‘Handig rekenen’: wortels, evidentie, receptie, naar Uittenbogaard’s ‘Juliette en Jonas’ [10]

‘Handig rekenen’: geschiedenis, empirische ondersteuning, en receptie

conclusie
Het besproken artikel van Uittenbogaard wijst erop dat het huidige ‘handig rekenen’ als kern van het realistisch rekenen, een ontwikkeling is die NA 1990 heeft plaatsgevonden, mogelijk bij het TAL-project. Natuurlijk is er ook in Wiskobas sprake van handig rekenen, maar staat daar toch de als vernieuwend gepresenteerde didactiek van het kolomsgewijs rekenen voorop, en de vergrote aandacht voor hoofdrekenen (zie het overzicht dat Van Mulken, 1992, in zijn proefschrift hiervan geeft; Buijs doet hetzelfde in het zijne, 2008, heel recent en spectaculair omdat hoofdrekenen het rekenen zo’n beetje of eigenlijk helemaal heeft vervangen). Omdat juist die nadruk op hoofdrekenen een averechts werking op rekenprestaties blijkt te hebben, moet daar zeker een blog over komen.

werkdefinitie
‘Handig rekenen’ is het rekenen dat GEEN gebruik maakt van standaardstrategieën.
De afbakening tussen traditioneel hoofdrekenen (Treffers & De Moor, 1990, Proeve deel 2, hfdst 4 Hoofdrekenen) en realistisch ‘handig rekenen’ is als volgt te zien: ‘handig rekenen’ gaat met opgaven waarvan de getallen zo zijn gekozen dat er ‘handig’ mee kan worden gerekend; traditioneel hoofdrekenen gaat met getallen die niet om enige bijzondere reden zijn gekozen.
NB. Over hoofdrekenen geeft Van Mulken (1992) in zijn proefschrift een gedetailleerd overzicht. Dat is zeker van belang voor inzicht in de controverse over ‘handig rekenen’, maar blijft in deze blog buiten beschouwing.

ownership
‘Handig rekenen’ is de kern van de realistische rekenmethoden zoals gepropageerd door wat ik kortheidshalve zal aanduiden als de Freudenthal-groep — Hans Freudenthal en zijn Wiskobas-team in het IOWO, en de protagonisten van het realistisch rekenonderwijs. ‘Handig rekenen’ is ook voor de overheid een kerndoel van het huidige rekendonderwijs, ten koste van wat buiten de Freudenthal-groep onder rekenen wordt verstaan. In de voorgaande blogs [8] en [9] is aangegeven 1) dat Nederland nu dus een staatsrekendidactiek rijk is, en 2) wat die didactiek inhoudt. Ik verwijs naar die blogs.

Ik schreef in de voorgaande blog [9]

• • Om dit gedachtengoed over ‘handig rekenen’ te begrijpen, is het wenselijk om na te gaan waar het idee vandaan komt, waarom het door IOWO en FI is uitgewerkt zoals het is uitgewerkt, en op basis van welke empirische gegevens de invoering ervan in het onderwijs — zelfs tot in de kerndoelen die de overheid stelt — is gerechtvaardigd, of juist niet is gerechtvaardigd. Een volgende blog, een grote uitdaging ook. En wel hierom: het is vaak verdraaid lastig om in publicaties van Freudenthalers te achterhalen wat de bronnen van bepaalde ideeën zijn; voor ‘handig rekenen’ heb ik op dit moment werkelijk nog geen idee uit wiens koker dat op welk moment om welke reden is gekomen, en ik heb ondertussen toch al wel veel Freudenthal-literatuur onder ogen gehad. Goede aanwijzingen zijn welkom. Ik sluit niet uit dat het hele idee van ‘handig rekenen’ op onnaspeurbare wijze in de loop der tijd in het team rond Hans Freudenthal is ontstaan. Dat Freudenthal zelf er een rol in heeft gespeeld, lijkt mij trouwens buitengewoon onwaarschijnlijk: het hele idee moet wiskundigen absoluut tegen de haren in strijken, en Freudenthal was een eminent wiskundige.

In reactie op het artikel van Jan van de Craats — ‘Daan en Sanne kunnen niet rekenen’ — heeft W. Uittenbogaard (2007) (pdf) ongeveer beschreven wat ik hierboven heb aangeduid, en daarmee een stevig contrast neergezet tussen het ‘handig rekenen’ zoals door de Freundenthal-groep voorgestaan, en het van ‘handig rekenen’ gezuiverde onderwijs dat wiskundigen zoals Van de Craats voorstaan. Het ligt dus voor de hand dat ik mijn speurtocht naar de roots van ‘handig rekenen’ begin met het artikel van Uittenbogaard als leidraad.

positiebepaling

Ik heb op voorhand eigen ideeën over handig rekenen (traditioneel) en ‘handig rekenen’ (realistisch) waardoor mijn zoektocht naar achtergronden mede wordt gestuurd. Zie ze maar als werkveronderstellingen, of stellingen.

stelling 1. Geen handig rekenen (traditioneel) zonder rekenvaardigheid. Handig rekenen (traditioneel) is een bijgift van het vaardig kunnen rekenen.

stelling 2. ‘handig rekenen’ (realistisch) zonder rekenvaardigheid is van nul en generlei waarde omdat de rekenopgaven die de wereld stelt niet komen in de vorm van ‘handig rekenen’-klare brokken.

stelling 3. Het concept van ‘handig rekenen’ (realistisch) is intern inconsistent, bv omdat de standaardstrategieën de meest handige rekenstrategieën zijn, ongeacht de specifieke getallen in de betreffende opgaven.

stelling 4. Handig rekenen (traditioneel) is niet iets dat doelgerichtvalt te leren, anders dan via de weg van het vaardig leren rekenen. ‘Handig rekenen’ (realistisch) is niet iets dat op zich een doel van rekenonderwijs mag zijn: het hoort niet thuis in het basisonderwijs.

stelling 5. Als ‘handig rekenen’ (realistisch) eigenlijk bedoeld is om wiskundig inzicht bij te brengen, en vaardigheid in het oplossen van rekenproblemen ipv. het uitrekenen van rekenopgaven, of om begeleid de standaardstrategieën van het rekenen opnieuw uit te vinden, dan moeten de realisten dat zeggen, dan is het dus geen doel op zich, en kan het niet het kerndoel van het rekenonderwijs zijn.

stelling 6. De overdreven nadruk op ‘handig rekenen’ is een ontwikkeling van na 1990 in het FI. In de ‘Proeve’ van Treffers en anderen, 1989, 1990, komt handig rekenen wel voor, maar niet als kern van het realistisch gedachtengoed.

Het artikel van Uittenbogaard

Uittenbogaard gaat eerst in op het contrast realistische strategie — standaardstrategie. Ik volg zijn voorbeelden.

[p.33] Uittenbogaard schrijft hier dat de standaardstrategieën ultieme verkortingen zijn, in de 17e eeuw verkregen ten behoeve van de handel. En zo zijn ze in het onderwijs gekomen. Interessante visie. Maar daar volgt geenszins uit dat ze ‘dus’ over hun uiterste houdbaarheidsdatum heen zijn. Meteen ook maar middeleeuwse kathedralen slopen?

[p. 33] 27 x 37   Handig: weten dat 3 x 37 = 111, en dat 9 maal.
Uittenbogaard gaat hier niet in op de vraag hoeveel rekenervaring je eigenlijk moet hebben om de genoemde eigenschap meteen te zien en te gebruiken.

[p. 33] Juf heeft voor een handenarbeidles stukjes touw nodig van 2 meter 75. Zij heeft een bol van 80 meter. Hoeveel stukken kan zij daaruit halen? (PPON 2004). Uittenbogaard: “De goedscore van dit probleem is ongeveer 10 procent. Bedroevend laag eigenlijk.” Exact, dan wil je onmiddellijk weten hoe dat kan, maar die vraag stelt Uittenbogaard hier niet. Deze leerlingen hebben allemaal ‘handig’ leren rekenen, dus hoe kan de goedscore dan zo belabberd zijn? Uittenbogaard geeft dan drie strategieën die het goede antwoord opleveren, het zijn alledrie ‘hapmethoden’, vormen van kolomrekenen. Op zich is daar niets tegen: ze leiden tot het goede antwoord. Een beetje omslachtig, dat wel. Ondertussen is een kans gemist om gewoon de standaardstrategie te gebruiken. Dat is ook geen probleem, tenzij ALLE kansen om de standaardstrategie te gebruiken verloren gaan door ‘hapmethoden’ te gebruiken.

[p. 33-34] 7 + 8 Dit is natuurlijk een rekenfeit, behalve in groep 3. Uittenbogaard heeft les gegeven in New York, en ja hoor: de kinderen hadden mechanistisch onderwijs gehad. Dat kan gebeuren. Maar het alternatief voor mechanistisch is niet vanzelfsprekend realistisch rekenen, laten we wel zijn.

[p. 34] 2003 - 1998 Uittenbogaard laat zien hoe dit New York’s mechanistisch gaat. Grappig. De stelling van Uittenbogaard is: dit moet je echt ‘handig’ doen. Dat kan wel zijn, maar hij steekt eerst de kaart zo in, dat dit de uitkomst is.

[p. 34] 200 x 200 Uittenbogaard gaat verder met Amerikaanse kinderen te gebruiken om de algoritmische aanpak van Jan van de Craats belachelijk te maken. Compleet over de top. Na deze voorbeelden is het tijd voor de recente ontwikkelingen in het rekenonderwijs.

De positie van Uittenbogaard [p. 34]:

• • “Het cijferen, dat we vroeger leerden onder het motto: vlug, foutloos, voor later ... heeft in de tegenwoordige tijd z’n betekenis goeddeels verloren. Er is bijvoorbeeld geen beroep meer waar je het nog voor zou moeten kunnen. En het toepassen van een algoritme is ook geen wiskunde! Bovendien, de oude cijferalgoritmen hebben niet veel betekenis voor het wiskundeonderwijs in het voortgezet onderwijs of voor later. In de woorden van Van de Craats: de doorstroomrelevantie van deze leerstof is niet groot.”

Maar dit zijn stuk voor stuk stellingen waar een empirisch grondslag onder hoort! Afijn, het gaat in deze blog even over de historische ontwikkeling. In zijn paragraaf 5 schetst Uittenbogaard het beeld van falend rekenonderwijs in de zestiger jaren, mechanistisch rekenonderwijs bovendien. Nee, hij geeft geen verwizjing naar onderzoek dat deze claims steunt. In plaats daarvan citeert hij een uitspraak van Freudenthal dat het rekenonderwijs niet deugt (is HF daarvan op de hoogte, dan? Uit eigen onderzoek? Observatie? In 1971?). Is het TAL-gebeuren de cesuur geweest waarna het ‘handig rekenen’ het rekenen heeft vervangen? Uittenbogaard [p. 35]:

• • “Bij het totstandkomen van de TAL-brochure ‘Kinderen leren rekenen’, hebben we ons nogmaals het hoofd gebogen over dat traditionele cijferen. Dat heeft in die publicatie geleid tot een vernieuwde aanpak: het kolomsgewijs rekenen. Dit betekent dat er voorstellen werden gedaan voor algoritmen, die min of meer in de plaats kwamen van die traditionele algoritmen. De voorstellen zijn eigenlijk niet naar míjn zin. Er wordt in mijn ogen nog veel te veel aandacht aan het cijferen geschonken. We zouden met veel minder toe kunnen. Met boerenverstand, met ‘rijgen’ en als je verstandig gebruik maakt van een rekenmachientje, hoef je helemaal geen andere of betere algoritmen te leren. Toch kun je dat kolomsgewijs rekenen wel veel nageven. Van links naar rechts, grote happen eerst. Niet tegen de leesrichting in en veel mogelijkheden tot meerdere of mindere verkortingen. In mijn ogen zeker niet als opstap naar de traditionele algoritmen. Daar maak je het alleen nog maar moeilijker mee.”

Dit is je reinste radicaal constructivisme, of ik moet me wel heel erg vergissen. Geen moment van aarzeling bij Uittenbogaard of beheersing van standaardalgoritmen misschien ook nog ergens anders noodzakelijk voor is. Wiskunde, misschien? Om met die rekenmachine goed te kunnen werken, misschien?

Ik heb uit, kennelijk wat oudere, publicaties uit de school van Freudenthal altijd begrepen dat dat kolomrekenen bedoeld was als een didactisch wenselijke weg — want twee keer zo doelmatig als traditioneel rekenonderwijs (Freudenthal, 1984, Appels en peren, hfdst 4) om uiteindelijk te komen tot beheersing van de standaardstrategieën. Hier verkondigt Uittenbogaard, en hij is niet de enige, dat het helemaal niet de bedoeling is om op die standaardstrategieën uit te komen. En erger. Zonder een snipper van empirische evidentie dat dit de juiste weg moet zijn, overigens, maar dat zijn we van Freudenthalers wel gewend. Zijn kamerleden bekend met deze opvattingen achter dat ‘handig rekenen’ dat tot kerndoel van Nederlands’ rekenonderwijs is gebombardeerd?

In paragraaf 6 loopt Uittenbogaard langs de opgaven van Van de Craats (Daan en Sanne kunnen niet rekenen):

  78,12
  13,34
142,57
  92,63
104,89 +

413,92
376,75 –

345
729 ×

De teneur is bij Uittenbogaard: dan pak je toch een rekenmachine! Natuurlijk, dat kan, een rekenmachine is nooit ver weg. Maar waar gaat rekenonderwijs ook al weer over? Toch niet om de antwoorden op de opgegeven sommen? De leraar kent die antwoorden al, hij of zij vraagt de leerlingen naar de bekende weg. Onmiddellijk ophouden met die flauwekul, dus? Dan heb je niet eens een rekenmachine meer nodig, dan is er zelfs geen geen rekenonderwijs meer nodig.
In het rekenonderwijs van Uittenbogaard is de boodschap aan de leerlingen: rotzooi maar een eind aan, hoe korter je rotzooit des te beter, maar je kunt altijd de rekenmachine pakken. Met deze grondhouding bieden we leerlingen natuurlijk een sterk uitgangspunt voor hun verdere studie wiskunde, of voor beroepen waarin ze rekenvaardigheden hard nodig hebben (bv de verpleging; er zijn al strafrechterlijke veroordelingen geweest op verkeerd rekenen bij het doseren van medicijnen). The proof of the pudding is in the eating. De resultaten van de PPON 2004, voor delingen in detail geanalyseerd door Kees van Putten (Uittenbogaard verwijst naar de PPON-analyse 2004, maar niet naar de in dat rapport ook opgenomen analyse van Van Putten), wijzen erop dat het optimisme van Uittenbogaard over ‘handig rekenen’ geen verband houdt met de empirische realiteit.

langs de door Uittenbogaard genoemde literatuur
[Ik moet hier nog achteraan]

• Dowker, A. (1992). Computational Estimation Strategies of Professional Mathematicians. Journal for Research in Mathematics Education, 23(1), 45-55. [Uittenbogaard gebruikt een interessant resultaat van Dowker: wiskundigen rekenen 80 opgaven op verkorte wijze uit, een half jaar later idem maar dan op andere overkorte wijze. Uittenbogaard: “Is dit exclusief voorbehouden aan wiskundigen, aan experts dus, of is het een geschikte kijk op de onderwijsdidactiek voor alle kinderen?” Goede vraag, Uittenbogaard geeft er alleen impliciet antwoord op door te betogen dat het laatste het geval is (geen empirisch toetsend onderzoek).
• Feijs, E., K. Gravemeijer, E. de Moor, W. Uittenbogaard (1987). Cijferen 1 tot en met 6. Experimenteel cursusmateriaal voor nascholing van het basisonderwijs. Utrecht: OW&OC.
• Goffree, F., W. Aarts, J. Eilander, D. Karman, H. Meyer, D., Oort, P. Scholten & A. Treffers (1971). Cijferen Anno 2000. Experimentele uitgave van de commissie Modernisering Leerplan Wiskunde. [niet online; niet in KB; niet in UB Leiden; heeft voorwoord van Freudenthal, zou dus in het Freudenthal-archief in Haarlem kunnen zitten]
• Heuvel-Panhuizen, M. van den, K. Buys & A. Treffers (eds.) (1999). Kinderen leren rekenen. Tussendoelen Annex Leerlijnen. Hele getallen Bovenbouw Basisschool. Groningen: Wolters-Noordhoff.

wortels, evidentie, receptie
De speurtocht naar de oorsprong van die nadruk op ‘handig rekenen’ bij de Freudenthalers vordert stapje voor stapje: tot en met de ‘Proeve’ (deel 1 1989, deel 2 1990) is handig rekenen een bescheiden onderdeel van kolomrekenen en andere typisch realistische didactieken, zodat het vermoeden nu is dat het TAL-project de wieg zal blijken te zijn van ‘handig rekenen’ zoals dat tot kerndoel van ons Nederlandese rekenonderwijs is verheven.
Evidentie ontbreekt volledig, althans, evidentie zoals dat wordt opgevat in wetenschappelijke kringen zoals bv. NWO.
Over de receptie maakt Uitttenbogaard een interessante opmerking: een enquête over de vraag ‘handig rekenen’ afschaffen of niet, zou overweldigend voor het behoud van ‘handig rekenen’ zijn. Dat is interessant dat hij dat zo zegt, want ik krijg een tip dat die internet-enquête gekaapt is door realisten: zie blog 3725 op dit forum. Uittenbogaard gaat dus gewoon door met die kaping.

literatuur

• Werkgroep-Van Streun (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren, onderhouden, gebruiken en verdiepen. Onderdeel van de eindrapportage van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen. pdf
• Kerndoelenboekje en andere info over deze staatsdidactiek: http://www.slo.nl/primair/kerndoelen/
• Rekentoetswijzercommissie (april 2011). voorbeeld-rekentoets havo/vwo pdf [Zie in deze toets de eerste tien rekenopgaven: dit zijn ‘handig rekenen’ opgaven]
• F. van Mulken (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd. Proefschrift Universiteit Leiden.
• Jan van de Craats (2007). Hoofdrekenen als struikelblok. pdf
• W. Uittenbogaard (2008). Hoe Juliette en Jonas leren rekenen. Appels en peren — naar Hans Freudenthal. Panama Post. pdf

Voorgaande blogs

1. Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” blog 7456
2. Freudenthal 1984: “Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.” blog 7485
3. Inspectie: Scholen gebruiken naast hun realistische rekenmethode additionele methoden voor de basisvaardigheden. blog 7520
4. Realistische rekenreferentieniveaus? Het rekenrapport van de werkgroep-Van Streunblog 7547
5. Het referentiekader rekenen in de praktijk: hoe realistisch is dat? blog 7555
6. De behandeling van het wetsontwerp referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen in de Tweede Kamer, 31 maart 2010 blog 7577
7. Diagnose rekenproblematiek bo, met Harskamp 2007, bijlage A werkgroep-Van Streun blog 7587
8. Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591
9. ‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9]blog 7599

Eerstvolgende blogs

• Waarom de Freudenthalers niet onderzoeken of realistisch rekenen wel deugt [11] blog 7616
• Overzicht na elf blogs: rekent Nederland nog? [12] blog 7633

Voorgenomen blogs

• Een overzicht na x blogs: hoe de Nederlandse rekenproblematiek NIET wordt geadresseerd in het wetgevingstraject. Zie alvast post 61980.
• Een overzicht van de ontwikkelingen in Wiskobas en FI naar steeds grotere nadruk op hoofdrekenen (zie bv. de dissertaties Van Mulken, 1992; Buijs, 2008), in relatie tot onhandig hoofdrekenen als reden van slechte rekenprestaties (PPON 2004).
• Is het ontwikkelingsonderzoek van de protagonisten van realistisch rekenen ook onderzoek? (Van den Akker e.a. 2006 Educational Design Research. Routledge. pdf)
• De weg naar de hel is geplaveid met te goed vertrouwen. Toch? De eis ‘evidence-based’ te werken roept wel eens discussie op: ‘Wat is goed bewijs?’ Welnu, realistisch rekenen is ingevoerd zonder ENIG bewijs. (ontwikkelingsonderzoek is geen empirisch toetsend onderzoek, zie voorgaande voorgenomen blog)