Echt goed leren cijferen
Mijn naam is Jan de Jonge. Ik ben 59 jaar en in het dagelijks leven ben ik directeur van een ICT-bedrijf. Ik heb bijzondere interesse voor de wijze waarop mensen omgaan met cijfers; beroepshalve ontwikkel ik rekentechnieken (algoritmen).
Enkele rekentechnieken bestaan al sinds de oudheid en hebben soms naast rekenkundige, ook onverwachte didactische eigenschappen, waardoor ze voor onze tijd van waarde kunnen zijn. Van een daarvan, afkomstig uit het oude India, wil ik hier een aantal aspecten nader toelichten. Ik noem het de tweevingermethode (TVM) en heb er 40 jaar geleden toevallig kennis mee gemaakt. Sinds die tijd heb ik er honderden mensen mee getraind: scholieren, studenten en (licht) verstandelijk gehandicapten. Deze trainingen vonden plaats tijdens vakantie(kampen), in buurtwerk etc., maar niet in het reguliere onderwijs; het was altijd hobbymatig vrijwilligerswerk. In de loop der jaren heb ik wel de techniek op allerlei onderdelen aangepast.
De TVM is in de eerste plaats een techniek om beter en sneller te rekenen. Feitelijk gaat het alleen om vermenigvuldigen en optellen; voor (staart)delingen en aftrekken bestaan vergelijkbare technieken maar die laat ik hier onbesproken. Wie goed is in de TVM, heeft zoveel cijfervaardigheid dat ook delen en aftrekken geen probleem meer vormen.
Het bijzondere aan de TVM is niet alleen dat de leerling beter en sneller gaat cijferen maar ook dat hij/zij zich veel beter gaat concentreren. Van de vermenigvuldigingssommen, bijvoorbeeld 23789 X 6872, wordt namelijk het resultaat neergeschreven zonder tussenresultaten te noteren. Dat kan alleen als je de tafels perfect kent, goed kunt optellen, snel kunt schakelen tussen bewerkingsonderdelen, je je het vorige tussenresultaat nog kunt herinneren als je met het volgende bezig bent en je je tot het uiterste concentreert. En dit alles tegelijk.
De methode is verbluffend eenvoudig. Toch ben ik nog niemand tegengekomen die er onmiddellijk mee uit de voeten kon. Je moet er even aan wennen en je moet oefenen. Veel oefening. Aanvankelijk is het bovendien zo inspannend dat je het maximaal één uur achter elkaar volhoudt. Maar na enkele sessies zie je al resultaat. Daarbij komt dat –als je het op de juiste manier onderwijst– elke leerling het leuk vindt om te doen. Opmerkelijk, omdat het op het eerste gezicht saai lijkt. Het blijkt echter dat kinderen –evenals volwassenen– uitdrukkelijk ervaren dat ze een prestatie leveren. En vreemd genoeg vinden ze het plezierig om aangemoedigd te worden die prestatie steeds te verbeteren. Wat kort geleden nog een probleem was, is nu een uitdaging. Het is niet meer de vraag òf je het kunt maar of je je record kunt verbeteren.
Bij individuele training krijgt de coach een gedetailleerd inzicht in elke denkstap die de leerling uitvoert. Dit is mogelijk omdat er strikte afspraken zijn voor de volgorde van de stappen (het algoritme) en de leerling het resultaat van elke stap uitspreekt tijdens de training. Ik ken geen andere trainingstechniek (muziekonderwijs?) die een zo nauwkeurige synchronisatie toelaat tussen de gedachteprocessen van de cursist en de coach. Een direct gevolg hiervan is dat knelpunten snel te diagnosticeren en te verhelpen zijn.
Vorig jaar kwamen de problemen met de rekenvaardigheid van PABO-studenten en verpleegsters uitgebreid in het nieuws. Ook waren er duidelijke signalen, dat het slecht ging met het VMBO en het MBO (ROC’s). Ik vond toen het moment aangebroken de TVM geschikt te maken voor toepassing in school- en klasverband. Toen is ook een website ontwikkeld, met daarop een applicatie die de rol van virtuele trainer vervult. Toen dat allemaal werkte, in de herfst van vorig jaar, ben ik actief op zoek gegaan naar mogelijkheden de TVM toe te kunnen passen in het reguliere onderwijs. Scholen dus. En organisaties die scholen ondersteunen op het gebied van rekenvaardigheid.
Ik heb met tientallen scholen geprobeerd contact te leggen. Het bleek onverwacht moeilijk om zelfs alleen een afspraak te maken. Bovendien moet je daarna nog een hele reeks obstakels overwinnen: eerst de decaan en/of de wiskundeleraar overtuigen, die moet zijn collega’s en directeur overtuigen, dan moeten de leerlingen en hun ouders het er mee eens zijn. Voor je het weet ben je twee maanden verder voor je kunt beginnen.
Ik had een voorkeur voor VMBO en MBO omdat daar de problemen het grootst zijn. Aan de andere kant wist ik uit mijn buitenschoolse ervaring dat HAVO- en VWO-leerlingen veel meer “deden” met de TVM dan VMBO-leerlingen. Uiteindelijk lukte het om met een (100% zwarte) VMBO en een ROC-MBO afspraken te maken.
Ik stelde drie voorwaarden: (1) de leerlingen die deel zouden nemen aan de training moesten bereid zijn iets nieuws te leren en ze moesten als voorkennis de tafels tot 10 kennen; (2) de prestaties van de leerlingen zouden voor en na de training gemeten worden en die waarden zou ik voor promotiedoelen mogen gebruiken; (3) één of meer docenten zou zich in de methode moeten inwerken. Dat laatste is noodzakelijk: om een oordeel over de methode te kunnen vormen moet je ervaren hoe de hij werkt en dat kan niet vanuit de leunstoel.
De leerlingen van het VMBO waren eersteklassers. Gemiddeld 12 jaar. Na 5 lessen training konden ze de antwoorden van vermenigvuldigingssommen, zoals 9274 X 83, gemiddeld 30% sneller en zonder tussenberekeningen foutloos neerschrijven. De besten waren 50% sneller.
De resultaten met het ROC MBO zijn nog niet bekend maar lijken ook bemoedigend.
Een aantal docenten heeft mij er op gewezen dat er nog betere resultaten te verwachten zijn als de TVM wordt toegepast in de bovenbouw van de basisschool in plaats van in het voortgezet onderwijs.
Uiteraard zijn er ook kritische geluiden. Die komen vooral uit de hoek van “realistische rekenaars”.
Een maand geleden werd de jaarlijkse Panama-conferentie gehouden, waaraan voornamelijk PABO-docenten deelnamen. Mij was gevraagd tijdens een workshop de TVM te demonstreren en uit te leggen. Hoewel de meeste deelnemers aandachtig meededen, niet in de laatste plaats omdat ik ten behoeve van een levendige demonstratie een oud-leerlinge en een enthousiaste VMBO-docent had meegenomen, werd een constructieve gedachtewisseling gesmoord door een handvol al wat oudere PABO-docenten die steeds waarschuwden voor een “heilloze weg” en een “reeds jaren verlaten pad”.
Ook zou de TVM de kinderen tot robots (“aapjes”) opvoeden. En: “Waarom zou je kinderen berekeningen leren maken die ze ook op de rekenmachine kunnen doen?”.
Uiteraard realiseer ook ik me dat de wereld waarin kinderen nu leven heel anders is dan die van 50 jaar geleden. Ook ik juich de vooruitgang in het schattend rekenen toe. Maar zou het niet beter zijn als ze daarnaast ook nauwkeurig kunnen cijferen? Met een methode die gebruik maakt van de modernste web-technieken? Waarbij ook rekenzwakke kinderen mee kunnen komen?
Ik ontken niet dat de TVM veel oefening vraagt. Maar om een goede sporter of musicus te worden moet je toch ook veel oefenen? Maakt dat je een robot?
De bedoeling van de workshop op de Panama-conferentie was vooruitgang te boeken in het formuleren van en zo mogelijk ook opzetten van pilots met de TVM. Dit is niet gelukt omdat de discussie eindigde in dogmatiek. Door plaatsing op de BON-site hoop ik mensen te bereiken die open staan voor nieuwe ideeën. Hoewel ik hier niet de mogelijkheid heb de TVM te demonstreren denk ik voldoende aspecten ervan beschreven te hebben om duidelijk te maken waar het om gaat. Graag kom ik in contact met BONners die kritisch willen meedenken bij het zoeken naar verbetering van ons rekenonderwijs. Ik beloof u dat u er geen spijt van zult hebben!
Beste Jan
Weet je dat in het PPON onderzoek is gebleken dat een heleboel basisschool leerlingen geen tussenantwoorden opschrijven? Wat ook uit dit onderzoek bleek is dat deze leerlingen de sommen het slechtst maakten.
Een voordeel van tussenantwoorden opschrijven is dat minder geheugen en concentratie nodig is. Een ander voordeel is dat achteraf af te leiden is wat er fout ging.
Ik begrijp dat de het trainen van de tvm 1-op-1 moet. Niet erg praktisch in het reguliere onderwijs. Al kan die website die je noemt dit probleem wegnemen.
reactie mark79
Beste mark79,
Ik ben me niet bewust dat uit het PPON onderzoek is gebleken dat basisschoolleerlingen het resultaat van grote vermenigvuldigingen (bijvoorbeel getallen van vijf maal vier cijfers) opschrijven zonder tussenantwoorden. Als dat zo is: I rest my case.
Ik kan niet zoveel met “dat deze kinderen de sommen het slechtst maakten”. De kinderen die ik heb begeleid cijferen sneller en met minder vergissingen. Ik neem aan dat je niet het triviale geval bedoelt dat een kind er met de per naar gooit en zomaar (zonder tussenresultaten) iets opschrijft dat voor een antwoord moet doorgaan.
Met betrekking tot je tweede opmerking: hierin verschillen we kennelijk fundamenteel van mening ten aanzien van wat je wilt bereiken: Ik vind het juist een strevenswaardig (neven)doel dat kinderen leren hun geheugen te gebruiken en leren zich te concentreren. Je zegt toch ook niet dat het nadeel van joggen is dat je moe wordt?
Je lijkt op het eerste gezicht gelijk te hebben als je zegt dat, met tussenantwoorden, achteraf is af te leiden wat er fout ging. Wanneer een kind begeleid wordt door een coach (van vlees en bloed of virtueel) wordt echter onmiddellijk de vergissing opgemerkt. Als de berekening zonder begeleiding wordt uitgevoerd controleren ze het antwoord met de de 9=0 methode.
Tenslotte je laatste opmerking. Het klopt dat de TVM oorspronkelijk een 1-op-1 methode is, dat dit niet praktisch was voor klassikaal onderwijs en dat de website nodig was om dit probleem te ondervangen.
jan de jonge
PPON
Grote vermenigvuldigingen komen in het PPON onderzoek (en in het basisonderwijs) niet voor. De leerlijnen opgesteld door de Expertgroep rekenen en taal schrijft voor wat leerlingen hieraangaande moeten kunnen:
-vermenigvuldigen van een getal van 1 cijfer met een getal van 2 of 3 cijfers
-vermenigvuldigen van een getal van 2 cijfers met een getal van 3 cijfers
en dat is het…. Armoedig inderdaad. Komt omdat met de onhandige `realistische methoden’ grotere sommen niet goed uit te rekenen zijn.
Omdat de PPON onderzoekers alleen de papieren uitwerkingen hebben valt niet te zeggen hoeveel leerlingen die alleen een antwoord opschreven er met de pet naar gooiden. Opvallend is dat het aantal leerlingen dat geen tussenantwoorden opschreef sterk gestegen is de laatste jaren. De PPON onderzoekers wijten dit aan de nadruk op `hoofdrekenen’ in het huidige (realistische) rekenonderwijs. Leerlingen lijken niet te weten dat je ook met pen en papier kunt rekenen…
Je geheugen leren gebruiken en je leren concentreren hoort inderdaad een doel te zijn van onderwijs. Maar kinderen moeten ook aanleren om pen en papier te gebruiken. Beide lijkt nu te weinig te gebeuren in het onderwijs.
Mijn reacties lijken waarschijnlijk wat negatief, maar net als 1945 lijkt je methode me interessant hoor.
Leuk!!
Beste Jan,
Of je methode een verbetering is, kan ik niet zeggen. Daarvoor zou ik de methode moeten kennen en zou ik iets meer moeten begrijpen over de voor- en nadelen van deze methode bij het verdere wiskunde onderwijs. Het bekende staartdelen is bijvoorbeeld uitbreidbaar in de algebra en alleen al daarom een gewenste methode om aan te leren. Ik beoordeel een methode dus niet alleen op de effectiviteit bij het uitrekenen van de sommen die er voor bedoeld zijn, maar ook op de uitbreidbaarheid binnen de verdere wiskunde.
Een ander aspect is hoe gebruikelijk de methode is. Een zeer ongebruikelijke methode heeft precies dat als nadeel: de methode is ongebruikelijk en dat kan later vervelend zijn. Als voorbeeld noet ik hier het kolomsgewijs optellen van de rekenrealisten. Dat is (naast onhandig en absurd) ook ongebruikelijk: je hebt later moeite om (bv) je eigen kinderen te helpen met rekenen. Of, misschien voor jou als IT deskundige dicht bij huis: de vele alternatieven voor het onhandige qwerty toetsenbord sneuvelen allemaal.
Kortom: er zijn veel overwegingen die je moet betrekken in een keuze om een methode in te voeren (ernaast, in plaats van…)
Maar dit gezegd hebbende. Iets dergelijks is ook simpelweg leuk! Niet leuk in de platte betekenis die er vaak aan wordt gehecht, maar leuk in de zin dat kinderen iets nieuws leren, iets magisch. Dat ze plezier in getallen krijgen.
De reactie van de mensen op de panama conferentie is herkenbaar. Maar eerlijk gezegd kan ik me er ook wel iets bij voorstellen. Je komt met een nieuw idee en je vraag feitelijk dat ze zich inspannen om het zich eigen te maken, om er een didactiek bij te ontwikkelen en om te kijken of het een plaats kan hebben in de basisschool. Dát is heel veel gevraagd. Bijna een omscholing. En zij zijn, net als ik, niet in staat om op voorhand een goede inschatting te maken of de inspanning, de investering zal lonen.
Je hebt gemerkt hoe lastig het is om mensen te overtuigen van de voordelen van een andere didactiek. Dat conservatisme is en goede zaak. Ik had gewild dat veel meer docenten veel eerder conservatief zouden zijn geweest. Dan was veel onderwijsellende aan ons voorbij gegaan.
Je zou een individuele docent moeten treffen die met een klein groepje aan het werk wil. En dat is ook precies waar je mee bezig bent natuurlijk.
Is er een plek waar ik de methode kan bekijken? Ik ben wel degelijk benieuwd. Niet in de eerste plaats met als doel om het te gaan verspreiden. Op dit moment heb ik andere prioriteiten en ook strategisch is het niet handig om naast het RR en het traditioneel rekenen nu plots met een derde variant te komen, maar wel omdat het mn interesse heeft. Ik vind het wel leuk 😉
reactie 25_12_45
Beste 25_12_45,
Het komt niet zo vaak voor dat je van een onbekende een reactie krijgt waar je echt iets aan hebt. Ik ben het niet met alle opmerkingen eens maar ook dan raken je argumenten me vanwege hun doordachtheid. Mijn dank hiervoor.
Op de volgende aspecten ga ik wat nader in:
Met betrekking tot je eerste opmerkingen (staartdelen en uitbreidbaarheid naar verdere wiskunde) : ik weet niet of de TVM in die richting een ondersteuning biedt. Heb ik domweg niet onderzocht. Ik vraag me overigens af in hoeverre de conventionele manier van vermenigvuldigen (twee getallen onder elkaar, streep eronder, rij voor rij en nullen toevoegen, ….) consistent is met (a+b)(c+d)=ac+ ad + etc. Ik herinner me nog van de middelbare school dat ik dit een geheel nieuwe manier van vermenigvuldigen vond.
Je vraagt of er een plek is waar je de TVM kunt bekijken. Ja en nee. Ik heb een website met een virtuele coach: www.vedacalc.nl. Je moet echter bedenken dat dit nog voornamelijk een oefen-site is. De TVM heb ik tot nu toe altijd eerst mondeling uitgelegd. Nadat ik de kinderen stap voor stap heb voorgedaan hoe het werkt, stappen we over naar de website, onderdeel oefenen/TVM, waarna ze zelfstandig verder kunnen. Maar er staat geen uitleg bij, zodat je begrijpt dat ik aarzel om de website vrij te geven aan mensen die ik de werking van TVM nog niet heb uitgelegd. Overigens: de website is nog gedeeltelijk Under Construction maar voor de doeleinden waar ik hem momenteel voor gebruik voldoet hij: tafels, optellen en TVM.
Ik ben van plan de TVM, geheel gedocumenteerd, “op papier” te zetten.
Praktische bezwaren zijn: (1) het is veel omslachtiger dan de mondelinge overdracht en (2) het is moeilijk alle didactische nuances van de TVM in hun juiste context te beschrijven.
Overigens zou ik de TVM graag op een voorlichtingsavond voor BONners demonstreren en uitleggen. Bestaan dit soort bijeenkomsten?
jan de jonge
Beste Jan
Met belangstelling heb ik je bericht gelezen. De weerstand die je ondervindt heeft te maken met pedagogen die ex-cathedra het ‘cijferen’ tot een ongewenste activiteit hebben verklaard. Pas als die weerstand is overwonnen denk ik dat je TVM een kans van slagen krijgt.
Ik bezit zelf een boek van prof. Jakow Trachtenberg; een Rus die zijn tijd in Russische en Duitse concentratiekampen heeft besteed aan het ontwikkelen van een “speed system of basic mathematics”.
Zijn hoofdstuk 3 is geheel gewijd aan de ‘Two-finger method’. Stemt jouw methode daarmee overeen?
Ik verwijs naar “The Trachtenberg speed system of basic mathematics” door A. Cutler en R. McShane, uitgave 1965, Pan Books Ltd, London.
Trachtenberg
Beste hendrikush,
Ik ben op de hoogte van de methode van Trachtenberg. Er zijn inderdaad sterke overeenkomsten met de methode die ik gebruik. Dat is ook niet zo verwonderlijk want ook Trachtenberg baseerde zich op dezelfde Vedantische uitgangspunten (zie Amazon.com mbt Trachtenberg:
2 of 5 people found the following review helpful: amazing!!, November 1, 2000 By badri (chennai , India) – See all my reviews
this reflection of vedic math is incredible. we can easily calculate bulks of nos using this technique.i really recommend this book for maths tecahers.)
jan de jonge
En
dan vraag ik me serieus af, waarom sommige bijdragen aan dit forum, van mij, wel “gemodereerd” worden.