Achteraf is oordelen altijd makkelijk. Maar toen ik vanmorgen aan de hand van een presentatie van Jan van de Craats mijn broer probeerde in te wijden in de geheimen van het realistisch rekenen, kon ik me toch moeilijk voorstellen dat de zogenaamd didactisch verantwoorde methode van het kolomsgewijs optellen ooit enige indruk op me had gemaakt.
Hoe is het mogelijk dat een dergelijk wangedrocht (zie de “gruwelvoorbeelden” in de genoemde presentatie) ooit is uitgegroeid tot dé geaccepteerde rekendidactiek?
Mijn eerste kennismaking met het IOWO was tijdens mijn studie, een 30 jaar geleden. Schoolwiskunde en zeker schoolrekenen was voor mij nooit ook maar enig probleem geweest. Ik had nooit zelf nagedacht waarom die wiskunde voor mij zo makkelijk was.
En dan blijkt tijdens een didactiekcollege dat je eigenlijk een redelijke afleiding moet opschrijven om zoiets simpels als “delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde” te kunnen begrijpen.
Sterker nog: je realiseert je dat een dergelijke wiskundige afleiding voor leerlingen op basisschool of VO helemaal niet is weggelegd.
Ik kwam tot de conclusie dat die kinderen dergelijke algoritmes helemaal niet KONDEN begrijpen. En dan is elke realistische context die dat begrijpen in principe mogelijk maakt natuurlijk een zegen voor het onderwijs.
Wiskunde stond voor mij gelijk aan begrijpen. Wiskunde doen zonder begrijpen leek een absolute tegenstelling. Vandaar dat ik contexten als het verdelen van liters limonade over glazen van zoveel deciliter een essentiele verbetering vond boven simpel het trucje aanleren. En dat gold eigenlijk voor elke reken/wiskunde bewerking; ook voor cijfermatig optellen, ook voor staartdelingen. Het realistisch rekenen maakte het mogelijk expliciet te begrijpen wat je deed met die breuken of dat cijferen op school. Voor mij was dat een reden om het RR te omarmen.
En eerlijk gezegd denk ik, achteraf, dat de mensen van het IOWO op hetzelfde spoor zaten: ze probeerden leerlingen het rekenen te laten begrijpen.
Maar in al mijn enthousiastme vergat ik dat ikzelf al die uitleg reuze interessant vond, maar dat dat niet betekende dat de mindere rekenaars dat ook zo vonden of dat ze dat zelfs maar konden begijpen.
Ook zag ik geen enkel nut voor het wel kunnen uitvoeren van rekenbewerkingen, maar niet begrijpen. Dergelijke vaardigheden leken me uitermate vluchtig en ik heb daar ooit nog een onderzoekje over gedaan tijdens mn studie. Dat je door rekenen te doen en in te slijpen een basis legt voor later begrip was me volledig onbekend (terwijl dat toch ook mijn manier was waarop ik het had geleerd).
Contexten
werken verwarrend. Door een een contextrijk verhaal worden veel (wiskundig) niet-essentiele associaties opgewekt. De abstractie naar de wiskundige achtergrond wordt daardoor bemoeilijkt.
De omgekeerde weg werkt beter. Leg eerst de wiskundige methodiek uit; oefen daarmee tot een bepaalde graad van vaardigheid; en versier daarna(!) je verhaal met voorbeelden.
Geheel mee eens
Mijn vraag was in deze post minder naar wat RR is, of zelfs wat beter is, ouderwets rekenen of RR. Ik denk daar al een tijdje een antwoord op te hebben.
De vraag was eerder: hoe kan het zijn dat een weg die nu zo evident fout blijkt en er vanuit mijn huidige ervaringen ook zo vreselijk fout uitziet, hoe kan het zijn dat die weg destijds toch gekozen is. Zeker ook door mezelf. “Hoe stom kon ik wezen (en waarom)?”
Nu ik dat geprobeerd heb te begrijpen, vind ik het bij nader inzien een heel klein beetje begrijpelijk dat ik zo stom kon wezen. En dat is dan maar weer mooi meegenomen.
Dat inzicht kan nu weer van pas komen bij nieuwe keuzes. En hopelijk ook bij anderen.
Vandaar ook het “mijmeringen” in de titel.
Persoonlijk ben ik wel benieuwd naar hoe anderen over dergelijke zaken denken. Ben je zelf van mening veranderd over (reken) onderwijs? Wat zijn de mechanismen, de gebeurtenissen waardoor je je laat leiden bij je keuzes? Het lijkt bijna iets als de biecht, of meer on-topic: reflecteren.
Trial and error
Welke aanpak je ook kiest bij het (wiskunde-) onderwijs, er zijn altijd leerlingen die het niet kunnen behappen. Als je dat met een andere methodiek meent te kunnen verhelpen moet je dat proberen.
Dat is naar mijn idee ook de motivatie achter veel onderwijsvernieuwlingen.
Maar…
Een verandering in methode/methodiek werkt positief voor sommige leerlingen en negatief voor andere leerlingen. Het romantische idee dat er een methode zou bestaan die alle leerlingen tot hun recht laat komen is niet bestand tegen de praktijk. En daarom moet je voortdurend heel heuristisch de vraag stellen “welke leerlingen worden er hoeveel beter/slechter tegen welke kosten?”. En die vraag kun je meestal niet vantevoren beantwoorden.
Dat betekent dat je in de alledaagse schoolpraktijk bent overgeleverd aan onderwijskundige profeten en hun discipelen. Je volgt hen omdat je in hun verkondigen gelooft of je doet mee omdat je onvoldoende tegenspel kunt bieden. En achteraf blijkt pas of het effect heeft.
Er is daarom grote kennis en wijsheid nodig bij beslissingen om het onderwijs op z’n kop te zetten met nieuwe vondsten. Vooral die wijsheid is onvoldoende aanwezig bij vernieuwlers en politici. Ze maken zich sterk voor hún troetelkindjes en onderschatten de haalbaarheid ervan en de mogelijke negatieve effecten.
Methodes moeten bewezen effect hebben
In de geneeskunde moet er voor elke behandeling en elk medicijn een bewezen (dus onderzocht) effect zijn. Tegenwoordig krijg je bijvoorbeeld bij holte-ontsteking of blaasontsteking vrijwel nooit meer antibiotica. Dit omdat bewezen is dat de ontsteking bijna net zo snel overgaat zonder. Toch zijn er individuele gevallen waarbij de antibiotica wél de beste geneeswijze is. De standaardbehandeling geeft aan: afwachten en uitzieken.
Zo zou het ook dienen te gaan met vakdidactiek. Je onderzoekt wat het beste voor de meeste mensen werkt. Dat is de standaard. Als blijkt dat het bij een enkel individu niet werkt kun je (als de tijd het toelaat) maatwerk gaan leveren.
Het probleem bij de onderwijskunde is dat het erop lijkt dat een gekozen didactiek nog steeds meer een kwestie van geloof, dan van kennis is.
Overigens ben ik wel van mening dat ‘de beste aanpak’ ook veel te maken heeft met de persoon van de docent. Als zij/hij gelooft dat zijn aanpak de beste is (zelfs als dat bewezen niet zo hoeft te zijn), dan kan dit – alleen al door de overtuiging van de docent in kwestie- toch beter werken dan de standaardaanpak.
Dat geldt trouwens ook bij artsen hoor. Zij kennen de standaard, maar volgen daarnaast ook hun eigen voorkeur en ervaring.
twee verschillen in de vergelijking arts-patient vs leraar-ll.
Je zegt terecht dat behandelingen in de geneeskunde beter onderzocht zijn dan de onderwijskundige/didactische modes.
Er is nog een verschil: de werking van een therapie is veel minder afhankelijk van de relatie dokter-patient dan bij de relatie docent-leerling. Of een behandeling aanslaat is bij artsen iha niet afhankelijk van de persoon van de arts. Bij docenten is het wel degelijk afhankelijk van de persoon van de docent en van de persoon van de leerling. Hoe een leerling leert is ontelbaar veel ingewikkelder dan hoe een hart klopt.
Anders dan bij artsen is er hier een heel belangrijke argument om in ieder geval de docent in een klas een redelijke vrijheid te geven voor de manier waarop hij zijn onderwijs inricht. De marges voor artesn om af te wijken van de (door de beroepsgroep!!!) vastgestelde therapieën is in mijn ogen terecht tamelijk beperkt. Dat is terecht juist omdat die therapieën pas worden toegelaten na langdurig onderzoek.
Wat flauw:
In vergelijking met artsen hebben wij als docenten dus even weinig invloed als zij op ons eigen handelen, maar als die arten een nieuwe pil voorschrijven, dan gaat er tenminste een weekje nascholing in een plezierig oord en op kosten van de pharmaceutische industratie aan vooraf. Wij moeten het doen met een vergaderdag vol flapovers en gele post-it plakkers.
De autonome maar verantwoordelijke leraar
Dit hebben we een tijdje geleden besproken in een draad over de merites van onderwijsonderzoek. Ik betoogde daar dat van onderwijsonderzoek niet dezelfde bewijskracht kan worden gevraagd als van natuurwetenschappelijk of medisch onderzoek, omdat a) verschillen tussen docenten meer gewicht in de schaal leggen en b) er grotere verschillen zijn in de manier waarop leerlingen leren dan in de manier waarop een medicijn uitwerkt op hun gestel. Nog afgezien van de interactie tussen a) en b) (namelijk leraar A brengt andere verschillen in leren teweeg in een klas dan leraar B).
Laatst heb ik in een college over ‘onderwijs ontwerpen’ ofwel effectief lesgeven drie extreme posities tegenover elkaar gezet: a) de wetenschap heeft het goede antwoord (zoals in de geneeskunde de Evidence Based Medicine, die jij beschrijft), b) de leraar heeft het goede antwoord (elke leraar weet intuïtief dan wel uit ervaring wat het beste werkt in zijn/haar klas met zijn/haar leerlingen) en c) het maakt allemaal niks uit hoe leraren lesgeven, er bestaat geen ‘beste manier’ (nihilisme, voortkomend uit kritiek op a) of op b)).
Ik meen dat deze drie standpunten in hun extremiteit tekortschieten. Want wetenschappelijke groepsgewijze effecten zeggen weinig over individuele gevallen, leraren blijken zich in de loop der tijd te kunnen verbetern qua effectiviteit, en docenten rapporteren wel degelijk betere resultaten met een andere aanpak.
Ik sta daarom op het standpunt dat de keuze van de didactiek (of het schoolboek) het primaat van de docent is – omdat het effect van deze keuze afhankelijk is van de docent zelf en van diens leerlingen. De wetenschap kan hier niet het laatste woord hebben; die claim kan zij niet waarmaken (zeg ik als wetenschapper). Daarom hecht ik ook zoveel waarde aan de opleiding en achtergrond van de deskundige, verantwoordlijke docent. We kunnen hem niet bombarderen tot uitvoerder van een schoolboek, omdat hij dat domweg niet *is*.
Niet helemaal autonoom
Net als Michel Couzijn verwerp ik de drie extreme posities. (wetenschap/leraar/nihilisme). Toch is mijn conclusie niet dat de docent het helemaal zelf moet bepalen. In laatste instantie wel, maar ik vind toch dat hij goed op de hoogte moet zijn van wetenschappelijke resultaten en zich moet kunnen verantwoorden als hij daarvan afwijkt.
Ik wil in ieder geval voorkomen dat een docent kiest voor sociaal-constructivisme omdat hij dat nou eenmaal het beste/leukste vindt. Daar moeten meer (betere) argumenten bij komen en hij/zij zal ook bereid moeten zijn de resultaten te evalueren en naast die van andere docenten te leggen.
Mee eens – maar moeilijk te realiseren
Ook op dit punt vinden wij elkaar, Hinke. Anders zou mijn standpunt maar weinig verschillen van extreme positie b).
Maar hoe kan de kwaliteit van de leraar t.a.v. didactiek worden nagegaan? Wie is daartoe bekwaam en bevoegd?
Je kunt denken aan de schoolleiding in diens rol van werkgever. Maar die kan hooguit wat oppervlakkige kenmerken vaststellen (‘uren gevolgde nascholing’) en heeft onvoldoende verstand van beta-didactiek of mvt-didactiek om alle collega’s inhoudelijk de maat te nemen. Als iik voor de rector mijn gelezen literatuur moet verantwoorden in portfolio-vorm, is dat weer tijdrovend en fraudegevoelig. Het voorstel om ‘mijn resultaten naast die van andere docenten te leggen’ heeft alleen zin bij a) externe toetsing en b) gelijke klassen en omstandigheden. Die voorwaarden zijn zelden vervuld.
Een alternatief is een vakvereniging of vakgebonden registratie met expliciete normen voor wat een docent moet bijhouden om geregistreerd te blijven. Zoals in de medische sector, maar daar is het werk minder persoonsgebonden en meer geprotocolleerd. Een interesante optie misschien, maar ik zie nog honderd beren op de weg voordat vakverenigingen zover zijn en dit traject als iets nuttigs aan politiek, scholen en leraren kan worden verkocht. Veel collega’s zouden het als ballast zien.
Het denken over iets dergelijks ligt op de weg van BON. Beter onderwijs immers veronderstelt betere, althans goede docenten. Zou het een BON-standpunt zijn dat ook matige docenten autonoom moeten kunnen beslissen over hun werkwijze? Moet ook een docent “zijn vak terugkrijgen” als hij dat vak nimmer heeft bezeten, of zelf is kwijtgeraakt (bij on- en onderbevoegden)? De BON-doelstellingen spreken slechts over ‘gekwalificeerde’ en ‘vakkundige’ docenten, niet over ‘bevoegde’ of geregistreerde docenten die vakinhoudelijk en didactisch bijblijven en zich verantwoorden. Volgens de BON-doelstellingen komt elke ‘leraar’ het recht toe te beslissen over de inrichting van het onderwijs.
Historie
Ik heb nog ouderwets rekenen gehad, maar de middelbare school wiskunde was grotendeels realistisch (maar nog zonder formulekaart en grafische rekenmachine). In rekenen was ik goed. Van wiskunde begreep ik tot de 5e klas helemaal niets (eind 4e klas had ik er een 6 voor). Ik koos in de 5e zowel wiskunde A als wiskunde B met het oog te kijken welke het makkelijkste was en de andere te laten vallen (de mythe zegt dat wiskunde A makkelijker is, maar mijn broer waarschuwde me dat wiskunde A vooral ‘vage verhaaltjes’ waren en wiskunde B ‘meer rekenwerk’ was). Dus had ik 10 uur wiskunde per week. Dat (en een nieuwe wiskundeleraar) leek te helpen en uiteindelijk heb ik examen gedaan in zowel wiskunde A als wiskunde B. En inmiddels ben ik wiskundige…
Ik denk dat ik wiskunde A goed kon omdat ik het rekenwerk bij wiskunde B leerde (dat toen nog vrij ‘ouderwets’ was) en ik het proberen de gedachten te lezen van de opsteller van de vragen interessant vond. Dat ik goed ben in tekstanalyse zal ook geholpen hebben. Ik vond de vragen op (oude) examens overigens een stuk interessanter dan die uit het boek (moderne wiskunde).
Anecdotisch bewijs voor in ieder geval een flinke dosis ‘kale wiskunde’ naast de ‘verhaaltjeswiskunde’.
Een 6 is toch voldoende?
Mark79 schreef: “Van wiskunde begreep ik tot de 5e klas helemaal niets (eind 4e klas had ik er een 6 voor)”.
Hoe verklaar je dat jij er ‘helemaal niets van begreep’ terwijl je docent meede dat jouw niveau voldoende was?
Een zes is voldoende
Twee mogelijke antwoorden:
Antwoord 1:
In de praktijk is er meestal een relatieve standaard: als je maar (zeg) 20% van je medeleerlingen achter je laat dan haal je wel een zes. Mijn geluk: er waren in 4VWO in mijn jaar een heleboel leerlingen die niets van wiskunde begrepen.
Antwoord 2:
Ondanks dat ik er helemaal niets van begreep leerde ik blijkbaar toch genoeg volgens mijn leraar (en gezien de prestaties daarna had hij misschien wel gelijk). Anecdotisch bewijs voor: ‘begrijpen is niet strikt noodzakelijk, kunnen wel’?
Onderzoek
Hendrikush schreef:
De omgekeerde weg werkt beter. Leg eerst de wiskundige methodiek uit; oefen daarmee tot een bepaalde graad van vaardigheid; en versier daarna(!) je verhaal met voorbeelden.
Jij zegt dat eerst de wiskunde en dan de voorbeelden beter werkt, de mensen van het FI beweren het omgekeerde. Wat beter is valt natuurlijk te onderzoeken: neem een grote groep leerlingen, verdeel ze (liefst gerandomiseerd) over 2 groepen, geef de ene groep op de ene manier les en de andere groep op de andere manier en test de resultaten. Is voor zover ik weet nooit gedaan. Was voor de mensen van het FI ook niet nodig: zij geloven in Realistisch Rekenen en ze hadden de macht om het door te drukken. Ze hoefden zichzelf of anderen dus niet met onderzoek te overtuigen.
Blijft toch in de praktijk erg lastig
Om een dergelijk onderzoek goed uit te voeren, zijn vele jaren nodig.
Ook speelde verschillende doelen door de discussie (en dus door een eventueel onderzoek) heen. Wat wil je dat de kinderen leren? Zoals je weet is het rekendoel stiekem veranderd: van de rekenvaardigheden kunnen beheersen tot veel vagere aspecten als gecijferdheid.
Je krijgt een soort doelenexplosie:
de concrete doelen: op papier een berekening kunnen maken van iets als 2745 gedeeld door 18, worden naar de achtergrond gedrukt “ja, maar eigenlijk gaat het daar niet om” Eigenlijk gaat het om een veel breder endieper begrip van kwantitatieve aspecten van de maatschappij.
Daar is VEEL te makkelijk overheen gestapt. Hetzelfde gebeurde met taal: dat spellen werd niet zo belangrijk, het gaat om communiceren.
En precies hetzelfde zie je nu ook met de competentie beschrijvingen: het tot een (lekke) hetelucht ballon abstraheren van leerdoelen die op geen enkele manier te toetsen zijn en waaraan ook geen enkele vaardigheidsnorm gehangen kan worden.
Wat je WEL kunt, is achteraf, zoveel jaren later, kijken wat er van kinderen terecht is gekomen. Zijn ze zoveel vaardiger in de kwantitatieve aspecten van de wereld dan de kinderen die de klassieke opleiding hebben genoten. Dát lijkt me een uitermate zinnige taak voor onderwijs onderzoekers.
Tenslotte: ik denk dat het FI weinig echt heeft doorgedrukt. Ik bedoel: doorgedrukt TEGEN de uitdrukkelijke wens van leraren e.a. in. Ik denk dat velen, net als ikzelf destijds, die RR richting als uitermate aantrekkelijk ervoeren. Men wilde kinderen het rekenen laten BEGRIJPEN, iets dat voor de meeste kinderen daarvoor niet was weggelegd. Er was dus een wiskundige en wiskundig/didactische drijfveer voor de verandering. De doelen en middelen waren integer. Natuurlijk waren er vanaf het begin tegenstanders, maar dat was een klein groepje.
Wel moet voor velen al een hele tijd duidelijk zijn dat het averechts heeft gwerkt. En dan staat er niemand op om dat ook uit te spreken. Dan komen er andere aspecten: loyaliteit (aan anderen, maar ook aan jezelf, wat je zelf meende), je baan.
Kortom: het blijven mijmeringen, maar ik begrijp wel waarom ik die FI jongens destijds als geweldige collega’s, aardige mensen, creatieve en kritische geesten heb ervaren. Waarom ik hun ideeën aantrekkelijk en inspirerend vond (oké ik was nog erg jong). En dat ik me de laatste 10 jaar steeds duidelijker ben gaan afkeren van die “leer”.
Laat iemand een stevig onderzoek doen. Buitengewoon leerzaam!
Lastig
Het verschuiven van de doelen is inderdaad een groot probleem. Alles wat met RR niet onderwezen kan worden wordt gewoon de CITO toets uit gedonderd. En dat laatste bedoel ik met ‘doordrukken’: het FI heeft het voor elkaar gekregen dat de doelen aangepast zijn aan de didactiek in plaats van andersom. Oorspronkelijk was het bijvoorbeeld de bedoeling van RR dat leerlingen uiteindelijk (via contexten) breuken op een abstract wijze leren begrijpen. Dat lukte niet via RR en (dus) werd alles wat aan breuken met abstractie te maken heeft het programma uitgedonderd als zijnde ‘niet belangrijk’.
Of realistisch of traditioneel onderwijs beter is voor kwantitatieve aspecten van de wereld lijkt ook mij een zinnige taak voor onderwijsonderzoekers. Voor wat betreft kwantitatieve vervolgopleidingen weten we het antwoord wel. De meer ‘dagelijkse’ dingen heb ik minder zicht op, maar ook dat lijkt niet beter geworden om het zacht uit te drukken. Harde data zou welkom zijn.
zowel kaal rekenen als dagelijkse dingen zijn treurig
Inderdaad: de wiskunde/reken vaardigheid die nodig is voor kwaltitatieve vervolgopleidingen is duidelijk en hard achteruitgegaan.
Maar de dagelijkse dingen zijn zeker zo hard gekelderd. Het is werkelijk aan alle kanten droefenis voor wat betreft inzicht en gebruik van rekenen/wiskunde.
Desgevraagd hebben leerlingen nog steeds geen flauw benul hoe groot de omtrek van de aarde is, hoeveel basisscholen er eigenlijk in Nederland zouden zijn, hoe groot het volume (in liters) is van een klaslokaal of wat voor zaken dan ook die je juist met het RR zou aanleren. Ze hebben ook geen idee hoe je een dergelijke vraag zou kunnen proberen te beantwoorden.