Mastermath voor zij-instromers wiskunde

Update 2018. Na

26102016

Analyse2017_ann_bas

lees verder hier:

www.beteronderwijsnederland.nl/blogs/2015/07/cursus-analyse-voorjaar-2019/

Update Thanksgiving 2017. Wat ik in een e-mailwisseling na een mail uit Leiden van 21-8-2017 met daarin

“heugelijk nieuws: het blijkt dat het ministerie OCW in januari 2017 61245 euro heeft overgemaakt in de rijksbijdrage voor de UL, geoormerkt voor onze lerarenvakken. Dit is volkomen onverwacht en ook onaangekondigd.”

al zag aankomen is vandaag bevestigd. Beide Amsterdamse opleidingsdirecteuren wiskunde hebben te horen gekregen dat de Leidse voorzitter van de zij-instroomcommissie niet langer van de diensten van de twee A’damse docenten, dat zijn Jan Wiegerinck en ik, gebruik wil maken. Dat de ULO’s het niveau voor de instroom in hun eerstegraads wiskundelerarenopleiding voor de zij-instroomgroep groep op propedeuse niveau hebben vastgesteld en daarom ons vak niet verplicht stellen is een gegeven waar hij niets aan kan, laat staan wil doen. Het is niet anders. De twee lerarenopleiders in de commissie spelen een dubbelrol, maar dat ziet men niet.

Samenvatting rond Helloween 2017: ik zit niet meer in deze commissie/werkgroep. Er moet nog gestemd worden. Als gelegenheidsargument achteraf  wordt opgegeven dat later bleek dat ik op weg naar de laatste vergadering getwitterd had:

`Op weg naar de vergadering in Utrecht over zij-instroom. Ik vrees dat ze opnieuw subsidie krijgen.’

Welkom op twitter @daemenpraat.

Over de gelegenheidsargumenten vooraf zo meer, maar dit klopt. De commissie functioneert niet en dit programma is in de verkeerde handen. Ik (niet alleen ik trouwens) heb herhaaldelijk geconstateerd in de vergadering dat de doelstellingen zijn verworden tot het verlenen van een eerstegraadsbevoegdheid aan cursisten die het niveau van een propedeuse wiskunde niet halen. Helaas heeft dat nooit tot conclusies over dit programma maar wel altijd tot conclusies over mijn functioneren in de commissie geleid.

Meer details volgen nu, ook voor de didactiekexpert van het Freudenthal Instituut die mij meenam in haar stemverklaring.

Er lopen hier twee discussies door elkaar. De discussie over het vak Analyse en de discussie over dit programma dat aan het mislukken is. De voorzitter van de commissie geeft er keer op keer blijk van deze twee aspecten niet uit elkaar te willen houden. Ik doe dat hier toch liever wel en ik begin met de stand van zaken rond het vak Analyse. Althans, het vak dat ik als docent bedacht had voor dit programma: Toegepaste Integraalrekening, in overleg met de commissie (waar ik lid van was) als een vak dat geschikt zou kunnen zijn voor de doelgroep.

Ik dacht voor de invulling van ons vak aan alles dat met integraalrekening te maken heeft anders dan het intoetsen van de commando’s op de rekenmachine om een getal als uitkomst te krijgen. Een schitterend voorbeeld is de formule van Stirling voor het benaderen van n! als n iets groter is dan 69. Omdat ik in de commissie zat voor A’dam (ik ben van de VU) stelde ik voor om dat samen met een collega van de UvA uit te werken. Die collega werd daarop mijn mede-docent maar GEEN lid van de werkgroep, zo begreep ik later en inmiddels weer enige tijd geleden van de voorzitter toen het over stemrecht ging.

Graag had ik voor n! en zo het materiaal in het groene boekje met Ronald Meester gebruikt, maar mijn collega van de UvA was bij afspraak de docent voor dit gedeelte en wilde graag zijn eigen materiaal maken en gebruiken, en dat kan ik goed begrijpen. Je geeft liever les uit je eigen materiaal, niets menselijks is een wiskundige vreemd. En ook mij niet.

Omdat mijn collega zou beginnen met de formule van Stirling, maar dan wat strak wiskundiger behandeld dan in het boekje met Ronald, begon hij met integraalrekening.

Bij de eerste bijeenkomst was er een overhandvol aantal cursisten, 6 meen ik, en bleek het ingangsniveau bij ongeveer de helft daarvan toch anders dan door de werkgroep was ingeschat. Terwijl mijn collega ploeterde om te halen wat haalbaar was zat ik in de zaal al te typen aan een inleidend bijspijkerhoofdstuk dat de toch ook door de commissie veronderstelde voorkennis op een rijtje zette: Hoofdstuk 1 van de mamanotes hieronder (daarin ook materiaal dat niets met de cursus te maken heeft).

In de weken daarna schommelde de aanwezigheid flink en was het steeds aansluiting zoeken bij de aanwezige weggezakte kennis. In de vergaderingen van de werkgroep ontstond inmiddels of later (ik moet de data nog nakijken) beroering over ons te hoge niveau, en werden de doelstellingen van de werkgroep aangepast aan nieuw instroomeisen voor de universitaire lerarenopleidingen die mijn eigen studieadviseur op de VU nog niet eens kende.

Na veel vijven en zessen bleek via de didactica van het Freudenthal Instituut in onze commissie dat de nieuwe ingangseisen waren vastgesteld (door wie?) op een universitaire master/doctoraal uit een groeiende lijst met beta-bakken, en dat daarnaast wiskunde op propedeuse-niveau vereist werd. Onze commissie ging daar niet echter niet over volgens de voorzitter en kritische vragen daarover leidden al snel tot de suggestie dat als ik niet achter de doelstellingen stond ik als docent dan minder geschikt was.

Ondertussen kwam ook de constaterering van de voorzitter van de werkgroep dat wij als docenten van het vak Analyse (!) studenten had weggejaagd. Er zouden immers veel meer cursisten ingeschreven zijn. Dat wij die nooit gezien hadden was onze schuld. Het was misgegaan met ons vak Toegepaste Integraalrekening, waarvan de naam door onze voorzitter in het rooster was veranderd in Analyse, en dat volgens de voorzitter, die het vak Fundamenten geeft, ook niet zonder zijn vak als voorkennis kon. Hij besloot dat dus het volgende jaar het (de facto volledig opnieuw op te zetten) vak Analyse van het najaar naar het voorjaar moest verhuizen, en wel naar de woensdagavond. Dat kwam de docent van de UvA roostertechnisch beter uit en aldus geschiedde.

Ook al kijk ik niet meer naar voetbal, ik was daar niet gelukkig mee, maar mijn ongelukkigheid heb ik toen verholpen met het schrijven van nieuw materiaal waar de voorzitter aanvankelijk erg positief op reageerde, getuige het eenmalige commentaar en bijbehorende annotaties bovenaan dit blogje.

En omdat ik zelf in het voorjaar op donderdagochtend vroeg college had en al veel aan het materiaal gedaan had bood de docent van de UvA aan om de colleges te geven en ik zou alleen de twee keer doen dat hij niet kon.

Vervolgens bleken er wel bijna twee handjes cursisten te zijn. Om heel kort gaan voor nu, na de cursus kwam de voorzitter in de zomer opnieuw tot de conclusie dat Analyse de cursisten had weggejaagd en dus een probleem heeft. In een e-mailwisseling met betrokkenen bij de UvA en VU werd hieraan de suggestie gekoppeld dat uit de extra gelden van @minOCW dan maar niet zomaar betalingen naar A’dam moesten gaan, dit vanwege de problemen met het vak. De vergadering werd dan ook voorbereid met, zo bleek (maar ik zag het al aankomen) ter vergadering, een extra agendapunt waarin mijn naam twee keer voorkwam, zowel met betrekking tot mijn functioneren in de werkgroep, als met betrekking tot mijn geschiktheid als docent voor dit programma.

Ik heb dat vanuit de vergadering meteen met betrokkenen in A’dam gedeeld, alsmede een suggestie die wat later daarna gedaan werd met betrekking tot (geen) openheid van zaken. In de cc’s van die mail zat van de commissie ondermeer de voorzitter.

Wat daarna gebeurde heeft geleid tot het door mij verlaten van de vergadering. Meer daarover wellicht later.

Joost Hulshof

——————————————————————

Update jaarwisseling 20162017. Vorig jaar is het zij-instroomprogramma van Mastermath gestart. Het programma, dat bestaat uit 7 vakken van 6 ECTS, is bedoeld voor academici die een master hebben in een richting die enige wiskunde met zich meebrengt. Ik (Joost Hulshof) zit in de commissie die dit programma invult en heb in die commissie zoals gebruikelijk de afwijkende mening die gebaseerd is op de waarnemingen die ik doe. Bijvoorbeeld in verband met de nieuwe examenprogramma wiskunde:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/nieuwe-examenprogrammas-wiskunde-het-onderwijzen-en-toetsen-van-wiskundige-denkactiviteiten

Het gaat momenteel om de matrix van ingangseisen die de ULO’s (de facto het FI en het ICLON is mijn indruk, die ook in de Mastermath commissie voor de zij-instroom zitting hebben) zelf opstellen, met ons (Jan Wiegerinck en ik, de docenten van het vak Analyse) inziens rare omissies voor de vakken waar het in schoolcontext toch vooral om gaat. Aan de hand van die matrix kiest de cursist een aantal vakken, haalt hopelijk de tentamens en mag daarna de lerarenopleiding op een universiteit doen en zijn eerstegraadsbevoegdheid halen.

Het is niet aan onze Mastermath (een wat misleidende naam hier, we vallen alleen onder de landelijke organisatie van Mastermath) commissie om te bepalen wat de ULO’s allemaal niet nodig vinden aan wiskundige bagage. Meer daarover onder de eerste stippellijn. Onder de tweede stippellijn klets ik wat over de wiskunde die een eerstegraadsleraar in zijn bagage zou kunnen hebben (en krijgen wat mij betreft).

Er zit nu 1 jaar op. Bij de vakken die met calculus, kansrekening en statistiek te maken hadden (en dat zijn eigenlijk de meest relevante vakken voor de schoolleraar) was de matrix half gevuld en waren de zij-instromende cursisten (letterlijk) op de vinger van een hand te tellen. Die hebben wat wiskunde gezien uit dit pak papier:

mamanotes

Zelf ben ik mijn aantekeningen van het vorige jaar nu aan het bewerken om aan de nieuwe veel lagere instroomeisen te voldoen. Het komt erop neer dat de  beschrijvende samenvatting van de voorkennis, die ik vorige jaar hals over kop typte terwijl Jan bezig was en ontdekte dat de voorkennis toch wat anders was dan verwacht mocht worden, is uitgegroeid tot een volledig nieuw dictaat, zeg maar boek inmiddels. Ik heb daar nu een aparte pagina voor gemaakt. Vanaf nu schrijf ik op deze pagina over deze cursus met Jan:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/cursus-analyse-voorjaar-2017

Inmiddels was besloten dat ons vak in 2-en gehakt wordt en dat elke deel 3ECTS is, en ook als nascholing kan worden gedaan voor het lerarenregister waarover zoveel te doen is. Persoonlijk doe ik liever niet mee aan enige verdere legitimatie van dat nodeloos dure register en de onderwijscooperatie van voor en door alles behalve de vakinhoudelijke leraar, maar onze cursus is (hoewel nog lang niet af) al aangeboden (we wisten van niks) en gevalideerd.

Met mijn punten hieronder wordt de facto niets meer gedaan. Studieadviseurs krijgen de matrix zonder veel commentaar als richtlijn toegestuurd. Een enkeling in A’dam vraagt zich af wat hier in vredesnaam aan de hand is maar de landelijke commissie heeft nu beschikt. Wiskunde op propaedeuse niveau is gezien de omstandigheden nu voldoende voor een eerstegraadsbevoegdheid wiskunde. Of de bij Analyse half-lege matrix blijft vigeren wachten we af.

Uit een mail van 1-12-2017 aan Mastermath:
Vorig jaar waren er mensen die zich ingeschreven hadden omdat ze dachten dat Toegepaste Integraalrekening een gewoon mastervak was. Toegegeven, dat had gekund. Uiteindelijk zijn er desondanks meer dan 5 (zeg 6) echt in beeld geweest. Het aantal inschrijvingen voor onze cursus is nu 5. Dat is niet los te zien van de lege hokjes in de matrix van ICL, die voor onze commissie onacceptabel zou moeten zijn.
Ik stel ook nogmaals aan de orde dat ik voor wat betreft Analyse afstand neem van deze tekst:
Het vak Fundamenten van de wiskunde is een basis vak, waarop in andere vakken verder gebouwd kan worden.  Daarom zal dit vak ook vaak verplicht worden. Er wordt geadviseerd om met dit vak te starten.
De voorzitter van de commissie is zelfs van mening dat het vak Fundamenten per se voorkennis is voor ons Analyse vak, en de commissie is er tegen mijn zin in mee akkoord gegaan dat het vak daarom naar het voorjaar verplaatst is. Ook met de nieuwe invulling van het vak is dat een slechte zaak. De suggestie van Jan Wiegerinck om hier buiten de commissie over na te denken wordt genegeerd. Op de vergadering in maart moet na 5 minuten voor en tegen argumenten gestemd worden binnen de commissie.

——————————————————————

De universitaire lerarenopleidingen, hoe werkt dat?

Hoe word je eigenlijk een universitair opgeleide eerstegraadsbevoegde wiskundeleraar? De koninklijke route is via een universitaire bachelor wiskunde en vervolgens een educatieve universitaire master die bestaat uit 1 jaar vakinhoud en daarna een 1-jarig traject bij de lerarenopleiding. Er is ook nog een keizerlijke route maar die is in onbruik geraakt: bachelor wiskunde (3 jaar), master wiskunde (2 jaar), 1-jarige ULO-master. Die keizerlijke route wordt nu afgeschaft begrijp ik, maar voor wiskunde betekent dat dus niet zoveel.Terzijde, de invulling van die 1-jarige master, die samenvalt met het 5-de jaar in de koninklijke variant ligt onder vuur met artikelen in Trouw en wat voor de vuist weg uitspraken van Jet en Karl. Voor zover dat het gebruik van het

betreft kan ik me daar iets bij voorstellen. Voor de rest weet ik het niet. Verschilt per ULO en is in Amsterdam en Nijmegen vast anders dan elders.

Dat laatste jaar, daar kun je ook op een andere manier naar binnen. Jet laat in Trouw zien niet op de hoogte te zijn van deze mogelijkheid. Van belang is dat de lerarenopleidingen sinds relatief kort zelf bepalen hoe je naarbinnen mag, aan de hand van de laatste bijlage hieronder. Voorheen ging toelating aan de hand van een criterium waarin 120 harde ects wiskunde essentieel waren, alsmede een academische master uit een beperkte lijst van beta-opleidingen. Sinds (nog) kort(er) is echter sprake van een nieuwe criterium: een academische beta-master uit een veel grotere lijst (ook scheikunde en informatica bijvoorbeeld) en een bagage aan wiskundige kennis die overeenkomt met een propedeuse wiskunde.

Mijn 7 punten voor de vergadering van 17 maart

1. Er is onduidelijkheid vanaf het begin over te bereiken niveau voor instroming in de ULO. Er ligt nu een formulering: Beta-master met aanvullende wiskunde op propedeuseniveau. Op welk gezag is die formulering vastgesteld? Is dit een overeenstemming tussen de “wiskunde gemeenschap” en OCW en onderdeel van de subsidieafspraken?

2. Dat niveau zoals hierboven omschreven moet bereikt worden met ons programma. Als je de daar rustig over nadenkt dan kom je tot de conclusie dat we met 42 ects ons de luxe van een vak GvW (Geschiedenis van de Wiskunde) niet kunnen veroorloven.

3. Analyse had vrijwel geen studenten. Slechts twee van de 7 die bij ons in beeld zijn geweest voldeden wel aan de instroomeisen waarmee we begonnen. Die hebben het royaal gehaald. Voor de doelgroep heeft het vak voldaan en was er geen probleem met roostering in het najaar.

4. Het vakkenpakket zoals dat op tafel lag toen ik bij de werkgroep kwam is besproken toen de formulering hierboven nog niet bestond dan wel aan ons en ik meen ook de rest nog niet duidelijk was. Gegeven de insteek van Jan en mij, te weten een vak en een programma op beduidend hoger dan propedeuse niveau, was de rest van het programma als geheel acceptabel, inclusief het vak GvW. Maar met de nieuwe formulering  is dat niet het geval.

5. De grootste problemen in het wiskunde onderwijs betreffen de calculusvaardigheden, alsmede de abstracte analyse begrippen die daarbij horen. Onze cursus, die nu eindelijk de naam mag hebben die tot nu toe zonder enige reden is tegengehouden, brengt die analyse in combinatie met de stap van R via het vlak naar Hilbertruimten. Dat kan prima parallel aan een cursus Fundamenten zeg ik als analyticus. Het is maar hoe je met het publiek omgaat. Het moge verder duidelijk zijn dat onze cursus de facto over functies van 1 variabele gaat.

6. Een essentieel onderdeel van een propedeuse wiskunde is een vak als vectorcalculus. De veel bredere doelgroep die we nu voor ogen hebben (alle beta-masters, dus ook Scheikunde en Informatica bijvoorbeeld, en wellicht zelfs Bewegingswetenschappen) heeft dus eerst behoeft aan zo’n vak en niet aan GvW. Binnen die vectorcalculus kan ook prima wat complexe functietheorie. Een zekere herverdeling zal dus plaatsvinden tussen de twee vakken.

7. Op basis van de 6 punten hierboven zijn we in de bijeenkomst in december tot een behoorlijke consensus gekomen.  Het gaat erom het beste te bereiken voor de doelgroep. Een jaar wachten met doen wat beter is heeft geen pas.

Niet alles veel even goed maar de koers van onze werkgroep voor wat betreft de invulling van de vakken is duidelijk. Beginnen op eerstejaarsniveau en dan wat haalbaar is. Het zou goed zijn (ook voor de afwezigen vandaag) de discussie over de guidelines en onze suggesties helder samen te vatten. Uit mijn hoofd noem ik de suggesties aan de ULO-samenstellers van de matrix (aangehangen hieronder)

— meer keuzebolletjes in die matrix

— geschiedenis niet verplicht

Maar misschien vergeet ik nog wat.

De masters of education

Hoe zit dat? Dat is omschreven in kennisbases die on-line wel te vinden zijn. Opmerkelijk is dat oude SBL-WiVa-stukken van voor de omvorming van de Stichting Beroepskwaliteit Leraren tot de huidige onderwijscooperatie nog steeds leidend lijken. Interessant is ook de vergelijking met hierboven en met de universitaire bachelor met educatieve minor.

Hoe zit het bij natuurkunde?

Kijk op de site natk4all, ook daar is nu sprake van een nieuwe regeling voor zij-instromers, met 42 harde ects als (onderdeel van de) instroomeis.


Update Christmas 2017. Ik heb wat beschouwingen apart gezet hier:

Waar staan we nu met het reken- en wiskundeonderwijs?

 

 ———————————————————-

Voor de liefhebber hangt hieronder de laatste versie van een set notes die ik voor diverse doeleinden gebruik en voorlopig maar even de naam mamanotes gegeven heb. Mama is kort voor MasterMath. MasterMath organiseert de landelijk vakken in de Master Wiskunde, en ook de vakken voor de zij-instroom, die echter door gewone master studenten wiskunde NIET in hun masterprogramma kunnen worden opgenomen. Hoofdstuk 2 van de notes bevat de details van het bewijs van de Hard Implicit Function Theorem, uitgewerkt nadat ik in het boekje “The Implicit Function Theorem (history, theory and applications) van Krantz en Parks een versie van deze stelling en het wat rammelende bewijs had doorgrond. Tot mijn verbazing leidt het aangepaste bewijs tot een net iets krachtigere uitspraak in de stelling. En zo moeilijk is het allemaal niet. Achteraf dan. Wel gebaseerd op diepe kennis die Nash over alles had. Niet bedoeld voor de cursus maar, al heb ik de methode van Newton zelf wel voor een 1-koppig publiek behandeld, en ik was toch aan het typen.

Toegepaste integraalrekening

Ik geef met Jan een cursus Toegepaste Integraalrekening voor zij-instromers in het Mastermathprogramma voor aanstaande leraren. Dat is best leuk. Zie de inleiding van de aangehangen notes. Ik schrijf hieronder voor de vuist weg wat over wiskunde in de context van dit vak. Een van de doelen is om te laten zien wat het belang is van integration by parts. In de schoolwiskunde is dit onderwerp afgeschaft vanuit het beperkte perspectief dat het louter en alleen een techniek betreft om getallen uit te rekenen. Denk aan: bereken de oppervlakte van een gebied mbv een integraal. Integralen worden immers gedefinieerd als limieten van sommen van oppervlakten van rechthoeken.

Die sommen daadwerkelijk als getallen uitrekenen mbv de grafisch rekenmachine is een activiteit waaraan in sommige kringen nog steeds waarde wordt toegedacht. Ook de mede via die sommen (niet de uitkomsten) bewezen hoofdstelling van de integraalrekening wordt in de toepassingen veelal geimplementeerd via computer-algebra die de benodigde anti-afgeleide bepaalt indien dat mogelijk is. Partieel integreren is een daarbij gebruikte techniek die niet meer in de vingers hoeft te worden gekregen omdat de inzichtgevende druk op de knop onder direct handbereik is.

Niet alleen maar getallen uitrekenen

Er zijn echter meer toepassingen van de integraalrekening. Een fundamentele is die waarbij de functies gezien worden als vectoren die loodrecht op elkaar kunnen staan. Deze veralgemenisering berust op een abstrahering die we mede danken aan Fourier, geen wiskundige, wiens stimulerende invloed op de wiskunde soms wat wordt onderschat.

Het aardige is dat het wiskundig precies maken van deze technieken een prachtige veralgemenisering vraagt van de precieze constructie van de reele getallen uit de vingergetallen, de getallen die je bij rekenen op je tien vingers vanzelf ontdekt als de rationale getallen. Op zich een kanon voor de spreekwoordelijke mug, is (de veralgemenisering van) deze constructie onmisbaar als het om echte toepassingen van wiskunde gaat. De reele getallen zelf worden er echter niet veel reeler van dan wat voor kinderen die wel zoals vroeger op school hebben leren rekenen al duidelijk was. De voor de hand liggende constructie als equivalentieklassen van Cauchy-rijtjes van rationale getallen sluit natuurlijk wel direct aan bij de belevingswereld van het kind. Bij de schedes van Dedekind is dat wat minder het geval.

Wat zijn reele getallen?

Wie in deze moderne tijd getallen gewoon ziet als output op de display van een rekenmachine, met het aantal decimalen achter de komma zo groot gekozen als gewenst, heeft het juiste concept te pakken. In mijn jaren als meer zuiver ingestelde wiskundige was deze zienswijze me een gruwel, vanwege de niet gerechtvaardigde voorkeur voor het getal tien in deze beschrijving, maar daar denk ik nu anders over.

Het was een meetkundige afkomstig uit Reeuwijk (spreek uit als reewaik, dorp of brug weet ik niet meer) die me overtuigde. Beter gezegd, hij weerlegde al mijn argumenten als niet praktisch. Om te begrijpen dat de reele getallen zo een verzameling R vormen, die met de standaard rekenbewerkingen een lichaam is, is een verhaal apart waarbij het zogenaamde kolomrekenen uit de realistische rekendidactiek goed van pas komt.

Interessanter is de observatie dat de vraag gesteld moet worden of 0,9999999…. (op de doorlopende puntjes oneindig veel negens en dan verder lezen) gelijk is aan 1. Als je vindt dat het antwoord op die vraag ja is, dan heeft dat consequenties die consistent zijn met wat uit de wiskundige constructie van R volgt.

Daarvoor moet je R wel eerst als geordend lichaam zien (de naamgeving in de wiskunde is soms wat wonderlijk) dat de fijne eigenschap heeft dat iedere niet-lege begrensde deelverzameling een grootste ondergrens en een kleinste bovengrens heeft, en iedere begrensde monotone rij getallen een limiet.

Uit het veld van de hak op de tak de weide in

De vingergetallen bevatten in het bijzonder de natuurlijke getallen, te weten: een, twee, drie, vier, vijf, zes, zeven, acht, negen, tien, elf, twaalf, enzovoorts. Die getallen kunnen we bij elkaar optellen. In de decimale notatie en met het plussymbool schrijven we bijvoorbeeld 6+6=12, 7+5=12, 5+7=12. De optelling in de verzameling van de natuurlijke getallen.

Als je af wil spreken dat je niet verder wil tellen of rekenen dan twaalf, dan heb je met 12+1 een probleem, dat je kunt omzeilen door af te spreken dat je bij doortellen weer opnieuw begint bij 1. Dus dat je van 12+1 geen dertien maar 1 maakt, en vervolgens afspreekt dat dan 12+2=2, 12+3=3, enzovoorts, met tenslotte twaalf plus twaalf is twaalf.

Op de lagere school werd dit wel klokrekenen genoemd. Het fijne is dat 12 daarbij het neutrale element van de optelling wordt: 12 optellen bij een klokgetal heeft geen effect. En bij ieder klokgetal hoort een ander klokgetal waarmee de som twaalf wordt. Bijvoorbeeld 5+7=12. Twaalf schept zo een band tussen alle andere klokgetallen. Bij 7 hoort 5, bij 3 hoort 9, maar bij 12 zelf hoort niks. Een beetje oneerlijk? Ach, twaalf is de nul in het klokrekenverhaal, 12=0, ook belangrijk.

De getallen 0=12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 vormen zo met de bewerking + een gelukkige verzameling die wiskundigen een groep noemen. De spreekwoordelijk nul verdeelt vermomd als 12 de getallen in paren die in Singapore soms number bonds worden genoemd. De zeven is (twaalf) min vijf: 7=-5.

Omdat de volgorde bij optellen in deze groep niet uitmaakt wordt de groep Abels genoemd, naar de naar de broer van Kain vernoemde Noorse wiskundige Abel, en het is vreemd dat het begrip Abelse groep niet tot het algemene cultuurgoed behoort, omdat het een begrip is dat zich laat abstraheren tot een structuur die tot ons nut en algemeen genoegen is opgericht. De(ze) naamgeving groep is hoewel weinig informatief tamelijk universeel. Ook in het Engels spreekt men van group.

Als we de klokgetallen ook met × willen combineren, bijvoorbeeld 3×3=9, dan wordt het liedje van onderlinge verbondenheid wat anders. De rol van 0 wordt nu overgenomen door 1, want 1 keer een getal is weer dat getal zelf. De grootste keersom die je dan kunt maken is 11×11, en dat is nu gelijk aan 121=1, want bij doortellen tot en met 121 zijn we steeds opnieuw bij 1 begonnen.  We tellen en rekenen modulo 12. Andere leuke keersommetjes zijn nu 5×5=25=1, 7×7=49=1, maar behalve 1×1=1 zijn er geen andere keersommen waar 1 uitkomt.

Vermenigvuldigen modulo 12 schept dus geen banden zoals optellen dat doet. Wat een ongeluk, hadden er maar 13 uren in de klok gezeten. Dan zouden we hebben dat 2×7=14=1, 3×9=27=1, en de rest vind je zelf wel. De verleiding is daarna groot om 1÷2=7, 1÷3=9 (enzovoorts) te schrijven bij klokrekenen met dertien uren in plaats van een dozijn. Alleen door 13=0 kun je nu niet delen.

De getallen 1 tot en met 13 vormen zo met + en × wat wiskundigen in de low lands een lichaam noemen, en de eilandbewoners aan de overkant een field. Een field is bij ons dus geen veld, als je naar wiskundigen luistert. Hoe verstandig het is om getalspelletjes als hierboven te verweven met het gewone rekenonderwijs weet ik niet, maar we hebben in ieder geval gezien dat delen door nul niet kan in deze voorbeelden. Dat is consistent met wat we in R gezien hebben als het goed is. Sommige theoretische informatici zijn daar niet blij mee en maken daar een academische kwestie van in rekenonderwijsverband. De Engelse naam voor de bijbehorende abstracties is meadow.

Terug naar de calculus: Grafieken

De meetkundige voorstelling die we ons bij de reele getallen maken is die van een rechte lijn zonder begin of eind, met twee bijzondere punten, eentje die we als 0 zien en het andere als 1. Tekenen we een stuk van die lijn met 0 en 1 op een mooi stuk blanco papier, dan zijn met passer en liniaal de gewone vingergetallen die nog op het papier passen eenvoudig te construeren. Onze reele getallenlijn tekenen we bij voorkeur horizontaal, met de 1 rechts van 0, en we noemen die lijn vaak de x-as.

Bij alle constructies is vast ook een keer de lijn loodrecht op de x-as door het nulpunt getrokken, en met de passer zetten we weer een 1 op die lijn bij het punt boven de x-as op dezelfde afstand van het nulpunt op de x-as als het punt op de x-as dat we als 1 zien. De verticale as noemen we bij voorkeur de y-as. Ieder punt op ons papier heeft nu een x-coordinaat en een y-coordinaat, die we vinden als de getallen bij de loodrechte projecties van dat punt op beide assen. Het handwerk helpt bij het voorstellingsverhogen, al kan het handig zijn om alles op ruitjespapier (vierkantjespapier) te doen.

Goed calculusonderwijs begint nu met het tekenen van grafieken bij formules en functies (twee woorden die allebei met een f beginnen) in ons vlak met de twee assen. De f is de naam die we bij voorkeur voor functies gebruiken. Goed analyseonderwijs begint enerzijds met het verband tussen formules/functies en grafieken, en anderzijds met een zorgvuldig onderscheid tussen formules en functies, waarbij de functies in de eerste stap nog achterwege kunnen worden gelaten.

Als we voor deze insteek kiezen kijken we eerst naar vergelijkingen waarin  y gelijkgesteld wordt aan iets waarin alleen x voorkomt, hetgeen symbolisch geschreven wordt als y=f(x). Calculus gaat dan over eigenschappen van gebieden begrensd door deze grafieken en gewone rechte lijnen. Daarbij beginnen we zonder rekenmachine of andere ICT-hulpmiddelen met eenvoudige formules die we met pen en papier leren begrijpen.

Abstraheren vanuit het vlak

In het vlak leren we ook voor het eerst hoe we met punten en vectoren kunnen rekenen en hoe we zien wat dat meetkundig betekent. Het begrip loodrecht vertaalt zich in het nul zijn van het inprodukt van vectoren. Meetkundige uitspraken kunnen we via dat inprodukt algebraiseren en daarna ook abstraheren naar andere ruimten van vectoren waarin een inprodukt gedefinieerd is.

Dit abstraheren moet niet verward worden met het presenteren van abstracte structuren vanuit het niets, zoals wiskundigen dat soms geneigd zijn te doen. Er is geen abstractie zonder realiteit. Het platte vlak, bij voorkeur gezien als ons blanco papier of het schoolbord, voorzien van twee assen die als getallenlijnen loodrecht op elkaar staan, met de nullen in hetzelfde punt en de enen even ver weg van dat snijpunt dat we de oorsprong noemen, gebruiken we voor alles wat we doen. Bijvoorbeeld om grafieken bij formules van de vorm y=f(x) te tekenen. Maar ook om op te schrijven, formules bijvoorbeeld.

Ene Bruno Latour noemt alles wat zo op papier verschijnt inscripties en heeft het over cascades van inscripties die we nodig hebben bij het beschrijven van de drie-dimensionale chaotische werkelijkheid. Zulk mystificerend jargon wordt overgenomen door didactici als Koeno Gravemeijer en maakt inhoudelijke discussie onmogelijk. Het was Orwell die deze techniek al veel eerder herkende en de benaming Newspeak gaf.

In het vervolg maken we daarom juist wel onderscheid tussen papier als representatie van een gedeelte van het platte vlak dat we ons voorstellen als een entiteit die bestaat net zoals de getallenlijn bestaat, en papier om op te schrijven. Met formules als y=2x+1 corresponderen enerzijds grafieken en anderzijds functies, een abstractie van het formule begrip. Als we bij input x via zo’n formule aan output y denken, dan kunnen we schrijven dat y=f(x) en x→f(x)=y kan dan een symbolische weergave zijn van de input-outputvoorstelling die we ons daarbij maken.

Meetkunde

Meetkunde is een deelbegied van de wiskunde met vele schitterende kanten. Soms is het nodig om essentiele zaken uit die meetkunde te ontdoen van de mooie plaatjes die je erbij kunt maken. Wat je 2-dimensionaal op het schoolbord meteen ziet is met de juiste algebraisering vaak ook waar als je naar 3 dimensies en hoger gaat, en dat tot en met aftelbaar oneindig toe. Het is bij zulke generalisaties dat abstracties die in vakken met namen als Fundamenten soms uit de lucht komen vallen concreet ontstaan. Het is leuk en leerzaam om daarbij verschillende perspectieven te combineren. Een mooi voorbeeld is projecties op convexe verzamelingen, denk aan de conflictlijnen in het schoolcurriculum. Geogebra speelt hierbij geen rol.

Functies, functieruimten, f-algebra’s en kansverdelingen

Een andere abstractie dient zich nu aan. Voor iedere vaste waarde van de input x en twee functies f en g kunnen we met + en × de outputs f(x) en g(x) combineren. Dit definieert de somfunctie f+g en de produktfunctie f×g. Evenzo kan bij een getal a uit R en een functie f de functie x→a×f(x) gemaakt worden. Deze algebra met reele getallen (uit R) en functies f:R→R leidt tot wat mijn leermeester Ben in zijn proefschrift f-algebra’s noemde. Met in je achterhoofd je voorstelling van f als een grafiek in het xy-vlak is dat een wiskundig vakgebied op zichzelf dat vele toepassingen heeft binnen en buiten de wiskunde. Je zou het zelfs als onderdeel van de theoretische natuurkunde kunnen presenteren. Fourier deed dat eigenlijk al wellicht.

Deze f-algebra wordt analyse zodra we limieten van functies willen nemen, en een kansrekeningperspectief mag daarbij niet ontbreken, gezien wat er na Fourier zoal aan wiskunde is ontwikkeld in de natuurkunde. Iedere functie f:R→R waarvan het kwadraat een grafiek heeft die samen met de horizontale as een deelverzameling begrenst met oppervlakte gelijk aan 1 definieert via dat kwadraat een kansverdeling. In termen van integralen is dit hetzelfde als te zeggen dat de integraal van f(x) in het kwadraat van min tot plus oneindig gelijk is aan 1.

De mooiste van al zulke kansverdelingen is te vinden op het oude biljet van tien Duitse marken, naast de kop van Gauss. Kwadratisch integreerbare functies f:R→R maken de mooiste functieruimte die er bestaat, met als inprodukt van f en g de integraal van f(x) keer g(x). Het symbool × gebruiken we vanaf hier niet meer. We schrijven f(x)g(x) voor het produkt van f(x) en g(x). Een functie f definieert dus via zijn kwadraat een kansverdeling als f inprodukt 1 met zichzelf heeft. De kans op een uitkomst van de bijbehorende toevalsvariabele in het interval [a,b] is dan de integraal van het kwadraat van f(x) van x=a tot x=b.

Deze beschrijving van (continue) kansverdelingen is natuurlijk niet de beschrijving die een kansrekenaar als eerste zal kiezen. Veel meer voor de hand ligt immers een beschrijving met functies f:R→R waarvoor f(x)<0 niet toegestaan is en geldt dat de integraal van f(x) over heel R gelijk is aan 1. De integraal van x=a tot x=b kan dan gezien worden als de kans op een uitkomst in [a,b].

Als we de grafiek van zo’n functie f horizontaal en verticaal schalen op zo’n manier dat de oppervlakte niet verandert, dan ontstaat een nieuwe kansverdeling die meer uitgesmeerd of meer geconcentreerd is. Nemen we een limiet in zo’n schalingsproces dan houden we geen functie meer over. Wat wel?

…………

Nog wat overwegingen

December 2016

Nu de PvDA om is met betrekking tot de #rekentoets, is een inventarisatie van de problematiek gewenst, vooral ook omdat de #rekentoets een afgeleid probleem is. Het echte probleem is natuurlijk de #rekenramp die zich voltrokken heeft in het basisonderwijs, een ramp die in gang is gezet door Freudenthal, dan wel zij die zich zijn naam eigen maakten. Deze laatste mogelijkheid moet serieus genomen worden, althans dat is mijn voorlopige conclusie na de interessante voordracht van Danny Beckers op ons stafcolloquium over het leven en werk van Freudenthal.

Kortom, tijd voor een inventariserende verkenning. Nieuw voor mij daarbij is deze publicatie:

www.wrr.nl/fileadmin/nl/publicaties/DVD_WRR_publicaties_1972-2004/WB07_Rekenen.pdf

Als de link dood loopt, dit is de pdf: WB07-Rekenen-wiskunde

Naarboven gekomen dankzij het speurwerk van Jan Bergstra van de KNAW ivm het gebruik van de term eindalgoritme, maar wat mij betreft vooral ook belangrijk omdat in dit werkdocument een zuiver wiskundige uit Utrecht en een latere rekenprofessor het pad schetsten dat gevolgd is op weg naar wat uiteindelijk tot de #rekentoets heeft geleid. Althans, dat is mijn persoonlijke nulhypothese als ik het zo mag formuleren. Ik het stuk voor de helft gelezen, daarna werd het me even te veel. Een dergelijk stuk van Freudenthal heb ik nooit gezien.

De nieuwe wiskundeprogramma’s

Hieronder bespreek ik een onderdeeltje van de uitwerking door Moderne Wiskunde van wat bijna 10 jaar aan plannenmakerij onder leiding van Dirk Siersma heeft opgeleverd. Meer over die plannenmakerij is te vinden op de pagina

www.beteronderwijsnederland.nl/content/denken-en-doen-siersma-en-de-rekenmachinelobby,

maar de bijlage (die) hieronder (hing) is actueler, en vat de belangrijkste veranderingen samen als:

(1) de wijze waarop statistiek in Wiskunde A en C wordt behandeld bereidt beter voor op de wijze waarop in de vervolgopleidingen statistiek wordt gebruikt;

(2) de vergaande vernieuwing van het Wiskunde C-programma op vwo, waardoor het niet langer een deelverzameling is van Wiskunde A maar een eigen inhoud heeft die is toegesneden op leerlingen in het profiel Cultuur en Maatschappij en hun vervolgopleidingen;

(3) een programma Wiskunde B havo dat beter past in het beperkte aantal studielasturen;

(4) in de meetkundedomeinen van de Wiskunde B-programmas krijgt analytische meetkunde; een grotere rol, waardoor het programma coherenter wordt en de algebraïsche vaardigheden worden versterkt;

(5) bijgestelde programmas voor Wiskunde D op grond van de ervaringen die sinds de invoering in 2007 zijn opgedaan;

(6) wiskundige denkactiviteiten als een rode draad door alle wiskundevakken.

De nummering is van mij. Opgemerkt kan worden dat (6), het nergens op gebaseerde stokpaardje van Van Streun, nu academisch geborgd door Professor Paul Drijvers (denk aan 10-hoeken met straal 10), zich goed laat combineren met de axiomatische aanpak die sommige wiskundigen voor staan: WDA begint met een definitie van WDA. In een Wiskunde A boekje voor 4HAVO is daar echter weinig van terug te vinden. Schrikbarend is meer het absurde idee dat je statistiek kunt doen zonder iets van kansen te weten.

Onduidelijk is waar de claims bij (1) en (2) op gebaseerd zijn. Ook (5) is vaag, Wiskunde D is naar ik vrees de facto mislukt omdat er geen leraren zijn om het te geven, (3) neem ik voor kennisgeving aan, (5) moet nog nog blijken. Ik heb enige twijfels over het nivo van die analytische meetkunde. Een gemiste kans blijft wat mij betreft een onderdeel bij Wiskunde B/D waarin complexe getallen met vlakke meetkunde wordt gecombineerd.

Rekenen met breuken

Terwijl academici zich nog steeds druk kunnen maken of je over 3 als de noemer van 1/3 mag spreken, maar wellicht niet eens weten dat met 1/3 niet meer gerekend wordt in de referentiekaders voor het rekenen, en 2/3 in de kennisbasisrekenen voor de PABO gelijkgesteld is aan nul komma zesenzestig punt, is het interessant om eens zo’n nieuw Wiskunde A boekje voor 4HAVO te bespreken. Dat begint namelijk met elementair rekenen, waaronder breukrekenen, dat nu VO-stof is geworden, op weg naar academische curricula wellicht. Ooit was het stof voor de lagere school.

Voorbeeld, rekenen in een nieuw boekje voor Wiskunde A in 4HAVO

Wiskunde A is het net iets grotere broertje van Wiskunde C, zoals NLT dat is van ANW, om een Utrechtse emeritus te parafraseren. In hun huidige vorm komen beide vakken uit de koker van Anne van Streun, bepalend lid van de Commissie Toekomst van het Wiskunde Onderwijs (cTWO, ook wel de commissie Siersma) en voorzitter van de expertgroep rekenen wier referentiekaders in het Staatsblad verankerd werden, in aflevering 2010 265, u vindt het wel. In die referentiekaders werd het breukrekenen zo’n beetje afgeschaft.

Hoofdstuk 1 van het betreffende leerboek Moderne Wiskunde begint nu met dat breukrekenen en noemt dat deels voorkennis. De breuken worden geschreven met een horizontale streepje, met daarboven een teller en daaronder een noemer. In de eerste opgave moeten de breuken 6/8, 30/36, 12/18, 14,49, 24/27, 24/28, 125,175, 63/81, 42/54 vereenvoudigd worden, en in de tweede opgave moeten 1/3 x 3/8, 2/5 x 3/7, 3/7 x 14/15 berekend en vereenvoudigd worden.  De BON-editor laat me hier in de steek, maar u moet dit dus lezen met horizontale streepjes met daarboven steeds de teller en daaronder de noemer. In de uitleg wordt de horizontale streep van beide factoren doorgetroken en het keerteken zowel in teller als in noemer neergezet. In de derde opgave staan vervolgens ook sommetjes waarbij de factoren ook getallen van de vorm 1 1/2 of 5 2/3 zijn, die dan eerst moeten worden omgezet naar 3/2 en 17/3.

Daarna volgt een eerste realistische opgave, over een bedrijf dat 16 miljoen bloembollen exporteert waarvan drie kwart naar buiten Europa en de rest voor de helft naar Duitsland en een kwart naar Frankrijk en bijbehorende vragen.

Opgave 4 is vervolgens een sommetje met x + : – en haakjes, zonder rekenmachine, met getallen onder de 48. Daarna komt de verhoudingstabel, het door Van Streun geintroduceerd middel dat universeel doel is geworden in diens reken- en wiskundeonderwijs. In die verhoudingstabellen komt ook meteen een eerste kommagetal voor en een realistische opgave over een kaart met een schaalverdeling sluit de voorkennis af.

Daarna begint het echt, met verhoudingen in Sectie 1.1. en vooral die tabellen waarin kruislings vermenigvuldigen aan de orde komt met de uitspraak: in een verhoudingstabel zijn de kruisprodukten altijd gelijk.Het verband met breuken wordt hier niet expliciet gemaakt, dat komt ook omdat in die tabellen hier ook regelmatig kommagetallen voorkomen. Karakteristiek is verder een sommetje in de samenvatting aan het eind van het hoofstuk waarin drie auteurs 8248 euri te verdelen hebben in de verhouding 1:3:4. Tja, dat bedrag is toevallig deelbaar door 1+3+4=8.

Vervolgens heeft Sectie 1.2 de titel rekenen met breuken. Hierin wordt eerst uitgelegd hoe je breuken optelt, aftrekt en vermenigvuldigt, of combinaties daarvan zoals 1/3 x 2/5 + 1/5. In Opgave 15 gaat het dan ineens over ene Neva die een breuk met in de teller 3 en in de noemer 2/7 moet berekenen en ene Mats zegt dan dat je de breuk kunt vereenvoudigen door teller en noemer met een getal (voor Jan Bergstra: ik neem aan een rationaal getal) te vermenigvuldigen waarmee teller en noemer gehele getallen worden. Daar blijft het bij kwa uitleg. De 4HAVO leerling komt er verder zelf wel uit. De door Henk van der Kooij van het Freudenthal instituut bij herhaling als stompzinnig en zonder betekenis geduide regel voor het delen van breuken blijft achterwege. De decimale schrijfwijze van een breuk geschiedt in Sectie 1.3 exclusief met de rekenmachine. Een realistische opgave gaat over een bedrijf dat 987 werknemers heeft waarvan 1/3 het openbaar vervoer neemt en 1/7 de fiets of benenwagen. Toevallig is 987 deelbaar door 3 en door 7. Sommetjes die later alleen in de rekentoets voorkomen, en die rekentoets is weer gebaseerd op Van Streun’s referentiekaders.

Daarna komen nog secties over procenten, tijden en standaardvormen. Steeds meer onzinnige formules met kommagetallen, bijvoorbeeld N is 3 keer 0,55 tot de macht 5. De schrijvers volgen hier de richtlijnen van cTWO en Van Streun. Derhalve is veel van Hoofdstuk 1 een verminking van wat vroeger stof op de lagere school was. Of die stof eerder onverminkt aan de orde komt in het nieuwe programma voor de onderbouw weet ik niet. Van Streun en het FI zaten in alle relevante werkgroepen van cTWO, dus voor het ergste moet gevreesd worden.

De wiskunde in het nieuwe boekje voor Wiskunde A in 4HAVO

Wat na Hoofdstuk 1 volgt is in principe wel wiskunde. Ondermeer: tabellen en grafieken, statistische grootheden en binomiaalcoefficienten. Knoppen op de GRM. Grafieken bij formules mag in Hoofdstuk 2 eerst zonder maar dat is snel voorbij en komt in de samenvatting niet terug. Hoofdstuk 3, statistiek, geschiedt integraal met de computer. Uit de uitleg blijkt dat de auteurs frequentieverdelingen in data verwarren met kansverdelingen. Een symmetrisch staafdiagram wordt aangeduid met een klokverdeling. Tja, die klepel: zulke frequentieverdeling komen niet voor. Men spreekt verder over statistische variabelen zonder dat gezegd wordt wat dat zijn.

Vervolgens gaat Hoofdstuk 4 over systematisch tellen. Ook met binomiaalcoefficienten, maar 7 over 3, waar in latex het mooie commando 7 \choose 3 bij hoort (hier zijn 7 verschillende dingen, kies er 3), is een knop op de rekenmachine. De formule met faculteiten, of 7x6x5 gedeeld door 3x2x1 blijft achterwege. Wordt dat als te moeilijk gezien voor de 4HAVO-leerling?

In de overige 5 hoofdstukken gaat het over meer functies en grafieken, en over statistiek. Die moet ik nog lezen.

De toekomst telt

Terwijl het reken- en wiskundeonderwijs werd ingevuld volgens de richtlijnen van de Freudenthalgroep, met alle gevolgen van dien, holde die groep hard en verder vooruit met het Toekomst Telt rapport. Over dat rapport (het hangt hieronder als bijlage) kreeg ik deze reactie van Jan Bergstra:

“De toekomst telt mee”, Boswinkel en Schram (Uitgebracht door de Verwers Foundation, inmiddels niet meer bestaand, en de SLO).

Joost Hulshof vroeg mij er een paar regels over te schrijven. Het rapport (uit 2011) doet een serieuze poging om rekenen-wiskunde te plaatsen in een toekomstgerichte kijk op onderwijs. De karakterisering van wat de leerling in de 21 eeuw aan kennis en competentie inzake rekenen-wiskunde zou moeten verwerven is in detail uitgewerkt en is voor zover ik kan beoordelen nog actueel. Dat is met de positionering van informatica (aangeduid met ICT en software) misschien minder het geval. Daar zie ik een mogelijke zwakte van de analyse, de relatie tussen informatica en rekenen-wiskunde lijkt mij noch door het feit dat machines soms “wiskundig” rekenen, noch door het feit dat machines bij het rekenen kunnen helpen goed gekarakteriseerd. Deze omschrijvingen van hoe een computer werkt, en wat ie kan, zijn beide gedateerd.

De aanbevelingen lenen zich niet voor kant en klare omzetting in nieuwe onderwijspraktijk, maar bevatten meer een samenhangende oproep tot een verdergaand en disciplineoverstijgend onderzoek naar nieuwe inhoud en vorm in het onderwijs. Het pad naar WDA is aanwezig in aanbeveling 5. Kritiek kan men hebben op de toch wel opvallende afwezigheid van andere visies op rekenen-wiskunde dan de visie voortbouwend op het realistisch perspectief zowel in de bespreking als bij de genoemde literatuur.

Om op terug te komen. Kijk ook eens naar de publicatielijst die aan het rapport hangt en de affiliaties van de geinterviewde onderzoekers. Het rapport wordt ook genoemd in een van de bijlagen van het rapport van SLO over de rekenmachine dat hieronder aanhangt (zoek op Ververs in de pdf). En Wilbrink heeft het uitgebreid besproken, zie zijn site, of kijk hier:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/toekomstverkenning-reken-wiskundeonderwijs

Hij noemde het rapport SLO onwaardig en openlijk misleidend: iedereen kan aan deze literatuurlijst alleen al zien dat deze verkenning een PR-stuk is, dat gepresenteerd is als een wetenschappelijk verantwoordelijke verkenning.

 

NB Voor de rekenproblematiek, waar het merkwaardige eerste hoofdstuk van het nieuwe Wiskunde A 4HAVO natuurlijk niet los van is te zien, en de zogenaamde #rekentoets, waar dit hoofdstuk wellicht ook dienend voor moet zijn, zie deze pagina:

www.beteronderwijsnederland.nl/content/rabiate-tegenstanders-rekentoets-en-22-verdwenen-miljoenen

 

2 Reacties

  1. In de discussie over de

    In de discussie over de normen die de ULO's opstellen en hanteren werd in de werkgroep een nieuw criterium geformuleerd dat door een groep didactici van de ULO's is geformuleerd. Onduidelijk is wat de status van dit criterium is. Maar het luidt als volgt. Met een (andere) beta-master EN een aanvullend pakket dat leidt tot een beheersing van de wiskunde op propedeuse niveau mag je instromen in de 1-jarige ULO wiskundeopleiding (het didactiek/onderwijskunde jaar dat vroeger boven op de master wiskunde kwam).  Ik hang de formulering aan. 

Geef een reactie