- Tweet
@coosjeb motivatie ontstaat door succeservaring bij iets dat eerst moeilijk/vervelendwas. Jammer als je dat kinderen onmogelijk maakt.
Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog? [12]
Een overzicht, na de eerste elf rekenblogs.
De eerste elf blogs springen nogal van de hak op de tak, van het oeroude verleden (Freudenthal, 1968) (blog 7456) naar de nieuwe problemen in de dop (de rekentoetsen zoals de Toetswijzercommissie die in eerste instantie ziet, handig rekenen’ in de kerndoelen, de referentieniveaus en de rekentoetsen (7591, 7599, 7607), van de politiek (de Tweede Kamer bijeen op 31 maart 2010) (7577) naar wetenschapstheorie (waarom de Freudenthal-groep geen empirisch onderzoek meent te hoeven doen) (7485, 7616). Belangrijke onderwerpen zijn nog niet eens aan de orde geweest: Hoe staan de huidige rekenprestaties van Nederlandse leerlingen er eigenlijk voor? Wat zijn de theoretische uitgangspunten van Freudenthal en de zijnen eigenlijk waard? Tijd voor een tussenbalans.
De stormbal is gehesen: de resultaten van de PPON 2004 laten ondubbelzinnig en onweersproken zien dat de Nederlandse 12-jarigen ernstig achteruit zijn gegaan in basale rekenvaardigheden. De grootste gemene deler in het rekenonderwijs sinds ongeveer de negentiger jaren is dat het vrijwel geheel berust op rekenmethoden die realistisch zijn geïnspireerd. Het valt te denken dat de conclusie dan toch voor de hand ligt: dat realistisch rekenen blijkt geen gouden greep te zijn, weg ermee. Dat is een normale, rationele conclusie, al zullen allerlei andere factoren ongetwijfeld mede een rol spelen. Trouwens, daar hebben we weer zoiets: als het mede aan de didactische kwaliteiten van de leerkrachten ligt, dan komt het realistich rekenen wederom ten tonele: de pabo’s zijn veelal gericht geweest op het scholen in het realistisch gedachtengoed, en leveren al enige tijd jonge leerkrachten af die helemaal geen tradioneel rekenonderwijs meer kennen.
Veel scholen blijken ondertussen wel degelijk te weten dat het realistisch rekenen de problemen veroorzaakt: de Inspectie meldt dat zij hun realistische rekenmethoden aanvullen met extra leermateriaal om de basale rekenvaardigheden tenminste nog enigszins overeind te houden (7520)
Er is een kleine maar invloedrijke Freudenthal-groep die er heel anders over denkt: over de oorzaak van de zwakke basale rekenprestaties. Al naar gelang waarvandaan de wind komt, is het argument dat het eind 80-er jaren een bewuste keuze van het onderwijsveld is geweest om in het rekenonderwijs minder aandacht aan basale rekenvaardigheden te schenken (we moeten dus niet vreemd opkijken wanneer die vaardigheden dan ook teruglopen), of is het argument dat het realistisch rekenen nog onvoldoende is geïmplementeerd (dus moeten de inspanningen verdubbeld, moet het rekenonderwijs dus nog realistischer worden).
Hoe invloedrijk is de Freudenthal-groep? Van de groep zelf krijgen we te horen dat scholen vrij zijn in de keuze van hun rekenmethode: als iedereen dan methoden kiest die op realistische leest zijn geschoeid, is alles oké. En toegegeven, de Freudenthal-groep heeft zo bezien inderdaad overweldigend succes geboekt. Uitstekende PR, want succes. Dat een universitaire groep (sinds de overgang van IOWO naar OW&CO, later FI) zichzelf voortdurend aanprijst is een ander verhaal en het behoort zeker niet tot de ethiek van het wetenschapsbedrijf. Dat aanprijzen is zelfs zover gegaan dat de Nederlandse kerndoelen voor het rekenonderwijs twee stempels hebben gekregen: 1) dat het voortaan niet meer rekenen, maar ‘handig rekenen’ is, 2) met het goedkeuringsstempel van de overheid. Staatsrekendidactiek. (7591, 7599, 7607). OCW lijkt zodoende te worden aangestuurd vanuit Utrecht, althans waar het om het rekenonderwijs gaat, met als gevolg dat minister van onderwijs Rouvoet in de Tweede Kamer de rekenreferentieniveaus definieert als een uitwerking van die kerndoelen, van ‘handig rekenen’ (7577).
Dit lijkt op het eerste gezicht een impasse in een strijd tussen tegen- en voorstanders van realistisch rekenen. En verdraaid, het rapport van de KNAW-commissie die zich over de problematiek heeft gebogen, lijkt dat beeld te bevestigen. De commissie brengt een unaniem onderschreven rapport uit dat de gevoeligheden van de voorstanders van realistisch rekenen spaart, maar verlost Nederland daarmee niet van een absurde rekendidactiek. Wat ik heb gemist in het rapport Lenstra is een scherpe analyse van de realistische rekendidactiek (ik zal er nog in een afzonderlijke blog op terugkomen).
De insteek van deze serie blogs is om te laten zien, zo gedocumenteerd en zo navolgbaar mogelijk, dat de keuze tussen goed rekenonderwijs of realistisch rekenonderwijs niet gemaakt hoort te worden op basis van wie de meeste invloed heeft, maar op basis van wat de beste argumenten zijn. Waar de noodzakelijke empirische gegevens nog zouden ontbreken, moeten die als de wiedeweerga worden verzameld in degelijk onderzoek. Maar extra onderzoek is naar mijn inschatting niet nodig om de zaak te beslissen: er zijn ondertussen sterke empirische data beschikbaar, niet uit onderzoek door het FI (hoewel het enige behoorlijke FI-onderzoek – het MORE-onderzoek – wijst op een ernstig probleem in het bouwwerk van het realistisch rekenen), maar vooral uit de PPON-analyses (7587).
Nu blijkt de strijd om het rekenonderwijs niet alleen meer te gaan om wat de empirische onderzoeken ons vertellen dat er aan de hand is: er is een wetgevingstraject ingezet dat voorziet in door de overheid afgedwongen extra aandacht voor (taal- en) rekenonderwijs in basis- en voortgezet onderwijs, en het mbo. De dwang zou kunnen komen door rekentoetsen die onderdeel gaan uitmaken van de eindexamens vmbo, mbo en havo/vwo, evenals van herziene eindtoetsen voor het basisonderwijs. Niemand kan nog zeggen hoe dat precies vorm gaat krijgen, op welke manier rekentoetsen voor wie of wat mee gaan tellen, of leerlingen er op kunnen zakken, en waar dan de grenzen liggen: dat is allemaal nog onderwerp van nadere regelgeving nadat bijvoorbeeld de rekentoetsen concreet zijn uitgewerkt en beproefd (7577). Er is een Toetswijzercommissie ingesteld met de taak om de wettelijk vastgestelde referentieniveaus (aangeleverd door de cie-Meijerink - wg-Van Streun) te vereenvoudigen tot toetswijzers op basis waarvan rekentoetsen kunnen worden ontworpen. De commissie heeft april jl concept-voorbeeld-rekentoetsen voor advies voorgelegd aan het veld en aan een meeting van experts (zie voor links naar relevante stukken het begin van blog 7587).
Nu er concept-voorbeeld-rekentoetsen beschikbaar zijn blijkt ook dat de wetgever geen heldere boodschap heeft. Dat kale rekensommen alleen ‘handig rekenen’ toetsen lijkt dan nog het kleinste probleem: nu die absurditeit op het niveau van het vo en ho is getild, zal daar vanzelf oppositie tegen dit gemankeerde rekenen ontstaan. ‘Gemankeerd’: de PPON laat zien dat handig, schattend en hoofdrekenen tot massaal verkeerde antwoorden leidt. Vergelijk de situatie wanneer scholen een heel eigen taalspelling zouden gebruiken! Welnu, zoiets is met het rekenonderwijs aan de hand. Ernstiger is dat de wetgever niet duidelijk is over het te bereiken doel: het enige doel lijkt te zijn dat het onderwijs meer aandacht aan taal en rekenen geven, hoe scholen dat gaan doen kunnen ze zelf bepalen, maar de overheid bepaalt wat scholen (individuele leerlingen?) aan het eind van de dag (bij de eindexamens?) bereikt moeten hebben. Uit deze Dijsselbloem-kramp tussen het wat en het hoe moet het idee geboren zijn om rekenstandaarden vast te leggen. Maar zijn de referentieniveaus van de werkgroep-Van Streun die standaarden? De Tweede Kamer wist het ook niet, zodat tijdens de kamerbehandeling op 31 maart 2010 door minister Rouvoet is vastgelegd dat de referentieniveaus een uitwerking zijn van de kerndoelen rekenen. Maar hoe zit het dan met die betere aansluiting bo-vo, vo-ho, en voor het mbo: dat was toch de inzet van de oefening? En daarbij speelde toch de zorg over de rekenachterstanden zoals die o.a. uit de PPON 2004 waren gebleken? Moeten we dan niet eerst weten waarom die achterstanden hebben kunnen ontstaan? Deze waarom-vraag is nadrukkelijk aan de orde gesteld in de kamerbehandeling, met alleen machteloze speculaties van kamerleden als antwoord. Wat een armoede, waarom heeft OCW dat niet al veel eerder onafhankelijk laten onderzoeken? Het wetgevingstraject nu overziende gaat het leiden tot meer inspanning van hetzelfde rekenonderwijs dat allereerst tot de huidige problemen heeft geleid. Na elf blogs heb ik eigenlijk alleen maar vragen over wat de wetgever eigenlijk wil. Wel of geen rekenmachines? De handelingen van 31 maart 2010 geven de indruk dat de wetgever sterk maar wel traditioneel rekenonderwijs voor ogen heeft gehad, zoals de sprekers in dat debat het zelf nog hebben genoten.
De tegenstelling tussen goed rekenonderwijs en realistisch rekenonderwijs komt nu terug in de vorm van een levensgroot conflict tussen het parlement (goed rekenonderwijs, geen rekenmachine) en de Toetswijzercommissie (realistisch rekenonderwijs, met rekenmachine), en mogelijk ook in een conflict tussen wiskundeleraren en de Toetswijzercommissie, en tussen het ontvangende ho en de toetswijzercommissie. Dan heb ik de leerlingen nog niet genoemd, die in deze mallemolen kotsmisselijk dreigen te worden en een en ander dus niet in dank af zullen nemen. Het conflictueuze zit hem erin dat deze rekentoetsen vooral overbodige toetsen zijn (havo/vwo), en voorbijgaan aan wat als tekorten in vooral basale rekenvaardigheden worden ervaren in vo, mbo en ho.
Ik begrijp hier allemaal dus niets van. Want wat gebeurt er: in alle drukte van commissies, parlementaire behandeling, en concrete uitwerking is het de protagonisten van het realistisch rekenen gelukt om de aandacht af te leiden van de hamvraag: zit Nederland in de rekenproblemen dankzij het realistisch rekenen, of ondanks het realistisch rekenen? Nou ja, in beide gevallen ligt het niet voor de hand om als remedie voor de rekenproblemen, het voortgezet onderwijs ook nog eens hinderlijk te belasten met dat rekenen dat uitgaat van dezelfde realistische kerndoelen (handig rekenen’ enz.). Het hoger onderwijs zit er al helemaal niet op te wachten: de bijspijkerprogramma’s rekenen gaan vooral over de basale vaardigheden die de protagonisten van het realistisch rekenen nu juist met de vuilnisman hebben meegegeven.
Dan ligt het voor de hand om alsnog een poging te doen om de inspanningen voor het rekenonderwijs te baseren op wat evidence based is. Aan de Freudenthal-groep dus de vraag om de evidence te produceren waar de realistische rekendidactieken op berusten. Blog 7616 heeft laten zien dat er helemaal geen empirische basis is voor de claim dat het realistisch rekenen goed uitwerkt, dus zeker niet voor extra realistisch rekenonderwijs in het vo! Dit moet toch beslissend zijn, dunkt me. Voeg daar het empirisch bewijsmateriaal uit de PPON aan toe, inclusief de Leidse studies door Kees van Putten, Marian Hickendorff, en Willem Heiser (zie blog 7587).
Is het realistisch rekenen nog te redden omdat het mogelijk berust op een uitstekend theoretisch kader? Ik dacht het niet, en zal nog in een reeks blogs laten zien hoe de vijf beginselen die Adri Treffers onder het realistisch rekenen heeft gelegd, goede psychologische gronden ontberen. Dat ligt ook voor de hand: het realistisch rekenen is langzamerhand uitgegroeid tot een vorm van radicaal constructivisme (zie uitlatingen van Uittenbogaard, Oonk, Treffers, Goffree waar het helemaal niet meer de bedoeling is dat leerlingen uiteindelijk ook nog eens de standaardalgoritmen beheersen). Het constructivisme is zelf al een stevige misvatting van wat de cognitieve psychologie verstaat onder het idee dat de hersenen zich voortdurend een beeld van de wereld scheppen. Dat laatste is van een totaal andere orde dan het idee dat kinderen zichzelf hun eigen wiskunde moeten vormen. Guided reinvention, dat nog wel, maar wat een gekkigheid (let wel: het gaat om basisscholieren en -scholiertjes!).
Ja, en dan is het rekenen zelf nog niet eens aangestipt. Ik ben geen wiskundige, en ik vind dat wiskundigen prima in staat zijn de wiskundige onzin uit de publicaties van de Freudenthal-groep aan te wijzen. De situatie is hier weinig anders dan in de VS, waar iets wordt onderwezen en getoetst dat wiskunde moet heten, maar dat in feite niet meer is (is Californië de uitzondering?).
Zoals ook psychologen een schone verplichting hebben om duidelijk te maken dat de realistische rekendidactiek poogt leerlingen slimmer te maken en hun ruimtelijk inzicht te vergroten. Schitterend als deze dingen tot de mogelijkheden van het onderwijs zouden horen, maar dat doen ze dus niet. Het reken- en wiskundeonderwijs mag niet degenereren tot het voortdurend toetsen van verschillen in intelligentie.
Literatuur
- Zie de literatuur vermeld in de voorgaande blogs
Voorgaande blogs
- Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456
- Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485
- Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520
- Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streun blog 7547
- Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555
- De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 blog 7577
- Diagnose rekenproblematiek bo, met Harskamp 2007, bijlage A werkgroep-Van Streun blog 7587
- Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591
- ‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9] blog 7599
- ‘Handig rekenen’: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard’s ‘Juliette en Jonas’ [10] blog 7607
- Waarom de Freudenthal-groep niet onderzoekt of realistisch rekenen wel deugt [11] blog 7616
Volgende blog
- Is het realistisch rekenen theoretisch gefundeerd? Begin van de reis langs zijn beginselen [13] blog 7700
Reacties
Voor je overzicht en al het werk dat je eraan besteed hebt.
Een reaktie van het FI lijkt me zeer gepast. Zoniet dan is het "Qui ne dit mot consent".
@hendrikush
Je Frans is niet slecht, maar ik ben het er niet mee eens. Ik was in 1974 in een ‘Qui ne dit mot consent’-situatie terechtgekomen, en dat was niet aangenaam. Ik was destijds woordvoerder van de Contactgroep Research Wetenschappelijk Onderwijs (CRWO) op het dossier over selectie bij numerus-fixusstudies zoals geneeskunde. Het standpunt van de CRWO was dat integraal loten de minst beroerde oplossing is onder de gegeven omstandigheden (capaciteitsgebrek; toelaatbaarheid met vwo-eindexamens). Prof. Bakker, bioloog RU Leiden, kwam daartegen in verzet in de nrc; zijn postbus stroomde vervolgens over van de steunbetuigingen. In het CS van de nrc schreef ik in overleg met redacteur Pollman een artikel als antwoord. Zoals dat gaat, kwam daar o.a. een neersabelende reactie op van Leppink en Veldkamp, hoogleraren mathematische statistiek en wiskunde als ik het goed heb. Collega’s raadden mij ten sterkste af om daar weer op te reageren. Ik heb dat dus alleen in een persoonlijke briefwisseling gedaan, en daar een goed contact met prof. Leppink aan overgehouden.
Voor prof A.D. de Groot was het uitblijven van mijn reactie aanleiding tot jouw Franse oordeel; heel pijnlijk. Prof. Hans Crombag heeft ik meen in het Universiteit en Hogeschool uitgelegd dat A.D. de Groot hierin geen juist oordeel heeft gehad.
Vanuit het FI is het realistisch rekenen verdedigd in diverse publicaties in 2009 en 2010, waar ik ook naar heb verwezen.
Er komt ongetwijfeld een gelegenheid voor een wisseling van argumenten, dat hoeft niet op dit forum te zijn maar bijvoorbeeld bij gelegenheid van uitwerking van enkele thema’s tot artikelen in het Nieuw Archief voor Wiskunde of in Euclides. Of Panama Post. Ik respecteer ieders keuze om niet op dit riskante forum te reageren op de rekenblogs.
Ik neem tevens mijn petje af. De heer Wilbriunk doet wat zijn wetenschappelijke status verlangt: het opzoeken van wetenschappelijke onderzoeken, het kritisch doorlezen ervan en het toetsen van die onderzoeken aan de eisen die aan wetenschappelijk onderzoek worden gesteld.
Al die inspanning bewonder ik; tevens begrijp ik waarom ik voor de wetenschap niet in de wieg ben gelegd: ik zou het allemaal doodvermoeiend vinden.
Ik zie het een beetje als een wetenschappelijk circuit dat zichzelf, door onderlinge toetsing, aan het werk houdt.
Achteraf kan het zeker nuttig zijn. En daarmee kom ik tot de kern van mijn bezwaar: het is toch steeds achteraf praten en analyseren.
Waar de leden van Freudenthal voor de troepen uitliepen en vooraf idealen verkondigden die 'wetenschappelijk' verantwoord zouden zijn.
Ik blijf erop hameren dat het toch steeds weer de praktijkmens is die als eerste allerlei manco's opmerkt. Degenen die vanuit het paradigma 'rekenen is vaardigheid' lesgaven, zagen al zeer snel hoe dat RR-rekenen niet goed werkte. RR-rekenen werkte allen goed als men een ander paradigma hanteerde: rekenen is vooral begrijpen.
De praktijkmens had deze nuances al snel door.
De heer Wilbrink, met al zijn goede werk, is vooral achteraf bezig. Tijdens de invoering van de nieuwe paradigma's hebben wij weinig kritiek van hem vernomen.
En dat is wellicht misschien wel logisch: wetenschap functioneert pas als er voldoende meetbaar materiaal voorhanden is. Wetenschappers die voor de troepen uit lopen, zonder voldoende meetbaar materiaal, moeten het vooral van dromen, fraaie woorden en idealisme hebben.
Ik blijf dus pleiten voor de open ogen en oren (en daarmee voor de belangrijkste stem) van de gewone praktijkmens. Die kan als eerste allerlei zwakheden in het ideaal opmerken.
De invoering van realistisch rekenonderwijs kun je een toetsexpert moeilijk kwalijk nemen. De hoogleraren wiskunde mogen zich wel achter hun oren krabben. En de hoogleraren onderwijskunde, pedagogiek en psychologie ook. Slechts een enkeling heeft er iets van gezegd.
In mijn ogen is een toetsexpert iemand die zelf goede toetsen heeft ontworpen.
Kritiek is namelijk altijd de gemakkelijkste weg. Zelf iets beters aandragen blijkt altijd veel lastiger.
Verder neem ik de heer Wilbrink de invoering van het realistisch rekenonderwijs uiteraard niet kwalijk. Ik zeg alleen dat zijn kritiek een beetje laat, als mosterd na de maaltijd, komt.
Maar er is zeker sprake van een historisch belang. Toekomstige historici zullen, als zij het onderwijs begin 21-ste eeuw willen begrijpen, zeker nut hebben van de analyses van de heer Wilbrink.
De gewone meester of juf heeft echter directer belangen op het oog: het rekenbelang van Pietje en Marietje in het jaar des Heren 2011. Wat mij betreft gaat dat laatste belang voor het latere historische belang waarbij 'correcte' analyses eventueel (want zeker is dat allerminst; niemand weet welke vreemde vooringenomenheden in de toekomst zullen gaan gelden) zullen worden gemaakt.
RR-rekenen, dat klopt niet als afkorting. Het betekent 'realistisch rekenen-rekenen'.
Als afkortingen een eigen leven gaan leiden, kunnen dit soort fouten ontstaan. Maar de alternatieven zijn: R-Rekenen, alleen maar 'RR', of voluit 'realistisch rekenen'.
Een gratis oefenprogramma eenvoudig rekenen zonder rekenmachine:
http://itunes.apple.com/nl/app/rekenruimte/id399787218?mt=8
hoort bij de Noordhoff serie ‘Getal en Ruimte’
Het zou interessant zijn als de 18 hoogleraren die in het pamflet
http://vorige.nrc.nl/opinie/article2039486.ece ( link kopieëren in browser svp)
zo uitgesproken hun mening hebben gegeven over de verdiensten van het realistisch rekenonderwijs inhoudelijk reageren op de bevindingen in deze samenvattende blog. De commissie onderwijs van Platform Wiskunde Nederland, zie
http://www.platformwiskunde.nl/onderwijs.htm
doet er ook goed aan kennis te nemen van deze blog.
Joost
Je onderschat de macht Joost. Als je die hebt hoef je helemaal aan niemand verantwoording af te leggen. Denk maar niet dat ze de moeite willen nemen om zich te vernederen om op grond van argumenten en inhoud verantwoording te nemen.
Ze hebben de macht en de minister geeft ze die. Dat gebeurt niet op grond van argumenten, maar op grond van relaties en gevestigde orde.
Ze willen niet (kost moeite) en ze durven niet (riskeert positie)
Wel Hinke, ik blijf optimistisch, het zijn per slot van rekening wetenschappers.
De rekenproblemen beginnen op de PABO's met de TAL-boekjes. Zie
http://www.few.vu.nl/~jhulshof/TAL.pdf en ook http://www.few.vu.nl/~jhulshof/18HL.pdf. Joost
Over de laatste halve eeuw bezien zijn de meest invloedrijke spelers in het rekenonderwijs in Nederland te vinden in de netwerken van Hans Freudenthal en na 1990 het Freudenthal Instituut. Zeker, er zijn tal van andere spelers: andere onderzoekgroepen, uitgevers, pabo’s, de NVvW, OCW, de politiek, SLO en Cito, cTWO, en onderwijsonderzoekers. Maar kijk naar de verschillen in de didactiek in de klas tussen 1960 en 2010, dan is de bepalende invloed die van Hans Freudenthal & de Wiskobas-groep, en de verspreide groep van pleitbezorgers van het realistisch rekenen. Die laatste groep is verspreid, letterlijk bij de opheffing van het IOWO in 1981, maar vooral omdat Hans Freudenthal en de zijnen school hebben gemaakt en er op tal van plaatsen nu individuele spelers zijn die met overtuiging het gedachtengoed van het realistisch rekenen promoten. In de instituten van de genoemde reeks van ‘andere’ institutionele spelers zijn dan ook vele medewerkers te vinden die al dan niet nadrukkelijk uitgedragen opvattingen over het rekenonderwijs hebben die teruggaan op vooral het denken van Hans Freudenthal.
Waarom schrijf ik dit zo op? Ik heb in deze en de voorgaande blogs eigenlijk voortdurend moeite met het vinden van een naam of een aanduiding van dit complexe netwerk van didactici en anderen die met overtuiging achter het gedachtengoed van het realistisch rekenen staan. Zo heb ik, meen ik, gebruikt: ‘protagonisten van het realistisch rekenen’, ‘Freudenthal en de zijnen’, ‘de Freudenthal-groep’, ‘de realistisch rekenaars’ en ‘de Freudenthalers’. Het gaat altijd vergezeld van met naam en toenaam aangeduide publicaties en citaten daaruit, dus het probleem is hier niet dat de aanduidingen onnodig generaliserend zouden zijn. Maar echt bevredigend is het niet, en ik kan me voorstellen dat er bij de zo aangesprokenen enige irritatie over ontstaat. Het gebruik van ‘de Freudenthalers’, zo heb ik begrepen, wordt niet opgevat als een juiste karakteristiek, maar als een denigrerende benaming; als dat zo is, is het beter deze aanduiding niet te gebruiken. Ik zal het overwegend houden bij ‘de Freudenthal-groep’.
vv 2
Er blijft in al deze aanduidingen — ‘de Freudenthal-groep’ enzovoort — iets onbevredigends zitten. Natuurlijk is de ene voorstander van realistisch rekenen de andere niet, en gaat het binnen de Freudenthal-groep om een familiegelijkenis (in Wittgensteiniaanse zin) tussen de spelers binnen deze groep. Een gemeenschappelijk kenmerk is in ieder geval dat voor het theoretisch kader altijd wordt teruggegrepen op het werk van Hans Freudenthal en de vijf beginselen die Adri Treffers onder woorden heeft gebracht. Juist dit naar binnen gekeerd zijn van deze groep rekendidactici rechtvaardigt en maakt het onvermijdelijk om de spelers in dit netwerk als groep aan te duiden. In blog 11 geeft het uitvoerige citaat uit het proefschrift van Buijs daar een scherp voorbeeld van: Buijs volgt Freudenthal in kwesties van methodologie, en dat is het.
Het bestaan van deze groep impliceert dat er spelers zijn die niet tot deze groep behoren. Of zij dan ook tegenstanders van de Freudenthal-groep zijn is niet interessant, maar kan wel persoonlijke wrijvingen opleveren. Niet doen; er is niets persoonlijks aan de orde. Het gaat om de kwaliteit van het rekenonderwijs. Dan gaat het niet aan om vanuit een gesloten onderwijsopvattin invloed op dat rekenonderwijs uit te blijven oefenen. Het gaat dus niet om de groep, maar om de wetenschapsopvatting. Ik constateer dat op dit punt Jan van Maanen, gezien zijn oratie pdf, zich als directeur van het FI open opstelt: er is gemeenschappelijke grond om gezamenlijk het rekenonderwijs uit het slop te helpen, waarmee tal van partijen (scholen, uitgevers, toetsmakers) ondertussen al een begin hebben gemaakt. Zie hier voor een korte annotatie bij zijn oratie.
Ben Wilbrink
Ik denk dat de gebeurtenissen rond het realistisch rekenen sterke overeenkomsten vertonen met die rond het CGO.
- sociaal constructivistisch
- niet op feiten gebaseerd, geen onderzoek naar geschiktheid en effecten
- geen fatsoenlijke analyse van ervaren problemen en daarbij passende oplossingen
- een conglomeraat aan meelopers die de boodschap verspreiden als het enige heil
- die langzamerhand steeds meer invloed en macht inzake het (reken)onderwijs hebben verkregen, zonder daarvoor echt verantwoording te hoeven afleggen
- en die zaken volledig naar hun persoonlijke visie gaan interpreteren (niemand weet of iets nu wel of niet absoluut onderdeel is van CGO)
- pas als van alle kanten duidelijk is dat het nieuwe geen betere resultaten oplevert, komt er bij enkelen (die geen machtspositie innemen) twijfel
Zo is het gegaan met rekenen en zo zal het gaan met de competenties. De competenties zelf zijn al gestorven, de werkprocessen en de kerntaken leven nog wel. Een brede en degelijk ondergrond aan theoretische kennis probeert men ongewenst te verklaren, maar het idee dat dit onmisbaar is/gevraagd wordt wint al terrein (zie o.a. de in te voeren examens Nederlands/Rekenen/Engels)
De overeenkomsten zijn evident Hinke, toch is er een in mijn ogen fundamenteel verschil. Wellicht niet in de processen rondom RR en CGO, maar wel in de basis.
Het RR is ontwikkeld vanuit het vak. Het is een didactiek in plaats van een onderwijskundige theorie. Eerste doel was kinderen beter leren rekenen. Alhoewel Freudenthal wel gezegd heeft dat wiskunde als apart vak zou (moeten) verdwijnen en ik daarmee niet geheel zeker ben over alle intenties, is mijn ervaring dat alle veranderingen in het begin wel degelijk werden gestart vanuit de gedachte om beter reken- en beter wiskundeonderwijs te geven. Kinderen zouden beter kunnen rekenen als ze begrepen wat breuken waren in plaats van de dan gangbare situatie, dat ze "stom" de regeltjes toepasten en die ook door elkaar haalden.
Pas later heeft men het constructivisme gebruikt als vehicel om te legitimeren waar men mee bezig was en welicht ook om de invloed te borgen en versterken. Zo paste dat hele realistisch rekenen in de vigerende onderwijskundige mode. Achteraf maakt het feit dat we inderdaad kunnen zeggen dat het RR kenmerken in zich draagt van het constructivisme, dat RR evenzeer een vergissing is als het constructivisme dat is.
@ 2010,
Het niet aflatende getoeter van de realistisch rekenaars dat traditioneel rekenonderwijs ‘mechanistisch’ zou zijn (een uitvinding van Adri Treffers, maar dubbel en dwars een drogreden) heeft diepe sporen getrokken in ons rekenonderwijs. Zo diep, dat ook jij de drogreden herhaalt:
Treffers heeft voor het tweede deel van deze stelling — wat de ‘de gangbare situatie’ zou zijn — nooit ondersteunend bewijs geleverd. Anecdotisch materiaal is natuurlijk altijd te vinden, maar het is niet handig om dat ‘stom’ te presenteren als bewijs. Bij mijn weten heeft Treffers er maar op één plaats enige afstand van genomen: in de inleiding tot De Proeve deel 1 (1989), waar hij benadrukt dat de tegenstelling tussen traditioneel en realistisch natuurlijk niet zwart wit is, maar tal van grijstinten kent (ik vat het in mijn woorden samen; Treffers, De Moor en Feijs gebruiken hier ook een iets andere terminologie voor de tegenstelling).
Ik maak van deze gelegenheid gebruik om te wijzen op de mogelijkheid van een derde factor als verklaring: dat beroerd realistisch rekenonderwijs — waar Nederland nu onder lijdt — gemeen heeft met slechts incidenteel beroerd traditioneel rekenonderwijs — waar Nederland tot rond 1990 mee gezegend was — dat het gaat om leerkrachten die niet opgewassen zijn/waren tegen hun rekentaken. Ik weet het niet, hoor, maar ik heb toch zo’n vermoeden dat anno 1970 de onderwijzers in de lagere school beter rekenonderwijs gaven dan de leerkrachten in het basisonderwijs van 2011. Door de bank genomen. Laat OCW daar eens een onderzoek op aanbesteden. De PPON 1987 versus 2004 is ook goed, natuurlijk.
De stelling van veel leden van de Freudenthal-groep dat het traditionele rekenonderwijs ‘mechanistisch’ zou zijn — zonder begrip, opdreunen, en andere lelijke dingen — is een drogreden (stroman) die mij buitengewoon stoort, en dat blijkt een belangrijke motivatie te zijn voor mijn bemoeizorg met dat realistisch rekenen. Zo gaan die dingen.
Een indruk die ik heb uit het proefschrift van Fred Goffree, dat o.a. een informatief overzicht geeft van de naoorlogse ontwikkelingen in het rekenonderwijs, is dat de kweekscholen onderwijzers afleverden die zeer rekenvaardig waren, maar zonder didactische bagage dat die naam mocht dragen. Ik vermoed dat dit in het lager onderwijs kan hebben geleid tot rekenonderwijs dat weliswaar didactisch ‘arm’ was, maar rekenkundig in ieder geval correct. Ik ben wel benieuwd of er meer valt te zeggen over hoe dat rekenonderwijs in de klas in werkelijkheid in zijn werk ging, me al zijn kwaliteitsvarianten.
Interessant is in ieder geval ook, al gaat dit over de voorafgaande periode:
A. Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Wolters. Proefschrift. Leen bespreekt o.a. eerdere pleidooien om het rekenonderwijs te ontdoen van pedante overlading. Bepaald iets anders dan mechanistisch rekenen. Toch?
Onderzoek dat een beeld geeft van de kwaliteit van wat er in de klassikale rekenles gebeurt is al met al toch vrij uitzonderlijk, is mijn indruk. Een recente voorbeeld, uit de VS:
Heather C. Hill and others (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511. pdf
Ik ben blij dat ik mechanistisch autorijd: kan ik meer aandacht aan het verkeer besteden.
Hetzelfde geldt voor de tafels: de mechanistische beheersing ervan leidt ertoe dat andere rekenopgaven gemakkelijker kunnen worden opgelost.
Als een kind bij een grote deelsom eerst nog via de inzichtelijke methode moet uitvinden hoeveel 6x7 is en 8x12, raakt het bij het voortraject van de uit te rekenen opgave de weg al kwijt.
Bij het leren bespelen van een muziekinstrument kan 'mechanistisch' ook geen verwijt zijn. Waarom bij het leren rekenen dan wel?
De denkkramp in het realistisch rekenen (alles altijd met begrip doen) berust op innerlijk tegenstrijdige noties, zoals het voorbeeld van autorijden inderdaad aangeeft.
Bijvoorbeeld: het ‘progressief schematiseren’ waar Adri Treffers en de zijnen gek op zijn, verschilt in psychologische opzicht niet van het langs traditionele weg leren rekenen dat Treffers en de zijnen geringschattend ‘mechanistisch’ noemen. Het gaat in beide gevallen om handelings-verkortingen (zoals Mettes en Pilot dat in hun proefschrift noemen, als ik me goed herinner. Maar ja, dat ging over probleemoplossen in het vak thermo-dynamica.). Niks tegenstelling tussen mechanistisch en realistisch. Met deze uitzondering dan: de talloze omwegen en zijpaden die het realistisch rekenen nodig vindt.
Ook over de gradaties van ‘begrijpen’ zijn nog vele blogs te vullen.
Ik herhaal inderdaad de drogreden, maar niet met de bedoeling die te ondersteunen. Vandaar de aanhalingstekens om stom.
Dus: ook ik denk dat "stom" oefenen in het geheel niet stom is, sterker nog, dat door oefening met getallen en bewerkingen vertrouwdheid met getallen en bewerkingen bevorderd en dat dat een goede basis is voor begrip.
Als de kwaliteit van leerkrachten een beperkende factor zou zijn, dan is dat met de realistische didactiek alleen maar erger. Om op een realistische manier les te geven, moet je vele malen vaardiger zijn, zowel met rekenen en wiskunde als met klassemanagement, dan om traditioneel rekenen te geven.
@ 2010
De realistische drogreden is dat traditioneel onderwijs mechanistisch zou zijn, waarin het niet gaat om het begrijpen van de stof, maar alleen om het blind herhalen. Dat onderwijs bestaat niet; het gaat hier om wat in de boeken over drogredenen en argumenten een stroman heet.
Wat jij hierboven noemt, door oefenen vertrouwdheid opbouwen, is iets anders. Het boeiende van dit thema is dat de filosofie van het realistisch rekenen is dat je dat oefenen moet doen in realistische contexten met grote getallen (dat levert in de praktijk dus geen succes op), en da de realisten bezig zijn om langs een omweg daarop terug te komen en oefenen met kale sommen om vertrouwdheid met getallen op te bouwen in hun canon aan het opnemen zijn. Dat is boeiend, omdat het een erkenning is van het falen van het realistisch rekenen. Dat het laatste niet volmondig wordt toegegeven vind ik prima, zolang het ombouwen van realistisch naar verantwoord rekenonderwijs maar doorgaat. Laten we dat dus vooral aanmoedigen.
Wie de door Goffree geschreven leerboeken voor de pabo doorbladert, slaat de schrik om het hart. Bij mij in ieder geval wel. Enorm omvangrijke stof, extra dubbel bovenop de eis dat de jongelui natuurlijk ook nog hun eigen rekenvaardigheid op hoog peil moeten brengen. Uit heel de wiskobas- en realistisch-rekenen-literatuur is de overweldigende indruk dat de modale leerkracht op de basisschool die ook nog veel andere dingen te doen heeft, dit op geen enkele manier op de onderwijsvloer kan realiseren. Ik zie dan zelf nog enorme problemen bij het interpreteren van de onderliggende psychologie, de vijf beginselen van Adri Treffers: het lijkt me onmogelijk dat leerkrachten zich hier een coherent beeld uit kunnen vormen dat qua psychologie correct is.
Ik denk inderdaad dat de meeste leerkrachten geen idee hebben van wat er allemaal van ze wordt verwacht bij realistisch rekenonderwijs. Zelfs als de uitgangspunten zouden kloppen, dan nog is de uitwerking op de onderwijsvloer onhaalbaar.
De boeken van Goffree zijn voor pabo studenten veel te moeilijk. Wat overblijft is dat "de wetenschappers" zeggen dat we vooral huis tuin en keukenvoorbeelden moeten verzamelen en daar rekendingen mee moeten doen. En practisch en enthousiast als ze zijn wordt dat ook zo uitgevoerd. Het geeft ook "leuk" onderwijs, passend in het onderwijskundig klimaat waar de school zich toch al aan heeft overgegeven.
Voor alle duidelijkheid: ik verwijt hier de leerkrachten niets. Zij worden zowel bij de algehele onmderwijsvisie als bij het realistisch rekenen opgezadeld met zogenaamd wetenschappelijke oekazes waarvoor ze niet in de positie zijn die tegen te spreken. Het getuigt van professionaliteit dat ze zich zoveel moeite getroosten om volgens die "laatste wetenschappelijke inzichten" te werken.
Wie leerstof begrijpt, beheerst het nog niet. Men kan kinderen laten begrijpen waarom de tafel van 7 zo in elkaar zit: het betekent niet dat leerlingen nu kunnen werken met de tafel van 7. Men kan laten zien dat een kubieke decimter evenveel is als een liter: het betekent allerminst dat een leerling nu sommen kan maken over 'inhoud'. Enz.
Dat is de makke van al die nadruk op 'begrijpen'.
Tevens vergeten de geleerde heren dat rekenen voor de zwakke kinderen altijd al gauw abstract wordt. De 'vertaalslag' van een som op papier (met alle begrippen die erbij horen) naar het visualiseren van een praktijksituatie is voor deze kinderen al veel te gecompliceerd. Die kinderen leggen met grote moeite een verband tussen wat 'begrepen' werd tijdens een knip-, kleur- en plakles en de abstractie daarvan die in een som wordt weergegeven.
Het verwijt van 'mechanistisch' komt van de tegenstelling tussen ouderwets onderwijs en modern onderwijs die (karikaturaal) werd gemaakt. Bij ouderwets onderwijs zouden kinderen passief als automaatjes volgepompt worden met voor hen onbegrijpelijke kennis. Het moderne onderwijs zou van het kind weer een kind gaan maken: de stem van het kind zou gaan meetellen en kinderen zouden de leerstof gaan begrijpen. Dat zou pas echt onderwijs zijn: kinderen die hun stem mogen laten horen en die begrijpen wat zij leren. RR past helemaal in zo'n ideaal.
Dat het ideaal niet werkt, dat zien we wel vaker.
De nieuwste rekenmethode als Reken Zeker wil dan ook niet alle 'begrip' weggooien, maar het beste van de twee werelden aanbieden. Dat zie ik als een goede ontwikkeling.
Wat ik me nog steeds afvraag is of er een direct verband is tussen de zaken die hierboven worden besproken en het gebrek aan respect voor inhoudelijke en conceptuele correctheid, waarover ik keer op keer struikel. Zie bijvoorbeeld:
http://www.fi.uu.nl/toepassingen/03346/spel1.html
Joost
@ Joost Hulshof
‘Gebrek aan respect voor inhoudelijke en conceptuele correctheid’ komt in twee smaken: smaak A: niet weten wat correctheid is; of smaak B: dat wel weten maar het van geen belang vinden.
Het probleem is niet specifiek voor realistisch rekenen, rekenen, of het Nederlandse onderwijs. Het antwoord is dus: er is geen verband.
Een voorbeeld. De Nationale Rekentoets 2006 en 2007, de eerste op tv gepresenteerd door Ronald Plasterk, wemelen van de inhoudelijke en conceptuele slordigheden. Ik heb daar destijds over gecorrespondeerd met het Cito, verantwoordelijk voor deze toetsen die tevens voorbeeld waren van de rekentoetsen voor de toegang tot de pabo’s: zeker, er zitten slordigheden in; nee, we gaan daar geen extra aandacht aan geven want het is hier al druk druk druk. Smaak B, dus.
Smaak A, in de VS, bij wiskunde:
R. James Milgram (2007). What Is Mathematical Proficiency? In Alan H. Schoenfeld:. Assessing mathematical proficiency (pp. 31-58). Cambridge University Press. pdf
Dit zorgvuldigheidsprobleem is niet specifiek voor rekenen en wiskunde. Veel toetsen en examens bevatten meerdere dubbelzinnigheden en fouten, we gaan het deze dagen weer meemaken voor de eindexamens vo. Dat gaat van de categorie blunders en slordigheden tot en met de belangrijke categorie van gebrekkige validiteit. Zie mijn ‘Toetsvragen ontwerpen’ respectievelijk:
hfdst 8. Kwaliteit van toetsvragen
par 2.6 Validiteit: een goed antwoord bewijst kennis
Wat "leer" je in hemelsnaam in die verffabriek? Is dit niet gewoon een voorbeeld van verknoeide leertijd ofwel van "zoethouderij"? Ik zie het woordrapport al voor me liggen: Jantje kan heel goed en aandachtig met de computer rekenspellen uitvoeren.
Als ik de breuken omreken in percentages gaat de band lopen. Maar daarmee snap ik nog steeds niet waarom de som van de breuken niet 1 is en de som van de percentages niet op 100 gesteld is. (De individuele percentages mogen echter nooit meer dan 100 % zijn). Als het om dat omrekenen van breuken in percentages gaat heeft die hele verffabriek er niets mee te maken. Als het om verhoudingen van de kleurstoffen gaat die ,wanneer alle kranen geopend zijn, blijkbaar 1:1:1 is, ligt het voor de hand om de verhoudingen in gehele getallen te geven en niet in breuken. Dat samen niet 1 of honderd zijn zonder dat daar een verklaring voor is geven of gemakkelijk bedacht kan worden maakt de berekening anfällig voor fouten voortkomend uit conceptuele misleiding. Bij gewone verhoudingsgtallen onttaat die verwarring niet.
Seger Weehuizen
Een aardige vraag bij de verffabriek zou zijn geweest: Hoe moet men de kranen voor de verschillende kleuren afstellen opdat de bussen zo snel mogelijk gevuld worden? (De leerling maakt er dan gebruik van dat een kraan nooit meer dan 100% geopend kan zijn).
Seger Weehuizen
http://www.eenvandaag.nl/binnenland/34063/ruzie_over_rekenmethode_basiss...
Op 6.47 minuten de uitspraak van Jan van Maanen dat juist de traditionele rekenaars te vergelijken zijn met een godsdienstige sekte.
Joost Hulshof
Een keurig item van Een Vandaag. Jan van Maanen kiest de tegenaanval:
6:46 “Het lijkt op een godsdienstoorlog. Het lijkt alsof een kleine sekte, de sekte van de traditionele rekenaars, duidelijk wil maken dat het grote algemeen gedeelde geloof niet meer goed is.”
6:20 “Er blijft eigenlijk een vrije marktsituatie waarin sommige scholen, nou ja, op een andere manier rekenonderwijs geven dan andere scholen, en dan zullen de toetsen uitwijzen waar de goede resultaten behaald worden.”
Deze uitzending is 20 oktober 2008. Dat basale rekenvaardigheden, het onderwerp van deze uitzending, ernstig achteruit zijn gegaan is dan echt wel bekend uit de PPON-analyse van het Cito en van Kees van Putten. Van Maanen refereert wel aan de PPON, maar verzwijgt precies dit resultaat. Van de Craats wijst op die teruggevallen basale rekenvaardigheden. Zij zitten niet aan een tafel, het communiceert dus niet echt lekker.
Heeft de redactie selectief gesneden in het interview-materiaal? Ik dacht het niet. Jan van Maanen is volstrekt ondubbelzinnig in zijn uitspraken. Maar het is 2008, het voortschrijdend inzicht bij het Freudenthal Instituut vandaag is dat de basale rekenvaardigheden, door Adri Treffers denigrerend ‘cijferen’ genoemd ofwel koopmansrekenen à la Bartjens, inderdaad verwaarloosd zijn en heeft daar maatregelen op genomen. Zoals veel scholen al eerder hebben gedaan (Inspectierapport, maart 2011, zie blog 7520)
Het lijkt er niet op dat men echt tot inkeer is gekomen:
http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/7270.pdf
Joost Hulshof
http://www.educatie.onderzoek.hu.nl/Data/Lectoraten/~/media/KENNISCENTRA...
Op weg naar gecijferdheid. De video staat/stond hier:
http://hu.presentations2go.eu/P2GTV/viewer.html?path=HU1/2010/01/08/10/v...
Joost Hulshof
Die rede hebben we hier op de BONsite al besproken.
Haar team was aanwezig op de bijeenkomst met Victor Schmidt's rekentoetswijzercommissie, die de verplichte nieuwe rekentoetsen voor slechts 1/5 zonder rekenmachine wil laten doen, en dat gedeelte dan ook alleen met voorgekookte sommetjes die handig gedaan kunnen worden, dus bij voorkeur zonder cijferen. De namens BON en SGR nadrukkelijk uitgesproken zorg over de wiskunde eindexamens als referentiekader voor de toetsen, in plaats van de wensen van de beta-brede vervolgopleidingen, vond daar geen respons.
Joost Hulshof
Besproken of niet, laat ik eens een alinea citeren:
Het probleem met het rekenen op school is dat rekenen uit een
boek nauwelijks iets te maken heeft met het rekenen in het dagelijkse
leven. Daarom is het van het grootste belang om werkelijke,
betekenisvolle rekenwiskundige activiteiten als meten (van lengte,
gewicht, inhoud en oppervlakte) en meetkunde regelmatig in het
onderwijs in te bouwen. Alleen maar rekenen uit een boek biedt
kinderen onvoldoende bagage voor het rekenen in het dagelijks
leven en voor hun toekomstige beroep.
Dit lijkt helemaal niet onredelijk. Maar ik wijs erop dat dit soort denkbeelden, waarvan het ritselt in de realistische rekenliteratuur, niet berusten op enige onderbouwing met empirisch onderzoek dat die naam verdient. Nu is de problematiek van aansluiting tussen onderwijs en arbeidsmarkt (tussen onderwijs en dagelijks volwassenenleven) mij niet helemaal onbekend, en heb zo’n dof vermoeden dat de het geciteerde denkbeeld kletspraat is. Er zit bovendien enige tijd tussen dit onderwijs, en het dagelijks leven waar het hier om gaat (niet dat van de basisscholier, maar van de volwassene in de samenleving).
Wel Ben, ik heb Mieke al eerder gevraagd om te reageren.
Joost Hulshof
Van Maanen wijst erop dat bij zijn methode van delen b.v. de kinderen werken met echte hele getallen.
Ze doen geen staartdeling omdat de staartdeling niet met die hele getallen werkt.
485 : 8 wordt dan 400 : 8, 80 : 8 waarna nog 5 overblijft.
Dat is pas inzicht!
Hij vergeet echter dat we bij de notatie van de getallen ook al tot 'afkortingen' overgaan.
Hij schrijft 485 niet als 400 plus 80 plus 5.
Maar schrijft, tegen zijn eigen geloof, gewoon 485.
Verder ben ik van mening dat kinderen die degelijk en grondig hebben leren rekenen minder moeite hebben met de 'inzichtelijke' manier van rekenen dan die kinderen die van begin af aan alleen dat zogenaamde inzicht hebben om op te vertrouwen.
De traditionele methode is dus win-win: leerlingen krijgen grote vaardigheden bij het beheersen van de rekenbewerkingen EN zijn tevens in staat zich hiermee begrip eigen te maken.
Wie goed rekenonderwijs wil kiest dus voor die win-win- situatie.
En probeer 400 : 8 maar eens inzichtelijk uit te rekenen als je de tafels van vermenigvuldiging niet hebt geautomatiseerd ('klaagzangen noemen de vernieuwers dat: dat opzeggen van de tafels).
Dat krijgen we dit:
80 : 8 = 10, want dat is een 'weetje'. Noodzakelijk, want als we ook nog eerst tienmaal 8 : 8 moeten uitrekenen, begint een eenvoudige som op een filosofisch drama te lijken.
We gaan dus verder, weer 80 : 8, weer 80 : 8, en weer, en weer, totdat we bij 400 zijn aangekomen. Daarna wordt het tweede deel ( 80 : 8 ) al makkelijker want dat kwamen we al tegen. Maar als het 90 was geweest, hielden we nog 15 over. Zonder tafelkennis moet het kind gaan uitrekenen wat 15 gedeeld door 8 is. Er past 1 maal 8 in, zal het ontdekken, waarna er nog 7 overblijft (dit vereist wel het automatisch kunnen splitsen van getallen onder de 20); als dit niet automatisch kan, moeten er blokjes op tafel worden gelegd om in te zien dat bij 15 minus 8 er nog 7 overblijft.
Wie daar is aangeland weet allang niet meer welke som hij aan het uitrekenen was. Tevens kost een eenvoudige som op deze manier zoveel tijd, dat elke eenvoudige opgave een hachelijke onderneming gaat worden.
Automatiseren helpt de leerlingen pas echt vooruit. Ik heb gezien hoe rekenzwakke kinderen toch goede cijfers konden halen door hun vaardigheid met 'cijferen'.
Moby,
Ik deel jouw visie. Iets van een bewijs schemerde al door in het MORE-onderzoek (zie bv blog 7485), waarin leerlingen uit de traditionele school ‘handiger’ konden rekenen dan de leerlingen uit de realistische school die juist op ‘handig’ rekenen is gericht.
Ik ga op zoek naar de empirische basis onder het rekenonderwijs. Ik doe dat aan de hand van het volgende artikel dat nog in druk moet verschijnen, en zal zo spoedig mogelijk ein en blog de eerste resultaten van de speurtocht melden.
Dit artikel van Siegler pdf opent een wereld die ik nog niet kende. Het gaat o.a. over getalbegrip, als voorwaarde om goed te (leren) rekenen. Denk dan aan de getallenlijn. Jonge of heel jonge leerlingen plaatsen getallen aanvankelijk niet lineair (de lijn x=y) op de juist plek, maar de grotere getallen juist gedrongen naar rechts (alsof de schaal logaritmisch is, zeg maar; op een j-curve ipv op een recht lijn). Daar is leuk onderzoek naar te doen, maar ik heb dit alleen nodig als inleiding op het volgende citaat, dat ik onvertaald laat (ik kom binnenkort met een uitvoerige blog met een theoretisch kader voor rekenonderwijs).
Dit is andere theoretische koek dan die van de Freudenthal-groep. Dit logenstraft ws. de uitspraken uit die hoek over ‘mechanistisch rekenen’.
Wie nieuwsgierig is: download het Siegler-artikel.
Ben Wilbrink
Ik heb het artikel gelezen en ik moet zeggen dat ik niet onder de indruk ben Ben.
Siegler et al. zien 'fraction magnitude' als het centrale concept. Ze hebben het dan ook steeds over 'fraction magnitudes', maar zonder ooit te zeggen wat dit is. Ook na lezing van het hele artikel is me nog steeds niet duidelijk wat 'fraction magnitude' nu precies is: een wiskundige definitie ervan zou ik niet kunnen geven op basis van wat ik gelezen heb. Dit doet me denken aan realistisch rekenen waar ze het steeds hebben over 'kommagetal' zonder te zeggen wat dit nu precies is.
Ze hebben het ook steeds over 'number lines'. Die ken ik dan wel. Voor een wiskundige is de 'number line' gewoon de meetkundige aanschouwing van de (geordende) verzameling van reeele getallen. Siegler et al. lijken dit niet door te hebben, bij lezing van het artikel lijken ze hier allerlei misconcepties over te hebben. En bijvoorbeeld op pagina 18 schrijven ze:
The present findings indicate that the mental number line is also a useful way of thinking about fraction magnitudes [naast behulpzaam te zijn voor 'whole number magnitudes'].
Als wiskundige kan ik hier alleen maar op reageren met: duhh.
In sectie 2.2.2 'magnitude comparison' lijken de leerlingen geen kladpapier te krijgen. Bij 'fraction arithmetic' (sectie 2.2.3) krijgen ze dat wel. Maar bepalen of 3/5<5/9 of niet is ook gewoon 'fraction arithmetic': er is een standaardalgoritme voor (kruiselings vermenigvuldigen) waar een kladpapiertje erg handig bij is. Hier lijken Siegler et al. de onderliggende wiskunde niet te kennen.
Zoals gebruikelijk in onderwijsonderzoek halen ze veel te brede conclusies uit heel smal onderzoek. Ze hebben 48 leerlingen wat sommetjes laten maken en komen dan met een 'integrated theory of acquisition of knowledge about whole numbers and fractions' met 'instructional implications' and all.
Het enige goede dit ik in deze studie kan zien is in de laatste 2 paragrafen van Sectie 4.2 (pagina's 20 en 21) waar ze op basis van het werk van de leerlingen concluderen dat leerlingen vooral verward zijn en dat 'whole number bias' zeker niet HET fundamentele probleem is dat sommigen erin zien aangaande het breukenonderwijs. Hier doen Siegler et al. wat gedaan moet worden: goed kijken naar de data die je hebt verzameld en 'kleine' conclusies trekken.
Mark,
Het gaat om psychologisch onderzoek, geen wiskunde. Als er wiskundige halve waarheden in staan, hoor ik dat graag. Ik heb dit artikel nog niet in zijn geheel kunnen bestuderen, ik ga langzamer dan jij ;-)
Het onderwerp van het onderzoek noem ik maar even getalbegrip. Ik grijp terug op het eerdere Booth & Siegler (2008) dat over positieve gehele getallen gaat, niet over de complexere breuken.
De psychologie is kort samengevat dat ons naïeve getalbegrip zo in elkaar steekt dat we het verschil tussen 1 en 2 als groter beoordelen dan dat tussen 8 en 9. Dat heeft ermee te maken dat we niet als wiskundigen worden geboren, maar als jager/verzamelaars. Voor een jagersvolk is het verschil tussen geen stekelvarken of één stekelvarken van levensbelang, dat tussen 4 en 5 stekelvarkens een luxe-probleem. In onze culturele samenleving moeten we leren dat zonder context het verschil tussen 0 en 1 even groot is als tussen 9 en 10. En dat blijken leerlingen in de jongste groepen inderdaad te leren, zij het in verschillend tempo en in verschillende mate. De mogelijke consequenties van een en ander voor het leren rekenen kun je je wel voorstellen.
Dit getalbegrip laat zich eenvoudig onderzoeken, dat is mooi. Het probleem herhaalt zich overigens voor de grotere getallen van 1 tot 100, en waarschijnlijk voor 1 tot 1000, en voor journalisten bij verwarring over miljoen, miljard, en biljoen (zeker als ze Amerikaanse berichten zelf vertalen).
Voor mij ziet dit onderzoek eruit als behorend tot het terrein van decision-making (dat is iets anders dan besliskunde), waarvoor Daniel Kahneman een Nobelprijs heeft gekregen. (Ik weet niet of Siegler dat verband al heeft gelegd).
Het is ook anders te verklaren, zoals Lebiere & Anderson met hersenmodellen/onderzoek doen (eerder op het forum genoemd): kleine getallen zijn bekender, vaker gebruikt, dan grotere.
Ja, dat jonge kinderen gehele getallen logaritmisch op een schaal plaatsen is ook interessant. Maar daar gaat dit onderzoek niet over, ze noemen dit alleen en verwijzen naar eerder onderzoek. Ook aangaande dit eerdere onderzoek heb ik hetzelfde commentaar als in de laatste paragraaf van mijn eerste reactie: "Hier doen Siegler et al. wat gedaan moet worden: goed kijken naar de data die je hebt verzameld en 'kleine' conclusies trekken."
Dus ja, het werk van Siegler is best nuttig. Maar dat bijvoorbeeld 'whole number bias' niet de hoofdschuldige is van verkeerd rekenen met breuken, maar dat leerlingen vooral heel veel dingen door elkaar halen, dat weet iedere ervaren leraar al. Goed dat iemand er systematisch naar kijkt en de mythe (onder onderwijsonderzoekers, niet onder goede ervaren leraren) van 'whole number bias' onderuit haalt, maar niet wereldschokkend.
Mark,
Een samenvatting van het artikel van Siegler cs (2011) had ik zo uit de mouw kunnen schudden. Maar het probleem is precies om wiskundigen zoals jij te laten zien op welke manier deze lijn van onderzoek ( = het theoretisch kader dat Siegler cs geven) relevant is voor een evaluatie van het Nederlandse op realistische leest geschoeide staatsonderwijs rekenen. Ik moet dus stevig investeren om met een blog te komen waarin in ieder geval een eerste lijntje wordt geschoten over de kloof die wiskunde en psychologie gescheiden houdt. Op zich is deze kloof — ik bedoel hoe de Freudenthal-groep ermee is omgegaan — absoluut een onderdeel van de huidige rekenproblematiek.
Beschouw het Siegler cs (2011) onderzoek wat mij betreft als baanbrekend: het verlegt grenzen binnen de aangeduide lijn van onderzoek naar rekenpsychologie, om het zo maar even te noemen.
Om in mijn opzet te kunnen slagen, moet ik een stap terug doen, en met een eenvoudiger onderzoek beginnen: dat van Booth & Siegler (2008).
Het lijkt alsof het gaat om een of twee kleine onderzoeken, met vreemd jargon omgeven, met kleine groepen proefpersonen. So what? Ik noem dit niet voor niets psychologisch onderzoek. Anders dan bij het ontwikkelingsonderzoek van de Freudenthal-groep, hebben we bij Siegler en de zijnen te maken met een onderzoekgroep die wetenschappelijk te werk gaat, het werk relateert aan dat van anderen, en opereert binnen de cognitieve en neurocognitieve psychologie. Natuurlijk kan een enkele publicatie op zich een falikante misser zijn, ook bij uitstekende onderzoekers. Ik ken daar een goed voorbeeld van, een artikel dat eerder tot enthousiasme heeft geleid bij critici van het realistisch rekenen, maar dat bij nadere analyse gewoon misleidend broddelwerk blijkt: Kirschner, Sweller & Clark, 2006 (er is op het forum al heel wat over te doen geweest).
Mark,
Je commentaar helpt mij om beter te omlijnen wat het communicatieprobleem tussen wiskunde en psychologie is. Dat is nuttig en nodig, omdat ik immers vanuit de psychologie een kritische analyse maak van de situatie waarin het Nederlandse rekenonderwijs zich bevindt, en hoe het daarin verzeild is geraakt. Analyse van de onzin-wiskunde in het realistisch rekenen laat ik graag voor rekening van wiskundigen.
Voor een goede voorbereiding van de ‘Siegler-blogs’ heb ik zojuist een bekend boek van Stanislas Dehaene ontvangen: The Number Sense. How The Mind Creates Mathematics. (free download) (samenvatting pdf) Het is al wat ouder, van 1997 (er is een nieuwe editie uit in 2011, die heb ik nog niet gezien), maar biedt een stevige ondergrond voor wie zich in dat getalbegrip wil verdiepen. Dehaene is een wiskundige die zijn vak heeft verruild voor dat van de cognitieve neuropsychologie, een riskante carriére-switch die voor hem bijzonder goed heeft uitgepakt: hij behoort nu tot de leiders van het veld.
Van Stanislas De haene zie ook:
Dehaene, in een paragraaf over rekenmachines (p. 136):
Een mooie uitspraak, maar Dehaene noemt er geen bronnen voor. Als ik me niet vergis, heeft zijn proza her en der oppervlakkige gelijkenis met dat van de Freudenthal-groep. Dat komt mij prima uit, want de uitdaging is om duidelijk te maken waar het verschil dan in zit, als dat er is. Bv. op dezelfde bladzijde een variant op een uitspraak die we ook van Hans Freudenthal kennen:
Prima, Stanislas telt hier appels en peren op: zowel A als latere B kunnen waar zijn, daarmee is A nog geen oorzaak van B. Precies dat legt Stanislas in deze paragraaf uit: ongecijferdheid — innumeracy — is rekenen zonder je verstand te gebruiken. Oké, Dehaene populariseert, dat is goed en het is moedig, maar we moeten hem dan wel met verstand lezen.
Het volgen van de redenering van Dehaene geeft dan dat je analfabeet bent wanneer je zonder je verstand te gebruiken leest. En dat je beenverlamming hebt wanneer je zonder je verstand te gebruiken loopt.
Dehaene schrijft over zo ongeveer alles: van rekenonderwijs tot 2e taalverwerving. Zoals de Amerikanen zeggen: a mile wide and an inch deep.
Ik weet niet hoe jouw publicatielijst eruit ziet, maar dit is die van Stanislas Dehaene: hier.
Ik schreef al dat populariseren van het eigen vak ook moed vereist. Zeker in Nederland.
Mark, welk volgende?
Joost Hulshof
Typefoutje inmiddels hersteld Joost. Nu zou de zin wel begrijpelijk moeten zijn....
Pagina's