Een goed leesbaar artikel over rekendidactiek. Realistisch rekenen versus Jan van de Craats, zal ik maar zeggen.
Opvallende uitspraak van een prominent pabo reken docent: “7/9 behoort niet meer bij de basisstof”
Die uitspraak staat in de context van een discussie over de manier waarop de 3 1/2 gedeeld door 1/4 kunt visualiseren en begrijpen.
vd Craats zegt dat dat mooi is bij die voorbeelden, maar onmogelijk bij 7/9.
Zoals iedereen weet
is 7/9 niet moeilijker dan 1/4,
is 34324/234723 niet moeilijker dan 1/2,
op voorwaarde tenminste dat je werkelijk begrijpt wat een breuk is, of dat je vlot foutloos met breuken kunt rekenen.
Drie-anderhalfde bijvoorbeeld (3 gedeeld door anderhalf) is wel essentieel moeilijker (in contexten dan, in abstractie ook niet). Als het kennelijk normaal wordt gevonden om geen sommen te doen met 7/9, dan is niet alleen ELKE rekenvaardigheid weg, maar ook ELK begrip van wat een breuk is. Dat laatste was nu juist de bedoeling van het realistisch rekenen, dat de kinderen BEGRIJPEN wat breuken zijn en wat ze er mee kunnen doen. Alleen domme herhaalsommetjes was niet voldoende werd gezegd.
Zie bijlage.
Rekenen
In het artikel staat de volgende uitspraak van een prominent pabo reken docent:
3 1/2:7/9 behoort niet meer bij de basisstof [..]. Zulke opgaven vormen het eindpunt van een langlopend leerproces en moeten inderdaad op formeel niveau gemaakt worden. Maar dat wil niet zeggen dat je met kinderen op formeel niveau moet beginnen.
Dat 3 1/2:7/9 niet meer tot de basisschoolstof behoort komt door het Freudenthal Instituut. Dit hebben zij in het ’tussendoelen annex leerlijnen’project in opdracht van het ministerie besloten. Uit de kerndoelen voor het basisonderwijs valt niet op te maken of dit tot de basisschoolstof behoort of niet. Een voorbeeld dat het Freudenthal Instituut wel degelijk grotendeels bepaalt wat er in Nederland op rekengebied onderwezen wordt, ondanks de ontkenning hiervan o.a. hier door Treffers.
Een som als deze vormt inderdaad het eindpunt van een langlopend leerproces, daar is niemand het mee oneens. Ook zegt niemand dat je met kinderen op een formeel niveau moet beginnen. De geachte PABO docent richt hier twee enorme stromannen op. Waar zijn tegenstrevers problemen mee hebben is o.a. dat aan het eind van de basischool het formele niveau niet bereikt wordt. Er wordt op de basisschool 8 jaar lang op informeel niveau geprutst.
Ik kan het niet nalaten
Ik kan het niet nalaten nogmaals op te merken dat de betekenis van wiskundige objecten (zoals 7/9) hem zit in de relaties met andere wiskunde objecten. (7/9*9=7, 7/(7/9) = 9 enzovoorts.) Veel meer betekenis dan dat is er feitelijk niet. Wie betekenis wil geven aan wiskundige objecten, heeft niets aan contexten uit het dagelijks leven, maar moet deze betekenis ontlenen aan die relaties. Daarom moeten kinderen goed leren rekenen; door veel te oefenen gaan ze die relaties doorzien en daarmee de betekenis van de wiskundige objecten waarmee ze werken, doorgronden. Eerst oefenen, dan de contexten waarin de geoefende vaardigheden van pas komen. Precies zoals Jan van de Craats aanbeveelt.
Zie ook Onno van Gaans
Zie ook Onno van Gaans in in NRC.
Ik sprak daar eerder in mijn blog over.
Hij heeft zegt het mooi:
Je kijkt niet naar objecten, maar naar hun beschrijvende eigenschappen. Daardoor kan de moderne wiskunde aan oneindig veel dingen tegelijk werken
Mijn enige bezwaar hiertegen is het woord “moderne”. Euclides was daar natuurlijk al lang mee bezig.
Drie keer oplossen
Het voorbeeld in het kader spreekt boekdelen.
Bij oplossing 1 en 2 snap ik nauwelijks wat dat met delen door 1/4 te maken heeft. Is dat zoiets als vierendelen dat al enige eeuwen uit de mode is?
Delen door 3/4 lijkt me trouwens al moeilijk worden, daar is niet eens 7/9 voor nodig.
Ik heb in de vijfde klas wekelijks alle stuivers en dubbeltjes zendingsgeld van de hele school op mijn bank mogen uittellen. Telkens 20 stuivers, 10 duppies, of welke combinatie van precies 1 gulden ook. Wellicht heb ik daar veel van geleerd, qua rekenen.
Maar wat ben ik blij dat daar toen geen realistisch-rekenen-sausje overheen is gegoten.
En welk rekenwonder zou de derde oplossing ook nummer 2 hebben genoemd?
de bijzondere wereld van de contexten
Contexten zijn buitengewoon ingewikkeld. Zie bv het volgende eenvoudige voorbeeld: 6 x 4 = 24. Een context is gauw bedacht: 6 zakken met elk 4 appels geeft 24 appels. Overigens heb je kans dat Angelsaksische landen het anders interpreteren: “six times four” wordt geïnterpreteerd als 6 appels en dat dan 4 keer.
Het wordt al ingewikkelder als je in plaats van het natuurlijke getal 6 een breuk, bv 1/2 neemt. Dus: 1/2 x 4 = ??. Je kunt iets 2 keer, 3 keer 129 keer doen, maar hoe doe je iets een half keer? (bunjy jumpen, zwanger worden, …). Stiekem veranderen we de interpretatie van het vermenigvuldigen van “zoveel keer” naar “het zoveelste deel van”: 1/2 x 4 is dan 1-2de deel van 4.
We kunnen in het voorbeeld ook niet de 6, maar de 4 veranderen. Bijvoorbeeld 6 x 1/3= of 6 x 1/2 = . Dan past deze context (hoe vaak heb ik 1/3 ?) bij de antwoorden die we bij het rekenen willen hebben.
Maar nu loopt het lastig met delen. 6:2 is voor te stellen door 6 appels te verdelen over 2 kinderen: ieder 3. Maar moet je bij 6 : 1/2 dan 6 appels verdelen over een half kind?
Daar hebben de rekenrealisten wat op gevonden. Als een bepaalde context gekkigheid levert (1/2 x 4 = of 6 : 1.2 =), dan bedenken we een andere context. Bij 1/2 x 4 was dat de helft van 4 in plaats van 1/2 keer 4. Bij 6: 1/2 is dat “hoe vaak past 1/2 in 6” in plaats van die appels met halve kinderen.
Je verandert dus de context afhankelijk van de wiskundig gewenste uitkomst. Hiermee wordt het voor kinderen natuurlijk erg ingewikkeld. Helaas ook voor pabo studenten en dus voor leerkrachten. Die hebben het er knap lastig mee.
Verder verminder je volledig nodeloos de zeggingskracht van de wiskunde. Juist de abstractie maakt 3 1/2 : 1/4 zo sterk. Je HOEFT je er helemaal niets bij voor te stellen om het uit te kunnen rekenen.
Historische gezien is dat ook begrijpelijk. Rekenen met breuken werd veel en veel later bedacht dan simpel vermenigvuldigen en delen. Het breuken begrip ontstaat helemaal niet zo gemakkelijk uit de appels en de kinderen. Kiezen voor die didactishe lijn betekent dat je (bewiust) dezelfde problemen moet gaan tackelen als destijds. Guided reinvention wordt dat genoemd, maar ingewikkeld is het wel.
Je kunt veel beter kiezen om die contexten te laten varen en de truukjes aan te leren. Desgewenst kun je de bewerkingen voor de slimmere kinderen verklaren vanuit wiskundige “context”. 6 : 1/2 = 12 want 12 x 1/2 = 6. Niks lastigs aan. Geen keuze tussen halve kinderen halve bunji jumps of verdelen van appels.
Meester, mag ik even wat vragen ?
Wanneer deel je 6 door een half ?
Nie zo moelek
Ik ben bakker en heb zes broden gebakken. Hoeveel klanten kunnen bij mij een half brood kopen?
Gewoon
Zeg dan dan gewoon, doe nie zo moelek.
Dank, 5 mei
Gelukkig is mijn stelregel dat je pas iets leert als je een uitleg niet in één keer helemaal snapt.
Morgen zal ik je verhaal nog eens doorlezen.
Ik raak er wel steeds meer van overtuigd dit soort overwegingen voor de meeste basisschoolleerkrachten te hoog gegrepen is. En dat zou ook geen probleem zijn, ware het niet dat ze verplicht zijn met dat realistisch rekenen aan de gang te gaan.
En dan moeten ze ook nog bij hun leerlingen achterhalen waar de denkfouten zitten om hen vervolgens op het goede spoor te zetten.
Een vraagje. Zou je bij basisschoolkinderen iets kunnen met het volgende:
Je deelt 20 achtereenvolgens door 8, 4, 2 en 1. Het antwoord wordt steeds 2 maal zo groot. Delen door 1/2 levert weer een 2 maal zo groot antwoord op. En zo verder.
Niet om een context aan te reiken, maar om te laten zien dat de wiskunde logisch doorgaat, ook als je het niet meer (echt) snapt. Anders gezegd, om te laten zien dat de wiskunde ook buiten de context (appels verdelen over 8, 4, 2, 1 kinderen) gewoon werkt.
Zelf maak ik nogal eens een rijtje van 1000-100-10-1-0,1-0,01 enz. om mijn vierdeklassers het werken met negatieve machten van 10 duidelijker te maken. Erachter komt dan uiteraard steeds 10 tot de macht … Ze zien dan meteen dat het niet zo raar is dat 10 tot de nulde gelijk is aan 1.
Juist!
Dat rijtje oplopende/aflopende getallen werkt perfect. Natuurlijk begrijpen kinderen dat. Die verklaringen binnen de wiskunde zijn veel en veel sterker dan verklaringen met contexten. Het leidt niet af, het is generiek toepasbaar, het bouwt een begrip op voor abstracties, je ziet de kracht en de schoonheid van de wiskunde.
Het is alleen de kunst van de goede leraar om de goede momenten te kiezen.
Persoonlijk ben ik er van overtuigd dat van der Craats gelijk heeft, dat begrijpen secundair is aan kunnen. Dus niet direct alle begrip ook aan het begin proberen door te duwen. Zoals altijd gaat het om het vakmanschap van de leraar: doceren is doseren.
Het onderscheid tussen kunnen en begrijpen is trouwens ook wat willekeurig, denk ik soms. Wat je op het ene niveau begrijpen noemt, is op een dieper niveau niets anders dan kunnen en ontbreekt het diepere begrip. Begrijpen kinderen wat getallen zijn, wat nul is? Ik denk dat ze er bovenal mee kunnen werken (als het goed is) en als je iets kunt, dan denk je al gauw dat je het begrijpt.
Onderscheid begrijpen/kunnen diffuus
Inderdaad is het onderscheid tussen begrijpen en kunnen nogal diffuus. Van thermodynamica, bijvoorbeeld, wordt weleens gekscherend gezegd: “Je gaat het nooit begrijpen, maar je went eraan.” Kinderen moeten ook a.h.w. ‘wennen’ aan rekenen door veel te oefenen, en dan zullen ze achteraf vinden dat ze het begrijpen.
Kunnen en (de bakker) begrijpen
Kunnen en begrijpen, een wazig onderscheid.
Leerlingen begrijpen op een gegeven moment hoe het zit met zuren en basen, sterk en zwak, pH’s en zo.
Zelf heb ik meer het idee dat ik het kunstje feilloos kan toepassen, maar dan nog alleen in de context van de schoolchemie. Ik begrijp wel waar leerlingen bij dat kunstje de mist in gaan.
Doceren is doseren.
In de tweede en derde klas leer je dat stoffen uit moleculen bestaan. En in de vierde blijkt dat niet waar te zijn: er zijn ook zouten en metalen.
Je leert eerst dat alle protonen en neutronen even zwaar zijn, maar een jaar later leer je dat kernenergie “werkt” omdat die deeltjes niet allemaal dezelfde massa hebben.
Doceren is de waarheid versimpelen, en die versimpeling langzaamaan weer ongedaan maken. Voordeel kan zijn dat leerlingen leren twijfelen aan beweringen die als de waarheid worden verkondigd. Maar dan heb je wel docenten nodig die dat aspect zo nu en dan onder woorden brengen.
Nog even de aangepaste context. Je schrijft:
“Daar hebben de rekenrealisten wat op gevonden. Als een bepaalde context gekkigheid levert (1/2 x 4 = of 6 : 1/2 =), dan bedenken we een andere context. Bij 1/2 x 4 was dat de helft van 4 in plaats van 1/2 keer 4. Bij 6: 1/2 is dat “hoe vaak past 1/2 in 6″ in plaats van die appels met halve kinderen.”
Zie ik het goed als die “andere context” eigenlijk helemaal geen context meer is, maar gewoon verkapte wiskunde?
Die bakker van Couzijn: een mooi voorbeeld dat delen door iets hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde. Eén van de trucjes die leerlingen niet meer automatisch toepassen.
Sommige jaren heb ik het genoegen informatiekunde te geven aan eersteklassers. Daar heb ik gemerkt dat veel leerlingen niet doorhebben dat 1/3 hetzelfde is als 1:3. Het ene is delen, en het andere is een breuk. Dat is toch iets heel anders….
Groot op het bord
En niet alleen dat 1/3 hetzelfde is als 1:3, maar dat dat ook weer hetzelfde is als ongeveer 0,333 en 33,3% (er moet dan eigenlijk een schuine streep door die laatste 3).
Ik zet het altijd groot op het bord:
1:3 = 1/3 = 0,333 = 33,3% = 333,3 promille = “éénderde” = “één per drie”
Breuken hebben hun nut voor de algebra
Buiten beschouwing in deze discussie blijft dat het kunnen rekenen met numerieke breuken op zich weinig waarde heeft. Het rekenen met de numerieke breuken moet nu juist leiden tot het kunnen opereren met de formele bewerkingen op breuken, die in algebraische formules voorkomen.
Door te blijven hangen in contekstjes wordt het formele niveau niet of onvoldoende bereikt. Juist door los te komen van het alledaagse leert de leerling iets, en niet van de alledaagse teutebellendidactiek van de realistische rekenkunde.
De gevolgen van deze verkeerde didactiek zien we van laag tot hoog in HAVO en VWO. Zie in het VO de problemen die leerlingen met algebra hebben. Zelfs in VWO-4 en VWO-5 moet je de formele bewerkingen op breuken nog uitleggen door steeds weer terug te grijpen op simpele appels, peren en broden, een niet erg efficient proces.
Simon van der Salm
Docent wiskunde
Ik denk soms dat ze dat vergeten zijn
Ik denk soms werkelijk dat dat aspect vergeten is door de rekenrealisten. Het argument was altijd: waarvoor moet je eigenlijk 2/3 en 4/5 kunnen optellen, dat heb je later nooit nodig.
Behalve natuurlijk… als ingeoefende vaardigheid om ook met letters in de algebra te kunnen rekenen.
Iets dergelijk is er met procenten aan de hand. In plaats van formules wordt nu in de basisschool didactiek gebruik gemaakt van de verhoudingstabel. Dat is overigens een snel en handig hulpmiddel om met procenten te werken, maar het maakt de stap naar het rekenen met formules veel en veel groter: je hebt dat in numerieke voorbeelden niet meer nodig.
Met als gevolg dat kinderen niet weten dat je een bedrag met 1,19 moet vermenigvuldigen als je er de btw bij wilt berekenen. Die switch van verhoudingstabel naar formule wordt niet gemaakt. En opnieuw blijft de deur dicht voor vervolgonderwijs.
En nu er weer uit
1945 schreef: Met als gevolg dat kinderen niet weten dat je een bedrag met 1,19 moet vermenigvuldigen als je er de btw bij wilt berekenen.
En nu het omgekeerde: laat leerlingen die BTW eens *uit* een bedrag inclusief BTW halen. Hele volksstammen trekken dan doodleuk 19% van het bedrag af …..
Klopt Simon
Inderdaad, formeel kunnen rekenen met breuken is een ingangseis voor algebra. Nu -volgens de geciteerde vooraanstaande PABO docent- formeel rekenen met breuken niet meer tot de basisschoolstof behoort kan in het voortgezet onderwijs niet met algebra begonnen worden.
Klas 1
Als rekenen op de basisschool niet meer wordt geleerd, wordt het dan geen tijd voor reparatieonderwijs in de eerste klassen van het VO?
Ik heb wel eens de indruk dat daar meer gerekend zou moeten worden, en minder aan wiskunde gedaan. Gewoon rijtjes sommen maken. Net zo lang oefenen tot het spontaan gaat.
Zangers en pianisten oefenen ook gewoon hun toonladders. Da’s moeilijk zat.
Verder zouden rekenmachines in klas 1 en 2 (en 3 en 4?) verboden moeten worden.
Reparatieonderwijs
De universiteiten zijn begonnen met reparatieonderwijs omdat op de middelbare school geen algebra meer geleerd werd. Het voortgezet onderwijs heeft het probleem dat kinderen niet meer leren rekenen anders ‘opgelost’: leerlingen alles met de grafische rekenmachine laten doen (en alles wat niet met dat ding kan afschaffen).
De oost-aziatische landen, onze buurlanden en Nederland van vroeger leren ons dat (bijvoorbeeld) formeel rekenen met breuken gewoon op de basisschool geleerd kan worden. Dat moet de basisschool dan ook niet over het hek naar het VO kieperen. De basisschool moet gewoon weer doen waar zij (onder andere) ooit voor opgericht is: kinderen leren rekenen!
Basisboek rekenen voor Hoger Onderwijs
Ach… Jan van de Craats heeft naast zijn inmiddels befaamde Basisboek wiskunde, nu ook Basisboek Rekenen uitgebracht. De inhoud van dat boek gaat van hele simpele optellingen tot breuken en procenten. Het boek is bedoeld voor…. studenten van het HBO.
Dit boek is geschreven voor iedereen die wil leren rekenen of weggezakte rekenvaardigheden wil bijspijkeren. Het is vooral ook bedoeld voor studenten in het hoger beroepsonderwijs en de technische en economische opleidingen in het middelbaar beroepsonderwijs. Het boek begint met eenvoudige optelsommen en werkt dan het gehele repertoire af van optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen (inclusief de staartdeling), rekenen met decimale breuken (`kommagetallen’), andere breuken, negatieve getallen en machtsverheffen. Daarnaast zijn er toepassingen in het rekenen met geldbedragen, procenten, wisselkoersen, maten en gewichten
Kijk maar op zijn website..
Het hoger onderwijs repareert nu wat ik in de vijfde klas van de lager school tot in den treure beheerste.
Eigenlijk is het droevig
Het boek van Van de Craats kende ik nog niet, dat van Wolters wel. Het is toch eigenlijk droevig dat een grote uitgever geld kan verdienen met een ‘reparatieboek’ (Basisvaardigheden Toegepast Rekenen)
“Basisboek rekenen” en “basisvaardigheden T.R. ” verschillen!
Vergelijk de inhoudsopgaves van beide boeken maar. Het W-N boek geeft voornamelijk wiskunde (Havo niveau), met een kort stukje rekenen.
Van de Craats heeft een heel boek, waarin zelfs de eenvoudigste rekensommetjes worden geoefend. Ik herken de situatie waarin dat absoluut nodig lijkt te zijn.
“Wet van 1945”
Het is erger gesteld met het rekenonderwijs dan je denkt, zelfs als als je rekening houdt met de wet van 1945.
rekenboek
Ook ik weet me in mijn herinnering te halen dat ik op de lagere school uitgebreid rekenen met breuken kreeg.
Maar dat boek, da’s misschien nog wel aardig om bij de hand te hebben – nu ik mijn dochter binnenkort aan moet melden voor de basisschool.
Reparatie
Op de basisschool moet je leren rekenen. En slimme leerlingen moeten daar heel goed leren rekenen.
Maar dat zal de komende 10 jaar niet gebeuren, tenzij er een BON-revolutie uitbreekt.
Daarom moet de middelbare school zo snel mogelijk dat hiaat invullen. In klas 1 (en 2). Om te voorkomen dat het gebrek aan rekenvaardigheid de oorzaak wordt van gebrek aan inzicht in wis-, natuur- en scheikunde, economie enz. En om te voorkomen dat zelfs in het HBO ‘gerepareerd’ moet worden.
Niet omdat het onze taak is, maar omdat het probleem er ligt, omdat het de effectiefste noodoplossing is.
Ondertussen moeten we blijven hameren op fatsoenlijk rekenonderwijs op de basisschool, degelijke PABO-opleidingen, zinvolle rekentoetsen en vuilnisbakken vol contexten.
Rekenen is ook voor een prins moeilijk
Youtube, *Rekenen met prins Philippe*.