J. Mooijaart (1963). Parate kennis op de nieuwe kweekschool. Paedagogische Studiën, 40, 483-500. [geen digitaalbestand beschikbaar]
Mooijaart heeft parate kennis voor zes vakken getoetst, waaronder hoofdrekenen. Ik citeer eerst de gebruikte toets, en de relevante informatie die Mooijaart geeft.
-
d. hoofdrekenen
Achter de volgende opgaven moesten de antwoorden zonder berekeningen op papier ingevuld worden:
7 × 99 = 6 × 375 = 4848 : 12 = 4256 : 14 = 6006 : 12 = 8 × 12,125 = 14 2/7 % van ƒ 212,10 = 9432 – 7432 = 3007 + 870 = 20 % van ƒ 120,25 = 143,39 : 13 = 8 × 3 × 12 1/2 = 448 : 0,112 = 25 × 18 × 12 = 63 : 7 × 3 = 97 + 61 + 39 = 8008 – 88 = 1,818 + 18 = 2 2/7 × 5 × 7 = 75,375 : 37 1/2 =
We menen hier een beroep te doen op parate kennis, die langs de weg van het inzicht is verkregen. Dat hij of zij, die op de lagere school het vak rekenen moet gaan onderwijzen, deze stof voldoende moet beheersen is duidelijk.
In de toelichting bij het betreffende programma voor het kweekschoolexamen wordt “vaardigheid in het hoofdrekenen” met name genoemd.[Voor het onderdeel hoofdrekenen mochten 10 minuten worden gebruikt, de resterende 40 minuten konden door de deelnemers over de andere vakken verdeeld worden.]
[ . . . met toestemming overgenomen uit het lagere-schooleindexamen, dat in 1955 in Eindhoven werd gehouden onder leiding van de heer H. J. Carpay, nu inspecteur van het Kweekschoolonderwijs. Aan dit examen namen alle zesde-klassers van de Rooms-Katholieke lagere jongensscholen in Eindhoven deel. Aantal kandidaten 1055. Wij maakten van deze opgaven gebruik, omdat de in Eindhoven behaalde resultaten aantoonden, dat deze proeven op het niveau van de zesde klas van de lagere school lagen.]
Mooijaart heeft een onderzoek gedaan, waaraan zes lagere scholen in de regio Nijmegen deelnamen, en vijftien kweekscholen. Van de 240 zesdeklassers die zes toetsjes maakten, waaronder de bovenstaande hoofdrekentoets, werden alleen de resultaten meegenomen van de leerlingen die alle toetsjes voldoende scoorden, waaronder Mooijaart verstaat: 60% of meer goed. Het is jammer da Mooijaart het zo heeft gedaan: hij houdt nu maar 63 leerlingen over, de meeste zijn louter door ‘meetfouten’ weggelaten (enkele taaltoetsjes bevatten maar 10 vragen, bijvoorbeeld). Op de deelnemende kweekscholen werden de eersteklassers en de vierdeklassers getoetst, resp. 611 en 417 deelnemers, waarvan de meeste ULO als vooropleiding hadden, bij de vierdeklassers natuurlijk ook een kleine groep die na afronden van het VHMO naar de kweekschool waren gegaan (kwamen die dan in klas 4 binnen?).
Nieuwsgierig naar de uitkomsten: De zesdeklassers hadden gemiddeld 79,8% goed, de eersteklassers van de kweekschool 81,1 %, en de vierdeklassers 83,6 %.
Deze vierdeklassers hadden op het tijdstip van dit onderzoekje nog enkele maanden te gaan naar hun eindexamen (landelijk werd op dat examen 9% van de kandidaten afgewezen, dat was in 1960). Van de 417 vierdeklassers scoorden er 18 minder dan 60% van de vragen goed, dat is minder dan 12 vragen goed uit 20.
Dit is prachtig materiaal om rekenprestaties over een halve eeuw heen te kunnen vergelijken. De Freudenthal-groep zal constateren dat dit hoofdrekentoetsje vooral opgaven bevat die op een handige manier moeten worden aangepakt. Maar de nadruk ligt wel op dat ‘moeten’: de leerlingen mogen geen aantekeningen maken, laat staan een rekenmachine, en worden zo gedwongen om actief te zoeken naar een mogelijke vereenvoudiging van de opgave. De situatie is dus een andere dan met de doorsnee opgaven ‘handig rekenen’ in realistisch rekenonderwijs, die immers meestal niet op handige wijze worden uitgerekend (zoals empirisch onderzoek uitwijst, zie hier.
Ik kreeg de volgende reactie op dit citaat uit het artikel van Mooijaarts:
Interessant. Maar realiseer je ook dat in die tijd iedereen die naar de kweekschool ging om te beginnen alle standaardrekenrecepten voor rekenen met pen en papier door en door beheerste. Dan is daarna het uitvoeren van dit soort kunstjes gewoon leuk en voor toekomstige meesters en juffen ook een aardige sport. En dat zo’n rijtje ook binnen de 10 minuten klaar moest zijn, 2 sommen per minuut. Those were the days …
Toch werd in Eindhoven dit toetsje gebruikt in een soort eindexamen LO, zoals boven vermeld. Ook die scholieren uit de zesde klas waren natuurlijk vertrouwd met het rekenen volgens de basisalgoritmen.
27 september. Ik ben op zoek naar empirische gegevens over rekenprestaties in het verleden. Het is lastig en tijdrovend om dat gericht te doen. Dus voorlopig ben ik blij met alles dat ik langs mijn pad bijeen kan sprokkelen. Publicaties die ik binnen moet gaan halen:
H. Heesen, D. Strelitski & A. van den Wissel (1967). Een onderzoek naar de beheersing van de rekenstof in het GLO. Pedagogische Studiën
H. Heesen, D. Strelitski & A. van den Wissel (1968). De Schiedamse Rekentest. Pedagogische Studiën
H. Heesen, D. Strelitski & A. van den Wissel (1971). Handleiding Schiedamse Rekentest (SRT). Wolters Noordhoff. [Het belang van zo’n handleiding is vooral dat er normtabellen in zijn vermeld: dus de typische rekenprestaties voor een willekeurige groep leerlingen van bepaalde leeftijd en groep, representatief voor Nederland. Maar wie kan mij een exemplaar lenen, of een scan van de inhoud sturen? De handleiding is niet aanwezig in de KB, noch in de UB Leiden, evenmin aangeboden op internet]
K. Swinnen & R. Vandenberghe (1973). Diagnostisch onderzoek in de klas, met als toepassing de constructie van ‘Analytische rekenproeven’. Pedagogische Studiën, 261-278.
Ontwikkelingen in het rekenonderwijs in de VS
Zie Hung-Hsi Wu over een zorgvuldige opbouw van rekenonderwijs en noodzakelijke hervormingen in de opleiding van leerkrachten in het “fall issue 2011” van de “American Educator”.
Wu
Het artikel van Wu is vrij te downloaden.
Zijn belangrijkste argument is dat er allerlei wiskundige fouten het standaardcurriculum ingeslopen zijn. Recente vernieuwingen hebben daar geen verbetering in gebracht, ze hebben dit feit eerder versterkt. Tekstboeken, lerarenopleidingen: ze moeten volgens hem fundamenteel veranderd worden. Zie bijvoorbeeld het citaat:
For example, when the National Mathematics Advisory Panel reviewed two widely used algebra text-books to determine their “error density” (which was defined as the number of errors divided by the number of pages in the book), it found that one had an error density of 50 percent and the other was only slightly better at 41 percent. We must start from scratch.
Weerzin tegen standaardalgoritmen
Wu:
Likewise, the resistance that some math educators (and therefore teachers) have to explicitly teaching children the standard algorithms may arise from not knowing the coherent structure that underlies these algorithms: the essence of all four standard algorithms is the reduction of any whole number computation to the computation of single-digit numbers.
This hit me between the eyes, zoals Engelsen zouden kunnen zeggen.
not knowing?
Ik vraag me af of men dat niet weet. Sterker nog, ik denk dat juist de eigenschap dat elk van de vier standaardbewerkingen een cijferbewerking is in plaats van een getalbewerking een belangrijke reden is dat de rekenrealisten het cijferen verafschuwen.
De didactische opbouw van het cijferen is van klein naar groot: ééncijferig, twee- en meercijferig rekenen, van eenvoudig naar complex. De didactische opbouw van realistisch rekenen is van concreet naar abstract. Dat is een bewuste “kanteling” van de opbouw.
Handreiking aan de leken 2
Een RR-aanhangster liet me onlangs zien dat leerlingen veel eerder begrijpen wat de getallen inhouden als je dat concreet maakt. De vraag wat is 400 gedeeld door een half, is makkelijk te beantwoorden als je zegt “ik heb 400 Euro, ik kan iedereen een halve geven, hoeveel mensen kan ik daar gelukkig mee maken”. Mijn antwoord was dat dergelijke voorbeelden ook bij het gewone rekenen horen en volgens mij geen monopolie zijn van RR.
Willen jullie deskundigen voor mij op een rijtje zetten met welke argumenten de RR-gelovigen aankomen en welke antwoorden jullie daarop geven?
delen door een breuk …
Inderdaad: laten zien dat je met 3 liter limonade 12 glazen van een kwart liter kunt vullen gebeurt natuurlijk ook in de traditionele didactiek van breukberekeningen. De rekenrealisten blijven echter hangen in die fase, al zegt men wel degelijk te werken naar de traditionele verkorting, maar dan alleen voor die leerlingen die daar aan toe zouden zijn. Men noemt dat progressieve schematisering. van concreet naar abstract. Maar de laatste fase wordt vaak niet bereikt en in ieder geval nauwelijks geoefend. Dat geldt voor alle bewerkingen eigenlijk. Men blijft steken in de concretisering en oefent veel te weinig.
Daar komt bij dat die concretisering altijd een soort puzzeltje is, leerlingen zien niet dat het telkens hetzelfde is en omdat verschillende oplosmethoden wenselijk worden geacht, krijgen de kinderen een beeld van rekenen dat je puzzeltjes telkens op veel verschillende manieren moet oplossen. Je begrijpt, dat geeft weinig zelfvertrouwen en veroorzaakt verwarring.
Nog even terug naar het voorbeeld, of het nu euro’s zijn of limonade. Probeer maar eens te begrijpen hoeveel glazen van 30 cl je kunt halen uit een 2,5 literfles. Dat rekent reëel plots een stuk lastiger. Ik vind het altijd de omgekeerde wereld. De wiskunde is bedacht en geperfectioneerd om het mensen gemakkelijk te maken, maar in plaats daarvan weigert men dit prachtige hulpmiddel ter beschikking te stellen en blijft men op z’n middeleeuws in teksten, plaatjes en moeizame notaties aanrommelen. Wiskunde leren door de wiskunde weg te halen. Je moet er maar opkomen.
Ik denk dat een rol speelt dat wiskundigen in het algemeen niet erg geinteresseerd zijn in het uitvoeren van vaste procedures. Wiskundigen willen relaties leggen, nieuwe dingen verzinnen en stellingen bewijzen. De rekenrealisten zien wiskunde als de activiteit van wiskundigen en vertalen dat dan naar puzzeltjes op niveau simpel. Men vergeet daarbij dat wiskunde (rekenen) ook simpelweg een taal is die je moet leren. Dat gebeurde op basisschool en in het VO. En als je de taal onder de knie hebt, dan kunnen sommige leerlingen daarmee ook verder en relaties leggen, begrijpen dat de natuurkunde- en economieformules wiskunde in een andere vorm zijn en die wiskunde dus toepassen of verder ontwikkelen.
Handreiking aan de leken 1
In mijn discussies met de RR-gelovigen wil ik graag jullie expertise en inzichten gebruiken.
Vorige week kreeg ik te horen dat een onderzoek naar de resultaten van RR en “traditioneel rekenen” zou hebben uitgewezen dat er eigenlijk geen verschil zou zijn. Wat wel uitmaakte was hoeveel tijd de leraar aan het vak wijdde.
Ik meen te mogen opmerken dat kinderen niet snel meer kunnen rekenen omdat ze op school worden opgezadeld met lange berekeningen waarin ze na verloop van tijd de draad kwijt raken. Onderwijzeressen zeiden me kort geleden dat ze blij waren dat hun leerlingen thuis nog eens de staartdeling leerden, daar werden ze beter van.
Mijn uitgangspunt bij die discussies is steevast dat ik denk dat kinderen die mechanisch (oa) tafeltjes hebben geleerd zoveel kennis in huis hebben dat een deel daarvan zelf wel leert welke verbanden er achter die getallen zitten. Dan krijg ik van de RR-aanhangers te horen dat ze willen dat alle kinderen steeds begrijpen hoe ze aan het rekenen zijn, nu vallen er te veel uit de boot.
Toen ik laatst opmerkte dat het meisje in mijn Italiaanse supermarktje precies wist hoeveel ze terug moest geven en dat Nederlandse kassajongens en -meisjes maar liever niet hebben dat je wat bijbetaalt anders komen ze in de war, en dat daar uit blijkt dat traditioneel rekenen ervoor zorgt dat leerlingen hun kennis paraat hebben, werd gezegd dat de kassa’s van nu rekenen overbodig maakt en dat het niet nodig is om zoveel paraat te hebben.
Onderzoek
De partijlijn van de realisten lijkt nu inderdaad te zijn dat onderzoek aan zou tonen dat er geen verschil is tussen RR en ’traditionaal rekenen’. We hebben dit ook op het forum gezien van djdouwes.
Het onderzoek waaraan gerefereerd wordt is het Lenstra KNAW rapport. Dat is overigens zelf geen onderzoek, maar ze hebben gekeken naar al het onderzoek. Hun conclusie is NIET dat er geen verschil in uitkomsten is tussen RR en traditioneel rekenen. Hun conclusie is dat er niet voldoende onderzoek is dat zo een verschil aantoont.
Net als de meeste realisten is djdouwes
niet tot een inhoudelijke discussie te verleiden. Hij heeft niet meer gereageerd op
beteronderwijsnederland.net/node/7883#comment-64884
Zijn bijdrage daar vlak boven is niet zijn eerste poging om de discussie te ontregelen of te diskwalificeren. Deze oplossingsstrategie voor de problemen waarvoor de realisten zich gesteld zien is inmiddels goed herkenbaar.
Joost Hulshof
Begrijpen
Steeds begrijpen waar je mee bezig bent is onzinnig. Je komt juist verder door steeds meer dingen te automatiseren: er niet meer over hoeven na te denken. Je kunt je denkkracht dan concentreren op de nieuwe aspecten. Dit lijkt mij les 1 over ‘leren’. Dat de realisten hier recht tegen ingaan is symptomatisch voor hun onbenul.
begrijpen is niet hetzelfde als weten
Je kunt kinderen in een kwartier laten begrijpen dat 4 x 6 = 24. Met kleurplaten, knikkers, blokjes, schriften, kinderen zelf in groepjes zetten enz.
Kun je nu tevreden achterover leunen omdat het begrepen wordt? Dat lijkt me niet. Want bij de hogere niveaus wordt zo’n som onderdeel van andere opgaven (vermenigvuldigen, delen, breuken, procenten) en dan is het een handicap geworden als men is blijven steken bij het begrijpen.
Dan moet een leerling ook gewoon automatisch weten dat 4 x 6 = 24.
En het is al vaker opgemerkt: rekenen wordt sowieso al gauw abstract, zodat er van ‘begrijpen’ weinig meer overblijft.
Als er met breuken gerekend moet worden b.v. wordt het ondoenlijk steeds weer die taarten en melkpakken tevoorschijn te toveren, vooral als de breuken verder gaan dan een half, een kwart of een achtste.
Oplossing
De oplossing van Realistisch Rekenen voor dat
vooral als de breuken verder gaan dan een half, een kwart of een achtste
is om dat soort breuken dan maar af te schaffen…..
Sommige breuken afgeschaft? Daar heeft het alle schijn van
In rekenboekjes van het begin van de vorige eeuw vind je idioot ingewikkelde breuken en berekeningen daarmee. Terecht dat daar een eind aan is gemaakt, maar dat was in de vijftiger jaren al beslecht.
Breuken als 1/2, 1/4 en 1/8 blijven wel gehandhaafd in het nieuw-realistisch-rekenen op basis van de referentieniveaus rekenen. Maar wie die referentieniveaus aandachtig bestudeert, en weet hoe stiefmoederlijk in het basisonderwijs het rekenen met breuken is bedeeld, mag vermoeden dat breuken als 1/3, 1/7, 1/9, 1/11 enzovoort de facto uit het onderwijs zijn weggeschreven door Anne van Streun (voorzitter van de werkgroep rekenen, uit de commissie-Meijerink).
Breuken: zie hier voor relevante literatuur
heerlijk die grote breuken van breuken
Ik heb die “idioot” ingewikkelde breukensommen wel gemaakt en vond het prachtig omdat het de kracht van de rekenregels zo mooi liet zien. Ik begrijp niet wat daar verkeerd aan zou zijn, het is zo’n beetje de ultieme meesterproef van het breukenrekenen, een oefening in abstractie en zorgvuldigheid en leverde me het zelfvertrouwen om elke algebraische expressie component voor component aan te kunnen vallen.
Waarom vind je het zo terecht dat dat niet meer gebeurt?
hoofdinspectie 1949, over breuken; & breuken in het leven
Wijdenes (post hierboven) laat vermenigvuldigen met en delen door breuken weg, en was daarin bepaald niet de enige. Ik citeer Leen (1961, p. 189-190)
We geven ’t hier kort weer:
Optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Vermenigvuldiging van een gewone breuk of gemengd getal met een geheel getal.
Deling van een breuk slechts door een geheel getal.
De breuken moeten eenvoudig gehouden worden en er moet gelet worden op de gebruikswaarde.
Leidraad, samengesteld door de inspectie van het lager onderwijs in de 3e Hoofdinspectie., herziene en gecompleteerde uitgave 1949., blz. 50 e.v.
Komen ingewikkelde breuken dan niet voor in het dagelijks leven? Wijdenes zegt van niet. Volgens A. van Impe toch wel. “Hij raadpleegde 10 dagbladen en 35 tijdschriften.”
Denk hierbij aan iemand, die 21/23 van een stem uitbrengt, of een pensioen geniet, dat 41/45 van zijn activiteitswedde bedraagt, of 87/4745 van het maatschappelijk kapitaal van een vennootschap bezit! Doch zal iemand, die goed weet, wat 1/10 en 7/10, wat 13/20 of 87/100 of 0,87, wat 17/48 of 37/50 is, ook niet begrijpen wat men bedoelt met 1/200, 5/27 of 1/100.000?
A. van Impe: De breuken in het Werkelijke leven. Vlaams Opvoedkundig Tijdschrift XX—9
Geen argument
Wat voor argument heeft Wijdenes dat hij dit ‘ergerlijke kindermishandeling’ noemt?
Wijdenes
P. Wijdenes is auteur van talrijke schoolboeken, vooral op het gebied van algebra, en ongetwijfeld zelf leraar wiskunde. Met het lager onderwijs zal hij minder vertrouwd zijn, maar hij zal zeker hebben waargenomen dat voor veel leerlingen die ingewikkelde breuken te hoog zijn gegrepen, zodat het telkens maar weer die sommen voorschotelen aan deze jongens en meisjes de rekenuurtjes voor hen tot een kleine hel op aarde maakt. Tegenwoordig zouden we zeggen dat deze opgaven acute cognitive overload opleveren voor wie de basis niet uitstekend beheerst en intellectueel minder begiftigd is dan anderen (die twee gaan natuurlijk vaak samen). In een tijdsgewricht waarin de school ook werd misbruikt om jongelui te leren wat hun plaats op aarde was, werd deze barbarij makkelijk geaccepteerd. Maar let op de tegenspraak met de richtlijn van de onderwijsinspectie uit 1949! En maak een voorbehoud voor de verstandige onderwijzers die niet louter de rekenmethode volgen, maar deze alleen gebruiken waar het materiaal het eigen rekenonderwijs ondersteunt.
Leen (p. 189) zegt er verder nog over:
Waar krijgt men in het leven te doen met een breukensom als 113/15 × 31/4 : 21/5?
Zeker niet op een bank, op een fabriekskantoor, in de werkplaats, in een winkel en ook niet bij de studie in algebra, meetkunde, driehoeksmeting en stereometrie.
113/15 × 31/4 :
113/15 × 31/4 : 21/5
Leerlingen kunnen om te beginnen laten zien dat ze weten dat 113/15 een verkorte schrijfwijze is voor (1 + 13/15) en dat ze weten dat 1 gelijk is aan 15/15 (in tegenstelling tot ab dat een verkorte schrijfwijze voor a x b is) en dat het resultaat van de berekening van deze optelling T/15 is waarbij T = 15 + 13 = 28 is. Idem voor 31/4 en 21/5. het gaat hier om het drie maal uitvoeren van eenzelfde elementaire berekening. Verder moet een leerling weten dat het delen door een breuk overeenkomt met het vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk.
113/15 × 31/4 : 21/5 = (1 + 13/15) × (3 +1/4) : (2 + 1/5) = 28/15 × 13/4 : 11/5 = 7/5 × 13/1 x 1/11 = 7x13x1/5x1x11 = 91/55 =(1 + 36/55) = 136/55
Daarna deelt men dezelfde factoren uit teller en noemer weg en berekent men de teller en noemer. Tenslotte heelt men het resultaat op een wijze die de omgekeerde bewerking is van de ontheling van 113/15 , 31/4 en 21/5 . Het is allemaal een straight forward afwerken van een stelletje standaardberekeningen. (werken met horizontale breukstrepen vermindert het risico van fouten). Er komt geen stukje RR aan te pas; alleen maar het toepassen van een aantal routines waarvan de volgorde in wiskundige taal is vastgelegd. Dit te leren hoeft de meeste leerlingn niet veel tijd te kosten.
Ik ben het eens met 1-1-2010 (Heerlijk die grote breuken van breuken ) en Bart (Ik denk dat de meesten het). Wel wil ik er op wijzen dat in deze opgave de grote breuken betrekking hebben op kleine getallen zodat daarin geen getallen voorkomen die zo groot zijn dat ze vragen om kolom-optellingen, kolomvermenigvuldigen en staartdelingen. En onhoud deze vragen niet aan leerlingen die ze wel aankunnen, zoals Bart stelt.
Seger Weehuizen
monstersommen
Seger,
Je analyse dat deze monstersommen bestaan uit een eenvoudige aaneenschakeling van op zich ook eenvoudige deelopgaven is juist.
In een persoonlijk reactie die ik heb ontvangen wordt gewezen op de gemengde breuken (dat zijn gehele getallen met nog een breuk), waardoor nog weer extra stapjes nodig zijn in de berekening.
Deze monstersommen hebben geen valide meerwaarde boven de optelling van de deelsommen waaruit ze bestaan.
Mijn oordeel als ontwerper van toetsvragen over deze monstersommen is dat deze geen bijzondere rekeninzichten of vaardigheden eisen, maar wel een groot beroep doen op intellectuele vaardigheden van leerlingen: deze monstersommen horen in het onderwijs niet thuis. Leerlingen die zich juist tot die sommen aangetrokken voelen, mogen natuurlijk hun gang gaan, al is het zonde van de tijd die ze er aan besteden.
Een bijzonder vervelend probleem met deze monstersommen is dat het voor veel leerlingen waarschijnlijk niet mogelijk is om ze achter elkaar ook ‘goed’ te maken. Er zit dus ook een sadistisch kantje aan het voorschotelen van monstersommen aan de minder briljante leerlingen.
Mee eens
Of vraagstukken met gemengde breuken helemaal geen nut hebben is iets waar ik geen direct antwoord op heb. Maar ik ben het wel met je eens dat je het maken van zulke ogaven of het kunnen maken van zulke opgaven niet verplicht moet stellen.
Seger Weehuizen
Inderdaad, zo’n monstersom
Inderdaad, zo’n monstersom is niets anders dan een serie rekenkundige bewerkingen die je foutloos moet uitvoeren om het juiste eindresultaat te krijgen, wanneer je 90% van de rekenkundige bewerkingen in elke monstersom goed uitvoert dan krijg je bij 100% van de monstersommen een fout antwoord.
Juist dat is misschien wel een toegevoegde waarde voor de betere rekenaars. Het is een goede stimulans om nauwkeurig en perfectionistisch te werken en wanneer je in je latere schoolloopbaan eens wat formules tegenkomt dan zal je niet snel onder de indruk zijn aangezien je veel vertrouwen hebt getankt met deze monstersommen.
Dat dit eventueel slechts voor een kleine minderheid van de leerlingen nuttig is vind ik niet zo relevant, laat dan enkel deze kleine minderheid deze uitdaging aangaan.
Ongetwijfeld zal niet alles in het vroegere onderwijs goed zijn geweest maar we kunen constateren dat het onderwijs in haar geheel bijzonder goed was in de eerste helft en het in het begin van de tweede helft van de twintigste eeuw, en in de eeuwen daarvoor voor de enkeling die de kans kreeg om onderwijs te volgen. Kijk simpelweg naar het aantal eponiemen, het aantal nobelprijzen en het aantal uitvindingen wat gedaan is door Nederlanders in die tijd waaronder bijv. de microscoop, het ECG, de dialyse en natuurlijk de bijdragen van de vele natuurkundigen en scheikundigen (zonder Lorenz zijn werk had Einstein alicht niet de relativiteitstheorie kunnen uitvinden).
Wat mij bij sommige van deze prestaties opvalt is dat minstens een deel van die wetenschappers zeer veelzijdig was.
Ik pleit er niet voor om daarom 1 op 1 het vroegere onderwijsmodel te kopiëren maar laten we verdomd goed ons bezinnen alvorens we elementen eruit smijten.
Ik denk dat de meesten het
Ik denk dat de meesten het er wel over eens zijn dat niet elke basisschoolleerling zulke berekeningen feilloos hoeft te kunnen uitvoeren. Dat wil toch niet zeggen dat je de leerlingen die dit wel aankunnen deze ´meesterproef` moet ontzeggen?
Differentieer naargelang de leerling. Wanneer een leerling klaar is met de basis dan bied je hem dergelijke oefeningen aan als extra oefenmateriaal.
Beste Ben
Ik kreeg de volgende persoonlijke reactie, die ik met toestemming hier weergeef:
Beste Ben
N.a.v. je laatste blog en de discussie daarin over het rekenen met breuken, in het bijzonder vermenigvuldigen en delen het volgende:
Het vervelende van de sommetjes die zoveel weerzin opleveren is de ruis die wordt veroorzaakt door het werken met “gemengde” breuken, dat wil zeggen breuken waar het hele deel van apart is gezet. Dan ziet alles er afschrikwekkend uit, er moet een extra stap gezet worden en door die bomen zie je het eenvoudige bos niet meer. Het gaat natuurlijk om de twee essentiële regels voor vermenigvuldigen en delen, namelijk:
breuk × breuk = (teller maal teller) / (noemer maal noemer)
en
breuk : breuk = breuk × omgekeerde breuk.
Die regels moet je uitleggen (zie bijv. Jan van de Craats hier) en oefenen, en dat oefenen kan met kleine tellers en noemers. Als je het goed doet, snapt iedereen dat het ook met grote tellers en noemers zo gaat, maar dat het dan alleen meer werk is. Net zo goed als bij optellen, aftrekken en vermenigvuldigen onder elkaar, en staartdelen. Met geduld, nauwkeurigheid en voldoende papier kun je dat ook met getallen van vijftig cijfers, maar om het recept onder de knie te krijgen is oefenen met kleine getallen voldoende.
En, zoals Liesbeth vd Plas laat zien (Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs. Een kleine analyse van het wiskunde onderwijs binnen twee generaties. pdf), als voorbereiding op letterrekenen is het beheersen van rekenen met breuken essentieel.
Helaas niet voor iedereen
Beperking der leerstof, speciaal wat betreft de breuken, hfdst 18 in:
Over P. Wijdenes in Valcoogh 15-1-1953:
Wijdenes noemt dit ergerlijke kindermishandeling.
Aan het boekje voor de eerste helft van het zesde leerjaar ontleende hij de volgende vormsom:
Hij telde in genoemd boekje 60 stuks van deze soort.
( . . . )
Wijdenes wil de leerstof beperken tot het begrip van de gewone breuk:
1/2, 1/3, 1/5, 1/6, 1/10 en verder nog 2/3, 3/4, 4/5. Voorts optellen en aftrekken.
Heerlijk,
dat vond ik ook. Maar de essentie voor die latere vaardigheden ligt wat mij betreft toch meer bij het inzicht dat je al krijgt met relatief kleine noemers. Abstractie begint bij simpele voorbeelden. Wat zo stuitend is is dat juist die voorbeelden in de doorlopende drempels van Van Streun verdonkeremaand zijn. Dit is moedwillig gebeurd, met steun van de FI-experts, en daar is geen excuus voor. Helaas hebben we in de wiskunde geen equivalent van de medische tuchtraad. Zie verder
beteronderwijsnederland.net/node/7883
Joost Hulshof
RR: de uitgangspunten zijn anders
Ooit stond rekenen in dienst van het rekenen en de toekomstige wiskunde.
Maar sinds ‘het kind centraal’ de slogan werd, diende ook het rekenen in dienst van het kind te staan.
Rekenen moest het kind helpen ‘greep’ te krijgen op zijn eigen omgeving, zoals ooit de primitieve mens het rekenen had bedacht om ‘greep’ te krijgen op zijn omgeving.
Vergeten wordt dat moeilijke sommen ook deel worden van de wereld van het kind, en dat rekenbehendigheid hen daarbij dus ook helpt.
Maar dat werd afgeschaft, die moeilijker sommen, zodat het voor het kind niet noodzakelijk werd geacht daar nog verder greep op te krijgen.
Het nieuwe rekenen is vooral sentimenteel: terug naar de oerbronnen van het echte (zuivere?) kind, zonder al die theoretische rimram die Emile maar zou bederven. Diezelfde mensen die RR verdedigen zeggen b.v. ook dat je niet kunt leren uit een boekje. Het echte leven, daar zou het om draaien. Ik kan best begrijpen waarom mensen bezwijken voor zo’n paradijselijke voorstelling van zaken.
Intussen willen ouders wel dat hun pupil niet uit de boot valt en de toetsen goed maakt.
en: is handig rekenen ‘begrijpen’?
RR maakt goede sier met het ‘handig rekenen’.
Maar is dat begrijpen?
Is het ‘begrip’ als een kind weet dat 70 : 10 = 7, dan ook 700 : 100 = 7 en dan ook 7000 : 1000 = 7 ?
Voor de meeste kinderen wordt dit m.i. ook gewoon een aardig ’trucje’.
En ’trucjes’ dat mocht toch niet meer?
Begrijpen is goed, uit het hoofd kennen is slecht
De retoriek viert hoogtij in de publicaties uit de Freudenthal-groep. Of gaat het hier om een vorm van rekenromantiek?
Begrijpen is goed, uit het hoofd kennen is slecht.
Zouden we rijbewijzen willen gaan uitdelen op deze basis, dan haalt de realiteit ons pijlsnel in.
3 x 7 = ?
Welke leerling zou van een Realistisch Rekenaar de beste score krijgen?
Leerling A die een bak kralen opentrekt, 3 rijen van 7 kralen neerlegt en dan gaat tellen en tot 21 komt.
Leerling B die meteen ’21’ zegt want leerling B kent de tafels.