Handig met Pythagoras

Uit Truus Dekker Monica Wijers (2009). Trajectenboek wiskunde havo vwo onderbouw. versie
 31 
maart 
2009
 p. 3-4.
Met medewerking van Sanne van Dooremalen, Wilma Bouhof
Eindredactie Truus Dekker, Sieb Kemme © cTWO, Utrecht , februari 2009

18 Reacties

  1. Erg
    Die meter extra loopt niet schuin zoals in de tekening maar verticaal.
    Weer een voorbeeld van de verwarring waartoe een geknutselde werkelijkheid leidt bij een eenvoudig wiskundig probleem. Nokia dreigt te gronde te gaan aan bureaucratische verstarring; het wiskundeonderwijs is het slachtoffer van onderwijsparasieten.

  2. Waarom gehele getallen?
    Opmerkelijk dat men een strategie voorstelt die gebaseerd is op gehele Pythagoreïsche drietalen in een situatie die niets met gehele getallen van doen heeft.

    • Waar blijft de integratie binnen de wiskunde?
      Blijkbaar is men met algebra nog niet zo ver dat men de vergelijking x↑2 + 5↑2 = (x+1)↑2 kan oplossen. Dan zou je ook nog een methode ontdekken om snel Pythagoreische getallen te genereren. De afsremming van de verschillende onderdelen van de wiskunde is blijkbaar slecht.
      Seger Weehuizen

    • Je hoeft mij echt niet te
      Je hoeft mij echt niet te overtuigen dat de staartdeling beter is, ik was er verbaasd over hoe gemakkelijk je met de staartdeling kan rekenen toen ik die leerde (nadat ik mijn VWO-diploma reeds had behaald).

      Ik vind deze voorbeelden echter niet al te gelukkig, bij het tweede filmpje is de rekenopgave wel erg gemakkelijk, iemand die een beetje handig is met de hapmethode ziet nadat er reeds 1200 vanaf is getrokken in 1 oogopslag dat 12 nog 30 keer in 360 kan, zien dat 12 dertig keer in 360 past lijkt mij niet beduidend moeilijker dan zien dat 12 3 keer in 36 past. Het heeft er schijn van dat deze man (leraar?) met opzet wat overdreef wat niet bevordelijk is voor het overtuigen van een ander.
      In het eerste filmpje had het meisje het nadeel dat zij moest rekenen terwijl die man naast haar babbelde.

      Ik zou nog een paar voorbeelden nemen en nu met wat moeilijkere rekenopgaves waarbij:
      – het moeilijker te zien is hoevaak het quotiënt in het deeltal past
      – het quotiënt geen geheel getal is
      Laat zodoende zien hoeveel gemakkelijker je een ´som` met de staartdeling uitrekent zogauw die ietwat lastiger is en demonstreert hoe je met de staartdeling inziet waarom getallen zo vaak repetitief zijn ´achter de komma´. dan overtuig je pas echt gemakkelijk mensen van het nut en het gemak van die staartdeling.

  4. Byrne,
    http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/introduction/byrne-viii.html

    Oliver Byrne (1847/2010). The First Six Books of the Elemensts of Euclid with coloured diagrams and symbols. London: William Pickering. Taschen facsimile reprint. isbn 9783836517751, boxed with Werner Oechslin’s Essay Byrne’s edition page by page html

    • The figure of his page ix is on the website referred to. I do not know whether his claim about the efficiency of his teaching method is true (see the middle of the page, if you can’t read it, click on it). Page 134 is a scan on page www.fulltable.com/vts/b/byrne/101.jpg

  5. ¡ Weg met de intolerante overheid !
    Bij onze discussie over het beste soort rekenonderwijs moeten wij ons realiseren dat onze grootste ergernis niet een rekenmethode moet zijn die wij slecht vinden maar een overheid die ons zo graag één methode wil voorschrijven. Het blussen van de drang van de overheid om de grens tussen het wat en hoe te overschrijden en onderwijs oneigenlijk te gebruiken zou een bloeiend en gevarieerd onderwijslandschap opleveren waarin ouders haast altijd kunnen vinden wat zij het beste voor hun kind achten. De overheid controleert in dat landschap alleen de eindresultaten en baseert daarop haar subsidiering. Er blijft dan nog wel een element van subjectiviteit aanwezig maar we zijn dan eindelijk af van de beklemmende druk van het HOE af en ondervinden slechts de kleinere druk van een minder star WAT.
    Als (groot)ouder vind ik dat de Freudenthalse rekenmethode en de Freudenthalse ”wiskunde” best mogen blijven bestaan. Als er maar genoeg BON-scholen komen!
    Seger Weehuizen

    • Verwevenheid
      Het is je inmiddels toch wel duidelijk dat de examens ook op de freudenthalse wijze zijn opgesteld? Als je je leerlingen op deze examens wil voorbereiden MOET je wel freudenthalisch les gaan geven.

      • MOET
        Hinke,

        Realistische rekenexamens zijn natuurlijk zo problematisch als wat.

        De verleiding voor scholen is dan groot om ook realistisch rekenonderwijs te gaan geven, als voorbereiding op die examens.

        Het probleem is nu juist dat de realistische rekendidactiek ernstige tekortkomingen kent. De conclusie moet welhaast zijn dat het altijd beter is om GOED rekenonderwijs te geven, ook al bestaat het examen (de ekentoets in dat examen) uit opgaven die typisch thuishoren in het gedachtengoed van het realistisch rekenen.

        Bovenstaande hypothese heeft in het MORE-onderzoek zijn eerste bevestiging gekregen: realistisch geoefende leerlingen deden het minder goed op de opgaven ‘handig’ rekenen dan de niet op ‘handig’ rekenen geoefende leerlingen.

  7. Fibonacci : On two birds
    [img_assist|nid=7746|title=Fibonacci probleem|desc=|link=node|align=left|width=68|height=100]

    • Lucia Grugnetti (2000). Ancient problems for the development of strategic thinking. In John Fauvel and Jan van Maanen (Eds) (2000). History in mathematics education: The ICMI Study (78-81). Kluwer Academic Publishers. pdf [voorbeeldpagina’s uit het boek, de bijdrage van Grugnetti integraal] [klik op de thumbnail voor de afbeelding]

    Lucia Grugnetti behandelt hier een opgave uit Fibonacci’s Liber abaci. Interessant contrast tussn de doeltreffende algebraïsche oplossing m.b.v. de stelling van Pythagoras, en de martelgang van Fibonacci die het zonder het doeltreffende symbolische apparaat van algebra moest doen, en met impliciet gebruik van de stelling van Pythagoras.

    • L. E. Sigler (2003). Fibonacci’s Liber Abaci. A translation into modern English of Leonardo Pisano’s Book of Calculation. Springer.

    In deze vertaling: On two birds, p. 462-463. De tekst is hier anders dan die welke Grugnetti gebruikt.

      • Two birds were above the height of two towers; one tower was 40 paces in height and the othr 30, and they were 50 paces apart; at an instant the pair of birds descended flying to the center where there was a fountain, and they arrived at the same moment at the fountain which was between both towers. From the moment they left until the moment they arrived they flew in straight lines rom the tops of the towrs to the center of the fountain; the flights were of equal lengths …

    Zonder een vraag te stellen gaat Leonardo dan over tot de berekeningen.

  8. Pythagoras en mechanica
    Het bewijs van Mark Levi: Stel je hebt een bak in de vorm van een rechthoekige driehoek, gevuld met water, en draaibaar bevestigd aan een verticale stang: zie de afbeelding. Het idee is dat deze bak NIET om de stang draait (het is geen perpetuum mobile), dus dat de krachten die het water op de zijwanden uitoefent, elkaar precies in evenwicht houden. Zie de tekst van Levi.

    • Mark Levi (2009). The mathematical mechanic. Using physical reasoning to solve problems.

    • Boekbespreking Mark Levi: The Mathematical Mechanic
      Henk Broer heeft het boek van Mark Levi: The Mathematical Mechanic besproken in Nieuw Archief voor Wiskunde, 136-137. pdf.

  9. Pythagoras in China, Babylon enzovoort
    David E. Zitarelli (2007). Was Pythagoras Chinese? MAA Notes Series, 41-48 pdf

    Was Pythagoras een Babyloniër? Zie Jan van de Craats (januari 2005). Babylonisch rekenen. Euclides. Voor preprint pdf

    E. S. Loomis (1968). The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics. 9 Mb pdf ERIC [Meer dan 300 bewijzen van de stelling van Pythagoras]

    Paul Gerdes (1994). African Pythagoras. download € 7.17 [Geen vrije versie gevonden. Wel:]

    Paulus Gerdes (2003). Awakening of Geometrical Thought in Early Culture. Foreword by Dirk J. Struik. MEP Publications. pdf (Revised from edition originally published as Ethnogeometrie: Kulturanthropologische Beiträge zur Genese und Didaktik der Geometrie 1990 Verlag Barbara Franzbecker)

  10. Euclides Boek I stelling 47 (Pythagoras)
    D. E. Joyce, Clark University (1996). Euclides interactief. aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI47.html
    Euclides heeft een mooi bewijs gegeven (stelling 47, gebruik makend van stelling 37), hij moest ook wel want algebra had hij niet tot zijn beschikking, en alleen een primitief begrip voor oppervlakte.

    Wie dit bewijs zelf wil programmeren in Postscript, zie hoofdstuk 1 in:

    Bill Casselman (2005). Mathematical illustrations. A manual of geometry and postscript. Ambridge University Press. Casselman’s site offering chapters of Casselman’s book for download, Ch. 1 pdf


    Animatie van het bewijs I.47 van Euclides. Vergeet niet even op deze webpagina van Takaya Iwamoto te kijken: hier.

    Op de Engelse Wikipedia een groot lemma over bewijzen van de stelling van Pythagoras, met een uitvoerige behandeling van het bewijs van Euclides.

    Op de website Cut the Knot een collectie bewijzen.

  12. Wansink, 1966
    Joh. H. Wansink (1966). Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren. Deel I. J. B. Wolters.

    Hierin hoofdstuk 7. De stelling van Pythagoras. 224-265. Met literatuurlijst (meerdere artikelen in Euclides), Daaruit valt nog te melden:

    J. Versluys. Zes en negentig bewijzen van het theorema van Pythagoras. Haarlem.

Reacties zijn gesloten.