Stelling 1:
Wiskunde kent op het niveau van het voortgezet onderwijs nauwelijks tot geen praktische toepassingen.
Onderbouwing stelling 1:
– Pogingen tot het vinden van praktische toepassingen in de leermethoden zijn meelijwekkend. Winstformules bestaan niet, een boer past niet de oppervlakte van zijn land aan aan de aanwezige hoeveelheid prikkeldraad, vaten spoelen niet aan volgens een formule, overhangende rotsen worden niet uitgehakt volgens een kwadratisch verband, etc.
– Naast mijn lespraktijk gebruik ikzelf slechts incidenteel wiskunde in toegepaste vorm, hooguit bij wat timmerwerk of de aanschaf (of juist niet) van een lootje in een loterij.
Vraag 1:
Waarom wordt wiskunde dan toch vaak bestempeld (ook door derden) als een “belangrijk vak”?
Stelling 2:
De kracht van de wiskunde op het voortgezet onderwijs zit in het opbouwen van een analytisch denkproces en een structurele en creatieve probleemaanpak.
Stelling 3:
De kracht uit stelling 2 komt alleen tot zijn recht bij een onderwijsvorm die uitgaat van de abstracte begrippen waaruit de wiskunde is opgebouwd.
Vraag 2:
Waarom wordt er dan in de wiskundemethoden zo krampachtig vastgehouden aan vergezochte toepassingen?
Gevolgtrekking 1:
Als het aanleren van wiskunde zich rechtvaardigt in het ontwikkelen van een analytisch denkproces is het minder van belang met welke vorm van wiskunde dit gebeurd. Het analytische denkproces krijgt vorm bij het bestuderen van euclidische meetkunde, getaltheorie, verzamelingenleer, analytische meetkunde, analyse, etc.
Stelling 4:
Het huidige wiskundeonderwijs laat leerlingen instappen in een vliegtuig dat over een wiskundig landschap vliegt. Slechts globaal wordt de stof bekeken, en voor er iets duidelijk in beeld kan verschijnen is het vliegtuig al weer verder gevlogen.
Stelling 5:
De leerlingen moeten het vliegtuig uit en te voet het landschap verkennen. Een gids (ik stel mezelf beschikbaar) zal hen wijzen op de schoonheden die er te vinden zijn. Dit betekent een minder brede opzet van de stof, waar diepgang tegenover staat.
Gevolgtrekking 2:
De grafische rekenmachine zal in het vliegtuig achter moeten blijven. Met pen en (ruitjes)papier trekken wij de velden in.
Ik zou me vereerd voelen als u op deze stellingen, vragen en gevolgtrekkingen zoudt willen reageren. Heeft u zelf nog aanvullende stellingen, vragen en gevolgtrekkingen, dan stel ik voor dat u gewoon doornummert en aanvult.
Jos van den Einde (docent wiskunde)
Vervolgonderwijs
Is er nog een plaats in je lijstje voor het vervolgonderwijs? Je zegt dat het niet uitmaakt wat voor wiskunde je leert – is het dan niet handig om die wiskunde te leren die je goed van pas komt in het vervolg?
Voorbeeld: op dit moment loopt er een discussie over de vraag of van meetkunde de euclidische vorm (axioma-stelling-bewijs) of de analytische vorm (lijnen en vlakken in formulevorm) gegeven moet worden. Analytische meetkunde is namelijk erg nuttig voor een leerling die een exacte kant op gaat: dat komt uitgebreid aan de orde in vele eerstejaars colleges.
Meetkunde
Meetkunde is juist een interessante: het vak is zo goed als verdwenen uit de verplichte curricula op de universiteiten. Aan de RU wordt nog zowel Euclidische als analytische meetkunde verplicht gedoceerd.
Om het gestructureerd en analytisch denken te leren en te oefenen is juist de Euclidische meetkunde interessant. En daarnaast natuurlijk nog vanuit historisch perspectief. Toch een richting met een historie van vele eeuwen.
Nou is dat laatste niet zo interessant voor vervolgopleidingen, maar het eerste wel. En dat is naar mijn idee zeker een argument om wat aan Euclidische meetkunde te doen. Maar het gestructureerd en analytisch leren denken kun je ook in andere context doen. Lineaire algebra en analyse (cq. calculus) zijn ook geschikt voor een meer formele aanpak, om zo meer abstract inzicht te krijgen en gestructureerd te leren denken.
Meetkunde
Woorden naar mijn hart.
Leerstof
Beste Mark,
Op het vervolgonderwijs heb ik (nog) geen ervaring. Uiteraard is het handig om het programma van de middelbare school aan te laten sluiten bij het vervolgonderwijs. Zeker wat betreft de wiskunde B kant is het belangrijk met elkaar te communiceren over wederzijdse verwachtingen.
Houd echter wel in de gaten dat het niet alleen gaat om leerlingen die een exacte studie gaan volgen. Ook leerlingen die in een vervolgopleiding weinig tot niets meer met wiskunde te maken gaan krijgen hebben recht op een mooi programma. Het zou bijvoorbeeld wel eens zo kunnen zijn (ongegronde aanname) dat juist wiskunde A leerlingen beter uit de voeten kunnen met euclidische meetkunde. Of, aannemelijker, dat zij meer gebaat zijn bij getaltheorie voor beginners.
Toegepaste wiskunde in het voortgezet onderwijs
Mooi stuk, dat hierboven. Maar toch wel wat kanttekeningen:
* Juist de wiskunde is zo’n breed gebied met vele toepassingen dat ook op het niveau van de middelbare school wiskunde er wel (vele) toepassingen te bedenken zijn. Op de universiteiten wordt in het eerste jaar al aan die toepassingen (die dus net het niveau van de middelbare school ontstegen zijn) aandacht besteed. En natuurlijk is een hele grote toepassing van de middelbare school wiskunde de manier van denken die je geleerd hebt.
* Bij stelling 2: zoals al gezegd, wiskunde is een vak met een breed toepassingsgebied. Afstudeerders komen op een veelheid van arbeidsplaatsen terecht en stromen ook vaak door naar hogere functies. Dat illustreert dat wiskunde niet alleen v.w.b. de manier van denken erg nuttig is, maar ook qua inhoud vele toepassingen kent. Wiskunde wordt o.a. toegepast in de economie, scheikunde, natuurkunde en andere natuurwetenschappen, informatica, taalwetenschappen, filosofie, psychologie, geneeskunde en vele sociale wetenschappen. En dan gaat het niet alleen om de manier van denken.
* Ad. stelling 3: abstracte begrippen laten zich begrijpbaar maken door het geven van (vele) voorbeelden. Dus er moet ook ruimte zijn voor toepassingen.
* Bij stellingen horen bewijzen. V.w.b. stelling 4 en 5: die laten zich illustreren door een stuk dat verschenen is in Nieuw Archief voor de wiskunde (vergeef me als ik de titel niet helemaal correct heb) waarin een aantal jaren geleden een stuk is verschenen over het niveau van eindexamens [Stuk staat hier, MAP]. Drie tijdpunten stonden centraal: jaren ’60, jaren ’80 en juist voor de eeuwwisseling. Wat je ziet was dat het niveau jaren ’80 hoger was dan dat in de jaren ’60 en dat van voor de eeuwwisseling. Daarbij dient de kanttekening gemaakt te worden dat er in de jaren ’80 minder stof behandeld werd, maar wel dieper, dan in de jaren ’60. Tegenwoordig is het weer weinig van veel, waardoor het niveau daalt. Voordat de scholier echt aan iets gewend is, moet hij of zij het alweer aan de kant schuiven voor iets nieuws.
* Aan gevolgtrekking 2 zou ik graag de formulekaart willen toevoegen.
Toepassingen?
Beste Micha,
Bedankt voor je reactie. Ik heb nog wel wat vragen voor je:
Sterretje 1: Ik ben benieuwd naar de toepassingen waar je op doelt. Zou je wat voorbeelden kunnen geven? De manier van denken die je aanleert beschouw ik niet als een toepassing, maar als een gevolg.
Sterretje 2: Het doorstromen naar hogere functies van wiskundigen op een variatie aan functies verbaast mij niet. Na mijn studie aan de lerarenopleiding heb ik een aantal jaren in het bedrijfsleven gewerkt met fijne collega’s, waarvan enkele met een wiskundige achtergrond. Zoals het een wiskundige betaamt waren zij sterk in het analyseren van problemen en het bepalen van een oplossingsrichting. Hoewel ik o.a. werkzaam ben geweest in de technische automatisering heb ik geen spoortje van direct toegepaste wiskunde kunnen ontdekken. Het doorstromen (voor zover door mij waargenomen) naar hogere functies illustreert dus niet dat wiskunde qua inhoud vele toepassingen kent.
Sterretje 3: Zover er toepassingen zijn, blijf ik van mening dat deze irrelevant zijn op het niveau van de middelbare school. Abstracte begrippen blijven het mooist als ze abstract blijven.
Sterretje 4: Bedankt voor deze aanvulling!
Sterretje 5: Geheel mee eens.
Jos van den Einde
Een (m.i.) nuttige
Een (m.i.) nuttige toepassing bij rijen, ik doe het in een EM-klas,is het gewoon eens berekenen van het maandelijkse annuiteitenbedrag bij het afsluiten van een hypotheek, bij een gegeven lening en rentepercentage.
Of een foldertje van de postbank, waar meneer X gaat levensloopsparen,narekenen.(Blijkt meteen, dat meneer X veel te weinig spaart, want de inflatie gaat in die 11 jaar gewoon door) Practisch toch?
Voor B kun je bij elke technische universiteit voorbeelden vinden, die het ontstaan van een differentiaalvergelijking illustreren. Dan is het toch meteen duidelijk dat de wiskundige kant daarvan hartstikke belangrijk is?
Paraboolvormige bruggen zijn inderdaad lachwekkend: de berekeningen, die je bij zo`n sommetje moet maken (hoe hoog is het midden van de brug boven de waterspiegel, en dan het liefst in 2 decimalen nauwkeurig), kun je ook wel zonder die brug, met alleen de formule. Nog afgezien van het feit, dat de waterspiegel nog geen seconde op 2 decimalen nauwkeurig stilstaat.Daarvoor zijn kwadratische functies niet uitgevonden.
Mijn suggestie is: lees eens wat eerstejaarsstudieboeken van technische en economische opleidingen. Dan vind je echt leuke toepassingen. En verder moet je natuurlijk wel ingaan op het feit, dat de meeste wiskundige toepassingen nog steeds modellen zijn. Dus ook modelvorming is een belangrijk onderwerp. Maar dat kan heel boeiend zijn.
Toepassingen middelbare school wiskunde
Tja, toepassingen. Ze zijn er te over. Ga kijken in de lokale supermarkt. Simpel voorraadbeheer, transportproblemen. Ik heb onlangs nogal wat micro-economie gegeven. Daar kom je veel toepassingen tegen van differentiëren. Die laten zich ook uitstekend (wellicht in iets makkelijkere vorm) op de middelbare school uitleggen. Bij natuurkunde kreeg ik vroeger best wel het een en ander aan toepassingen van de wiskunde. En dat is ook niet zo gek, aangezien de natuurkunde toch wel een grootafnemer is van wiskundige technieken. Maar ook statistiek wordt tegenwoordig in de rechtszaal niet meer geschuwd. Dus om statistiek te illustreren zou je kunnen kijken naar de zaak van Lucy de B. Kortom, voorbeelden te over. Maar je moet wel even kijken op welk onderdeel van de stof ze betrekking hebben. Ik merk, ook door het zelf geven van colleges, dat studenten (en scholieren vermoedelijk dus ook) houvast hebben aan voorbeelden om stof te illustreren.
Prachtige discussie …
… dit allemaal, en ik ben het overal mee eens. Kunnen we dan nog een stapje verder komen, denken jullie? Kunnen we deze ideeën vertalen naar een stappenplan, of een speerpuntenlijstje, of een set doelstellingen?
Ik heb alvast een begin gemaakt op de pagina van de kring wiskunde …
toegepaste wiskunde in het voortgezet onderwijs; vraag 2
Wat een practige analyse! Helemaal eens.
Het antwoord op vraag 2 is heel eenvoudig: Dit is het gevolg van het streven om de wiskunde leuk, makkelijk, toegankelijk, “passend” bij belevingswereld te maken, kortom de abstractie eruit te halen. Terwijl wiskunde alleen maar leuk is voor mensen die van abstractie houden. Het grappige is dat de schrijver vaak zodanige kronkels heeft bedacht dat ik zelf ook in het antwoordenboek moe kijken om te begrijpen wat hij bedoelt.
Wolter van den Toorn (1e graads wisk/natk)
toepassingen wiskunde
voor toepassingen van de wiskunde zou in de onderbouw van het VWO
1.
de vlakke meetkunde ingevoerd kunnen worden
(veel rekenen, eenvoudige context)
2.
een programmeertaal op het programma kunnen staan, desnoods facultatief.
Bij het maken van grafische interfaces is kennis van de algebra onontbeerlijk
zie ook mijn wiskunde website:
home.hccnet.nl/david.dirkse/
een aanvullende zesde stelling
Stelling 6:
Echte wiskunde bestaat niet uit een doos met trucjes en losse formules maar
uit bewijzen. Zeker in de hoogste klassen van het VWO zou het
wiskundeonderwijs erop gericht moeten zijn leerlingen zelfstandig sluitende
bewijzen te laten leveren. De vlakke meetkunde is een ideaal vehikel voor deze
activiteit.
Zie ook het uitstekende boek van Jan van Eijck en Albert Visser:
homepages.cwi.nl/~jve/qed/
Examen WiB12 van vorige week
Euclidische meetkunde is sinds 1998 onderdeel van het programma Wiskunde B12. Zie bijvoorbeeld de meetkunde-som in het examen WiB van vorige week; daar wordt een echt bewijs in gevraagd (de gelijkzijdigheid in som 5). Ik moest over deze som ook echt even nadenken.
www2.cito.nl/vo/ex2006/600025-1-19o.pdf
Helemaal mee eens! Ik heb
Helemaal mee eens! Ik heb toen ik technische natuurkunde studeerde veel te weinig leren bewijzen. De nadruk lag op puur rekenen, veredelde aritmetiek. En de meesten van mijn medestudenten volgden minder wiskunde dan ik. Diepe topologie, heerlijk…
Zo zie je maar weer
Zo zie je maar weer wat een vervolg voor nut heeft. Toeval ?
Hoe presenteer ik
Enkele hints van Klaas Landsman. Kwam ik tegen bij het zoeken naar iets anders en zocht even een plekje om het te “dumpen”. Ik dacht dat het hier wel kon, hoewel er ook op verschillende plaatsen over presenteren wordt “gepraat”.