D. van Hiele-Geldof (1957). De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het V.H.M.O. Proefschrift. Handelseditie uitgegeven door de samenwerkende uitgevers: Meulenhoff/Muusses/Erven Noordhoff/Nijgh & Van Ditmar/Struy, Van Mantgem & Van der Does. Voor annotaties bij dit proefschrift zie hier.
Voor de jongere lezers (het is mij al gebleken dat dit een noodzakelijke toelichting is): vhmo = voorbereidend hoger en middelbaar onderwijs = mms, hbs, gymnasium.
| Hieronder volgt het eerste geprotokolleerde klassegesprek met groep Ia (in januari, dus niet de eerste meetkundeles aan deze klas). ( . . . ) | |
| Pl. | ( . . . ) We gaan verschillende vloeren bestuderen, die met tegels bedekt zijn. Ik schrijf voor jullie een zin op het bord, waarin twee moeilijke woorden voorkomen: Een trottoir is bedekt met kongruente vierkante tegels. Kennen we het woord trottoir? |
| Ppn. | Stoep |
| Pl. | Kennen we het woord kongruent? (Dit woord bleek niemand eerder gehoord te hebben, zoals ik ook verwachtte. Ik probeerde op de volgende wijze het woord te benaderen:) |
| Pl. | Als ik de stoelen bekijk, waar jullie op zitten, dan kan ik opmerken, dat die kongruent zijn. Verscheidene leerlingen meenden het nu te weten: Dezelfde tegels, gelijke tegels. |
| Pp. 17. | Als je twee tegels op elkaar legt, moet het passen (Wij zijn toen eerst het woordje “dezelfde” gaan bekijken). |
| Pl. | Als ik zeg: Morgen zit je weer op dezelfde stoel, dan bedoel ik juist niet de stoel van je buurman. Het woord “dezelfde” is dus niet duidelijk genoeg. |
| Pl. | Nu het woord gelijk : Wat is er dan gelijk? |
| Ppn. | De oppervlakte. |
| Pl. | Laten we eens proberen. Oppervlakte wordt gemeten in . . . . |
| Ppn. | Vierkante centimeters. |
| Pl. | Neem nu eens in gedachten twee tegels, waarvan de oppervlakte van beide 12 cm2 is. Dat is dus gelijk. Moeten die tegeld nu werkelijk kongruent zijn? |
| Pp. 8. | Neen, want ze kunnen nog verschillen in de lengte en de breedte. |
| Pl. | Zou je dat op het bord kunnen tekenen? |
| Pp. 8. | Tekent twee rechthoeken 2 × 6 en 3 × 4 cm2. |
| Pl. | Ze zijn inderdaad niet kongruent — ook het woord gelijk is dus niet zo gelukkig gekozen. |
| Pp. 17 | Ze passen toch ook niet op elkaar. (We besluiten, dat pp. 17 nog het beste antwoord gegeven heeft.) |
| Pl. | Toen jullie vanmorgen aan de ontbijttafel zaten, waren daarop toen kongruente voorwerpen? |
| Ppn. | Ja, borden, messen, vorken, bekers. |
| Pp. 11. | Bij ons zijn de bekers niet kongruent. (Mijn konklusie, dat ze dan uit een groot gezin kwam, was juist.) |
| Pp. 11. | Ieder van ons heeft een andere beker, dan weet je, welke van jou is. |
| Pl. | Maar ’s middags, met visite, drink je dan thuis wel uit kongruente theekopjes? |
| Pp. 11. | Ja, maar dan hebben we er verschillende lepeltjes bij. |
| Pl. | Als ik nu nog eens goed naar jullie stoelen kijkm zijn ze toch niet kongruent. (De leerlingen begrepen het direkt. Ik doelde op de plaatjes met nummer aan de achterkant van elke stoel.) |
| Pl. | Waarvoor zijn die nummers? |
| Pp. 10. | Om ze uit elkaar te houden. |
| Pl. | Juist, om onderscheid te kunnen maken, om ze te kunnen onderscheiden. Daar dienen ook de lepeltjes van pp. 11 voor. Je kunt daardoor kongruente theekopjes onderscheiden. Wie kan nu de volgende zin afmaken. Kongruente voorwerpen zijn . . . . |
| Pp. 17. | Het zijn voorwerpen, die in elkaar passen. |
| Pl. | Ik geloof, dat kongruente theekopjes niet helemaal in elkaar te passen zijn, het oortje zit in de weg. Met de tegels gaat het prachtig. |
| Pp. | Voorwerpen, die dezelfde inhoud hebben. |
| Pp. 8. | Nee, want het kan dan nog hoog en laag zijn. |
| Pp. 2. | Kongruente voorwerpen, zijn voorwerpen, die niet van elkaar te onderscheiden zijn. (Dit werd met algemene instemming aanvaard — dat was goed gezegd. Daarna werd het eerste blanco blad [van het werkboekje van de lln, b.w.] in vieren verdeeld door een vertikale en een horizontale lijn. Op het bord werd dit tegelijkertijd ook door mij gedaan.) |
| Pl. | Opdracht: Teken nu op zo’n kwart velletje een trottoir belegd met kongruente vierkante tegels — neem de zijde 2 cm. De rechte hoeken netjes met de tekendriehoeken maken. Je denkt maar aan het trottoir of aan de tegelvloer thuis en je tekent, wat je in gedachten voor je ziet. Het kan misschien wel op meer manieren. (Bij dit tekenen viel mij op, dat iedereen direkt hele lijnen tekende.) (De figuren 1 en 2 (zie blz. 160 [in het proefschrift; als bijlagen toegevoegd aan deze blog]) werden beide getekend, zonder duidelijke voorkeur; de ene figuur kwam even veel voor als de andere. Bijna alle leerlingen vonden na de ene mogelijkheid ook de andere.) |
| Pl. | Hoe liggen de tegels meestal? |
| Ppn. | Zoals in fig. 2 |
| Pl. | Waarom liggen ze zo? |
| Pp. | Omdat het dan veel steviger ligt. |
| Pl. | Kun je het voelen aan het stuur van je fiets, als de tegels verkeerd liggen? |
| Pp. | Ja, dan komt je wiel in zo’n gleuf, net als bij een schuin lopende rail. |
| Pl. | In welke richting moet je fietsen? |
| Ppn. | In die. (Zij wijzen de goede richting met de vinger aan.) |
| Pp. 5. | (Dacht juist in de daarop loodrechte richting. Toen we de richting op het bord in de figuur tekenden, zag ze het duidelijk. Daarna merkte ik op, dat ik tien dagen tevoren in een stad was, waar de tegels toch nog anders lagen.) |
| Pp. 10. | Ja, op zijn kant. |
| Pl. | Wie begrijpt, wat Pp. 10. bedoelt, kan proberen het te tekenen. (Weer zag ik velen eerst de evenwijdige lijnen tekenen, nu in scheve richting. Een aantal kinderen begrepen het helemaal niet. Zij zeiden: Dan krijg je precies hetzelfde. Daarin hadden ze ook gelijk. Ik zei daarom: Draai hem niet te ver.) |
| Ppn. | Maar dan staat hij op zijn punt. (We merkten nu dus nog even op, dat het woord kant niet duidelijk is: met kant wordt een zijde bedoeld. Het woord “punt” is hier beter.) |
| Ppn. | Mag ik ook mijn schrift draaien, dan heb ik hem al. (Daarna hebben we drie figuren bekeken.) |
| Pl. | Wat zie ik in fig. 1? |
| Ppn. | Lijnen. |
| Pl. | Kun je iets van die lijnen zeggen? |
| Ppn. | Jawel, parallel. |
| Pp. 15. | Ze zijn even wijd van elkaar. (Ik wees de horizontale lijnen aan en noemde dit een stel evenwijdige lijnen.) |
| Pl. | Heeft de figuur nog zo’n stel evenwijdige lijnen? |
| Ppn. | Ja, zó (vertikale handbeweging). |
| Pl. | Heeft fig. 2 ook zo’n stel evenwijdige lijnen? |
| Ppn. | Ja, alleen zó (horizontale handbeweging). |
| Pl. | Heeft fig. 3 (zie blz. 160; bijlage bij deze blg) ook een stel evenwijdige lijnen? |
| Ppn. | Ja, ik zie ze. |
| Ppn. | Ik niet. (Een van de anderen heeft toen de lat er langs gehouden en opgeschoven. Twee stel.) |
| Pp. 3. | Ze hoeven dus niet horizontaal of vertikaal te zijn. (Dit hebben we toen nog eens duidelijk met de lat gedemonstreerd. Er zijn vele richtingen.) |
| Pl. | Zouden de tegels precies even groot moeten zijn om er een vloer mee te kunnen bedekken? Denk er eens, dat je twee soorten tegels hebt, grote en kleine vierkanten? (Er werd nagedacht, toen kwam . . . .) |
| Pp. 11. | Dat hoeft niet, als de kleine maar precies een grote vormen. |
Dat was de eerste les. In totaal beslaan deze lesverslagen bijna 50 bladzijden in het proefschrift. Een tijdsdocument.
Een wilde context ook, vindt u niet? Penrose vertelde op de dag van het Platform dat hij op dat tegel-idee was doorgegaan.
Wie had verwacht dat het meetkunde-onderwijs ‘mechanistisch’ en zonder context gegeven zou zijn? Maar deze les staat niet model voor het meetkundeonderwijs in de vijftiger jaren: de didactiek van Dieke van Hiele-Geldof is immers een experimentele. Ter toelichting, ook al kan dat geen recht doen aan het zeer uitvoerige theoretische kader in haar proefschrift, de volgende passage (blz. 57).
Geleidelijk moeten de leerlingen van de visuele voorstellingen overgaan op de ideale meetkundige voorstellingen der figuren. Deze laatste zijn de objekten, waarover de meetkunde handelt.
De overgang van het konkrete naar het abstrakte vinden we terug in het hoofdstuk ‘Tegels’. Daar gaan de trottoirs met tegels geleidelijk over in vlakvullingen met meetkundige objekten. De aanschouwelijke voorstelling is meegestruktureerd. Wat de leerlingen zien is niet meer een afbeelding van iets, dat visueel wordt waargenomen (trottoir), maar een afbeelding van iets, dat slechts in gedachten bestaat.
De vlakvullingen worden vervolgens in een meetkundige kontekst geplaatst door te ordenen naar meetkundige kenmerken als: kongruentie (waaronder gelijkheid van lijnstukken en gelijkheid van hoeken valt), symmetrie, gelijkvormigheid, enz. We keren daarbij telkens naar het aanschouwelijke terug: Evenwijdige lijnen, vergrotingen, zagen, ladders moeten meegestruktureerd worden, d.w.z. moeten ook in de meetkundige kontekst worden opgenomen. Daardoor worden de meetkundige eigenschappen, die deze figuren hebben, bewust gemaakt.
Ik krijg als eerste indruk dat de Van Hieles teveel psychologie in hun niveautheorie hebben gestopt, zeg maar een soort theoretische overkill. Als leertheorie beschouwd: de theorie is te sterk voor de te verklaren fenomenen. Freudenthal heeft in zijn eigen variant van deze niveautheorie de zaken er niet beter op gemaakt door naast niveaus ook nog over sprongen in de leerkurven te spreken. In leerpsychologisch onderzoek komen leerkurven met sprongen en niveaus eigenlijk niet voor. Op blz. 9 over tegels als thema nog deze passage, die aangeeft dat de didactiek van Van Hiele-Geldof verwant is aan wat in experimenteerscholen werd gedaan:
Zo heb ik in de maanden januari, februari en maart van de kursus ’55-’56 de vlakvullingen als studieobjekt gekozen. Deze vormen voor de leerlingen een duidelijke eenheid. Het zijn in het biezonder de docenten van de Montessori-Lycea, die trachten de leerstof, wat vorm en inhoud betrfet, op een andere wijze aan te bieden. Door de nauwe samenwerking vindt men dan ook ditzelfde onderwerp “Tegels” op verschillende scholen in gevarieerde vorm terug. Ik vermoed, dat het al jaren geleden ten huize van Mevr. Ehrenfest ter tafel is gekomen.
Van Hiele-Geldof heeft gezocht naar protokollen van meetkundelessen aan beginnelingen, en alleen in Stellwag (1955) Selektie en selektiemethoden (blz. 356 e.v.). Zoals Van Hiele-Geldof het citeert:
- Eerst wordt het behandelde overhoord.
“Welke figuren beschouwt de vlakke meetkunde?” — Een leerling zegt: “De punten”. De leraar: “In het algemeen: Welke figuren? Wáár bevinden die figuren zich?” — Joop: “Op het bord, op papier, op een blad, een schrift.” — De leraar herhalt zijn vraag. Als Joop zwijgt krijgt een ander de beurt.
Een meiske zegt: “De hoeken. De hoeken van een lineaal.” De lineaal is wel ter sprake gekomen, maar in een ander verband. Andere leerlingen geven nu het juiste antwoord: “In het platte vlak.”
De volgende vraag is: “Hoe we ons in de ractijk dat platte vlak voor?” Het meisje dat nu aan de beurt is zegt: “Iets wat geen ruimte en breedte heeft.” De leraar: “Dan moet jij me zo’n vlak eens tonen!” Een andere leerling begrijpt de bedoeling wél: een schrift of een lineaal. “Heb je ergens zo’n plat vlak bij de hand? Juist, waar je met je elleboog op zit! Prachtig.”
“Welke hulpmiddelen hebben we om ons diverse figuren voor te stellen?” — Enkele kinderen antwoorden: passer, lineaal. “Maar wat maken we daar nu mee?” — Antwoord: “Een tekening”.
Bij de vraag, van welke figuren we uitgaan komen we dus terecht bij de punt, die geen afmeting heeft. Nù kan het meisje haar kennis kwijt: ze geeft dan ook braaf het antwoord: “Geen afmetingen”.
De meetkunde wordt nu verder systematisch opgebouwd: “Als we nu enige punten vlak naast elkaar op papier zetten, wat krijgen we dan?” De lijn, die aldus ontstaat, heeft wel lengte, maar geen breedte. “Kome deze lijnen in de practijk wel voor? Lousje?” — “Ja meneer”, zegt Lousje.
Het verschil tussen ene lijn in het schrift en een in de vlakke meetkunde wordt uitvoerig besproken. Ria wet te vertellen, dat zulk een lijn “van het oneindige naar het oneindige looopt”. De grondbegrippen: punt, rechte lijn, platte vlak, zijn nu langzamerhand alle wel ongeveer duidelijk geworden. Om nu te weten wat daarmee bedoeld wordt voeren we in de meetkunde definities in. De docent geeft nu een voorbeeld van zo’n definitie, en wel van een lichaam, dat zich in de ruimte bevindt, en dus aan alle zijden door ruimte is begrensd.
( . . . )
Dan gaat de leraar verder met het dictaat van de vorige keer: “Een lijn, en wel speciaal een rechte lijn, loopt tot in het oneindige door. Zodra we er van één kant een punt op zetten, dat een eindpunt van de lijn betekent, noemen we hem . . . nou, we schrijven natuurlijk niet gedachtenloos op, dus Ida kan me zeggen . . . . of schrijven we wel gedachtenloos op? Dat moet je niet doen kind, gaat het te vlug? Kitty, Jan, Kees”: “Twee halve lijnen”. “Nee, niet twee halve lijnen — dan noemen we hem: halve lijn. Nieuwe zin: Maken we twee eindpunten op die lijn, dan noemen we het stuk tussen de eindpunten . . . . Fokko?” . . . . “lijnstuk”. “Nieuwe zin: voor de opbouw van de meetkunde hebben we een aantal grondbegrippen nodig. Twee van die grondbegrippen zijn . . . . Karel?” “Vierkant”. “Paul?” “Punt en lijn”. “Ja.”
“Om nu een omschrijving te kunnen geven van wat we met bepaalde begrippen bedoelen gebruiken we . . . . nou wou ik eens weten — ik heb het verteld zoëven — die omschrijving of beschrijving van bepaalde begrippen, hoe of je dat noemde. Ingrid? Wim?” “Definitief”. Fokko?” — “Definitie.” Een ander woord voor definitie?” — “Bepaling”. — “Juist”. Hier volgen enige van die definities:
I. Een lichaam is een — nou, dat wou ik graag eens aangevuld hebben door Jan, daar heb ik nog niet veel van gehoord”. “Nou een lichaam is een ding, omgeven door . . . . ” — “Dan zal ik het aan iemand anders vragen”. — “Iets, wat omgeven is” . . . . “Ja, niet alleen: omgeven, maar: aan alle kanten omgeven is — schrijf maar op: Een lichaam is een aan alle zijden begrensd deel der ruimte.”
De volgende les gaat op dezelfde manier verder. “Weet iemand welke grondbegrippen we kennen?” “Het punt, het platte vlak”. — “Ja, maar op het punt volgt niet direct het platte vlak.” — “De lijn, de rechte lijn.” “Wat is een bepaling?” æWeet iemand daar een ander woord voor?” — “Definitie”. “En wat is dat eigenlijk?Æ — “Een lichaam dat aan alle kanten door lucht omgeven is.”
Bovenstaand lesprotokol is van meetkundeonderwijs dat niet vanuit de axioma’s is opgezet, maar daarmee volgens Van Hiele-Geldof nog geen elementaire meetkunde is. “Om elementair te zijn zal men uit moeten gaan van de door de kinderen waargenomen en gedeeltelijk reeds globaal bekende wereld. Het doel zal veeleer moeten zijn deze fenomenen te analyseren en er zo een logische samenhang in te brengen.” Waarmee we weer terug zijn bij de aanschouwelijkheid van het trottoir.
Zulke meesterlijke didactiek is onmogelijk geworden,
als u een zeer heterogene klas voor u heeft waarin wel vier, vijf of meer niveaus bediend moeten worden.
Zulke didactiek verdwijnt zelf helemaal als kinderen moeten ‘zelfstandig werken’, of hun ‘eigen leerproces’ moeten gaan ontdekken.
Heel jammer.
Maar misschien was het wel de bedoeling: de nieuwe opleiding voor juffen en meesters heette niet voor niets ‘Pedagogische Academie’. De nadruk diende op ‘pedagogie’ gelegd te worden. Waarbij ‘academie’ een misleidend woord voor de buitenwacht moest zijn.
Is dit geen schitterende didactiek?
Zo zorgvuldig en zo fraai opgebouwd.
Het was echt niet alleen maar dom stampwerk in die tijd, hoewel veranderaars dat maar al te graag zo wilden voorstellen.
Het voorbeeld geldt het middelbaar onderwijs. Maar ook het basisonderwijs heeft zorgvuldig opgebouwde didactiek nodig, Didactiek die in een ‘vraag-antwoord’- gesperk vorm kan krijgen. Daarbij heeft de leraar nauwkeurig in het hoofd wat hij/zij wil opbouwen waardoor een vrijheid ontstaat adequaat op antwoorden van leerlingen te reageren en deze zelfs te verwerken in de geplande didactiek.
Dit is voor mij volkomen onherkenbaar
Is dit een grap? Ik heb een leerboek, genaamd PLANIMETRIE gevonden geschreven door C.J. Alders (één persoon dus!), leraar aan het R.K. Lyceum te Haarlem uit 1958. [In een Lyceum werd het leren van klassieke talen een jaar uitgesteld zodat leerlingen pas in het tweede leerjaar hoefden te kiezen tussen gymnasium en HBS. De HBS was een 5-jarige tot VWO-school geëvolueerde school zonder klassieke talen].
Het boek begint met het introduceren van de begrippen (rechte) lijn, halve lijn, lijnstuk, punt, lengte, hoeken, hoektypen, meten van hoeken in graden, snijdende lijnen, evenwijdige lijnen, loodrecht, nevenhoeken en overstaande hoeken. In dit leerboek is al een concessie gedaan aan het begripsvermogen van de leerlingen doordat er ook een aantal constructies besproken worden en stellingen “bewezen” worden voordat de axiomata van Euklidès geïntroduceerd worden. Er wordt nergens over stoeptegels en de congruentie van stoeptegels gesproken. Het enige niet abstracte zijn de figuren die strikt genomen overbodig zijn. Alleen congruentie van driehoeken komt aan bod.
Na de afdaling naar de axiomata worden de bewijsregels streng in acht genomen en ook het indirecte bewijs geïntroduceerd.
Ik herinner mij niet dat op het Gymnasium waarop ik ingeschreven was de lessen zo gegeven werden als in het voorbeeld dat Ben Wilbrink geeft en ik vraag me af of ik daarmee gelukkig zou zijn geweest. Wordt het de leerlingen van Hiele-Geldof ooit duidelijk dat het bij de meetkunde gaat om een gebouw met als fundamenten de axiomata en als cement de logica en de bewijsvoering?
Seger Weehuizen
vhmo?
Vhmo = voorbereidend hoger en middelbaar onderwijs = mms, hbs, gymnasium…
…en algemene handelsschool.
Ook voor mij is bovenstaande volledig onbekend.
onherkenbaar
Seger,
Het onderzoek van Dieke van Hiele-Geldof is verkennend van aard. Zij brengt een aantal eigen didactische inzichten in praktijk, en probeert zo goed mogelijk te registreren hoe de leerlingen omgaan met de aangeboden stof en de discussie in de klas.
De eigen didactische inzichten zijn die van Pierre en Dieke van Hiele, ontwikkeld vanuit kennisnemen van vooral denkpsychologisch onderzoek, en van het werk van Jean Piaget, en ongetwijfeld vaak besproken in de werkgroep wiskundeonderwijs (met o.a. Tatjana Ehrenfest en Hans Freudenthal).
Het lesprotokol is inderdaad a-typisch voor het meetkundeonderwijs in de vijftiger jaren, maar vermoed mag worden dat maar weinig wiskundeleraren lesgaven volgens het boekje, vanuit de axiomatiek werkend. Van Hiele schrijft in zijn Structure and Insight zelfs ergens dat het lesgeven in strijd was met de bedoeling van de wetgever, maar door niet de strikte volgorde van axiomatische behandeling te volgen juist betere resultaten kon boeken.
Ik zal over de les met tegels (niveau 1: directe waarneming) nog enkele passages citeren in de blog zelf. Het werk van de beide Van Hieles moet ik nog volledig annoteren, een begin daarvan is HIER te vinden, als onderdeel van mijn rekenproject.
Onherkenbaar?
Is dat als leerling of als leraar?
Als het onherkenbaar als leerling zou zijn, neem ik de vrijheid te betwijfelen of u zich als leerling nog werkelijk een didactische opbouw van een les haarscherp kunt herinneren.
Ik denk zelfs dat een zorgvuldige en goed uitgedachte didactische opbouw voornamelijk vergeten wordt, juist omdat deze zo volmaakt bleek te eindigen bij te aan te leren leerstof.
Liever zou ik willen lezen waarom Malmaison de introductie van het begrip ‘congruentie’ zo verkeerd vindt.
Ik zie namelijk vooral een heldere uiteenzetting die aantoont dat congruentie als begrip echt iets anders is dan ‘gelijk’.
Waardoor leerlingen gaan beseffen dat zo’n begrip een functie heeft.
Ik vind dat een zeer goede introductie.
Zo vind ik talloze RR-voorbeelden ook goede introducties. Maar ben ik van mening dat het niet bij de introducties moet blijven steken.
Daarna gaat het zogenaamde stampwerk beginnen.
Maar elke goede leraar zal steeds kunnen teruggrijpen naar die waardevolle introductie.
Het is echt wel nuttig en leerzaam als kinderen vuur leren maken met behulp van wrijving met stokjes en stro. Maar elk vervolg moet niet steeds weer verlangen op dezelfde manier vuur te maken, want dat begint dit proces onnodig hinderlijk te worden.
Mijn verwijt richting die RR-methodemakers is dat zij willen dat bij elke som de introductie weer helemaal doorlopen moet worden. Waardoor ingewikkelder opgaven al kunnen blijven steken en vastlopen vanwege het feit dat het vuur steeds opnieuw moet worden aangemaakt met stokjes en stro.
En zo beschouw ik deze fraaie voorbeeldles: als een zeer goed doordachte en fraai opgebouwde introductie.
En u weet: het onderwijs staat bol van de introducties.
Hoe zorgvuldiger de introductie hoe beter het fundament.
Zuiver is aansprekender dan realistisch
Het gaat om mijn herinnering als leraar; ik heb nooit Euklidische Meetkunde onderwezen. Ik heb het gevoel dat heel die voorbeelddiscussie overbodig is. Ik zelf zou “gewoon” met de deur in huis gevallen zijn. Zoiets als: “twee meerkundige figuren zijn congruent als ze niet van elkaar te onderscheiden zijn. Zij mogen wel onderscheidbaar zijn wat betreft hun naam en de naam (niet de benaming) van hun onderdelen of de plaats waar zij zich in het platte vlak bevinden. Ik zou bijvoorbeeld 2 gelijkvormige driehoeken, ΔABC en (met een scheve basis en/of een andere oriëntatie) ΔPQR tekenen en wijzen op de overeenkomstige zijden en hoeken wijzen (Als ΔPQR anders georiënteerd is zou een leerling kunnen opmerken dat beide driehoeken wel onderscheidbaar zijn; eentje ligt op zijn kop; een geheimzinnige derde dimensie). De driehoeken hebben op grond van hun “serienummer” resp. ABC en PQR een eigen identiteit gekregen, zoals dat ook bij een identieke tweeling kan door elk kind een andere naam te geven. Tenslotte zou ik opmerken dat je ze zo op elkaar kunt leggen dat ze niet meer te onderscheiden zijn.” Ik denk dat ik zo’n manier van behandelen als leerling zou prefereren. Als je over stoeptegels zou spreken maak je het moeilijker door er iets bij te halen wat irrelevant is, namelijk materie en een extra dimensie (je kunt best dikke en dunne tegels door elkaar gebruiken). Natuurlijk moet ik mijn leerlingen er wel van bewust maken dat het ook bij mijn 2 driehoeken om een voorbeeld gaat.
¿STAMPWERK?
Planimetrie was het schoolvak dat het verste van “stampwerk” afstond. Je moet het “begrijpen”en daarna hoefde je alleen nog maar te oefenen. Je kunt er nauwelijks voor “leren”. Een vuur aanmaken met stokjes en stro gaat niet in de eerste plaats over vuur maken maar over wrijvingswarmte en ontbrandingstemperatuur. Als het je om vuur maken te doen is kun je net zo goed met het piëzo-elektrisch effect beginnen. En correct, bij de Planimetrie start je niet telkens opnieuw bij de axiomata maar bij stellingen die daarvan, eventueel m.b.v. tussenliggende stellingen, zijn afgeleid.
Seger Weehuizen
OK, Malmaison
We hebben andere uitgangspunten. Ik praat vanuit het basisonderwijs en niet vanuit het genoemde vakgebied dat ik niet ken (hoewel meetkunde en algebra wel behoorden tot de stof van de HBS; ik meen de eerste drie jaar).
stampwerk
oefenen ≠ leren ?
Schwere Wörter leren of oefenen is hetzelfde, congruent zal ik maar zeggen.
Waarom zou dat voor meetkunde anders zijn? ‘Begrijpen’ heeft toch een onderwerp?
Ik krijg steeds sterker de indruk dat opvattingen over reken- en wiskundeonderwijs sterk zijn gekleurd door naïeve ideeën over wat het is om te denken (cognitieve psychologie), zelfs of misschien wel juist bij voortrekkers zoals de Van Hieles die zich uitgebreid oriënteerden op de denkpsychologie in de vijftiger jaren en voorgaande decennia (Selz, Köhler, Duncker, Piaget, A. D. de Groot).
allesbehalve congruent
Het trainen van vaardigheid in het oplossen van reken-, wis- of meetkundige problemen door vraagstukken op te lossen die veel op elkaar lijken maar telkens net even anders zijn is misschien enigszins vergelijkbaar, maar zeker niet congruent aan het door voortdurende herhaling in het geheugen stampen van feiten of woordjes.
In het ene geval is het het toepassen van een procedure om iets op te lossen, in het andere puur geheugenwerk. Verder is het ene telkens verschillend, het andere steeds hetzelfde.
congruent
Laat je niet leiden door de woorden die je hier hebt gekozen. Ook het ‘in het geheugen stampen’ van feiten of woordjes moet met aandacht gebeuren. In je geheugen de betekenis vinden van ‘Die Andacht’ is op voorhand niet een probleem van andere orde dan in je geheugen de passende aanpak vinden voor het evalueren van een eenvoudige integraal.
Ik houd het er voorlopig op dat leren en oefenen weliswaar meestal slaan op verschillende situaties, maar dat de cognitieve processen dezelfde zijn.
Het punt is wel van belang, omdat ik het werk van rekendidactici vaak iets doorschemert van: als we er andere woorden voor hebben, dan moet het om andere cognitieve processen gaan. Maar dat is psychologie. Ik zal nog de nodige oefeningen doen met hoe rekendidactici omgaan met ‘begrijpen’ (realistisch rekenen) en ‘inzicht’ (niveautheorie van Van Hiele).
meetkunde versus hogere vertaalkunst
Minimal Music
In de beschrijving van JTS lijkt het inoefenen van Euklidische Meetkunde op het componeren van Minimal Music. Het was in elk geval vóór de invoering van de Mammoetwet zo dat ongeveer één derde van de leerlingen van klasse 1 van de HBS of het Gymnasium voor het behalen van een goed cijfer voor een wiskundeproefwerk kon volstaan met het maken van de opgedragen oefenvraagstukken (het huiswerk). Ze bereidden een proefwerk niet voor. Wiskunde kwam hen aanwaaien. Maar voor talen moesten ze zich toch de inspanning getroosten woordjes te stampen.
Als iemand zonder kennis van Latijn of een andere Romaanse taal kan Franse woordjes aan het leren is kan het vermogen tot helder en analytisch denken hem nauwelijks daarbij helpen. De structuur van de leerstof die het leren kan vergemakkelijken ontbreekt.
Als men vertalen tegenover het maken van wiskunde-opgaven stelt is van belang te weten op welk niveau dat vertalen plaats vindt. Ik meen me te herinneren dat ik op school voor “Andacht” de vertaling “vrome stemming” heb geleerd. Als ik die betekenis bij de vertaling kan gebruiken gaat het om rein herinneren. Als ik meerdere vertalingen ken of een vertaling moet bedenken die in de context past is de overeenkomst met het maken van wiskunde-opgaven groter. Ook bij het maken van meetkunde-opgaven moet men immers selecteren uit zijn aanwezige kennis.
Seger Weehuizen
Taal en rekenen
Sommen maken vergelijken met vertalen is niet slecht, bij beide gaat het om toepassen van regels en procedures op verschillende situaties.
Maar Ben Wilbrink vergeleek sommen maken met woordjes leren, en dat is minder adequaat. Als er iets bij het rekenen te vergelijken is met woordjes leren, is het het uit het hoofd leren van de tafels. Dat is puur memoriseren, waarbij, net als bij woordjes, enig inzicht een af en toe tekortschietend geheugen kan compenseren.
Wat componeren hier mee te maken heeft, hoe minimaal ook, ontgaat mij overigens. Componeren is veel meer een creatief proces dan – routinematig – sommen maken. Als er iets in de wiskundige sfeer te vergelijken is met componeren denk ik eerder aan het vinden van ingewikkelde bewijzen, zoals bij de laatste stelling van Fermat.
just association
De zinsnede “door vraagstukken op te lossen die veel op elkaar lijken maar telkens net even anders zijn” bracht me op de beschrijving van minimal music “herhaling (vaak van korte muzikale frases, met subtiele variaties gedurende een lange tijd)”
Seger Weehuizen
Tafels leren
JTS schrijft
het uit het hoofd leren van de tafels
Wat moet ik me daarbij voorstellen? Hoe gaat zoiets? Welke individuele verschillen zijn er zoal?
De formulering suggereert dat het louter om uit het hoofd leren gaat, dus zoals je de associatie tussen twee onzinwoordjes kunt leren, en beantwoorden met een derde onzinwoordje. Ik dacht niet dat zoiets in het rekenonderwijs voorkomt, al zijn er wel minder handige en verstandige didactieken die lijken op opdreunen van de tafels, een enkele keer misschien zelfs in de idiote vorm van alleen opdreunen van de uitkomsten (bv, de tafel van acht: 8 – 16 – 24 – 32 – 40 – 48 – 56 – 64 – 72 – 80) [Henk Visser vermeldt deze variant].
Ik ben benieuwd of ik psychologisch onderzoek kan vinden dat antwoord geeft op vragen over doeltreffendheid en doelmatigheid van diverse mogelijke varianten van het onderwijzen, resp. leren van de tafels van vermenigvuldiging (inclusief de Chinese variant: alleen vermenigvuldiging waar de vermenigvuldiger het kleinste getal is: alleen 7 x 8 leren, niet 8 x 7).
Een snelle zoektocht op mijn harde schijf leert dat er maar weinig uitspraken over tafels worden gedaan. Het kan nog lastig worden. Maar voor vermenigvuldigen verzamel ik publicaties hier.
Begin van realistische wiskunde
In zekere zin is dit het begin van realistische wiskunde. Freudenthal was (samen met Langeveld) promotor van dit proefschrift van Dina van Hiele-Geldof (en ook van dat haar man Pierre van Hiele).
realistische wiskunde
Het werk van het echtpaar Van Hiele is ongetwijfeld de bakermat van de realistische wiskunde van Hans Freudenthal (maar vereenzelvig het daar niet mee!). Voor Wiskobas ligt dat anders: in de beginjaren, dus zonder Freudenthal, steunt de Wiskobas-groep op werk van o.a. Dienes, maar is kennelijk (het overzicht lezend dat Goffree in zijn proefschrift geeft) het werk van de Van Hieles onbekend.
De van Hieles zijn
helden van de NVvW. Was het daar maar bij gebleven.
Joost Hulshof
re Begin
Dat klopt wel, denk ik. In het voor het overige weinig lezenswaardige “Schrijf dat op, Hans”, (1987) een super ego-document, noemt Freudenthal de niveaus van de Van Hieles (rond 1955) de belangrijkste theoretische invloed op zijn eigen latere opvattingen (p. 352 e.v.).
Op p. 355 schrijft hij: “In mijn wiskunde-onderwijskundig leerproces is de kennis van Van Hieles niveaus cruciaal geweest omdat ik daarbij de reflectie als niveauverhogende activiteit herkende: bewustmaking van je onbewust kennen, weten, handelen, het erop reflecteren – hoe weet je dat, waarom doe je dat – en tenslotte het vertwoorden van het resultaat van je analyse, soms door beproefde taalmiddelen een nieuwe functie toe te kennen, soms door nieuwe te scheppen.”
Het klinkt nog niet erg realistisch maar het was nog 1955.
Hij moet dat elders beter en uitvoeriger hebben beschreven, neem ik aan, maar waar is me niet bekend geworden.
In discovery-learning heeft ie nooit geloofd.
Willem Smit