Cursus Analyse voorjaar 2017

Update 2018. Wiskunde in je vingers was al een vrolijk boekje.

Here’s some more. Ook met meer algebra voor de epsilons komen, in de continuing spirit of the fingers. Deze pagina en het nieuwe boekje gaan vrolijk verder over niet alleen Analyse, namens mij bestemd voor zij-instromers van de universitaire lerarenopleidingen wiskunde en andere geïnteresseerden.

Omdat het niet langer voor de  zij-instroom zelf is ben ik de boel aan het herordenen. Daarbij wordt de voertaal steenkolenengels en wordt de verhaallijn anders en flexibeler dan destijds bedacht voor de zij-instromers:

Laatste versie met nieuwe sectie 1.3 over “A poor Babylonian approach to the cubic equation” ter voorbereiding van de impliciete functiestelling:

Analyse2018dry

Dry slaat op minder flauwe grapjes. Was getekend:


Analyse2018new

Analyse is de basis voor calculus (zeg maar voortgezet Wiskunde B).

De doorlopende leerlijn van deze pagina betreft: van rekenen in het PO tot en met wiskunde in de vervolgopleidingen (ook maar niet alleen wiskunde).

Deze pdf hieronder bevat alle twee de dictaten op veranderend verzoek van de Leidse voorzitter geschreven. En veel meer. Dit is voorlopig de laatste versie van wat ik met alle respect voorlopig maar een Basisboek Analyse noem:

Analyse2018

Na het binnenkomen in Leiden van extra @minOCW-gelden zwengelde de Leidse voorzitter een discussie aan om al het materiaal te diskwalificeren en geen gelden meer naar de VU over te maken. Dat is hem gelukt helaas. Voor wat het nog waard is:

Nieuw is Hoofdstuk 1 over Archimedes and all that really, komt in plaats van wat nu Hoofdstuk 26 is. Deels getypt bij de open haard van Meyendel betreft dit wat als fundamenten gezien kan worden.

Ik heb een hoofdstuk Standing at the Crossroads toegevoegd met een switch naar geavanceerdere zaken, die toch ook weer terug grijpen op basale zaken, zoals Hoofdstuk 13 over het platte vlak.

Het nieuwe Chapter 8 wordt apart besproken, gaat ondermeer over: (from) Green’s Theorem (to Stokes’ curl theorem). Bevat ook een aardig bewijs wel van de gegeneraliseerde stelling van Pythagoras (een prachtig stukje Lineaire Algebra) in een al vroeg mogelijke samenhang met de spectraalstelling voor symmetrische lineaire afbeeldingen.

Veel commentaar is al verwerkt (hoofdstukken 2,3,4,5,6), ook het Leidse commentaar van een jaar geleden. Na de inleiding worden de veranderingen kort toegelicht. Veranderingen aangebracht door Thomas Rot zijn nog niet verwerkt in deze versie, maar dat komt nog wel (het nieuwe Chapter 1 sluit er al op aan).

Een bewerking van het hoofdstuk over integraalrekening was mijn bijdrage aan de vakantiecursus wiskunde in de zomer van 2017:

vakantiecursus.

Reacties van het publiek bij die vakantiecursus heb ik verwerkt in het boek zelf.

Het basisboek verwijst regelmatig naar het vrolijke boekje Wiskunde in je Vingers van Ronald Meester en mijzelf, verschenen bij de uitgeverij van de Vrije Universiteit, (zonder de illustraties) te downloaden via:

www.vuuniversitypress.com/wiskunde-in-je-vingers

Wiskunde in je vingers

Met illustraties en korting is dat boekje nog steeds verkrijgbaar via de boekhandel van de VU of de betere boekhandel in stad of land, en op het web. Het boekje met Ronald zou een alternatief kunnen zijn voor het handboek dat ik hier bespreek:

www.beteronderwijsnederland.nl/blogs/2015/12/het-epsilon-handboek-voor-de-didactiek-van-de-wiskunde

Zie in verband met deze Nederlandse wereld van de didactiek ook:

Waar staan we nu met het reken- en wiskundeonderwijs?

Gelukkig, 2018. Happy New Year!


Wat betreft 2017:

Ik heb weer gekozen voor het Engels want het is allemaal niet langer op verzoek van

Mastermath voor zij-instromers wiskunde

Afgelopen voorjaar is uit een deel van het basisboek op woensdagavonden college gegeven in het kader van het zij-instroomprogramma ten behoeve van de eerstegraads universitaire lerarenopleidingen, onder regie van het nationale Mastermathprogramma. Naar de pagina die u nu ziet wordt wellicht ook nog doorverwezen door het landelijke MasterMath regieorgaan. Indien om wat voor reden dan ook downloaden daar niet lukt stuur dan een mail aan ondergetekende: jhf400@vu.nl.

Het basisboek betreft NIET het college Toegepaste Integraalrekening dat in 2016 onder de naam Analyse in het eerste semester MasterMath programma voor zij-instromers stond, maar kwam als meer inleidend college daarvoor in de plaats en is nu goed te vergelijken met een college Analyse 1.

Wat staat er in het basisboek?

De eerste helft van het manuscript behandelt de theorie achter de integraal- en differentiaalrekening voor gewone functies van 1 reele variabele. De in de analyse gebruikelijke aanpak met epsilons en delta’s komt uitvoerig aan bod, maar niet voor wissewasjes. Daarna is er een duidelijk keuzemogelijkheid, meer de harde analyse, of meer calculus, voorbeelden, toepassingen, vectorcalculus. Een alternatief is de grasshoppers route, na functies van 1 reele variabele meteen door naar complexe lijnintegralen, en terug- en vooruitbladeren als je iets tegenkomt dat je niet weet.

Met name Hoofdstuk 5 zit vol met zaken die direct relevant zijn voor de praktijk in de klas. Hoofdstuk 9 laat zien hoe de inzichten verworven in bij wijze van spreken de schoolcontext relevant en dienstbaar zijn over de grenzen van vakgebieden heen.

Vrijwel iedere stelling die in detail bewezen wordt kan in een latere fase in algemenere settings worden overgeschreven en uitgepakt. Ik denk terwijl ik dit schrijf aan Gerrit van Dijk, mijn uit Utrecht afkomstige Analyse 1 docent in Leiden destijds, die een keer het college Analyse 2 overnam. Hij was toen snel klaar (met het overschrijven van het bewijs van de kettingregel).

Het is dus een nuttige sport om typisch 1-dimensionale argumenten zoveel mogelijk te vermijden voor y=f(x) met x en y de aanvankelijk wel 1-dimensionale on- en afhankelijke variabelen in onze functietheorie. Liever geen delingen dus, laat staan differentiaalquotienten, en bij voorkeur geen groter en kleiner argumenten voor x en y (maar wel voor |x| en |y|). Een uitzondering is the Flashback section in (nu) Hoofdstuk 6.

Je leert altijd als je schrijft. De behandeling van de Impliciete Functie Stelling die ik presenteer laat tot mijn eigen verrassing zien dat dit bij uitstek een Analyse 1 onderwerp is. De samenhang met zowel de methode van Newton voor het numeriek oplossen van vergelijkingen (dat is toch wat iedere beetje toepassingsgerichte wiskundige als een belangrijke taak zou moeten zien) als ook met het vinden van extremen onder randvoorwaarden (juist in deze tijden zo belangrijk) komt uitgebreid aan bod. Een wat uit de hand gelopen hobbyproject over de link tussen een en ander in relatie to Nash (de held in de film A Beautiful Mind) hangt ook aan (maar is wat zwaarder).

Er is slechts 1 stelling die niet eerst uitputtend in de schoolcontext behandeld wordt, en dat is de uitspraak die het teken van F”, in punten waar F’=0, koppelt aan een uitspraak over lokale extremen van F. In de hier herkenbare schoolcontext is daar immers bijzonder weinig over uit te leggen (vragen geen vragen), en pas in algemenere setting dient de juiste vraagstelling zich aan. En die behandelen we daarom maar meteen zo algemeen mogelijk, in Hoofdstuk 11, dat de toepasselijke titel EXTREMISME heeft, en zeker nog niet bedoeld is voor de zij-instromers. Over deze inzichten (van Morse) aan het eind hieronder nog meer.

Wat is de voorkennis?

De gewenste voorkennis die voor het eerste deel wordt verondersteld komt overeen met grosso modo het Basisboek Wiskunde van Jan van der Craats. Het vak Fundamenten, dat ook onderdeel is van het zij-instroomprogramma, is beslist niet vereist als voorkennis. Het aangehangen Leidse dictaat is ook wat dogmatisch, zeker voor de doelgroep van Mastermath. Archimedes moet wachten tot pagina 77. Achteraf kun je van alles verzamelingenleer maken natuurlijk, maar het is enigszins misleidend om te doen alsof het pas daarmee wiskunde geworden is.

Overigens, de eerste helft van het Basisboek is op nieuw verzoek van MasterMath uitdrukkelijk als vergelijkbaar met een eerste analysevak in een universitaire wiskundeopleiding bedoeld. Het ligt zeer voor de hand dat dit basisboek voorkennis is voor meerdere vakken in het zij-instroomprogramma van MasterMath. En dat dit vak ook door alle ULO’s wiskunde als voorkennis wordt opgenomen ten behoeve van de zij-instromers die ze willen werven.

Waar moet nog eens goed over nagedacht worden voor andere vakken in bijvoorbeeld een zij-instroomprogramma?

Welke onderwerpen kies je om in een apart vak Lineaire Algebra te behandelen? Een optie zou zijn om dat zuiver vanuit de vele toepassingen van lineaire algebra te benaderen. Denk bijvoorbeeld aan zaken als Singular Value Decomposition en Principle Components Analysis.  Beginnen met het oplossen van Ax=b met A een niet te grote bij voorkeur vierkante matrix, b een gegeven vector en x een onbekende vector lijkt me een goed idee. Dat laatste is eigenlijk ook alles dat nodig is voor veel van wat we met vectorwaardige functies doen.

Verder is enige multi-lineaire algebra niet weg, niet voor wat we in het college voor de zij-instromers gingen doen, wel inmiddels opgenomen in Hoofdstuk 8, dat als subtitel zou zou kunnen hebben:

Wat d is, dat kun je niet weten

Secties 8.11 vormt de brug van de analyse in Sectie 8.1 naar de d-algebra in Sectie 8.12.

Verder weg kun je hier op twee manieren lezen. Ik heb in het manuscript op veel plekken concreet gemaakt wat we echt aan Lineaire Algebra nodig hebben, zie ook het Lemma van Morse, dat uiteindelijk weer een versie kan krijgen die in Analyse 1 past, maar in de abstracte setting nu eerst tot leuke inzichten leidt, die voor gewone functies van meer variabelen via de impliciete functiestelling tot een aardig stukje matrixrekening leiden. Zo leer je nog eens wat.

Want waar ging het om met die tweede orde afgeleide?

Stel je hebt een functie F(x) waarvan je weet dat F(0)=F'(0)=0, en F”(x) is een formule waaraan je ziet dat F”(0) niet gelijk is aan 0. Maakt een transformatie van de vorm p=A(x)x, met bijvoorbeeld A(0)=1, in de buurt van (0,0) van de grafiek een echte dal- of bergparabool in het p,y-vlak? Een wat aangescherpte versie van het criterium van de tweede afgeleide voor lokaal minimum dan wel lokaal maximum: a happy or a sad parabola zoals mijn thuisfront het noemt.

Het aardige is dat de kwadratische vergelijking die je voor A(x) kunt opschrijven oplosbaar is als F”(0) inverteerbaar is, en dat het voor functies van meer variabelen precies hetzelfde gaat. Voor zulke functies is de tweede afgeleide een matrix met daarin alle gemengde tweedeorde afgeleiden. Precies als die matrix inverteerbaar is dan lukt het. En alleen bij de tweede orde afgeleiden is dan het mogelijk om over F”(0) als een al of niet inverteerbare vierkante matrix te praten, waarmee je een kwadratische vergelijking voor A(x) krijgt die je op kunt lossen. En vervolgens de oplossing A(x) zo kunt opschrijven dat je niet meer ziet dat het om functies van meer variabelen ging. Daarmee is het kringetje wel rond: kwadratische functies vertellen ons (bijna) alles.

Wat komt er nog bij?

Over wat voor paden wil je integreren in het vlak? Conway (die andere) introduceert in zijn vermaarde boek de zogenaamde rectificeerbare krommen als equivalentieklassen van geparametrizeerde krommen. Dat was voor mijzelf de eerste wiskundig correcte behandeling die ik ooit zag. In het huidige manuscript ben ik begonnen met stuksgewijs lineaire paden waarbij de parametrisaties aanvankelijk naar de achtergrond zijn verdwenen en pas bij een limietovergang weer in beeld komen. De sectie “Kromme lijnintegralen” geeft een aanzet. Een soort ontdekkend leren, eerst kijken wat er sowieso aan conclusies moet gelden alvorens tot definities komen. De stuksgewijs lineaire paden zijn voldoende voor de introductie van de zogenaamde functional calculus via de Cauchy Integraal Transformatie. Dat gaat met driehoeken in hun onderlinge standjes.

Pythagoras

Kijk eens naar

www.cyberphysics.org/wwilson/Talks/DA_Talk.ppt

Wie anders dan deze Wilson en ik de Stelling van Pythagoras niet als een soort natuurwet ziet heeft natuurlijk wel een punt. Twee filmpjes:

www.youtube.com/watch?v=Ma8KdcJmkHU (onderdeel van een groot project van Theodorus dat er uitstekend uitziet en het Engels zal geen probleem zijn)

www.few.vu.nl/~jhulshof/RYB.mov

Dit is een leuk bruggetje tussen Pythagoras, natuurkunde en de algebraïsche vaardigheden bij calculus:

www.beteronderwijsnederland.nl/wp-content/uploads/2014/12/poppetje.pdf

Kolomcijferen

Aan begin van Hoofdstuk 1 (nu 27) is een nieuwe subsectie kolomcijferen toegevoegd. In die subsectie verken ik de aanpak van Theodorus. Voor de leerzame lol. Het is wel aardig om te proberen dit zoveel mogelijk op basischoolniveau te doen, dus daarom nog maar niet meteen met binaire getallen. Kunnen de reele getallen op een fatsoenlijke manier basisschoolstof zijn? De vraag ligt voor de hand omdat in de referentiekaders rekenen (Staatsblad 2010 265) van de expertgroep onder leiding van Anne van Streun het rekenen met breuken de facto is afgeschaft. De referentiekaders volgen de lijntjes uitgezet in het TAL-project, waarover hier meer:

www.few.vu.nl/~jhulshof/TAL.pdf

Niet alle academische wiskundigen lijken op de hoogte van de bepalende rol die deze stukken spelen in het rekenonderwijs, om over de #rekentoets maar niet te spreken. Hoe het heeft kunnen geschieden dat bijvoorbeeld de decimale representaties van door breuken gerepresenteerde rationale getallen (dan wel rationale getallen definierende breuken) alleen nog met de rekenmachine bij de hand worden uitgelegd lijkt kwa belang wel ondergeschikt aan een precieze definitie van wat een breuk is.

Enjoy.

JH/FF

Fundamenten

Summer2018

Geef als eerste een reactie

Geef een reactie