Ik zal de komende tijd proberen wat achtergronden en geschiedenis van het realistisch rekenen te vertellen.
Directe aanleiding is een verzoek van Mark Peletier in een post elders op het forum.
De vorm van deze berichten zal wisselen. De inhoud is ook geen volledig gestructureerd verhaal. Als ik dat wel zou proberen dan ben ik een week of langer verder voordat er wat zinnigs staat. Vandaar de keuze voor een adhoc aanpak, met wellicht aan het einde een samenvoeging of overzicht waardoor de structuur duidelijker wordt.
Vandaag deel 1, aan de hand van een artikel uit het boekje “de achterkant van de Möbiusband”, dat in 1980 is verschenen als afscheidsdocument van het IOWO: het instituut voor de ontwikkeling van het wiskunde onderwijs.
In de politieke besluitvorming werd het IOWO opgeheven en werd een deel van de taken ondergebracht bij het Cito. Het restant van dat IOWO is verder gegaan onder de naam Vakgroep OW&OC (Ontwikkeling van het wiskunde onderwijs en Onderwijs Computercentrum). Het “onderwijs computercentrum” was een nieuw onderdeel. Doel was om het gebruik van computers in het onderwijs te onderzoeken, en te faciliteren. Sommigen herinneren zich wellicht nog de computertaal Ecol (educational computer language) en later Ecole (ecol extended) en de bijbehorende schrapkaarten die in Utrecht werden verwerkt.
Als bijlage het artikel “vermenigvuldigen met een afhaker” van Hans ter Heege. Ik heb dat gekozen omdat het voorbeeldig is voor de manier van werken (participerend diepte onderzoek) van IOWO/OW&OC) en omdat veel kenmerken en gedachten hierin worden geëxpliciteerd aan de hand van een concreet voorbeeld.
Het is de beschrijving van een serie onderwijs leergesprekken van een (remedial) leraar met een leerling die bij rekenen flink achter loopt. Remedial Teaching dus.
Wat mij nu, 27 jaar na dato, opvalt is de impliciete aanname dat het begrijpen van de leerling voor wat hij doet uitgangspunt en voorwaarde is (zou zijn) voor goed kunnen rekenen. Ook wordt nergens gerelativeerd of dat rekenen wel noodzakelijk zou zijn. Die argumenten werden pas (veel) later genoemd (die rekenmachine neemt het cijferen over)
Een ander punt dat interessant is, is dat er geprobeerd wordt om modellen te vinden die de leerling helpen bij zijn rekenwerk. Die modellen zijn geen toepassing van het rekenen, maar zijn er direct mee geintegreerd. Die modellen worden naarmate de uitleg vordert ook abstracter. Waar bv eerst een rechthoek met ruitjes wordt getekend, worden die ruitjes later bewust weggelaten en vervangen door getallen die lengte en breedte aangeven. Dat is een verdergaande abstractie tov het tegeltjesmodel.
Dit onderdeel van de didactische aanpak noemde men “progressieve schematisering”. Progressief natuurlijk in de betekenis van progressie: het gaat steeds verder. Steeds meer schema, steeds minder figuratief.
Die lijn is een belangrijk kenmerk voor de didactiek van het RR. Het uitleggen van (kennis laten maken met) een nieuw begrip begint concreet (tegeltjes) en wordt steeds verder geabstraheerd (getallen). De keuze voor de concrete voorbeelden en de gebruikte schema’s is erg belangrijk. Je wilt schema’s die zo lang mogelijk meegaan, schema’s die op natuurlijke wijze kunnen worden uitgebreid zodat ze ook passen bij complexere wiskunde. Tegelijkertijd moeten de schema’s passen bij de “belevingswereld van het kind” bij een “werkelijkheid” die het kind zich kan voorstellen.
Verder merk ik dat, hoewel mijn mening sterk is veranderd en ik nu denk dat RR een vergissing was/is, ik waardering heb voor de betrokken manier waarop de onderzoeker/leraar hier te werk gaat. Die berokkenheid is hartverwarmend. De observaties en analyses zijn integer en ook consistent.
zwakke leerling
Extreem interessant, 1945! Ik kijk al uit naar de volgende afleveringen.
Even een opmerking alvast: ik realiseer me bij het lezen van dit stuk van HtH dat ik vaak RR heb horen onderbouwen aan de hand van de problemen van de moeilijk rekenende leerling. Laat ik hier een provocerende vraag stellen: kan het zijn dat we met RR ons zo sterk richten op een kleine groep onderaan de capaciteitenladder dat we een veel grotere groep over het hoofd zien, en hun tegenhouden door gebrek aan routine en te lang aangehouden nadruk op begrijpen?
kinderen onder aan de capaciteiten ladder
Moeilijke vraag. Ik denk (veronderstel) dat RR inderdaad is voortgekomen uit rekenproblemen bij kinderen. Het zal niet zijn voortgekomen uit de wens om de goed rekenende kinderen beter te bedienen. Ook denk ik dat het, in ieder geval in eerste instantie, niet bedoeld is om de inhoud van het rekenonderwijs beter te laten aansluiten bij de maatschappelijke wensen. Het was, denk ik, enkel als een didactische oplossing bedoeld, een oplossing voor voor het probleem an de moeizame rekenaars.
Het wrange is echter dat juist de zwakke rekenaars met RR méér problemen hebben. Ik ken een “juf” die juist voor de zwakke rekenaars “terugvalt” op de ouderwetse methoden (en zich daarover moet verdedigen bij collegae en deskundigen).
In het voorbeeld van Hans ter Heege is de leerling ook een zwakke rekenaar. ter Heege veronderstelt dat hij is afgehaakt en veronderstelt dat men allerlei pogingen in het werk heeft gesteld om de vaardigheden op de mechanistische manier in te slijpen. Uit het artikel haal ik niet dat hij dat zeker weet. Maar zelfs als dat wel het geval is, dan hoeven die mechanistische pogingen nog niet goed uitgevoerd te zijn. Misschien is er in de uitvoering van die pogingen een en ander mis gegaan. Misschien had die leerling wel een slechte relatie met de reguliere remedial teacher of de reguliere juf. Misschien vindt die leerling de aandacht van de meneer van de universiteit wel erg leuk en reageert hij daarom relatief goed op de lessen van HtH. En als ik de opmerkingen van ter Heege lees, dan is hij inderdaad een leerkracht die vertrouwen wekt bij kinderen en ze erg serieus neemt. Dat kind wordt ook niet als zwak behandeld. Als kind is dat geweldig natuurlijk.
Maar het verhaal dat ter Heege aan de leerling probeert uit te leggen is relatief ingewikkeld. Het kind moet begrijpen dat oppervlakte iets met vermenigvuldigen te maken heeft. De indeling van de rechthoeken in stukken van 10 plus de rest moet volledig helder zijn, voor het berekenen van de deeloppervlaktes en dus van de deelvermenigvuldigingen moet nog gewoon vermenigvuldigd worden.
Het lijkt mij onwaarschijnlijk dat een kind dit relatief ingewikkelde begrip beter weet te vatten dan de eenvoudige herhaalde handelingen die hij moet uitvoeren bij het mechanistisch maken van die sommen. Hoe kan het zijn dat het inslijpen daarvan NIET lukt, terwijl deze begrips aanpak wel lukt?
Wat doet die leerling trouwens een half jaar later? Maakt hij dan nog steeds gebruik van de oppervlakte methode? Voert hij die dan wel goed uit, of verwart hij daarin dan ook aspecten met andere inzichtelijke methoden bij andere soorten sommen? Of is de oppervlakte methode geëvolueerd naar het handige algoritme dat in deze fase van de geschiedenis van het RR onderwijs nog steeds doel lijkt te zijn.
Kortom: ik heb tientallen vragen bij dit mooi uitgeschreven stukje les.
En ik heb ervaren dat dergelijke vragen aan pabo studenten niet besteed waren. De gemiddelde pabo student is niet kritisch genoeg, niet analytisch genoeg om zinvol over dit artikel te discussieren. Hiermee heb je meteen een andere reden waarom het RR faalt. Als het al zo is dat de Hans Freudenthals (bij zijn kleinkinderen) en de Hans ter Heegens (bij de remedial kinderen) hiermee wel resultaat bereiken, dan is dat geen enkele garantie dat een gemiddelde juf hetzelfde ook lukt in een klas met 30 kinderen (inclusief een paar WSNS-ertjes Leo).
Mooi vak: nadenken onder onderwijs.
Heb ik nu je vraag beantwoord? Uiteindelijk denk ik dat het RR vooral leuk is voor degenen die het bedenken. Echt leuk, niet enkel pegels- en macht- leuk. Maar dat het zowel voor zwakke, als voor slimme kinderen faalt.
Vergeef me
Vergeef me bij voorbaat als dit een domme opmerking is: Ik vond het rekenen vroeger altijd enorm saai. Ik had het idee dat ik bladzijden lang dezelfde bewerking moest doen. Ik kan me toch voorstellen dat een context (wanneer pas je dit nou toe?) me meer had gemotiveerd en daardoor ook actiever had gehouden.
Kortom: misschien is RR niet geschikt om te leren rekenen, maar wel om de beginnende rekenaar te motiveren.
Ik heb natuurlijk nog wel zeer ouderwets rekenen en wiskunde gehad. Misschien komt hier trouwens ook het verschil tussen meisjes en jongens naar voren?
wiskunde wordt zoveel makkelijker door wiskunde te gebruiken
Kom nou Hinke, je waagt het openlijk te twijfelen aan mijn altijd geniale inzicht en vanzelfsprekend volslagen gelijk. En in dezelfde post vraag je om vergeving. Sic!
Maar zonder gekheid: je brengt natuurlijk een belangrijk punt in. En je kunt ook gelijk hebben met een jongens/meisjes verschil bij de motivatie voor de ene danwel de andere vorm van rekenonderwijs.
Dat er een motivatieprobleem kan zijn bij de ouderwetse rijtjes is evident. Ik denk alleen dat het RR dat probleem niet oplost. Ben jij gemotiveerd door het volgende probleempje:
Op de ouderavond verwacht de school 78 ouders, die allemaal één kopje koffie willen drinken.
Uit één thermoskan kunnen 8 kopjes koffie worden geschonken. Hoeveel thermoskannen koffie moeten er klaar staan bij de ouderavond?”
ALs kind zou ik bijna moordneigingen krijgen van dergelijke “contexten”. De quasi nauwkeurigheid is verregaande kul. En als je het als deel van het leerproces ziet dat de kinderen zich moeten afvragen of de vraagstelling hier wel reëel is, dan heb ik dergelijke vertroebelingen liever niet bij de eerste uitleg over delen als herhaald aftrekken.
De contexten bij het RR zijn dan ook uitdrukkelijk niet bedoeld als toepassingen, maar als een wereld die in zekere zin equivalent in met de wereld van de sommetjes. Elk probleem binnen de aangegeven context kan vertaald worden in een sommetje, en elk sommetje kan geconcretiseerd worden in een handeling binnen die context. Zo ontstaat een over en weer switchen tussen wiskunde en de wereld van de context met als doel dat kinderen niet betekenisloos sommetjes maken en in de contextwereld ook kunnen controleren of hun sommetje juist is uitgerekend.
Mijn punt is dat die contexten irreeel zijn, afleiden van het sommetje, de zaak vertroebelen, veel tijd innemen, het probleem laten zien als een puzzeltje en daardoor ook minder aandacht geven aan inslijpen van een vaste efficiente en effectieve methode die ook nog eens gemakkelijk veralgemeniseerd kan worden bij de latere wiskudige problemen.
Alle benodigde schema’s zijn binnen het rekenen/wiskunde te vinden. En al die schema’s zijn optimaal in efficientie, maar ook in uitbreidbaarheid.
Door wiskunde te gebruiken wordt die wiskunde zoveel makkelijker dan door kannen koffie te gebruiken.
Tip: 10 kannen koffie
dan heb je zeker genoeg.
Mijn rekenvaardigheden heb ik het meest moeten oefenen op zomerkampen: hoeveel zuurkool heb je nodig voor 60 mensen als je normaliter voor 4 personen 1 pak (van 500 gram) gebruikt? Kun je uit één pak yoghurt 4 of 5 toetjes bieden? Hoeveel pakken gebruik je ongeveer voor 60 mensen? (in het geval van 4 toetjes uit één pak koop je 15 pakken, in het geval van 5 uit een pak heb je maar 12 pakken nodig. Scheelt een hoop!)
Hoe verdeel je de kosten over de kampdeelnemers waarvan sommigen 5 dagen, anderen 4 en anderen maar 1 dag zijn geweest. Hoe trek je daar de inkopen van af die sommige deelnemers ten behoeve van het kamp al gedaan hebben.
Kijk, dán is rekenen (en rekenvaardigheid) handig.
Transfer
En de grote vraag is dan: kon jij die zomerkampwiskunde met als achtergrond het saaie, mechanistische rekenonderwijs dat je gehad hebt?
Tegenwoordig wordt er zomerkampwiskunde onderwezen op scholen. Het is duidelijk dat dit geen goede voorbereiding is op wiskunde in het hoger onderwijs.
Wat is dan wijsheid….
Zeker wel
Al die zomerkamprekenproblemen, die ik graag zo eerlijk mogelijk wilde oplossen, verhoogden mijn motivatie om het goed uit te rekenen. De eerste paar keren was dat puzzelen en nog eens puzzelen. Later ging het steeds sneller. Toch heb ik mijn vaardigheid dus in deze realistische situatie geleerd.
@Hinke
Foute redenering. Doordat je de vier hoofdbewerkingen reeds geleerd had was het mogelijk om te puzzelen. Je had dus de rekenvaardigheid al geleerd. Door de zomerkamprekenproblemen heb je alleen maar de vaardigheid ingeoefend. En waarschijnlijk niet eens de vaardigheid van de vier hoofdbewerkingen maar de heuristische probleem oplossende vaardigheid. Die trouwens op zichzelf weer onmogelijk is zonder het reeds kunnen uitvoeren van de vier hoofdbewerkingen.
Die saaie rekenboekjes
kan ik me ook herinneren. Bij mij kwam dit hard aan omdat ik vanuit een Montessori kleuterschool overstapte naar regulier onderwijs. Opeens geen staafjes meer met gouden kralen of doosjes met gekleurde kubussen die je in elkaar moest passen! Wat een armoe was dat. Want het Montessorimateriaal voor de onderbouw biedt ook een vorm van realistisch rekenen waarbij het realistisch karakter niet zit in contexten, maar in het tastbare en telbare van concrete materialen. Het probleem met het rekenmateriaal van Montessori is echter dat hiermee in de middenbouw veel te grote stappen worden gezet, waardoor er weer andere materialen naast moeten staan. Ik vermoed overigens dat er bijna geen Montessorischolen meer zijn die niet door de inspectie zijn gedwongen om tot realistisch rekenen over te gaan.
Montessori
Ik heb jaren geleden een ICT project gedaan voor/met de montessori vereniging.
Uit die tijd heb ik een grote waardering overgehouden voor de erg doordachte rekendidactiek en -materialen van de montessorianen. Elk detail was doordacht en elke Montessori leerkracht was zeer op de hoogte van de ins en outs van die didactiek. Kortom zeer getructureerd en solide onderwijs.
Toen speelde ook de discussie over RR en de montessori didactiek. Ik herinner me nog een discussie over de torenspits als RR voorbeeld van een kegel. De montessorianen vonden dat absolute onzin. Een torenspits leek van geen kanten op een zuivere kegel (die in de wiskundige betekenis van het begrip ook nog eens twee “takken” heeft.
De kraaltjes en staafjes die je noemt zijn zijn mi juist geen voorbeelden van realistische materialen. In zeker zin heeft men bedoeld om juist zo zuiver mogelijke materialen te kiezen voor het concretiseren van wiskundige begrippen. Dat gebeurt bij het RR veel minder.
Klopt: het Montessosrimateriaal is concreet
en abstract tegelijk; de tastbaarheid is echter wel heel functioneel. Ik heb al eens eerder voorbeelden gegeven uit Getal en Ruimte van zogenaamd realistische contexten die er met de haren bijgesleept waren.
Wet van behoud van ellende?
De aandacht die je besteedt aan zwakke leerlingen gaat ten koste van de aandacht die je aan goede leerlingen kunt besteden.
Leve de middenmoter
En vice versa. Volgens mij verdienen alle leerlingen precies even veel aandacht. Dat is trouwens in de praktijk het moeilijkst te realiseren, omdat je dan geen van de 30 leerlingen moet voortrekken.
Maar waarom zou een middenmoter minder aandacht verdienen dan een zwakke of goede leerling? Elke leerling zit er om meer te leren dan-ie al wist of kon, ongeacht de capaciteiten waarmee hij je klas kwam binnenwandelen. Elke leerling betaalt ook hetzelfde voor het genoten onderwijs, en de school krijgt voor elke leerling een even hoge vergoeding.
Het wordt hoog tijd voor een belangenvereniging van ouders met middelmatige kinderen. Voor je het weet, lopen de ‘zielige’ zwakke leerlingen en de ‘mondige’ sterke leerlingen (althans, hun ouders) er met alle individuele aandacht vandoor.
Doen!
Vanaf nu plaatsen we alle leerlingen in homogene(?) klassen
Mijn duit
Realistisch reken- en wiskundeonderwijs is een interessant idee. De grote vraag is natuurlijk of je het goed uitgevoerd krijgt. Het vinden van de juiste modellen om de abstracte wiskunde aan op te hangen is extreem moeilijk. Ook vereist het ‘guided reinvention’ principe een heleboel van de onderwijzer.
Het Freudenthal Instituut en zijn voorlopers zijn hier nu zo een 35 jaar mee bezig. Vrijwel alle lerarenopleidingen en PABOs, CITO, SLO etcetera zijn het FI gevolgd. Er is een aanzienlijke hoeveeldheid tijd, geld en mankracht in gestopt. Gezien bijvoorbeeld de resultaten van PPON (het rekenniveau op de basisschool is dramatisch slecht) en de gigantische aansluitingsproblemen VWO-WO (algebraische kennis is vrijwel nonexistent) moeten we concluderen dat het project mislukt is.
Dit kan twee oorzaken hebben:
1. Het is gewoon niet mogelijk.
2. De mensen die de ontwikkeling van RR gedaan hebben waren niet goed genoeg.
Ik denk dat het voornamelijk (1) is. De eerste generatie ‘realisten’ (Ter Heege, Treffers, Streefland etcetera) die het basisonderwijs onder handen namen waren waarschijnlijk zo ongeveer het beste waarop je kon hopen voor zo een project.
Overigens: het oorspronkelijke realistisch reken- en wiskundeonderwijs lijkt inmiddels op het FI grotendeels plaats gemaakt te hebben voor constructivisme. Er zijn weliswaar duidelijke raakvlakken tussen de twee, maar het oorspronkelijke realistisch reken- en wiskundeonderwijs is verrweg superieur aan het contructivisme zoals dat in onderwijskundeland opgeld doet.
Zwakke fundamenten
Als je de tafels van vermenigvuldiging niet hebt ‘ingeslepen’ door veelvuldige oefening blijken de vaardigheden die daarop gebouwd worden (uiteraard) op los zand te berusten. Het is ontroerend om te lezen hoe HtH bij deze leerling erin slaagt om hem vooruit te helpen met het vermenigvuldigen. Ik kan me het succesgevoel van de leerling goed voorstellen. Toch is er vanaf de eerste klas iets misgegaan dat tot in de vijfde klas doorziekt. Hoe is het mogelijk dat deze jongen de tafels niet voldoende onder de knie heeft? Is dat geen verwijt aan alle onderwijzers uit de voorgaande klassen? Is er voldoende aandacht aan deze basisvaardigheid besteedt? Is er voldoende mee geoefend, eventueel remediërend?
wat gaat HtH doen?
En nu HtH heeft gezien dat deze leerling de tafels nog niet beheerst, gaat hij ervoor zorgen dat deze leerling ze leert? Of gaat hij door met de hoog-niveaudiscussie, in de ijdele hoop dat die tafels misschien als vanzelf het hoofd in vliegen …
Hoeken en graden; de wereld op z’n kop
Ik volg de wiskunde-discussie een beetje vanaf de zijlijn, maar gisteren gebeurde er toevallig iets bij mij op school wat deze discussie direct raakte.
De situatie: in mijn AK-lessen leg ik volgens de gebruikte methode in klas 1 uit hoe het in grote lijnen met het gradennet van de aardbol zit. Stom genoeg zit dat helemaal aan het begin van het jaar, als de leerlingen bij wiskunde nog niets over graden hebben geleerd. Op zich is daar natuurlijk wel uit te komen door dit zelf uit te leggen, maar de manier die ik daarbij dus gebruik is wat dus kennelijk abstract heet, namelijk onder meer door het tekenen van verschillende hoeken op het bord. Kennelijk heb ik het toch niet goed uitgelegd en met ze geoefend, want bij de repetitievraag hierover gingen mijn leerlingen massaal het schip in; laat ik ze natuurlijk geen slachtoffer van worden en ga ik de volgende keer beter doen.
Tot mijn verbazing hoorde ik nu van de wiskundedocenten dat de leerlingen bij wiskunde in klas 1 het onderwerp graden leren door, ja hoor: het gradennet van de aardbol te behandelen. Zo werkt dat dus: ik moet een stukje eenvoudige maar toch abstracte wiskunde gaan geven om iets over de echte wereld uit te leggen, en bij wiskunde zitten ze kennelijk de aardbol te gebruiken om iets abstracts uit te leggen. Dat lijkt me allemaal niet handig, maar het begint nu wat beter tot me door te dringen hoe het zit. Het is de wereld op z’n kop.
Een ander voorval: een docent wiskunde leest een komisch antwoord van een wiskunde-proefwerk op; iets over het toedienen van een bepaalde hoeveelheid stof met een injectienaald; een context, begrijp ik dus. De terloopse reactie van de aan tafel zittende docente Frans, een fantástische docente overigens: “Maar leidt dat nou allemaal niet erg af van wiskunde?”
Maar Em70,
Hoe kunnen de leerlingen nou weten dat de graden van wiskunde dezelfde zijn als de graden van aardrijkskunde? Is dat niet teveel gevraagd van hun abstractievermogen?
Ja Hendrikush
inderdaad véél te veel gevraagd. En dan ook nog die graden Celsius erbij binnenkort; snappen ze het helemáál niet meer.
Em70, eerstegraads docent
die werkelijkheid leidt inderdaad maar af
Ik heb begrepen dat landmeters (en dat heeft toch alles met de aarde te maken) werken met 400 graden in plaats van 360.
Verder zijn de NB en WL graden op de aardbol natuurlijk best een ietsie pietsie ingewikkeld. Je ziet de ene soort als mandarijnen partjes op de globe en de andere soort als een in nette plakken gesneden gehaktbal (die je overigens tot 85 graden moet verwarmen bij het bereiden).
Daarnaast heb je natuurlijk ook nog de graden in de bolmeetkunde: ik ga 10 km zuid, dan met een hoek van 90 graden linksom 10 km oost en dat weer 90 graden linksom 10 km lang en ik ben weer waar ik was, rara waar ben ik , en blijkt de korste afstand tussen twee punten ook helemaal geen rechte lijn meer te zijn als je op 10km hoogte op je beeldschermpje de afgelegde weg van het vliegtuig volgt).
En dat allemaal terwijl iets simpels als hoogte (meters toch, of kilometers) bij het vraagstuk: “hoe hoog staat de zon om 12 uur smiddags” plotseling enkel zinvol te beantwoorden te zijn als we hoogte nu in graden gaan meten.
En dan laat ik maar in het midden wat de problemen zijn als je die bolle aarde probeert af te beelden op een platte kaart.
Weg met al die werkelijkheid!
En Kelvin zonder graden.
En laten we maar zwijgen over radialen.
graden behandelen naar het voorbeeld van de wereldbol?
In mijn eerdere reactie op jouw post hier Em70, heb ik bovenal een trits van gecompliceerdheid opgenoemd die het werkelijke begrip “graden” in de werkelijke wereld met zich meebrengt.
Maar een deel van die ingewikkeldheid kun je als docent natuurlijk voorkomen: je HOEFT niet te zeggen dat landmeters het doen met 400 graden, je HOEFT niet ingewikkeld over bolmeetkunde te doen. Je kunt dat ook onbesproken laten waardoor de gekozen context niet (nodeloos) wordt gecompliceerd. Al roept elke context complicaties op, maar dat terzijde.
Ik neem aan dat de collega’s wiskunde bij jou op school het niet ingewikkelder willen maken dan noodzakelijk. Maar ik ben eerlijk gezegd verbijsterd over de keuze van hun context bij het aanleren van het begrip graden. De NL/WB enzo in termen van graden is alleen maar te begrijpen als je naar doorsnedes van de 3D aardbol gaat kijken. Dus de projectie kiest van die breedtegraden en meridianen op het evenaarsvlak, en op een vlak loodrecht daarop, waar de noord-zuid as in ligt. Kortom: je verduideljkt een 2 dimensionaal begrip door er in 3 dimensies over te gaan praten. Flatland (wel leuk) is daar niks bij vergeleken.
Ik kan er ECHT niet bij dat dat voor kinderen die het begrip graden moeten leren ook maar enige duidelijkheid geeft.
Ik ben buitengewoon benieuwd wat de overwegingen van die collegae zijn om toch deze ingang te kiezen. En als het de ingang van de methode is, dan wil ik wel eens weten wat hun mening daar over is.
Ik begrijp dat het tricky is om collega’s daarnaar te vragen, maar misschien kun je het inkleden dat je benieuwd bent omdat je wilt aansluiten bij hun ingang etc. Daar kunnen ze toch geen bezwaar tegen hebben.
Historisch: Bol vs plat vlak
Historisch is die bol toch ook merkwaardig:
De Grieken hadden geen enkele moeite om in te zien dat je met 2 coördinaten (in dit geval 2 hoeken) een punt op een bol eenduidig kunt vastleggen (Ptolemaios in zijn boek Geografia, 2e eeuw).
Het veel eenvoudigere idee om dit ook voor het platte vlak te doen (x- en y-coördinaten) moest wachten tot de 14e eeuw (Oresme; het maakte toen geen indruk) en uiteindelijk de 17e eeuw (Descartes, Fermat).
Daar wist ik niets van
Dank jl!
Magisch toch weer wat die Grieken allemaal klaarspeelden. Het lijkt soms wel dat het mis is gegaan toen de Romeinen een en ander overvleugelden. Die waren, denk ik, minder goed in pure wetenschap, maar beter in oorlogvoeren en organiseren. De wetenschappers verloren het van de militairen en de managers. Het lijkt wel of ik een deja-vu gevoel heb.
Zal wel aan mijn zeer beperkte historische kennis liggen, maar ik kon de vergelijking evne niet missen.
Overigens: wiki geeft als vaker relevante info: en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy