid aan verhalen en redeneringen. Die gaan ze vergeten.
Daarom leren we de kinderen die formules: hun inprentingsvermogen is nog dusdanig dat zij een formule gemakkelijk kunnen onthouden.
Ze leren een handzame en compacte samenvatting van een lange redenering. Dat heeft 2 belangrijke voordelen:
1. Goed te onthouden (EN geldig! Dit i.t.t politieke formules).
2. Altijd toepasbaar met welk getal dan ook.