Breuken vergelijken

bron: M. Kindt & T. Dekker (2010). Oefenen met breuken – leerlingenboek. Utrecht: Freudenthal instituut, blz. 1. www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/7244.pdf

Leuk om de kids zelf te laten ontdekken dat dit niet deugt? 1/3 =? 100/300

29 Reacties

  1. Erg of niet
    Een blunder kan ons allemaal overkomen. Het enkele feit van een blunder wil ik dus niet tegen het FI gebruiken. Het gaat om de context van de blunder en wat er gebeurt wanneer de blunder aangewezen wordt.

    Ten eerste de context van een blunder. Als je in je eentje aan een artikel/boekje werkt, dan is het mogelijk dat je zo een blunder begaat en het niet door hebt voor het tot publicatie komt. Bij meerdere auteurs (zoals bij werk van een commissie) mag dit echter niet voorkomen: iemand hoort de blunder dan op te pikken voordat hij de deur uit gaat.

    Ten tweede: wat er gebeurt wanneer de blunder aangewezen wordt. De juiste reactie is natuurlijk om de aanwijzer te bedanken, de fout zo snel mogelijk recht te zetten en ervoor te zorgen dat dit je niet nog eens overkomt. Helaas is dat vaak niet wat er gebeurt. En dat is het meest kwalijke.

    • Blunder?
      In Breuken vergelijken wordt de breuk benaderd als gedeelte van een object.
      Voor de wiskundige is dat object de afstand op een getallenlijn van 0 tot 1 of van 12 naar 13.

      Terug naar het voorbeeld. Bij beide objecten zie ik in één oogopslag dat het gekleurde deel 1/3-deel van het betreffende object is.
      Met andere woorden moet 3/9-deel gelijk zijn aan 4/12-deel, ongeacht de grootte van de twee vlaaien.

      Leermoment:
      Kennelijk mag ik teller en noemer door 3 (of door 4) delen.

      En dat is weer een enorm winst voor 100/300!
      Mijn advies: maak één vla duidelijk kleiner.

      • Sorry, Bonnie
        Sorry, Bonnie, maar je bent wel erg welwillend. Ook in de typografie die eronder staat, wordt gesuggereerd dat het rode stuk gelijk is aan het blauwe stuk, niet dat de twee breuken gelijk zijn (dezelfde waarde hebben). Dat gaan ze in dit oefenboek immers juist uitleggen. Maar goed, laten we het aan de auteurs overlaten om hun bedoelingen te verduidelijken. Martin en Truus, wat is jullie commentaar?

        • De conclusie? …
          … onder de tekening lees ik heel mild als 3/9 deel komt overeen met 4/12 deel.

          Maar misschien willen Truus en Martin met deze binnenkomer alleen maar wijzen op: je hebt brokken en breuken…
          Als dat de insteek is lijkt ‘Brokken en breuken (1)’ een logischer eerste opschrift.

          • de verwarring
            Ik vind het opmerkelijk dat hier juist een van de basisprincipes van het realistisch rekenen faalt bij de mensen die dat realistisch rekenen hebben bedacht.
            Bij de introductie van een nieuw begrip of een nieuwe bewerking leert de realistische didactiek dat je vooral allerlei verschillende aspecten geintegreerd zou moeten aanbieden. Dus de breuk als getal, als verhouding, als deelsom etc. Je zou verwachten dat men die aspecten zelf ook steeds in het oog hield en juist hier gaat het mis omdat de breuken worden geassocieerd met oppervlakte (een getal), terwijl men de bedoeling had alleen de verhouding of de deelsom te gebruiken.

          • Niet met oppervlakte…
            … met verhouding van oppervlakteN

            Links wordt in beeld gebracht dat 3/9-deel gelijk is aan 1/3-deel. Een visiuele onderbouwing voor de bewering dat de breuken 3/9 en 1/3 gelijkwaardig zijn. Rechts een argumentatie waarom de breuken 4/12 en 1/3 gelijkwaardig zijn. Ergo…

            Meer kan ik er als brokkenpiloot niet van maken.

          • Dat bedoelt men vast!
            Natuurlijk, dat wordt vast bedoeld. Zo wordt het wel erg ingewikkeld natuurlijk. Er is dan sprake van twee verschillende verhoudingen, twee écht verschillende breuken. Ik vraag me af waarom dan niet gewoon het pizzamodel gebruikt? Men wijkt af van het geëigende model. Bewust? Waarom dan? Onbewust?

            Ik ken een situatie waarbij een basisschooljuf in de breuk 1/3 probeerde aan te geven met een vierkante taart als voorbeeld. Methode: gewoon vanuit het middelpunt drie halfrechten onder 120 graden uitzetten. Tsja …

            Dat rekenen lijkt zo eenvoudig, maar als je een verkeerd model kiest dan ga je nat. Bij het kale rekenen en traditionele modellen loop je dat risico niet.

          • Waarom…
            … twee verschillende verhoudingen?

            De breuk is eigenlijk 3/9 * 1 = 3/9 en 4/12 * 1 = 4/12.
            Maar dat stukje ligt op de getallenlijn.

          • twee verhoudingen
            de tweede breuk is de verhouding van de oppervlakten van de veelhoeken, van beide veelhoeken als geheel

          • Re: waarom
            De ‘unit’ is anders (ik schrijf het maar in het Engels, ik kan niet op het Nederlandse woord komen).

            Daar moet je heel erg mee opppassen. Ik heb een meetlint met zowel inches als centimeters erop (die heb je hier in Engeland…): die verschillende schalen moet je niet door elkaar gaan halen. 3/9 inch is niet 4/12 centimeter. 3/9 van die negenhoek is niet 4/12 van die twaalfhoek. Natuurlijk is het wel zo dat 3/9=4/12 als kale getallen.

      • 3/9 object A =? 4/12 object B
        [img_assist|nid=7743|desc=bron: M. Kindt & T. Dekker (2010). Oefenen met breuken – leerlingenboek.|width=100|height=70]
        Breuken begrijpelijk maken aan de hand van taarten is een gebruikelijke didactiek (aan de hand van een getallenlijn is een andere, een betere ook). Twee breuken vergelijken aan de hand van twee taarten veronderstelt natuurlijk wel dat die taarten in alle relevante opzichten identiek zijn. Daaraan voldoet het voorbeeld niet. De diameter van de taart met 12 gelijke stukjes een beetje inkorten is vals spelen: het concrete materiaal is bedoeld om de abstractie te verduidelijken, het is niet andersom.

        Het voorbeeld is ook niet een vergissing die iedereen kan overkomen, en dus vergoelijkt kan worden. Neem extremere getallen, en zie het onmiddellijk zelf: 1/3 = 40/120, geïllusteerd aan ingeschreven gelijkzijdige veelhoeken in een cirkel met gelijke straal.

        Voor een stroming die zich laat voorstaan op het wiskundig leren denken gebeurt hier dus iets heel opmerkelijks. Op blz. 1 van het oefenboek.

  2. klok noch klepel
    Op het feestje in Den Haag waar de kennisbases voor de PABO door de HBO-raad aan de nietsvermoedende huidige minister van OC&W werden uitgereikt sprak ik bij een van de schrijvers mijn algemene onvrede uit over de fouten in het TAL-breukenboekje en in het bijzonder de tot nu door geen enkele FI-SLO expert openlijk gecorrigeerde fout op pagina 69 van de kennisbasis rekenen, zie

    www.beteronderwijsnederland.nl/node/7677

    Mijn verwondering dat Streefland’s pizzamodel uit het FI-SLO gezichtsveld is verdwenen leidde in relatie tot de breuk 1/3 tot een opmerking over de onmogelijkheid om via een constructie een hoek in 3-en te delen. Het proefschrift van Streefland heb ik met plezier gelezen, evenals de tweede helft van het boekje van Marjolein Kool en Ed de Moor:

    www.few.vu.nl/~jhulshof/als.pdf

    Ik dank Jan van Maanen voor de Streefland-tip, maar mijn reactie naar Ed en Marjolein wordt negatief opgevat.

    Op pagina 79 van het breukenboekje

    www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/7244.pdf

    van Martin Kindt en Truus Dekker waar deze blog over gaat staat

    “Bij het delen van een breuk door een andere breuk heeft het wel zin om die breuken gelijknamig te maken.”

    Dat is onzin. Corrigeren graag.

    Joost Hulshof

    • Voorbeelden
      Over je opmerking bij pagina 79: aan de voorbeelden die daarna komen ZIE JE toch gewoon dat gelijknamig maken uitermate dom is. Eerst maken ze de breuken gelijknamig, en daarna strepen ze de zo geintroduceerde gemeenschappelijke factor weer weg…… hoe blind moet je zijn om dit niet te zien……

    • Opgave 36 pagina 75
      Een zwembad, met gehele getallen x, y en z, veel plezier.

      Joost Hulshof

      • Das modern … digitaal water
        Vroeger hadden we analoog water zoals je weet 😉

        Maar het illustreert hoe moeilijk het is om een serie contextsommen te maken. Ze gaan BEWUST over tot idiote voorbeelden, simpel omdat de min of meer zinvolle contexten al lang en breed op zijn.
        Niet gek dat het aantal oefenopgaven in veel rekenmethodes zo dramatisch laag is. Het verzinnen van nieuwe kale rekensommen daarentegen is een eitje.

        Een stapje verder: de (extra) werkbladen die soms door de leerkrachten worden gemaakt zijn ook verre van foutloos en de dagelijkse voorbeelden die de docent in de klas noemt zijn ook gammel.

    • corrigeren
      Laat ik mezelf ook eens corrigeren.

      Een uitleg van de regel dat delen door een breuk hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde kan prima lopen via het gelijknamig maken van beide breuken (als je een breuk door een breuk deelt). In de realistische rekenfilosofie van dit boekje is de regel zelf nadrukkelijk van minder belang is en wordt eigenlijk alleen terloops genoemd. Daarmee wordt een potentieel doorlopende leerlijn afgebroken, een verschijnsel dat structureel voorkomt in de doorlopende leerlijnen van de expertgroep van Anne van Streun.

      Joost Hulshof

  3. Hier wordt een kind (!) dus
    Hier wordt een kind (!) dus geacht in één oogopslag te zien dat in beide veelhoeken een gelijke fractie (qua oppervlakte of qua deel van 360 graden, is me om het even) gekleurd is?????

    Dat is verschrikkelijk moeilijk, in ieder geval veel moeilijker dan het aanleren van de rekenregels voor het vereenvoudigen van breuken. In feite is de gelijkheid hier alleen maar min of meer evident dankzij die rekenregels.

    Hier wordt dus weer de omgekeerde weg bewandeld. Om een abstract principe te verduidelijken wordt er naarstig gezocht naar een concrete context. Die context wordt dan zo ingewikkeld dat het principe er onherkenbaar door wordt.

    Het direct overbrengen van het abstracte principe is veel efficiënter; en kinderen blijken uitstekend abstract te kunnen denken.

      • NRC?
        Voor degenen die geen toegang hebben tot de NRC (bijvoorbeeld omdat ze niet in Nederland wonen….): wat staat er vandaag op pagina 8 in de NRC?

        • NRC
          NRC heeft een serie over het hbo, vandaag over het vertrek van de vakdocent op het hbo vanwege het competentiegericht onderwijs.
          Presley Bergen doet ook een flinke duit in het zakje.

          Een paar citaten:
          Een „g e d r o ch t ”. Presley Bergen, bestuurslid van de vereniging Beter Onderwijs Nederland (BON), wil er geen misverstand over laten bestaan: „De invoering
          van competentiegericht onderwijs is het ergste wat het hbo de afgelopen twintig jaar is overkomen.” Want, zegt hij, wat in Nederland onder de noemer ‘c o m p e t e n t i e g e r i ch t o n d e r w ij s ’ over studenten is uitgestort, is „een misgeboorte, een quasimodo, ontstaan uit de vermenging van een onbewezen ideologie, de
          vraag uit het bedrijfsleven om meer vaardigheden en de behoefte van bestuurders
          om geld te besparen”.

          Van de term competentiegericht onderwijs wil Wintels liever af. „Die is door alle discussie besmet geraakt en roept negatieve associaties op.” De critici van competentiegericht onderwijs, zoals BON en de SP, mogen de recente aanpassingen in het hbo op hun conto schrijven, zegt Wintels. „Een deel van hun kritiek, hoewel soms lichtelijk overdreven, was terecht. Maar nu die kritiek is opgepakt, wordt het tijd dat ze ophouden met het berijden van steeds datzelfde stokpaardje.” Daar is Beter Onderwijs Nederland nog niet aan toe. „Kinderziektes? Als Wintels dat zo noemt, heeft hij er weinig van begrepen”, reageert Bergen. „De ziekte zit in het wezen van het systeem.
          En het lukt niet dat snel te verbeteren, omdat de mensen die dat zouden kunnen niet meer op de hogescholen werken. Veel kundige vakdocenten zijn verdwenen, vervangen
          door begeleiders en coaches. Die zullen er niet in slagen de overdracht
          van kennis en vaardigheden weer centraal te plaatsen.” Met studenten relevante competenties goed aanleren, is niets mis, zegt Bergen. „Maar wil je dat écht goed doen, dan wordt het onderwijs peperduur. Je hebt dan echte vakdocenten nodig, die vooral kennis en kunde aanleren. En daarnáást competenties, zeker niet in plaats van.”
          Bergen spreekt over de telefoon, vanuit een ziekenhuis waar hij herstelt van een herniaoperatie. „Er lopen hier een paar verpleegkundigen rond, opgeleid bij Fontys. Ze zeggen dat ze vrijwel alles over het vak hier in het ziekenhuis hebben moeten leren.
          Op de hogeschool was het veelal geleuter over competenties met coaches die alles accepteerden, zolang je maar zei dat je je persoonlijk goed ontwikkelde. Dát is de realiteit van het competentiegericht onderwijs in Nederland.”

          Bravo Presley!

  4. Blijft leerzaam deze

    Blijft leerzaam deze discussie. Bestuur van NVvW en hun directe aanhang verkeren nog steeds in staat van ontkenning over de breukrekenproblematiek..

  5. Blijft leerzaam deze

    Blijft leerzaam deze discussie. Bestuur van NVvW en hun directe aanhang verkeren nog steeds in staat van ontkenning over de breukrekenproblematiek..

Reacties zijn gesloten bij dit onderwerp.