Een veelgebruikt boek voor rekendidactiek op de Pabo is het boek “Wiskunde & didactiek 1 (en 2)” van Fred Goffree. Het gaat om de tweede, gewijzigde druk, uit 1994. Deze druk is flink gewijzigd tov de eerste in 1983. In vergelijking met het artikel van ter Heegen van mijn vorige bespreking is er nu op basisscholen en op pabo’s een enorme ervaring opgedaan met het Realistisch Rekenen. In 1994 was RR dé mainstream didactiek geworden. Ten tijden van het artikel van ter Heegen was het RR zich nog aan het invechten in het NL basisonderwijs.
Het voorbeeld komt uit het tweede deel en handelt over de didactiek van het cijferen.
De schrijver was onderwijzer en is via de wiskobas groep en het cito uiteindelijk opgeklommen tot hoogleraar. Fred Goffree is een grootheid in het wiskunde didactiek wereldje.
Onder cijferen wordt in deze context verstaan het met pen en papier oplossen van standaard optel- aftrek- vermenigvuldigings- en deelsommen (de staartdelingen).
Het woord cijferen geeft aan dat de beoefenaar van het cijferen zich niet met getallen bezig houdt, maar met cijfers. Het getal “honderddrieentwintig” wordt in het 10 tallig positiestelsel geschreven als “123”, maar als kinderen cijferen dan zien ze hierin niet 100, 20 en 3, maar enkel de cijfers 1, 2 en 3.
Kenmerken van de “cijfer” didactiek bij het RR zijn:
– het algoritme wordt langzaamerhand opgebouwd. Zoveel mogelijk aansluitend bij het tempo en de voortgang van het kind.
– Er zijn meerdere methodes die tot een oplossing leiden
– Het is uitdrukkelijk de bedoeling dat kinderen begrijpen wat ze aan het doen zijn
– Het is uitdrukkelijk toegestaan dat kinderen niet komen tot de meest efficiente standaard oplossing, maar ze mogen die efficiency stappen uitstellen of zelfs weglaten.
Het eerste deel van de bijlage gaat over een algoritme voor worteltrekken. Een dergelijk algoritme wordt op de basisschool niet behandeld, maar het voorbeeld is hier bedoeld voor pabo studenten. Zo leren ze “op eigen niveau” maar met dezelfde methode als de kinderen in het RR op de basisschool, een algoritme aan.
Opnieuw vallen twee wezenskenmerken van hiet RR hier op:
– de opbouw is van concreet naar abstract (itt de klassieke opbouw die over de gehele linie abstracter is, maar van eenvoudig naar complex opbouwt)
– begrip is essentieel: de kinderen moeten op elk moment begrijpen wat ze doen (en waarom).
Opmerkelijk bij dat eisen van begrip is dat de handelingen die de kinderen moeten verrichten om de uitkomst van een som te krijgen iha redelijk complex zijn. Vaak complexer dan het geval zou zijn bij de klassieke standaard oplossing.
Dat begrip wordt echter stapje voor stapje opgebouwd en men denkt hiermee problemen te ondervangen die de klassieke methode heeft: kinderen gooien stappenvanalgoritmes door elkaar: ze “doen maar wat”.
Toch: er wordt heel veel begrip geëist en de uiteindelijk aangeleerde methode is bij lange na niet de efficientste, noch de eenvoudigste.
Oordeel zelf over dit (tamelijk uitgebreide) stuk tekst.
Een opmerking uit eigen ervaring: mijn pabo studenten vonden het boek te moeilijk. Konden de gedachtenlijn van de schrijver niet volgen, begrepen ook de wiskunde / reken inhoud vaak moeizaam .
Dezelfde bezwaren heb ik van collega wiskunde docenten op de pabo (geen eerstegraders, maar mensen met uiteenlopende, soms nauwelijks wiskundige achtergrond) gehoord
Ze doen maar wat
1 van de kenmerken van RR is de ‘meerdere methodes’ voor dezelfde som (het zijn echter vaak meer trucjes dan methoden). Vaak is 1 bepaald trucje ‘handig’ in een bepaald geval. Bijvoorbeeld 99+17=99+(1+16)=(99+1)+16=116. Dat is in dit speciale geval sneller dan het standaardalgoritme.
Ik geloof dat het het PPON onderzoek was waaruit bleek dat leerlingen bij het kiezen uit die meerdere methodes ‘maar wat doen’: ze kiezen bijna nooit de handigste methode voor een bepaalde som. Van begrip lijkt dus geen sprake.
wat IS iets versus wat KAN je er mee
Ik heb wel eens het onderscheid gemaakt dat het klassieke rekenen zich vooral bezig houdt met bewerkingen (op getallen / breuken / procenten / …), terwijl het RR de nadruk legt op wat dat iets IS.
Het voorbeeld dat jij noemt is daar een illustratie van. Je moet de structuur van de getal notatie erg goed doorhebben wil je dergelijke trucjes gemakkelijk kunnen gebruiken. Maar als je dat dan ook in je hoofd hebt, als je werkelijk begrijpt hoe dat positiestelsel werkt, dan kun je de bewerkingen gemakkelijk afleiden. Bijvoorbeeld met controlled reinvention. Vandaar dat de orientatiefase op een nieuw begrip bij het RR ook zo lang duurt en zo breed is opgezet.
Kinderen maken kennis met getallen in verschillende structuren: geënt op het tientallig positiestelsel (abacus e.a.), aan de hand van dobbelsteen getallen en aan de hand van alle mogelijke combinaties van rijtjes. In een bus zitten kinderen in rijtjes van 2, bomen die zijn omgehakt en neergelegd in groepjes van 5, fazanten worden geschoten en in paren vervoerd naar de poelier etc.
Als die zaken door al die voorbeelden bij kinderen goed bekend zijn, dan wordt de overstap naar bewerkingen gemaakt.
Bij het klassieke rekenen werd nauwelijk stilgestaan bij de structuur van getallen of getal notaties. Men gaat direct aan de slag met bewerkingen (sommen) volgens een eenduidige methode.
Wat nu gebleken is, is dat er bij kinderen door die lange introductie óf geen goed beeld van bijvoorbeeld getallen ontstaat, óf dat er ondanks dat kennelijk juiste beeld onvoldoende “transfer” is naar bewerkingen met die getallen (rekenen).
Het is mijn sterke overtuiging dat het eerste het geval is. Het hele orientatie circus voor een nieuw begrip werkt averechts. En dat is niet zo vreemd ook natuurlijk. Want getallen ZIJN abstracties en als je de verschillende aspecten daarvan in concretiseringen wilt gebruiken als introductie, dan barst het werkelijk van de verschillende contexten/schema’s die je daarvoor kunt gebruiken.
En die verschillende contexten hebben geen enkele overeenkomst, staan voor de leerlingen volslagen los van elkaar. Want de enige overeenkomst is gelegen in de abstractie van het getal. En juist die abstractie wordt gepoogd aan te leren.
Dat is dus een cirkelredenatie. En die kun je enkel doorbreken door “ergens” te starten zonder voorbereid te zijn op die start. Laat nu de allergemakkelijkste plaats om te starten precies het getal zelf zijn. Dáár kun je gemakkelijk betekenisloos mee exerceren. Die bewerkingen zijn relatief eenvoudig te onthouden en uit te voeren.
Doorbreek je de cirkelredenering op een andere plek, dus in een bepaalde concretisering van het getal, dan zijn de bewerkingen enkel binnen die concretisering mogelijk, zijn ze niet erg efficient en zijn ze niet overdraagbaar in andere concretiseringen (denk bv aan verdelen van pannenkoeken over kinderen als model voor delen, dat mis gaat bij delen door een breuk; daar heb je het model van hoe vaak past een volume in een ander volume nodig).
Kinderen gaan dan inderdaad “maar wat doen” in een zuivere rekencontext (waar ze zelf de concretisering bij moeten ebdenken om het sommetje “begripvol” op te kunnen lossen), terwijl ze in een niet- reken context het probleem zien als een van de vele puzzeltjes uit een reekst waaravn ze de samenhang niet snappen. En dus… “doen ze maar wat” ook daar.
Kortom: de begrip insteek werkt niet, en KAN niet werken.
Als ik eerst ga nadenken wat een gitaar nu eigenlijk IS, dan leer ik nooit spelen. Terwijl ik anderzijds er wel degelijk achter kan komen wat een gitaar is door er veelvuldig op (mee) te spelen. Krijg ik dan na een paar maanden plotseling een electrische in mn handen, dan wordt mn begrip voor wat een gitaar is direct uitgebreid en ontstaat een werkbaar beeld van wat je waarvoor gebruikt om welke muziek te maken.
De verwarring
wordt nog groter voor de basisschoolleerling wanneer ouders of grootouders gaan proberen hun kind te helpen bij het huiswerk. Zij praten bijvoorbeeld nog over de tafels die ze lang geleden geleerd hebben, en begrijpen niet waarom het tegenwoordig zo moeilijk wordt gemaakt. De verbijstering wordt compleet wanneer aan het eind van het huiswerkblad van bovenaf wordt medegedeeld dat men de op- of aftelsommen ook met de calculator mag oplossen.
Maar ouders MOGEN ook helemaal niet helpen!
Lange tijd is dit officieel beleid geweest bij veel basischolen: ouders: probeer uw kinderen bij rekenen ajb NIET te helpen, want we doen het tegenwoordig op een hele andere manier.
En dan moet je bedenken dat wiskunde hét ultieme voorbeeld is van een discipline die werkelijk over alle culturen hen gaat. Wiskunde is cultuur- en generatie-onafhankelijk.
Nou ja… behalve natuurlijk in de relatie tussen papa/mama en haar kind in NL. Dáár is er een kloof zo groot en diep als de Grand Canyon en lijkt de wiskunde aan de ene kant op geen enkele manier meer op de wiskunde aan de anere kant.
Iets zegt me dat er dan wat mis is 😉
cover up
Ik ken een onderwijzeres die lagere-school-kinderen bijles rekenen geeft volgens de ouderwetse methode. Vaak schieten de prestaties van de leerlingen daardoor vooruit. De onderwijzers van de school zijn echter niet blij. Als ouders ontdekken dat een nieuwe rekenmethode er niet toe leidt dat hun kinderen een ongeflatteerde voldoende halen hebben zij groot gelijk als zij hun kinderen (laten) helpen met de ouderwetse methode. Verder leiden adviezen van een school om kinderen niet buiten de school te helpen ook bij mij tot de verdenking dat er iets mis is en er een poging tot cover up gedaan wordt.
begrip…
Ik vraag me af of deze hoogleraar (dhr. Fred Goffree) zelf wel in staat is om de commutativiteit van de optelling voor natuurlijke getallen af te leiden uit de axioma’s van Peano. Als je dat kunt dan is er pas echt sprake van begrip…
begrijpelijk???
Ik begrijp niet wat “begrip” betekent.