Bespreking VWO wiskunde B examen 2009

15 juli 2009 mark79 blogs 10

Op verzoek een bepreking van het VWO wiskunde B12 examen van 2009.

De opgaven
Het examen bevat 19 vragen in 7 delen:

  • Een benadering van een nulpunt
  • Wachten op de bus
  • Een buiteling
  • Twee parabolen met een gemeenschappelijke richtlijn
  • Een gemeenschappelijke raaklijn
  • Een koordenvierhoek?
  • Een vuurpijl met tegenwind

Allereerst een positief iets: de grafische rekenmachine komt amper tevoorschijn en in de 3 vragen waar hij tevoorschijn komt (2 keer normale verdeling, 1 keer oplossen van een vergelijking) is het niet om iets dat beter met de hand kan te vervangen.

Benadering van een nulpunt gaat over de Newton-Raphson methode. Een behoorlijke opgave: beetje differentieren en wat algebra. Iets aan de makkelijke kant en er wordt jammer genoeg niet ingegaan op de intuitie achter de Newton-Raphson methode (het benaderen van een functie door zijn raaklijn).

Wachten op de bus is een kansrekening opgave. Bij de eerste vraag over verwachtingswaarde wordt in de tekst een voorbeeld gegeven en het enige dat de kandidaat hoeft te doen is dit voorbeeld aanpassen. Veel mogelijke fouten worden er hierdoor al uitgehaald. De tweede en derde vraag in deze opgave zijn binnen de context totaal onzinnig. Precies het soort ’toegepaste wiskunde’ dat vermeden moet worden.

De eerste vraag van ‘een buiteling’ is een goede trigonometrische meetkunde vraag. De overige twee vragen bevatten differentieren, integreren en wat algebra. In dit drietal vragen wordt door de makers echt wat te veel weggegeven, het grootste deel van het denkwerk wordt voor de kandidaat gedaan (dit geldt trouwens voor het hele examen).

‘Twee parabolen met een gemeenschappelijke raaklijn’ en ‘een koordenvierhoek’ zijn het type meetkunde waar je in het vervolgonderwijs niets aan hebt. Aardige puzzeltjes voor de onderbouw, meer niet.

Ook bij ‘een gemeenschappelijke raaklijn’ wordt al het denkwerk weer voor de kandidaat gedaan. Er is een beetje algebra met logaritmen en exponenten nodig en de kandidaat moet iets van raaklijnen en de afgeleide van de logaritme weten. Hier mag de grafische rekenmachine even uit de zak om een niet-algebraische vergelijking op te lossen.

Bij ‘een vuurpijl met tegenwind’ weer een onzincontext. Als we de context buiten beschouwing laten dan is er met de opgave zelf niet zoveel mis: een maximum vinden door differentieren en een nulpunt vinden.

Conclusie
Dit was geen examen zoals het behoort te zijn. Teveel onzin ’toegepaste wiskunde’; irrelevant materiaal (de meetkunde van parabolen en koordendriehoeken, de kansrekening) neemt bijna de helft van het examen in en bijna al het denkwerk wordt voor de kandidaat gedaan.

In mijn tentamens voor eerstejaars geef ik in het eerste deel gewoon rijtje van functies op die gedifferentieerd en ge-integreerd moeten worden en rijtjes vergelijkingen die opgelost moeten worden. Dit is om te controleren dat ze de basisvaardigheden beheersen. Het tweede deel van het tentamen bestaat uit niet standaard vragen waar de studenten echt hard over na moeten denken. Het VWO wiskunde B12 eindexamen heeft niet zo een duidelijke indeling en beide onderdelen lijden hieronder. Het repetoire functies waarvoor de basisvaardigheden getoetst worden is zeer beperkt (in dit examen moesten bijvoorbeeld geen kwadratische vergelijkingen met lineaire term ongelijk aan nul of trigonometrische vergelijkingen opgelost worden en alleen een lineaire functie hoeft ge-integreerd te worden) en in geen van de analyse vragen wordt enig denkwerk van de kandidaat verwacht (alles wordt gegeven), alleen in de meetkunde vragen moet de kandidaat af en toe zelf wat bedenken.

10 Reacties

  1. Wi B12 onderbouw
    Kansrekening voor wiskunde B? Waar slaat dat op?
    Het injecteren van onderbouwstof (parabool/brandpunt/richtlijn kregen wij in de 2e of 3e klas) in een eindexamen herken ik van de natuurkunde-examens. Je zou zeggen dat er na drie jaar bovenbouw nog heel veel andere dingen gevraagd mogen worden, maar kennelijk is een examen samenstellen over behandelde stof erg ouderwets. Ik ben benieuwd wat hier nu weer voor ideologie achter zit.
    Diep treurig vind ik de mededeling in de buitelingsvraag dat een straal loodrecht op een raaklijn staat. Ja, ja jongens en meisjes aankomende technici, zo hoor je nog eens wat.

    • Veranderingen
      Kansrekening en dat meetkunde gedoe zijn bij de invoering van de 2e fase in het wiskunde B programma terechtgekomen. Bij de aanstaande vernieuwing van het examenprogramma gaan ze er weer uit.

      En Bernard ik moet je teleurstellen. Die voormalige onderbouwstof (parabool/brandpunt/richtlijn) is stof voor de 5e en 6e klas. En enkel voor wiskunde B12. Deze voormalige onderbouwstof was voor de 2e fase eindtermopstellers het neusje van de zalm. Er is eigenlijk geen betere illustratie van de teloorgang van het wiskundeonderwijs in Nederland.

      • Eén argument minder
        Maar dat slaat me wel het argument uit de hand dat het examen niet over de in de bovenbouw behandelde stof gaat. Dat is toch al iets. Die meetkunde biedt overigens wel een goede gelegenheid om leerlingen zaken te laten bewijzen, maar dat hoeft natuurlijk niet pas zo laat te beginnen. Ik geloof dat mijn zoon, in 5 VWO, dit jaar ook met die koordenvierhoeken bezig was.
        PS ik krijg de indruk dat ‘iets bewijzen’ niet alleen in Nederland een beetje passé is. Ik was deze week op het internet op zoek naar de afleiding van een (in het VO) veelgebruikte natuurkundeformule en kon die niet vinden. Wat ik wel vond waren posts van een paar Amerikanen die daar ook naar op zoek waren. Ze waren zo druk bezig om de woorden ‘proof’ en ‘derivation’ aan elkaar uit te leggen dat niemand meer aan het bewijs toekwam. Gelukkig schoot dat me later zelf te binnen.

        • Re: 1 argument minder
          Het argument wordt anders: wat vroeger onderbouwstof was wordt nu gezien als bovenbouwstof en enkel voor de meest getalenteerden.

          De ’teloorgang’ van bewijzen (bijna) overal in de wereld komt onder andere door een verschuiving van aandacht in de schoolwiskunde: van meetkunde naar calculus. Ik ben overigens een voorstander van die verschuiving. Bij meetkunde valt er eigenlijk niet zoveel anders te doen dan bewijzen, bij calculus kun je ook gewoon rekenen (algoritmen toepassen zo je wilt). Echte bewijzen in calculus (de volledigheid van de reeele getalen, epsilon-delta gedoe) is vrij lastig (het ging bijvoorbeeld de Grieken grotendeels boven de pet).

      • Wie gaat er over het ‘wat’ en het specificeren van eindtermen?
        N.a.v. de genoemde wijzigingen in de wiskundeprogramma’s kwam de vraag bij me op: wie gaat daar eigenlijk over? En wie zou(den) er over *moeten* gaan?

        Juist omdat de vakinhoudelijke kant van onderwijs bij BON veel aandacht krijgt, is de vraag van belang wie mag adviseren en wie beslissen m.b.t. de examenprogramma’s, oftewel het ‘wat’ van onderwijs.

        In het denken over de relatie overheid-scholen wordt nogal eens gesteld dat de scholen gaan over het ‘hoe’ en de overheid over het ‘wat’ van onderwijs.

        Dat past ook bij een denkmodel waarin de overheid opdrachtgever en financier is, en de scholen zelfstandige bedrijven die naar de eisen van de opdrachtgever resultaten moeten leveren (of anders hun opdracht verliezen), ongeacht hun werkwijze.

        Wel zijn beide modellen simplificaties van de werkelijkheid. Ten eerste zijn het ‘wat’ en het ‘hoe’ niet onafhankelijk van elkaar. Een overheid die ‘leren samenwerken’ of ‘een ontwikkelportfolio’ als doelen formuleert, dwingt scholen tot, of ontneemt juist, bepaalde didactische keuzes. Ook toont de opdrachtgever zich tegenwoordig onduidelijk over de precieze opdracht, het eisenpakket. de evaluatiemethode, en de feitelijke consequenties, en verliezen slecht presterende ‘bedrijven’ zelden of nooit hun opdracht.

        Maar goed, als de overheid dan toch het ‘wat’ mag bepalen, aan wie moet zij dat dan uitbesteden? Ambtenaren hebben er te weinig verstand van. Zijn er permanente adviesraden per vak? Fungeren de vakverenigingen als zodanig? Zitten er de juiste mensen in, die verantwoording schuldig zijn? Fungeerden de vakontwikkelgroepen als zodanig? Zaten daar deskundige, ervaren leraren en vakwetenschappers in? Hebben zij de ’teloorgang’ voorkomen?

        Ik geloof dat op al deze vragen het antwoord ‘nee’ luidt. Met uitzondering van de een na laatste vraag.

        Maar hoe moet het dan? Hoe doen we het Beter met dat Onderwijs?

        • Vakinhoud bepalen
          Ik heb me bij mijn vak met dezelfde vraag beziggehouden. Zoals bij meer vragen die zeer voor de hand liggen schiet onze overheid, alle Postbussen 51 ten spijt, geweldig tekort bij het verschaffen van duidelijkheid daaromtrent. De reden is, vermoed ik, dat het zo geweldig onduidelijk is geregeld. Bij mijn vak is er ad-hoc een commissie benoemd (zonder dat er publieke criteria bestaan wie daarvoor in aanmerking moeten komen) om nieuwe eindtermen te formuleren. Ik neem aan dat de commissie verantwoording aan de minister aflegt. Die eindtermen zijn vervolgens zo verschrikkelijk vaag dat ze rechtstreeks vloeken met het exacte karakter van mijn vak. Daarna gaat weer een volgende club mensen (bij de CEVO, meen ik) aan het werk om die eindtermen verder te concretiseren; deze mensen zijn aan niemand behalve hun reguliere chef verantwoording schuldig. Met die concretere eisen zullen vervolgens de schoolboekenmakers aan het werk gaan . Hun invloed moet zeker niet onderschat worden. Ook zij zijn daarbij geen verantwoording aan een andere overheid dan hun uitgever schuldig.
          Samenvattend kan je zeggen dat er in het hele proces geen overkoepelende kwaliteitsbewaking is. Het hele proces van eindexamentermen definiëren is nauwelijks geformaliseerd. Ik weet ook niet of we daar, zonder kwaliteitsbewaking, veel mee op zouden schieten. Het proces zoals dat nu bestaat zet de deur wagenwijd open, theoretisch óók voor onderwijsverbetering, maar in de praktijk alleen voor onderwijsverslechtering.

          • In wiens handen de eindtermen voor Nederlands waren
            Ik herken je weergave van de feiten voor wiskunde voor mijn vak, Nederlands. Wel was de gang van zaken daar eenvoudiger, omdat we niet te maken hebben met Nederlands A1, A2, B1, etc.

            De vakontwikkelgroep Nederlands (1995) bestond uit ervaren vakleraren, vakwetenschappers en een vakdidacticus. Zij kon voortbouwen op het werk van een commissie die enkele jaren eerder een examenvoorstel had gedaan, en daarvoor een behoorlijk draagvlak had gevonden. Formeel was die VOG slechts verantwoording schuldig aan de minister (c.q. de stuurgroep Ginjaar-Maas), maar via enkele veldraadplegingen werd ook feedback van docenten geworven en het concept-programma navenant bijgesteld. Uiteraard sprak ook de vakvereniging in.

            Het Tweede-Fase-examenprogramma was op punten zeker voor verbetering vatbaar, maar werd in grote lijnen gedragen en uitgevoerd, wat ook uit de SLO-‘Vakdossiers’ blijkt (downloadbaar bij SLO). Per saldo vond ik het een flinke stap vooruit.

            Tot anno 2003 de nieuwe minister van Onderwijs, v.d. Hoeven, het in haar hoofd haalde dat de boel maar eens flink ‘geglobaliseerd’ moest worden om de scholen meer ‘ruimte’ te gunnen en een ‘eigen invulling’. Kortom, de eindtermen moesten minder en vager. Zij gaf SLO de opdracht het examenprogramma naar eigen inzicht drastisch te reduceren, bij Nederlands zelfs met 80%, net zo lang tot alleen de vaagste formuleringen overbleven (‘de kandidaat moet zich schriftelijk naar behoren kunnen uitdrukken’).

            Daaruit ontstond anderzijds weer de noodzaak tot concretisering voor examenmakers (wat al een teken aan de wand is voor een examenprogramma), zodat leraren en leerlingen wisten waar ze wel en niet op moesten rekenen. Dat werk werd weer aan de CEVO overgelaten (uitbesteed aan SLO), die eigenmachtig voor elk vak een ‘syllabus’ (voor het CE) en een ‘handreiking’ (voor het SE) liet samenstellen waarin belangrijke vakinhoudelijke keuzes werden gemaakt, inderdaad zonder verantwoording of inspraak.

          • Het ‘wat’ van onderwijs: op school en bij een eigenmachtige CEVO
            Aldus is er voor Nederlands in de Tweede Fase nu een zeer globaal examenprogramma (voor havo en vwo op een enkel detail na identiek), waarvan de eindtermen op verschillende scholen zowel inhoudelijk als qua niveau heel verschillend kunnen worden ingevuld.

            Mijn stelling is dat scholen hierdoor *de facto* grote zeggenschap hebben over zowel het ‘wat’ als het ‘hoe’ van het onderwijs Nederlands. Dit betreft het hele onderwijsprogramma en het SE-deel van het examenprogramma. Daarnaast heeft de CEVO de exclusieve zeggenschap over het ‘wat’ van het CE-deel, dat zij naar eigen inzicht en zonder verantwoordingsplicht of inspraak concretiseert qua inhoud en niveau.

            Voordeel: een goedwillende school kan een uitstekende invulling en moeilijkheidsgraad geven aan het examenprogramma. Nadeel: het kan ook andersom: lage ambities, lage normen. Zowel het zware als het lichte SE kan op beide scholen dezelfde SE-cijfers opleveren (“gemiddeld 6,5”), bij een voor niemand controleerbaar verschil in inhoud en niveau. Een algemeen nadeel is dat het diploma nog maar weinig garanties geeft t.a.v. verworven inhoud en niveau en daardoor aan waarde verliest.

            Een overheid die slagers hun eigen vlees laat keuren – sterker nog: die elke slager z’n eigen keuringscriteria laat bepalen – moet niet raar opkijken als er zich meer gevallen van voedselvergiftiging voordoen.

            Raar is dat het vervolgonderwijs (wo en hbo) bij deze examenpraktijk geheel buitenspel staat. Terwijl dat diploma nu juist een toegangskaart voor dat hoger onderwijs geeft, en dat hoger onderwijs belang heeft bij a) een goede instroom, b) hoge doorstroom- en slagingspercentages, óók bij een zwakke instroom. Het eerste belang impliceert dat het hoger onderwijs zou willen aandringen op meer garanties: een duidelijker, meeromvattend en hoger examenniveau in hv. Het tweede belang impliceert dat een dalend examenniveau hv niet snel terug te zien is in hbo- en wo-resultaten, omdat het ho daarmee zijn eigen glazen zou ingooien.

        • Echo van Wijntuin
          Mijn ervaring is grotendeeld hetzelfde als die van Bernard: er is opeens een commissie die nieuwe eindtermen gaat maken. Toen de resonansgroep ingesteld werd was de vakvereniging van wiskundeleraren heel boos dat de leraren in die commissie niet door haar voorgedragen waren. Ik neem dus aan dat bij bijvoorbeeld CTWO (de vernieuwingscommissie wiskunde) de vakvereniging een aantal leden voor heeft mogen dragen. Het zal dan ook wel zo zijn dat bijvoorbeeld het wiskundig genootschap een aantal leden van CTWO voor het mogen dragen en de vereniging van lerarenopleiders wiskunde etcetera. Mark Peletier zou hier meer van af moeten weten (hij zat immers in CTWO….). Maar dan blijft de vraag welke organisaties mensen of mogen vaardigen en in welke verhouding. En dan is er de vraag hoe die organisaties dan weer personen uitkiezen (advertenties heb ik niet gezien….). Het is allemaal heel schimmig.

          En bijvoorbeeld bij CTWO is er naast de commissie een ‘projectteam’. De commissieleden hebben nog een ‘dayjob’, de leden van het projectteam hebben veel meer tijd en zullen ongetwijfeld een grote invloed hebben op het eindresultaat. Hiervoor zijn wel gewoon vacatures (CTWO heeft nu een vacature voor projectleider), maar het is onduidelijk wie hier de solicitant uitkiest (ik neem aan een deelverzameling van de commissie, maar welke deelverzameling?).

          En behalve de commissie en het projectteam is er bij CTWO ook nog de penvoerder (het Freudenthal Instituut).

          Het probleem met commissies is dat die ongelovelijk veel tijd kunnen kosten. Als je er iemand tussen hebt zitten die niets anders te doen heeft (bijvoorbeeld een gepensioneerde onderwijsvernieuwler) dan kan die de anderen gewoon uitputten.

Reacties zijn gesloten.